Matemáticas
MATEMÁTICAS.
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Sesión No. 3
Nombre: Ecuaciones cuadráticas y desigualdades
Contextualización Ahora nos toca estudiar las ecuaciones de segundo grado también conocida por
ecuaciones cuadráticas.
Las ecuaciones cuadráticas tienen distintos métodos para resolverse y llegar a
su solución tales como factorización y la fórmula cuadrática.
Extraído de: http://matematica-practica.wikispaces.com/file/view/funcio_cuadratica.gif/167487333/funcio_cuadratica.gif solo para fines educativos.
También introduciremos el concepto de desigualdad para aprender a resolver
desigualdades lineales y cuadráticas con una sola variable e introducir la
notación de intervalo.
Aprenderemos también a resolver ecuaciones y desigualdades que contengan
valor absoluto.
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Introducción al Tema Una ecuación cuadrática es una ecuación que puede ser escrita en forma
ax2 + bx + c, donde a, b, y c son constantes y a≠0.
Una ecuación cuadrática es de grado dos, ya que la potencia más grande que
aparece en ella es la segunda.
• ¿Cómo encontramos las raíces de una ecuación cuadrática?
• ¿Se podrá dar solución a una ecuación cuadrática con un simple despeje
de variable?
• ¿Qué es una desigualdad lineal?
• ¿Su solución será igual a la de una igualdad lineal?
Suponga que a y b son dos puntos sobre a recta de los números reales.
Entonces a y b coinciden, o a se encuentra a la izquierda de b o viceversa.
Los enunciados a>b y b<a son equivalentes.
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Explicación Ecuaciones cuadráticas.
Se tienen algunos métodos para resolver las ecuaciones de segundo grado uno
de ellos es la factorización, a continuación explicaremos el uso de este método.
Factorización
Un método útil para resolver ecuaciones cuadráticas está basado en la
factorización como lo muestran los siguientes ejemplos.
EJEMPLO 1: Resolver
x2 -2x +3 = 0 a = 1 b = -2 c = 3
(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2]
(x + ) (x - ) = 0 Hay que buscar dos números que multiplicados te
den el valor de c y sumados te den el valor de b
(x +1) (x – 3) = 0 1 y –3 1 + -3 = -2
1 · -3 = -3
x + 1 = 0 x – 3 = 0
x = 0 – 1 x = 0 + 3
x = -1 x = 3
Éstas son las dos soluciones de la ecuación cuadrática, las llamadas raíces.
Algunas ecuaciones no cuadráticas pueden resolverse por factorización.
EJEMPLO 2: Resolución de ecuaciones de grado superior por factorización.
Resolver: 9x – 9x3 = 0.
Solución: ésta es una ecuación de tercer grado.
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9x – 9x3 = 0.
9x (1 – x2) = 0. Se saca de factor común el 9x
9x (1 – x) (1 + x) = 0. Se factoriza con binomios conjugados.
Haciendo cada factor igual a cero, se despeja la variable simple:
9x = 0 1 – x = 0 1 + x = 0
X = 0 x = 1 x = -1
Por lo tanto {0, 1, -1} son las raíces de la ecuación de tercer grado.
Formula cuadrática.
Las raíces de una ecuación cuadrática ax2 + bx +c = 0, en donde a, b y c son
constantes y a≠0, están dadas por:
𝑥 = −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎
EJEMPLO 3: Utilizando la formula general, resuelve las siguientes ecuaciones
cuadráticas:
𝟑𝒘𝟐 − 𝟏𝟐𝒘 + 𝟏𝟐 = 𝟎
𝑥 =−(−12) ± �(−12)2 − 4(3)(12)
2(3)
𝑥 =12 ± √144 − 144
6
𝑥 =12 ± √0
6
𝑥1 =126
= 2 𝑥2 =126
= 2
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𝟔𝒔𝟐 + 𝟕𝒔 − 𝟓 = 𝟎
a= 6 b=7 c= -5
𝑥 =−7 ± �(7)2 − 4(6)(−5)
2(6)
𝑥 =−7 ± √49 + 120
12
𝑥 =−7 ± √169
12
x =−7 ± 13
12
𝑥1 =−7 + 13
12=
612
=12
𝑥2 =−7 − 13
12=−2012
= −53
Desigualdades y valor absoluto
Una desigualdad es un enunciado que establece que un número es menor que
otro. Los símbolos de desigualdad son:
“ < “ se lee menor que “ > “ se lee mayor que
“ ≠ “ se lee diferente “ ≥ “ se lee mayor o igual que
“ ≤ “ se lee menor o igual que
Definición de desigualdad lineal.
Un desigualdad lineal en una variable x es aquella que puede escribirse en la
forma ax+b<0, donde a y b son constantes y a≠0.
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Extraído de: http://1.bp.blogspot.com/_N13uQdQiL48/S-tOWn-hs7I/AAAAAAAAAJo/n9OTXA6sc_4/s320/inec_1_resuelto.jpg solo para fines educativos.
Tipos de intervalos
Extraído de: http://3.bp.blogspot.com/_XvDbc0EeXYo/SN_YVBhJGJI/AAAAAAAAAAM/FxvgAW-yZq8/s400/intervalos.JPG solo para fines educativos
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Desigualdades cuadráticas.
Extraído de: http://4.bp.blogspot.com/_N13uQdQiL48/S-tP7kl0xvI/AAAAAAAAAKA/x_hu95TrIK0/s320/inec_prop.jpg solo para fines educativos.
Desigualdades con valor absoluto.
La siguiente tabla muestra un resumen de las soluciones:
Desigualdad (d >0) Solución
|x| < d -d < x < d
|x| ≤ d -d ≤ x ≤ d
|x| > d X < -d o x > d
|x|≥ d x≥ d o x ≤ d
Ejemplo:
|3 − 2x|≥ 4 3 − 2x ≥ 4 (-1)(-2x) ≥ 1(-1) x ≤ - 1/2
3 − 2x ≥ -4 (-1)(-2x) ≥ (-7)(-1) x ≤ 7/2
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Conclusión En esta sesión aprendimos que una ecuación cuadrática es de segundo grado y
tiene la forma ax2 + bx +c = 0, donde a≠0. Tiene dos raíces reales y diferentes,
exactamente una raíz real o bien no tiene raíces reales. Puede ser resuelta ya
sea por factorización o por medio de la formula cuadrática.
También aprendimos a solucionar desigualdades lineales y cuadráticas simples
dando la solución en notación de intervalo abierto o cerrado y además se incluyó
un ejemplo con valor absoluto. Todo esto con el uso de una sola variable.
En la siguiente sesión aprenderemos el uso de las Funciones algebraicas y sus
gráficas.
Extraído de: http://3.bp.blogspot.com/-Q9zMrtOE_5Q/UL-BvFysmJI/AAAAAAAAATI/lKRANNoyxow/s1600/Funciones+Algebraicas.JPG solo para fines educativos.
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Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer
tu aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.
• Math2me. (2010). Tipos de ecuaciones cuadráticas. Consultado el día 10
abril del 2014 de: https://www.youtube.com/watch?v=hAL4hx26n60
• (2013). Intervalos, definición y uso. Consultado el día 10 de abril del 2014
de : https://www.youtube.com/watch?v=E47WUl4XvKA
• (2013). Desigualdades de primer grado. Consultado el día 10 de abril del
2014 de : https://www.youtube.com/watch?v=SPlxEjqOxUQ
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá
desarrollar los ejercicios con más éxito.
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Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesión acerca de las ecuaciones cuadráticas,
desigualdades y valor absoluto, resuelve:
I.- Responde si la siguiente expresión es una ecuación cuadrática o no lo es:
a) 3x + 4 – x2 ___________________________________
b) 2x + 8x2+20xy ___________________________________
c) 2x2- x + 1 ___________________________________
d) x1/2 +4x + 4 ___________________________________
II.- Resuelve las siguientes desigualdades:
1. 2x – 3 < 4 + 7x
2. |x – 7| < 2
Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la
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Bibliografía
Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias sociales
y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall hispanoamericana, S.A.