Rectas paralelas y perpendiculares
MATE 3012 – PRESENTACION 2
Diagrama de rectas que pasan por un mismo punto pero que tienen
diferentes pendientes
Ejemplo: rectas horizontales y verticales
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-3, 4) y que es paralela a (a) el eje de x (b)
el eje de y
SOLUCION: (a) Una recta paralela al eje de x es una
recta horizontal. Su pendiente es 0. Su ecuación es y = 4.
(b) Una recta paralela al eje de y es una recta vertical. Su pendiente NO está definida. Su ecuación es x = -3.
Rectas paralelas y perpendiculares
Varias rectas paralelas a
y = 2x
Varias rectas perpendiculares a
y = 2x
Determinar la pendiente de la recta que es a) paralela a 4y – 12x = 8 b) perpendicular a la misma recta.
Solución: En cualquiera de los dos casos, se debe
expresar la ecuación dada en la forma pendiente-
intercepto para determinar su pendiente:
4y – 12x = 8
4y= 12x +8
y = 3x + 2… La pendiente es 3.
a) La pendiente de una recta paralela a y = 3x + 2 tiene
la MISMA pendiente. Por lo tanto, cualquier recta
paralela a y = 3x + 2 tiene pendiente igual a 3.
Determinar la pendiente de la recta que es a) paralela a 4y – 12x = 8 b) perpendicular a la misma recta.
Solución: (continuación)
b) El producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es -1.
O sea una pendiente es el recíproco negativo de la otra.
Si y= 3x + 2 tiene pendiente igual a 3, cualquier recta perpendicular a esta, tendrá pendiente igual a .
3
1
Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso.
(a) La recta que pasa por (–1, –2) y (1, 2) y la recta que pasa por (–2, 0) y (0, 4).
Hallar y comparar pendientes:
Pendientes iguales; rectas paralelas.
Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso.
(b) La recta que pasa por (0, –4) y (-1, -7) y la recta que pasa por (3, 0) y (-3, 2).
Hallar y comparar pendientes:
Una pendiente es el recíproco negativo de la otra; rectas perpendiculares.
Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso.
(c) La recta x + 2y = -2 y la recta 2x = 4y + 3
Convertir cada ecuación a la forma pendiente intercepto:
Pendientes diferentes; no son rectas paralelas;
ni tampoco rectas perpendiculares.
xy
xy
xy
yx
2
11
2
2
22
22
Ejemplo Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(0,2) y que es paralela a 12x + 6y = 24.
•Expresar la recta original en la forma pendiente-intercepto.
12 x + 6y = 24
6y = 24 – 12 x
y = 4 – 2 x
•Una recta paralela a y = 4 – 2x tiene la misma pendiente, o sea m = -2.
•El punto que nos han dado es el intercepto en y, por lo tanto la ecuación de la recta paralela es
•y= -2x+2 , lo que también se puede escribir y = 2 – 2x
Ejemplo Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(6, -7) y que es perpendicular a 6x + 3y = 4.
Ejemplo (cont.) Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(6, -7) y que es perpendicular a 6x + 3y = 4.
Ejemplo (cont.)
Ejemplo Determinar la ecuación de la recta nombrada L2.
• Si L2 es perpendicular a 4y – 3x = 8 entonces una pendiente es el negativo recíproco de la otra.
• Hay que poner 4y – 3x = 8 en forma pendiente-intercepto.
• 4y = 8 + 3x
• 𝑦 =8+3𝑥
4
• y = 2 + ¾ x • m = ¾
• 𝑚2 = −4
3
Ejemplo (cont) Determinar la ecuación de la recta nombrada L2.
• 𝑚2 = −4
3
• Podemos usar la forma Punto-pendiente o la forma pendiente intercepto para determinar la ecuación.
• Un punto cualquiera es (-4, -1) • El intercepto en y es (0,2) • 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1
• 𝑦 − −1 = −4
3𝑥 − −4 y luego
hay que simplificar y despejar • y = mx + b
• 𝑦 = −4
3𝑥 + 2