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1
Universidad Técnica de LojaEscuela de Ingeniería QuímicaMecánica de FluidosMarzo 2008 – Agosto 2008
MECÁNICA DE FLUIDOS
Tema 0. Análisis Vectorial
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2
1. Álgebra vectorial
Suma de vectores:
-B
B
Regla del paralelogramo
C = A + BD= A - B
Regla cabeza cola
C = A + B-B
D= A - B
A = aA A
AAAa =
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3
Multiplicación de un escalar por un vector:
k A = aA (kA)
aA
A
aA
El producto de un escalar positivo por un vector, multiplica k veces el módulo de A, sin modificar su dirección.
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4
Producto punto o escalar:
A·B = AB cos θAB
Algunas propiedades:
A·B = B·AA·A = A2 o A = (A·A)1/2
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5
Producto cruz o vectorial:
A x B = an AB sen θAB
A x B = - B x A
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6
Producto escalar triple:
A·(BxC) = (A·an) BC sen α
A·(BxC) = C·(AxB) = B·(CxA)
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7
2. Sistemas de coordenadas ortogonales
Coordenadas cartesianas:
x y
z
z = zo
y = yox = xo
P(xo,yo,zo)
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8
dx dy
dz
rr + dr
az
ax ay
x y
z
zyx aaar zyx ++=
zyx aaar dz dy dxd ++=
dzy d dxdv =
zzyyxx BABABA ++=A·B
zyx
zyx
BBBAAA
zyx aaaBA =×
zyx aaaA zyx AAA ++=
⎪⎩
⎪⎨⎧
===
===
0
1
xzy zyx
zzyyxx
·aa·aa·aa
·aa·aa·aa
⎪⎩
⎪⎨⎧
=×=×=×
=×=×=×
xzyyxzzy , , aaaaaaaaa
0aaaaaa
x
zzyyxx
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9
Coordenadas cilíndricas:
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zr zr aar +=
zrθ aaar dz dr rdd ++θ=
drdzrddv θ=
zaaaA zrr AAA ++= θθ
zzrr BABABA ++= θθA·B
zr
zr
r
BBBAAA
θ
θ
θ
=×zaaa
BA
⎩⎨⎧
======
θθ
θθ
01
zrr
rr
z
zz
·aa·aa·aa·aa·aa·aa
⎩⎨⎧
=×=×=×=×=×=×
θθθ
θθ
rzrzzr
zrr
, , aaaaaaaaa0aaaaaa z
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11
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
φ+φ−=
φ+φ=
φ
zz
yx
yxr
aa
aaa
aaa
cossen
sencos
φ
φaφ
r
za
ra
z
φ
y
φcosya
x
φ− senxa
φsenya
φcosxa
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
φ+φ=
φ−φ=
φ
φ
zz aa
aaaaaa
cossen sencos
ry
rx
r
r
aa
aa
−=φ∂
∂
=φ∂
∂
φ
φ
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Coordenadas esféricas:
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RRar =
φφθ+θ+= aaaR θ d Rsen Rd dRd R
dRddsenRdv 2 φθθ=
zzRR BABABA ++= θθA·B
ϕθ
ϕθ
ϕθ
=×BBBAAA
R
R
R aaaBA
φφθθ ++= aaaA AAA RR
⎪⎩
⎪⎨⎧
===
===
ϕθϕθ
ϕϕθθ
01
RR
RR
·aa·aa·aa·aa·aa·aa
⎪⎩
⎪⎨⎧
=×=×=×
=×=×=×
ϕθθϕϕθ
ϕϕθθ
RRR
RR
, , aaaaaaaaa0aaaaaa
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14
φθsencosya
φθcossenxa
xϕ φθcoscosxa
φaθcosza
φcosya
θφθsensenya
θ− senxa
Ra
θaθ− senza
y
z
⎪⎩
⎪⎨
⎧
φ+−=
θ−φθ+φθ−=
θ+φθ+φθ=
φ
θ
cosθsin
sensencoscoscos
cos sensencossen R
yx
zyx
zyx
aaa
aaaa
aaaa
⎪⎩
⎪⎨
⎧
φ+−=
θ−φθ+φθ=
θ+φθ+φθ=
φ
θ
cosθsin
sensencoscoscos
cos sensencossen R
yx
zyx
zyx
aaa
aaaa
aaaa
0
R
=θ∂
∂
−=θ∂
∂
=θ∂
∂
φ
θ
a
aa
aa
θR
θR
R
aaa
aa
aa
θ−θ−=θ∂
∂
θ=θ∂
∂
θ=φ∂
∂
φ
φθ
φ
cossen
cos
sen
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3. Cálculo vectorial
Diferenciación e integración de vectores:
Sea A(t) = Ax(t) ax + Ay(t) ay + Az(t) az
zyx
x
aaa
aaa
AAA
dtdA
dtdA
dt
dA
t)t(A)tt(A
limt
)t(A)tt(Alim
t)t(A)tt(A
lim
t)t()tt(lim
dt)t(d
zyx
zzz
0tyyy
0t
xx
0t
0t
++=
∆−∆+
+∆
−∆++
∆−∆+
=
∆−∆+
=
→∆→∆→∆
→∆
∫∫∫∫ ++= dt)t(Adt)t(Adt)t(Adt)t( zyx zyx aaaΑ
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Integral de línea:
∫∑ =θ∆=
∞→C
N
1iiiN
d·cosrAlim rA
AAi
A
x y
zri-1
ri-1 + ∆ri
θ
C
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Integral de superficie:
∫∫∑ =∆→∆
sii0s
dsslimi
A·n·nA ii
ds
n
A
S
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Divergencia:
∫∫υ∆=∇=
→υ∆S
0dS1lim div A·n·AA
zA
yA
xA zyx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=∇·A Coordenadas cartesianas
( )z
AAr1rA
rr1 z
r ∂∂
+φ∂
∂+
∂∂
=∇ φ·A Coordenadas cilíndricas
( ) ( )φ∂
∂
θ+θ
θ∂∂
θ+
∂∂
=∇ φθ
ARsen
1senARsen
1ARRR
1R
22·A Coordenadas
esféricas
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Teorema de la divergencia de Gauss
∫∫∫∫∫ =∇SV
dSdV A·n·A
ds
n
dV
A
S
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20
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21
∫∆=×∇=
→∆C
0sd
s1limot r rA·nAARotacional:
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆=×∇=×∇ ∫→∆
uu Cu
0su ds1lim · rA·AaA u
Coordenadas cartesianas: Coordenadas esféricas:
zyx AAAzyx ∂∂
∂∂
∂∂
=×∇
zyx aaa
A
φθ
φθ
θφ∂∂
θ∂∂
∂∂
θ
θ=×∇
ARsenRAAR
RsenR
senR1
R
R
2
aaa
A
Coordenadas cilíndricas
zr
r
ArAAzr
r
r1
φ
φ
∂∂
φ∂∂
∂∂
=×∇
zaaa
A
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Teorema de Stokes
( ) ∫∫∫ =×∇CS
ddS rA·nA ·
dr
ndS
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Dos identidades nulas:
( ) 0A · =×∇∇
( ) 0 =∇×∇ V
0F · =∇
Clasificación de campos. Un campo vectorial F es:
Solenoidal si:
Irrotacional (conservativo) si: 0F =×∇