FUNCIONES EXPONENCIALES Y SUS

DERIVADAS

MATE 3012

Funciones exponenciales

Anteriormente han considerado ecuaciones de potencia que

tienen la variable en la base y una potencia constante.

(base variable) (potencia constante) ,

tales como x2 , 4x3 , 𝒙𝟐

𝟑 , x 0.4, etc.

Ahora, revisaremos ecuaciones con términos de la forma

(base constante) (potencia variable) ,

tales como 2x , 4x , 𝟏

𝟐

𝒙, 0.4 x, 𝟑(𝟐𝒙−𝟏) etc.

Ejemplo 1: Graficar

Algunos valores:

f (x) 2x.

Funciones Exponenciales - Ejemplo

Ejemplo 1: Graficar (continuación) f (x) 2x.

Funciones Exponenciales - Ejemplo

Notamos:

• f(x) es creciente en todo su

dominio.

• Dominio: Todos los reales

• Campo de valores: (0,∞)

OJO:

• Un exponente negativo no

implica que el término es

negativo, Ej. 𝟐−𝟑 =𝟏

𝟐𝟑 =𝟏

𝟖

• 2x NUNCA es igual a 0, por eso

la gráfica NO toca ni cruza el

eje de x. El eje de x es una

asíntota horizontal.

OJO:

• Un exponente negativo no implica que el término es negativo,

• Ej. 𝟏

𝟐

−𝟑=

𝟏

𝟐

𝟑−𝟏

=𝟏

𝟖

−𝟏= 𝟖

• g(x) es decreciente en todo su dominio.

• Dominio: Todos los reales

• Campo de valores: (0,∞)

•𝟏

𝟐

𝒙 NUNCA es igual a 0, por eso la gráfica NO toca ni cruza el eje de x.

Ejemplo 3

Sea g(x) = 𝟏

𝟐

𝒙, 𝐦ostramos algunos valores para g:

Definición

La función exponencial, f(x) = ax, tiene las siguientes características,

(para a , un número positivo diferente de 1 y x , cualquier número real)

Ejemplo 4

Tracemos la gráfica de y = 3𝑥, y =1

3

𝑥

, y =3

2

𝑥

𝐍𝐨𝐭𝐚𝐬:

a) y =1

3

x= 3−1 x = 3−x

b) a0 = 1, para a≠ 0

c) ax = 0, es FALSO siempre

d) Si a>0, ax es creciente

e) Si 0<a<1, ax es decreciente

x 𝟑𝒙 𝟏𝟑

𝒙 𝟑

𝟐

𝒙

-4

-2

0

2

x 𝟑𝒙 𝟏𝟑

𝒙 𝟑

𝟐

𝒙

-4 181 81 16

81

-2 19 9 4

9

0 1 1 1

2 9 19 9

4

Tracemos la gráfica de y = 3x , y = 3x-2 , y = 3x - 2

Observemos las tablas de valores:

x 𝟑𝒙 𝟑𝒙−𝟐 𝟑𝒙 − 𝟐

-4

-2

0

2

OJO:

a) El orden de operaciones es diferente para 3x-2 y 3x-2.

b) Todas las funciones son crecientes y tienen la misma forma.

c) Todas las funciones tienen dominio: todos los reales, pero los campos de valores cambian.

d) Los interceptos en x y los interceptos en y son diferentes para las 3 funciones.

Ejemplo 4

x 𝟑𝒙 𝟑𝒙−𝟐 𝟑𝒙 − 𝟐

-4 3−4 = 1

81 3−6

181−2

=−16181

-2 19 1

81

19 −2=−

179

0 1 19 -2

2 9 1 7

DEFINICION:

Llamamos la constante 𝑒

la base natural.

𝑒 es un número irracional.

f(x) = 𝑒𝑥 una función que utiliza la base natural se

denomina la función natural

La constante e

Ej. Utilice su calculadora para aproximar los valores

siguientes a 4 lugares decimales:

𝑎) 𝑒2 b) 𝑒3.55 c) 3 𝑒 d) 𝑒−1

f) −29

𝑒2

a) 𝑒2 ≈ 7.3891

b) 𝑒3.55 ≈ 34.8133

c) 𝑒 ≈ 1.6487 por lo tanto 3 𝑒 ≈ 3(1.6487)≈ 4.9461

d) 𝑒−1 ≈ 0.3678

f) −29

𝑒2 ≈ −29

7.3891≈ −3.9247

La constante e (continuación)

Ejemplo 5: Graficar 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥, g 𝑥 = 𝑒−𝑥 , h 𝑥 = 𝑒𝑥 − 3

La función exponencial natural

Notamos:

• f(x) y h(x) son crecientes en

todo su dominio, g(x) es

decreciente

• Dominio de todos: (−∞, ∞)

• Campo de valores de f(x) y g(x)

es (0,∞), de h(x) es (-3,∞)

• f(x) y g(x) tienen el eje de x

como asíntota horizontal, la

asíntota horizontal de h(x) es

y=3.

TEOREMA

La derivada de la función

está dada por

o

Es decir que la derivada de la función exponencial es

igual a sí misma.

Derivadas de Funciones Exponenciales

xf x e

Ejemplo: Hallar dy/dx si:

Derivadas de Funciones Exponenciales

2b) xdx e

dx

2 2x xx e e x

2 2xe x x

a) 3 xdye

dx3 xd

edx

3 xe

Ejempo (conclusión):

Derivadas de Funciones Exponenciales

3c)

xd e

dx x

3 2

23

3x xx e e x

x

2

6

3xx e x

x

4

( 3)xe x

x

𝑑) 𝑓 𝑥 = 2𝑒𝑥 − 5𝑥3 + 9 𝑑) 𝑓′ 𝑥 = 2𝑒𝑥 − 15𝑥2

TEOREMA

d

dxax lna ax

Derivadas de ax

Ejemplo: Derivar:

Derivadas de ax

a) 2 ;xy b) (1.4) ;xy

a) 2 ln2 2x xd

dx

b) (1.4) ln1.4 1.4xxd

dx

𝑐) 𝑓′ 𝑥 = ln 12

1

2

𝑥

≈ (0.3365) 1.4𝑥

≈ (0.6932) 2𝑥

≈ (−0.6931)1

2

𝑥

Ejemplo: Derivar:

Derivadas de ax

d) 𝑓′(𝑥) = ln 4 4𝑥 − 12𝑥2 −1

𝑥2

e) 𝑔 𝑥 =3𝑥+2𝑒𝑥

5𝑥

e) 𝑔′ 𝑥 =5𝑥 3+2𝑒𝑥 − 3𝑥+2𝑒𝑥 𝑙𝑛5 5𝑥

5𝑥 2

Derivadas de Funciones Exponenciales

Practica adicional 1

Derivar:

a.) ,

b.) ,

c.) ,

6 xy e

3 xy x e

2

xey

x

6 6x xdye e

dx

3 2 33x x xdyx e x e x e

dx 2 ( 3)xx e x

2

2 4

(2 )x x xdy e x e e x

dx x x

4

( 2)xxe x

x

3

2xe x

x

Derivadas de ax

Práctica adicional 2

Derivar:

a.)

b.)

c.)

5 ,xy

4 ,xf x

4.3 ,x

y

ln5 5xy

ln 4 4xf x

ln 4.3 4.3x

y