Download - Matriz inversa(17 08-2012)
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Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente de
A si podemos transformar A en B mediante una combinación de
las operaciones elementales de fila:
Multiplicar una fila de A por un número real
cualquiera diferente de cero.
Intercambiar filas.
Sumar a una fila de A cualquier otra fila.
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Ejemplo:
A=
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Es una matriz cuyos elementos iguales a cero aumentan deizquierda a derecha fila a fila.
Ejemplo:
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Es una matriz escalonada cuyos elementos son iguales a 1, y en sus respectivas columnas son los únicos diferentes de cero.
Ejemplo:
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Se denomina “pivote” al elemento delantero de cada fila diferentede cero. Estos están a la derecha del elemento delantero de la filaanterior.
Pivotes
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Ejercicio:
Reducir la siguiente matriz a su forma escalonada y luego a su formaescalonada reducida por filas.
Matriz escalonada
por filas
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Matriz escalonada
reducida por filas.
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MATRICES REDUCIDAS POR FILAS
Una matriz es reducida por filas si cumple lo
siguiente:
1. El primer elemento no nulo de cada fila,
llamado pivote, es 1.
2. Encima (y debajo) de cada pivote solo hay
ceros
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Ejemplo:
la siguiente matriz es reducida por filas
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MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA POR FILAS
Se cumplen las siguientes condiciones de
matriz escalonada y:
Sus pivotes son todos iguales a 1
En cada fila el pivote es el único elemento no
nulo de su columna.
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Ejemplo:
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MATRIZ INVERSA
Una matriz cuadrada A es invertible si existe una
matriz que denotemos por A-1 que cumple:
A · A-1 = A-1 · A = I
*Encontrar una matriz B de modo que
A · B = B · A = I
Cuando tenemos este caso decimos que dicha
matriz B que cumpla las condiciones anteriores es
la matriz inversa de la matriz A
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Para:
A · A-1 = A-1 · A = I
Donde I es la matriz identidad. En este caso se dice que
A-1 es la inversa de A
Notamos que:
A · A-1 son conmutables
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PROPIEDADES
(A · B)-1 = B-1 · A-1
(A-1)-1 = A
(k · A)-1 = k-1 · A-1
(A t)-1 = (A -1)t
No toda matriz cuadrada tiene inversa, la
condición es que su determinante sea
diferente de cero
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Cálculo de una matriz
inversa:
Ubicamos la matriz A y junto a esta ubicamos la
matriz identidad luego aplicamos el método de
Gauss Jordan.
Al final debemos obtener la matriz identidad pero
en el lado izquierdo y lo que nos quede en el lado
derecho será nuestra matriz inversa.
(A|I) (I|A-1)GAUSS
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EJERCICIO
Hallar la matriz inversa de la matriz An
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F2=F2-F1
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F3=F3+F2
F2=F2-F3
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F1=F1+F2
F2=(-1)F2
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COMPROBACIÓN
A · A-1 = A-1 · A = I