Download - MÉTODO DE CRANK- NICOLSON
PONENTES: - CHOQUE APAZA, JANETH RAQUEL - ROMERO GMEZ, FIORELLA LUZ
Representacin matricialyPara cada
donde
yY las matrices
y
estn
dadas por:
yY ahora veremos el algoritmo
de Crank-Nicolson:
yVamos a hallar la solucin de
la ecuacin parablica:
diferencial
ySujeta a las condiciones de
frontera:
yY a las condiciones iniciales:
Diagrama de flujo
x "
f(x)
wi,j
yElementos de entrada: "(extremo
de la barra),T(tiempo mximo), (constante), m3, N1 (enteros). yElementos de salida: wi,j(aproximaciones a u(xi, tj))
yTomaremos: h="/m;
k=T/N; = yPara i=1,,nl-1 tome wi=f(ih). yTome l1=1+ ;u1=- /(2l1). yPara i=2,,m-2 tome li=1+ + ui-1/2;ui=- /(2li). yTome lm-1=1+ + um-2/2.
2k/h2;w =0. nl
yPara
j=1,,N hacer tome t=jk; (tj actual) z1=[(1- )w1+( /2)w2]/l1. para i=2,,m-1 tomezi=[(1- )wi+( /2)(wi+1+wi-1+zi-1)]/li.
:
tome wm-1=zm-1,
Para i=m-2,,1 tome wi=zi-uiwi+1. ySalida (t); para i=1,,m-1 tome x=ih; Salida (x,wi) Fin del algoritmo.
Cmo calcular el error?yConocemos que el mtodo de
Crank-Nicolson es el resultado de promediar los mtodos de diferencias progresivas (en el jsimo paso en t)y las diferencias regresivas (en el (j+1)-simo paso en t).
yEl mtodo de diferencias
progresivas:
yY este posee un error local de
truncamiento:
yEl mtodo de diferencias
regresivas:
yY este posee un error local de
truncamiento:
yEn
base a lo anterior si suponemos que:
yEntonces Crank-Nicolson
yTiene
un error local truncamiento del orden
de
ysiempre y cuando se cumplan
las condiciones diferenciabilidad.
de
ySi hablamos en porcentajes:
El mtodo de Crank-Nicolson posee 1.8% de error Mientras que: El mtodo de diferencias regresivas posee 14.2% de error en su proceso.
CONCLUSIONESyPodemos
afirmar viendo los resultados anteriores que el mtodo de Crank-Nicolson nos ofrece soluciones numricas para las ecuaciones diferenciales parciales parablicas ms prximas a los valores reales.