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Objetivo 8.
Calcular: dx
xx
Senxx
222, Sea
22)(
2
zz
zzf .
ii
z
12
22
2
42
1*2
2*1*422 2.
dx
xx
Senxx
222=Im2**i*Res(f(z)*eiz).
Res(f(z)*eiz) = i
ei
ii
ei
iziz
eziziiiiz
iz 2
*)1(
)1()1(
*)1(
)1(*)1(
**))1(( 1)1(
1lim
=
i
SeneCosieiSenCose
i
iSenCosei
i
eeii
2
)1()1()1()1(
2
))1()1((**)1(
2
**)1(
1111
1
= 2**i*i
SeneCosieiSenCose
2
)1()1()1()1( 111 =
= ))1()1(())1()1(( 11 CosSenieSenCose .
Im ( ))1()1(())1()1(( 11 CosSenieSenCose )= ))1()1((1 CosSene .
Por lo tanto:
dx
xx
Senxx
222=Im2**i*Res(f(z)*eiz) = ))1()1((1 CosSene .
Objetivo 9.
Hallar la transformada inversa de: 22
3
1
3)(
s
ssf .
22223
22
3
1
3
11
3
ss
s
s
s, por lo tanto:
22
1
22
31
22
31
1
3
11
3
sL
s
sL
s
sL .
-
1*
1*
122
1
22
31
s
s
s
ssL
s
sL hallamos la transformada inversa:
1*
1 221
s
s
s
sL por el teorema de convulucion, y luego aplicamos la propiedad
de multiplicar por s a f(s).
)()(
121
tFtCoss
sL
;
)()(12
1tGtCos
s
sL
. Por lo tanto:
1*
1 221
s
s
s
sL =
tt
o
t duutCosuCosduutGuFGF0
)( )()()()( =
tt
dutuCosdutCosduutuCosutuCos00
21 )2(
2
1)(
2
1)()( =
)(2
1)(
2
1)()(
4
1)(
2
1)2(
4
1)(
2
100 tSentCosttSentSentCosttuSenutCostt
luego:
)()()(
2
1)(
2
1)(
2
1
1*
1*
22
1tCostSenttCostSentCost
dt
d
s
s
s
ssL
.
La transformada inversa de
22
1
1
3
sL , tambien la hallaremos por el teorema de
convulucion.
22
1
1
3
sL = 3
1
1*
1
122
1
ssL .
)()(
1
12
1tFtSen
sL
;
)()(1
12
1tGtSen
sL
. Por lo tanto:
22
1
1
1
sL =
tt
o
t duutSenuSenduutGuFGF0
)( )()()()( =
tt
dutuCosdutCosduutuCosutuCos00
21 )2(
2
1)(
2
1)()( =
)(2
1)(
2
1)()(
4
1)(
2
1)2(
4
1)(
2
100 tSentCosttSentSentCosttuSenutCostt
.
Por lo tanto:
22
1
1
3
sL = )(
2
3)(
2
3tSentCost .
Y finalmente:
-
CostttSentSenttCos
s
sL
2
3)(
2
3)(
2
1)(
1
322
31
.
Objetivo 10.
Resolver el siguiente sistema:
teYY
YYYY
2
1
2
21
1 Con las condiciones iniciales:
0)0(;1)0(;1)0(;0)0( 22
11 YYYY .
Le aplicamos transformada a cada una de las ecuaciones.
teLYLYL
YLYLYLYL
2
1
2
21
1
Aplicamos la propiedad de la transformada de la derivada.
1111 )0( YLsYYLsYL .
1)0( 2222 YLsYYLsYL .
1)0()0( 1211121 YLsYYsYLsYL
sYLsYYsYLsYL ))0()0( 2222222 .
Se sustituye en el sistema:
1
11
1
2
2
1
2
2211
ssYLsYLs
YLYLsYLYLs
1
11
1)1()1(
2
2
1
2
21
ssYLsYLs
YLsYLs
)1(
111
1
2221
21
sss
sYLYL
sYLYL
Sumando ambas ecuaciones obtenemos 1YL .
1YL =
1
11
)1(
1
2
122 ss
s
ss.
Multiplicando la primera ecuacin del sistema por (-1) y sumando ambas ecuaciones
obtenemos: 2YL .
-
2YL =
1
11
)1(
1
2
122 ss
s
ss.
Para hallar la solucion, hallamos la transformada inversa de cada transformada.
1
11
)1(
1
2
1 12
1
2
1
1s
Ls
sL
ssLY .
ts
Ls
Ls
sL
1
1112
11
2
1 .
te
sL
1
11 .
)1(
12
1
ssL , para calcular esta transformada, descomponemos en fracciones
parciales. )1(
)1()1(
1)1(
12
2
22
ss
CsssBsA
s
C
s
B
s
A
ss, de donde:
2)1()1(1 CsssBsA = (B+C) s2 +(A-B)s - A . de donde:
B + C = 0 , A - B = 0 y A = -1, entonces B = -1, y C = 1. por lo tanto:
)1(
12
1
ssL = tet
sL
sL
sL
1
1
111 112
1 .
222
11)1(
2
11
teeteetY
tttt .
Y2 es similar a Y1, solo difiere en un signo.
1
11
)1(
1
2
1 12
1
2
1
2s
Ls
sL
ssLY .
Y2 = tttt eeteetY 2
111
2
12 .