MÉTODOS CUANTITATIVOS Y SIMULACIÓN
Teoría de Probabilidad
Dr. Salvador García Lumbreras
Dr. Salvador García L. 2Dr. Salvador García L. 2
EXPERIMENTOS
•EXPERIMENTO. Proceso planeado para obtener observaciones ó recolectar datos.
•RESULTADO DE EXPERIMENTO. Cualquier posible respuesta del experimento.
•EVENTO. Subconjunto de varias resultados.
Dr. Salvador García L. 3Dr. Salvador García L. 3
ESPACIO MUESTRA
Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento .
Ejemplo. Un folder contiene 50 archivos ejecutables. Cuando un virus de computadora ataca un sistema, cada archivo puede ser afectado. = { 1, 2,.., 50}
Dr. Salvador García L. 4Dr. Salvador García L. 4
PROBABILIDAD
Los procesos industriales fabrican productos que puede satisfacer o no los requerimientos de los clientes.La salida de estos procesos está sujeta a los efectos del azar.Debido a esto, las compañía necesitan considerar los aspectos probabilísticos de la situación.
Dr. Salvador García L. 5Dr. Salvador García L. 5
PROBABILIDAD
La probabilidad del evento A se define como el cociente de los resultados a favor de A y todos los resultados posibles
)(
)()(
n
AnAP
Dr. Salvador García L. 6
VARIABLE ALEATORIAVARIABLE ALEATORIA
•Una variable aleatoria X es una función que asigna un número real a cada punto del Espacio Muestra.
X(w) = x
Dr. Salvador García L. 7
FUNCIÓN DE MASA DE PROBABILIDAD
•pmf = p(x) = P(X = x)
•p(x) ≥ 0
•La probabilidad total es 1:
1)()( xx
xXPxp
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EJEMPLO
•El número de errores X en un programa que consiste de dos módulos, tiene la siguiente función de masa de probabilidad
x 0 1 2 3
p(x) 0.5 0.3 0.1 0.1
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EJEMPLO
•Determinar si la siguiente función puede servir como pmf de una variable aleatoria
5,4,3,2,1 ,25
2)(
x
xxf
Dr. Salvador García L. 10
1.0
0.0
0.4
0.8
XX
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
b
1k
)k(P)bX(P)b(F
FF
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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
F es una función no decreciente y continua por la derecha
Lim F(x) = 0, x -> -∞
Lim F(x) = 1, x -> +∞
Dr. Salvador García L. 12
EJEMPLO
•Sea X la variable aleatoria con pmf
•Entonces, su función de distribución es dada por
x 0 1 2
p(x) 0.1 0.4 0.5
x21
2x15.0
1x01.0
0x0
)x(F
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EJEMPLO
•Sea X una variable aleatoria con CDF
•Encontrar a) P(x =3); b) P(x ≥ 1)
x
x
x
x
xF
31
315.0
1125.0
10
)(
Dr. Salvador García L. 14
-
if is discrete
if is continuous
k
x
k
x p x X
x f x dx X
MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA
)( kk XE
donde 1´ = E(X) es el primer momento de X
Dr. Salvador García L. 15
K-ésimo MOMENTO CENTRAL DE X
-
if is discrete
if is continuous
k
x
k
x p x X
x f x dx X
k
k XE )(
Dr. Salvador García L. 16
bXaEbaXE
ccE
dxxxf
xpx
XE
n
iii
)()(
)(
)(
)(
)(1
VALOR ESPERADO
Dr. Salvador García L. 17
EJEMPLO
•Calcular el número promedio de errores X en un programa que consiste de dos módulos, si se tiene la siguiente función de masa de probabilidad
x 0 1 2 3
p(x) 0.5 0.3 0.1 0.1
Dr. Salvador García L. 18
222222
22222
2
1
2
22
)(2)(])[(
)(2)()2(])[(
)()(
)()(
])[(
XEXEXE
XEXEXXEXE
dxxfx
xpx
XE
n
iii
VARIANZA & DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Dr. Salvador García L. 19
EJEMPLO
•Calcular la varianza y desviación standard de la siguiente variable aleatoria X
x 0 1 2
p(x) 0.1 0.4 0.5
Dr. Salvador García L. 20
)()(
0)(
2 XVacaXV
cV
PROPIEDADES DE LA VARIANZA
Dr. Salvador García L. 21
FUNCIÓN GENERATRIZ DE MOMENTOS
if is discrete
if is continuous
tx
xtX
Xtx
e p x X
m t E ee f x dx X
)(tM X
)()0( ,)0(
...)!2
1()()(
2
2
XEMM
XXEeEtM
xx
XtX
Dr. Salvador García L. 22
PROPIEDADES
)(][][)( )( tMeeEeeEtM XatXtattaX
aX
)(][][)( )()( btMeEeEtM XbtXtbX
bX
)(][][)()()(
b
tMeeEeeEtM X
tb
a
b
tXt
b
at
b
aX
b
aX
Dr. Salvador García L. 23Dr. Salvador García L. 23
EJEMPLO
Sea X una variable aleatoria con pmf
Calcular la media de X mediante su función generatriz de momentos.
3,2,1,0 ,8
3
)(
xx
xp
Dr. Salvador García L. 24
EJEMPLO
• Suponga que Y es una variable aleatoria con función generatriz de momentos
• Encontrar E[Y] y V[Y].
tttY eeetM 32
6
3
6
2
6
1)(
Dr. Salvador García L. 25
DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
Un experimento de Bernoulli tiene exactamente dos posibles resultados, denotados por Éxito (1) o Falla (0), con probabilidades p y q = 1-p respectivamente.
MANUFACTURA. Un producto es clasificado como defectuoso o estándar.
VOTACIONES. Respuestas: Sí o No
Dr. Salvador García L. 26
FUNCIÓN DE MASA DE PROBABILIDAD
La pmf está dada por
Por ejemplo si p = 0.6, luego
1,0 )( 1 xqpxp xx
6.0)1(
0.4)0(
01
10
pqpp
qqpp
Dr. Salvador García L. 27
MEDIA & VARIANZA
pqXEXE
pqpXXE XX
X
222
11
0
)]([)(
)(
Dr. Salvador García L. 28
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
La variable aleatoria X representa el número de éxitos en n independientes intentos de Bernoulli
nXqpX
npnXb XnX ,...,1,0 ),;(
Dr. Salvador García L. 29
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
La Media & Varianza están dados por
npqXEXE
npqpX
nXXE XnX
n
X
222
0
)]([)(
)(
Dr. Salvador García L. 30
EJEMPLO
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (parámetros p, n)
0
1n
n xtx x
x
ne p p
x
0 0
1n nx n xt x n x
x x
n ne p p a b
x x
1nn ta b e p p
)()()( xpeeEtM txtXX
Dr. Salvador García L. 31
EJEMPLO
Un folder tiene 20 archivos ejecutables. Cuando un virus de computadora ataca el sistema, cada archivo tiene una probabilidad de 0.1 de ser afectado. Calcular la probabilidad de tener 5 archivos afectados en un ataque
n = 20, x = 5, p = 0.1. Entonces
)4()5()5(
0319.09568.09887.09.01.05
20)1.0,20;5()5( 155
FFxP
bxP
Dr. Salvador García L. 32
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
•X es una variable Binomial con n grande y la probabilidad de éxito p muy pequeña, de tal forma que np 10.
.10 !
)( ,..,xx
exp
x
Dr. Salvador García L. 33
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Media & Varianza:
222
0
)]([)(
!)(
XEXE
X
eXXE
Xn
X
Dr. Salvador García L. 34Dr. Salvador García L. 34
0,1,2,!
x
p x e xx
La función generatriz de momentos de X , MX(t) es
DISTRIBUCIÓN DE POISSON (parámetro )
0 !
xntx
x
e ex
0 0
using ! !
t
xt xe u
x x
e ue e e e
x x
1te
e
)()()( xpeeEtM txtXX
Dr. Salvador García L. 35
LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON COMO LÍMITE DE LA BINOMIAL
np
X
eXppnXb
X
pn
!)(),;(lim
0
Dr. Salvador García L. 36
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 6 7
=2=2
XX
p(X)p(X)
0.10.1
0.30.3
Dr. Salvador García L. 37
EL PROCESO POISSON
Modelación de la ocurrencia de eventos en cierto intervalos de tiempo.
•Número de llamadas por minuto a una central telefónica•Número de clientes por día en una tienda•Número de errores por página en un libro
Dr. Salvador García L. 38
EJEMPLO
El número promedio de clientes de internet que inician una nueva cuenta es 2 por hora. La probabilidad de la apertura de una cuenta durante este período de tiempo es grande, debido a que existen miles de clientes de internet.
Cuál es la probabilidad de que 4 ó más clientes abran una nueva cuenta de internet en las siguientes dos horas?
Dr. Salvador García L. 39
EJEMPLO
Estas son precisamente las condiciones de Poisson, luego
14285.0)]3()2()1()0([1)4(
18045.0!3
2)3( ,27068.0
!2
2)2(
27068.0!1
2)1( ,13534.0
!0
2)0(
3222
1202
PPPPXP
eP
eP
eP
eP
Dr. Salvador García L. 40Dr. Salvador García L. 40
EJEMPLO
97% de los mensajes electrónicos son transmitidos sin error. Cuál es la probabilidad de que de 200 mensajes, al menos 195 serán transmitidos correctamente?
Dr. Salvador García L. 41
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
•La variable X, representa el número de intentos antes del primer éxito con probabilidad p.
,..2,1 )1()( 1 nppnXP n
Dr. Salvador García L. 42
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
•Media & Varianza
2222
1
1
1)]([)(
1)1()(
p
pXEXE
pppnXE n
n
Dr. Salvador García L. 43
EJEMPLO
• Si la probabilidad de encontrar una frase clave en un sitio de internet por parte de un motor de búsqueda es 0.75, cuál es la probabilidad de que el motor de búsqueda encuentre finalmente la frase en el cuarto sitio visitado?
0117.0)75.0()75.01()4( 14 XP
Dr. Salvador García L. 44
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA
• X número de éxitos en n intentos con probabilidad de éxito p no constante• Apropiada en aplicaciones que involucran muestreo sin reemplazo y población de tamaño N.
nx
n
N
xn
Nq
x
Np
xXP ,..2,1,0 )(
Dr. Salvador García L. 45
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA
•Media & Varianza
1
)(
2
N
nNnpq
npXE
Dr. Salvador García L. 46
EJEMPLO•Una caja contiene 6 chips blancos y 4 negros. Si 4 chips se extraen de manera aleatoria de la caja, cuál es la probabilidad de que se extraigan a lo más 2 chips negros?
•N = 10, n = 4, p = 0.6 y q = 0.4, luego
1428.0
4
10
2
4
2
6
4
10
1
4
3
6
4
10
0
4
4
6
)2(
XP
Dr. Salvador García L. 47Dr. Salvador García L. 47
EJEMPLO•Lotes de 50 piezas son inspeccionados mediante un muestreo simple de 5 piezas extraídas sin reemplazo. Si no se observan defectuosos en la muestra, el lote es aceptado. Calcular la probabilidad de aceptación si se sabe que el lote es 4% defectuoso.
5
50
5
48
0
2
)0(XPPa
Dr. Salvador García L. 48Dr. Salvador García L. 48
FUNCIÓN DE DENSIDAD
Una función f(x) de una variable aleatoria continua X es llamada función de densidad si satisface las siguientes condiciones
1)(
0)(
dxxf
xf
Dr. Salvador García L. 49Dr. Salvador García L. 49
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
La función de distribución F(X) describe la probabilidad de que X sea menor o igual que cierto valor b
)()()(
)()()(
aFbFbXaP
dxxfbXPxFb
Dr. Salvador García L. 50Dr. Salvador García L. 50
DISTRIBUCIÓN UNIFORME
a b X
f(x)
..
1)(
woo
bxaabxf
Dr. Salvador García L. 51Dr. Salvador García L. 51
EJEMPLO
La dureza Rockwell para cierto tipo de acero varía de 40 a 60 en esta escala. Sea X la dureza Rockwell la cual se asume que está uniformemente distribuida como se muestra. Cuál es la probabilidad de una dureza Rockwell entre 50 y 55?
20
5
20
1
)()5550(
55
50
55
50
dx
dxxpXP
40 60 X
1/20
p(x)
Dr. Salvador García L. 52Dr. Salvador García L. 52
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
0 X
f(x)
22
0
1
1
1)(
0 )(
xx
x
x
edxexF
xexf
λ
Dr. Salvador García L. 53Dr. Salvador García L. 53
0
0 0
xe xf x
x
La función generatriz de momentos de X , MX(t) es:
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL (parámetro )
0
tX tx tx xXm t E e e f x dx e e dx
0 0
t xt x e
e dxt
undefined
tt
t
Dr. Salvador García L. 54Dr. Salvador García L. 54
EJEMPLO Trabajos son enviados a una impresora a razón
de 3 trabajos por hora. Cuál es el tiempo promedio entre trabajos? Cuál es la probabilidad de que el siguiente trabajo sea enviado durante los siguientes 5 minutos?
E(X) = 1/3 hrs = 20 minutos
2212.01|
3)12/1(
4
112/1
03
12/1
0
3
ee
dxeXP
x
x
Dr. Salvador García L. 55Dr. Salvador García L. 55
DISTRIBUCIÓN NORMAL
La distribución más importante en Estadística.
Una gran cantidad de fenómenos de la vida diaria pueden ser modelados por esta distribución.
Variables aleatorias asociadas con mediciones pueden ser consideradas como Normales.
Las medias muestrales de cualquier distribución se comportan como una variable normal conforme aumenta el tamaño de muestra (Teorema Central del Límite).
Dr. Salvador García L. 56Dr. Salvador García L. 56
FUNCIÓN DE DENSIDAD
Xe
Xf
X
,2
)(2
2
2
)(
Dr. Salvador García L. 57Dr. Salvador García L. 57
++
FORMA DE LA DISTRIBUCIÓN
Dr. Salvador García L. 58Dr. Salvador García L. 58
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR
Una variable aleatoria X puede ser estandarizada por la transformación
X
Z
Dr. Salvador García L. 59Dr. Salvador García L. 59
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR
La función de densidad es
ze
Zf
Z
,2
)(2
2
Dr. Salvador García L. 60Dr. Salvador García L.
ÁREAS EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
+k % área
+ 68.26
+2 95.44
+3 99.73
Dr. Salvador García L. 61Dr. Salvador García L.
++
ÁREAS DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
XX
ZZ0 10 1
Dr. Salvador García L. 62Dr. Salvador García L. 62
DISTRIBUCIÓN NORMAL
La función de distribución F(x) está dada en tabulada al final del texto.
z
z
dze
ZF2
)(2
2
Dr. Salvador García L. 63Dr. Salvador García L. 63
EJEMPLO
La vida de cierto componente electrónico está normalmente distribuido con media de 200hrs y desviación estándar de 22hs. Qué porcentaje de los componentes se necesitará remplazar antes de 150 hs?
0116.0)27.2()150(
27.222
200150
ZPXP
Z
Dr. Salvador García L. 64Dr. Salvador García L. 64
EJEMPLO
Luego, 1.16% de los componentes se espera que duren menos de 150hrs.
150 200150 200
P(X< 150)P(X< 150)
Dr. Salvador García L. 65Dr. Salvador García L. 65
APROXIMACIÓN NORMAL A LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Si n > 100 y la probabilidad de éxito p no es cercana a cero, entonces las probabilidades binomiales pueden ser aproximadas por la distribución Normal.
Dr. Salvador García L. 66Dr. Salvador García L. 66
TAMAÑO MÍNIMO DE MUESTRA PARA APLICAR LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
p n
0.5 30
0.4 ó 0.6 50
0.3 ó 0.7 80
0.2 ó 0.8 200
0.1 ó 0.9 600
0.05 ó 0.95 1400
Dr. Salvador García L. 67Dr. Salvador García L. 67
EJEMPLO
Un nuevo virus de computadora ataca un folder con 200 archivos. Cada archivo tiene de manera independiente una probabilidad de 0.2 de ser afectado. Cuál es la probabilidad de que menos de 50 archivos sean afectados?
657.532 ;32)8.0)(2.0(200
40)2.0(200
2
npq
np
Dr. Salvador García L. 68Dr. Salvador García L. 68
EJEMPLO
Se estandariza el valor de 50 usando la corrección de continuidad.
9535.0)68.1()50(
68.1657.5
405.495.49
ZPXP
Z