Download - Matemàtiques 2
![Page 1: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/1.jpg)
1 1 1
MATEMÀTIQUES 2
CFA LES ROQUETES
1
![Page 2: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/2.jpg)
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
2 2
ÍNDEX
POLÍGONS
I PITÀGORES.RAONS TRIGONOMÈTRIQUES
UNITAT 1 : ANGLES, TRIÀNGLES,
UNITAT 2 : TEOREMA DE TALES
UNITAT 3: ÀREES I VOLUMS
ANNEX: UNITATSACTIVITATS PER PRACTICAR
2
![Page 3: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/3.jpg)
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
I A U
NIT
AT
1A
NG
LE
S I
TR
I AN
GL
ES
11
ANGLES I TRIANGLES
2 2
Unitat 1
2
POLÍGONS, CIRCUNFERÈNCIA, PERÍMETRE
3
![Page 4: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/4.jpg)
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA U
NIT
AT
1A
NG
LE
S I
TR
IAN
GL
ES
13
Rellotge 1 Rellotge 2 Rellotge 4Rellotge 3
1. Angle: concepte i unitat de mesura
Observa els rellotges següents:
Cada rellotge marca una hora diferent. L’hora ve determinada per la posició de
les agulles del rellotge: l’agulla petita assenyala les hores i la gran assenyalaels minuts.
La posició de les agulles determina un angle entre elles.
L’angle L’angle L’angle L’angle L’angle és la porció del pla formada per dues semirectes que tenen un origen comú.
En el nostre cas les dues semirectes són les agulles del rellotge i l’origen comúel seu punt d’unió. El punt en comú de les dues semirectes és el vèrtexvèrtexvèrtexvèrtexvèrtex del’angle i les dues semirectes són els costats.
Hem utilitzat el criteri d’anomenar r1 i r
2 a les semirectes i O al vèrtex de l’angle.
Com pots observar en la figura següent, dues semirectes amb origen comú
formen dos angles.
3 3 3 4
![Page 5: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/5.jpg)
14
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA U
NIT
AT
1A
NG
LE
S I
TR
IAN
GL
ES
Fixa’t en el quart rellotge. Observa que l’obertura entre les dues agulles ésnul·la. Però, segons el que acabem de veure, també es pot considerar com
l’angle determinat per les dues agulles tota la circumferència.
El grau sexagesimalgrau sexagesimalgrau sexagesimalgrau sexagesimalgrau sexagesimal és la unitat que s’acostuma a fer servir per mesurar angles.
Per tant, en el primer cas, és evident que l’angle determinat per les dues agu-lles mesura zero graus. En canvi, en el segon cas, el sistema sexagesimal ator-el sistema sexagesimal ator-el sistema sexagesimal ator-el sistema sexagesimal ator-el sistema sexagesimal ator-
ga a la circumferència un valor de 360 graus.ga a la circumferència un valor de 360 graus.ga a la circumferència un valor de 360 graus.ga a la circumferència un valor de 360 graus.ga a la circumferència un valor de 360 graus.
Així doncs, un grau correspon a una de les 360 parts iguals en què es potdividir la circumferència.
Probablement la definició del grau sexagesimal es deu als astrònoms de l’anti-
ga Babilònia, que dividien el cel en 360 parts, cada una de les quals correspo-nia a un dia de l’any (avui dia, però, diem que l’any té 365 dies). El sistema denumeració dels babilònics era un sistema sexagesimal, és a dir, un sistema de
base 60. Per aquest motiu cada grau es divideix en 60 parts iguals anomena-des minuts i cada minut es divideix en 60 parts iguals anomenades segons.Segur que ja t’has adonat que aquest mateix sistema és el que es fa servir per
mesurar el temps. Les unitats que s’utilitzen per mesurar el temps són les ho-res, els minuts i els segons.
Circumferència 360º 360 graus sexagesimals
Grau sexagesimal 60’ 60 minuts sexagesimalsMinut sexagesimal 60’’ 60 segons sexagesimals
· Activitats d’aprenentatge 1 i 2
2. Tipus d’angles
En aquesta situació la quarta part d’una circumferència mesura 90º.
Els angles que mesuren 90º s’anomenen angles rectesrectesrectesrectesrectes. Es formen quan les duessemirectes són perpendiculars.
4 4 4 5
![Page 6: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/6.jpg)
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA U
NIT
AT
1A
NG
LE
S I
TR
IAN
GL
ES
15Fixa’t que en el primer rellotge hi ha representat un angle recte.
Un angle és agutagutagutagutagut si és més petit que un angle recte (<90º).
Un angle és obtúsobtúsobtúsobtúsobtús si és més gran que un angle recte (>90º).
Fixa’t que en el segon rellotge hi ha representat un angle obtús i que en el
tercer rellotge hi ha representat un angle agut.
Hi ha altres angles que reben noms especials. Alguns d’ells ja els hem vist comés el cas de:
L’angle completcompletcompletcompletcomplet, que mesura 360º
I l’angle nulnulnulnulnul, que mesura 0º.
Un altre angle especial és el plaplaplaplapla, que mesura 180º.
5 5 5 6
![Page 7: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/7.jpg)
16
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA U
NIT
AT
1A
NG
LE
S I
TR
IAN
GL
ES
Els angles consecutius consecutius consecutius consecutius consecutius tenen un costat i el vèrtex en comú.
Si a més de consecutius els seus costats no comuns formen un angle pla, s’ano-menen adjacentsadjacentsadjacentsadjacentsadjacents.
Dos angles són complementariscomplementariscomplementariscomplementariscomplementaris si les seves mesures sumen 90º.
Dos angles són suplementarissuplementarissuplementarissuplementarissuplementaris si les seves mesures sumen 180º.
El criteri que utilitzarem per representar els angles és una lletra majúsculaamb un circumflex (Â).
· Activitats d’aprenentatge 3 i 4
3. Mesura d’angles
Per mesurar angles s’utilitza el semicercle graduat o transportador d’anglessemicercle graduat o transportador d’anglessemicercle graduat o transportador d’anglessemicercle graduat o transportador d’anglessemicercle graduat o transportador d’angles.Es tracta d’un semicercle dividit en 180 parts o graus sexagesimals. Per mesu-
rar un angle es fa coincidir el punt central del transportador amb el vèrtex del’angle i la base del transportador amb un dels costats de l’angle.
· Activitat d’aprenentatge 5
6 6 6 7
![Page 8: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/8.jpg)
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA U
NIT
AT
1A
NG
LE
S I
TR
IAN
GL
ES
174. Operacions amb angles
Suma d’angles
Vegem un exemple de suma d’angles.
Observa aquests dos rellotges:
Inicialment el rellotge marca les 15:30 hores. Després de 15 minuts, el rellotge
marca les 15:45 hores. Fixa’t amb els angles determinats per les agulles delrellotge. L’angle inicial és un angle recte. L’angle final és un angle pla. A mesuraque passen els minuts, l’agulla gran avança. Observa que aquesta agulla entre
la seva posició inicial (assenyalant el 6) i la seva posició final (assenyalant el 9)determina també un angle recte. Si afegim aquest angle recte a l’angle recteinicial resulta que l’angle final és un angle pla.
90º + 90º = 180º
Per sumar dos angles  i Ê es segueixen els passos següents:
Es construeix un angle igual a  amb l’ajut del transportador.
Es construeix un angle igual a Ê de manera que  i Ê siguin angles consecutius,també amb l’ajut del transportador.
Aquest és l’angle suma.
Resta d’angles
Per restar dos angles es segueix un procés similar al de la suma però per comp-tes d’afegir graus a l’angle inicial n’hi haurem de treure. Això sí, l’angle inicialha de ser més gran que l’angle que li traiem.
Es construeix un angle igual a  amb l’ajut del transportador.
Es construeix a sobre d’Â un angle igual a l’angle Ê amb l’ajut del transporta-dor.
7 7 7 8
![Page 9: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/9.jpg)
18
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA U
NIT
AT
1A
NG
LE
S I
TR
IAN
GL
ES
Aquest és l’angle resta.
Multiplicació d’un angle per un nombre natural
Multiplicar un angle per un nombre natural és el mateix que sumar aquest
angle tantes vegades com indiqui el nombre natural.
Divisió d’un angle en dos angles iguals. Bisectriu
La semirecta que passa pel vèrtex d’un angle dividint-lo en dos trossos igualss’anomena bisectriubisectriubisectriubisectriubisectriu. Si es dibuixa la bisectriu d’un angle, automàticament s’ob-tenen les dues meitats de l’angle.
La construcció de la bisectriu d’un angle es pot fer amb regle i compàs.
Agafem el compàs i prenem com a centre el vèrtex de l’angle. Tracem un arcque, en tallar amb els costats de l’angle determina dos punts C i D. Per lamanera com s’han construït observa que C i D estan a la mateixa distància
del vèrtex O.
Tracem dos arcs de circumferència prenent com a centres els punts C i D, deradi igual i suficientment gran per tal que els dos arcs es tallin.
Unim aquest punt de tall dels dos arcs amb el vèrtex de l’angle i ja tenim la
bisectriu.
· Activitats d’aprenentatge 6, 7, 8 i 9
8 8 8 9
![Page 10: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/10.jpg)
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA U
NIT
AT
1A
NG
LE
S I
TR
IAN
GL
ES
195. Triangle: Concepte i característiques
Estaràs d’acord que és impossible de dibuixar una figura plana tancada amb
només dos costats. Com a mínim en necessitaràs tres.
El triangletriangletriangletriangletriangle és el polígon de menor nombre de costats que existeix.
Està format per tres costats, tres vèrtexs i tres angles.
Criteri de nomenclatura
Anomenarem A, B i C els vèrtexs d’un triangle, per això quan parlem del triangleens referirem al triangle ABC. Pels costats utilitzarem les lletres a, b i c, corres-ponents als vèrtexs oposats. Els angles els simbolitzarem amb la mateixa lletra
que el vèrtex corresponent però amb un circumflex.
La construcció del triangle es pot fer amb regle i compàs.
Tracem un segment igual al costat a. Els extrems d’aquest costat seran òbvia-ment dos vèrtexs (B i C) d’aquest triangle.
Tracem un arc que té com a centre el vèrtex C i com a radi la longitud del costatb. Tracem un altre arc que té com a centre el vèrtex B i com a radi la longitud
del costat c. El punt de tall d’aquests dos arcs serà el tercer vèrtex (A) deltriangle.
Tanmateix no n’hi ha prou amb tres costats qualssevol per construir un trian-
gle.
9 9 9 10
![Page 11: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/11.jpg)
20
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA U
NIT
AT
1A
NG
LE
S I
TR
IAN
GL
ES
ACTIVITAT
Intenta construir un triangle amb les següents mesures per als seus costats:
a = 6 cm
b = 4 cm
c = 1 cm
Solució
La construcció d’un triangle amb aquestes dades no és possible.
Un costat qualsevol d’un triangle ha de ser sempre més petit que la suma delsUn costat qualsevol d’un triangle ha de ser sempre més petit que la suma delsUn costat qualsevol d’un triangle ha de ser sempre més petit que la suma delsUn costat qualsevol d’un triangle ha de ser sempre més petit que la suma delsUn costat qualsevol d’un triangle ha de ser sempre més petit que la suma dels
altres dos i més gran que la diferència.altres dos i més gran que la diferència.altres dos i més gran que la diferència.altres dos i més gran que la diferència.altres dos i més gran que la diferència.
En canvi en l’exemple que hem plantejat: 6 > 4 + 1
Si es pren un triangle qualsevol i es retallen els seus tres angles interiors, és adir, les seves “puntes”, en col·locar els tres angles consecutivament a sobred’una línia recta, com si es tractés d’un ventall, s’observa que formen un angle
pla.
La suma dels angles interiors d’un triangle és un angle pla o de 180º. La suma dels angles interiors d’un triangle és un angle pla o de 180º. La suma dels angles interiors d’un triangle és un angle pla o de 180º. La suma dels angles interiors d’un triangle és un angle pla o de 180º. La suma dels angles interiors d’un triangle és un angle pla o de 180º.
· Activitats d’aprenentatge 10 i 11
10 10 10 11
![Page 12: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/12.jpg)
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA U
NIT
AT
1A
NG
LE
S I
TR
IAN
GL
ES
216. Classificació de triangles
Els triangles es poden classificar segons els seus costats i segons els seus angles.
Classificació segons els costats
Triangle equilàter: té tots tres costats iguals
Triangle isòsceles: té dos costats iguals
Triangle escalè: no té cap costat igual
Classificació segons els angles
Triangle rectangle: conté un angle recte
Triangle obtusangle: conté un angle obtús
Triangle acutangle: té tots tres angles aguts
· Activitats d’aprenentatge 12, 13 i 14
7.7.7.7.7. Punts i rectes notables d’un trianglePunts i rectes notables d’un trianglePunts i rectes notables d’un trianglePunts i rectes notables d’un trianglePunts i rectes notables d’un triangle
Mediatrius i circumcentre
La mediatriu d’un segment és la recta perpendicular que passa pel punt migdel segment. La recta i el segment són perpendiculars quan l’angle que deter-minen és de 90º.
Les mediatrius d’un triangle són les mediatrius dels seus costats. Si es tracen les tresmediatrius d’un triangle es tallen en un punt que s’anomena circumcentre. Agafa elcompàs i punxa’l a sobre del circumcentre. A continuació pren com a radi la distàn-
cia que hi ha entre el circumcentre i un dels vèrtexs del triangle. Si hi dibuixes aques-ta circumferència obtindràs la circumferència circumscrita al triangle.
11 11 11 12
![Page 13: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/13.jpg)
22
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA U
NIT
AT
1A
NG
LE
SI
TR
IAN
GE
S
Bisectrius i incentre
Les bisectrius d’un triangle són les bisectrius dels seus angles. Les tres bisec-trius d’un triangle es tallen en un punt que s’anomena incentre. Agafa el com-pàs i punxa’l a sobre de l’incentre. Tot seguit pren com a radi la distància entre
l’incentre i un dels costats del triangle. Si hi dibuixes aquesta circumferènciaobtindràs la circumferència inscrita al triangle.
Altures i ortocentre
L’altura d’un triangle és la recta perpendicular a un costat o a la seva prolonga-
ció des del vèrtex oposat. Les tres altures d’un triangle es tallen en un puntque s’anomena ortocentre.
Mitjanes i baricentre
La mitjana d’un triangle és el segment que uneix un vèrtex amb el punt mitjàdel costat oposat. Les tres mitjanes d’un triangle es tallen en un punt que s’ano-
mena baricentre.
El baricentre és el centre de gravetat del triangle.
· Activitats d’aprenentatge 15 i 16
L
12 12 12 13
![Page 14: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/14.jpg)
1
Un polígon és una porció de pla limitada per una línia poligonal tancada (línia poligonal: l'origen de cada segment coincideix amb el final de l'anterior). Els segments de recta que formen la poligonal són els costats del polígon. Els vèrtexs d'un polígon són els punts comuns a dos costats consecutius. Els polígons es classifiquen, segons els costats que tinguin, en:
• triangles (3) • quadrilàters (4) • pentàgons (5) • hexàgons (6) • heptàgons (7) • octògons (8) • decàgons (10) • dodecàgons (12)
Un polígon és convex si té tots els angles interiors convexos, és a dir, més petits que 180°.
Un polígon és còncau si té algun angle interior còncau, és a dir, més gran que 180°.
Una diagonal d'un polígon és un segment que uneix dos vèrtexs no consecutius.
De cada vèrtex d'un polígon convex d'n costats surten tantes diagonals com costats té el polígon menys tres: n- 3. Això és així perquè no s'ha de tenir en compte el vèr-tex de partida ni, tampoc, els dos consecutius, ja que determinarien costats i no diago-nals. Fixeu-vos que un polígon té el mateix nombre de costats que de vèrtexs i angles.
De cada vèrtex d'un pentàgon surten 5 – 3 = 2 diagonals.
De cada vèrtex d'un hexàgon surten 6 – 3 = 3 diagonals.
8. POLÍGONS
L
SE
GN
AIR
T IS
EL
GN
A1
T
AU
NIT
13 13 13 14
![Page 15: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/15.jpg)
És fàcil deduir que el
nombre total de diagonals que té un polígon convex d'n costats és
ÉS així perquè el nombre de diagonals que parteixen de cada vèrtex (n- 3) s'ha de multiplicar pel nombre de vèrtexs (n); però, com que d'aquesta manera cada diagonal es compta dues vegades, s'ha de dividir entre dos.
El perímetre d’un polígon és la suma de les longituds dels seus costats.
L
SE
GN
AIR
T IS
EL
GN
A1
T
AU
NIT
14
PERÍMETRE
14 14 15
![Page 16: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/16.jpg)
1
Un quadrilàter és un polígon que té quatre costats. Els quadrilàters poden ser convexos o bé còncaus.
Els quadrilàters convexos es poden classificar de la manera següent:
Trapezoides: no tenen costats paral·lels.
Trapezis: tenen dos costats paral·lels.
Paral·lelograms: tenen els quatre costats paral·lels dos a dos.
Cada diagonal divideix un paral·lelogram en dos triangles iguals i els costats oposats d'un paral·lelogram tenen la mateixa longitud. Això és conseqüència que els segments de paral·leles compresos entre paral·leles són iguals.
Els costats: AD = BC, AB = DC
Els angles
A A A A A A 1=5, 3=4, 2=6;
Per tant, els triangles ABC i ADC són iguals. Les diagonals d'un paral·lelogram es tallen al punt mitjà
MA MC, MB MD= =
L
SE
GN
AIR
T IS
EL
GN
A1
T
AU
NIT
19
QUADRILÀTERS I POLÍGONS REGULARS
1 QUADRILÀTERS
15 15 16
![Page 17: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/17.jpg)
2
Els paral·lelograms es poden classificar en:
La suma dels angles d'un quadrilàter és 360° (quatre angles rectes).
Efectivament. Considerem el quadrilàter ABCD. Tracem una de les diagonals, per exemple BD. Tenim dos triangles i, a cadascun, la suma dels angles és 180°. S'acompleix:
A A A 1+2+A =180º
A A A 3+4+C =180° per tant, A A A A A A 1+2+3+4+A+C=360°.
A A A A A A A A A A A la figura veiem que 1 +3 =D i 2+4=B, així: A+B+C+D = 360°
Romboides: els paral·lelograms més generals, amb costats oposats iguals, angles oposats iguals i angles contigus suplementaris (sumen 180°).
Aquestes propietats també són vàlides per als paral·lelograms següents, però tenen més propietats característiques.
Rectangles: els quatre angles rectes i les diagonals iguals. Tenen dos eixos de simetria.
Rombes: els quatre costats iguals diagonals perpendiculars. Tenen dos eixos de simetria.
Quadrats: els quatre angles rectes i els quatre costats iguals (rectangle i rombe alhora). Tenen quatre eixos de simetria.
L
SE
GN
AIR
T IS
EL
GN
A1
T
AU
NIT
20 16 16 17
![Page 18: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/18.jpg)
Un polígon regular té tots els costats iguals (és equilàter) i, també, tots els angles iguals (és equiangle). Per cert, ¿podríeu dir els noms dels tres polígons de la figura? Vermell:_____________ ____________ Verd:________________ Blau:________________ ____________ Si els costats no són iguals el polígon és irregular.
El perímetre d'un polígon és la suma de les longituds de tots els costats. El centre(O) d'un polígon regular és el punt del qual equidisten tots els vèrtexs. L’apotema d'un polígon regular és el segment de perpendicular traçat des del centre al punt mitjà d'un costat qualsevol.
L
SE
GN
AIR
T IS
EL
GN
A1
T
AU
NIT
21
2 POLÍGONS REGULARS
17 17 18
![Page 19: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/19.jpg)
1
La circumferència és una corba plana i tancada tots els punts de la qual equidisten d'un punt interior que és el centre de la circumferència. Si unim el centre amb qualsevol punt de la corba tenim el radi de la circumferència. Diàmetre és un segment de recta que uneix dos punts d'una circumferència i que passa pel centre. Un diàmetre divideix la circumferència en dos parts iguals. La longitud del diàmetre és el doble de la longitud del radi. Corda és un segment de recta els extrems del qual són punts de la circumferència. La major corda que es pot traçar és la que passa pel centre, que és el diàmetre. Si dividim la longitud (L ) o perímetre d'una circumferència pel seu diàmetre (d) obtenim sempre el mateix resultat. Això ja es coneixia a la Grècia antiga i es designava aquest nombre resultant amb la lletra pi: π . El nombre π és irracional (té infinites xifres decimals que no es repeteixen periòdica-ment) i, per això, als càlculs podem agafar un valor aproximat arrodonit: 3,14. Amb calculadora, si fem servir la tecla π , podem fer els càlculs amb major exactitud. Es pot fer la comprovació experimental que agafant diversos objectes circulars i mesurant tant la seva longitud com el seu diàmetre. Veurem que els resultats del quocient L : d són sempre nombres pròxims a 3,14; si no surt exactament el mateix és a causa dels errors comesos en mesurar les longituds. La fórmula per trobar la longitud de la circumferència és, per tant, πL d= ⋅ . També es pot escriure en funció del radi (r ) de la circumferència, ja que sabem que d 2 r= ⋅ i, llavors,
Un cercle és la porció de pla limitada per una circumferència.
Una corona circular és la porció de pla compresa entre dues circumferències concèntriques.
Un sector circular és la porció de pla compresa entre dos radis i l'arc corresponent.
Un segment circular és la porció de pla compresa entre una corda i l'arc corresponent.
πLd
=
πL 2= r
9. CIRCUMFERÈNCIA. CERCLE
L
SE
GN
AIR
T IS
EL
GN
A1
T
AU
NIT
22 18 18 19
![Page 20: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/20.jpg)
1
El perímetre d'un polígon és la suma de les longituds de tots els costats.
A la sessió 4 de la quinzena 1 ja vam parlar de que, si dividim la longitud (L ) o perímetre d'una circumferència pel seu diàmetre (d), obtenim sempre el mateix resultat. Això ja es coneixia a la Grècia antiga i es designava aquest nombre resultant amb la lletra pi: π . El nombre π és irracional (té infinites xifres decimals que no es repeteixen periòdica-ment) i, per això, als càlculs podem agafar un valor aproximat arrodonit: 3,14. Amb calculadora, si fem servir la tecla π , podem fer els càlculs amb major exactitud. Es pot fer la comprovació experimental que agafant diversos objectes circulars i mesurant tant la seva longitud com el seu diàmetre. Veurem que els resultats del quocient L : d són sempre nombres pròxims a 3,14; si no surt exactament el mateix és a causa dels errors comesos en mesurar les longituds. La fórmula per trobar la longitud de la circumferència és, per tant, πL d= ⋅ . També es pot escriure en funció del radi (r ) de la circumferència, ja que sabem que d 2 r= ⋅ i, llavors,
En una circumferència, la longitud d'un arc és directament proporcional a la seva amplitud, és a dir, al valor de l'angle central corresponent:
Per tant,
πLd
=
πL 2= r
πarco o
L 2 rn 360
⋅ ⋅=
π o
arc o2 r nL
360⋅ ⋅ ⋅
=
3.1 PERÍMETRE D’UN POLÍGON
3.2 PERÍMETRE O LONGITUD D’UNA CIRCUMFERÈNCIA
3.3 LONGITUD D’UN ARC DE CIRCUMFERÈNCIA
10. PERÍMETRE D’UN POLÍGON I D’UNA CIRCUMFERÈNCIA.
L
SE
GN
AIR
T IS
EL
GN
A1
T
AU
NIT
23 19 19 20
![Page 21: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/21.jpg)
L
SE
GN
AIR
T IS
EL
GN
A1
T
AU
NIT
24 20 20 21
![Page 22: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/22.jpg)
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
UN
ITA
T 1
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TA
TG
E
23ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Activitat 1
Completa la taula següent:
Graus Minuts Segons
30º 30 x 60 =
45º
120º
270º
Activitat 2
En un rellotge l’agulla gran i l’agulla petita es mouen a diferents velocitats. Enuna hora, quants graus mesura l’angle que recorre l’agulla gran? I en mitjahora? I en un quart?
En una hora, quants graus i quants minuts recorre l’agulla petita?
Activitat 3
Calcula l’angle complementari de cadascun d’aquests angles:
a) 45º c) 60º
b) 30º d) 15º
25 21 21 22
![Page 23: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/23.jpg)
24
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IAU
NIT
AT
1A
CT
IVIT
AT
S D
’AP
RE
NE
NTA
TG
E
Activitat 4
Contesta vertader o fals:
Dos angles adjacents són sempre angles consecutius
Dos angles consecutius són sempre angles adjacents
Dos angles adjacents són sempre angles suplementaris
Dos angles suplementaris són sempre angles adjacents
Activitat 5
D’entre aquests angles, n’hi ha cap parell les mesures dels quals sumin 90º? I180º?
Activitat 6
Quant mesura l’angle suma dels angles  i Ê?
Utilitza el transportador d’angles i resol el problema numèricament i gràfica-ment.
26 22 22 23
![Page 24: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/24.jpg)
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
UN
ITA
T 1
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TA
TG
E
25Activitat 7
Dibuixa un angle agut de manera que el seu doble sigui un angle obtús. Resol elproblema gràficament amb l’ajut del transportador d’angles. Sabries dir quinsvalors pot prendre l’angle agut per tal que el seu doble sigui un angle obtús?
Activitat 8
Dibuixa la bisectriu d’un angle pla. Quant mesuren els dos angles que resulten?
Activitat 9
Quant val el triple d’un angle de 30º? Resol el problema gràficament amb l’ajutdel transportador d’angles.
Activitat 10
Construeix un triangle de costats:
a = 5 cm
b = 4 cm
c = 3 cm
27 23 23 24
![Page 25: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/25.jpg)
26
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IAU
NIT
AT
1A
CT
IVIT
AT
S D
’AP
RE
NE
NTA
TG
E
Activitat 11
En el següent triangle manquen les dades de dos angles. Pots trobar-les?
Activitat 12
Els angles iguals d’un triangle isòsceles valen 50º. Quant val l’angle desigual?
Si classifiquem aquest triangle segons els angles, de quin tipus és?
Activitat 13
Dedueix quant mesuren els angles d’un triangle equilàter.
Activitat 14
Es pot dibuixar un triangle amb dos angles aguts? I amb dos angles rectes? I
amb dos angles obtusos? Per què?
28 24 24 25
![Page 26: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/26.jpg)
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
UN
ITA
T 1
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TA
TG
E
27Activitat 15
Dibuixa un triangle equilàter i el seu baricentre, circumcentre, ortocentre i in-centre. Què observes?
Activitat 16
És possible dibuixar un triangle obtusangle i isòsceles a la vegada? Posa’n al-
gun exemple.
29 25 25 26
![Page 27: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/27.jpg)
UN
ITA
T 2
TE
OR
EM
A D
E T
AL
ES
.
Ma
tem
àt i
qu
es ,
Ciè
ncia
i T
ecn
olo
gia
8. T
RIG
ON
OM
ET
RIA
TE
OR
EM
A D
E P
ITÀ
GO
RE
S. R
AO
NS
TR
IGO
NO
MÈ
TR
I QU
ES
41Unitat 2TEOREMA DE TALES.
TEOREMA DE PITÀGORES.
RAONS TRIGONOMÈTRIQUES
30 26 26 27
![Page 28: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/28.jpg)
UN
ITA
T 2
TE
OR
EM
A D
E T
AL
ES
.
Ma
tem
àt i
qu
es ,
Ciè
ncia
i T
ecn
olo
gia
8. T
RIG
ON
OM
ET
RIA
TE
OR
EM
A D
E P
ITÀ
GO
RE
S. R
AO
NS
TR
IGO
NO
MÈ
TR
I QU
ES
431. Proporcionalitat de segments
Mitjançant les fotografies, les fotocòpies, els plànols, els mapes, etc., podem
fer ampliacions o reduccions de la realitat per tal de fer-la més accessible i més
còmoda de treballar.
Observa aquestes dues imatges:
Totes dues tenen la mateixa forma però la mida és diferent. Tanmateix, fixa’t
que se’n conserven les proporcions.
En matemàtiques es diu que les dues imatges són proporcionals o semblants.
Fes memòria i recorda el que és una raó i una proporció. Una raó és el quocient
de dos nombres o de dues quantitats comparables. Una proporció és la igual-
tat entre dues raons.
Ara observa els següents segments:
La raó de dos segments és el nombre que resulta de dividir les longituds dels
dos segments.
Pots comprovar que la raó dels segments a i b és:
a___b
5___4
= = 1,25
32 27 27 28
![Page 29: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/29.jpg)
44
Ma
tem
àti
qu
es,
Ciè
ncia
i T
ecn
olo
gia
8 T
RIG
ON
OM
ET
RIA
UN
ITA
T 2
TE
OR
EM
A D
E T
AL
ES
.
TE
OR
EM
A D
E P
ITÀ
GO
RE
S. R
AO
NS
TR
IGO
NO
MÈ
TR
IQU
ES
I que la raó dels segments c i d és:
Fixa’t que la raó dels segments a i b és la mateixa que la dels segments c i d. Hi
ha una proporció.
Quan això passa es diu que els segments a i b són proporcionals als segmentsels segments a i b són proporcionals als segmentsels segments a i b són proporcionals als segmentsels segments a i b són proporcionals als segmentsels segments a i b són proporcionals als segments
c i dc i dc i dc i dc i d.
2. Teorema de Tales
Fixa’t en la imatge següent:
Després d’haver mesurat les longituds dels segments del cable, AB i CD, i les
longituds dels segments de l’ombra, A’B’ i C’D’, s’observa que:
AB i A’B’ formen una proporció.
Això no és res més que un exemple del Teorema de Tales.Teorema de Tales.Teorema de Tales.Teorema de Tales.Teorema de Tales.
CD C’D’
= = 1,25c___d
2,5___2
=c___d
a___b
=AB___CD
A’B’____C’D’
33 28 28 29
![Page 30: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/30.jpg)
UN
ITA
T 2
TE
OR
EM
A D
E T
AL
ES
.
Ma
tem
àt i
qu
es ,
Ciè
ncia
i T
ecn
olo
gia
8. T
RIG
ON
OM
ET
RIA
TE
OR
EM
A D
E P
ITÀ
GO
RE
S. R
AO
NS
TR
IGO
NO
MÈ
TR
I QU
ES
45Teorema de Tales: Les rectes paral·leles traçades sobre dues rectes secants
determinen segments que són proporcionals.
En el nostre exemple les rectes paral·leles són els raigs de sol i les dues rectes
secants són el cable de la llum i la projecció de l’ombra.
· Activitats d’aprenentatge 1, 2 i 3
3. Triangles en posició de Tales
Si en un triangle qualsevol ABC tracem una recta paral·lela al costat BC obtenim
un nou triangle AB’C’. Els dos triangles ABC i AB’C’ estan en posició de Tales.
El teorema de Tales ens permet relacionar els costats d’aquests dos triangles:
=A’B’____C’D’
AB___CD
34 29 29 30
![Page 31: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/31.jpg)
46
Ma
tem
àti
qu
es,
Ciè
ncia
i T
ecn
olo
gia
8 T
RIG
ON
OM
ET
RIA
UN
ITA
T 2
TE
OR
EM
A D
E T
AL
ES
.
TE
OR
EM
A D
E P
ITÀ
GO
RE
S. R
AO
NS
TR
IGO
NO
MÈ
TR
IQU
ES
Si dos triangles tenen un vèrtex comú i els costats oposats a aquest vèrtex són paral-
lels es diu que estan en posició de Tales.
• Activitats d’aprenentatge 4 i 5
4. Triangles semblants
Observa que els triangles en posició de Tales tenen la mateixa forma però dife-
rent mida. Els triangles en posició de Tales són figures semblants. Per això
se’ls anomena triangles semblants.....
Ara bé, no cal que dos triangles estiguin en posició de Tales perquè siguin sem-
blants.
Dos triangles que tinguin els angles iguals i els costats proporcionals són triangles
semblants.
Quan s’amplia o es redueix un triangle s’obté un nou triangle semblant al primer.
En la imatge, la relació entre els costats dels triangles és:
Aquesta és la raó de semblança.
En aquest exemple la mida del triangle A’B’C’ és el doble que la del triangle
ABC o el que és el mateix, les longituds dels costats del triangle A’B’C’ mesuren
el doble que les del triangle ABC.
Fixa’t que en els triangles semblants també es conserven els angles.
· Activitats d’aprenentatge 6 i 7
= = = = 2A’B’____AB
B’C’____BC
A’C’____AC
8___4
35 30 30 31
![Page 32: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/32.jpg)
UN
ITA
T 2
TE
OR
EM
A D
E T
AL
ES
.
Ma
tem
àt i
qu
es ,
Ciè
ncia
i T
ecn
olo
gia
8. T
RIG
ON
OM
ET
RIA
TE
OR
EM
A D
E P
ITÀ
GO
RE
S. R
AO
NS
TR
IGO
NO
MÈ
TR
I QU
ES
475. Teorema de Pitàgores
Amb l’ajut de la geometria es pot veure fàcilment una propietat molt impor-
tant que compleixen els triangles rectangles: l’àrea del quadrat construït sobre
la hipotenusa d’un triangle rectangle és igual a la suma de les àrees dels qua-
drats construïts sobre els seus catets.
· Activitats d’aprenentatge 8, 9 i 10
6. Triangles rectangles semblants
Per tal que dos triangles rectangles siguin semblants només cal que coincidei-
xin en algun dels angles no rectes. Observa la figura:
Pots comprovar que, en efecte, els triangles CAB, CA’B’, CA’’B’’ són semblants.
Teorema de Pitàgores: En un
triangle rectangle el quadrat de
la hipotenusa és igual a la suma
dels quadrats dels seus catets.
a2 = b2 + c2
36 31 31 32
![Page 33: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/33.jpg)
48
Ma
tem
àti
qu
es,
Ciè
ncia
i T
ecn
olo
gia
8 T
RIG
ON
OM
ET
RIA
UN
ITA
T 2
TE
OR
EM
A D
E T
AL
ES
.
TE
OR
EM
A D
E P
ITÀ
GO
RE
S. R
AO
NS
TR
IGO
NO
MÈ
TR
IQU
ES
Fixa’t en els quocients següents:
Observa que cada quocient és la raó entre la longitud del catet oposat al vèr-
tex C i la longitud de la hipotenusa de cadascun dels triangles.
Per la semblança dels triangles tenim:
El valor d’aquesta raó s’anomena sinus d’α, sent α l’angle corresponent al vèrtex
C, és a dir, l’angle que formen les dues rectes secants.
La raó entre les longituds del catet oposat i de la hipotenusa s’anomena sinus de l’angle.
Ara fixa’t en aquests altres quocients:
Observa que cada quocient és la raó entre la longitud del catet contigu al vèr-
tex C i la longitud de la hipotenusa de cadascun dels triangles.
Com abans, per la semblança dels triangles tenim:
El valor d’aquesta raó s’anomena cosinus d’α, sent α l’angle corresponent al
vèrtex C, és a dir, l’angle que formen les dues rectes secants.
La raó entre les longituds del catet contigu i de la hipotenusa s’anomena cosinus de
l’angle.
Finalment, fixa’t en aquests altres quocients:
AB____CB
A’B’____CB’
A’’B’’____CB’’
CA____CB
CA’____CB’
CA’’____CB’’
= =AB____CB
A’B’____CB’
A’’B’’____CB’’
= =CA____CB
CA’____CB’
CA’’____CB’’
sin α =catet oposat____________hipotenusa
cos α =catet contigu____________hipotenusa
A’B’____CA’
A’’B’’____CA’’
AB____CA
37 32 32 33
![Page 34: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/34.jpg)
UN
ITA
T 2
TE
OR
EM
A D
E T
AL
ES
.
Ma
tem
àt i
qu
es ,
Ciè
ncia
i T
ecn
olo
gia
8. T
RIG
ON
OM
ET
RIA
TE
OR
EM
A D
E P
ITÀ
GO
RE
S. R
AO
NS
TR
IGO
NO
MÈ
TR
I QU
ES
49Observa que cada quocient és la raó entre la longitud del catet oposat i la
longitud del catet contigu.
Una vegada més, per la semblança dels triangles tenim:
El valor d’aquesta raó s’anomena tangent d’α, sent α l’angle corresponent al
vèrtex C, és a dir, l’angle que formen les dues rectes secants.
La raó entre les longituds del catet oposat i del catet contigu s’anomena tangent de
l’angle.
Aquestes raons que hem definit, sinus, cosinus i tangent, s’anomenen raons
trigonomètriques de l’angle α.
6. Les raons trigonomètriques i la calculadora
Mitjançant la calculadora podem obtenir el sinus, el cosinus i la tangent d’un
angle agut amb molta precisió.
Imagina que vols calcular el cosinus de 60º. Si a la pantalla hi surt el terme
DEG, vol dir que hi podem introduir els graus sexagesimals. En aquest cas s’ha
d’escriure el nombre 60. A continuació prems la tecla cos. Veuràs que a la
pantalla apareix el valor 0.5.
En efecte, cos 60º = 0.5.
Per calcular un sinus cal prémer la tecla sin i per la tangent, la tecla tan.
Raons trigonomètriques dels angles aguts més corrents:
ANGLES sin cos tan
0ººººº 0 1 0
30º30º30º30º30º 1/2 3/2 3/3
45º45º45º45º45º 2/2 2/2 1
60º60º60º60º60º 3/2 1/2 3
· Activitats d’aprenentatge 11, 12, 13, 14, 15, 16 i 17
=+
=+ =+
=+
=+
=+
= =AB____CA
A’B’____CA’
A’’B’’____CA’’
tan α =catet oposat____________catet contigu
38 33 33 34
![Page 35: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/35.jpg)
50
Ma
tem
àti
qu
es,
Ciè
ncia
i T
ecn
olo
gia
8. T
RIG
ON
OM
ET
RIA
U
NIT
AT
2A
CT
IVIT
AT
S D
’AP
RE
NE
NTA
TG
E
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Activitat 1
Llegeix atentament el teorema de Tales. Creus que també és certa la proporció
següent? Per què?
Activitat 2
Utilitzant el teorema de Tales calcula la longitud del segment x en centímetres:
Activitat 3
Esbrina el valor de x en cadascun dels triangles següents:
=AB___A’B’
CD____C’D’
39 34 34 35
![Page 36: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/36.jpg)
Ma
tem
àti
qu
es ,
Ciè
ncia
i T
ecn
olo
gia
8. T
RIG
ON
OM
ET
RIA
UN
ITA
T 2
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TA
TG
E
51
Activitat 4
Com són els angles de dos triangles en posició de Tales?
Com són els costats corresponents de dos triangles en posició de Tales?
Activitat 5
Determina la longitud del costat del triangle gran que s’indica en la figura:
Activitat 6
Digues quines parelles de triangles són semblants i per què:
40 35 35 36
![Page 37: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/37.jpg)
52
Ma
tem
àti
qu
es,
Ciè
ncia
i T
ecn
olo
gia
8. T
RIG
ON
OM
ET
RIA
U
NIT
AT
2A
CT
IVIT
AT
S D
’AP
RE
NE
NTA
TG
E
Activitat 7
Fixa’t en els següents triangles:
Són semblants? Quant val la longitud del costat BC?
Activitat 8
Troba la longitud del costat que falta en els triangles rectangles següents. Les
mesures vénen expressades en centímetres.
41 36 36 37
![Page 38: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/38.jpg)
Ma
tem
àti
qu
es ,
Ciè
ncia
i T
ecn
olo
gia
8. T
RIG
ON
OM
ET
RIA
UN
ITA
T 2
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TA
TG
E
53Activitat 9
Els catets d’un triangle rectangle mesuren 5 m i 10 m. Calcula l’àrea del quadrat
construït sobre la hipotenusa.
Activitat 10
Els nombres enters que corresponen a les mides dels costats de triangles
rectangles i que, per tant, compleixen la propietat a2 = b2 + c2, s’anomenen
ternes pitagòriques.
Exemple: (5, 4, 3) és una terna pitagòrica, ja que 52 = 42 + 32.
La terna (17, 15, 8) és pitagòrica? I la terna (10, 8, 6)?
Activitat 11
Amb l’ajut de la calculadora calcula:
sin 45º cos 45º tan 45º
sin 30º cos 30º tan 30º
sin 60º cos 60º tan 60º
Activitat 12
La hipotenusa d’un triangle rectangle mesura 10 metres i un dels seus angles
aguts 20º. Quina és la mida real del catet oposat?
Activitat 13
Un ciclista puja per un pendent que té una inclinació respecte a l’horitzontal de
25º. Quan arriba al cim del pendent, ha recorregut 1.200 metres. A quina alça-
da es troba el cim?
42 37 37 38
![Page 39: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/39.jpg)
54
Ma
tem
àti
qu
es,
Ciè
ncia
i T
ecn
olo
gia
8. T
RIG
ON
OM
ET
RIA
U
NIT
AT
2A
CT
IVIT
AT
S D
’AP
RE
NE
NTA
TG
E
Activitat 14
Un camí de muntanya puja 35 m en una distància horitzontal de 100 m. Calcula
la tangent de l’angle que forma el camí amb l’horitzontal.
Si el camí pugés 35 m en una distància horitzontal de 60 m, quina seria la
tangent de l’angle?
La inclinació d’un terreny respecte a l’horitzontal és el que s’anomena el pendent
del terreny i s’acostuma a expressar en tant per cent. Quan es pugen 10 m en
vertical per cada 100 m que es recorren en horitzontal el pendent és d’un 10%.
Completa la taula següent:
Angle 20º 50º 60º
Pendent en % 36,39%
Activitat 15
Un far té una alçada de 20 m i des d’un vaixell s’observa el seu punt més alt
sota un angle de 22º. A quina distància es troba el vaixell del far?
43 38 38 39
![Page 40: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/40.jpg)
Ma
tem
àti
qu
es ,
Ciè
ncia
i T
ecn
olo
gia
8. T
RIG
ON
OM
ET
RIA
UN
ITA
T 2
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TA
TG
E
55Activitat 16
Un dels angles aguts d’un triangle rectangle mesura 70º i el catet contigu 15 m.
Quant mesura l’altre catet?
Activitat 17
Podries saber l’altura d’una xemeneia si la seva ombra fa 5m i els raigs del sol
fan un angle de 65º amb l’horitzontal?
44 39 39 40
![Page 41: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/41.jpg)
70
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
UN
ITA
T 3
ÀR
EE
S I
VO
LU
MS
Unitat 3ÀREES I VOLUMS
45 40 40 41
![Page 42: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/42.jpg)
72
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
UN
ITA
T 3
ÀR
EE
S I
VO
LU
MS
1. Mesura d’àrees
En la unitat anterior vam veure la següent demostració geomètrica del teore-
ma de Pitàgores
Observa que en aquesta demostració, elsnombres 52, 32 i 42 representen les àrees
de tres quadrats construïts sobre la hipo-tenusa i els catets del triangle rectanglede la figura.
Així doncs, si la longitud de la hipotenusamesura 5 unitats, l’àrea del quadrat cor-responent mesurarà 52 unitats quadra-
des.
La taula següent mostra el valor de les àrees de cadascun dels quadrats ante-riors segons la unitat que s’ha utilitzat per mesurar la longitud de la hipotenu-
sa i dels catets.
UNITATSÀrea del quadrat Àrea del quadrat Àrea de quadrat
sobre la hipotenusa sobre el catet gran sobre el catet petit
cm 25 cm2 16 cm2 9 cm2
m 25 m2 16 m2 9 m2
Km 25 Km2 16 Km2 9 Km2
· Activitat d’aprenentatge 1
2. Àrea d’un quadrat
L’àrea d’un quadrat de costat c val c2. A = c2.
L’àrea del quadrat és igual al quadrat del costat.
2
Si dibuixem una de les diagonals d’aquest qua-
drat se n’obtenen dues meitats.
L’àrea de la meitat del quadrat valdrà la meitatde l’àrea del quadrat: c
2
.
47 41 41 42
![Page 43: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/43.jpg)
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
U
NIT
AT
3À
RE
ES
I V
OL
UM
S
73Fixa’t que la meitat del quadrat és un triangle.
3. Àrea dels paral·lelograms
Un quadrat és un paral·lelogram. La manera com es troba l’àrea d’altres paral-lelograms és anàloga a la manera com es troba l’àrea d’un quadrat:
4. Àrea del triangle
Observa el paral·lelogram BACD de la figura. Hem traçat la diagonal BC i el
paral·lelogram ha quedat dividit en dos triangles iguals, els triangles BAC i elBCD.
Fixa’t que l’àrea del triangleàrea del triangleàrea del triangleàrea del triangleàrea del triangle és la meitat de l’àrea del paral·lelogram. Per tant,l’àrea del triangle és:
· Activitats d’aprenentatge 2, 3, 4, 5 i 6
Per tant, l’àrea d’aquest triangle és c2
.2
L’altura del paral·lelogram BACD i delstriangles BAC i el BCD és la mateixa.
base · altura____________2
b · h_____2
=A =
48 42 42 43
![Page 44: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/44.jpg)
74
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
UN
ITA
T 3
ÀR
EE
S I
VO
LU
MS
5. Àrea dels polígons
Per calcular l’àrea d’un polígon es pot recórrer a la seva triangulació. D’aques-
ta manera només cal calcular les àrees dels triangles que s’obtenen i sumar-les. Si el polígon és regular, els triangles que s’obtenen de la triangulació sóntots iguals.
Si es vol calcular l’àrea d’un hexàgon regular només cal multiplicar per 6 l’àreadel triangle de base b i altura h:
L’altura h del triangle és també l’apotema de l’hexàgon regular. D’aquesta ma-
nera la fórmula d’abans queda de la següent manera:
En general, l’àrea d’un polígon regular és la meitat del producte del perímetreper l’apotema del polígon.
· Activitat d’aprenentatge 7.
6. Àrea d’un cercle
Imagina’t una circumferència de radi r, en la qual comencem a inscriure-hipolígons regulars cada vegada amb un nombre de costats més gran. Imagina’t
que pots repetir aquest procés infinites vegades. Sembla ser que cada vegada,el polígon inscrit s’acosta més a la circumferència: el perímetre del polígonseria la longitud de la circumferència i l’apotema seria el radi. Per tant, l’àrea
del cercle seria l’àrea d’un polígon de perímetre la longitud de la circumferèn-cia i d’apotema el radi:
Recorda que la longitud de la circumferència és 2·π ·r
Observa que finalment obtindràs la següent fórmula per a l’àrea del cercleàrea del cercleàrea del cercleàrea del cercleàrea del cercle:
· Activitats d’aprenentatge 8, 9, 10 i 11
Àrea del cercle = 2·π·r·r = π·r2
2 Àrea del cercle = π·r2
( ) · 6b · h____2
perímetre · apotema___________________2
Àrea del cercle = =perímetre · apotema___________________
2longitud · radi_____________
2
A = p · a____2
=
49 43 43 44
![Page 45: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/45.jpg)
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
U
NIT
AT
3À
RE
ES
I V
OL
UM
S
757. Unitats de volum
Imagina que vols saber la quantitat de pluja que ha caigut en un metre qua-
drat. Per això construeixes una caixa quadrada d’un metre de llarg per un me-tre d’ample. T’adones que la quantitat d’aigua que ha caigut dins de la caixaassoleix una altura de 10 mm. Com que un metre són mil mil·límetres, el volum
de l’aigua recollida serà:
V = 10 mm · 1000 mm · 1000 mm = 10.000.000 mm3 = 10 dm3 per metre quadrat. Altura Àrea de la caixa
Fixa’t en la relació que existeix entre les unitats de volum i les de capacitatrelació que existeix entre les unitats de volum i les de capacitatrelació que existeix entre les unitats de volum i les de capacitatrelació que existeix entre les unitats de volum i les de capacitatrelació que existeix entre les unitats de volum i les de capacitat:
Unitats de volum m3 dm3 cm3
Unitats de capacitat kl hl dal litre dl cl ml
Segons aquestes equivalències podem dir que el volum total d’aigua que hacaigut ha estat de 10 litres per cada metre quadrat.
10 dm3 = 10 litres
8. Àrea i volum d’un cub
Un cub té sis cares que són quadrats. Per tant, l’àrea del cub és sis vegadesl’àrea d’aquest quadrat.
9. Àrea i volum d’un ortòedre
S’anomena arestaarestaarestaarestaaresta un costat comú a dues cares. En elcas del cub, l’aresta és comú a dos quadrats.
L’àrea del cub d’aresta a és A=6a2.
El volum del cub d’aresta a és V = a ·a ·a = a3.
L’àrea d’un ortòedre d’arestes a, b i c és
A=2(a · c) + 2(b · c) + 2(a · b)El volum d’un ortòedre d’arestes a, b i c ésV = a · b · c.
50 44 44 45
![Page 46: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/46.jpg)
76
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
UN
ITA
T 3
ÀR
EE
S I
VO
LU
MS
10. Àrea i volum d’un prisma
Els cossos geomètrics següents són prismes rectesprismes rectesprismes rectesprismes rectesprismes rectes:
Els elements d’un prismaelements d’un prismaelements d’un prismaelements d’un prismaelements d’un prisma són:
El volum d’un prisma és igual a l’àrea de la base per l’altura.
Vprisma
= AB · h on h és l’altura del prisma.
11. Àrea i volum d’una piràmide.
Els cossos geomètrics següents són piràmides rectes.
L’àrea total (AT) d’un prisma
recte és igual a l’àrea late-ral més l’àrea de les duesbases:
• L’àrea lateral (AL) és igual
al perímetre de la base perl’altura.
• L’àrea de la base (AB) és
l’àrea del polígon regular
Àrea total del prisma:
AT = A
L + 2A
B
51 45 45 46
![Page 47: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/47.jpg)
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
U
NIT
AT
3À
RE
ES
I V
OL
UM
S
77
3
Els elements d’una piràmideelements d’una piràmideelements d’una piràmideelements d’una piràmideelements d’una piràmide són:
L’àrea total d’una piràmide recta és igual a l’àrea lateral més l’àrea de la base:
• L’àrea lateral és la suma de les àrees dels triangles que componen les caresde la piràmide.
• L’àrea de la base és l’àrea del polígon regular.
Àrea total de la piràmide:
AT = A
L + A
B
El volum de la piràmide és igual a un terç del producte de l’àrea de la base perl’altura de la piràmide.
Vpiràmide
= ( 1 ) · AB·h on h és l’altura de la piràmide.
12. Àrea i volum d’un cilindre
Dibuixa un rectangle. Imagina que el fas girar sobre un dels seus costats. Ob-tindràs una nova figura que és un cos de revolució anomenat cilindre.
Els elements d’un cilindre són:
altura
eix de gir radi
generatriu
base
52 46 46 47
![Page 48: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/48.jpg)
78
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
UN
ITA
T 3
ÀR
EE
S I
VO
LU
MS
L’àrea total d’un cilindre és igual a l’àrea lateral més l’àrea de les bases.
• L’àrea lateral del cilindre és:
AL = 2πR · g = 2πRg on R és el radi i g la generatriu.
• L’àrea d’una de les bases és l’àrea d’un cercle: AB = πR2
Àrea total del cilindre:Àrea total del cilindre:Àrea total del cilindre:Àrea total del cilindre:Àrea total del cilindre:
AT = A
L + 2A
B = 2πRg + 2 πR2
El volum d’un cilindre és igual al producte de l’àrea de la base per l’altura:
Vcilindre
= πR2·h on h és l’altura del cilindre.
13. Àrea i volum d’un con
Dibuixa un triangle rectangle. Imagina que el fas girar sobre un dels seus ca-tets. Obtindràs una nova figura que és un cos de revolució anomenat conconconconcon.
Els elements d’un con elements d’un con elements d’un con elements d’un con elements d’un con són:
L’àrea total d’un con és igual a l’àrea lateral més l’àrea del cercle de la base.
· L’àrea lateral del con és: AL = πRg on R és el radi i g la generatriu
· L’àrea del cercle és: πR2
Àrea total del con :Àrea total del con :Àrea total del con :Àrea total del con :Àrea total del con :
AT = πRg + πR2
El volum d’un con és igual a un terç del producte de l’àrea de la base per l’altura.
VVVVVconconconconcon = ( = ( = ( = ( = ( 11111 ) ) ) ) )πRRRRR22222·h·h·h·h·h on h és l’altura del con.
33333
53 47 47 48
![Page 49: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/49.jpg)
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
U
NIT
AT
3À
RE
ES
I V
OL
UM
S
79
3
14. Àrea i volum d’una esfera
Imagina que fas girar un semicercle al voltant del seu diàmetre. La figura que
obtindràs és un cos de revolució anomenat esferaesferaesferaesferaesfera.
Els elements d’una esfera són:
L’àrea d’una esfera és quatre vegades πR2. R és el radi de l’esfera.
Aesfera
= 4πR2
El volum d’una esfera és quatre terços de πR3.
Vesfera
= ( 4 )πR3
· Activitats d’aprenentatge 12, 13, 14, 15 i 16
54 48 48 49
![Page 50: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/50.jpg)
80
Ma
tem
àti
qu
es,
Ciè
ncia
i T
ecn
olo
gia
8. T
RIG
ON
OM
ET
RIA
U
NIT
AT
3A
CT
IVIT
AT
S D
’AP
RE
NE
NTA
TG
E
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Activitat 1
Calcula l’àrea de la figura prenent com a unitat d’àrea la quadrícula que hi ha
indicada:
Activitat 2
Quina és l’àrea d’un triangle rectangle de catets 10 i 15 cm?
Activitat 3
Quant val l’àrea d’un triangle equilàter si el seu costat mesura 6 m?
Activitat 4
La diagonal d’un quadrat mesura 18 cm. Quant val la seva àrea?
55 49 49 50
![Page 51: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/51.jpg)
Ma
tem
àti
qu
es ,
Ciè
ncia
i T
ecn
olo
gia
8. T
RIG
ON
OM
ET
RIA
U
NIT
AT
3A
CT
IVIT
AT
S D
’AP
RE
NE
NTA
TG
E
81
Activitat 5
El costat d’un quadrat mesura 10 cm. Quants dm2 mesura la seva àrea?
Activitat 6
Sobre un romboide de 100 mm2 d’àrea tracem una de les diagonals. Quina serà
l’àrea de cada un dels triangles que s’hi han format?
Activitat 7
Calcula l’àrea d’un hexàgon regular de 20 cm de costat.
Activitat 8
Volem enrajolar una habitació que té 2,4 m de llarg per 3 m d’ample amb rajoles
quadrades de 60 cm de costat. Quantes rajoles necessitem?
56 50 50 51
![Page 52: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/52.jpg)
82
Ma
tem
àti
qu
es,
Ciè
ncia
i T
ecn
olo
gia
8. T
RIG
ON
OM
ET
RIA
U
NIT
AT
3A
CT
IVIT
AT
S D
’AP
RE
NE
NTA
TG
E
Activitat 9
El radi d’una circumferència inscrita en un quadrat val 4 cm. Quant val l’àrea
del quadrat?
Activitat 10
Observa la imatge següent. Quina és l’àrea de la part pintada de color blau?
Activitat 11
Quina és la mida del radi d’un cercle si la seva àrea val π m2?
Activitat 12
Quants litres d’aigua pot contenir un cub si la seva àrea total val 36 cm2?
Activitat 13
Calcula l’àrea total i el volum d’un prisma de base quadrada de costat 1 cm i
d’altura 6 cm. Calcula el volum de la piràmide que té les mateixes dimensions
que el prisma. Quina relació hi ha entre els dos volums?
57 51 51 52
![Page 53: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/53.jpg)
Ma
tem
àti
qu
es ,
Ciè
ncia
i T
ecn
olo
gia
8. T
RIG
ON
OM
ET
RIA
U
NIT
AT
3A
CT
IVIT
AT
S D
’AP
RE
NE
NTA
TG
E
83
Activitat 14
Quant ha de valer el radi d’una esfera que conté en la seva totalitat π litres
d’aigua?
Activitat 15
Un cucurutxo de diàmetre 5 cm i d’altura 10 cm, quants litres de gelat de
vainilla pot contenir en total?
Activitat 16
Una llauna cilíndrica de refresc té 350 c.c. de capacitat. Calcula els cm2 de
planxa que s’han d’utilitzar en la seva elaboració sense tenir en compte les
tapes. (Nota. 1c.c.=1 centímetre cúbic)
4___3
58 52 52 53
![Page 54: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/54.jpg)
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
2 2
UNITATS DE LONGITUD
ÀREA, VOLUM I CAPACITAT
ANNEX
53 54
![Page 55: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/55.jpg)
El metre (m) és la unitat de longitud del Sistema Internacional (SI) de pesos i mesures. Es defineix com la longitud del camí que recorre la llum en un interval de temps de 1/299 792 458 de segon (la velocitat de la llum és, exactament, de 299 792 458 m/s; així, el valor del metro és l’invers de la velocitat de la llum). Són unitats múltiples i submúltiples: • miriàmetre (mam) = 10 000 m • quilòmetre (km) = 1 000 m
• hectòmetre (hm) = 100 m
• decàmetre (dc) = 10 m (rarament usat)
• decímetre (dm) = 1/10 m
• centímetre (cm) = 1/100 m
• mil·límetre (mm) = 1/1 000 m
• micròmetre (µm) = 10-6 m -també s’anomena micra(µ)-
• nanòmetre (nm) = 10-9 m
• àngstrom (Å) = 10-10 m
Altres unitats emprades en diferents camps de la física o tecnologia:
• any-llum (al) és una unitat de longitud que s'usa per a mesurar distàncies astronòmiques, com la distància entre estels i galàxies. Un any-llum equival a la distància que la llum recorre en un any que és d'aproximadament 9,46 bilions de quilòmetres, això és, 9,46·1015 metres.
• polzada ("): unitat anglosaxona (2,54 cm).
• unitat astronòmica (UA) és una unitat de distància, aproximadament igual a la distància mitjana entre el Sol i la Terra. Equival, aproximadament, a 150 milions de quilòmetres.
Una mesura de longitud, àrea, volum, etc., pot estar expressada en una única unitat (forma incomplexa) o en diverses unitats (forma complexa). Estudieu les activitats per practicar 6, 7 i 8.
1. UNITATS DE LONGITUD
59 53
ANNEX 1: UNITATS DE LONGITUD, ÀREA, VOLUM I CAPACITAT
AIR
TE
MO
NO
GIR
T .8
aig
olo
nceT i aicnèi
C ,seu
qitàmeta
M
54 55
![Page 56: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/56.jpg)
L'àrea d'una figura és la mesura de la seva superfície. La superfície d'una figura és sempre la mateixa, però la seva àrea depèn de la unitat de superfície que hem triat. La principal unitat de superfície és el metre quadrat (m2), que és la superfície d'un quadrat d'un metre de costat. També es poden fer servir els múltiples i submúltiples següents (les unitats estan or-denades de major a menor):
• miriàmetre quadrat (mam2) = 100 000 000 m2
• quilòmetre quadrat (km2) = 1 000 000 m2
• hectòmetre quadrat (hm2) = 10 000 m2
• decàmetre quadrat (dam2) = 100 m2
• decímetre quadrat (dm2) = 0,01 m2
• centímetre quadrat (cm2) = 0,0001 m2
• mil·límetre quadrat (mm2) = 0,000001 m2
mam2 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Cada unitat de superfície és 100 vegades més gran que la immediata inferior i 100 ve-gades més petita que la immediata superior.
Unes altres unitats de superfície, les unitats agràries, són:
• hectàrea (ha) • àrea (a) • centíàrea (ca) 1 ha = 100 a 1 a = 100 ca 1 ha = 1 hm2 1 a = 1 dam2 1 ca = 1 m2
S'ha d'anar amb compte amb les unitats de mesura. Per poder trobar l'àrea de qualse-vol figura s'han d'expressar totes les dimensions corresponents en les mateixes uni-tats de longitud, és a dir, si es vol expressar l’àrea d’una figura en centímetres quadrats, s’hauran de tenir totes les dimensions d’aquesta en centímetres.
2. UNITATS D’ÀREA
60 54
AIR
TE
MO
NO
GIR
T .8
aig
olo
nceT i aicnèi
,seu
qitàmeta
MM
atem
àtiq
ues
, Ciè
nc i
a i T
ecn
olo
gia
8. T
RIG
ON
OM
ET
RIA
C
55 56
![Page 57: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/57.jpg)
El volum és la mesura de l'espai ocupat per un cos. A l'espai de tres dimensions es mesuren la longitud de la llargada, l'altura (o fondària) i l’amplada. Un exemple de la terminologia utilitzada per esmentar aquestes dimensions: El producte d'aquestes tres dimensions dóna el volum del cos, expressat en unitats cúbiques (u3), on u és la unitat en què s'expressen cada una de les tres mesures.
El metre cúbic (símbol m³) és la unitat derivada del Sistema Internacional per al volum. És el volum d'un cub amb els costats d'un metre de longitud.
Un metre cúbic d'aigua pura a una temperatura de 3,98 °C i a una pressió d'una atmosfera, té una massa de 999,972 kg (gairebé una tona).
1 metre cúbic equival a:
• 1 000 decímetres cúbics (dm³) • 1 000 000 centímetres cúbics (cm³) • 1 000 000 000 mil·límetres cúbics (mm³)
Un cub que mesura 1 cm, tant de llargada, com d'altura i fondària direm que ocupa un volum d'1 cm3, o que té un volum d'1 cm3.
Un quilòmetre cúbic (km3) és el volum igual a un cub d'un quilòmetre de costat.
El mateix podem dir de l’hectòmetre cúbic(hm3) i del decàmetre cúbic(dam3).
Així:
• 1 km3 = 1 000 000 000 m³ • 1 hm3 = 1 000 000 m³ • 1 dam3 = 1 000 m³
llargada
amplada
fondària
3. UNITATS DE VOLUM
61 55
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
56 57
![Page 58: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/58.jpg)
2
62 56
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IAM
atem
àtiq
ues
, Ciè
nci
a i T
ecn
olo
gia
8. T
RIG
ON
OM
ET
RIA
57 58
![Page 59: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/59.jpg)
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
2 2
ANNEX
ÀREA, VOLUM I CAPACITAT
ACTIVITATS
58 59
![Page 60: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/60.jpg)
1. Indiqueu les afirmacions que siguin certes respecte a aquest triangle.
5 cm
5 cm
Per exemple: És un triangle escalè. √ a) És un triangle obtusangle.
b) L'angle oposat al costat de 5 cm mesura 60°.
c) El costat oposat a l'angle b fa 4 cm.
d) L'angle que forma el costat de 3 cm amb el de 4 cm és rectangle.
e) Els costats que determinen l'angle a són el de 5 cm i el de 3 cm.
2. Dibuixeu un triangle equilàter de 3 cm de costat, un d'isòsceles amb dos costats de 3
cm i un costat de 2 cm, i un d'escalè i rectangle que tingui el costat més llarg de 5 cm.
a) Equilàter b) Isòsceles c) Escalè
ACTIVITATS PER PRACTICAR 1. ANGLES I TRIANGLES
63 57
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
59 60
![Page 61: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/61.jpg)
2
3. Dibuixeu un pentàgon regular (amb els cinc costats iguals). Traça-hi totes les diagonals possibles.
4. Dibuixeu un triangle equilàter i un d'isòsceles, i traça l'altura de cadascun. a) Com són els dos triangles en què queda dividit el triangle equilàter? b) I els triangles que resulten de dividir el triangle isòsceles?
5. Quant mesuren els angles dels triangles següents?
a) b) c) c)
64 58
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
60 61
![Page 62: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/62.jpg)
6. Calculeu els angles següents: a) b)
7. Indiqueu si és possible construir els triangles següents:
Per exemple: Un triangle rectangle que tingui els angles de 90°, 60° i 30°. Sí
a) Un triangle amb els angles de 30°, 40° i 60°.
b) Un triangle amb els costats de 3 cm, 4 cm i 5 cm.
c) Un triangle isòsceles amb els dos costats iguals de 5 cm i l'altre de 6 cm.
8. Dibuixeu un triangle equilàter de 3 cm de costat i traça'n les tres altures. Com es diu el punt on es tallen?
110°
120°
65 59
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
61 62
![Page 63: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/63.jpg)
9. Dibuixeu un paral·lelogram i assenyaleu-ne una de les bases i l'altura. Quant sumen els angles interiors?
10. Dibuixeu un trapezoide, un trapezi isòsceles i un trapezi que no ho sigui, d’isòsceles. En què es diferencien les tres figures geomètriques?
11. Dibuixeu un rombe, un romboide, un rectangle i un quadrat que tinguin, almenys, dos costats de 2 cm cadascun. Com podeu diferenciar-los dels altres tipus de quadrilàters (trapezis i trapezoides)? a) Rombe:
b) Romboide: c) Rectangle: d) Quadrat:
66 60
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
62 63
![Page 64: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/64.jpg)
5
12. Dibuixeu un pentàgon regular inscrit en una circumferència. Assenyaleu el radi de la circumferència i l'apotema del pentàgon. Quin nom rep la circumferència?
13. Calculeu la longitud d’una circumferència que té un radi de r = 2,5 cm. Dibuixeu-la.
14. Calculeu la longitud de la circumferència exterior de la figura adjunta si la corda d’aquesta
circumferència exterior és tangent a la circumferència interior i mesura 8 cm. El radi de la
circumferència interior mesura 3 cm.
SOL.:
Pel Teorema de Pitàgores aplicat al triangle ABC,
el radi de la circumferència exterior mesura:
Per tant, la longitud de la circumferència exterior és:
πL 2 2 3,14r = 5 31,4 cm= ⋅ ⋅⋅ ⋅ =
B 4 cm A 3 cm r C
2 2r 3 4 25 5 cm= + = =
67 61
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
63 64
![Page 65: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/65.jpg)
1
1. Hem mesurat la longitud del contorn d'una moneda i és 10 cm. ¿Quina és la longitud del radi, expressada en mil·límetres?
2. Demostreu que π360° = 2 rad
SOL.: Si establim la proporcionalitat directa entre els angles(α) en radiants i les longituds dels arcs abraçats(LAC):
Quan l’arc considerat sigui tota la circumferència, πACL 2 r= i tindrem:
π π2 r r α 2
α 1⋅ ⋅
= ⇒ = ⋅ radrad rad
Però α, en graus sexagesimals, val 360º. Per tant, ja tenim que π360° = 2 rad .
3. En una circumferència de 90 cm de radi, ¿quina longitud tindrà un arc de π3
rad?
SOL.:
Si fem les operacions amb la tecla de la calculadora, el resultat que obtenim és 94,25 cm.
ACL rα 1
=rad rad
π
ππ = 94, 20 cm
3arcL r x 90 30= ⋅ = ⋅ = ⋅
ACTIVITATS PER PRACTICAR 2. UNITATS DE LONGITUD
68 62
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
64 65
![Page 66: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/66.jpg)
2
4. ¿Quants cm són 0,0275 km?
5. ¿Quants hm són 45 906,21 dm?
6. Passeu 5 km 3 dam 8 dm a incomplex expressat en metres. SOL.:
mam 0
km 5
hm 0
dam 3
m 0
dm 8
cm 0
mm 0
Per tant, és: 5 030,8 m
7. Passeu 5 km 3 dam 8 dm a incomplex expressat en mil·límetres.
8. Passeu 31720,65 m a complex.
SOL.:
Ens fixem en la xifra abans de la coma, que és a la que correspon la unitat amb que ens donen la longitud de l’exercici:
mam km hm dam m dm cm mm
3 1 7 2 0 6 5 0
Per tant, el complex és: 3 mam 1 km 7 hm 2 dam 6 dm 5 cm
69 63
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
65 66
![Page 67: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/67.jpg)
3
9. Calculeu la longitud de les circumferències següents: a) b) c)
10. Calculeu la longitud dels arcs de circumferència següents: SOL.:
70 64
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
66 67
![Page 68: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/68.jpg)
1. Hem mesurat l’àrea de la superfície d'una moneda i és 8 cm2. ¿Quina és la longitud del radi?
SOL.:
Aïllem el radi a la fórmula de l’àrea i substituïm el valor d’aquesta:
ππ
2 2A3,14
A 8r r = 2,55 ; r 2,55 r 2,55 1,59 1,6 cm= ⋅ ⇒ = = = ± =⇒ =
2. ¿Quants dm2 són 4,587 km2 ? SOL.:
Com són 4 espais, amb dos zeros per espai, multipliquem per 100 000 000, o sigui 458 700 000 dm2 .
3. ¿Quants hm2 són 37542169 dm2?
ACTIVITATS PER PRACTICAR 3 . ÀREES
71 65
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
67 68
![Page 69: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/69.jpg)
2
4. Passeu el complex 6 hm2 18 dam2 5 dm2 a incomplex , expressant-ho en dm2.
5. Passeu d'incomplex a complex: 472,0685 hm2
SOL.:
Per tant és: 4 km2 72 hm2 6 dam2 85 m2
6. Calculeu l'àrea d'un triangle rectangle els catets del qual mesuren 3 cm i 4 cm.
7. Busqueu l'àrea d'un rombe les diagonals del qual són D = 8 hm i
d = 60 dam. Primer, expressarem les mides de les diagonals en la mateixa unitat d’àrea: per exemple, l’hectòmetre quadrat. d = 60 dam = 6 hm. Així,
72 66
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
68 69
![Page 70: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/70.jpg)
3
8. Trobarem l'àrea d'un trapezi a partir de les dades següents: b = 1,8 dm, b' = 0,1 m i h = 6 cm. SOL.: Primer, expressem totes les mesures en una mateixa unitat: el centímetre, per exemple. b = 1,8 dm = 18 cm b'= 0,1 m = 10 cm 9. Sabem que un costat d'un hexàgon regular té 6 cm de longitud. ¿Quant val l'àrea
SOL.:
Perímetre: p=6·6cm= 36cm
Trobarem l'apotema en aplicar el teorema de Pitàgores:
10. Calculeu l'àrea, en metres quadrats, d'un cercle de 2 dm de diàmetre.
SOL.:
El radi és la meitat del diàmetre, és a dir, 1 dm.
73 67
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
69 70
![Page 71: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/71.jpg)
4
11. Trobeu l'àrea d'un sector circular de radi 3 cm i angle central de 60°.¿Quina seria l'àrea si l'angle fos el doble?
SOL.: Si l’angle fos el doble, n = 120º, l’àrea també seria el doble: 9,42 cm2. 12. Calculeu l'àrea d'un segment circular de radi 4 m, angle central 30° i
longitud de la corda 2 m.
SOL.:
Àrea del segment circular = Àrea del sector circular Àrea del triangle
13. Un jardí té forma circular de 700 m de radi. Al centre hi ha una font, també cir-
cular, de 5 m de radi.¿De quina superfície, expressada en àrees, disposen les persones per passejar?
SOL.: Recordem que 1 àrea (a) = 1 dam2
R = 700 m = 70 dam
14. Trobeu l'àrea del polígon ABCDE de la figura que hi ha a la pàgina següent.
SOL.:
_
74 68
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
70 71
![Page 72: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/72.jpg)
5
S'ha fet !a descomposició en trapezis i triangles dibuixant una de les diagonals (per exemple BE) i traçant-li les perpendiculars des dels vèrtexs A, C i D.
Amb les dades de la figura podem trobar les àrees següents:
75 69
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
c ia
i Tec
no
log
ia8
. TR
IGO
NO
ME
TR
IA
71 72
![Page 73: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/73.jpg)
1
1. El volum d’una esfera és de 8 cm2. ¿Quina és la longitud del radi?
SOL.:
Aïllem el radi a la fórmula de l’àrea i substituïm el valor d’aquesta:
ππ
3 3V4 3,14 3,14 3,14
V 3 8 3 2 6r r = ;
43
4 1,913
=⋅
⋅ ⋅⋅ ⇒ = = = =
⋅
3r r1,91 1,24 cm= =⇒
Per al càlcul d’aquesta arrel cúbica és necessària la calculadora científica. Es pot fer amb qualsevol de les dues tecles que estan marcades amb un cercle vermell. En altres calculadores poden canviar les tecles, però la funció arrel cúbica segur que hi és.
ACTIVITATS PER PRACTICAR 4 . VOLUMS I CAPACITAT
76 70 72 73
![Page 74: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/74.jpg)
2
2. Quants cm3 són 41,7612 dam3? SOL.:
Com que són 3 espais multipliquem per 1 000 000 000, o sigui: 41 761 200 000 cm3.
3. ¿Quants dam3 són 569013,4 dm3?
4. A la següent taula d’àrees i volums, relacioneu amb una fletxa, d’un color que no sigui negre, perquè ressalti, el nom del Cos amb la Figura correcta:
77 71 73 74
![Page 75: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/75.jpg)
3
5. Esbrina el volum de les figures següents:
SOL.:
78 72 74 75
![Page 76: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/76.jpg)
4
6. Calculeu el volum d'un con que té una base de 10 cm de diàmetre i una altura de 25 cm.
7. Calcula el volum d'una esfera de 4 dm de diàmetre.
8. En un armari de 2 m x 2 m x 60 cm hi volem guardar 30 caixes de 60 cm x 25 cm x 10
cm. ¿Hi cabran totes?
SOL.:
9. ¿Quin volum té un tub cilíndric de pasta dentifrícia que fa 3 cm de diàmetre per 17 cm de llarg?
SOL.:
79 73 75 76
![Page 77: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/77.jpg)
5
10. S'ha construït una esfera de 7,5 m de diàmetre com a símbol d'una fira comercial. ¿Quin volum de gas heli es necessita per inflar-la i fer-la enlairar?
11. Les golfes d'una casa tenen forma de piràmide de base rectangular. Si el terra fa 6 m x 5 m i l'altura 2,5 m, ¿quin volum tenen?
12. Una copa de gelat amb forma de con té un volum de 150 cm3. Si l'altura de la copa és de 10 cm, ¿quin radi fa la part més ampla?
SOL.:
80 74 76 77
![Page 78: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/78.jpg)
6
13. Tenim una gran caixa d'embalatge de fusta en forma de cub de 24 m2 de superfície total. Necessitem saber els metres de tira metàl·lica de reforç que hem de comprar per posar-ne a totes les arestes. SOL.: Un cub té sis cares i dotze arestes. Cada aresta és la longitud del costat del quadrat que és una cara. La superfície total -l’enunciat no diu que la caixa sigui oberta i, per tant, s'han de comptar totes les cares- és . Hem d'aïllar l'aresta:
La suma de totes les arestes és i, que és la lon-
gitud total de la tira de reforç que s'hi ha de posar.
14. Calcula la superfície de fusta que necessitem per construir la caseta del gos amb la forma i dimensions indicades a la figura i tenint en compte que el terra també serà de fusta i que la part davantera serà oberta. SOL.: Observem que és un prisma triangular, on s'ha de comptar només amb una base, ja que l'altra no té superfície. Per tant, l'àrea que haurem de calcular serà la lateral més l'àrea d'una base.
La base del prisma és un triangle isòsce-les. La longitud de la base d'aquest triangle és 1 m i l'altura també, 1 m. L'àrea de la base del prisma és:
15. Es vol fer una reproducció amb cartró d'una de les piràmides d'Egipte. És una piràmide quadrangular regular de 9 m d'altura. La seva base és un quadrat de 4 m de costat. ¿Quant cartró es necessitarà si es vol reproduir tota la piràmide?
SOL.: Hem de calcular l'àrea total. Primer s'ha de calcular l'apotema.
Així, l'àrea demanada és:
81 75 77 78
![Page 79: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/79.jpg)
7
82 76 78 79
![Page 80: Matemàtiques 2](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012402/568c36721a28ab0235980d90/html5/thumbnails/80.jpg)
94
Ma
tem
àti
qu
es,
Ciè
ncia
i T
ecn
olo
gia
8. T
RIG
ON
OM
ET
RIA
P
UN
T D
’AR
RIB
AD
A. A
CT
IVIT
AT
S D
’AV
AL
UA
CIÓ
DE
L M
ÒD
UL
PUNT D’ARRIBADA. ACTIVITATS D’AVALUACIÓ DEL MÒDUL
Activitat 1
En un triangle isòsceles l’angle desigual mesura 120º. Quant mesuren els altres
dos angles? De quin tipus és el triangle si el classifiquem segons els angles?
Activitat 2
Calcula la hipotenusa d’un triangle rectangle de catets 8 cm i 15 cm. Quant val
la seva àrea?
Activitat 3
Els costats d’un rectangle mesuren 4 i 16 metres respectivament. Quant mesu-
ra el costat del quadrat que té la mateixa àrea que aquest rectangle?
Activitat 4
D’un triangle rectangle en coneixem un catet, 8 cm, i l’angle oposat, 40º. Cal-
cula quant mesuren els altres dos costats.
83 77 79 80