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RAÍCES DE ECUACIONES
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DEFINICIÓN
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ECUACIONES ALGEBRAICAS
Solución de una ecuación algebraica de primer grado
es solución de:
Solución de una ecuación algebraica de segundo grado
es solución de:
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BÚSQUEDA DE UNA RAÍZ
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MÉTODOS GRÁFICOS
Como auxiliares en la comprensión visual de los métodos numéricos tantos cerrados como abiertos, para identificar el número de posibles raíces y la identificación de casos en los que los métodos abiertos no funcionan.
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BÚSQUEDA DE VARIAS RAÍCES
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RAÍCES DE POLINOMIOS
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EJEMPLOS DE APLICACIÓN EN INGENIERÍA
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RAÍCES DE ECUACIONES
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MÉTODO GRÁFICO
f(x)
x
Visual
xr
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MÉTODO GRÁFICOx f(x)0 1
0.05 0.901229420.1 0.804837420.15 0.710707980.2 0.618730750.25 0.528800780.3 0.440818220.35 0.354688090.4 0.270320050.45 0.187628150.5 0.106530660.55 0.026949810.6 -0.051188360.65 -0.127954220.7 -0.20341470.75 -0.277633450.8 -0.350671040.85 -0.422585070.9 -0.493430340.95 -0.56325898
1 -0.63212056
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
0.57
xe)x(f x
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MÉTODO DE BISECCIÓN
1. Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se
garantice que la función tiene raíz.
2. El segmento se bisecta, tomando el punto de
bisección xm como aproximación de la raíz buscada.
3. Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la
raíz.
4. El proceso se repite n veces, hasta que el punto de
bisección xm, coincide prácticamente con el valor
exacto de la raíz.
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PASO 1.
xi xs
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
0)x(f).x(f si
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PASO 2.
La fórmula de recurrencia para el método de bisección es el promedio de los valores inferior y superior de los extremos del intervalo:
i sr
x xx
2
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PASO 2. (CONTINUA)
xi xsxr
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
f(xr)
2si
m
xxx
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PASO 3. PASO 3.
Realizar las siguientes evaluaciones para Realizar las siguientes evaluaciones para determinar en cual de los dos intervalos determinar en cual de los dos intervalos esta la raiz:esta la raiz:
1.1. Si f(xi)*f(xm)<0 entonces la raiz esta en el Si f(xi)*f(xm)<0 entonces la raiz esta en el subintervalo inferior. Por lo tanto xi=xm; subintervalo inferior. Por lo tanto xi=xm; f(xi)=f(xm) y continua paso 2.f(xi)=f(xm) y continua paso 2.
2.2. Si f(xi)*f(xm)>0 entonces la riaz esta en el Si f(xi)*f(xm)>0 entonces la riaz esta en el subintervalo superior. Por lo tanto xs=xm; subintervalo superior. Por lo tanto xs=xm; f(xs)=f(xm) y continua paso 2.f(xs)=f(xm) y continua paso 2.
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1. El proceso se repite n veces, hasta que el
punto de bisección xm, coincide prácticamente
con el valor exacto de la raíz.
PASO 4. PASO 4.
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MÉTODO DE BISECCIÓN
Iteración Xi Xs f(xi) f(Xs) Xm f(Xm) e(%) e*(%)1 0 1 1 -0.63212056 0.5 0.10653066 11.84
2 0.5 1 0.10653066 -0.63212056 0.75 -0.27763345 32.24 33.33
3 0.5 0.75 0.10653066 -0.27763345 0.625 -0.08973857 10.2 20.00
4 0.5 0.625 0.10653066 -0.08973857 0.5625 0.00728282 0.82 11.11
5 0.5625 0.625 0.00728282 -0.08973857 0.59375 -0.04149755 4.69 5.26
6 0.5625 0.59375 0.00728282 -0.04149755 0.578125 -0.01717584 1.94 2.70
7 0.5625 0.578125 0.00728282 -0.01717584 0.5703125 -0.00496376 0.56 1.37
8 0.5625 0.5703125 0.00728282 -0.00496376 0.56640625 0.0011552 0.13 0.69
9 0.56640625 0.5703125 0.0011552 -0.00496376 0.56835938 -0.00190536 0.21 0.34
10 0.56640625 0.56835938 0.0011552 -0.00190536 0.56738281 -0.00037535 0.04 0.17
11 0.56640625 0.56738281 0.0011552 -0.00037535 0.56689453 0.00038986 0.04 0.09
12 0.56689453 0.56738281 0.00038986 -0.00037535 0.56713867 7.2379E-06 0 0.04
13 0.56713867 0.56738281 7.2379E-06 -0.00037535 0.56726074 -0.00018406 0.02 0.02
14 0.56713867 0.56726074 7.2379E-06 -0.00018406 0.56719971 -8.8412E-05 0.01 0.01
Intervalos Función Raiz media
Valor Verdadero = 0.567143xe)x(f x