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Instituto Politécnico Nacional Semestre 2015-II
Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería Grupos 3AM1 / 3AV1
Campus Guanajuato Marzo 18
Tarea 6
Ecuaciones clásicas en otros sistemas coordenados / Transformada de Laplace
Matemáticas Superiores Rubén A. Águeda-Altúzar / Carlos Campos-Apanco
1. Dé un esbozo de la deducción de la ecuación deLaplace para la distribución de temperaturas u =u(r, θ) en forma polar
∂2u
∂r2+
1
r
∂u
∂r+
1
r2∂2u
∂θ2= 0,
a partir de su forma cartesiana
∂2u
∂x2+∂2u
∂y2= 0,
para u = u(x, y).
2. Encuentre la temperatura de estado estable u(r, θ) enla placa cuya forma se indica en la siguiente �gura,sujeta a las condiciones que allí mismo se indican.
3. Considere ahora para este mismo anillo las condicio-nes de frntera
u(a, θ) = u0 y a(b, θ) = u1,
u0 y u1 constantes, demuestre que la temperatura deestado estable está dada por
u(r, θ) =1
ln (a/b)[u0 ln(r/b) − u1 ln(r/a)].
Sugerencia: Observe que la ecuación a resolver es no ho-mogénea.
4. Una placa circular está compuesta por dos mterialesdistintos en forma de círculos concéntricos, como semuestra en la �gura anterior. Determine la distribu-ción de temperaturas u(r, θ) en la placa se rige porla ecuación
∂2u
∂r2+
1
r
∂u
∂r=∂u
∂t,
sujeto a las condiciones
u(2, t) = 100 y u(r, 0) =
{200, 0 < r < 1100, 1 < r < 2.
Sugerencia: proponga u(r, t) = v(r, t) + ψ(r).
5. Cuando hay transferencia de calor desde la super�cielateral de un cilindro circular de longitud in�nita yradio r = 1 (véase la imagen siguiente) hacia el me-dio circundante a temperatura cero, la temperaturadentro del cilindro se determina mediante la ecuación
k
(∂2u
∂r2+
1
r
∂u
∂r
)=∂u
∂t,
sujeta a las condiciones
∂u
∂r
∣∣∣∣r=1
= −hu(1, t) y u(r, 0) = f(r),
donde h es una constante positiva. Determine u(r, t).
2 Matemáticas Superiores
6. El comportamiento de una membrana circular vibra-toria de radio c lo describe la siguiente ecuación,
a2(∂2u
∂r2+
1
r
∂u
∂r+
1
r2∂2u
∂θ2
)=∂2u
∂t2,
sujeta a las condiciones de frontera
u(c, θ, t) = 0 y∂u
∂t
∣∣∣∣t=0
= g(r, θ)
y a la condición inicial u(r, θ, 0) = f(r, θ).
(a) Suponga que u(r, θ, t) = R(r)Θ(θ)T (t) y que lasconstantes de separación son −λ y −ν. Demues-tre que las ecuaciones dierenciales separadas son
T ′′ + a2λT = 0, Θ′′ + νΘ = 0
y r2R′′ + rR′ + (λr2 − ν)R = 0.
(b) Haciendo λ = α2 y ν = β2, resuelva las ecua-ciones separadas.
(c) Determine las ecuaciones características de ca-da ecuación separada y los valores correspon-dientes.
(d) Resuelva la ecuación parcial usando una solu-ción en series múltiples. No intente evaluar loscoe�cientes.
7. Determine la temperatura de estado estable u(r, θ)en el interior de una esfera hueca a < r < b, si susuper�cie interna r = a se conserva a la temperatu-ra f(θ) y su super�cie externa r = b se conserva atemperatura cero.
8. La temperatura de estado estable de un hemisferiode radio r = c se determina a partir de
∂2u
∂r2+
2
r
∂u
∂r+
1
r2∂2u
∂θ2+
ctg θ
r2∂u
∂θ= 0,
donde 0 < r < c y 0 < θ < π/2, sujeta a las condi-ciones u(r, π/2) = 0 y u(r, θ) = f(θ).
9. Resuelva el problema anterior, pero ahora conside-rando que la base del hemisferio está aislada:
∂u
∂θ
∣∣∣∣θ=π/2
,
para 0 < r < c, desde luego.
10. Transformada de Laplace. Una barra uniformeestá sujeta en x = 0 y está inicialmente en reposo.Si se aplica una fuerza constante F0 al extremo libreen x = L, el desplazamiento longitudinal u(x, t) deuna sección transversal de la barra se determina por
a2∂2u
∂x2=∂2u
∂t2
sujeta a las condiciones
u(x, 0) = u(0, t) =∂u
∂t
∣∣∣∣t=0
= 0 y E∂u
∂x
∣∣∣∣x=L
= F0,
con E constante. Determine u(x, t).
Sugerencia: Desarrolle la expresión 1
1+e−2sL/a en una se-rie geométrica.
11. El desplazamiento de una cuerda elástica semiin�ni-ta se determina a partir de la ecuación
a2∂2u
∂x2=∂2u
∂t2,
sujeta a las condiciones u(0, t) = f(t), u(x, 0) = 0,
∂u
∂t
∣∣∣∣t=0
= 0 y lımx→∞
.
(a) Determine u(x, t).
(b) Dibuje el desplazamiento u(x, t) > 1 después deresolver el problema anterior, considerando que
f(t) =
{sen (πt), 0 ≤ t ≤ 10, t > 1.