Download - Matemáticas Fractal 2
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para la sociedad del conocimiento
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MATEMÁTICAS SECUNDARIA SEGUNDO GRADO
Fractal 2. MatemáticasSerie ConStruir
Primera edición, 2007Segunda edición, 2008Tercera edición, 2011D. R. © SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2011Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D.F.Tel.: (55) 1087 8400www.ediciones-sm.com.mx
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro número 2830
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.
La marca Ediciones SM® es propiedad de SM de Ediciones, S. A. de C. V.
Prohibida su reproducción total o parcial.
Impreso en México/Printed in Mexico
Dirección de contenidos y servicios educativos Elisa Bonilla Rius
Gerencia de publicaciones escolaresFelipe Ricardo Valdez González
Coordinación editorialErnesto Manuel Espinosa Asuar
EdiciónCésar Jiménez EspinosaAlberto Lara CastilloArmando Solares Rojas
Revisión técnicaLaura Reséndiz Margarita Ramírez B.Ernesto Manuel Espinosa Asuar
AutoresSilvia García Peña, David Francisco Block Sevilla
ColaboraciónMónica de Lourdes Valencia (páginas 80, 81, 128, 129, 210, 211, 240 y 241)
Coordinación de correcciónAbdel López Cruz
CorrecciónEquipo SM, Daniel García
Dirección de arte y diseñoQuetzatl León Calixto
Diseño de la serieJesús García, Pedro Castellanos
Diseño de portadaRenato Aranda
Coordinación de iconografía e imagenRicardo Tapia García
ImagenEquipo SM
Coordinación de diagramaciónJesús Arana
DiagramaciónCynthia CastañedaPedro CastellanosAldo BotelloVíctor Hugo Romero Vargas
IlustracionesMaribel Vidals, Bertha Ramírez, Rubén NavaJudith Meléndrez, Guillermo López WirthJavier De Aquino.
FotografíaArchivo SM, Photos.comM.C. Escher’s © 2008 The M.C. Escher Company-Holland. All rights reserved. Págs. 156, 213.
Digitalización y retoqueCarlos López, Ernesto Negrete, Federico Gianni
ProducciónCarlos Olvera, Teresa Amaya
Guía de uso
Qué es hacer matemáticas? Diseñar un vitral, contar las sillas para saber si alcanzarán para los invitados, medir la superficie de un terreno, averiguar la tarifa telefónica que
más conviene, decidir si un juego con dados es equitativo, son algunas de muchas acciones en las que hacemos matemáticas.
También hacemos matemáticas cuando intentamos contestar preguntas de las matemáticas mismas, por ejemplo: ¿existe un número que multiplicado por 5 dé un resultado menor que 5?, las medidas de los lados de un triángulo, ¿pueden ser tres números cualesquiera?, ¿es posible prever cuál será el centésimo término de una sucesión que empieza así: 1, 3, 5, 7…?
Hacer matemáticas es usar los conocimientos de esta disciplina que ya se tienen, para resolver ciertos problemas, y también es crear nuevos conocimientos, cuando los que se tienen no son suficientes.
Hacer matemáticas es una buena manera de aprender matemáticas. Por ello, en este libro procuramos proponerte numerosas cuestiones que pueden resolverse con ayuda de las matemáticas.
Cuando enfrentas problemas nuevos, debes sentirte con la libertad de hacer todo lo que se te ocurra para resolverlos, por ejemplo, apoyarte en dibujos, ensayar resultados o procedimientos y, cuando no funcionen, probar otra vez. Poco a poco, al resolver más problemas, al conocer lo que hacen tus compañeros y con la ayuda de tu profesor, la manera en que resuelves esos problemas se irá haciendo más sistemática y segura.
Cuando desarrollas o conoces una técnica nueva para resolver cierto tipo de problemas, debes practicarla para dominarla.
Para aprender matemáticas es recomendable combinar el estudio individual con el trabajo en parejas, en equipos o en grupo: l al enfrentar una nueva tarea, es bueno que pienses un rato tú solo. Después, compartir
las ideas y las dudas con los otros, trabajando en parejas o en equipos, te puede ser muy útil para avanzar.
l al terminar de resolver los problemas, explicar al grupo lo que hiciste o lo que hicieron en tu equipo, conocer lo que hicieron tus otros compañeros, decidir juntos si los resultados son correctos o no, y conocer los aportes del profesor, te ayudará mucho a aprender.A lo largo del libro se indican únicamente los momentos de trabajo en grupo, en equipo
o en pareja que son muy necesarios, con estos símbolos:
Sin embargo, en muchos otros momentos que no se indican, esas formas de organización pueden ser convenientes. Tu profesor o profesora les propondrá en qué momentos usarlas.
Esperamos, como todos los autores que escriben libros para jóvenes como tú, que este libro, además de ayudarte a aprender, te haga decir, algunas veces, ¡esto sí me gusta!
Los autores
Presentación
1.4.
Uso
del
leng
uaje
nat
ural
par
a ex
plic
ar e
l sig
nific
ado
de a
lgun
as fó
rmul
as g
eom
étric
as,
inte
rpre
tand
o lit
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es c
omo
núm
eros
gen
eral
es c
on lo
s qu
e es
pos
ible
ope
rar.
213
En la imagen se puede ver una lámina de M. Escher ti-tulada Reptiles en la que se tesela un plano con figuras que entran y salen de él. En muchas de sus obras, Escher realiza teselaciones similares, aplicando traslaciones, ro-taciones y simetrías.
En este bloqueestudiarás:• sistemas de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas;• propiedades de la rotación,
y traslación de figuras; • diseños con simetría axial
y central;• representación gráfica
de un sistema de ecuaciones;• probabilidad de eventos
mutuamente excluyentes.
BLOQUE V
54
1 Consideren esta malla formada por romboides iguales. Recuerden que los lados opuestos de un romboide son paralelos.
Sabemos que:r1 II r2
t1 II t2
a) Elaboren algunas conjeturas acerca de las relaciones entre los cuatro ángulos interiores del rom-boide: a, b, c y d.
l ¿Cómo creen que son entre sí los ángulos a y d?
l ¿Cómo creen que son entre sí los ángulos c y b?
l ¿Qué relación creen que hay entre los ángulos a y b?
l ¿Qué relación creen que tienen los ángulos c y d?
l ¿Cuánto creen que suman los cuatro ángulos?
b) Completen los siguientes razonamientos. Vean si llegaron a las mismas conclusiones.
l Relación entre el ángulo a y el ángulo d
i) Como r1 es paralela a r2 el / e es igual a / a por ser
ii) Como t1 es paralela a t2 el /e es igual a / d por ser
iii) Como /a y /d son iguales a /e, entonces /a y /d son
Lección 20
r1
r2
t2t1
e
fd
a
c
b
La malla de romboidesLo que has estudiado sobre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una transversal te será útil para descubrir algunas propiedades de los ángulos interiores de paralelogramos.
55
l Relación entre los ángulos a y b
i) / a + / f = por ser
ii) / b = / f por ser
iii) Entonces / a + / b =
c) Justifiquen las siguientes afirmaciones. Cuando sea necesario, identifiquen más ángulos de la malla con otras letras.
l El ángulo c es igual al ángulo b.
l Las medidas del ángulo c y del ángulo d suman 180°
d) Averigüen a cuánto es igual la suma de los cuatro ángulos interiores de un romboide; justifiquen su respuesta.
2 Comparen sus conjeturas iniciales con los razonamientos posteriores y compar-tan sus respuestas con sus compañeros y compañeras. Comenten la siguiente in-formación.
En un romboide, los ángulos opuestos son iguales, los ángulos consecutivos suman 180º y los cuatro ángulos interiores suman 360º.
3 Al igual que los romboides, los cuadrados, los rectángulos y los rombos también son paralelogramos por tener sus lados opuestos paralelos. Analiza si la informa-ción del recuadro anterior se cumple para estas figuras. Escribe sí o no.
4 Resuelve los anexos 1 y 2 de las páginas 236 a 239.
1.6.
Just
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.
TECNOLOGÍA
Comentario sobre algún aspecto histórico de un conocimientode matemáticas.
Fractal 2 está dividido en cinco bloques. Cada bloque inicia con una página introduc-toria que consta de los siguientes elementos:
Actividades de construcción del conocimiento.Actividades diseñadas para que el alumno se enfrente a situaciones problemáticas con los conocimientos de matemáticas que ya posee y desarrolle nuevas técnicas y conceptos que le permitan resolver problemas similares.
Formas de organizaciónEn algunas actividades se sugieren formas de organizar el trabajo, individual, en equipos, en parejas o grupal.
tecnologíaEstas actividades se refieren a la sección Anexos, al final del libro.
Contenidos programáticos que se estudian en el bloque.
Imagen que ilustra algunos conceptos matemáticos del bloque.
Los contenidos se desarrollan con lecciones de dos páginas que presentan estos componentes:
ConceptosCuando es necesario, los conceptos importantes de la lección aparecen resaltados.
introducciónTexto breve donde se destaca algún aspecto sobresaliente del conocimiento que se va a estudiar.
ContenidoEn cada lección se indica el contenido del programa oficial que se trabaja en la lección. Cuando en una lección intervienen de manera importante varios contenidos del programa, se señalan todos.
Guía de uso
Presentación para el maestro
El enfoque didáctico de Fractal
A continuación se exponen las principales características del enfoque didáctico que subyace en el desarrollo de los temas en los libros Fractal.
Empezar con un problema. Los enfoques contemporáneos para la enseñanza de las matemáticas tienden a coincidir en que, para lograr el aprendizaje significativo de un conocimiento, es necesario que éste aparezca como respuesta a una pregunta o como so-lución a una problemática que los alumnos ya hayan enfrentado. Se considera también que, en muchos casos, al enfrentar una problemática adecuada, los alumnos pueden desarrollar por sí mismos conocimientos aproximados al que se les quiere enseñar.
Por esta razón, numerosas lecciones de Fractal comienzan con el planteamiento de uno o varios problemas; sólo después y paulatinamente se presenta la información relativa al conocimiento tratado.
¿Cómo solucionarán los alumnos un problema si aún no se les enseña el conocimiento que lo resuelve? Los problemas que se plantean antes de dar información sobre el cono-cimiento involucrado, han sido diseñados o seleccionados de manera tal que los alumnos puedan abordarlos aunque no dispongan de la herramienta óptima. Esto significa que tal vez se aproximen a la solución de dichos problemas con herramientas más elementales o bien que, aun cuando no pudieran resolverlos, identifiquen una limitación en sus conoci-mientos previos y la necesidad de uno nuevo.
Después de abordar estos problemas iniciales, conforme se introducen aspectos del nuevo conocimiento, es conveniente que los alumnos resuelvan más problemas y ejerci-cios para aplicar dichos aspectos y afirmarlos. Cuando lo considere necesario, el profesor complementará los problemas y ejercicios de aplicación que se proponen con otros que él diseñe o tome de otros materiales.
Varios procedimientos y no uno solo. “¿Por qué tanto brinco estando el suelo tan parejo?” es la pregunta que se hacen algunos maestros ante la diversidad de proce-dimientos que se propone para resolver ciertos tipos de problemas. Hay varias razones: ocurre con frecuencia que los procedimientos más rápidos, o más elaborados, para re-solver ciertos problemas parecen fáciles de operar pero son difíciles de comprender (por ejemplo, el algoritmo de la multiplicación por decimales o la regla de tres), tal dificultad hace que los alumnos tengan poco control sobre su uso y, en consecuencia, alteren los pa-sos; otros procedimientos, en cambio, aunque más precarios, por ser más largos o menos sistemáticos, son más fáciles de comprender para los alumnos, incluso en ciertos casos los pueden establecer por sí mismos. Estos procedimientos cumplen varias funciones: ayudan a consolidar la comprensión del tema; en ciertos casos, algunos son más económicos que el procedimiento más avanzado e, incluso, constituyen una herramienta “de emergencia” para los casos en que olvidan la técnica más avanzada.
Cabe señalar, además, que está demostrado, al menos para algunos temas, que los alumnos que han desarrollado varios procedimientos tienden a ser más exitosos en la re-solución de problemas. A final de cuentas, ¿cuál de varios procedimientos es el mejor? Esto depende muchas veces del tipo de problema y de los conocimientos de quien resuelve.
Articulación de contenidos. Uno de los “males” de los programas escolares es que atomizan los conocimientos en aras de organizar la enseñanza: los conocimientos en los
Guía de usoPresentación para el maestro
programas han tendido, a lo largo del tiempo, a segmentarse en pequeños conocimientos parciales, aislados unos de los otros, con lo cual su sentido se ha mermado y dificultado, contrariamente a lo que se buscaba.
Una tendencia actual en la enseñanza de las matemáticas es buscar mayor integración de los conocimientos. Si bien en este aspecto todavía hay mucho camino por andar, los programas actuales ofrecen ciertas mejoras, y en la serie Fractal hemos intentando apro-vechar esas posibilidades. Así, por ejemplo, los temas de números racionales, proporciona-lidad y escala se articulan en la secuencia propuesta para el estudio de la multiplicación por números no enteros; la noción de función lineal se articula con la de relación proporcional; las áreas y los volúmenes se exploran para determinar si varían proporcionalmente. Estas integraciones pueden identificarse en la indicación de los contenidos del programa que se tratan en cada lección, señalados en el margen derecho de las lecciones.
Secuencias de lecciones. Las lecciones se presentan casi siempre en grupos de dos a cuatro y, en pocos casos, cinco. Cada grupo constituye una pequeña secuencia en la que se abre un aspecto nuevo de un tema, se desarrolla y se cierra; esto no impide que en otro grupo de lecciones se retome algún aspecto de ese mismo tema.
En esta nueva edición hemos mejorado el contenido de las lecciones al enfatizar los elementos del enfoque propuesto en el programa para la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. Además, hemos pensado en apoyarlo para el logro de los apren-dizajes esperados con dos innovaciones en el material dirigidas a un aspecto en específico.
• Para la planificación de la enseñanza, incluimos una propuesta de dosificación de las lecciones, en ésta se consideró que algunas lecciones son más complejas que otras, y la revisión de su contenido puede requerir dos o hasta tres clases;
• para la evaluación continua, agregamos en el índice los conocimientos y habilidades indicados en el programa con el fin de facilitar su identificación y seguimiento.
Esperamos que Fractal constituya un apoyo en sus clases, una herramienta que enri-quezca su acervo matemático y didáctico, pero, sobre todo, que se convierta en una fuente de aprendizaje y experiencias significativas para sus alumnos.
Los autores
Dosificación
Debido a que el tiempo que dedica a cada apartado de Conocimientos y habilidades o lección depende, en gran parte, de su forma de trabajo y de las características de sus grupos, esta tabla es una propuesta que usted podrá modificar de acuerdo con el ritmo que marque el grupo, las fechas de entrega de calificaciones o las eventualidades que surjan (suspensiones, juntas, etc.). En aquellas semanas en que el tiempo lo permita,
S E M A N A S
1 2 3 4
BLO
QU
ES
1
1.1. Multiplicación y división de números con signo(lecciones 1 a 4)
1.2. Adición y sustracción de expresiones algebraicas (lecciones 5 a 7)
1.3. Expresiones algebraicas equivalentes (lección 8)
1.3. Expresiones algebraicas equivalentes (lección 9 )
1.4. Estimar y medir ángulos(lecciones 10 a 12)
1.5. Posiciones relativas de rectas. Ángulos entre dos rectas que se cortan(lecciones 13 a 16)
2
2.1. Jerarquía de operaciones y uso de paréntesis(lecciones 32 a 34)
2.2. Multiplicación de expresiones algebraicas (lecciones 35 a 37)
2.3. Características y desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides (lecciones 38 a 41)
2.4. Fórmulas del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos(lecciones 42 y 43)
3
3.1. Sucesiones de números con signo(lecciones 53 a 55)
3.2. Ecuaciones del tipo ax + bx + c = dx + ex + f(lecciones 56 a 58)
3.3. Funciones de la forma y = ax + b asociadas a diversos fenómenos (lecciones 59 a 61)
3.4. Fórmula para la suma de ángulos interiores de cualquier polígono(lecciones 62 y 63)
4
4.1. Potencias. Notación científica(lecciones 70 a 72)
4.2. Criterios de congruencia de triángulos(lecciones 73 a 76)
4.3. Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un triángulo(lecciones 77 y 78)
4.3. Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un triángulo(lecciones 79 y 80)
5
5.1. Sistemas de ecuaciones con coeficientes enteros (lección 88)
5.3. Representación gráfica de un sistema de ecuaciones(lecciones 89 y 90)
5.1. Sistemas de ecuaciones con coeficientes enteros (sustitución)(lecciones 95 a 97)
5.2. Transformacionesen el plano(lecciones 91 a 94)
Guía de usoDosificación
podrá trabajar las actividades de Las matemáticas en… así como Y para terminar o adelantar el trabajo de otros apartados si no es suficiente el tiempo asignado en la tabla. Los colores señalan al eje que corresponde a cada apartado: en azul el eje Sentido numérico y pensamiento algebraico; en amarillo Forma espacio y medida; y en verde Manejo de la información. Cabe señalar que la redacción de los apartados ha sido simplificada.
S E M A N A S
5 6 7 8 9
1.6. Ángulos entre paralelas. Ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros(lecciones 17 a 20)
1.7. Relación proporcional: factor inverso y factor de proporcionalidad fraccionario(lecciones 21 a 24)
1.8. Proporcionalidad múltiple(lecciones 25 y 26)
1.9. Problemas de conteo(lecciones 27 y 28)
1.10. Polígonos de frecuencia(lecciones 29 a 31)
Repasemos lo aprendido(páginas 78 y 79)
Evaluación del bloque 1
2.5. Cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides. Conversiones de medidas de volumen-capacidad(lecciones 44 y 45)
2.6. Comparación de razones(lecciones 46 a 48)
2.7. Medidas de tendencia central (lecciones 49 a 52)
Repasemos lo aprendido(páginas 126 y 127)
Evaluación del bloque 2
3.5. Recubrimientos del plano (lecciones 64 y 65)
3.6. Gráficas de relaciones lineales de diversos fenómenos(lección 66)
3.7. Análisis de la gráfica de y = mx + b cuando m permanece constante y b varía(lecciones 67 y 68)
3.8. Análisis de la gráfica de y = mx + b cuando b permanece constante y m varía(lección 69)
Repasemos lo aprendido(páginas 166 y 167)
Evaluación del bloque 3
4.4. Probabilidad de ocurrencia de eventos independientes(lecciones 81 a 83)
4.5. Gráficas de línea(lecciones 84 y 85)
4.6. Gráficas formadas por segmentos de recta(lecciones 86 y 87)
Repasemos lo aprendido(páginas 208 y 209)
Evaluación del bloque 4
5.4. Probabilidad de ocurrencia de eventos mutuamente excluyentes(lecciones 98 y 99)
Repasemos lo aprendido(páginas 238 y 239)
Evaluación del bloque 5
Índice
Bloque 1 Conocimientosyhabilidades
Lección 1. ¿Menos cuatro veces cinco? 16 1.1. Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo.Lección 2. ¿Menos cuatro veces menos cinco? 18
Lección 3. Varios factores y distintos tipos de números
20
Lección 4. El factor faltante 22
Lección 5. Un juego para empezar 24 1.2. Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.Lección 6. Cuadrados mágicos 26
Lección 7. Adivina la suma 28
Lección 8. Expresiones que valen lo mismo I 30 1.3. Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.
Lección 9. Expresiones que valen lo mismo II 32
Lección 10. Ángulos en el reloj 34 1.4. Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida.
Lección 11. Con o sin transportador 36Lección 12. Papirolas 38
Lección 13. La posición relativa de dos rectas 40 1.5. Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano, reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.
Lección 14. ¿Qué parejas de rectas se forman? 42Lección 15. El geoplano circular I 44Lección 16. El geoplano circular II 46
Lección 17. Ángulos que se corresponden 48 1.6. Establecer las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal.
Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.
Lección 18. Otras parejas de ángulos importantes 50Lección 19. La malla de triángulos 52Lección 20. La malla de romboides 54
Lección 21. Factores de escala I 56 1.7. Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.
Lección 22. Factores de escala II 58Lección 23. Del maíz a las tortillas 60Lección 24. El IVA y otros factores
de proporcionalidad62
Lección 25. Depende de… ¡varias magnitudes! I 64 1.8. Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple.Lección 26. Depende de… ¡varias magnitudes! II 66
Lección 27. Helados de sabores 68 1.9. Anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identificación de regularidades. Verificar los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos.
Lección 28. Distintos números con las mismas cifras
70
Presentación 3Guía de uso 4Presentación para el maestro 6Dosificación 8
Guía de usoÍndice
Lección 29. Agrupando datos 72 1.10. Interpretar y comunicar información mediante polígonos de frecuencia.Lección 30. Un nuevo tipo de gráfica 74
Lección 31. Saber interpretar gráficas 76
Repasemos lo aprendido 78
Las matemáticas en los mapas 80
Y para terminar… 82
Bloque 2 Conocimientosyhabilidades
Lección 32. Signos de agrupación 84 2.1. Utilizar la jerarquía de las operaciones, y los paréntesis si fuera necesario, en problemas y cálculos.Lección 33. Los signos mandan 86
Lección 34. Paréntesis dentro de paréntesis 88
Lección 35. Distintas formas de multiplicar 90 2.2. Resolver problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas.Lección 36. La medida de un lado 92
Lección 37. Propiedades curiosas 94
Lección 38. Los encantos del cubo 96 2.3. Describir las características de cubos, prismas y pirámides. Construir desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides rectos. Anticipar diferentes vistas de un cuerpo geométrico.
Lección 39. Prismas 98Lección 40. Las pirámides 100Lección 41. Un mismo objeto, muchas vistas 102
Lección 42. ¿Cuál es el volumen? 104 2.4. Justificar las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.Lección 43. Una relación interesante y útil 106
Lección 44. Cajas y recipientes 108 2.5. Estimar y calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Calcular datos desconocidos, dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen. Establecer relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides. Realizar conversiones de medidas de volumen y de capacidad y analizar la relación entre ellas.
Lección 45. Variaciones 110
Lección 46. ¿Qué trato conviene más? 112 2.6. Resolver problemas de comparación de razones, con base en la noción de equivalencia.Lección 47. ¿Qué tono de gris es más claro? 114
Lección 48. Razones famosas 116
Lección 49. La media y la distribución equitativa 118 2.7. Interpretar y calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados, considerando de manera especial las propiedades de la media aritmética.
Lección 50. ¿La media es 2.73 niños en edad escolar?
120
Lección 51. La media en datos agrupados 122Lección 52. Otros valores representativos 124
Repasemos lo aprendido 126
Las matemáticas en el balón de futbol 128
Y para terminar… 130
Índice
Bloque 3 Conocimientosyhabilidades
Lección 53. ¿Cuántos cuadritos hay en el borde? I 132 3.1. Construir sucesiones de números con signo a partir de una regla dada. Obtener la regla que genera una sucesión de números con signo.
Lección 54. ¿Cuántos cuadritos hay en el borde? II 134Lección 55. Con figuras o con números 136
Lección 56. Adivinanzas fáciles y no tan fáciles 138 3.2. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + bx + c = dx + ex + f y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros o fraccionarios, positivos o negativos.
Lección 57. Amplificar y simplificar 140Lección 58. Problemas diversos 142
Lección 59. Figuras en el plano cartesiano 144 3.3. Reconocer en situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar esta relación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b.
Lección 60 Pesos y resortes 146Lección 61. Unas cantidades dependen de otras 148
Lección 62. Desde un vértice 150 3.4. Establecer una fórmula que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.Lección 63. Calcular sin medir 152
Lección 64. Mosaicos 154 3.5. Conocer las características de los polígonos que permiten cubrir el plano y realizar recubrimientos del plano.Lección 65. Adornando el plano 156
Lección 66. El lenguaje de las gráficas 158 3.6. Construir, interpretar y utilizar gráficas de relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos.
Lección 67. El tinaco de agua 160 3.7. Anticipar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b mientras el valor de m permanece constante.3.8. Analizar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando cambia el valor de m, mientras el valor de b permanece constante.
Lección 68. La ecuación de la recta I 162 3.7. Anticipar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b mientras el valor de m permanece constante.
Lección 69. La ecuación de la recta II 164 3.8. Analizar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando cambia el valor de m, mientras el valor de b permanece constante.
Repasemos lo aprendido 166
Las matemáticas en las coordenadas geográficas 168
Y para terminar… 170
Bloque 4 Conocimientosyhabilidades
Lección 70. El número más grande posible 172 4.1. Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Interpretar el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo. Utilizar la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.
Lección 71. ¿Qué significa tres a la menos dos? 174Lección 72. Cantidades astronómicas
o microscópicas176
Guía de usoÍndice
Lección 73. Iguales o diferentes 178 4.2. Determinar los criterios de congruencia de triángulos a partir de construcciones con información determinada.Lección 74. ¿Qué figura resulta? 180
Lección 75. Mensajes breves pero efectivos 182Lección 76. Tipos de triángulos 184
Lección 77. Un triángulo al interior de un círculo 186 4.3. Explorar las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.Lección 78. Un círculo al interior de un triángulo 188
Lección 79. Centro de gravedad 190Lección 80. Las alturas de un triángulo 192
Lección 81. ¿Lloverá o no lloverá? 194 4.4. Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes.5.4. Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia.
Lección 82. La ruleta 196
Lección 83. Otra vez el dado 198 4.4. Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes.
Lección 84. Día Mundial de la Población 200 4.5. Interpretar y utilizar dos o más gráficas de línea que representan características distintas de un fenómeno o situación para tener información más completa y en su caso tomar decisiones.
Lección 85. El mundo en gráficas 202
Lección 86. Llenado de botellas 204 4.6. Interpretar y elaborar gráficas formadas por segmentos de recta que modelan situaciones relacionadas con movimiento, llenado de recipientes, etcétera.
Lección 87. El movimiento en gráficas 206
Repasemos lo aprendido 208
Las matemáticas en el infinito 210
Y para terminar… 212
Bloque 5 Conocimientosyhabilidades
Lección 88. Adivinanzas con… ¡dos números desconocidos!
214 5.1. Representar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.5.3. Representar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros e interpretar la intersección de sus gráficas como la solución del sistema.
Lección 89. Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones
216
Lección 90. Una solución, muchas soluciones o ninguna
218
Lección 91. Trasladando figuras 220 5.2. Determinar las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. Construir y reconocer diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.
Lección 92. Rotando figuras 222Lección 93. El reflejo del reflejo 224Lección 94. Figuras en movimiento 226
Lección 95. Otras técnicas para resolver sistemas de ecuaciones I
228 5.1. Representar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.
Índice
Lección 96. Otras técnicas para resolver sistemas de ecuaciones II
230 5.1. Representar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.
Lección 97. Problemas diversos 232
Lección 98. Independientes o no independientes
234 5.4. Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia.4.4. Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes.
Lección 99. Problemas con urnas 236
Repasemos lo aprendido 238
Las matemáticas en una tira de papel 240
Y para terminar… 242
Anexos 243Bibliografía 254
15
El pueblo babilónico fue el que comenzó a utilizar el sis-tema sexagesimal (de base 60); dividieron la esfera ce-leste en 360 grados y cada grado en 60 minutos. Así, la medición del tiempo quedó estrechamente ligada con la medición de los ángulos. El día fue dividido en 12 horas dobles: 12 horas de día-luz y 12 horas de noche. Cada hora a su vez se fraccionó en 60 minutos.
Aunque este sistema es un poco más difícil que el deci-mal, es el que usamos actualmente para medir el tiempo y los ángulos.
En este bloque aprenderás a:• Resolver problemas
que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones de números con signo.
• Justificar la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero.
• Resolver problemas de conteo mediante cálculos numéricos.
• Resolver problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos de cantidades.
• Interpretar y construir polígonos de frecuencia.
BLOQUE 1
Torr
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Ingl
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ra.
16
1 Realizaloqueacontinuaciónseindica.
a) Expresa mediante una suma y una multiplicación las operaciones representadas en las siguientes rectas.
Suma:
¿Cuál es el sumando que se repite en esta recta?
Multiplicación:
Suma:
¿Cuál es el sumando que se repite en esta recta?
Multiplicación:
b) Anota los resultados de estas multiplicaciones.
4 4 = 2 6 = 5 6 = 4 3 = 2 4 = 5 3 =
4 2 = 2 2 = 5 0 =
4 1 = 2 0 = 5 (3) =
4 0 = 2 (2) = 5 (6) =
4 (1) = 2 (4) =
4 (2) =
4 (3) =
Lección 1
16
�16 �14 �12 �10 �8 �6 �4 �2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
�24 �21 �18 �15 �12 �3�6�9 0 3 6 9 12
¿Menoscuatrovecescinco?Una manera de entender la multiplicación 4 x 5 es 4 veces 5; pero, ¿qué significanmultiplicaciones como 4 5 y 4 (5)?
17
2 Leelasiguienteinformación.
Una forma de entender la multiplicación es considerarla como una suma de sumandos iguales. Dichos sumandos pueden ser números positivos o negativos. Por ejemplo:
4 5 5 5 5 5 = 20 3 (–8) = (–8) + (–8) + (–8) = 24
5 (–a) (–a) (–a) (–a) + (–a) (–a) = 5a
3 Resuelvanlassiguientesoperacionesenequipoycomparensusresultados;encasodequehayadiferencias,averigüenquiéntienerazón.
a) 4 (10) b) (10) 4
c) (15) 3 d) 3 (15)
e) 6 (1) f) (1) 6
g) (8) 0 h) 0 (8)
i) 3 (2.5) j) (2.5) 3
4 Conayudadesuprofesoroprofesoraanalicenlasiguienteinformación.
En la multiplicación de números positivos el orden de los factores no altera el producto; por ejemplo, 4 5 5 5 4. Esta propiedad se llama conmutatividad y también es válida para los números negativos. Gracias a esta propiedad, es posible resolver una multiplicación como 4 5, y, aun cuando para nosotros no tenga sentido decir “menos cuatro veces cinco”, podemos estar seguros de que 4 5 5 5 (4) 5 20.
5 Completenlassiguientesfrases.
a) Siempre que se multiplican dos números de distinto signo, el resultado es un número
b) Siempre que un número positivo o negativo se multiplica por cero, el resultado es
c) Siempre que un número positivo se multiplica por 1, el resultado es
6 Realicenlosiguienteensuscuadernos.
a) Encuentren al menos tres multiplicaciones cuyo resultado sea 24.b) Encuentren al menos tres multiplicaciones cuyo resultado sea 875.c) Encuentren al menos una multiplicación cuyo resultado sea 38.d) Encuentren dos números que sumados den cero y multiplicados den 169.e) Encuentren dos números que sumados den 1 y multiplicados den 306.
7 Conayudadesuprofesoroprofesoracomparenlosresultadosdelproblemaan‑terior.
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Lección 2
1 Realizalosiguienteconuncompañeroocompañera.
a) Resuelvan las multiplicaciones de la sección azul de la tabla.
b) Observen que el segundo factor disminuye de 1 en 1 mientras que los productos aumentan de 3 en 3. ¿A qué se debe?
c) Las multiplicaciones de la sección naranja son de un número negativo por otro negativo. Vean qué sucede si mantienen la regularidad anterior y continúan suman‑do 3 a los productos. ¿Estos productos son negativos o positivos?
2 Conayudadelprofesorrealicenlosiguiente.
a) Comparen sus resultados con los de otras parejas.b) Observen que, si se mantiene la regularidad “por cada unidad que disminuye el segundo factor,
el producto aumenta tres unidades”, los productos de dos números negativos son positivos.
3 Construyanunatablacomolaanteriorapartirdelamultiplicación25.Escri‑banlosproductosqueseobtienenaldisminuirelsegundofactorde1en1.Veansilleganalamismaconclusiónqueconlatablaanterior.Comentensuconclusiónconotrasparejas.
4 LaregladecorrespondenciaentredosconjuntosdecantidadesAyB,esy=3x.Conbaseenestainfor‑maciónrealicenlosiguiente.
a) Anoten los datos que hacen falta en la parte azul de la si‑guiente tabla.
b) Ubiquen en el plano cartesiano de la página siguiente los pun‑tos que corresponden a esas coordenadas; observen que los puntos están alineados y tracen una recta que pase por ellos.
3 4 12 33 3
33 2
33 1
33 0
33 (1)
33 (2)
33 (3)
33 (4)
Conjunto A(x)
Conjunto B(y)
3 –9
2
1
0
– 1
–2
–3
y = 3x
¿Menoscuatrovecesmenoscinco?l El producto de dos números positivos es un número positivo; por ejemplo, 4 5 5 20. l El producto de un número positivo por uno negativo, o bien, de uno negativo por uno positivo,
es negativo; por ejemplo, 4 (5) 5 20 y 4 5 5 20.l ¿Y el producto de dos números negativos; por ejemplo, 4 (5)?
19
c) Para encontrar los valores que faltan en la sección naranja prolonguen la recta y ubiquen en el eje de las abscisas el 1; finalmente observen qué ordenada le corresponde. Sigan el mismo procedimiento con 2 y 3. Anoten en la tabla los valores que encuentren.
d) Ahora ya saben que a 2 le corresponde 16. La regla de co‑rrespondencia de la gráfica es:
y 3(x)
Esto quiere decir que: 3 (2) 6
También quiere decir que: 3 (1)
3 (3)
5 Conayudadesuprofesoroprofesoraanalicenlainformación.
El producto de dos números negativos es un número positivo; por ejemplo, 3 (2) =6
6 Anotalosnúmerosquefaltanenlassiguientesmultiplicaciones.
a) (5) (1) c) (a) (1) e) (8) ( ) 8
b) (1) (5) d) (1) (a) f) (8) ( ) 8
7 Escribelossignosquefaltanenlasiguientetablaycompletalosenunciados.
Enunciado1:Siempre que se multiplicandos números del mismo signo, el resultado es
Enunciado2: Siempre que se multiplicandos números de distinto signo el resultado es
8 Anotalosnúmerosquefaltanenlassiguientesmultiplicaciones.
a) (3) (5) = c) (7) ( ) = 56 e) (a) (b) =
b) (3) (5) = d) ( ) (8) = 56 f) (a) (b) =
�1�2�3�4�5�6�7�8�9
1
(3,�9)
�1�2�3�4 2 3 4
987654321
0
y
x
Recuerda: hay varias maneras de expresar una multiplicación sin utilizar el signo “”; por ejemplo, la multiplicación “5 por a”, puede expresarse así: (5)(a); 5(a); (5)a; o bien, 5a.
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Lección 3
1 Encuentralosresultadosdelassiguientesoperacionesydespuéscompáralosconlosdetuscompañerosycompañerasdeequipo.
a) (2)(3)(1) b) (4)(3)(2)(1)
c) (5)(4)(3)(2)(1) d) (5)(4)(3)(2)(1)
e) (875)(576)(0) f) (2.5)(3.2)(1)
2 Inventadosmultiplicacionesdeseisfactores:unaenlaqueelresultadoseaposi‑tivoyotraenlaqueelresultadoseanegativo.Anótalasenseguida.
a)
b)
3 Comentacontuscompañeros,compañerasycontuprofesoroprofesoraenquécasoselresultadodeunamultiplicacióndemásdedosfactoresespositivo,cuán‑doesnegativoyenquécasosescero.Anotaenseguidalasconclusiones.
Primeraconclusión: El resultado es positivo cuando
Segundaconclusión:El resultado es negativo cuando
Terceraconclusión:El resultado es cero cuando
4 Aplicalasconclusionesalasquellegaron,pararesolverlassiguientesmultiplica‑ciones.Despuésverificalosresultadosconunacalculadora.
a) (4)(7)(2)(5) b) (10)(3)(4)
c) (1)(8)(10)(3)(20) d) (5)(10)(50)
e) (3)( )(7) 21 f) (3)(2) ( ) 24
Variosfactoresydistintostiposdenúmeros
En la lección anterior se establecieron reglas para multiplicar dos números con signo. ¿Qué pasa cuando la multiplicación incluye más de dos factores?
21
5 Completalatablaycontesta.
¿Cuál es la regla de correspondencia que permite obtener los números de la columna B, a partir de los números de la columna A?
Con palabras
Expresión algebraica: y =
6 Resuelvelossiguientesproblemasycomparatusresultadosconlosdelgrupo.
a) El producto de tres números enteros es 30. ¿Cuáles son esos números? Encuentra al menos
tres soluciones.
b) El producto de dos números simétricos es 81. ¿Cuáles son esos números?
c) El producto de tres números enteros consecutivos es 120. ¿Cuáles son esos números?
7 Escribelosresultadosylasoperacionesquefaltan.
Columna A(x)
Columna B(y)
3 15
2
1
0
1
2 2 10
Recuerda: sonnúmerossimétricos los que en la recta numérica están a la misma dis-tancia del cero; por ejemplo, 5 y 5. Son númerosenterosconsecutivos los que en la serie numérica están uno a continuación del otro; por ejemplo, 5 y 6; 5 y 4; 9, 10 y 11.
(5)40
8
128
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(1)
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Lección 4
1 Calculamentalmenteelfactorquefaltaenlassiguientesmultiplicaciones.
a) (7)( ) 14 b) (7)( ) 14
c) ( )(15) 345 d) ( ) (15) 345
e) (1)( ) 13 f) (1) ( ) 13
g) (1)( ) 13 h) (5)( ) 5a
2 Anotalasmultiplicacionesanterioresenlacolumnaizquierdadelasiguientetabla.Enlacolumnaderechaescribeladivisióncorrespondiente,comoenelejemplo.
Multiplicación en la que falta un factor División que corresponde
a) (7)( ) 14 (14) (7)
b)
c)
d)
e) (1 )( ) 13 (13) 1
f )
g)
h)
3 Reúnanseconalgunoscompañerosycompañerasparacompletarestosenunciados.
a) El cociente de dos números con el mismo signo es un número
b) El cociente de dos números de distinto signo es un número
c) El cociente de dividir un número, positivo o negativo, entre 1 es
d) El cociente de dividir un número, positivo o negativo, entre 1 es
4 Comparenlasrespuestasdelaactividadanteriorconlasdeotrosequipos.Entretodosyconayudadesumaestro,completenelsiguienteenunciado.
El cociente de dividir cero entre cualquier número positivo o negativo es
Elfactorfaltante¿Recuerdas que la división es una operación que, entre otras cosas, ayuda a encontrar un factor faltante en una multiplicación?
23
5 Resuelvanlosiguiente.
a) Encuentren al menos tres adiciones diferentes cuyo resultado sea 15.
b) Encuentren al menos tres sustracciones cuyo resultado sea 10.
c) Encuentren al menos tres multiplicaciones cuyo producto sea 20.
d) Encuentren al menos tres divisiones cuyo cociente sea 8.
6 Conayudadesuprofesoroprofesoraanalicenlosresultadosanterioresycorrijanloserrores.
7 Resuelvelassiguientesoperaciones.
a) 5 6 23
d) 5 22
b) (4) (6) (2)8
e) 2 6 4
30
c) 45 1545 15
f) (4) (2) (3)6
8 Reúneteenequipoycomparenlosresultados.Sihaydiferencias,entretodosen‑cuentrenloserroresycorríjanlos.
9 Resuelvanlosiguiente.
a) Encuentren dos números que sumados den 1 y multiplicados den 156.
b) Encuentren dos números cuyo cociente sea 4 y cuyo producto sea 36.
c) Encuentren dos números que al restarlos den 10 y multiplicados den 24.
10 Conayudadesuprofesoroprofesorarevisenlosresultadosqueobtuvieronenelproblemaanterior.
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Lección 5
1 Reúneteconuncompañeroocompañerayrealicenelsiguientejuego;usenlahojadecalendarioquesemuestra.
Reglasdeljuego:
Primera: El jugador A debe elegir cuatro números que formen un rectángulo, como indica el ejemplo. El jugador B no debe saber qué números se eligieron.
Segunda:El jugador A calcula la suma de los cuatro números y la dice al jugador B.
Tercera:El reto para el jugador B consiste en averiguar qué números eligió el jugador A. Si acierta, gana un punto; en caso contrario, el punto es para el jugador A.
Cuarta: En la siguiente ronda se invierten los papeles. Después de seis rondas, gana quien obtiene más puntos.
2 ImaginaqueereseljugadorB;lasumaquediceeljugadorAes32ydebesadivinarloscuatronúmeros.¿Quéhaces?
a) Los números que eligió tu compañero están dispuestos como muestra el siguiente esquema.
Anota x donde creas que va el menorde los cuatro números, suponiendoque tienes frente a ti la hoja del calendario.
D L
1
8
15
22
29
7
14
21
28
6
13
20
27
2
9
16
23
30
3
10
17
24
31
4
11
18
25
5
12
19
26
M M J V S
UnjuegoparaempezarEl lenguaje algebraico es una herramienta muy útil, pues permite, entre otras cosas, nombrar números que se desconocen.
25
b) Si el menor de los cuatro números se denota con x, ¿cómo expresarías el que está a su derecha?
c) ¿Cómo expresarías el número que está debajo de x?
d) ¿Cómo expresarías el mayor de los cuatro números?
e) Utiliza la expresión algebraica de cada uno de los cuatro números para completar la siguiente ecuación. Resuélvela para obtener el valor de x.
x + + + = 32
f) ¿Cuáles son los cuatro números que se buscan? Anótalos en el esquema de la página anterior y verifica que suman 32.
3 Conayudadesuprofesoraoprofesorrealicenlosiguiente:
a) Llamen x al mayor de los cuatro números.
b) A partir del número mayor, expresen algebraicamente los tres números restantes y anótenlos en el cuadro.
c) Completen la siguiente ecuación y resuélvanla.
x + + + = 32
d) ¿Qué valor tiene ahora x?
4 ¿Esciertoquelasumadeunnúmeromássudoble,mássutriple,siempreesdivisi‑bleentre6?Busquenargumentosparaexplicarporquésíoporquéno.Recuerdenqueunnúmeroesdivisibleentreotrocuandoelresiduodeladivisióndelprimeroentreelsegundoescero.Escribansusconclusionesenseguida.
5 Conayudadesuprofesoraoprofesoranalicenlasiguienteinformación.
x
Una expresión algebraica puede tener uno o más términos; por ejemplo, la expresión 5x tiene sólo un término; la expresión x 3x tiene dos términos, y la expresión 2x x 5 tiene tres términos.
En cada término hay un coeficiente y una parte literal. Así, en el término 5a, el co-eficiente es 5 y la parte literal es a. En el término 3a2b, el coeficiente es 3 y la parte literal es a2b.
Los términos que presentan la misma parte literal se llaman semejantes y se pueden simplificar, por ejemplo:
2a a = 3a 2a 3a = a
1.2.
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Lección 6
1 Resuelvelosiguiente.
El número de cada celda es la suma de las dos de abajo.
a) Anota la expresión para el número de la celda de arriba.
b) Anota la expresión en la forma más simple.
2 Compartanideaspararesolveresteproblema.
a) Anoten las expresiones que faltan en las celdas de este esquema. En la celda de arriba procuren escribir la expresión más simple posible. Re‑cuerden que en cada celda se anota la suma de las dos de abajo.
b) Con las mismas reglas completen este otro esquema. No olviden es‑cribir la expresión más simple posible en la celda de arriba.
c) De la misma manera encuentren los números que faltan en este esquema.
3 Conayudadesuprofesoroprofesorarevisenlosresultadosqueobtuvieronenlosproblemasanteriores.
m n n p
m n p
3t 6u 2u 3t
2u 3t
2m p p 2n p
182
31 45
CuadradosmágicosRecuerda que las expresiones algebraicas se pueden simplificar cuando contienen términos semejantes; por ejemplo, 3a – a = 2a.
27
4 Recuerdenqueenuncuadradomágicolasumadelasexpresionesdecadafila,co‑lumnaodiagonaldebeserlamisma.
a) Verifiquen que el cuadrado que se muestra es mágico.
b) ¿Cuál es la suma de las expresiones de cada fila, columna
o diagonal?
5 Suponganqueenelcuadradomágicoanteriora=1,b=2,c=3.
a) Anoten el valor que le corresponde a cada celda
b) Verifiquen que se trata de un cuadrado mágico.
c) ¿Cuál es la suma de cada fila, columna o diagonal?
6 Conayudadesuprofesoraoprofesorrevisenlosresultadosdelosproblemas4y5.Sihaydiferencias,tratendedescubrirloserrores.
7 Anotenlaslongitudesquefaltanenelsiguienterectángulo.
ab abc ac
abc a abc
ac abc ab
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Lección 7 Adivinalasuma¿Sabías que muchos de los juegos que consisten en adivinar números o resultados de operaciones se pueden explicar mediante expresiones algebraicas?
1 Leelasiguienteinformación.
2 Obtenganlossiguientescálculos.
a) La suma de 10 números consecutivos a partir del 3
b) La suma de 10 números consecutivos a partir del 5
c) La suma de 10 números consecutivos a partir del 5
3 Realicenelsiguientejuego.
Reglas:
1ª Un miembro del equipo dice en voz alta un número entero (positivo o negativo).2ª Cada miembro del equipo trata de encontrar, lo más rápido posible, la suma de 10 números
consecutivos a partir del número que se dijo en voz alta.3ª Quien primero encuentra la suma gana un punto y en el siguiente turno le toca decir el número
del cual se parte.
4 Busquenunprocedimientoparacalcular,lomásrápidoposible,lasumade10nú‑merosenterosconsecutivosapartirdeunnúmerodado.Anotaelprocedimientoqueencontraron.
5 Encuentrenunafórmulaquepermitacalcular lasumade10númerosenterosconsecutivosapartirdeunnúmerodado.
Anótala:
Se dice que dos números enteros son consecutivos cuando, en la serie numérica, están uno seguido del otro; por ejemplo, son consecutivos 5 y 6; 100 y 101; 10 y 9; 0 y 1.De manera general, son consecutivos: n y n 1; n 5 y n 6; n 2 y n 1.
29
6 Conayudadelprofesoranalicenlasfórmulasqueobtuvieronlosequiposyconclu‑yansisoncorrectasoincorrectas.
Anota la fórmula que prefieras.
7 Anotenenelrectánguloelnúmeroquefaltaencadarecta.
8 Conayudadelaprofesoraoprofesorcomparenlosresultadosdelproblemaan‑terior.
9 Contestenlassiguientespreguntas.
a) ¿Es posible que la suma de 10 números consecutivos resulte 145 845?
¿Por qué?
b) Es posible que con la suma de 10 números consecutivos se obtenga 24 350?
¿Por qué?
n�1 n�1 n�2 n�3 n�4 n�5 n�6 n�7 n�8 n�9 n�10 n�11n
20
n�1 n�1 n�2 n�3 n�4 n�5 n�6 n�7 n�8 n�9 n�10 n�11n
75
n�1 n�1 n�2 n�3 n�4 n�5 n�6 n�7 n�8 n�9 n�10 n�11n
635
n�1 n�1 n�2 n�3 n�4 n�5 n�6 n�7 n�8 n�9 n�10 n�11n
1 775
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Lección 8
1 Enlacolumnaizquierdalosenunciadosestánescritosenlenguajecomúnyenlacolumnaderechaesosenunciadosseexpresanenlenguajealgebraico.Indicaconelincisoacuálcorrespondecadauno.
a) Sumar 7 a un número. n7
o n 7
b) Multiplicar un número por sí mismo. n + 7
c) 7 menos un número. 7n – 2
d) Dividir un número entre 7. n(n) o n2
e) Multiplicar un número por 7 y luego restar 2. n7 + 2
f) Dividir un número entre 7 y luego sumar 2. 7 – n
2 Realicenlasiguienteactividad.
a) Comparen sus respuestas del problema anterior.
b) Escriban en lenguaje común el significado de cada una de las expresiones algebraicas.
2n
n + 2
n2
3 Conayudadesuprofesoraoprofesoranalicenlainformación.
Como habrás notado, en la multiplicación algebraica no se utiliza el signo por () para no confundirlo con la letra x; por ejemplo, la multiplicación de un número por 5 se expresa en cualesquiera de estas formas:
5n 5(n) (5)(n)
La división de un número entre 5 suele expresarse así:
n5
ExpresionesquevalenlomismoIUna misma expresión algebraica puede escribirse de distintas maneras.
31
4 Cadaexpresióndelaizquierdaesequivalenteaunadelasexpresionessimplifica‑dasdeladerecha;anotenlaletraquecorrespondeencadacaso.
a) x + x + x = 4x + 5
b) x – 2x + x = 3x
c) x + 5 + 3x = x + 5
d) 3x + 2x = 0
e) 3x – 2x + 5 = 3x + 6
f) 3(x + 2) = 5x
5 Elsiguientedibujomuestraelpisodeunahabitaciónsobreelquesehacolocadountapetequesólocubrelacuartapartedelmismo.a)Encuentren al menos tres expre‑
siones distintas que denoten el área que no cubre el tapete.
Primera expresión:
Segunda expresión:
Tercera expresión:
b) Simplifiquen las expresiones y muestren que son equivalentes.
Primera expresión:
Segunda expresión:
Tercera expresión:
6 Simplificalassiguientesexpresiones.
a) 3a 2b – 2a b =
b) 4x 7 3x 3 x =
c) 3(x 5) =
d) 4(a 2b)2(2a b) =
1.3.
Rec
onoc
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obt
ener
exp
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32
Lección 9
1 Conbaseen lasexpresionesalgebraicasquemuestran lassiguientestarjetas,contestenlaspreguntas.Enalgunoscasoshaymásdeunasolución.
a) ¿Cuál tarjeta dice lo mismo que n2
?
b) ¿Qué tarjeta expresa lo mismo que n n?
c) ¿Cuáles son las dos tarjetas que dicen lo mismo que 2 n?
d) Si se suman las expresiones de tres tarjetas y la suma se simplifica se obtiene 5n.¿Cuáles son esas tres tarjetas?
e) Escribe en esta tarjeta otra expresión que también diga 2n + n.
f) ¿Qué tarjeta dice lo mismo que n + 2?
g) Escribe una tarjeta que también exprese n3.
2 Dibujenalmenosdosfigurascuyoperímetrosea6x+12yanotenlamedidadecadalado.
3 Conayudadesuprofesoroprofesorarevisenlosresultadosdelosproblemas1y2.
n 2 2 n n2
n n 2n
n n3 n 2
n 2 2n n
ExpresionesquevalenlomismoIISaber escribir, tanto en lenguaje común como en lenguaje algebraico, nos permite decir lo mismo de varias maneras.
33
4 Elsiguienteesquemaseñaladoscaminosparairderad.¿Cuáldebeserelvalorderparaquealllegaradseobtengaelmismoresultadoporlosdoscaminos?
Completa la expresión algebraica que denota la equivalencia de los dos caminos.
7(r 2)
5 Laexpresiónalgebraica3(p+2)=2p+5denotalaequivalenciaentredoscaminosparairdepak.Dibujenelesquemadelosdoscaminosyencuentrenelvalordep.
6 Elsiguientedibujomuestraelpisodeunahabitaciónsobreelquesehacolocadountapete.
a) Encuentren al menos tres expresiones distintas que denoten el área de la parte que no cubre el tapete.
Primera expresión:
Segunda expresión:
Tercera expresión:
b) Simplifiquen las expresiones y muestren que son equivalentes.
7 Conayudadesuprofesoraoprofesorrevisenlosresultadosdelosproblemas5y6.
2
5 4
7r2
d
5r
r
yy
c c
1.3.
Rec
onoc
er y
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icas
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part
ir de
l em
pleo
de
mod
elos
geo
mét
ricos
.
34
Lección 10
1 Anotaencadacasolamedidadelángulomarcadoconunarcorojo.
2 Dibujalasmanecillasparaformarángulosde30º,160º,240ºy300º;márcalosconunarcorojo.
3 Dibujalasmanecillasparaformarángulosde90º,180º,270ºy360º.
4 Comparensusresultadosyleanlasiguienteinformación.
Recuerda que un ángulo es la abertura entre dos semirrectas con un origen común.
Las semirrectas reciben el nombre deladosdelángulo y el origen común se llama vérticedelángulo. Observa que el ángulo que se considera se marca con un arco.
30º 160º 240º 300º
90º 180º 270º 360º
vérticelado
lado
Ángulosenelreloj¿Cuánto mide el ángulo que forman las manecillas de reloj cuando son las 4 en punto?, ¿y cuando son las 6 en punto?, ¿y las 12 en punto?
lado
ladovértice
35
5 Contestalaspreguntasyhazloquesepide.
a) ¿Cuál de los cuatro ángulos siguientes es el mayor? ¿Cuál es el menor?
b) Anota la medida de cada ángulo.
A B C D
c) ¿Qué le sucede a la medida de un ángulo cuando sus lados se alargan?
d)Traza en tu cuaderno un triángulo equilátero que mida 5 cm de lado y otro de 10 cm. Mide los tres ángulos de cada uno. ¿Los ángulos del triángulo mayor son más grandes que los del triángulo menor?
La medida de un ángulo no depende del tamaño de sus lados sino de la abertura entre ellos. Los ángulos se miden en grados.
Para medir ángulos se puede utilizar el transportador; observa cómo se hace.
El giro de una vuelta completa equivale a 360º, media vuelta a 180º y un cuarto de vuelta a 90º. Los ángulos se pueden nom‑brar de varias maneras; una de ellas es con la letra de su vértice, por ejemplo, éste es el ángulo A.
6 Completa la tabla: primero estima el valor del ángulo marcado con un arco y luego usa el transpor‑tador para comprobar las medidas.
Ángulo A Ángulo B Ángulo C Ángulo D Ángulo E
Estimación
Medida
A B C
DE
1.4.
Res
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r pro
blem
as q
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reco
noce
r, es
timar
y m
edir
ángu
los.
36
Lección 11
1 Enestalecciónnecesitarásunjuegodeescuadras.Midecadaunodelosángulosdetusescuadrasyanotalosresultados.
2 Comparensusresultados;enparticularcomentensilasescuadrasdetodossondelmismotamañoysilosángulossondelasmismasmedidas.
3 Usandosólolasescuadras,tracenensucuadernoángulosde30º,45º,75º,105º,135º,150º,15º,210º,225º,315º.
4 Completalatabla:primeroestimalamedidadecadaánguloyluego,sóloconlasescuadras,verificasumedida.
Ángulo A Ángulo B Ángulo C Ángulo D
Estimación
Medida
BA
D
C
Conosintransportador¡Las escuadras también son útiles para trazar y medir ángulos!
37
5 Trazaaladerechaunánguloigualalsiguiente.
Explica tu procedimiento.
6 Comentenlosprocedimientosqueusaronenlasactividades3,4y5,yleanelsi‑guienteprocedimiento.
7 Trazaentucuadernotresángulos,despuéspracticaelprocedimientoanteriortrazandounánguloigualacadauno.
Procedimiento para trazar un ángulo igual a otro usando sólo regla y compás
A
C C
B A B
A B A B
Paso1Se traza el segmento AB.
Paso2En el ángulo dado, apoyando el compás en el vértice, se tra‑za un arco que corte ambos lados.
Paso3Con la misma aber tura y el compás apoyado en A, se traza también un arco.
Paso4Se mide con el compás la aber‑tura del ángulo original.
Paso5Esa abertura se traslada al arco trazado en el paso 3 para hallar el punto C.
Paso6Se une A con C y se tiene un ángulo igual al original.
1.4.
Res
olve
r pro
blem
as q
ue im
pliq
uen
reco
noce
r, es
timar
y m
edir
ángu
los.
38
Lección 12
Para cada una de las actividades 1 y 3 necesitas un cuadrado de papel.
1 Tomauncuadradoydóblalocomosemuestra.
a) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos del cuadrado? b) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos del triángulo que se obtuvo al doblar el cuadrado?
, y .c) ¿Cuánto mide el ángulo marcado en la cuarta figura?
Para expresar medidas de ángulos que no son un número entero de grados, el grado se sub‑divide en 60 partes llamadas minutos. La mitad de un grado equivale a 30 minutos. Los minutos se simbolizan con un apóstrofo (’); por ejemplo, 40 grados con 30 minutos se representa así: 40°30’.
40.5º = 40º30’
2 Ungradoequivalea60minutos.Anotaacuántosminutosequivalenlassiguientesmedidas:
0.25º = 0.75º = 0.1º = 0.4º =
l Completa la tabla.
Medida en grados 55.5º 178.35º 245.05º
Medida en grados y minutos 35º 12’ 35º 6’
3 Siguelasinstruccionesparaformarelbarquito.
Dobla para formarun triángulo
Dobla y desdobla por la línea punteada
Dobla por la líneapunteada
Dobla hacia atrás por la línea punteada
PapirolasLa mitad de un ángulo de 15 grados mide 7.5 grados. ¿Sabías que eso equivale a 7 grados con… 30 minutos?
39
l Sinmedir,determinayanotalasmedidasdelosán‑gulosmarcados.
l Pegaentucuadernoelbarquito;noolvidesanotarlamedidadelosángulosin‑dicados.
4 Resuelve.
a) Carlos tiene un triángulo equilátero de papel; si dobla tres veces a la mitad uno de sus ángulos, ¿cuánto mide el ángulo que obtiene al final?
b) Anota la medida del ángulo marcado. Si no recuerdas cómo se calcula el ángulo interior y el án‑
gulo central de un polígono regular, consulta tu libro de primer grado.
c) Dos triángulos equiláteros se unen por uno de sus la‑dos para formar un rombo. Anota las medidas de los ángulos interiores del rombo.
¿Cuánto suman las medidas de los cuatro ángulos del rombo?
d) Si un hexágono regular se divide a la mitad por una de sus diagonales, forma dos trapecios. Elige un trapecio y anota la medida de sus ángulos interiores.
¿Cuánto suman las medidas de los cuatro ángulos del trapecio?
5 Comentaengrupolasrespuestasalosejerciciosdeestalección.
1.4.
Res
olve
r pro
blem
as q
ue im
pliq
uen
reco
noce
r, es
timar
y m
edir
ángu
los.
40
Lección 13
1 Consideraelsiguienteplanoparacompletarlosenunciadosposteriores.
a) Oriente 3 es paralela a , y perpendicular a y a
b) Norte 2 es paralela a , y perpendicular a y a
c) Norte 6 es perpendicular a .
d) Anota dos parejas de calles oblicuas. .
2 Analizacadaparejaderectasdelmismocoloryluegoescribesusdefiniciones.
Paralelas Perpendiculares Oblicuas
Definelo que son:
a) Rectas paralelas
b) Rectas perpendiculares
c) Rectas oblicuas
Observa que Norte 6 no es paralela ni perpendicular a Oriente 3; se dice, entonces, que Norte 6 es oblicua a Oriente 3.
Oriente 1
Oriente 3
Nort
e 2
Nort
e 4
Nor
te 6
Oriente 5
LaposiciónrelativadedosrectasAlgunas rectas son paralelas, otras perpendiculares, y hay otras que no son ni paralelas ni perpendiculares. ¿Cómo se llaman estas rectas?
41
3 Comparacontuscompañerosycompañerastusrespuestasdelaactividad1ylasdefinicionesdelaactividad2.
4 Lassiguientesdefinicionessonincorrectas;proporcionaenelespaciodeabajoalmenosunejemploparamostrarlo.
Dos rectas son paralelas solamente si
Dos rectas son perpendiculares solamente si
Dos rectas son oblicuas solamente si
ambas son horizontaleso ambas son verticales.
una está en posición vertical y la otra en posición horizontal.
se cortan formando un ángulo de 60º.
5 Lassiguientesdefinicionescontienendatosquesepuedeneliminar.Escribeunanuevadefinicióndelamaneramásbreveposible.
a)Las rectas perpendiculares son aquellas que se cortan formando cuatro ángulos iguales, todos de 90 grados, es decir, forman cuatro ángulos rectos.
b) Las rectas paralelas son aquellas que no se cortan y que siempre están a la misma distancia en‑tre sí.
c) Las rectas oblicuas son aquellas que se cortan en un punto formando cuatro ángulos diferen‑tes; dos de los ángulos son menores que 90 grados (agudos) y dos son mayores que 90 grados (obtusos).
6 Explicaporquéesincorrectalasiguienteafirmación.
Estas rectas son paralelas porque no se cortan. Esta afirmación es falsa porque...
7 Comentensusrespuestasalosejercicios4,5y6.
1.5.
Det
erm
inar
pos
icio
nes
rela
tivas
de
dos
rect
as e
n el
pla
no.
42
Lección 14
1 Leelosdosprocedimientos.Sinllevaracabolasinstrucciones,tratadeimaginarquéresulta.Anótalodebajodecadaprocedimiento.
2 Trazaentucuadernoloqueindicanlosprocedimientosyverificasituhipótesisinicialescorrecta.
3 Lassiguientesilustracionesmuestranelprocedimientoparatrazarunaperpen‑dicularalarectapquepaseporelpuntoQ,externoaella.a) Anota sobre las líneas lo que se hizo en cada paso.
ProcedimientoA1.Traza una recta.2. Con el compás traza dos circunferencias que
tengan su centro en diferentes puntos de la recta y se corten entre sí.
3. Encuentra los dos puntos de corte de ambas circunferencias.
4.Traza una recta que pase por estos dos puntos.
Procedimiento para trazar :
ProcedimientoB1.Traza una recta.2. Con el compás traza tres circunferencias
del mismo tamaño, con centro en distin‑tos puntos de la recta y se corten entre sí.
3. Ubica dos puntos de corte de las circunfe‑rencias que estén del mismo lado de la recta.
4.Traza una recta que pase por estos dos puntos.
Procedimiento para trazar :
Dada la recta p y el punto Q.1.
2. 3.
Q
p
Q
pM N
Q
pM N
Q
M N p
¿Quéparejasderectasseforman?Las rectas paralelas y perpendiculares se pueden trazar con las escuadras, pero ¿sabías que también es posible trazarlas con regla y compás?
43
4. 5.
b) Practica este procedimiento en tu cuaderno; traza una recta cualquiera y un punto fuera de ella, después traza la perpendicular a la recta que pase por el punto.
4 Utilizatusinstrumentosgeométricosparatrazarloqueseindica.
a) Un rectángulo cuya base sea AB y uno de sus vértices el punto C.
b) Un rombo, uno de cuyos lados sea el segmento PQ y que tenga dos ángulos de 60º.
5 Planeenunamaneradetrazar,conreglaycompás,unaperpen‑dicularaunarectaquepaseporunpuntosobreella.Porejemplo,trazarlaperpendicularalarectaaquepaseporelpuntoM.Escri‑banelprocedimientoensucua‑derno.
6 Comparenlasrespuestasalasactividades4y5.
Q
pM N
R
Q
pM N
R
a
M
Q
P
AB
C
1.5.
Det
erm
inar
pos
icio
nes
rela
tivas
de
dos
rect
as e
n el
pla
no.
44
Lección 15
1 Colocados ligasentugeoplanocircular1,comomuestralafigura.
a) ¿Cuántos ángulos se forman?
b) ¿Cuánto mide cada uno de esos ángulos?
2 Observalasiguientetablaenlaqueencadarenglónseindicanlasmedidasdecuatroángulos.
a) Intenta en tu geoplano formar los cuatro ángulos con dos ligas que pasen por el centro, como en la actividad anterior. Cuando no sea posible hacerlo, explica el motivo.
Medidas de ángulos ¿Se puede? Si no se puede, ¿por qué no es posible?
45º, 135º, 45º,135º
60º, 90º, 60º, 90º
30º, 120º, 90º, 120º
75º, 105º, 75º, 105º
b) Con las medidas de dos renglones de la tabla sí es posible formar los ángulos según se indica. Representa en estos geoplanos los ángulos que se forman y anota la medida de cada uno.
1 En el anexo 0 de la página 243 encontrarás la manera de elaborar un geoplano circular.
ElgeoplanocircularI¿Sabías que en el simple “tache” que se forma al cortarse dos rectas hay cuatro ángulos con numerosas relaciones entre sí?
45
3 Comparenlosresultadosdelasactividades1y2.
4 Consideralosángulosdelossiguientesgeoplanos.Recuerdaquelasligasrepre‑sentanrectas.
a) Los ángulos 1 y 3 son opuestosporelvértice, así como los ángulos 10 y 12. Anota otras cuatro parejas de ángulos opuestosporelvértice.
, , y b) ¿Cuál es la relación entre las medidas de los ángulos opuestos por el vértice?
c) Escribe una definición de ángulo opuesto por el vértice.
d) Señala en cada caso por qué es incorrecta la definición. Proporciona al menos un ejemplo que pruebe que la definición es incorrecta.
Los ángulos opuestos por el vértice son aquellos ángulos que miden lo mismo.
Los ángulos opuestos por el vértice son aquellos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado
común.
5 Comparenlasrespuestasdelaactividad4.
2
4
13
6
8
5
7
5
1012
9
11
1.5.
Rec
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.
46
Lección 16
1 Formaentugeoplanovariasparejasdeángulosconelmismovérticeyquecom‑partanunlado.Registraaquítresdelasparejas.
2 Anota3enlosgeoplanosenlosquelosángulos1y2cumplenconloqueindicalaactividad1.
3 Comparatusresultadosconlosdeotroscompañerosycompañeras.
Dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común reciben el nombre de ángulos adyacentes.
2
1
21
12
1
2
2
1
21
ElgeoplanocircularII¿Dos ángulos pueden tener el mismo vértice y, además, compartir uno de sus lados?
47
4 Enlalecciónanteriorvistequecuandodosrectassecortan,seformanángulosopuestosporelvértice.Observaquetambiénseformanángulosadyacentes.
a) Anota las parejas de ángulosadyacentes que resultan y sus medidas; observa el ejemplo.
Ángulos 1 y 2Él ángulo 1 mide 75º
y el 2 mide 105º
b) Los ángulos adyacentes que se forman al cortarse dos rectas tienen una relación especial entre sus medidas; descúbrela y anótala a continuación.
c) De las siguientes afirmaciones, sólo una es correcta; subráyala. l Los ángulos adyacentes siempre miden lo mismo. l Los ángulos adyacentes siempre suman 180º. l Los ángulos adyacentes que se forman al cortarse dos rectas suman 180º. l Los ángulos adyacentes que resultan al cortarse dos rectas no suman 180º.
5 Realizaloqueseindicaacontinuación.
a) Calcula y anota, en cada caso, el valor de los tres ángulos que faltan.
b) Dos rectas se cortan. Uno de los ángulos que se forman mide el doble de su adyacente. ¿Cuánto mide cada uno de los cuatro ángulos?
6 Comparenlasrespuestasdelasactividades4y5.
24
1
3
65º30º
1.5.
Rec
onoc
er á
ngul
os o
pues
tos
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l vér
tice
y ad
yace
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.
48
a r1
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f
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g
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k nm po
l
Lección 17
1 Enelsiguientedibujoaparecendossistemasdedosrectasquesecortanporunatransversal.
Sistema 1 Sistema 2
a)En cada sistema marca con arcos del mismo color los ángulos iguales.b)Compara los dos sistemas; ¿en qué se parecen y en qué son distintos?
c) Observa que en el sistema 1 hay dos rectas paralelas. ¿Qué ángulos de este sistema son iguales
gracias a que las rectas son paralelas?
2 Imaginaquecortaslasiguientefiguraporlalíneapunteadaysobreponeslarectar1enlarectar2demaneraquecoincidanlosvérticesdelosángulos.
r1esparalelaar2
a) ¿Qué ángulo queda debajo del ángulo a? , ¿y del b?
Se dice que el ángulo a es el correspondiente del ángulo e y que el ángulo b es el co‑rrespondiente del ángulo f.
b) ¿Cuál ángulo es el correspondiente del ángulo c? ¿y del d?
c) Verifica que, si las rectas que se cortan por la transversal son paralelas, entonces los ángulos co‑rrespondientes son iguales.
Ángulosquesecorresponden¿Sabes cuántos ángulos se forman cuando una recta corta otras dos? ¿Sabes qué pasa cuando las rectas que se cortan son paralelas?
49
3 Comparensusrespuestasdelasactividades1y2.
4 Enelsiguientesistemahaydosrectasparalelasquesecortanporunatransversal.Completaelrazonamientoparadeducirlamedidadelángulox.
l Hay otras maneras de hallar el valor del ángulo x; escribe al menos una. Si es necesario, anota letras a otros ángulos.
5 Escribeencadafiguralamedidadelosángulosquefaltan.
6 Planteaunaecuaciónparaencontrarelvalordex.Unavezqueencuentreselva‑lordex,escribelamedidadecadaángulo.
Ecuación:
7 Comparensusrespuestasconlasdesuscompañerosycompañeras.
i) El ángulo de 60º y el ángulo z suman , entonces, el ángulo zmide .
ii) El ángulo z y el ángulo x son , por lo tanto, miden lo mismo, así que el ángulo x mide .
xz
60º
150º
95º
3xx
1.6.
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sal.
50
Lección 18
1 Encadaunodelossiguientessistemasdedosrectascortadasporunatransversalseseñalanconarcosverdeslasparejasdeángulosdenominadosalternosinternos.
a) ¿Los ángulos alternos internos están del mismo lado de la transversal o de diferente lado?
. ¿Están entre las dos rectas que cortan la transversal o fuera de ellas? .
b) Escribe, a partir de las respuestas anteriores, una definición de ángulos alternos internos.
c) En cada sistema hay otra pareja de ángulos alternos internos; identifícala y señala los ángulos con las letras a y b.
2 Observaquelassiguientesparejasdeángulosestánendiferenteladodelatrans‑versalyfueradelasrectasqueéstacorta.
a) ¿Cómo crees que se llaman estas parejas de ángulos? b) En cada sistema hay otra pareja de ángulos que cumple estas características; identifícala y señala
los ángulos con un arco de color rojo.
3 Intentadibujarentucuadernodosrectasquenoseanparalelas,cortadaspor unatransversal,demaneraquelosángulosalternosinternosseaniguales.
¿Lolograste? ¿Quéobservas?
OtrasparejasdeángulosimportantesCuando dos paralelas son cortadas por una transversal, se forman… ¡doce parejas de ángulos iguales!
51
4 Enlasiguientefiguralosángulosbycsonángulosalternosinternos.
a) Completa los argumentos para encontrar la relación entre las medidas de estos dos ángulos en un sistema de paralelas.
b) En los argumentos anteriores se usó la siguiente propiedad: “si dos ángulos son iguales a un ter‑cer ángulo, entonces son iguales entre sí”. Escribe en el recuadro argumentos para encontrar la relación entre los ángulos alternos externos en un sistema de rectas paralelas.
5 Comentensusrespuestasalasactividadesanteriores.Cuandosepongandeacuer‑doenunadefiniciónparalosángulosalternosinternosyalternosexternos,escrí‑banlaeilústrenlaensucuaderno.
Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal: ‑ Los ángulos alternos internos son iguales entre sí.‑ Los ángulos alternos externos son iguales entre sí.
6 Lasiguientefiguraesunsistemadeparalelas(r1yr2)cortadaspordostransver‑sales(t1yt2).Completalasafirmacionesescribiendot1ot2,segúncorresponde.
a) El ángulo c y el ángulo d sonalternos internos con respecto a la transversal
b) El ángulo i y el ánguloj sonalternos externos con respecto a la transversal
c) El ángulo e y el ángulo j soncorrespondientes con respecto a la transversal
d) El ángulo c y el ángulo h soncorrespondientes con respecto a la transversal
1. Los ángulos a y b son iguales porque son
2. Los ángulos a y c son iguales porque son en un sistema de rectas paralelas.
3. Como los ángulos b y c son igualesal ángulo a, entonces también son
a
bc
r2
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r2n
t2t1
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r2
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1.6.
Est
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aral
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sal.
52
Lección 19
1 Considerenestamallaformadaportriángulosiguales.
a) Marquen con color azul un par de ángulos alternos internos; con verde, un par de ángulos co‑rrespondientes y con café, un par de ángulos alternos externos.
b) ¿Cuánto es la suma de las medidas de los ángulos a,byc?
c) Completen el siguiente razonamiento, que permite conocer la suma de la medida de los ángulos internos a, b y c.
i) Como r1 es paralela a r2,
El / a es igual al / d por ser
El / c es igual al / e por ser
ii) / d + / b + / e = por formar un ángulo de media vuelta.
iii) En la suma anterior sustituimos / d por / a (porque son iguales) y / e por / c (porque son también iguales); la suma queda, entonces, así:
+ + =
r1
r2
ed
a cb
cb
a
Sabemosque:r1IIr2
Lamalladetriángulos¿Sabías que en todos los triángulos, sin importar su forma ni tamaño, al sumar las medidas de los tres ángulos internos siempre se obtiene el mismo resultado?
53
2 Conayudadesuprofesoraoprofesorverifiquensillegaronalasiguienteconclusión.
La suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier triángulo siempre es igual a 180º.
3 Acontinuaciónsedescribenotrasdosmanerasdemostrarquelosángulosinte‑rioresdeuntriángulosuman180º.
a) Recorta un triángulo cualquiera de papel; corta sus tres ángulos y coloca uno al lado del otro.
b) Recorta otro triángulo cualquiera y haz los dobleces que marcan las líneas punteadas.
c) Pega en tu cuaderno las figuras que obtuviste. Como título te sugerimos: Los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180°.
4 Resuelvelossiguientesproblemas.
a) Intenta formar un triángulo cuyos ángulos internos midan 50º, 60º y 30º. Anota tus observa‑ciones.
b) Los tres ángulos de un triángulo equilátero son iguales; ¿cuánto mide cada ángulo?
c) En un triángulo, el segundo ángulo mide el doble del primero y el tercer ángulo mide el triple
del primero. ¿Cuánto mide cada ángulo?
d) Dibuja un cuadrilátero cualquiera y traza una de sus diagonales.
¿En cuántos triángulos quedó dividido? ;
¿cuánto suman los ángulos de cada triángulo? ;
¿cuánto suman los ángulos del cuadrilátero? .
5 Comparensusresultados.
x
zy yx
z
a
b c a ab c
1.6.
Just
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r las
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cion
es e
ntre
las
med
idas
de
los
ángu
los
inte
riore
s de
triá
ngul
os.
54
1 Considerenestamallaformadaporromboidesiguales.Recuerdenquelosladosopuestosdeunromboidesonparalelos.
Sabemosque:r1IIr2
t1IIt2
a) Elaboren algunas conjeturas acerca de las relaciones entre los cuatro ángulos interiores del rom‑boide: a, b, c y d.
l ¿Cómo creen que son entre sí los ángulos a y d?
l ¿Cómo creen que son entre sí los ángulos c y b?
l ¿Qué relación creen que hay entre los ángulos a y b?
l ¿Qué relación creen que tienen los ángulos c y d?
l ¿Cuánto creen que suman los cuatro ángulos?
b) Completen los siguientes razonamientos. Vean si llegaron a las mismas conclusiones.
l Relación entre el ángulo a y el ángulo d
i) Como r1 es paralela a r2 el / e es igual a / a por ser
ii) Como t1 es paralela a t2 el /e es igual a / d por ser
iii) Como /a y /d son iguales a /e, entonces /a y /d son
Lección 20
r1
r2
t2t1
e
fd
a
c
b
LamalladeromboidesLo que has estudiado sobre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una transversal te será útil para descubrir algunas propiedades de los ángulos interiores de paralelogramos.
55
l Relación entre los ángulos a y b
i) / a + / f= por ser
ii) / b = / fpor ser
iii) Entonces / a + / b =
c) Justifiquen las siguientes afirmaciones. Cuando sea necesario, identifiquen más ángulos de la malla con otras letras.
l El ángulo c es igual al ángulo b.
l Las medidas del ángulo c y del ángulo d suman 180°
d) Averigüen a cuánto es igual la suma de los cuatro ángulos interiores de un romboide; justifiquen su respuesta.
2 Comparensusconjeturasinicialesconlosrazonamientosposterioresycompar‑tansusrespuestasconsuscompañerosycompañeras.Comentenlasiguientein‑formación.
En un romboide, los ángulos opuestos son iguales, los ángulos consecutivos suman 180º y los cuatro ángulos interiores suman 360º.
3 Aligualquelosromboides,loscuadrados,losrectángulosylosrombostambiénsonparalelogramosportenersusladosopuestosparalelos.Analizasilainforma‑cióndelrecuadroanteriorsecumpleparaestasfiguras.Escribesíono.
4 Resuelvelosanexos1y2delaspáginas244a247.
1.6.
Just
ifica
r las
rela
cion
es e
ntre
las
med
idas
de
los
ángu
los
inte
riore
s de
par
alel
ogra
mos
.
TECNOLOGÍA
56
FactoresdeescalaISi a una figura se le aplica el factor de escala 2, y, después, a la figura que resulta se le aplica el factor de escala 1
3, ¿la última figura es más grande o más pequeña que la primera?
1 Observalaimagen,leeeltextoyrealizaloquesepide.
Al aplicar el factor de escala1.5 al dibujoA1 se obtiene el dibujo A2. Al aplicar el factor de escala 2 al dibujo A2 se obtiene el dibujo A3. Haz los dibujos A2 y A3 que corresponderían al tren en una hoja cuadriculada.
Dibujo A1
2 IdentifiquenunamaneradecalcularlasmedidasdeldibujoA3enlaquenoseanecesariocalcularlasmedidasdeA2.
a b
e
d
c
Recuerda:Cuando dos figuras están a escala existe un número, siempre el mismo, que, al multiplicarse por cualquier medida de una de ellas, proporciona la medida correspon-diente de la otra. Puede decirse por ello que las medidas de una figura son proporcio‑nales a las medidas de la otra. Ese número se llama factordeescala, o constante de proporcionalidad.
Aplicar los factores n y m, uno después del otro, equivale a aplicar el factor n m.
Lección 21
57
a) Al aplicar el factor de escala 13 al dibujo A1 se obtiene
el dibujo A4. Después, al aplicar el factor 2 al dibujo A4 se obtiene el dibujo A5. ¿Qué dibujo será mayor, A1 o A5? ¿Por qué?
b) Calculen y anoten en la tabla las medidas de los dibujos A4 y A5.
c) Hagan el dibujo A5 en papel cuadriculado.
d) ¿Cuál es el factor de escala que, aplicado al dibujo A1, permite obtener el dibujo A5? Anótenlo en el óvalo ubicado en la parte superior de la tabla.
4 Realicenlosiguiente.
a) Comparen su dibujo A5 con el de otras parejas. Si no son iguales, busquen la causa. Vean si A5 es mayor o menor que A1.
b) Comparen su respuesta a la pregunta 3, d), y verifiquen si corresponde a la siguiente información.
5 Escribeloquefalta.
Dibujo A1 Dibujo A4 Dibujo A5
Lado a 3
Lado b 6
Lado c 9
Lado d 18
Lado e 2
3 Reúneteconuncompañero.Lean losiguienteycontestenlaspreguntas.
Aplicar los factores 1m y n, uno después del otro, equivale a aplicar el factor
1m n es
decir, nm
2 3
13
2
1.7.
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res.
12
13
54 2
5
3 12
35
53
1 1
14
58
1 Seaplicóelfactordeescala4aunafiguraB1yseobtuvolafiguraB2.
a) Se conocen las medidas de la figura B2, pero no las de la figura B1; calcúlalas y anótalas en la tabla.
b) ¿Qué factor debe aplicarse a las medidas de la figura B2 para obtener las de la figura B1? Anótalo en el redondel de abajo.
2 Alaplicarelfactordeescala25
aunafiguraC1seobtuvolafiguraC2.
a) ¿Qué figura creen que es mayor, C1 o C2? ¿Por qué?
b) Se tiene la figura C2, pero no la figura C1. Intenten calcular las medidas de C1 y anótenlas en la tabla. Dibujen en una hoja cuadriculada las figuras C1 y C2.
FactoresdeescalaII¿Cómo “deshacer” lo que hace un factor de escala como 34 ?
Lección 22
Figura B1 Figura B2
Lado a 4
Lado b 1
Lado c 8
Lado d 3
4
El factor que “deshace” lo que hace un factor n se llama factor recíproco de nEl factorrecíproco de 4 es 14 .
Recuerda:multiplicar por 14 es lo mismo que dividir entre 4.
Figura C1 Figura C2
Lado a 2
Lado b 6
Lado c 8
Lado d 4
Lado e 10
25
a
b
c
de
Figura C2
59
Figura C1 Figura C2
Lado a 2
Lado b 6
Lado c 8
Lado d 4
Lado e 10
215
El recíproco del factor 15 es 5; el recíproco del factor 2 es
12 . Por lo tanto, el recí‑
proco del factor 25 es el factor 52 .
74
Figura1
Figura2
Figura3
58
Figura1
Figura2
Figura3
1.7.
Det
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r de
prop
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r y d
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acto
res.
25
3 Conayudadelprofesorrealicenlosiguiente.
a) Comparen con sus compañeros las medidas que encontraron, así como la manera en que lo hicieron.
b) Una forma de encontrar las medidas de la figura C1 consiste en aplicar el recíproco de
25 a las medidas de C2.
El factor 25 equivale a aplicar los factores15 y
2. Por lo tanto, para “desandar el camino” basta aplicar losrecíprocos de esos factores.
Anótenlos en los óvalos ubicados en la parte inferior de la tabla y calculen las medidas de C1.
c) Lean la información del recuadro.
4 Anotalosfactoresquefaltanenlosóvalos.
5 Completa.En general, el factor recíproco de
nm es
6 Investiguenlosiguiente.
a) ¿Cuál es el factor equivalente a aplicar 34 y después
23 ?
b) En general, ¿cuál es el factor equivalente a aplicar ab y luego
cd ?
c) Si a una figura se aplica el factor 25 y, a la figura que resulte, se aplica el factor recíproco de
25 , es
decir,
52 , ¿la figura final será mayor, menor o igual que la original?
Concluyan qué ocurre cuando se aplica un factor y después su recíproco.
60
DelmaízalastortillasLos factores de proporcionalidad permiten escribir la expresión algebraica de una relación de proporcionalidad.
¿Recuerdas la lección “Del maíz a las tortillas” del libro de texto gratuito de sexto grado? Ahí se plantea la siguiente información:
Con 5 kg de maíz se hacen 3 kg de harina. Con 2 kg de harina se hacen 5 kg de masa. Finalmente, con 10 kg de masa se hacen 7 kg de tortillas.
A continuación resolverás algunos problemas relacionados con esa información, usando herramientas que aún no tenías en la primaria.
1 Reúneteconuncompañeroyhaganloquesepide.
a) Con base en la información anterior calculen la cantidad de tortillas que se produce con 20 kg
de maíz.
b) Determinen la cantidad de maíz necesaria para 35 kg de tortillas
c) Calculen la cantidad de harina que se produce con 1 kg de maíz
d) Verifiquen que cualquier cantidad de harina es igual a 35
de la cantidad de maíz.
e) Lean la siguiente información.
f) Encuentren el factor que, aplicado a una cantidad de harina, da la cantidad correspondiente de
masa y escriban la respectiva expresión algebraica: M = h
2 Realicenlosiguiente.a) Comparen las respuestas a las preguntas 1a) y 1b), así como los procedimientos que usaron. b) Observen que la cantidad de harina que corresponde a 1 kg de maíz se puede calcular de dos
maneras.
Maíz Harina Maíz Harina 5 kg 3 kg 5 kg 3 kg 1 kg 3 kg 5 = 0.6 kg 1 kg 3 kg 5 = 3
5 de kg
¿Recuerdas la lección “Del maíz a las tortillas” del libro de texto gratuito de sexto
En lo que sigue, las cantidades se representarán con las siguientes letras: maíz, m; harina, h; masa, M y tortillas, t.
La fórmula h = 35
m es la expresión algebraica de la relación proporcional entre las
cantidades de maíz y las de harina.
35
es un factor constante de proporcionalidad.
Lección 23
61
c) Lean el siguiente procedimiento para encontrar el factor que, aplicado a una cantidad de harina, da la correspondiente cantidad de masa (pregunta 1 f)).
3 Enequipodetresocuatrointegrantesencuentrenlosfactoresdeproporcionalidadquevanenlosóvalosdelsiguienteesquema.Recuerdenqueelfactorrecíprocode ab
es ba
.
Maíz(m)
Harina(h)
Masa(M)
Tortillas(t)
5 kg 3 kg
2 kg 5 kg
10 kg 7 kg
4 Completenlasexpresiones.
h m M h t M
m h h M M t
t m m t
5 Utilicenlasexpresionesanterioresparacalcular:
a) La cantidad de tortillas que se producen con 50 kg de maíz.
b) La cantidad de maíz que se requiere para 42 kg de tortillas.
6 Conayudadelprofesoroprofesorarevisenlosresultadosdelasactividades3,4y5.
A 2 kg de harina le corresponden 5 kg de masa.
Por lo tanto, a 1 kg de harina corresponden kg de masa.
En consecuencia, el factor es 52
o 2.5.
La expresión algebraica de la relación es: M = 2.5 h.
35 52
53
¿Qué fracción aplicada a 2 kg da 5 kg, 25 o
52 ?
Es fácil saberlo si se observa que al pasar de 2 a 5 la cantidad aumenta.
1.7.
Det
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prop
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62
Elivayotrosfactoresdeproporcionalidad
Saber cómo determinar un factor de proporcionalidad, combinarlo con otro y obtener su recíproco tiene muchas aplicaciones prácticas.
1 Enlatablaaparecenlospreciosdevariosproductossiniva,lacantidadquecorres‑pondeal15%deivayelpreciototalconiva.
Escribe los datos que faltan; pue‑des usar calculadora.
2 Conayudadesuprofesoroprofesoracomparensusresultadoseidentifiquenycorrijanloserrores.Revi‑sensialguienresolviódemaneradistinta.
3 Encuentrenlosfactoresdeproporcionalidadquevanenlosóvalos.Enelcuadrosedainformaciónútilpararesolverlaactividad.
Usa los factores obtenidos para volver a calcular los datos que faltan en la tabla.
¿Cómo encontrar el factor que al precio con iva le hace corresponder el precio sin IVA? ¡Con el factor recíproco del anterior! Recuerda: el recíproco de n
m es mn .
Precio sin iva iva (15%) Precio con iva
Suéter $325.00
Pantalón $299.00
Camisa $30.00
Saco $1035.00
¿Cómo encontrar el factor que al precio sin iva le hace corresponder el precio con iva?
Camino 1: El iva es igual al 15% del precio original. Enton-ces, el precio con iva es igual a: 100% del precio original + 15% del precio original, esto es, 115% del precio o 1.15 por el precio original.
Camino 2: Si un producto cuesta un peso sin iva, con iva cuesta $1.15. Por lo tanto, el factor que se busca es…
Precio sin iva iva (15%) Precio con iva
Suéter $325.00
Pantalón $299.00
Camisa $30.00
Saco $1035.00
Lección 24
100115
63
4 Conayudadesuprofesoraoprofesorrealicenlosiguiente.a) Comparen sus resultados y procedimientos.
b) Completen las siguientes fórmulas.
Pago por concepto de iva = precio sin iva.
Precio con iva = precio sin iva.
Precio sin iva = precio con iva
5 Utilizalasfórmulasanterioresparacalcular:
a) El costo con iva de una falda que cuesta $180.00 sin iva.
b) El costo sin iva de una chamarra para niño que con iva costó $370.00.
6 Encuentranuevamenteloscuatrofactoresdeproporcionalidaddelatablaanterior,suponiendoqueelivaseade12%.
7 Resuelvelossiguientesproblemas;puedesusarcalculadora.a) Sonia solicitó un préstamo bancario por $25 000.00 con un interés anual de 35%.
l ¿Cuánto pagó en total después de un año?
l María pidió un préstamo en las mismas condiciones que Sonia. Después de un año pagó en
total $16 200.00. ¿Cuánto pidió prestado?
b) Don Julián dedica 0.8 de su sueldo a los gastos de la casa (es decir, 80%); el resto lo gasta en educación, salud y entretenimiento. De lo que gasta en la casa, 0.5 es para pagar la renta.
l ¿Qué parte del sueldo de Julián es para la renta?
l Si paga $3 500 de renta, ¿de cuánto es su sueldo?
l Completa el esquema.
Sueldo Gastos de la casa Renta $3 500
c) Aproximadamente 11% del peso de caña que se recolecta se convierte en azúcar. En 2004 se produjeron aproximadamente 5.6 millones de toneladas de azúcar.
¿Cuántas toneladas de caña se cosecharon ese año aproximadamente?
8 Comparensusresultadosyprocedimientos.
1.7.
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0.8
64
Dependede…¡variasmagnitudes!IYa conoces situaciones en las que una magnitud depende de otra. Aquí estudiarás casos en los que una magnitud depende, al mismo tiempo, de dos o más magnitudes; por ejemplo, el consumo total de agua de un grupo de personas durante cierto tiempo, depende de lo que cada una consume, del número de personas y de la cantidad de tiempo.
1 Resuelveconuncompañeroocompañeraelsiguienteproblema.
Durante el verano la señora Martínez alquila su rancho a grupos de estudiantes. Debido a que le surten el agua en “pipa” solamente cuando la solicita, debe prever cuánta agua necesitará.
El año pasado ocuparon la casa ocho estudiantes y los 4 000 litros de agua de la cis-terna alcanzaron para 10 días. Si este año recibe a 24 estu-diantes durante 20 días y el consumo diario de cada uno es, en promedio, igual al del año pasado, ¿cuánta agua en total puede prever que necesitará?
2 Comparensurespuestayrevisensientretodosencontrarondistintosprocedi‑mientos.
3 Averigüencuántaaguasenecesitaríaenlossiguientescasos:
a) 8 estudiantes durante 10 días:
b) 16 estudiantes durante 10 días:
c) 24 estudiantes durante 10 días:
d) 32 estudiantes durante 10 días:
e) 8 estudiantes durante 20 días:
f) 8 estudiantes durante 30 días:
g) 8 estudiantes durante 1 día:
h) Un estudiante en un día:
i) 10 estudiantes durante 18 días:
4 Conayudadesuprofesoraoprofesorcomparensusresultadosyrevisensiencon‑traronformasdistintasdecalcularcadacaso.
Lección 25
65
5 Anotalosresultadosycompletalatabladedobleentrada;dejaenblancoelúlti‑morenglónylaúltimacolumna.
1estudiante
8estudiantes
10estudiantes
16estudiantes
24estudiantes
32estudiantes
mestudiantes
1 día
8 días
10 días 4 000 l
18 días
20 días
30 días
n días
6 Resuelvanlossiguientesproblemasconuncompañeroocompañera.
a) Si 15 estudiantes consumieron 4 500 litros de agua, ¿cuántos días es probable que hayan per‑
manecido en el rancho?
b) ¿Qué cantidad de agua consumiría un estudiante en n días?
c) ¿Qué cantidad de agua consumirían 8 estudiantes en n días?
d) Llenen el renglón correspondiente a n días. Por ejemplo, en la casilla del consumo de 10 estudiantes anotarán 500n, puesto que 10 estudiantes consumirían, en n días, 500n litros de agua.
e) Llenen la columna m estudiantes. Por ejemplo, en la casilla de 18 días escribirán 900m.
f) De las siguientes expresiones encierra la que denota el consumo de agua de m estudiantes en n días. Esa es la expresión que debe anotarse en la casilla del extremo inferior derecho de la tabla.
m + n + 50 litros 50 mn litros mn + 50 litros mn litros
7 Comparensusresultadosycomentenlasiguienteinformación.
Núm. deestudiantes
Núm. días
En el problema anterior, el consumo del agua es proporcional a dos magnitudes: al núme-ro de estudiantes, cuando el número de días es constante, y al número de días, cuando el número de estudiantes es constante
1.8.
Ela
bora
r y u
tiliz
ar p
roce
dim
ient
os p
ara
reso
lver
pro
blem
as d
e pr
opor
cion
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ad m
últip
le.
66
Dependede…¡variasmagnitudes!IISi se duplica la longitud de los lados de un rectángulo, ¿qué sucede con el área?
1 Resuelvelosproblemas.
a) En un taller, tres costureras, trabajando en equipo, hacen 30 uniformes en una semana. Si una escuela solicita 1 200 uniformes, ¿cuántas semanas tardará el equipo de las tres costureras en hacer el pedido?
b) La escuela requiere los uniformes en máximo 10 semanas. En el taller deciden contratar otras costureras para formar más equipos de tres. Suponiendo que todos los equipos trabajan a la misma velocidad, ¿cuántos equipos de tres costureras se necesitarían en total para hacer el pedido en ese tiempo? ¿Cuántas costureras en total se necesitarían?
c) Calcula y anota los datos que faltan en la tabla.
1 equipo 1 equipo 4 equipos 8 equipos m equipos
Una semana 30 uniformes
5 semanas 150m uniformes
10 semanas
semanas 1 800 uniformes
n semanas 120n uniformes
2 Comparensusresultadosyobservenqueeldatoquepusieronenlaúltimacasilladelacolumnadeladerechaeslafórmulaquepermiteobtenerrápidamenteelnúmerodeuniformesapartirdelnúmerodeequiposydesemanas.
3 Comparensusresultadosconlosdesuscompañerosycompañeras,eintentenidentificardistintasmanerasdeobtenerlos.Despuéscomentenlasiguienteinformación.
En el problema que acaban de resolver, el número de uniformes es proporcional al número de equipos, cuando el número de semanas es fijo, y también es proporcional al número de semanas, cuando el número de equipos es fijo.
Las situaciones en las que esto ocurre se llaman “situacionesdeproporcionalidadmúltiple” o “deproporcionalidadcompuesta”.
Lección 26
67
4 Laprimerafilaylaprimeracolumnadelasiguientetablacontienenlamedidadelasdosdimensiones,largoyancho,dedistintosrectángulos.Enlasotrascasillasseindicaeláreadelosrectángulos.Calculayanotalosdatosquefaltan.
2 cm 5cm cm m cm
3 cm 3m cm2
cm 50 cm2 100 cm2
15 cm 150 cm2
n cm 5n5n cm2 cm2
5 Conayudadesuprofesoroprofesorarealicenlosiguiente.
a) Comparen sus respuestas y verifiquen que el dato de la casilla inferior derecha corresponde a la fórmula del área del rectángulo.
b) Comenten la siguiente información.
6 Resuelvelossiguientesproblemasyejemplificaconrectánguloslarespuestadecadauno.
a) Si se duplican tanto la longitud como el ancho de un rectángulo, ¿cuántas veces aumenta el área?
b) La longitud de un rectángulo se duplicó y el ancho se triplicó. ¿Cuántas veces creció el área?
c) La longitud de un rectángulo se duplicó, pero el ancho se dejó igual. ¿Cuántas veces creció el área?
d) Si se quiere triplicar el área de un rectángulo, ¿qué debe hacerse con los lados?
7 Comparensusrespuestas.
Lado bLado a
El área del rectángulo es proporcional a uno de sus lados, cuando el otro lado se mantiene constante.
1.8.
Ela
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le.
68
Lección 27
1 Resuelveelsiguienteproblema.
En la paletería “La guerrerense” venden helados de cinco sabo‑res diferentes. Si Irene quiere comprar un helado de dos sabo‑res, ¿cuántas combinaciones distintas puede hacer para elegir su helado?
Pueden hacer combinaciones.
2 Comentaenequipolosresultadosylosprocedimientosqueutilizaron.Elijanelre‑sultadoyelprocedimientoquelesparezcamejorparacomentarloconelgrupo.
3 Conayudadesuprofesoroprofesoraanalicenlosdiferentesresultadosyproce‑dimientosdelosequipos.Anotaelprocedimientoqueteparezcamásclaro.
4 Contestenlassiguientespreguntas.
a) Si Irene comprara un helado de tres sabores diferentes, ¿tendría más, menos o igual cantidad de
opciones para elegir?
b) ¿Cuántas combinaciones podría elegir si comprara un helado de tres sabores diferentes?
c) ¿Cuántas combinaciones podría elegir si en la paletería vendieran helados de seis sabores dife‑
rentes y comprara un helado de dos sabores distintos? d) ¿Y si hubiera 10 sabores diferentes y comprara un helado de dos sabores distintos?
5 Enequipo,yconayudadesuprofesoroprofesoracomentenestainformación.
Los problemas como el de los helados se llaman de combinaciones y se distinguen porque en cada combinación no importa el orden. Por ejemplo, un helado de fresa y vainilla es el mismo que un helado de vainilla y fresa.
HeladosdesaboresHay situaciones en las que resulta muy fácil contar, pero en otras no lo es tanto; por ejemplo, ¿sabes cuántas combinaciones de dos sabores es posible hacer teniendo cinco sabores para elegir?
69
6 Conelpropósitodequeconozcasunprocedimientomáspararesolverproblemascomoeldeloshelados,hazlosiguiente.
a) Completa en tu cuaderno el siguiente diagrama de árbol.
b) Completa el siguiente razonamiento.
El diagrama de árbol muestra, en total, combinaciones.
Sin embargo, hay combinaciones repetidas. Como cada combinación tiene dos sabores,
cada combinación se repite veces. Por ejemplo, fresa y vainilla es la
misma combinación que y . Para obtener
el número de combinaciones diferentes se divide entre el número que se obtuvo en el diagrama de árbol.
c) ¿Cuántas combinaciones diferentes hay?
7 Leanelsiguienteproblemaycontestenlaspreguntas.
Supongamos que en tu grupo hay cinco compañeros o compañeras que juegan bien voleibol. De ese grupo de cinco se elegirán tres para integrar la selección de la escuela. ¿Cuántas combinaciones diferentes hay?
a) ¿En qué se parece este problema al de los helados?
b) ¿Qué se necesita para que una combinación sea distinta de otra?
c) ¿Cuál es el resultado de este problema?
8 Inventenunproblemadelmismotipoquelosdelosheladosydelosjugadoresdevoleibol.Analícenloconayudadesuprofesoraoprofesoryresuélvanloconelgrupo.
Sabor 2Sabor 3Sabor 4Sabor 5Sabor 1Sabor 3
Sabor 1
Sabor 2
Sabor 3
1.9.
Ant
icip
ar re
sulta
dos
en p
robl
emas
de
cont
eo.
70
Lección 28
1 Conlascifras2,3,4y5formentodoslosnúmerosdiferentesdecuatrocifraspo‑sibles,sinqueenlosnúmerosserepitancifras.
a) ¿Cuántos números diferentes de cuatro cifras se pudieron formar?
b) ¿Cuál de esos números es el mayor?
c) ¿Cuántos de esos números terminan en cinco?
d) ¿Cuántos números diferentes es posible formar si se agrega una cifra más distinta de cero?
e) Y si se agregan dos cifras más distintas de cero, ¿cuántos números diferentes se pueden formar?
2 Realicenestaactividadengrupoyconayudadesuprofesoroprofesora.
a) Comparen los resultados y analicen los procedimientos que utilizaron.b) Prueben el procedimiento que les parezca el mejor para resolver el siguiente problema.
En el grupo hay cuatro equipos y cada uno deberá hacer la limpieza del salón durante una se‑mana. ¡Ningún equipo quiere empezar! ¿De cuántas formas se pueden ordenar los equipos?
Se pueden ordenar de formas.
3 Conayudadesuprofesoraoprofesorrespondanestapregunta:
¿En qué son diferentes los dos problemas anteriores al de los helados que resolviste en una lección
anterior?
4 Leanlasiguienteinformacióny,sitienendudas,compártanlasconsuprofesoroprofesorayconelrestodelgrupo.
Los dos primeros problemas de esta lección se parecen en que en ambos se requiere encon‑trar el total de permutaciones o cambios de posición entre los elementos de un conjunto. En el primer caso es un conjunto de cifras y en el segundo, un conjunto de equipos. A estos problemas se les llama problemasdepermutaciones. En cambio, en problemas como el de los helados que resolviste antes, dos conjuntos for‑mados con los mismos elementos, pero en distinto orden, por ejemplo, (fresa, limón) y (limón, fresa), se consideran equivalentes y se cuentan como una sola combinación.
Distintosnúmerosconlasmismascifras
Con un grupo de cifras se pueden formar varios números, basta mover una cifra para que el número sea diferente.