Mediciones con ruido como señal de prueba
“Evaluación de sistemas LTI por medio de la correlación”
Mediciones Electrónicas
h(t) y(t)
Caracterización de sistemas LTI
• Mediante ondas senoidales, analizando la respuesta (|Y(f)|, f(f)) en el dominio de la frecuencia.
SistemaBajo Prueba
RgGeneradorBarredor
Graficador
x
Voltímetro Vectorial
f=y
Bajo Prueba
ZL
Barredor
• Mediante ondas cuadradas, analizando la salida y(t) en el dominio del tiempo.
V1
v(t)
t
10%
90%
t1 t2
R
CMedidor
V1
R
C MedidorV1
V2
v(t)
t
V1
Caracterización de sistemas LTI
• Mediante la utilización de ruido como señal de prueba. Evaluando la función correlación cruzada.
h(t) y(t)
[ , ], ( )x xPDF x G f
Ruido como señal de prueba
Áreas de aplicación:
• En presencia de efectos alineales, donde una onda senoidal no permite obtener la respuesta buscada.
Interferencia co-canal en telefonía, FDM (Multiplexación por División en Frecuencia).
• En sistemas lentos, con grandes constantes de tiempo.
Caracterización de sistemas térmicos.
CH1
CH2
CH3
CH4
CH5
CH6
CH1 CH2 CH3 CH4 CH5 CH6
Filtro eliminabanda
CH4
Filtro pasabanda
Medidor
Ruido
Ruido como señal de prueba
Áreas de aplicación:
• Cuando el ruido de fondo es muy grande.
La inyección de ruido (descorrelacionado) permite obtener respuesta aún en estas condiciones.
• Para medir procesos caros.
Se inyecta ruido de muy bajo nivel evitando saturaciones.
Evaluación de un sistema por medio de la correlación cruzada
h(t)
0
1lim
T
Td
T
Ruido blancogaussiano
0
1( ) lim ( ) ( )
T
xyT
R x t y t dtT
=
( ) ( ) ( ) ( ), ( ) señales aleatoriasy t h u x t u du x t y t
=
( )x t
( )x t
0 0
1 1( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
T T
xyT T
xx
R x t h u x t u du dt h u x t x t u dt duT T
y t R uxx
h u R u du
= =
=
00T( )x t
Evaluación de un sistema por medio de la correlación cruzada
Si se cumple que
( ) función impulso en
puedo suponer que ( ) ( )
x h
xx
B B
R u u
h u cte h
=
=
R ( -u)xx
h(u)h(u)
puedo suponer que ( ) ( )h u cte h =
u
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(0)
(0)( ) (0) ( )
2
xy xx xx
xx
R h u R u du h R u du
Sx
Gh S h
= =
= =
2 ( )( )
(0)xy
x
Rh
G
=
(0) densidad espectral de potencia unilateral del ruido blanco gaussianoxG
Estimación de la correlación
Si tengo un tiempo de integración finito => Cada vez que hago el experimento obtengo un resultado distinto.
1ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Var R R u R u R u R u du
=
0
1( ) lim ( ) ( )
T
xyT
R x t y t dtT
=
Resultado: Variable aleatoria cuyo valor medio es el verdadero valor de la correlación.ˆ ( )xyR
(0) (0)( ) ( )
2 2
2
2
1ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1si ( ) ( ) (0) ( )
(0)(0)ˆ ( ) ( ) (2 4
x x
xy xx yy xy yx
G Gh u h u
x y xx yy yy xx
xxxy y
Var R R u R u R u R u duT
B B R u R u du R R u duT T
GGVar R h u h
T T
=
1)u du
T
Efecto de las perturbaciones en la salida:
h(t)
R ( )xz
y(t)
0
1lim
T
Tdt
T
x(t)
x(t- )
n(t) x(t)no correlacionado con
z(t)
0 0
0 0
1 1( ) lim ( ) ( ) lim ( )
1 1lim ( ) ( ) lim ( ) ( )
1( ) (0) ( ) ,
( ) ( )
( ) 02
T T
xzT T
T T
T T
x xn xnT
R x t z t dt x t dtT T
x t y t dt x t n t dtT T
h G R R
y t n t
= =
=
=
expresión calculad cuanto vala e?
ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )xz xy xnVar R Var R Var R =
0x(t- )
Efecto de las perturbaciones en la entrada:
0
1( ) lim ( ) ( )
T
xyT
R x t y t dtT
= =
h(t)
R ( )xy 0
1lim
T
Tdt
T
x(t)
x(t- )
z(t)
n(t) x(t)no correlacionado con
( ) ( ) ( ) ( )y t h u x t u n t u du
=
0
0 0
0
( )
1 1lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( )
1 1( ) lim ( ) ( ) ( ) lim ( )
xx
T T
T T
T
T T
R u
x t h u x t u du dt x t h u n t u du dtT T
h u x t x t u dt du h u x t nT T
=
=
0
( )
0
( )
1 1( ) (0) ( ) ( ) , ( ) 0
2
xn
T
R u
T
x xn xnT
t u dt du
h G h u R u du RT
=
expresión calculad cuanto vala e?
ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )xy xy xnVar R Var R Var R =
Utilizamos una señal que tenga todas las características deseadas del ruido aleatorio (espectro ideal, pdf gaussiana) y que sea periódica….
Ruido Pseudoaleatorio como señal de prueba:
x(t)
1 0 1 1 0 1 0 0 0 1A
Señal telegráfica:
t
t-A
2A
tt
( )xxR 2sinc f
1
t
xG f
f-A +A
p(x)
x
Generación de Ruido Pseudoaleatorio
Señal binaria pseudoaleatoria:
x(t)
t
t
1 0 1 1 0 1 0 0 0 1A
-A
1 0 1 1 0 1 0 0 0 1
( )G f
2A
tt
( )xxR
N t t N t t N t
Función densidad de potencia discreta con envolvente de la forma sinc2 (f).
Función autocorrelación periodica.
f
( )xG f
1
t1
fN t
=
Generación de Ruido Pseudoaleatorio
Generador de secuencia pseudoaleatoria:
Q1 Q2 Q3 Q4 XOR (SALIDA)
1 1 1 1 0
0 1 1 1 0
0 0 1 1 0
0 0 0 1 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 12 -1
13 registros
nN
n
=
salida
0 0 1 0 1
1 0 0 1 1
1 1 0 0 0
0 1 1 0 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 1
1 0 1 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
13 registros
para considerar
ruido gaussiano
n
2
2 1n
A
2A
1
clk
tf
=1
clk
tf
=
( )xxR
SR1 SR2 SR3 SR4
clk
Generador de Ruido Pseudoaleatorio
Gráfica de Gx(f) en el rango f=[0,fclk]
( )xG f
SR1 SRn-1 SRn
clk
salida
fc f
.....
Filtro pasabajos con frecuencia de corte 20 veces menor que la del reloj de los registros de desplazamiento.
La resolución espectral depende de fclk y de la cantidad n de registros de desplazamiento.
2 1clk clk
n
f ff
N = =
clkff
20clk
c
ff =
Ruido Pseudoaleatorio
Ruido Pseudoaleatorio
Ejemplo: Se requiere diseñar un generador de ruido pseudoaleatorio que se utilizará para caracterizar sistemas LTI con un ancho de banda (AB) de hasta 1kHz. Con el objetivo de eliminar los errores estadísticos propios de la medición, el período de repetición del ruido debe ser de 100ms.
4
1 si 10
20 200
100 100 200 2 10 2 1 14, 28
c c
clk c clk
n
AB kHz f AB f kHz
f f f kHz
NT ms N ms kHz n
= =
=
= = = = = =
15
100 100 200 2 10 2 1 14, 28
Como el valor de no es entero, debo utilizar 15 y elevar la ....
2 1 32767 100 3
clk
clk
clk clk
T ms N ms kHz nf
n n f
N ms f f
= = = = = =
=
= = = = 27.670
La frecuencia del filtro pasabajos la mantengo en 10 mejorando la condición 20
Resultado:
327.670 ;
10
15;
327.67010 (resolución espectral)
32767
clk
clk
c
Hz
kHz f f
f Hz
f kHz
n
Hzf Hz
=
=
=
= =
Bibliografía:
• “Electronic Measurement and Instrumentation”, Capítulo 4. Oliver and
Cage. McGraw Hill.
• “Random Data: Analysis and Measurement Procedures”, Capítulo 6-8
Fourth Edition, Julius S. Bendat, Allan G. Piersol. WileyFourth Edition, Julius S. Bendat, Allan G. Piersol. Wiley
• “Analizador de respuesta temporal”, O. Focquaert, A. Esteban, pp1600-
1603, Revista Telegráfica Electrónica.
• “Shift Register Sequences”, Solomon W. Golomb. Aegean Park Press,
Laguna Hills, California, 1982.
• “Generador de ruido”, A. E. De Giusti, H. E. Lorente pp231-233, Revista
Telegráfia Electrónica.
Anexo: Estimación de la correlación (con ruido)
expresión calculada cuanto vale?
2
( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )
1 1ˆ1) ( ) ( ) (0) (0) (0)
xz xy xn
xz xy xn
R R R z t y t n t
Var R Var R Var R
B B Var R R R R R R
= =
=
2 2
(0) x n =21 1ˆ1) ( ) ( ) (0) (0) (0)
2 2n x xn xn xx nn xx nnB B Var R R R R R R
BT BT
2
cte
(0)
2
2
(0)2
1 1ˆ2) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) (0)2
ˆ3) ( ) (0)2
x
x n
nn x xn xx nn nn xx x
G
xn x xn n
BT
B B Var R R u R u du R R u du GT T BT
B B Var R GBT
=
= =
Conclusión: La mejor forma de disminuir la varianza es aumentar el T, ó utilizarruido pseudoaleatorio.