Especialización Docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria
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MÓDULO: Enseñanza de la Aritmética
La división en los distintos
conjuntos numéricos: el caso de Z
Clase 3
Introducción
Estimados colegas, bienvenidos a esta nueva clase. Continuamos nuestro
recorrido trabajando:
Sobre el funcionamiento de la división por los conjuntos numéricos,
Armando el marco de referencia con el conjunto de números enteros.
Comenzamos con una pregunta:
Quehacer matemático personal (5)
La división entera en Z, ¿forma parte de los contenidos señalados para el
nivel secundario en el Diseño curricular de su provincia? ¿Y en los NAP
(Núcleos de aprendizajes prioritarios)?
Analizar en qué términos se plantea su inclusión y registrarlo en Portafolio personal.
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A pesar de que en esos documentos se indica a la división de enteros como uno de
los contenidos del nivel secundario, resulta bastante difícil encontrar un trabajo con
ella en las aulas.
Se trata -como veremos de una noción compleja y que presenta rupturas con
respecto a los conocimientos previos de los alumnos- ,en particular, la imposibilidad
de considerar a los enteros como cantidades. Se suele escuchar a los alumnos
diciendo: ¿cómo se puede repartir lo que no tengo?
Con frecuencia los autores de libros de texto deciden no incluirlo entre las propuestas
de aprendizaje; por su parte, los docentes tampoco han tenido en general
oportunidad de trabajar con la división entera en su formación inicial.
Por ello, consideramos relevante transitar por un proceso de estudio
en este contexto numérico particular, de acuerdo a los objetivos
generales del Programa nacional de formación permanente Nuestra
Escuela que promueve:
Especializar a los docentes en la enseñanza de una Matemática que se
reconfigura a partir de los aportes de numerosas investigaciones actuales
y trabajos en el marco de su didáctica.
Generar momentos de producción matemática con la finalidad de que
el docente se vincule con esta disciplina desde un modelo actual de
enseñanza, logrando así repensar el aula como un espacio para el
“hacer” y “construir” matemática.
La división en Z
En Z, la división está definida para cualquier par de números enteros a y b con b ≠
0. Podemos afirmar que:
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En Z, dados a y b (dividendo y divisor respectivamente) con b ≠ 0, existen y
son únicos c y r (cociente y resto) de manera tal que se verifica que: a = b.c
+ r y se cumplen las condiciones 0 ≤ r < |b|.
Es importante recalcar que la definición de la división en Z estuvo condicionada por
la definida previamente en N, tanto por el cumplimiento de algunas propiedades
aritméticas -por ejemplo, la relación entre los cuatro elementos de la división como
por conservar la posibilidad de utilizarla en situaciones de medida como, por ejemplo
situaciones de reparto. De esas consideraciones surge las condiciones sobre el resto:
tiene que ser positivo y, por otra, parte menor que el valor absoluto del divisor.
Estas condiciones aparecen como muy “naturales” en N, por tratarse de cantidades
(positivas) y asociado generalmente a situaciones concretas; por lo tanto, es difícil
reflexionar sobre ellas; es justamente en Z donde tal reflexión se carga de sentido.
Por lo tanto, si a y b son dos números naturales con a>b, el cociente y resto que se
obtengan en Z deberán seguir siendo lo que se obtenían en N. Sin embargo, en Z
también será posible dividir en el caso en que a y b sean naturales con a<b,
obteniendo(1) 0 como cociente y al a como resto, acción que no era posible en N. La
extensión realizada tiene que asegurar esa estabilidad.
Considerando ahora cualquier par de elementos de Z,
al igual que en N no se puede afirmar que siempre
exista un cociente entero exacto; solo puede obtenerse
en el caso en que a sea un múltiplo de b, relación esta
que, como se puede observar, se conserva al pasar de
N a Z.
(1)El número cero, si bien
pertenece a Z, no es
positivo ni negativo,
simplemente actúa como
elemento que particiona
en dos subclases de
números al conjunto de
los números enteros.
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Partamos de algunos ejemplos. Si se considerara que también en Z la división
permite resolver problemas de reparto, podría pensarse que, en el caso en que el
dividendo sea un número negativo y el divisor un número positivo, se podría
“repartir” como si se tratara de cantidades, representadas por números positivos.
Por ejemplo, al repartir (-10) entre 3, se podría afirmar que le tocan (-3) a cada uno
y sobra 1, que sería negativo:
-10 = (-3) x 3 + (-1)
o sea, se cumpliría la primera de las condiciones enunciadas. También se cumpliría
que el resto es menor que el divisor (-1) < 3; sin embargo, el resto no sería mayor
que cero.
Si se pretende cumplir también con esta última condición, -3 no puede ser el
cociente.
Pero entonces vale preguntarse:
¿Existirá otro número entero, considerado como cociente, que verifique las
condiciones anteriores y que además sea positivo?
Para responder a esta nueva pregunta podemos recurrir a la caracterización
aritmética que realizamos en la clase anterior de la división en el conjunto de los
números naturales: encontrar el mayor múltiplo del divisor que sea menor que el
Planteamos entonces la pregunta:
¿Cómo encontrar el cociente y el resto de una división entre dos números enteros?
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dividendo o, como decíamos, encuadrar el dividendo entre múltiplos consecutivos del
divisor. Ya que, tal como afirman Courant y Robbins (1979), las ampliaciones
requieren de nuevas técnicas y definiciones que, aunque libres, resultarían inútiles si
no son hechas de manera que las propiedades válidas en el campo original se
conserven al ampliar este. En este caso, la propiedad aritmética en el conjunto de los
números naturales de la división que pretendemos que se conserve es como ya
dijimos: el dividendo se encuadra entre múltiplos consecutivos del divisor.
En el ejemplo anterior, vemos que:
(-9) = (-3) x 3 es un múltiplo del divisor pero es mayor que -10 y por lo tanto el
resto sería menor que 0.
En cambio: (-12) = (-4) x 3 es menor que (-10). El cociente será entonces (-4) y el
resto 2.
Verifiquemos que se cumplen las dos condiciones de la división:
-10 = (-4) x 3 + 2 y además 0 < 2 < 3.
Por lo tanto, entre los dos cocientes posibles, se tomará el que permita asegurar un
resto positivo tal como ocurría en el conjunto de los números naturales.
Veamos otro ejemplo donde el negativo sea el divisor: 10: (-3)
En este caso consideraremos solamente los múltiplos positivos de (-3) ya que se
trata de aproximarse con ellos a 10, los que se obtienen multiplicando a -3 por
números negativos.
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Consideremos:
(-3) x (-1); (-3) x (-2); (-3) x (-3); (-3) x (-4)
Es decir, los números: 3, 6, 9 y 12
Los múltiplos que encuadran al divisor -y que podrían proveer el cociente- son 9 y
12, pero como no debe superar 10 (dividendo), es necesario tomar 9 que
corresponde al múltiplo (-3) x (-3) y, por lo tanto, el cociente será (-3) y el resto 1.
En este caso es donde se ve la necesidad de tomar el valor absoluto del divisor para
comparar el resto, ya que el divisor es negativo.
Estamos considerando el resto como la distancia desde el mayor múltiplo del divisor
menor que el dividendo hasta este valor, el del dividendo.
Queda claro, a partir del análisis anterior, que el significado tan extendido y
disponible de repartir para la división, ya no es un significado de la división en Z.
Quehacer matemático personal (6)
Para profundizar más:
Se sabe que si a y b son dos números naturales con a<b, entonces en Z el
cociente es 0 y el resto a. ¿Sucederá lo mismo si tanto el dividendo como el
divisor son enteros y a<b?
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Discutan sus conclusiones en el Foro habilitado a tal fin.
La regla de los signos
Los ejemplos analizados previamente: (-10):3 y 10:(-3) permiten una reflexión
sobre la conocida “regla de los signos”:
Quehacer matemático personal (7)
Respondan:
¿Cómo se relaciona la regla de los signos con estos ejemplos? Las dos
divisiones anteriores, ¿no deberían tener igual cociente y resto?
Busquen formulaciones de la regla de los signos en libros de texto o en
páginas de Internet. En este último caso, analicen si se explicita en qué
conjunto numérico se está planteando y cuál es la definición de división
que se asume.
Sigamos analizando la regla de los signos. Podría pensarse que no es necesario
ampliar el trabajo realizado con la división en N al pasar a la división en Z, ya que
sería suficiente analizar únicamente el signo del cociente. Por ejemplo, para
determinar el cociente de 10:(-3), ¿sería suficiente realizar - (10:3)? Sin embargo,
ya vimos que el cociente y resto de 10:(-3) no es el mismo que el de (-10):3,
aunque sí lo sea su signo.
La regla de los signos informa sobre el signo del cociente de una división de dos
números. En el caso en que la división sea exacta, el cociente puede encontrarse
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realizando la división en N. Por ejemplo, -6/3 = 6/-3 = - (6/3) = -2 así como (-6)/(-
3) = 6/3 = 2
Sin embargo, sabemos que en Z no todas las divisiones son exactas; entonces, ¿qué
dice la regla de los signos en Z? Esta regla solo se refiere al signo del cociente, pero
no afirma nada sobre el valor del cociente.
Insumo para el Trabajo Final
En cada clase se propondrán actividades que luego se constituirán en
insumos concretos para el Trabajo Final del módulo. Sugerimos que
las vayan resolviendo con tiempo a fin de llegar al final del cursado
con el material elaborado.
Sobre la regla de los signos
Registren aquellos interrogantes que ayudarán a “desplegar” un estudio más
profundo sobre el funcionamiento de la regla de los signos, súbanlo en el
Portafolio.
El trabajo debe ser compartido con el/la tutor/a.
Tiempo para la resolución: dos semanas
Interrogante 1
Se sabe que el cociente de 11:4 es 2 y el resto 3. ¿Se podría recurrir a esa
división para encontrar el cociente y resto de los mismos números pero
cambiando su signo? Es decir, ¿en cuál o cuáles de los siguientes casos se podrá
directamente recurrir al cociente y resto de la división en N, cambiando
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eventualmente el signo:
11:4 11: (-4) (-11): 4 (-11): (-4)
Es interesante relacionar las conclusiones de la tarea
anterior con la representación de la división2 en la
recta numérica que provee una forma de anticipar si el
cociente será en valor absoluto el mismo que en N o
será necesario sumar 1.
Interrogante 2
¿Cómo se puede explicar que, cuando el dividendo es negativo, el
cociente que se obtiene en valor absoluto es uno más que el cociente en N?
Busquen argumentos generales que justifiquen las conclusiones obtenidas para
cualquier división de enteros
Divisiones con números de varias cifras
¿Y qué sucede cuando se trata de dividir números de varias cifras? ¿Cómo
encontrar el cociente?
(2)En la recta se representa
el dividendo y los múltiplos
del divisor próximos al
mismo. También está
indicado el resto de
la división correspondiente.
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Los invitamos a ver el video sobre la división entera en Z, de
Vanesa Daza y Nikolaos Makriyannis.
Disponible en: https://youtu.be/jpSB46xj-cQ
En el video, los autores realizan la división de 4712:23 cuyo cociente es 204 y el
resto 20 y, a partir de la relación 4712 = 23 x 204 + 20, obtienen el cociente y el
resto de las divisiones en las cuales se ha tomado el mismo dividendo y/o divisor
negativos.
Interrogante 3
¿Es suficiente este ejemplo para afirmar que cualesquiera sean los números
correspondientes al dividendo y divisor se pueden obtener los cocientes y restos
recurriendo a los pasos que muestran el video?
Nota bibliográfica
Nicolás Balacheff (1988, tesis doctoral) introduce en la dimensión personal una
clasificación más amplia de tipos de demostración, en la cual el énfasis no está solo
en la relación entre los ejemplos usados y el enunciado que se quiere demostrar,
sino en el motivo por el que los estudiantes usan los ejemplos. Esta investigación se
basa en una experiencia cuyo fin es analizar las respuestas de un grupo de
estudiantes a varios problemas cuya consigna era Demostrar. Balacheff identificó dos
categorías de demostraciones: las pragmáticas, basadas en manipulaciones o en
ejemplos concretos, y las conceptuales, basadas en la formulación abstracta de
propiedades matemáticas y de relaciones deductivas entre ellas.
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En la categoría de demostraciones pragmáticas describe los tipos de empirismo
naif, basado en la verificación del enunciado que hay que demostrar, en unos pocos
ejemplos, normalmente elegidos de manera aleatoria; “experimento crucial”,
basado en la selección cuidadosa de un ejemplo con el convencimiento de que si la
conjetura es cierta en este ejemplo, lo será siempre y “ejemplo genérico” basado
en la selección y manipulación de un ejemplo que actúa como representante de su
clase, por lo que la demostración, aunque sea particular, pretende ser abstracta y
tener validez para toda la clase representada. Probablemente porque los resultados
proceden de experiencias con estudiantes de secundaria no suficientemente
avanzados, la tipología de Balacheff no analiza en profundidad las demostraciones
formales.
Extraído de: http://www.sectormatematica.cl/articulos/angel.pdf, Estrategias de
investigación cuando los marcos teóricos existentes no son útiles. Ángel Gutiérrez.
Universidad de Valencia. Actas del 5º simposio de la SEIEM (Almería, 2001)
Interrogante 4
¿Se puede considerar al del video un ejemplo genérico?
¿Se trata –tanto el dividendo como el divisor– de representantes de la clase números
naturales? Podríamos decir en principio que sí, ya que ambos son números naturales,
pero, ¿valdría la misma conclusión si los números fueron de paridad diferente a la de
ellos?¿O si en lugar de números de 4 y 3 cifras fueron de otras cantidades de cifras?
Podríamos afirmar que sí seguiría valiendo la misma afirmación si se modificara la
paridad o el número de cifras, ya que ninguna de las manipulaciones realizadas
depende de esas dos características. En otras palabras, el primer proceso de
algebrización al cual se “somete” el ejemplo utilizado resulta de generalizar
propiedades de los números involucrados.
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Sin embargo, no es tan claro que no influya que el dividendo sea mayor que el
divisor.
¿Podría no ser válido para un dividendo menor que el divisor?
Por ejemplo, ¿es válido para 23:4712, división que, como sabemos, es posible
realizarla en Z?
Quehacer matemático personal (8)
Prueben si las manipulaciones a los números realizadas en el video son
también válidas para este último ejemplo.
Se puede observar que las manipulaciones que se realizan son características
de un segundo nivel de algebrización: sumar 0 a una expresión y remplazarla
por la suma de opuestos; o multiplicar por 1 a un cierto número y
reemplazarlo por (-1) (-1). Son justamente esas propiedades las que
permitirán realizar afirmaciones para cualquier par de números enteros. Se
trata ahora de usar propiedades de las operaciones aritméticas involucradas,
no ya de propiedades de los números.
Verifiquen que los números con los cuales se trabaja son
representantes de una clase -en este caso de números naturales
permite acercar los razonamientos aritméticos de los alumnos a un
tratamiento algebraico.
En otras palabras, avanzar en un proceso de algebrización de esta técnica
para dividir números enteros exige el tratamiento de un cálculo algebraico
que, indudablemente, sería muy importante manipular para la formación
matemática de nuestros estudiantes de secundaria.
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Para finalizar la clase
Por lo tanto en Z, la división es una relación entre cuatro números enteros que deja
de tener como restricción que el dividendo sea mayor que el divisor, ya que se puede
dividir (poner en relación) cualquier par de números enteros, y encontrar siempre un
único cociente y un único resto pertenecientes al mismo conjunto.
El cociente puede ser igual, mayor o menor que el dividendo.
La división en Z será exacta solamente en el caso en el que dividendo sea un
múltiplo del divisor.
¡Seguimos la semana que viene!
Bibliografía de referencia
Becker, Pietrecola y Sánchez (2001) Aritmética. Editorial Red Olímpica.
Argentina.
Chevallard, Y., Bosch, M. & Gascón, J. (1997). Estudiar matemáticas.
El eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje. Barcelona:
ICE/Horsori. (pág. 125)
Courant y Robbins (1979) Qué es la Matemática. Editorial Aguilar (2da
impresión) Madrid, España.
Saiz, Gorostegui, Vilotta (2011) Problematizar los conjuntos numéricos para
repensar su enseñanza: entre las expresiones decimales y los números
decimales. Educación Matemática México. Vol 23 – Nº. 1 pp. 123 a 151.
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Actividades obligatorias
A continuación les presentamos las actividades para esta clase:
Foro “Relaciones entre los elementos de una división”
Los esperamos en este foro para compartir sus conclusiones respecto del
Quehacer matemático personal (8).
Actividades optativas
Foro “Sobre el Quehacer Matemático Personal (5) (6) (7)”
En este foro los esperamos para compartir sus producciones,
inquietudes, conjeturas sobre las cuestiones planteadas a lo largo de la
clase.
Foro de consultas
Continúa abierto el Foro de Consultas generales del módulo en el cual
podrán presentar inquietudes, problemas o dudas en relación con la
propuesta de trabajo del módulo.
Insumo para el Trabajo Final
En cada clase se propondrán actividades que luego se constituirán en insumos
concretos para el Trabajo Final del módulo. Sugerimos que las vayan resolviendo con
tiempo a fin de llegar al final del cursado con el material elaborado.
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Sobre la regla de los signos
Registren aquellos interrogantes que ayudarán a “desplegar” un estudio
más profundo sobre el funcionamiento de la regla de los signos,
súbanlo en el Portafolio personal.
El trabajo debe ser compartido con el/la tutor/a.
Tiempo para la resolución: dos semanas.
Cómo citar este texto:
Instituto Nacional de Formación Docente. Clase 3: La división en los distintos
conjuntos numéricos: el caso de Z. Enseñanza de la Aritmética. Especialización
docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria.
Buenos Aires: Ministerio de Educación y Deportes de la Nación.
Esta obra está bajo una licencia Creative Commons
Atribución-NoComercial-CompartirIgual 3.0
Autoras del material:
El diseño y escritura de las clases del módulo fue realizado por Irma Elena Saiz y
Silvia Catalina Etchegaray