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Métodos y Técnicas
de integración
G. Edgar Mata Ortiz
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El trabajo colaborativo es fundamental para aprender, requiere una actitud de compromiso de todos los integrantes del equipo.
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Resolución individual de problemas
En forma complementaria al aprendizaje colaborativo, es indispensable que el alumno haga frente, en forma individual, a los problemas de matemáticas para desarrollar sus competencias.
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Las técnicas de integración
Son un conjunto de artificios matemáticos que se aplican cuando no es posible realizar una integración directamente, ya sea porque al diferencial le faltan variables o le sobran.
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Las técnicas de integración
Son un conjunto de artificios matemáticos que se aplican cuando no es posible realizar una integración directamente, ya sea porque al diferencial le faltan variables o le sobran.
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Las técnicas de integración
En esta presentación se explica y resuelve, paso a paso, un ejemplo por el método de:
Integración
por partes
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Como en el ejemplo anterior, podemos observar que no existe ninguna fórmula que pueda aplicarse, directamente, a esta integración.
Ejemplo:
න𝑥𝑒2𝑥 𝑑𝑥 =
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Ejemplo:
𝒖 = 𝒙
න𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 =
Tomaremos como variable u, la equis; y el resto como diferencial de v.
𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥
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Ejemplo:
𝒖 = 𝒙 ∴ 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙
න𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 =Derivando la variable u, obtendremos du; e integrando el dv, obtendremos v.
𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥
𝑣 =𝟏
𝟐න𝑒2𝑥𝟐𝑑𝑥
𝑣 =1
2𝑒2𝑥 + 𝐶
Para efectuar la integración del du es necesario completar el diferencial agregando un 2 que se compensa con un medio fuera de la integral.
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Ejemplo:
𝒖 = 𝒙 ∴ 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙
න𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 =Derivando la variable u, obtendremos du; e integrando el dv, obtendremos v.
𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥
𝑣 =𝟏
𝟐න𝑒2𝑥𝟐𝑑𝑥
𝑣 =1
2𝑒2𝑥 + 𝐶
Para efectuar la integración del du es necesario completar el diferencial agregando un 2 que se compensa con un medio fuera de la integral.
La constante de integración se anotará hasta el final del proceso.
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Ejemplo:
𝒖 = 𝒙𝒅𝒖 = 𝒅𝒙
න𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙1
2𝑒2𝑥 −න
1
2𝑒2𝑥 𝒅𝒙
𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥
𝑣 =𝟏
𝟐න𝑒2𝑥𝟐𝑑𝑥
𝑣 =1
2𝑒2𝑥 + 𝐶
Sustitución de los valores calculados
න𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − න𝒗𝒅𝒖
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Ejemplo:
𝒖 = 𝒙𝒅𝒖 = 𝒅𝒙
න𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙1
2𝑒2𝑥 −න
1
2𝑒2𝑥 𝒅𝒙
𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥
𝑣 =𝟏
𝟐න𝑒2𝑥𝟐𝑑𝑥
𝑣 =1
2𝑒2𝑥 + 𝐶
Sustitución de los valores calculados
න𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − න𝒗𝒅𝒖
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Ejemplo:
𝒖 = 𝒙𝒅𝒖 = 𝒅𝒙
න𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙1
2𝑒2𝑥 −න
1
2𝑒2𝑥 𝒅𝒙
𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥
𝑣 =𝟏
𝟐න𝑒2𝑥𝟐𝑑𝑥
𝑣 =1
2𝑒2𝑥 + 𝐶
Sustitución de los valores calculados
න𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − න𝒗𝒅𝒖
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Ejemplo:
𝒖 = 𝒙𝒅𝒖 = 𝒅𝒙
න𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙1
2𝑒2𝑥 −න
1
2𝑒2𝑥 𝒅𝒙
𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥
𝑣 =𝟏
𝟐න𝑒2𝑥𝟐𝑑𝑥
𝑣 =1
2𝑒2𝑥 + 𝐶
Sustitución de los valores calculados
න𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − න𝒗𝒅𝒖
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Ejemplo:
𝒖 = 𝒙𝒅𝒖 = 𝒅𝒙
න𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙1
2𝑒2𝑥 −න
1
2𝑒2𝑥 𝒅𝒙
𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥
𝑣 =𝟏
𝟐න𝑒2𝑥𝟐𝑑𝑥
𝑣 =1
2𝑒2𝑥 + 𝐶
=1
2𝒙𝑒2𝑥 −
1
2න𝑒2𝑥 𝒅𝒙
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Ejemplo:
𝒖 = 𝒙𝒅𝒖 = 𝒅𝒙
න𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙1
2𝑒2𝑥 −න
1
2𝑒2𝑥 𝒅𝒙
𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥
𝑣 =𝟏
𝟐න𝑒2𝑥𝟐𝑑𝑥
𝑣 =1
2𝑒2𝑥 + 𝐶
=1
2𝒙𝑒2𝑥 −
1
2න𝑒2𝑥 𝒅𝒙
=1
2𝒙𝑒2𝑥 −
1
2∙𝟏
𝟐න𝑒2𝑥 𝟐𝒅𝒙
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Ejemplo:
𝒖 = 𝒙𝒅𝒖 = 𝒅𝒙
න𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙1
2𝑒2𝑥 −න
1
2𝑒2𝑥 𝒅𝒙
𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥
𝑣 =𝟏
𝟐න𝑒2𝑥𝟐𝑑𝑥
𝑣 =1
2𝑒2𝑥 + 𝐶
=1
2𝒙𝑒2𝑥 −
1
2න𝑒2𝑥 𝒅𝒙
=1
2𝒙𝑒2𝑥 −
1
2∙𝟏
𝟐න𝑒2𝑥 𝟐𝒅𝒙
=1
2𝒙𝑒2𝑥 −
1
4𝑒2𝑥 + 𝐶
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Solución:
𝒖 = 𝒙𝒅𝒖 = 𝒅𝒙
න𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙1
2𝑒2𝑥 −න
1
2𝑒2𝑥 𝒅𝒙
𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥
𝑣 =𝟏
𝟐න𝑒2𝑥𝟐𝑑𝑥
𝑣 =1
2𝑒2𝑥 + 𝐶
=1
2𝒙𝑒2𝑥 −
1
2න𝑒2𝑥 𝒅𝒙
=1
2𝒙𝑒2𝑥 −
1
2∙𝟏
𝟐න𝑒2𝑥 𝟐𝒅𝒙
=1
2𝒙𝑒2𝑥 −
1
4𝑒2𝑥 + 𝐶
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Solución:
𝒖 = 𝒙𝒅𝒖 = 𝒅𝒙
න𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙1
2𝑒2𝑥 −න
1
2𝑒2𝑥 𝒅𝒙
𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥
𝑣 =𝟏
𝟐න𝑒2𝑥𝟐𝑑𝑥
𝑣 =1
2𝑒2𝑥 + 𝐶
=1
2𝒙𝑒2𝑥 −
1
2න𝑒2𝑥 𝒅𝒙
=1
2𝒙𝑒2𝑥 −
1
2∙𝟏
𝟐න𝑒2𝑥 𝟐𝒅𝒙
=1
2𝒙𝑒2𝑥 −
1
4𝑒2𝑥 + 𝐶
=1
2𝑒2𝑥 𝑥 −
1
2+ 𝐶
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Solución del problema:
El objetivo de la integración por partes es reducir la integral original que no se puede resolver mediante las fórmulas básicas; a una expresión que contenga una integral directa.
න𝑥𝑒2𝑥 𝑑𝑥 =1
2𝑒2𝑥 𝑥 −
1
2+ 𝐶