UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y DE ENERGIA
DEPARTAMENTO ACADEMICO DE INGENIERIA MECANICA
MATEMATICA APLICADA A LA INGENIERIA
ESPACIOS VECTORIALES
RESOLUCION N◦ 053-2016-D-FIME
ANDRES COLLANTE HUANTO
SEMESTRE 2016-B
CALLAO-PERU
INDICE
ESPACIOS VECTORIALES 2
1 Definicion 2
1.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Subespacios 5
2.1 Combinacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Envolvente lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Operaciones con subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Independencia Lineal, Bases y Dimension 14
3.1 Independencia Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Matriz de cambio de base 23
REFERENCIALES 30
1
ESPACIOS VECTORIALES
La definicion de un espacio vectorial envuelve un campo K arbitrario cuyos elementos
se llaman escalares.
1 Definicion
Se llama espacio vectorial sobre el campo K1, a un conjunto V 6= ∅, que tiene dos
operaciones que son: la suma y el producto por un escalar
• La suma
+ : V × V −→ V
(u, v) −→ u+ v
• El producto por un escalar
· : K× V −→ V
(λ, µ) −→ λµ
y satisface los siguientes axiomas, ∀u, v, w ∈ V, ∀α, β ∈ K
[S1] : u+ v = v + u
[S2] : (u+ v) + w = u+ (v + w)
[S3] : ∃ un elementos 0 ∈ V , llamado cero /u+ 0 = u ∀u ∈ V
[S4] : ∀u ∈ V ∃ un elemento u′ ∈ V/u + u′ = 0. El elemento u′ se llama el opuesto de
u y se denota por u′ = −u
[P1] : α(βu) = (αβ)u
[P2] : (α + β)u = αu+ βu
[P3] : α(u+ v) = αu+ αv
1En adelante consideraremos a K como el conjunto de los numeros reales
2
[P4] : 1 · u = u
NOTA
Sea V un espacio vectorial sobre el campo K
1. Los elementos de V se llaman vectores
2. Los elementos de K se llaman escalares
3. Se dice que V es un espacio vectorial racional si K = Q
4. Se dice que V es un espacio vectorial real si K = R
5. Se dice que V es un espacio vectorial complejo si K = C
1.1 Ejemplos
Ejemplos de espacio vectorial
1. V = Kn, n = 1, 2, 3, . . . , donde K es un campo arbitrario. Sean
u = (u1, u2, . . . , un), v = (v1, v2, . . . , vn)
elementos de V y α ∈ K. Se definen las siguientes operaciones
u+ v = (u1 + v1, , u2 + v2, . . . , un + vn), αv = (αv1, αv2, . . . , αvn)
V = Kn es un espacio vectorial sobre K
2. En V = Rn, n = 2, 3, 4, . . . toda recta o plano que pasa por el origen de coor-
denadas con las operaciones definidas en ejemplo 1, es un espacio vectorial sobre
R. Por ejemplo
L = {(x, y) ∈ R2/5x+ 4y = 0}
y
P = {(x, y, z) = t(1, 2, 3) + r(0, 0, 1)/t, r ∈ R}
son espacios vectoriales sobre el campo K = R
3
3. Sea U 6= ∅ un conjunto arbitrario
KU = {f : U → K/f es una funcion}
con las operaciones
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(αf)(x) = αf(x)
para x ∈ U, f, g ∈ KU , α ∈ K, KU es un espacio vectorial sobre K
4. Sea K[x] el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en K, con las
operaciones suma de polinomios y el producto de un escalar por un polinomio,
K[x] es un espacio vectorial sobre K.
5. Sea I = [a, b], con a < b
C(I) = {f : I → R/f es continua}
con las operaciones del ejemplo 3, C(I) es un espacio vectorial sobre R.
6. El conjunto
E = {f : R→ R/f es diferenciable en x = 2}
con las operaciones del ejemplo 3, E es un espacio vectorial sobre R.
7. Sea
D = {f : [−2, 2]→ R/f es integrable}
con las operaciones del ejemplo 3, D es un espacio vectorial sobre R.
8. Sea Pn el conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual
a n con las operaciones suma de polinomios y el producto de un escalar real por
un polinomio, Pn es un espacio vectorial sobre R.
9. Sea Mm×n el conjunto de matrices de orden m× n
Mm×n = {[aij]/aij ∈ R}
con las operaciones usuales de suma de matrices y el producto de un escalar real
por una matriz, Mm×n es un espacio vectorial sobre R.
4
10. Ademas
F = {f : R→ R/f ′′′ − 5f ′ + 8f = 0}
con las operaciones del ejemplo 3, F es un espacio vectorial sobre R.
2 Subespacios
Definicion
Sea V un espacio vectorial sobre K, S 6= ∅, S ⊂ V, S es un subespacio de V si S es
un espacio vectorial con las operaciones de V
Ejemplos
1. Si V es un espacio vectorial sobre K y 0 ∈ V ⇒ {0} es un sub-espacio de V
2. L = {a(1, 0)/a ∈ R} es un sub-espacio de R2
P = {a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0)/a, b ∈ R} es un subespacio de R3
3. Sea V = R[x] el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en R, V = R[x]
tiene infinitos sub-espacios. Veamos algunos de ellos
M = {f(x) ∈ V/grado(f(x)) ≤ 8}
R = {g(x3)/g(x) ∈ V }
S = {h(x) ∈ V/h(−x) = −h(x)}
Proposicion. Sea V un espacio vectorial, S 6= ∅, S ⊂ V, S es un subespacio de V si
y solo si
αu+ βv ∈ S ∀u, v ∈ S, ∀α, β ∈ K
Ejemplos
1. Probar que L = {a(1, 0)/a ∈ R} es un subespacio de R2
Solucion
L ⊂ R2, (1, 0) ∈ L ⇒ L 6= ∅
5
Sea b(1, 0) ∈ L , c(1, 0) ∈ L , α, β ∈ K
αb(1, 0) + βc(1, 0) = (αb+ βc)(1, 0) ∈ L
∴ L es un subespacio de R2
2. Determinar si W = {(x, y, z)/x2 + y2 + z2 ≤ 1} es un subespacio de R3
Solucion
W 6= ∅ pues (1, 0, 0) ∈ W ademas W ⊂ R3
(1, 0, 0) + (1, 0, 0) = (2, 0, 0) /∈ W
∴ W no es sub-espacio de R3
3. Probar que Pm es un sub-espacio de Pn donde 0 ≤ m ≤ n
Solucion
Pm 6= ∅ pues 0 ∈ Pm, ademas Pm ⊂ Pn
Sean α, β ∈ R
Sean p(x), q(x) ∈Pm entonces
p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ am−1xm−1 + amx
m, ai ∈ R
q(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bm−1xm−1 + bmx
m, bi ∈ R
y grado(p(x)) ≤ m, grado(q(x)) ≤ m
Planteamos
αp(x) + βq(x) = (αa0 + βb0) + (αa1 + βb1)x
+ · · ·+ (αam−1 + βbm−1)xm−1 + (αam + βbm)xm ∈Pm
∴ Pm es sub-espacio de Pn
4. Verificar que S = {g(x3)/g(x) ∈ V } es un subespacio de V = R[x]
Solucion
Vemos que
0 ∈ S 6= ∅ ∧ S ⊂ V
6
Sean f(x3), g(x3) ∈ S y α, β ∈ R
αf(x3) + βg(x3) = (αf + βg)(x3) ∈ S
∴ S es un subespacio de V = R[x]
5. Sea C ′[0, 1] = {f : [0, 1]→ R/f ′ es continua en [0, 1]}. Probar que C ′[0, 1] es un
subespacio de C[0, 1]
Solucion
C ′[0, 1] 6= 0 pues la funcion nulo 0 ∈ C ′[0, 1]
Veamos que C ′[0, 1] ⊂ C[0, 1]
Sea f ∈ C ′[0, 1] −→ f ′ es continua en [0, 1]
−→ f es diferenciable en [0, 1]
−→ f es continua en [0, 1]
−→ f ∈ C[0, 1]
Sean f, g ∈ C ′[0, 1] y α, β ∈ R
f ∈ C ′[0, 1] −→ f ′ es continua en [0, 1]
−→ αf ′ es continua en [0, 1]
g ∈ C ′[0, 1] −→ g′ es continua en [0, 1]
−→ βg′ es continua en [0, 1]
Luego
−→ αf ′ + βg′ es continua en [0, 1]
−→ (αf + βg)′ es continua en [0, 1]
−→ αf + βg ∈ C ′[0, 1]
∴ C ′[0, 1] es un subespacio de C[0, 1]
7
2.1 Combinacion lineal
Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Sean v1, v2, . . . , vm ∈ V y sean
α1, α2, . . . , αm ∈ K. El vector de la forma
α1v1 + α2v2 + · · ·+ αmvm
se llama combinacion lineal de v1, v2, . . . , vm.
2.2 Envolvente lineal
Sea V un espacio vectorial sobre K, S 6= ∅ y S ⊂ V . Se llama envolvente lineal
generada por S al conjunto de vectores que se puede poner como combinacion lineal
de elementos de S
L[S] = {αv1 + α2v2 + · · ·+ αmvm/v1, . . . , vm ∈ S, α1, α2, . . . , αm ∈ K,m ∈ N}
Al conjunto S se le llama conjunto generador de L[S].
Teorema
Sea V un espacio vectorial sobre K, S 6= ∅ y S ⊂ V
Se cumple las siguientes proposiciones
i) S ⊂ L[S] y L[S] es un subespacio de V .
ii) Si W es subespacio de V y S ⊂ W entonces L[S] ⊂ W
NOTA
1. L[S] se llama el subespacio generado por S.
2. L[∅] = {0}
Definicion
Si L[S] = V se dice que S es un conjunto generador de V
Ejemplos
1. Probar que {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} genera R3
8
Solucion
Probemos que
L[{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}] = R3
Veamos que
L[{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}] ⊂ R3 obvio pues
α1(1, 0, 0) + α2(0, 1, 0) + α3(0, 0, 1) = (α1, α2, α3) ∈ R3
Veamos que
R3 ⊂ L[{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}]
Sea (x, y, z) ∈ R3 ⇒ (x, y, z) = x(1, 0, 0)+y(0, 1, 0)+z(0, 0, 1) ∈ L[{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}]
∴ {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} genera a R3
2. Determinar si {(1, 2), (1, 1)} genera a R2
Solucion
Veamos que L[{(1, 2), (1, 1)}] = R2
L[{(1, 2), (1, 1)}] ⊂ R2 obvio
Probemos que R2 ⊂ L[{(1, 2), (1, 1)}]
Sea (x, y) ∈ R2
(x, y) = α(1, 2) + β(1, 1)
α + β = x
2α + β = y→
1 1
2 1
αβ
=
xy
1 1 x
2 1 y
→ 1 1 x
0 −1 y − 2x
→ 1 0 y − x
0 −1 y − 2x
α = y − x β = 2x− y
(x, y) = (y − x)(1, 2) + (2x− y)(1, 1)
∴ {(1, 2), (1, 1)} genera a R2
9
3. A = {1, x, x2, . . . , xn, . . .} genera a R[x]
4. B = {1, x, x2, . . . , xn} genera a Pn
5. Determinar si {1 + x, x2, x− 2x2} genera a P2
Solucion
Veamos que L[{1 + x, x2, x− 2x2}] = P2
Probemos que L[{1 + x, x2, x− 2x2}] ⊂ P2 obvio
Probemos que P2 ⊂ L[{1 + x, x2, x− 2x2}]
Sea a+ bx+ cx2 ∈ P2
a+ bx+ cx2 = α(1 + x) + βx2 + γ(x− 2x2)
entonces
a = α
b = α + γ → γ = b− a
c = β − 2γ → β = c+ 2γ → β = c+ 2(b− a)
a+bx+cx2 = a(1+x)+(c+2b−2a)x2 +(b−a)(x−2x2) ∈ L[{1+x, x2, x−2x2}]
L[{1 + x, x2, x− 2x2}] ⊂ P2
∴ {1 + x, x2, x− 2x2} genera a P2
6. Sea S = {1 +x, x+x2, 1 +x+x2, 1 + 2x+x2}. Verificar que 1 + 2x+ 3x2 ∈ L[S]
(envolvente lineal de S)
Solucion
1 + 2x+ 3x2 = α(1 + x) + β(x+ x2) + γ(1 + x+ x2) + η(1 + 2x+ x2)
1 = α + γ + η
2 = α + β + γ + 2η
3 = β + γ + η
10
1 0 1 1
1 1 1 2
0 1 1 1
α
β
γ
η
=
1
2
3
Formamos la matriz aumentada y realizamos operaciones elementales por filas
1 0 1 1 1
1 1 1 2 2
0 1 1 1 3
−→
1 0 1 1 1
0 1 0 1 1
0 1 1 1 3
−→
1 0 1 1 1
0 1 0 1 1
0 0 1 0 2
−→
1 0 0 1 −1
0 1 0 1 1
0 0 1 0 2
γ = 2
α + η = −1→ α = −1− η
β + η = 1→ β = 1− η
1+2x+3x2 = (−1−η)(1+x)+(1−n)(x+x2)+2(1+x+x2)+η(1+2x+x2) ∀η ∈ R
1 + 2x+ 3x2 ∈ L[S]
7. Si S = {(1, 1, 0), (0, 1, 1)}. Determinar el sub-espacio de R3 generado por S.
Solucion
El sub-espacio generado por S es
L[S] = {α1(1, 1, 0) + α2(0, 1, 1)/α1, α2 ∈ R}
ecuacion vectorial de un plano
Podemos hacer las siguientes operaciones
(x, y, z) = α1(1, 1, 0) + α2(0, 1, 1)
x = α1
y = α1 + α2
z = α2
→ y = x+ z
tambien se puede escribir como
L[S] = {(x, y, z)/y = x+ z}
11
2.3 Operaciones con subespacios
Sea V un espacio vectorial sobre K, sean V1 y V2 subespacios de V , se definen las
siguientes operaciones:
V1 ∩ V2 = {u ∈ V/u ∈ V1 ∧ u ∈ V2}
V1 ∪ V2 = {u ∈ V/u ∈ V1 ∨ u ∈ V2}
V1 + V2 = {u1 + u2 ∈ V/u1 ∈ V1, u2 ∈ V2}
Proposicion. V1 ∩ V2 y V1 + V2 son subespacios de V , en cambio no siempre V1 ∪ V2es un subespacio de V
Ejemplo
1. Sea
V1 = {α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0)/α, β ∈ R}
V2 = {m(0, 1, 0) + n(0, 0, 1)/m, n ∈ R}
Determinar V1 ∩ V2
Solucion
V1 es el plano XY y V2 es el plano Y Z
α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) = m(0, 1, 0) + n(0, 0, 1)
α = 0
β = m
0 = n
V1 ∩ V2 = {r(0, 1, 0)/r ∈ R}
2. Sea
V1 = {α(0, 1, 0)/α ∈ R}
V2 = {β(0, 0, 1)/β ∈ R}
Halle V1 + V2
12
Solucion
V1 + V2 = {α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1)/α(0, 1, 0) ∈ V1 ∧ β(0, 0, 1) ∈ V2}
V1 + V2 = {α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1)/α, β ∈ R}
es el plano Y Z
3. Sea
V1 = {α(1, 0, 0)/α ∈ R}
V2 = {β(0, 1, 0)/β ∈ R}
Determinar si V1 ∪ V2 es subespacio de R3
Solucion
V1 ∪ V2 = {v ∈ V/v ∈ V1 ∨ v ∈ V2}
(1, 0, 0) ∈ V1 −→ (1, 0, 0) ∈ V1 ∪ V2
(0, 1, 0) ∈ V2 −→ (0, 1, 0) ∈ V1 ∪ V2
(1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0) /∈ V1 ∪ V2
∴ V1 ∪ V2 no es subespacio de R3
2.3.1 Suma directa
Sea V e.v.2, sean V1, V2 subespacios de V . La suma V1 + V2 se llama suma directa si
V1 ∩ V2 = {0}. En este caso la suma se denota V1 ⊕ V2
Ejemplo
1. Sean
V1 = {(x, y, z) ∈ R3/x− y + z = 0}
2e.v. abreviatura de espacio vectorial
13
V2 = {(x, y, z) ∈ R3/− x+ y + z = 0}
L = {λ(1, 1, 2)/λ ∈ R}
Determine si V1 + V2 y V1 + L son sumas directas
Solucion
Hallemos V1 ∩ V2
x− y + z = 0
−x+ y + z = 0
→ 1 −1 1
−1 1 1
x
y
z
=
0
0
1 −1 1
0 0 2
→1 −1 0
0 0 1
x
y
z
=
0
0
x− y = 0 −→ x = y
z = 0
(x, y, z) = (x, x, 0) = x(1, 1, 0)
V1 ∩ V2 = {x(1, 1, 0)/x ∈ R} 6= {0}
luego V1 + V2 no es suma directa
Hallemos V1 ∩ L
x− y + z = 0
(x, y, z) = λ(1, 1, 2)
→ λ− λ+ 2λ = 0→ λ = 0
V1 ∩ L = {0}
Luego V1 + L es suma directa
3 Independencia Lineal, Bases y Dimension
3.1 Independencia Lineal
Definicion
Se dice que los vectores v1, v2, . . . , vn ∈ V e.v. son linealmente independientes si la
14
ecuacion
α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn = 0 (αi ∈ K) ⇒ α1 = α2 = · · · = αn = 0
solucion unica. En caso contrario se dice que son linealmente dependiente.
Ejemplos
1. Pruebe que v1 = (1, 2, 3), v2 = (1, 2, 2), v3 = (2, 2, 3) son l.i.
Solucion
De
α1(1, 2, 3) + α2(1, 2, 2) + α3(2, 2, 3) = (0, 0, 0)
α1 + α2 + 2α3 = 0
2α1 + 2α2 + 2α3 = 0
3α1 + 2α2 + 3α2 = 0
1 1 2
2 2 2
3 2 3
α1
α2
α3
=
0
0
0
1 1 2
0 0 −2
3 2 3
→
1 1 0
0 0 1
3 2 0
→
1 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
α1
α2
α3
=
0
0
0
⇒ α1 = α2 = α3 = 0
⇒ v1, v2 y v3 son linealmente independientes
2. Sea L [S] = {(x, y, z, w) ∈ R4/x− y + w = 0, 2x + y − w = 0, z + w = 0}. Halle
un conjunto S que genere a L [S]
15
Solucion
x− y + w = 0
2x+ y − w = 0
z + w = 0
⇒
1 −1 0 1
2 1 0 −1
0 0 1 1
x
y
z
w
=
0
0
0
→
1 −1 0 1
1 0 0 0
0 0 1 1
→
0 −1 0 1
1 0 0 0
0 0 1 1
x
y
z
w
=
0
0
0
−y + w = 0 −→ y = w
x = 0 −→ x = 0
z + w = 0 −→ z = −w
(x, y, z, w) = (0, w,−w,w) = w(0, 1,−1, 1)
L [S] = {w(0, 1,−1, 1)/w ∈ R}
S = {(0, 1,−1, 1)}
3. Sea
A =
0 a
b 0
/a, b ∈ R
Halle un conjunto S que genere al conjunto A
Solucion
A =
a0 1
0 0
+ b
0 0
1 0
/a, b ∈ R
A = L
0 1
0 0
,
0 0
1 0
S =
0 1
0 0
,
0 0
1 0
16
Definicion
Un conjunto A ⊂ V es l.i. si toda coleccion finita de elementos de A es linealmente
independiente.
Ejemplo
A = {1, x, x2, . . .} ⊂ R[x] es l.i.
3.2 Bases
Sea V un espacio vectorial, un conjunto S ⊂ V es una base si
(i) S genera V , es decir L[S] = V
(ii) S es linealmente independiente.
Ejemplos
1. Si ej = (0, . . . , 0, 1︸ ︷︷ ︸j
, 0, . . . , 0), j = 1, 2, . . . , n
{e1, e2, . . . , en} es una base de Rn llamada base canonica.
2. {(1, 2), (2, 1)} es una base de R2
3. {1, x, x2, . . .} es una base de R[x]
4. {1, x, x2, x3} es una base de P3
5.
1 0
0 0
,
0 1
0 0
,
0 0
1 0
,
0 0
0 1
es una base M2×2
6. Halle una base de V = {(x, y, z) ∈ R3/x− y + z = 0}
Solucion
x− y + z = 0 −→ x = y − z
(x, y, z) = (y − z, y, z) = y(1, 1, 0) + z(−1, 0, 1)
17
V = {y(1, 1, 0) + z(−1, 0, 1)/y, z ∈ R}
V = L [{(1, 1, 0), (−1, 0, 1)}]
S = {(1, 1, 0), (−1, 0, 1)} genera V
es facil ver que (1, 1, 0) y (−1, 0, 1) son l.i.
Ası S es una base de V
Proposicion. Cualquier base de un espacio vectorial tiene la misma cantidad de ele-
mentos
Ejemplos
1. {(1, 0), (0, 1)} base de R2
{(1, 2), (2, 1)} base de R2
2. {1, x, x2} base de P2
{1, 1 + x, 1 + x+ x2} base de P2
Proposicion. De cualquier conjunto de generadores de V se puede extraer una base
Ejemplo
Sea A = {(1,−3, 2, 0), (1, 1, 0, 2), (2,−2, 2, 2), (0,−4, 2,−2), (3,−1, 2, 4)}
Halle un subconjunto de A que sea una base de L [A]
Solucion
α1(1,−3, 2, 0)+α2(1, 1, 0, 2)+α3(2,−2, 2, 2)+α4(0,−4, 2,−2)+α5(3,−1, 2, 4) = (0, 0, 0, 0)
1 1 2 0 3
−3 1 −2 −4 −1
2 0 2 2 2
0 2 2 −2 4
α1
α2
α3
α4
α5
=
0
0
0
0
(1)
18
Formamos la matriz aumentada y por operaciones elementales por filas lo llevamos a
la forma de una matriz escalonada1 1 2 0 3 0
−3 1 −2 −4 −1 0
2 0 2 2 2 0
0 2 2 −2 4 0
−→
1 1 2 0 3 0
−3 1 −2 −4 −1 0
2 2 4 0 6 0
0 2 2 −2 4 0
−→
1 1 2 0 3 0
−3 1 −2 −4 −1 0
0 0 0 0 0 0
0 1 1 −1 2 0
−→
1 0 1 +1 1 0
−3 1 −2 −4 −1 0
0 0 0 0 0 0
0 1 1 −1 2 0
−→
1 0 1 1 1 0
0 1 1 −1 2 0
0 0 0 0 0 0
0 1 1 −1 2 0
−→
1 0 1 1 1 0
0 1 1 −1 2 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
La columna 1 y 2 son pivote entonces la columna 1 y 2 de la matriz de coeficientes
de (1) son una base de L [A]. Es decir
{(1,−3, 2, 0), (1, 1, 0, 2)}
es una base para L [A]
3.3 Dimension
Definicion
La dimension de un espacio vectorial V es el numero de elementos de una base. Este
numero se denota por dimV
NOTA
1. Si V = {0} ⇒ dimV = 0
2. Sea S = {v1, v2, . . . , vn} una base de V ⇒ dimV = n
3. Si V tiene una base infinita ⇒ dimV =∞
19
Ejemplos
1. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de R3 ⇒ dimR3 = 3
2. {1, x, x2, x3} es una base de P3 ⇒ dimP3 = 4
3.
1 0
0 0
,0 1
0 0
,0 0
1 0
,0 0
0 1
es una base de M2×2 ⇒ dimM2×2 = 4
4. {1, x, x2, x3, . . .} es una base de R[x]⇒ dimR[x] =∞
Proposicion (Completacion de una base). Sea V un K-espacio vectorial, dimV = n.
Si v1, v2, . . . , vr, r < n son l.i. en V ⇒ ∃ vr+1, . . . vn/{v1, . . . , vr, . . . , vn} es una base
de V
Ejemplos
1. En R2 tenemos el vector v1 = (1, 0) completando a una base
(1, 0), (0, 1)
2. En P3 tenemos los vectores 1, x completando a una base
1, x, x2, x3
Corolario
Si dimV ≥ 1 todo vector v 6= 0 forma parte de una base de V .
Proposicion. Sea S sub-espacio de V ocurre
1. dimS ≤ dimV
2. dimV <∞ y dimV = dimS =⇒ S = V
3. dimV =∞ la afirmacion anterior es falsa en general
Ejemplo
20
1. En R3 sea
L = {λ(1, 2)/λ ∈ R}
P = {a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0)/a, b ∈ R}
entonces dim(L ) ≤ dim(R3) y dim(P) ≤ dim(R3)
2. Sea
V = L[{1, x, x2, . . .}] y S = L[{x, x2, x3, . . .}]
entonces dimV = dimS =∞ y S 6= V
Proposicion. Si V1 y V2 son sub-espacios de V (dimV <∞) ⇒
dim(V1 + V2) = dimV1 + dimV2 − dim(V1 ∩ V2)
Ejemplo
1. Sea los espacios vectoriales
V1 = {α(1, 0, 0)/α ∈ R}
V2 = {β(0, 1, 0)/β ∈ R}
Halle dim(V1 ∩ V2)
Solucion
La suma de espacios V1 y V2 es
V1 + V2 = {α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0)/α, β ∈ R}
Luego
dim(V1 + V2) = 2, dimV1 = 1, dimV2 = 1
2 = 1 + 1− dim(V1 ∩ V2)
→ dim(V1 ∩ V2) = 0
Proposicion. Sea V un espacio vectorial y S = {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V, dimV = n
S es linealmente independiente ⇐⇒ S genera a V
21
Definicion
Sea V un espacio vectorial sobre R, dimV = n, B = {v1, v2, . . . , vn} es una base de V
y v ∈ V
El vector de coordenadas de v respecto a la base B es
(v)B = (α1, α2, . . . , αn) ∈ Rn
donde
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn
La matriz de coordenadas de v respecto a la base B es
[v]B =
α1
α2
...
αn
Ejemplos
1. Sea v = (3, 4), B = {(1, 0), (0, 1)}
Halle (v)B y [v]B
Solucion
(3, 4) = α1(1, 0) + α2(0, 1)
α1 = 3 , α2 = 4
(v)B = (3, 4) y [v]B =
3
4
2. Sea v = (3, 4), B1 = {(1, 3), (−1, 2)}
Halle (v)B1 y [v]B1
Solucion
(3, 4) = α1(1, 3) + α2(−1, 2)
22
1 −1
3 2
α1
α2
=
3
4
1 −1 3
3 2 4
−→ 1 −1 3
0 5 −5
−→ 1 −1 3
0 1 −1
1 0 2
0 1 −1
(v)B1 = (2,−1) y [v]B =
2
−1
x
y
(−1, 2)
(1, 3)
(3, 4)
(1,−2)
4 Matriz de cambio de base
Sea V un espacio vectorial sobre R dimV = n
B1 = {v1, v2, . . . , vn} y B2 = {u1, u2, . . . , un} dos bases de V
Sea w ∈ V
w = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn, αi ∈ R
w = β1u1 + β2u2 + · · ·+ βnun βi ∈ R
23
v1 = m1u1 +m2u2 + · · ·+mnun mi ∈ R
v2 = n1u1 + n2u2 + · · ·+ nnun ni ∈ R...
vn = f1u1 + f2u2 + · · ·+ fnun fi ∈ R
[w]B2 = [α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn]B2
[w]B2 = α1[v1]B2 + α2[v2]B2 + · · ·+ αn[vn]B2
[w]b2 =[[v1]B2 [v2]B2 · · · [vn]B2
]α1
α2
...
αn
[w]B2 =
m1 n1 · · · f1
m2 n2 · · · f2...
...
mn nn · · · fn
︸ ︷︷ ︸
p
[w]B1
P [w]B1 = [w]B2
P matriz de cambio de base de B1 a B2
Observacion
1. |P | 6= 0 (P es no singular)
2. Si P [w]B1 = [w]B2 entonces P−1[w]B2 = [w]B1 , donde P−1 es la matriz cambio de
base de B2 hacia B1
Ejemplos
1. Sea
B1 = {(1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 2, 3)}
24
B2 = {(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}
bases de R3, halle la matriz de cambio de base de B1 a B2
Solucion
(1, 1, 1) = α1(0, 0, 1) + α2(0, 1, 1) + α3(1, 1, 1)
(1, 2, 2) = β1(0, 0, 1) + β2(0, 1, 1) + β3(1, 1, 1)
(1, 2, 3) = γ1(0, 0, 1) + γ2(0, 1, 1) + γ3(1, 1, 1)
0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 2 2
1 1 1 1 2 3
f3−f2−−−→
0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 2 2
1 0 0 0 0 1
f2−f1−−−→
0 0 1 1 1 1
0 1 0 0 1 1
1 0 0 0 0 1
−→
1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 1
0 0 1 1 1 1
−→ P =
0 0 1
0 1 1
1 1 1
2. Sea v = (3, 5, 6), considere las bases del ejemplo (1). Halle [v]B1 , [v]B2
Solucion
(3, 5, 6) = α1(1, 1, 1) + α2(1, 2, 2) + α3(1, 2, 3)
[v]B1 =
1
1
1
(3, 5, 6) = β1(0, 0, 1) + β2(0, 1, 1) + β3(1, 1, 1)
[v]B2 =
1
2
3
25
se verifica 0 0 1
0 1 1
1 1 1
1
1
1
=
1
2
3
P [v]B1 = [v]B2
26
Ejercicios
1. Determine si los siguientes conjuntos son espacios vectoriales, justifique su re-
spuesta
(a) V = {f : R→ R/2f(0) = f(1)}
(b) U =
a a+ b
a+ b b
/a, b ∈ R
2. Determine si los siguientes vectores son linealmente independientes a = (2, 2i, 2+
2i,−2i), b = (−i, 0, 2, 2− i, 1 + i), c = (0,−1, 0, 1), d = (3i,−2− i, 3i− 5,−i)
3. Probar que los siguientes conjuntos son linealmente independientes
(a) {x, x2, x3}
(b) {sen x, cosx, x cosx}
(c) {x2ex, xex, ex}
4. Hallar el valor de β para que g = −x+y+3z, f = 5x−2y+9z, h = x−βy+2βz
sean linealmente dependientes
5. Sea el subespacio V = L [{t+ t2, 1− 3t+ 2t2,−3 + 11t− 4t2}]
(a) ¿V es un subespacio de P2?
(b) Diga si los vectores a = 1− t+ t2, b = −3 + 6t− 9t2 pertenecen a V
(c) Determine la condicion entre m,n y p para que el vector m(1 + t) + n(1 −
t) + pt2 pertenezca a V
6. Considere los siguientes subespacios de
V = L[{1 + 2x+ 3x2 + x3, 4− x+ 3x2 + 6x3, 5 + x+ 6x2 + 12x3}
]U = L
[{1− x+ x2 + x3, 2− x+ 4x2 + 5x3}
](a) Halle una base para U ∩ V y su dimension
(b) Extienda la base hallada en a) a una base V y luego a una base de U
(c) Halle una base para U + V y su dimension
27
7. Sea W ⊂ Pn/ W = {p(x)/p(2) = 1}. Diga si W es un subespacio.
8. Sean los subespacios U = {(x, y, z)/x + y + z = 0}, V = {(x, y, z)/x = y = z}.
Halle U ⊕ V
9. Sea U el conjunto de soluciones del sistema
x− y + 3z = 0
3x+ 2y − z = 0
3x− 8y + kz = 0
Halle el valor de k de modo que dim(U) sea 0, 1, 2
10. Diga si es verdad o falso la siguiente proposicion, justifique su respuesta
L[{sen2x, cos2 x, sen2x+ 2, 8sen2x− cos2 x}
]= L
[{1, sen2x}
]11. Sea el espacio vectorial V = {f/f : [−3, 3] → R} con las operaciones usuales,
S = {f ∈ V/f(x) = f(−x)}, T = {f ∈ V/f(x) = −f(−x)}
(a) Pruebe que S y T son subespacios de V
(b) Calcule S ∩ T
(c) Pruebe que V = S + T
12. En R3 considere los subespacios
W1 = {(x, y, z)/2x+ 3y + 3z = 0}, W2 = L[{(0, 0, 1), (−1, 1, 0)}]
Halle una base y dimension de
(a) W1 ∩W2
(b) W1 +W2
13. Sean las bases S1 = {β1, β2, β3} y S2 = {t2 + 1, t, 1} y P =
1 2 3
0 1 4
0 0 1
Halle
28
(a) (β)S2 si β = 3t2 − 2t+ 1
(b) La base S1, si P es la matriz cambio de base de S2 a la base S1
29
REFERENCIALES
[1] Kolman Bernard. Algebra Lineal con aplicaciones y matlab. Sexta edicion. Prentice
Hall, Mexico 1999.
[2] Grossman Stanley I. “Algebral lineal”. Ed. Mc. Graw Hill 1995.
[3] Kreyszyg, Erwin. “Matematicas Avanzadas para Ingenierıa”. Vol 1. Editorial
Limusa, 1996.
[4] Carlos Chavez V. “Algebra lineal”. Editorial Moshera 2012.
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