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Actividad 2. Derivada de funciones trascendentes
Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios determinando la derivada de las funciones o demostrando las expresiones que mencionan.
1. Calcula las siguientes derivadas:
a.
adx
=[√ x2−1x2+1 ]=( x2−1x2+1 )12=u
12 f ' (x )=nun−1° u1
f ´ ( x )=12u
−12 u1
u1
¿(x2−1 )1−(x2+1 )−(x2−1 ) (x2+1 )1
[ x2+1 ]2
¿(2 x ) (x2+1 )−(x2−1)(2x )
[ x2+1 ]2
¿ 2 x3+2x−2x3+2x
[ x2+1 ]2= 4 x
[ x2+1 ]2
¿ 12 ( x2−1x2+1 )
−12 °
4 x
[ x2+1 ]2
¿ 4 x
2√ x2−1x2+1° [ x2+1 ]2
= 2 x
√ x2−1x2+1° [ x2+1 ]2
b. .
senu=cos u° u1
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f ´ ( x )
¿cos( x+4x2−9 )( ( x+4 )1 (x2−9 )−( x+4 ) ( x2−9 )1
[ x2−9 ]2 )¿cos ( x+4x2−9 )[ (1 ) (x2−9 )−(x+4)(2 x)
[ x2−9 ]2 ]¿cos( x+4x2−9 )[ x2−9−2 x2−8 x[ x2−9 ]2 ]
¿cos ( x+4x2−9 )[−x2−8 x−9[ x2−9 ]2 ]
a. .
f ´ ( x )=1nu=1n u1
u=¿¿
b. .
f ´ ( x )
¿[1n (x2+1 )+x3 ]1 (√ x+1 )−[1n (x2+1 )+x3 ] [ ( x+1 )
12 ]1
[ x+1 ]2
¿[ 2 xx2+1+3 x2] (√x+1 )−[1n (x2+1 )+x3 ][ 12 ( x+1 )
−12 (1)]
[√ x+1 ]2
¿ [ [ 2xx2+1 +3 x2] (√x+1 )−[1n (x2+1 )+x3 ]
[√x+1 ]2° 2√x+1 ]¿[ 2xx2+1 +3 x2(√x+1)]
[√x+1 ]2° 2√x+1−
1n (x2+1 )+x3
[ √x+1 ]2° 2√x+1
¿[ 2 xx2+1+3 x2]2 [√ x+1 ]2
−1n (x2+1 )+x3
2 ( x+1 )32
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c. .
f ´ (x)¿
2. Demuestre dados se tiene que:
.
Tenemos que: senh x= ex−e− x
2cosh x= e
x+e− x
2
Sustituyendo
senh ( x+ y )
¿( ex−e−x2 )( e y+e− y2 )+( ex+e− x2 )( e y−e− y2 )¿ e
x+ y+e− y+ x−e−x+ y−e− y− x
4+ e
x+ y−e− y+ x+e−x+ y−e− y−x
4
¿ ex+ y+e− y+ x−e− x+ y−e− y−x+ex+ y−e− y+ x+e−x+ y−e− y− x
4
¿ 2ex+ y−2e− y−x
4=2 (e x+ y−e− y− x )
4= e
x+ y−e− y−x
2
senh ( x+ y )= ex+ y−e− y−x
2
3. Demuestre que dados con y se tiene que:
.
Tenemos que:
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tan (x+ y )
¿sen(x+ y )cos (x+ y)
¿ sen x cos y+sen ycos xcos x cos y−sen x sen y
¿
sen x cos y+sen y cos xcos x cos y
cos xcos y−sen x sen ycos x cosy
=
ses x cos ycos xcos y
+ sen y cos xcos x cos y
cos x cos ycos x cos y
− sen x sen ycos x cos y
¿
sen xcos x
+ sen ycos y
1− sen x cos ycos xcos y
= tan x+ tan y1−tan x° tan y
4. Calcular los siguientes límites:
a.
L1Hopital
f ' ( x )= 5−12x+3 x2
−6−6 x+3 x2=lim ¿x→4 5−12x+3 x
2
−6−6 x+3 x2= 518
b. .
L1Hopital
f ' ( x )= 13−14 x−3x2+4 x3
−31+6 x+21 x2+4 x3=lim ¿ x→1 13−14 x−3 x
2+4 x3
−31+6 x+21 x2+4 x3=00
f ' ' ( x )=−14−6 x+12 x2
6+4 2x+12 x2=lim ¿ x→1−14−6 x+12x
2
6+42 x+12x2=−860
=−215
5. Dada la función definida sobre el intervalo hallar el valor
que satisface .
Tenemos que:
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f ( x )=x3−4 xx=−2 y=0x=2 y=0
[−2 ,2 ]
x=1 y=−3x=−1 y=3
tan (x+ y )
¿sen(x+ y )cos (x+ y)
¿ sen x cos y+sen ycos xcos x cos y−sen x sen y
¿
sen x cos y+sen y cos xcos x cos y
cos xcos y−sen x sen ycos x cosy
=
ses x cos ycos xcos y
+ sen y cos xcos x cos y
cos x cos ycos x cos y
− sen x sen ycos x cos y
¿
sen xcos x
+ sen ycos y
1− sen x cos ycos xcos y
= tan x+ tan y1−tan x° tan y
6. Calcular los siguientes límites:
a.
L1Hopital
f ' ( x )= 5−12x+3 x2
−6−6 x+3 x2=lim ¿x→4 5−12x+3 x
2
−6−6 x+3 x2= 518
b. .
L1Hopital
f ' ( x )= 13−14 x−3x2+4 x3
−31+6 x+21 x2+4 x3=lim ¿ x→1 13−14 x−3 x
2+4 x3
−31+6 x+21 x2+4 x3=00
f ' ' ( x )=−14−6 x+12 x2
6+4 2x+12 x2=lim ¿ x→1−14−6 x+12x
2
6+42 x+12x2=−860
=−215
7. Dada la función definida sobre el intervalo hallar el valor
que satisface .
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Tenemos que:
f ( x )=x3−4 xx=−2 y=0x=2 y=0
[−2 ,2 ]
x=1 y=−3x=−1 y=3
f ' ( x )=3 x2−4f ' (c )=3c2−43c2−4=0
c2=4 /3c=±√4 /3
8. Demuestre que para cuales quiera se cumple:
.
Tenemos que:
∝= x+ y2
β= x− y2
Si
sen (∝+ β )=sen∝ cosβ+senβ cos∝
sen (∝−β )=sen∝cosβ−senβ cos∝
Sumando:
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sen (∝+ β )+sen (∝−β )=sen∝ cosβ+senβ cos∝+sen∝ cosβ−senβcos∝sen (∝+ β )+sen (∝−β )=2 sen∝cosβ
Sustituyendo:
sen[( x+ y2 )+( x− y2 )]+sen[( x+ y2 )−( x− y2 )]=2 sen( x+ y2 )cos ( x−22 )
sen[ x+ y+x− y2 ]+sen [ x+ y−x− y2 ]=2 sen( x+ y2 )cos ( x− y2 )
sen[ 2x2 ]+[ 2 y2 ]=2 sen( x+ y2 )cos ( x− y2 )
sen [x ]+sen [ y ]=2 sen ( x+ y2 )cos ( x− y2 )
9. Dada la función definida en hallar que satisface la
relación .x=1 y=−3x=0 y=0
x=5 y=5x=3 y=−3
f ' ( x )=2 x−42 x−4=0 x=2f ' (c )=2c−4
f (5 )−f (1 )=f ' (c ) (5−1 )5+3= [2c−4 ] (4 )8=8c−16
8c=16+8c=3
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10. Demostrar las siguientes identidades:
a)
Para todo .
Para cos ( x2 )=√ 1+cos x2 tenemos:
cos2a=2cos2a−1 Y a=x /2
Sustituyendo:
cos2( x2 )=2cos2( x2 )−1 cos x=2cos2( x2 )−1⇒cos2( x2 )=cos x+12
cos ( x2 )=√ cos x+12
Para sen( x2 )=√ 1−cos x2 tenemos:
cos2a=1−2 sen2a Y a=x /2
Sustituyendo:
cos2( x2 )=1−2 sen o2( x2 )⇒ cos x=1−2 sen2( x2 ) −sen2( x2 )= cos x−12
⇒ sen( x2 )=√ cos x−12