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MINE JOSÉ ALEJANDRO LÓPEZ RENTERÍA
1
Medidas de asociación lineal
3 de noviembre de 2012
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Recordemos…2
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¿Qué son las medidas de asociación lineal?
Las medidas de asociación lineal, indican si existe alguna relación proporcional entre dos variables o atributos de una misma muestra, es decir si una afecta a otra o viceversa. Dichas medidas únicamente son calculables para variables cuantitativas y son la covarianza y el coeficiente de correlación.
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Covarianza
Es una medida de variabilidad conjunta entre dos variables (x(x11 , x , x22) ) o bien o bien (x , y).(x , y).
La covarianza se calcula con la siguiente fórmula:La covarianza se calcula con la siguiente fórmula:
∑=
−−=n
iii )yy)(xx(
n)y,xcov(
1
1
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Covarianza
Si Cov(x,y) es positiva: la asociación entre x e y es directamente proporcional, es decir que cuando x aumenta y también aumenta; y viceversa.
Si Cov(x,y) es negativa: la asociación entre x e y es inversamente proporcional, es decir que cuando x aumenta y disminuye; y viceversa.
Si Cov(x,y) es cero: no existe asociación entre x e y.
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Coeficiente de correlación6
La correlación es el grado de asociación entre dos variables (xx11 , x , x22) ) o bien o bien (x , y).(x , y).
El coeficiente de correlación (El coeficiente de correlación (r de Pearsonr de Pearson) mide el ) mide el grado de asociación lineal entre dos variables grado de asociación lineal entre dos variables cuantitativas. Se calcula de la siguiente forma:cuantitativas. Se calcula de la siguiente forma:
11 ≤≤− ryxss
yxr
),cov(=yx
n
iii
ssn
yxnyxr
)1(1
−
−=
∑=
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Coeficiente de correlación7
Si Si rr es positivo es positivo: la asociación entre : la asociación entre xx e e yy es directamente es directamente proporcional, es decir que cuando proporcional, es decir que cuando xx aumenta aumenta yy también aumenta; también aumenta; y viceversa. y viceversa. Si Si rr=1=1: la asociación lineal es perfecta.: la asociación lineal es perfecta.
Si Si rr es negativo es negativo: la asociación entre : la asociación entre xx e e yy es inversamente es inversamente proporcional, es decir que cuando proporcional, es decir que cuando xx aumenta aumenta yy disminuye; y disminuye; y viceversa. viceversa. Si Si rr=-1=-1: la asociación lineal es perfecta.: la asociación lineal es perfecta.
Si Si rr es cero es cero: no existe asociación entre : no existe asociación entre xx e e yy..
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Tipo de correlación8
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Tipo de correlación9
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Regresión lineal simple10
En aquellos casos en que el coeficiente de regresión lineal sea “cercano” a +1 o a –1, tiene sentido considerar la ecuación de la recta que “mejor se ajuste” a la nube de puntos, llamada recta de mínimos cuadrados.
Uno de los principales usos de dicha recta será el de predecir o estimar los valores de y que obtendríamos para distintos valores de x. Para ello debe presentarse un gráfico de dispersión.
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Regresión lineal simple11
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Modelo de regresión lineal simple12
iii exy ++= βαVariable Respuesta: y
Variable Explicativa: xIntercepto: α Pendiente: β
Error: e
Variable Respuesta: yVariable Explicativa: x
Intercepto: α Pendiente: β
Error: e
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Modelo estimado MCO13
13
xbya −=2
11
2
111
−
−=
∑∑
∑∑∑
==
===
n
ii
n
i
n
ii
n
ii
n
i
xxn
yxxynb
iii yye ˆ−=Residuos o Errores
bxay +=ˆ
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Modelo estimado MCO14
Recta de ajuste
Errores o Residuos
bxay +=ˆ
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Coeficiente de determinación R15
El coeficiente de determinación indica el porcentaje del ajuste que se ha conseguido con el modelo lineal, es decir el porcentaje de la variación de y que se explica a través del modelo lineal que se ha estimado, es decir a través del comportamiento de x. A mayor porcentaje mejor es nuestro modelo para predecir el comportamiento de la variable y.
También se puede entender como el porcentaje de varianza explicada por la recta de regresión y su valor siempre estará entre 0 y 1 y siempre es igual al cuadrado del coeficiente de correlación (r).
2R
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Interpretación de los valores estimados16
Una vez obtenido el modelo, se deben interpretar los valores de a y de b con el fin de hacer predicciones a futuro sobre el comportamiento de las variables x e y.
El coeficiente a señala qué valor toma y en el caso de que x fuera nulo o cero.
El coeficiente b indica la forma en que varía y de acuerdo con x, es decir, cuantas unidades de y aumentan o disminuyen cuando aumentan las de x.
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