Download - MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
1/42
Matrices
INDICE
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
2/42
Pg.
Introduccin..04
Matrices.....05
Tipos de matrices.05
Operaciones con matrices..08
Igualdad de una matriz...09
Suma de matrices10
roducto de matrices...10
roducto de un escalar por una matriz.11
Matriz in!ersa11
"alculo de la matriz in!ersa1#
Matriz traspuesta .1$
%uto!alores & auto!ectores de una matriz..1$
olinomio caracter'sticos...1(
)iagonalizacion de una matriz ...1(
)eterminante...19
)eterminante por co*actor.19
Matriz co*actor..#1
Matriz ad+unta##
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
3/42
Matriz in!ersa#$
,ectores.#$
Tipos de !ectores..#4
,ectores independiente..#5
,ectores dependiente..#5
-ase canon'ca..#5
Trans*ormacin lineal..#
Sistema de ecuacin lineal#8
Sistema de ecuacin lineales compati/les e incompati/les#8
"onclusin$0
%neos
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
4/42
INTRODUCCION
as matrices & los determinantes son 2erramientas del 3alge/ra ue*acilitan el ordenamiento de datos as' como su mane+o.
as matrices se encuentran en auellos 6m/itos en los ue se tra/a+a
con datos regularmente ordenados & aparecen en situaciones propias de las
"iencias Sociales 7conmicas & -iolgicas.
os determinantes resultan de gran utilidad a la 2ora de resol!er
determinados sistemas de ecuaciones lineales los llamados sistemas de
"ramer discutir la eistencia de solucin de sistemas de ecuaciones
lineales generales mediante el concepto de rango de una matriz & del
Teorema de :ouc2;
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
5/42
Matrices
7s un arreglo /idimensional de n>meros & en su ma&or generalidadde elementos de un anillo. as matrices se usan generalmente para descri/ir
sistemas de ecuaciones lineales sistemas de ecuaciones di*erenciales o
representar una aplicacin lineal dada una /ase. as matrices se descri/en
en el campo de la teor'a de matrices.
as matrices se utilizan para m>ltiples aplicaciones & sir!en en
particular para representar los coe*icientes de los sistemas de ecuaciones
lineales o para representar las aplicaciones lineales? en este >ltimo caso lasmatrices desempe=an el mismo papel ue los datos de un !ector para las
aplicaciones lineales.ueden sumarse multiplicarse & descomponerse de
!arias *ormas lo ue tam/i;n las 2ace un concepto cla!e en el campo del
6lge/ra lineal.
Tipos de matrices
Matriz fila@ Ana matriz *ila est6 constituida por una sola *ila.
# $4
Matriz columnaa matriz columna tiene una sola columna
Matriz rectangulara matriz rectangular tiene distinto n>mero de *ilas ue
de columnas siendo su dimensin mn.
04
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
6/42
Matriz traspuesta)ada una matriz % se llama matriz traspuesta de % a lamatriz ue se o/tiene cam/iando ordenadamente las *ilas por las columnas.
%tt B %
% C -t B %t C -t
D E%t B DE %t
% E -t B -t E %t
Matriz nula@ 7n una matriz nula todos los elementos son ceros.
Matriz cuadradaa matriz cuadrada tiene el mismo n>mero de *ilas ue de
columnas. os elementos de la *orma aii constitu&en la diagonal principal. a
diagonal secundaria la *orman los elementos con iC+ B nC1 siendo n el orden
de la matriz.
Matriz triangular superior7n una matriz triangular superior los elementos
situados por de/a+o de la diagonal principal son ceros.
0
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
7/42
Matriz triangular inferior7n una matriz triangular in*erior los elementos
situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Matriz diagonal 7n una matriz diagonal todos los elementos ueno est6n situados en la diagonal principal son nulos.
Matriz escalar Ana matriz escalar es una matriz diagonal en la
ue los elementos de la diagonal principal son iguales.
Matriz identidad o unidad@ Ana matriz ident idad es una matriz
diagonal en la ue los elementos de la diagonal principal son
iguales a 1.
0
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
8/42
Matriz regular@ Ana matriz regular es una matriz cuadrada uetiene in!ersa.
Matriz singular Ana matriz singular no tiene matriz in!ersa.
Matriz idempotente Ana matriz % es idempotente si@
%#B %.
Matriz in!oluti!a Ana matriz % es in!oluti!a si@
%#B I.
Matriz sim"tricaAna matriz sim;trica es una matriz cuadrada
ue !eri*ica@
% B %t.
Matriz anti sim"trica o #emisim"trica Ana matriz anti sim;trica o2emisim;trica es una matriz cuadrada ue !eri*ica@
% B F% t.
Matriz ortogonalAna matriz es ortogonal si !eri*ica ue@
% E %tB I.
Operaciones con matrices
)adas dos matrices de la misma dimensin % B a i + & - B / i +
se de*ine la matriz suma como@
08
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
9/42
$ % & ' (a i) % * i) +
a matr iz suma se o/t iene sumando los elementos de las dosmatrices ue ocupan la misma posicin.
7+emplo
Igualdad de una matriz
)os matr ices son iguales si t ienen las mismas dimensiones &cada elemento de la primera es igual al elemento de la segunda
ue ocupa su misma posicin. 7s decir@
Mmn
7+emplo
08
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
10/42
,uma de matrices
Si las matrices %Bai+ & -B/i+ tienen la misma dimensin la matriz
suma es@
%C-Bai+C/i+.
a matriz suma se o/tienen sumando los elementos de las dos
matrices ue ocupan la misma misma posicin.
Productos de matrices
)os matrices % & - se dicen multiplica/les si el n>mero de
columnas de % coincide con el n>mero de *ilas de -.
%m n -n p B "m p
7l elemento ci+ del matriz producto se o/tiene
multipl icando cada elemento de la * i la i de la matriz % por cada
elemento de la columna + de la matriz - & sum6ndolos.
10
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
11/42
Producto de un escalar por una matriz
Si multiplicamos una matriz por una escalar multiplicamos
cada elemento de la matriz por ese escalar. 7s decir@ producto
de un n>mero real por una matriz es la aplicacin ue asocia a
cada par *ormado por un n>mero real & una matriz otra matriz
cu&os elementos se o/t ienen mult ipl icando el n>mero real por
todos los elementos de la matriz.
Sea &
Matriz in!ersa
Si pre multiplicamos multiplicamos por la izuierda o pos
mul tipl icamos mult ip li camos por la derec2a una mat riz
cuadrada por su in!ersa o/tenemos la matriz identidad.
% E %F1 B %F1 E % B I
10
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
12/42
Calculo de la matriz in!ersa
"alculamos el determinante de la matriz en el caso ue el
determinante sea nulo la matriz no tendr6 in!ersa.
Gallamos la matriz ad+unta ue es auella en la ue cada
elemento se sustitu&e por su ad)unto.
Calculamos la traspuesta de la matriz ad)unta.
a mat riz in!ersa es igual a l in!erso del !alor de su
determinante por la matriz traspuesta de la ad+unta.
10
http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/adjunto.htmlhttp://www.vitutor.com/algebra/determinantes/adjunto.html -
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
13/42
Matriz transpuesta
)ada una matr iz % se l lama matr iz traspuesta de % a la
matriz ue se o/tiene cam/iando ordenadamente las *ilas por las
columnas
$uto!alores - $uto!ectores de una matriz.
Sea % una matriz cuadrada de orden m. )iremos ue un escalar H "
es un auto!alor de % si eiste un !ector ! "m ! B 0 tal ue %! B H! en
cu&o caso se dice ue ! es un auto!ector de % asociado al auto!alor H.
O/!iamente si tenemos un auto!ector ! de % asociado a un auto!alor
H cualuier m>ltiplo no nulo de ! tam/i;n es un auto!ector de % asociado al
mismo auto!alor H. or otra parte si tenemos dos auto!ectores !1 & !#
asociados a un mismo auto!alor H cualuier com/inacin lineal no nula de
dic2os auto!ectores tam/i;n es un auto !ector de % asociado al mismo
auto!alor H.
O*ser!aciones.
%l 2acer trans*ormaciones *ila o columna so/re una matriz % losauto!alores & los auto!ectores de la matriz ue se o/tiene O guardan
relacion en general con los autoJ !alores & auto!ectores de la matriz
original. 7n general tampoco es cierto ue los auto!alores de una matriz
1$
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
14/42
SumaKrestaKproducto de otras dos sean sumaKrestaKproducto de los
auto!alores de cada uno de los sumandos.
7l concepto de auto!alor & auto!ector no es eclusi!o de los espacios
de coordenadas ni de los espacios !ectoriales de dimensin *inita. or
e+emplo siendo , el espacio !ectorial de las *unciones &@ R LR
inde*inidamente deri!a/les & siendo T @ , L , la aplicacin lineal & FL T& B
& se tiene ue H B 0 es un auto!alor de T & todo polinomio de primer grado
es un auto!ector asociado. or otra parte HB 1 tam/i;n es auto!alor & la
*uncin & B e es un auto!ector asociado.
a Ecuaci/n Caracter0stica.
Proposici/n.)ada una matriz cuadrada % & un numero H0 " son
eui!alentes@
1 H0 es un auto!alor de %.
# 7l sistema 2omog;neo %FH0 I B 0 es un sistema compati/le
indeterminado.
$ dim Nul %FH0 IP1. $Q 7l rango N% F H0 I no es m6imo.
4a matriz %FH0I no tiene in!ersa.
5det N%FH0I B 0.
14
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
15/42
or tanto los auto!alores de % son las soluciones de la ecuacion pH
B det N%FHI B 0. 7sta ecuacin se denomina ecuacin caracter'stica de la
matriz %
Rp H B det N%FHI se denomina polinomio caracter'stico.
7l su/espacio !ectorial ul N%FH0I se denomina espacio propio
asociado al auto!alor H0 notemos ue en general estar a compuesto por
!ectores comple+os los auto!ectores de % asociados aH0 & el !ector nulo
ul N%FH0I B 0U auto!ectores asociados aH0U.
)e manera 2a/itual cuando 2a/lemos de auto!ectores asociados a un
auto!alor nos re*eriremos a una /ase del espacio propio asociado es decir
auto!ectores linealmente independientes de *orma ue cualuier auto!ector
asociado al auto!alor en cuestin sea com/inacin lineal de ellos.
E)emplo.
%dem6s de los e+emplos considerados anteriormente !eamos el
siguiente e+emplo en el ue la matriz % !iene dada. "onsideremos la matriz
% B 1 #
# 1
%uto!alores@ ara cualuier escalar H tenemos ue
%FHI B 1F H #
# 1FH Bdet %FHI B 1FH #F4 B H#F#HF$ B HF$ HC1 .
15
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
16/42
or tanto det %FHI B 0 H B F$ o H B F1.
$uto!ectores
%sociados a H1B $@ son los !ectores noJnulos ue est6n en el espacio nulo
de %F$I
%F$I B 0 V F# # 0 J 1 1 0 1 1
# F# 0 L 0 0 0 B # 1 !1B 1
%sociados a H# B F 1 @ son los !ectores noJnulos ue est6n en el espacio
nulo de % CI
% CI B 0 V F# # 0 J 1 1 0 1 1
# F# 0 L 0 0 0 B # 1 !#B 1
as propiedades re*eridas a auto!alores las podemos agrupar
dependiendo de si pueden o/tenerse directamente de la de*inicin con lo
cual estar6n in!olucrados los auto!ectores o si se o/tienen a partir del
polinomio caracter'stico algunas de ellas pueden o/tenerse de las dos
*ormas.
Proposici/n.Sea H un auto!alor de % & ! un auto!ector asociado
entonces@
1DH es un auto!alor de D% & ! es un auto!ector asociado.
# H W X es un auto!alor de % W XI & ! es un auto!ector asociado.
$HY es un auto!alor de % Z &! es un auto!ector asociado
1
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
17/42
4 Si es un polinomio entonces H es un auto!alor de % & ! es
un auto!ector asociado.
Polinomio caracter0stico
Matriz % de orden m se tiene ue det% J HI es un
polinomio de grado m ue se llama polinomio caracter'stico de %
& se denota por p%H . a ecuacin det %JHI B 0 se l lama
ecuacin caracter'st ica de %. as relaciones ue l igan las
ent radas de una mat riz con los coe*icientes del pol inomio
caracter'st ico son mu& compl icadas. o o/stante c iertos
coe*i cien tes de d ic2o polinomio son / ien conocidos @ el
coe*iciente l'der el siguiente & el t;rmino independiente.
a demostracin de dic2as relaciones se /asa en la de*inicin de
determinante no es demasiado di*'ci l aunue no la incluimos
au'.
Diagonalizaci/n de una matriz
Ana matriz es diagonaliza/le si es cuadrada & el n>mero de !alores
propios es igual al de *ilas o columnas de la matriz. [)iagonalizar una matriz[
se reduce a encontrar sus !ectores & !alores propios. Tomemos la matriz@
1(
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
18/42
Se aplica el teorema de "a&le&JGamilton@
or e+emplo !amos a calcular para !er si se cumple@
& !eamos ue es diagonaliza/le@
7sta matriz tiene los !alores propios@
%s' es una matriz # por # con # !alores propios di*erentesentonces se dice ue es diagoniza/le.Si ueremos diagonalizar
necesitamos calcular los correspondientes !ectores propios. 7llos son@
Ano podr'a !eri*icar *6cilmente esto mediante@
%2ora es la matriz in!erti/le con los !ectores propios de como
columnas
18
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Cayley-Hamiltonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Valor_propiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Valor_propiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Cayley-Hamiltonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Valor_propio -
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
19/42
"on in!ersa
Gallemos a2ora la matriz diagonal usando esta matriz como sigue@
:ealizamos el c6lculo introduciendo los datos@
uego resulta ue eisten matrices & tales ue
"umpliendo & los reuisitos pedidos al principio & por tanto la
matriz es diagonaliza/le.
Definici/n de determinantes
ara una matr iz cuadrada %Nnn el determinante de %
a/re!iado det% es un escalar de* inido como la suma de n\
t;rminos in!olucrando el producto de n elementos de la matriz
cada uno pro!eniente eactamente de una * ila & columna
di*erente. %dem6s cada t;rmino de la suma est6 multipl icado
por J1 C1 dependiendo del n>mero de permutaciones del orden
de las columnas ue contenga.
Determinante por Cofactor.
Si en una matriz eiste alg>n rengln o columna ue sea nuloue
sean puros ceros entonces su determinante ser6 igual a cero
19
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
20/42
Si alg>n rengln o columna es m>ltiplo de otro rengln o columna
su determinante ser6 igual a cero.
Si una matriz tiene dos columnas o renglones iguales tu
determinante ser6 igual a cero.
7n matrices triangulares la determinante ser6 igual ala
multiplicacin de los elementos de su diagonal principal.
Calculo del Determinante
Sea nuestra matriz@ ara tra/a+ar la me+or opcin es tomar la
columna donde 2a&a ma&or n>mero de ceros pues nos *acilitar6 el
tra/a+o. a *rmula para tra/a+ar con los elementos de esa columna ser'a@
]%] B a1$c1$ C a#$c#$ C a$$c$$ C a4$c4$
"omo los elementos a1$ a#$ & a4$ son igual a 0 se cancelan
]%] B a1$c1$ C a#$c#$ C a$$c$$ C a4$c4$
or lo tanto tenemos ue el )et ]%] B a$$c$$.
Tenernos ue calcular el co*actor para as' o/tener el determinante. a
*rmula para calcular es@ "i+ B J1iC+ Mi+ 7s un J1 ele!ado a la potencia i C +
ue multiplica a la matriz reducida Mi+
"$$ B J1$C$ M$$ B J1 M$$
"$$B 1 M$$ B M$$ B ara o/tener esta matriz tomamos las columnas
R renglones no determinadas por M$$.
#0
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
21/42
)e/emos o/tener el determinante de la matriz anterior esto lo
podemos 2acer por el m;todo ue sea de nuestra pre*erencia en este caso
aplicaremos el mismo m;todo de co*actores por lo ue nuestro resultado
ser6@
M$$ B a11c11 B # J11C1 NJ1 J$ J# Se o/tiene de la matriz reducida
M$$ B # E 1 B # "omo &a se 2a calculado M$$ !ol!emos a ]%] B "$$ M$$ &
tenemos ue@
]%] B $ E # B
]%] B
Matriz Cofactor
Sea % una matriz cuadradade orden n .%l uitarle la l'nea i & la
columna + se o/tiene una su/matriz de orden nJ1 ue se denota
2a/itualmente %i+.or e+emplo con n B 4 i B $ & + B #@
7l determinantede esta su/matriz se llama la menor relati!a a la
casilla i +@ M i + B det% i +.
7n el e+emplo M$ # B $4
#1
http://es.wikipedia.org/wiki/Matrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadradahttp://es.wikipedia.org/wiki/Determinantehttp://1.bp.blogspot.com/_IRsI6z_ADQA/SigNxNB2DdI/AAAAAAAAAF8/As4xke2ZAbA/s1600-h/1.bmphttp://es.wikipedia.org/wiki/Matrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadradahttp://es.wikipedia.org/wiki/Determinante -
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
22/42
7l co*actor de ai+ es decir el co*actor relati!o a la casilla i + de la
matriz % B ai+ es la menor multiplicada por el signo J1 i C +. Se le nota c i
+ B J1 i C + E Mi+ o ai+ con una tilde encima.
7n el e+emplo c $ # B J15 ^ $4 B J$4.
a matriz de los co*actores de % se llama la comatriz de % & se nota
com % o % con una tilde encima. a comatriz sir!e para calcular la matriz
in!ersade % cuando eiste gracias a la relacin@ %Etcom % Btcom % E % B det
%E In donde In es la matriz identidad de orden n.
Matriz $d)unta
a matr iz ad+unta es auel la en la ue cada elemento se
sustitu&e por su ad+unto.
Se llama ad+unto del elemento ai+ al menor complementarioanteponiendo@
7l signo es C si iC+ es par.
7l signo es J si iC+ es impar.
7+emplo
##
http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_inversahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_inversahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_inversahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_inversa -
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
23/42
Matriz in!ersa
Se dice ue una matriz cuadrada % es in!ersi/le si eiste una matriz
- con la propiedad de ue %E- B -E% B IsiendoI la matriz identidad.
)enominamos a la matriz - la in!ersa de % & la denotamos por %J1.
Ana matriz se dice ue es in!ersi/le o regular si posee in!ersa. 7n
caso contrario se dice ue es singular.
1ectores
Se llama !ector de dimensin a una tuplade n>meros realesue
se llaman componentes del !ector. 7l con+unto de todos los !ectores
de dimensin se representa como *ormado mediante el producto
cartesiano.
%s' un !ector perteneciente a un espacio se representa como@
le*t donde
An !ector tam/i;n se puede !er desde el punto de !ista de
la geometr'acomo !ector geom;tricousando *recuentemente el espacio
tridimensional /idimensional .
An !ector *i+o del plano eucl'deo es un segmento orientado en el ue 2a&
ue distinguir tres caracter'sticas@1#$
mdulo@ la longitud del segmento
direccin@ la orientacin de la recta
sentido@ indica cual es el origen & cu6l es el etremo *inal de la recta
#$
http://es.wikipedia.org/wiki/Tuplahttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector#Eqnref_lefthttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_geom%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector#cite_note-definicion1-1http://es.wikipedia.org/wiki/Vector#cite_note-definicion2-2http://es.wikipedia.org/wiki/Vector#cite_note-definicion2-2http://es.wikipedia.org/wiki/Vector#cite_note-definicion3-3http://es.wikipedia.org/wiki/Tuplahttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector#Eqnref_lefthttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_geom%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector#cite_note-definicion1-1http://es.wikipedia.org/wiki/Vector#cite_note-definicion2-2http://es.wikipedia.org/wiki/Vector#cite_note-definicion3-3 -
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
24/42
7n ingl;s la pala/ra [direction[ indica tanto la direccin como el
sentido del !ector con lo ue se de*ine el !ector con solo dos caracter'sticas@mdulo & direccin.4
os !ectores *i+os del plano se denotan con dos letras ma&>sculas por
e+emplo ue indican su origen & etremo respecti!amente.
Tipos de !ectores
ECTORE, E2UIPOENTE,."uando dos !ectores tienen el mismomdulo direccin & sentido se dice ue son euipolentes. _`u;
uiere decir `ue miden igual se encuentran en l'neas paralelas &
apuntan 2acia el mismo lado. 1ECTORE, I&RE,7l con+unto de los !ectores euipolentes reci/e
el nom/re de !ectores li/res. 7s decir ue un !ector li/re es el grupo
de !ectores ue cuentan con el mismo modulo direccin & sentido. 1ECTORE, 3I4O,un !ector *i+o es el representante de un !ector
li/re. 7s decir ue estos ser6n iguales slo si tienen igual mdulodireccin sentido & si cuentan con el mismo punto inicial
1ECTORE, I5$DO, son auellos !ectores euipolentes ue se
encuentran en la misma recta. %s' esta clase de !ectores tendr6n la
igual direccin mdulo sentido & adem6s *ormar6n parte de la misma
recta. 1ECTORE, OPUE,TO, cuando dos !ectores tienen la misma
direccin el mismo mdulo pero distinto sentido reci/en el nom/re de
!ectores opuestos. 1ECTORE, UNIT$RIO,son !ectores de mdulo uno. Si se uiere
o/tener un !ector unitario con la misma direccin & sentido a partir del
!ector dado se de/e di!idir a este >ltimo por su mdulo.
#4
http://es.wikipedia.org/wiki/Vector#cite_note-englishdefinition-4http://es.wikipedia.org/wiki/Vector#cite_note-englishdefinition-4 -
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
25/42
1ECTORE, CONCURRENTE, si dos !ectores tienen el mismoorigen se los denomina !ectores concurrentes
DEREC6O, RE,ER1$DO, Se permite la total o parcial
reproduccin del contenido siempre & cuando se reconozca & se
enlace a este art'culo como la *uente de in*ormacin utilizada.
1ectores Independientes.
7s linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito
con una com/inacin linealde los restantes. or e+emplo en :$ el con+unto
de !ectores 1 0 0 0 1 0 & 0 0 1 es linealmente independiente
mientras ue # F1 1 1 0 1 & $ F1 # no lo es &a ue el tercero es la
suma de los dos primeros.
1ectores Dependiente
)ado un con+unto *inito de !ectores se dice ue estos
!ectores son linealmente dependientes si eisten n>meros no
todos iguales a cero tales ue@
&ase can/nica
a /ase cannica o /ase usual es una coleccin de !ectores
linealmente independientes cu&o n>mero coincide con la dimensindel
propio espacio !ectorial.
)e entre las in*initas /aseseistentes la /ase cannica est6
normalizada es decir los mdulosde los !ectoresson unitarios o lo ue es
#5
http://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Unitariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Unitario -
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
26/42
lo mismo !alen una unidad m;trica seg>n el sistema de re*erencias
utilizado.%dem6s en geometr'a euclidiana los !ectores de la /ase se *i+an a un
punto de aplicacin com>n ue es el punto de origen del sistema de
re*erencia o punto cero.
Todas estas caracter'sticas 2acen ue la /ase cannica sea >nica
para cada espacio !ectorial.
Atilizando el operador interno aditi!oadicinde !ectores & operador
eterno productoproducto de un escalarpor un !ector caracter'sticos de
todo espacio !ectorial generan com/inaciones linealesde la siguiente *orma@
Sean H X b se leen respectivamente: lambda, mu, nu J una *orma
de representar a tres n>meros cualesuiera o escalares reales o comple+os.
Sea la /ase cannica para el espacio eucl'deo para el
espacio siendo sus coordenadas re*eridas en ese
espacio@
An !ector cualuiera puede ser representado a tra!;s de una
com/inacin lineal@
Ejemplo
Transformaciones lineales
Sean , & espacios !ectoriales
#
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Aditivohttp://es.wikipedia.org/wiki/Adici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Vectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Aditivohttp://es.wikipedia.org/wiki/Adici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Vectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_lineal -
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
27/42
Sea T una *uncin cu&o dominio con+unto de salida es , &
cu&o codomio con+unto de llegada es entonces
T@,JJJJ
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
28/42
,istema de ecuaciones lineales
un sistema de ecuaciones lineales tam/i;n conocido como sistema
lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal es un con+unto
de ecuaciones linealeses decir un sistema de ecuacionesen donde
cada ecuacines de primer grado de*inidas so/re uncuerpoo un anillo
conmutati!o. An e+emplo de sistema lineal de ecuaciones ser'a el siguiente@
7l pro/lemaconsiste en encontrar los !aloresdesconocidos de las
!aria/lesx1x#&x$ue satis*acen las tres ecuaciones.
7l pro/lema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los m6s
antiguos de la matem6tica & tiene una in*inidad de aplicaciones como
en procesamiento digital de se=ales an6lisis estructural estimacin
prediccin & m6s generalmente en programacin linealas' como enla aproimacinde pro/lemas no lineales dean6lisis num;rico.
,istema de ecuaciones lineales incompati*le
)e un sistema se dice ue es incompati*lecuando no presenta
ninguna solucin. or e+emplo supongamos el siguiente sistema@
as ecuaciones se corresponden gr6*icamente con dos rectas am/as
con la misma pendiente %l ser paralelas no se cortan en ning>n punto es
decir no eiste ning>n !alor ue satis*aga a la !ez am/as ecuaciones
#8
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuacioneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_de_ecuacioneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_digital_de_se%C3%B1aleshttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_estructuralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Aproximaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Paralelahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuacioneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_de_ecuacioneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_digital_de_se%C3%B1aleshttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_estructuralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Aproximaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Paralela -
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
29/42
Matem6ticamente un sistema de estos es incompati/le cuando el
rango de la matriz del sistema es in*erior al rango de la matriz ampliada. Anacondicin necesaria para ue esto suceda es ue el determinante de la
matriz del sistema sea cero@
,istema de ecuaciones lineales compati*le
Si tiene solucin en este caso adem6s puede distinguirse entre@
Sistema compati/le determinado cuando tiene una >nica solucin.
Sistema compati/le indeterminado cuando admite un con+unto in*inito
de soluciones.
#9
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
30/42
CONCU,ION
Se llama matriz a todo cuadro de n>meros distri/uidos en *ilas &
columnas. as matrices se utilizan en el c6lculo num;rico en la resolucin de
sistemas de ecuaciones lineales de las ecuaciones di*erenciales & de las
deri!adas parciales. %dem6s de su utilidad para el estudio de sistemas de
ecuaciones lineales las matrices aparecen de *orma natural en geometr'a
estad'stica econom'a in*orm6tica *'sica entre otros.
% tra!;s del m;todo de medicin es posi/le o/tener el !alor de laresultante & del 6ngulo de dic2o !ector. % continuacin se presentan dos
e+emplos ilustrati!os del m;todo del pol'gono para la o/tencin del !ector
resultante usando el proceso de medicin.
$0
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
31/42
ANEXOS
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
32/42
E)ercicios de Matriz
N7 8
"alcular@
% C -? % F -? % -? - %? %t.
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
33/42
N7 9
)emostrar ue@ %#
F % F # I B 0 siendo@
N7 :
Sea % la matriz . Gallar %n para n
-
7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc
34/42
N7 ;
Sea % la matriz . Gallar %n para n
N7