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Material distribuido a establecimientos educacionales del Programa Escuelas Arriba y a escuelas rurales.
SEMANA 1
Matemática
GUÍA PARA ESTUDIANTES
Guía de actividades de apoyo
Estimado y estimada estudiante:
Las actividades que desarrollarás en la siguiente guía te permitirán comprender las potencias de base racional y exponente entero: transfiriendo propiedades de la multiplicación y división de potencias a los ámbitos numéricos correspondientes, relacionándolas con el crecimiento y decrecimiento de cantidades y resolviendo problemas de la vida diaria y otras asignaturas.
OBJETIVO DE LA GUÍA:
Comprender las potencias de base racional y exponente entero.
NOMBRE:
CURSO: LETRA: FECHA:
ESTABLECIMIENTO:
II MEDIO
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2
MATEMáTICASEMANA 1
GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA II MEDIO
ACTIVIDAD N° 1
El día de hoy trabajaremos identificando aquellas multiplicaciones que se expresan en forma de potencias e identificar sus partes: base, exponente y potencia.
Algunas multiplicaciones se pueden expresar como potencia. Por ejemplo, el volumen de un paralelepípedo es v = h • a • b donde, h = alto, a = largo y b = ancho.
1. Escribe como potencia y determina su valor.
i.
ii.
iii.
iv.
Cuando un número está presentado en forma de potencia, el exponente expresa la cantidad de veces que se debe multiplicar la base.
v = 5cm • 5cm • 5cmv = 5 • 5 • 5cm • cm • cmv=53 • cm3 ⟹ v = 125cm3
• En este caso el 5 es un factor que se multiplica 3 veces.
• La unidad de medida tambien es un factor que se multiplica 3 veces.
v = 8cm • 3cm • 5cmv = 8 • 3 • 5cm • cm • cmv = 120cm3
• La unidad de medida tambien es un factor que se multiplica 3 veces.
5cm
5cm 5cm
5cm
8cm
3cm
BASE
EXPONENTE
53
0,1 • 0,1 • 0,1 =
10 • 10 • 10 • 10 =
• ••12
12
12
12 =
8 • 8 • 8 • p • p • p • p • p =
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MATEMáTICASEMANA 1
GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA II MEDIO
2. Desarrolla las siguientes potencias, indicando su valor.
3. Explicaladiferenciaentre5²y2⁵
4. Explica la diferencia entre: ¿(7 - 5)² por qué no es igual a 7² - 5² ?
3⁴=
(-2)⁵=
(-1)⁶=
⁵34 =( )
i.
ii.
iii.
iv.
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MATEMáTICASEMANA 1
GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA II MEDIO
ACTIVIDAD N° 2
El día de hoy conoceremos el concepto de crecimiento exponencial, donde reconoceremos el valor de potencias cuyo exponente es positivo, cero o negativo.
i. Determina el valor de las siguientes potencias de base 2 y explica qué sucede con los resultados a medida que disminuye el exponente.
ii. Ahora ¿qué pasa en el caso de la potencia de base 2 y exponente 0 (20)? ¿Cuál es su resultado?
iii. Aplica la misma conclusión para determinar los siguientes resultados.
Potencia de base 2 exponente ℕ
Potencia de base 2 exponente negativo
2⁴=2•2•2•2=162³ = 2 • 2 • 2 = 8
2² = 2 • 2 = 42¹ = 2 = 2
2-¹ =
2-² =
2-³ =
2-⁴=
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MATEMáTICASEMANA 1
GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA II MEDIO
( ) ( )( )
iv. Completa las siguientes tablas.
v. ¿Cuál es el valor de las siguientes potencias?
vi. Expresa como potencias de exponente positivo las siguientes potencias:
Todas las potencias de exponente negativo se pueden expresar como potencias de exponente positivo.
Potencia
Por ejemplo:
Resultado
3⁴ = 4⁴ =
3⁰ = 4⁰ =
5⁰ = 12⁰ = 6⁰ =
3² = 4² =
3-² = 4-² =
3³ = 4³ =
3-¹ = 4-¹ =
3¹ = 4¹ =
3-³ = 4-³ =
³ ²-²12
43
34= =2-³
( )-¹14 = ( )-¹2
3 = ( )-¹56 =
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MATEMáTICASEMANA 1
GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA II MEDIO
vii. El crecimiento diario de una bacteria es en base 2, es decir, el día que se comienza la observación, día 0 (cero) hay una bacteria, el primer día habrá 2 bacterias, el segundo día tendremos 4 bacterias y así sucesivamente.
¿Cuántas bacterias habrá en diferentes días? Completa la siguiente tabla, indicando la cantidad de bacterias existentes en diferentes días y exprésalos como potencias.
viii. ¿Cuál de las siguientes alternativas tiene el mismo resultado a la suma de potencias 26 + 20?
a. 43 + (9-8)2 = b. 82 + 1 = c. 92+ 32 - 52 =
Solo a. Solo b. Solo c. a., b., c.
ix. Si el volumen de un cubo es 36 cm3, ¿cuánto mide cada una de las aristas del cubo?
a. 30
b. 31
c. 32
d. 33
A medida que pasan los días, ¿qué pasan con la cantidad de bacterias?
Día Cantidad de bacterias
Potencia
0
1
2
3
4
5
...
n
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MATEMáTICASEMANA 1
GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA II MEDIO
ACTIVIDAD N° 3
Hoy reconocerás procedimientos para multiplicar potencias de igual base o exponente.
i. Escribe en forma de potencia.
Propiedades del producto de potencias.
Multiplicación de potencias de igual base.
an • am=a(n+m)
Ejemplo1 25 • 23 • 24 = 2(5+3+4) = 212
Ejemplo2 38 • 92 = 38 • 9 • 9 = 38 • 32 • 32 = 3(8+2+2) = 312
Resuelve los siguientes ejercicios:
52 • 53 • 54 = 51
x( ) •x12 • x0 =
p2 • p4 • -51
p( ) = a(x+5) • a(x-5) = 32 • 93 • 272 = 83 • 162 • 44 =
Multiplicación de potencias de igual exponente.
an • bn = (a • b)n
Ejemplo1 43 • 53 = (4 • 5)3 = 203
Ejemplo2 4 4 4 43
535
3 • 155 • 18
1518
1518• •= = =( )
412( )( ( ( ) ) )
p • p • p • p • p • p = p6 27 = 33
5 • 5 • a • a • a = 52 • a3 (-1) • (-1) = (-1)2
7 • y • y • y = 7y3 (-4) • r • r = -(2r)2
2b • 2b • 2b = (2b)3 x • x • x • x • x = x5
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8
MATEMáTICASEMANA 1
GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA II MEDIO
( )Resuelve los siguientes ejercicios:
ii. El ejercicio que se te presenta a continuación tiene igual base e igual exponente.
Resuelve usando ambas propiedades.
7 74075
30080•
(2x-1)1a =( )(2x-1)
a •
(x+2)16 =
(x+2)(x+2)43 ••
=
2 3 534
34
43• • =( ) ( ) ( )
3 3 312
12
12• • =( ) ( ) ( )
( ) ( )
74 • 54 • 24 =
ap • bp • cp =
Propiedad 1Multiplicación de potencias de igual base
Propiedad 2Multiplicación de potencias de igual exponente
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MATEMáTICASEMANA 1
GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA II MEDIO
ACTIVIDAD N° 4
Hoy reconocerás procedimientos para dividir potencias de igual base o exponente.
A continuación, te presentamos 3 círculos donde se han trazado 3 líneas, las que han dividido al círculo en distintas regiones. Según como fueron trazadas, se obtiene una cantidad diferente de regiones.
¿Cómo trazar las líneas para obtener la máxima cantidad de regiones? Observa.
Un círculo se puede dividir por intermedio de “n” líneas, hasta llegar a un máximo de 12( ) (n2 + n) + 1 regiones.
En este caso, si usamos 3 líneas tendremos un máximo de 7 regiones.12( ) 1
212
12(n2 + n) + 1 = (32 + 3) + 1 = (9 + 3) + 1 = •12+1=6+1=7
i. Usando la expresión algebraica 12( ) (n2 + n) + 1 determina la cantidad máxima
y mínima de regiones que se pueden encontrar al trazar.
Cantidad de líneas
Cantidad máxima de regiones
Cantidad mínima de regiones
0123456
1
11
23
4
5
67
2
3
45
3
2
4
4 regiones mínimo 7 regiones máximo 6regiones
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MATEMáTICASEMANA 1
GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA II MEDIO
ii. ¿Cuál es la máxima cantidad de regiones para 7 líneas? ¿Podrías representarlas?
Propiedad de la división de potencia
División de potencias de igual base
an • am = a ( n - m )
Ejemplo1 25 : 23 = 2(5 - 3) = 22
Ejemplo2 215 : 83 = 215
23 • 23 • 23215
29= = 26
iii. Resuelve los siguientes ejercicios:
iv. ¿Qué se obtiene al reducir la expresión a(2x - 1)
a(-3x + 3) ?
Ejemplo1 65 : 25 =(6:2)5 = 35
Ejemplo2 8 82
58
25: =( ) ( )85
4( )8 825
25
825
258: •= =( ( ) )
División de potencias de igual exponente
La cantidad máxima de regiones es
515 : 257 =
a5x : a3x =
a) a(-x+2) b) a(-4+5x) c) a(-x-4) d) a(5x+2)
5 314
12: =( ) ( )
5 -525
52: =( ) ( )
bm : am = ( b : a ) m
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MATEMáTICASEMANA 1
GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA II MEDIO
v. ¿Qué se obtiene al reducir la expresión (-5)17
(-5)14 ?
viii. El ejercicio que se te presenta a continuación tiene igual base e igual exponente. Resuelve usando ambas propiedades.
vi. ¿Cuál es el valor de la expresión 3 31
413: =( ) ( ) ?
vii. Al resolver
b) 1 c) -1250
123
d) -125
3112( )
45445( )
43081( )
334( )
343( )
565( ) ( )
469
4
4
6959
=( )( )
3 312
12: =( ) ( )
Propiedad 1División de potencias de igual base
Propiedad 2División de potencias de igual exponente
a) 125
a)
a)
b)
b)
c)
c)
d)
d)
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MATEMáTICASEMANA 1
SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA II MEDIO
( )
ACTIVIDAD N° 1
El día de hoy trabajaremos identificando aquellas multiplicaciones que se expresan en forma de potencias e identificar sus partes: base, exponente y potencia.
Algunas multiplicaciones se pueden expresar como potencia. Por ejemplo, el volumen de un paralelepípedo es v = h • a • b donde, h = alto, a = largo y b = ancho.
1. Escribe como potencia y determina su valor.
•
•
•
•
Cuando un número está presentado en forma de potencia, el exponente expresa la cantidad de veces que se debe multiplicar la base.
v = 5cm • 5cm • 5cmv = 5 • 5 • 5cm • cm • cmv=53 • cm3 ⟹ v = 125cm3
• En este caso el 5 es un factor que se multiplica 3 veces.
• La unidad de medida tambien es un factor que se multiplica 3 veces.
v = 8cm • 3cm • 5cmv = 8 • 3 • 5cm • cm • cmv = 120cm3
• La unidad de medida tambien es un factor que se multiplica 3 veces.
5cm
5cm 5cm
5cm
8cm
3cm
BASE
EXPONENTE
50,1 • 0,1 • 0,1 =
⁴
10 • 10 • 10 • 10 =
• ••12
12
12
12 = =1
21
16
(0,1)³ = 0,001
10⁴ = 10.000
8 • 8 • 8 • p • p • p • p • p = 83p5 = 512p3
SOLUCIONARIO DE LA GUÍA
3
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MATEMáTICASEMANA 1
SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA II MEDIO
2. Desarrolla las siguientes potencias, indicando su valor.
3. Explicaladiferenciaentre5²y2⁵
4. Explica la diferencia entre: ¿(7 - 5)² por qué no es igual a 7² - 5² ?
3⁴=
En la primera potencia 52 indica que la base (5) se debe multiplicar 2 veces dando como resultado 25.
La segunda potencia 25 indica que la base 2 se debe multiplicar 5 veces, dando como resultado 32.
En el primer caso se debe resolver primero el paréntesis y el resultado obtenido se debe elevar al cuadrado.
En el segundo caso se deben resolver las potencias en primera instancia y luego, realizar la sustracción entre los resultados obtenidos.
(7 - 5)² = 2² = 4
7² - 5² = 49 - 25 = 24
3 • 3 • 3 • 3 • = 81
(-2)⁵= (-2) • (-2) • (-2) • (-2) • (-2) = -32
(-1)⁶= (-1) • (-1) • (-1) • (-1) • (-1) • (-1) • = 1
=34
34
34
34
34
2431024
⁵34 =( )
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MATEMáTICASEMANA 1
SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA II MEDIO
ACTIVIDAD N° 2
El día de hoy conoceremos el concepto de crecimiento exponencial, donde reconoceremos el valor de potencias cuyo exponente es positivo, cero o negativo.
i. Determina el valor de las siguientes potencias de base 2 y explica qué sucede con los resultados a medida que disminuye el exponente.
ii. Ahora ¿qué pasa en el caso de la potencia de base 2 y exponente 0 (20)? ¿Cuál es su resultado?
iii. Aplica la misma conclusión para determinar los siguientes resultados.
Potencia de base 2 exponente ℕ
Potencia de base 2 exponente negativo
El resultado de la potencia disminuye a la mitad cada vez que el exponente disminuye en 1.
2⁰ = 1
2⁴=2•2•2•2=162³ = 2 • 2 • 2 = 8
2² = 2 • 2 = 42¹ = 2 = 2
2-¹ = 12
2-² = 14
2-³ = 18
2-⁴= 116
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MATEMáTICASEMANA 1
SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA II MEDIO
( ) ( )( )
iv. Completa las siguientes tablas.
v. ¿Cuál es el valor de las siguientes potencias?
vi. Expresa como potencias de exponente positivo las siguientes potencias:
Todas las potencias de exponente negativo se pueden expresar como potencias de exponente positivo.
Potencia Potencia
Por ejemplo:
Resultado Resultado
3⁴ = 4⁴ =
3⁰ = 4⁰ =1
5⁰ = 1 12⁰ = 1 6⁰ = 1
1
3 4
9 16
27 64
81 256
3² = 4² =
3-² = 4-² =19
116
3³ = 4³ =
3-¹ = 4-¹ =13
14
3¹ = 4¹ =
3-³ = 4-³ =127
164
³ ²-²12
43
34= =2-³
²324 6
5( ) ( )( )-¹14 = ( )-¹2
3 = ( )-¹56 =
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MATEMáTICASEMANA 1
SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA II MEDIO
vii. El crecimiento diario de una bacteria es en base 2, es decir, el día que se comienza la observación, día 0 (cero) hay una bacteria, el primer día habrá 2 bacterias, el segundo día tendremos 4 bacterias y así sucesivamente.
¿Cuántas bacterias habrá en diferentes días? Completa la siguiente tabla, indicando la cantidad de bacterias existentes en diferentes días y exprésalos como potencias.
viii. ¿Cuál de las siguientes alternativas tiene el mismo resultado a la suma de potencias 26 + 20?
a. 43 + (9-8)2 = 64 + 12 = 65 b. 82 + 1 = 64 + 1 = 65 c. 92+ 32 - 52 = 81 + 9 - 25 = 65
Solo a. Solo b. Solo c. a., b., c.
ix. Si el volumen de un cubo es 36 cm3, ¿cuánto mide cada una de las aristas del cubo?
a. 30
b. 31
c. 32
d. 33
A medida que pasan los días, ¿qué pasan con la cantidad de bacterias?
A medida que aumentan los días la población de bacterias se duplica.
Día Cantidad de bacterias
Potencia
0 1 20
1 2 21
2 4 22
3 8 23
4 16 24
5 32 25
... ... ...
n 2n
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MATEMáTICASEMANA 1
SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA II MEDIO
ACTIVIDAD N° 3
Hoy reconocerás procedimientos para multiplicar potencias de igual base o exponente.
i. Escribe en forma de potencia.
Propiedades del producto de potencias.
Multiplicación de potencias de igual base.
an • am=a(n+m)
Ejemplo1 25 • 23 • 24 = 2(5+3+4) = 212
Ejemplo2 38 • 92 = 38 • 9 • 9 = 38 • 32 • 32 = 3(8+2+2) = 312
Resuelve los siguientes ejercicios:
52 • 53 • 54 = 59 51
x( ) •x12 • x0 = x7
p2 • p4 • -51
p( ) = p11 a(x+5) • a(x-5) = a(2x)
32 • 93 • 272 = 314 83 •162 • 44 = 225
Multiplicación de potencias de igual exponente.
an • bn = (a • b)n
Ejemplo1 43 • 53 = (4 • 5)3 = 203
Ejemplo2 4 4 4 435
35
3 • 155 • 18
1518
1518• •= = =( )
412( )( ( ( ) ) )
p • p • p • p • p • p = p6 27 = 33
5 • 5 • a • a • a = 52 • a3 (-1) • (-1) = (-1)2
7 • y • y • y = 7y3 (-4) • r • r = -(2r)2
2b • 2b • 2b = (2b)3 x • x • x • x • x = x5
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MATEMáTICASEMANA 1
SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA II MEDIO
( )Resuelve los siguientes ejercicios:
ii. El ejercicio que se te presenta a continuación tiene igual base e igual exponente.
Resuelve usando ambas propiedades.
7 74075
30080•
(2x-1)1a =( )(2x-1)
a •
(x+2)16 =
(x+2)(x+2)43 ••
=
2 3 534
34
43• • =( ) ( ) ( )
3 3 312
12
12• • =( ) ( ) ( )
( ) ( )
74 • 54 • 24 =
ap • bp • cp =
704
(abc)p27
1
2(x+2)
1
Propiedad 1Multiplicación de potencias de igual base
Propiedad 2Multiplicación de potencias de igual exponente
3 3 3 (3 + 3 + 3)
9
9
9
(3 + 3 + 3)
9
12
12
12
12
12
121
51212
12
12
• • =
=
=
=
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( ) 9
9
3 3 3
(3)
(3)
12
12
12
18
18
1512
• • =
=
=
=
( ) ( ) ( )(3)1
212
12• •( )
(3)12
12
12• •( ) ( )
( ) 3183
3183
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MATEMáTICASEMANA 1
SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA II MEDIO
ACTIVIDAD N° 4
Hoy reconocerás procedimientos para dividir potencias de igual base o exponente.
A continuación, te presentamos 3 círculos donde se han trazado 3 líneas, las que han dividido al círculo en distintas regiones. Según como fueron trazadas, se obtiene una cantidad diferente de regiones.
¿Cómo trazar las líneas para obtener la máxima cantidad de regiones? Observa.
Un círculo se puede dividir por intermedio de “n” líneas, hasta llegar a un máximo de 12( ) (n2 + n) + 1 regiones.
En este caso, si usamos 3 líneas tendremos un máximo de 7 regiones.12( ) 1
212
12(n2 + n) + 1 = (32 + 3) + 1 = (9 + 3) + 1 = •12+1=6+1=7
i. Usando la expresión algebraica 12( ) (n2 + n) + 1 determina la cantidad
máxima y mínima de regiones que se pueden encontrar al trazar.
Cantidad de líneas
Cantidad máxima de regiones
Cantidad mínima de regiones
0 1 11 2 22 4 33 7 44 11 55 16 66 22 7
1
11
23
4
5
67
2
3
45
3
2
4
4 regiones mínimo 7 regiones máximo 6regiones
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MATEMáTICASEMANA 1
SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA II MEDIO
ii. ¿Cuál es la máxima cantidad de regiones para 7 líneas? ¿Podrías representarlas?
Propiedad de la división de potencia
División de potencias de igual base
an • am = a ( n - m )
Ejemplo1 25 : 23 = 2(5 - 3) = 22
Ejemplo2 215 : 83 = 215
23 • 23 • 23215
29= = 26
iii. Resuelve los siguientes ejercicios:
iv. ¿Qué se obtiene al reducir la expresión a(2x - 1)
a(-3x + 3) ?
Ejemplo1 65 : 25 =(6:2)5 = 35
Ejemplo2 8 82
58
25: =( ) ( )85
4( )8 825
25
825
258: •= =( ( ) )
División de potencias de igual exponente
La cantidad máxima de regiones es
12( ) (n2 + n) + 1 = 1
2 (72 + 7) + 1
12
(49 + 7) + 1
12 •56 + 1 = 29
515 : 257 =
a5x : a3x = a2x
55 31
412: =( ) ( )
5 -525
52: =( ) ( )
712( )1
bm : am = ( b : a ) m
a) a(-x+2) b) a(-4+5x) c) a(-x-4) d) a(5x+2)
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MATEMáTICASEMANA 1
SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA II MEDIO
v. ¿Qué se obtiene al reducir la expresión (-5)17
(-5)14 ?
viii. El ejercicio que se te presenta a continuación tiene igual base e igual exponente. Resuelve usando ambas propiedades.
vi. ¿Cuál es el valor de la expresión 3 31
413: =( ) ( ) ?
vii. Al resolver
4
4
6959
=( )( )
3 312
12: =( ) ( )
Propiedad 1División de potencias de igual base
Propiedad 2División de potencias de igual exponente
3 3 (3 - 3)12
12
12: =( ) ( ) ( )
0(3 - 3) 12
12 = ( )( )
0
112 =( ) 113 =
3 312
12: =
=
( ) ( ) )31
212:(
)31
212:( )
312
21•(
b) 1 c) -1250
123
d) -125
3112( )
45445( )
43081( )
334( )
343( )
565( ) ( )
469
a) 125
a)
a)
b)
b)
c)
c)
d)
d)