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Economıa de la Informacion
Curso 2009–2010
(Capıtulo 2) Curso 2009–2010 1 / 59
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Capıtulo 2Juegos estaticos con informacion asimetrica
Economıa de la Informacion
Curso 2009–2010
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El equilibrio Bayesiano
Definicion
Un juego Bayesiano G consta de los siguientes elementos,
G = (N,A,T , p, u)
Un conjunto de jugadores N = {1, 2, . . . , n}.Los espacios de acciones A1,A2, . . . ,An de cada jugador.A = A1 × A2 × · · · × An, a = (a1, a2, . . . , an)
El conjunto de los tipos posibles T1,T2, . . . ,Tn para cada jugador. Eltipo ti ∈ Ti es conocido solo por el jugador i = 1, 2, . . . , n.
El conjunto de todos los tipos es T = T1 × T2 × · · · × Tn.t = (t1, t2, . . . , tn)
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El equilibrio Bayesiano
Definicion
Un juego Bayesiano G consta de los siguientes elementos,
G = (N,A,T , p, u)
Un conjunto de jugadores N = {1, 2, . . . , n}.Los espacios de acciones A1,A2, . . . ,An de cada jugador.A = A1 × A2 × · · · × An, a = (a1, a2, . . . , an)
El conjunto de los tipos posibles T1,T2, . . . ,Tn para cada jugador. Eltipo ti ∈ Ti es conocido solo por el jugador i = 1, 2, . . . , n.
El conjunto de todos los tipos es T = T1 × T2 × · · · × Tn.t = (t1, t2, . . . , tn)
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El equilibrio Bayesiano
Definicion
Un juego Bayesiano G consta de los siguientes elementos,
G = (N,A,T , p, u)
Un conjunto de jugadores N = {1, 2, . . . , n}.Los espacios de acciones A1,A2, . . . ,An de cada jugador.A = A1 × A2 × · · · × An, a = (a1, a2, . . . , an)
El conjunto de los tipos posibles T1,T2, . . . ,Tn para cada jugador. Eltipo ti ∈ Ti es conocido solo por el jugador i = 1, 2, . . . , n.
El conjunto de todos los tipos es T = T1 × T2 × · · · × Tn.t = (t1, t2, . . . , tn)
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El equilibrio Bayesiano
Definicion
Un juego Bayesiano G consta de los siguientes elementos,
G = (N,A,T , p, u)
Un conjunto de jugadores N = {1, 2, . . . , n}.Los espacios de acciones A1,A2, . . . ,An de cada jugador.A = A1 × A2 × · · · × An, a = (a1, a2, . . . , an)
El conjunto de los tipos posibles T1,T2, . . . ,Tn para cada jugador. Eltipo ti ∈ Ti es conocido solo por el jugador i = 1, 2, . . . , n.
El conjunto de todos los tipos es T = T1 × T2 × · · · × Tn.t = (t1, t2, . . . , tn)
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El equilibrio Bayesiano
Cada jugador i tiene una conjetura pi : Ti → ∆(T−i ) sobre los tiposde los demas jugadores. Puede depender de su propio tipo
pi = pi (t−i |ti )
y se interpreta como la informacion que el agente i tiene sobre lostipos de los demas agentes (t−i ), dado que su tipo es ti .
Las conjeturas de los agentes tienen que ser consistentes ycompatibles con la regla de Bayes: Existe una distribucion deprobabilidades q = (q1, . . . , qn) ∈ ∆(T ) tal que
pi (t−i |ti ) =q(t1 . . . , tn)∑
s−i∈T−iq(ti , s−i )
El denominador∑
s−i∈T−iq(ti , s−i ) es la probabilidad de que el tipo
del agente i sea ti . pi (t−i |ti ) es, segun la regla de Bayes, laprobabilidad de que los otros agentes (diferentes de i) tengan el tipot−i , dado que el tipo del agente i es ti .
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El equilibrio Bayesiano
Cada jugador i tiene una conjetura pi : Ti → ∆(T−i ) sobre los tiposde los demas jugadores. Puede depender de su propio tipo
pi = pi (t−i |ti )
y se interpreta como la informacion que el agente i tiene sobre lostipos de los demas agentes (t−i ), dado que su tipo es ti .
Las conjeturas de los agentes tienen que ser consistentes ycompatibles con la regla de Bayes: Existe una distribucion deprobabilidades q = (q1, . . . , qn) ∈ ∆(T ) tal que
pi (t−i |ti ) =q(t1 . . . , tn)∑
s−i∈T−iq(ti , s−i )
El denominador∑
s−i∈T−iq(ti , s−i ) es la probabilidad de que el tipo
del agente i sea ti . pi (t−i |ti ) es, segun la regla de Bayes, laprobabilidad de que los otros agentes (diferentes de i) tengan el tipot−i , dado que el tipo del agente i es ti .
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El equilibrio Bayesiano
Cada jugador i tiene una conjetura pi : Ti → ∆(T−i ) sobre los tiposde los demas jugadores. Puede depender de su propio tipo
pi = pi (t−i |ti )
y se interpreta como la informacion que el agente i tiene sobre lostipos de los demas agentes (t−i ), dado que su tipo es ti .
Las conjeturas de los agentes tienen que ser consistentes ycompatibles con la regla de Bayes: Existe una distribucion deprobabilidades q = (q1, . . . , qn) ∈ ∆(T ) tal que
pi (t−i |ti ) =q(t1 . . . , tn)∑
s−i∈T−iq(ti , s−i )
El denominador∑
s−i∈T−iq(ti , s−i ) es la probabilidad de que el tipo
del agente i sea ti . pi (t−i |ti ) es, segun la regla de Bayes, laprobabilidad de que los otros agentes (diferentes de i) tengan el tipot−i , dado que el tipo del agente i es ti .
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El equilibrio Bayesiano
Una estrategia pura del jugador i ,
si : Ti → Ai
especifica la accion del jugador de cada uno de los tipos del jugador i .
Una estrategia mixta del jugador i ,
σi : Ti → ∆(Ai )
es un vector σi (ti ) = (σi (a1, ti ), . . . , σi (an, ti )) donde σi (ak , ti ) es laprobabilidad de que el agente i de tipo ti juegue la estrategia ak .
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El equilibrio Bayesiano
Una estrategia pura del jugador i ,
si : Ti → Ai
especifica la accion del jugador de cada uno de los tipos del jugador i .
Una estrategia mixta del jugador i ,
σi : Ti → ∆(Ai )
es un vector σi (ti ) = (σi (a1, ti ), . . . , σi (an, ti )) donde σi (ak , ti ) es laprobabilidad de que el agente i de tipo ti juegue la estrategia ak .
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El equilibrio Bayesiano
Una estrategia pura del jugador i ,
si : Ti → Ai
especifica la accion del jugador de cada uno de los tipos del jugador i .
Una estrategia mixta del jugador i ,
σi : Ti → ∆(Ai )
es un vector σi (ti ) = (σi (a1, ti ), . . . , σi (an, ti )) donde σi (ak , ti ) es laprobabilidad de que el agente i de tipo ti juegue la estrategia ak .
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El equilibrio Bayesiano
Las funciones de utilidad sobre sucesos: de los agentes u1, u2, . . . , un
son de la formaui : A× T → R
ui (a; t) depende de los tipos t = (t1, . . . , tn) y de las acciones detodos los agentes a = (a1, . . . , an).
Funciones de utilidad sobre estrategias: La utilidad esperada para elagente i de jugar la estrategia ai , dado que el resto de agentes estanjugando las estrategia puras sk es
Ui (s1, . . . , sti−1, ai , sti +1, . . . sn) =∑t−i∈T−i
ui
(s1(t1), . . . , sti−1(ti−1), ai , sti +1(ti+1), . . . sn(tn); t
)pi (t−i |ti )
La nocion de equilibrio es el EN con las funciones de utilidad esperadaanteriores.
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
Duopolio de CournotSupongamos dos empresas que compiten en cantidades (Modelo deCournot).La funcion inversa de demanda es
P(q) = a− q
conq = q1 + q2
y q1, q2 son las cantidades producidas por las empresas.Los costes de la empresa 1 son
c1(q1) = cq1
Los costes de la empresa 2 son
c2(q2) =
{caq2 con probabilidad θ
cbq2 con probabilidad 1− θcon cb < ca.
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
Duopolio de CournotSupongamos dos empresas que compiten en cantidades (Modelo deCournot).La funcion inversa de demanda es
P(q) = a− q
conq = q1 + q2
y q1, q2 son las cantidades producidas por las empresas.Los costes de la empresa 1 son
c1(q1) = cq1
Los costes de la empresa 2 son
c2(q2) =
{caq2 con probabilidad θ
cbq2 con probabilidad 1− θcon cb < ca.
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
Duopolio de CournotSupongamos dos empresas que compiten en cantidades (Modelo deCournot).La funcion inversa de demanda es
P(q) = a− q
conq = q1 + q2
y q1, q2 son las cantidades producidas por las empresas.Los costes de la empresa 1 son
c1(q1) = cq1
Los costes de la empresa 2 son
c2(q2) =
{caq2 con probabilidad θ
cbq2 con probabilidad 1− θcon cb < ca.
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
Duopolio de CournotSupongamos dos empresas que compiten en cantidades (Modelo deCournot).La funcion inversa de demanda es
P(q) = a− q
conq = q1 + q2
y q1, q2 son las cantidades producidas por las empresas.Los costes de la empresa 1 son
c1(q1) = cq1
Los costes de la empresa 2 son
c2(q2) =
{caq2 con probabilidad θ
cbq2 con probabilidad 1− θcon cb < ca.
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
Hay informacion asimetrica:I La empresa 2 conoce su funcion de costes (sabe si su coste marginal es
ca o cb) y conoce los coste de la empresa 1.I Pero la empresa 1 solo conoce su funcion de costes y que el coste
marginal de la empresa 2 es ca con probabilidad θ y cb con probabilidad1− θ.
I La empresa 2 tiene mejor informacion que la empresa 1.
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
Hay informacion asimetrica:I La empresa 2 conoce su funcion de costes (sabe si su coste marginal es
ca o cb) y conoce los coste de la empresa 1.I Pero la empresa 1 solo conoce su funcion de costes y que el coste
marginal de la empresa 2 es ca con probabilidad θ y cb con probabilidad1− θ.
I La empresa 2 tiene mejor informacion que la empresa 1.
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
Hay informacion asimetrica:I La empresa 2 conoce su funcion de costes (sabe si su coste marginal es
ca o cb) y conoce los coste de la empresa 1.I Pero la empresa 1 solo conoce su funcion de costes y que el coste
marginal de la empresa 2 es ca con probabilidad θ y cb con probabilidad1− θ.
I La empresa 2 tiene mejor informacion que la empresa 1.
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
En primer lugar vamos a representar la situacion como un JuegoBayesiano.
Los jugadores son N = {1, 2}.Los tipos de las empresas son T1 = {c} T2 = {ca, cb}.Las funciones de utilidad son los beneficios,
π1(q1, q2, c) = (a− q1 − q2)q1 − cq1 = (a− q1 − q2 − c)q1
π2(q1, q2, ca) = (a− q1 − q2)q2 − caq2 = (a− q1 − q2 − ca)q2
π2(q1, q2, cb) = (a− q1 − q2)q2 − cbq2 = (a− q1 − q2 − cb)q2
Los conjuntos de acciones son Ac = Aca = Acb= [0,∞).
Las conjeturas de los agentes son
p2(c |ca) = p2(c |cb) = 1
yp1(ca|c) = θ, p1(cb|c) = 1− θ
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 9 / 59
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
En primer lugar vamos a representar la situacion como un JuegoBayesiano.
Los jugadores son N = {1, 2}.Los tipos de las empresas son T1 = {c} T2 = {ca, cb}.Las funciones de utilidad son los beneficios,
π1(q1, q2, c) = (a− q1 − q2)q1 − cq1 = (a− q1 − q2 − c)q1
π2(q1, q2, ca) = (a− q1 − q2)q2 − caq2 = (a− q1 − q2 − ca)q2
π2(q1, q2, cb) = (a− q1 − q2)q2 − cbq2 = (a− q1 − q2 − cb)q2
Los conjuntos de acciones son Ac = Aca = Acb= [0,∞).
Las conjeturas de los agentes son
p2(c |ca) = p2(c |cb) = 1
yp1(ca|c) = θ, p1(cb|c) = 1− θ
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 9 / 59
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
En primer lugar vamos a representar la situacion como un JuegoBayesiano.
Los jugadores son N = {1, 2}.Los tipos de las empresas son T1 = {c} T2 = {ca, cb}.Las funciones de utilidad son los beneficios,
π1(q1, q2, c) = (a− q1 − q2)q1 − cq1 = (a− q1 − q2 − c)q1
π2(q1, q2, ca) = (a− q1 − q2)q2 − caq2 = (a− q1 − q2 − ca)q2
π2(q1, q2, cb) = (a− q1 − q2)q2 − cbq2 = (a− q1 − q2 − cb)q2
Los conjuntos de acciones son Ac = Aca = Acb= [0,∞).
Las conjeturas de los agentes son
p2(c |ca) = p2(c |cb) = 1
yp1(ca|c) = θ, p1(cb|c) = 1− θ
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
En primer lugar vamos a representar la situacion como un JuegoBayesiano.
Los jugadores son N = {1, 2}.Los tipos de las empresas son T1 = {c} T2 = {ca, cb}.Las funciones de utilidad son los beneficios,
π1(q1, q2, c) = (a− q1 − q2)q1 − cq1 = (a− q1 − q2 − c)q1
π2(q1, q2, ca) = (a− q1 − q2)q2 − caq2 = (a− q1 − q2 − ca)q2
π2(q1, q2, cb) = (a− q1 − q2)q2 − cbq2 = (a− q1 − q2 − cb)q2
Los conjuntos de acciones son Ac = Aca = Acb= [0,∞).
Las conjeturas de los agentes son
p2(c |ca) = p2(c |cb) = 1
yp1(ca|c) = θ, p1(cb|c) = 1− θ
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 9 / 59
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
Mejor respuesta de la empresa 2Si el coste de la empresa 2 es ca entonces resuelve el problema
maxq2
(a− q1 − q2) q2 − caq2 = maxq2
(a− q1 − q2 − ca) q2
La CPO es a− q1 − 2q2 − ca = 0 por lo que la mejor respuesta de laempresa 2 si su coste es ca y la empresa 1 produce q1 es
q2(ca) =a− q1 − ca
2
Si el coste de la empresa 2 es cb entonces resuelve el problema
maxq2
(a− q1 − q2) q2 − cbq2 = maxq2
(a− q1 − q2 − cb) q2
La CPO es a− q1 − 2q2 − cb = 0 por lo que la mejor respuesta de laempresa 2 si su coste es cb y la empresa 1 produce q1 es
q2(cb) =a− q1 − cb
2(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 10 / 59
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
Mejor respuesta de la empresa 2Si el coste de la empresa 2 es ca entonces resuelve el problema
maxq2
(a− q1 − q2) q2 − caq2 = maxq2
(a− q1 − q2 − ca) q2
La CPO es a− q1 − 2q2 − ca = 0 por lo que la mejor respuesta de laempresa 2 si su coste es ca y la empresa 1 produce q1 es
q2(ca) =a− q1 − ca
2
Si el coste de la empresa 2 es cb entonces resuelve el problema
maxq2
(a− q1 − q2) q2 − cbq2 = maxq2
(a− q1 − q2 − cb) q2
La CPO es a− q1 − 2q2 − cb = 0 por lo que la mejor respuesta de laempresa 2 si su coste es cb y la empresa 1 produce q1 es
q2(cb) =a− q1 − cb
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
Mejor respuesta de la empresa 2Si el coste de la empresa 2 es ca entonces resuelve el problema
maxq2
(a− q1 − q2) q2 − caq2 = maxq2
(a− q1 − q2 − ca) q2
La CPO es a− q1 − 2q2 − ca = 0 por lo que la mejor respuesta de laempresa 2 si su coste es ca y la empresa 1 produce q1 es
q2(ca) =a− q1 − ca
2
Si el coste de la empresa 2 es cb entonces resuelve el problema
maxq2
(a− q1 − q2) q2 − cbq2 = maxq2
(a− q1 − q2 − cb) q2
La CPO es a− q1 − 2q2 − cb = 0 por lo que la mejor respuesta de laempresa 2 si su coste es cb y la empresa 1 produce q1 es
q2(cb) =a− q1 − cb
2(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 10 / 59
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
Mejor respuesta de la empresa 2Si el coste de la empresa 2 es ca entonces resuelve el problema
maxq2
(a− q1 − q2) q2 − caq2 = maxq2
(a− q1 − q2 − ca) q2
La CPO es a− q1 − 2q2 − ca = 0 por lo que la mejor respuesta de laempresa 2 si su coste es ca y la empresa 1 produce q1 es
q2(ca) =a− q1 − ca
2
Si el coste de la empresa 2 es cb entonces resuelve el problema
maxq2
(a− q1 − q2) q2 − cbq2 = maxq2
(a− q1 − q2 − cb) q2
La CPO es a− q1 − 2q2 − cb = 0 por lo que la mejor respuesta de laempresa 2 si su coste es cb y la empresa 1 produce q1 es
q2(cb) =a− q1 − cb
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
Mejor respuesta de la empresa 1
La empresa 1 no sabe el coste de la empresa 2. Maximiza elbeneficio esperado
maxq1
θ (a− q1 − q2(ca)− c) q1︸ ︷︷ ︸B.E. si la emp. 2 tiene coste ca
+(1− θ) (a− q1 − q2(cb)− c) q1︸ ︷︷ ︸B.E. si la emp. 2 tiene coste cb
La CPO es
θ (a− 2q1 − q2(ca)− c) + (1− θ) (a− 2q1 − q2(cb)− c) = 0
Obtenemos la funcion de reaccion de la empresa 1
q1 =θ (a− q2(ca)− c) + (1− θ) (a− q2(cb)− c)
2
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 11 / 59
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
Mejor respuesta de la empresa 1
La empresa 1 no sabe el coste de la empresa 2. Maximiza elbeneficio esperado
maxq1
θ (a− q1 − q2(ca)− c) q1︸ ︷︷ ︸B.E. si la emp. 2 tiene coste ca
+(1− θ) (a− q1 − q2(cb)− c) q1︸ ︷︷ ︸B.E. si la emp. 2 tiene coste cb
La CPO es
θ (a− 2q1 − q2(ca)− c) + (1− θ) (a− 2q1 − q2(cb)− c) = 0
Obtenemos la funcion de reaccion de la empresa 1
q1 =θ (a− q2(ca)− c) + (1− θ) (a− q2(cb)− c)
2
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 11 / 59
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
Mejor respuesta de la empresa 1
La empresa 1 no sabe el coste de la empresa 2. Maximiza elbeneficio esperado
maxq1
θ (a− q1 − q2(ca)− c) q1︸ ︷︷ ︸B.E. si la emp. 2 tiene coste ca
+(1− θ) (a− q1 − q2(cb)− c) q1︸ ︷︷ ︸B.E. si la emp. 2 tiene coste cb
La CPO es
θ (a− 2q1 − q2(ca)− c) + (1− θ) (a− 2q1 − q2(cb)− c) = 0
Obtenemos la funcion de reaccion de la empresa 1
q1 =θ (a− q2(ca)− c) + (1− θ) (a− q2(cb)− c)
2
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 11 / 59
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
Mejor respuesta de la empresa 1
La empresa 1 no sabe el coste de la empresa 2. Maximiza elbeneficio esperado
maxq1
θ (a− q1 − q2(ca)− c) q1︸ ︷︷ ︸B.E. si la emp. 2 tiene coste ca
+(1− θ) (a− q1 − q2(cb)− c) q1︸ ︷︷ ︸B.E. si la emp. 2 tiene coste cb
La CPO es
θ (a− 2q1 − q2(ca)− c) + (1− θ) (a− 2q1 − q2(cb)− c) = 0
Obtenemos la funcion de reaccion de la empresa 1
q1 =θ (a− q2(ca)− c) + (1− θ) (a− q2(cb)− c)
2
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 11 / 59
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
Mejor respuesta de la empresa 1
La empresa 1 no sabe el coste de la empresa 2. Maximiza elbeneficio esperado
maxq1
θ (a− q1 − q2(ca)− c) q1︸ ︷︷ ︸B.E. si la emp. 2 tiene coste ca
+(1− θ) (a− q1 − q2(cb)− c) q1︸ ︷︷ ︸B.E. si la emp. 2 tiene coste cb
La CPO es
θ (a− 2q1 − q2(ca)− c) + (1− θ) (a− 2q1 − q2(cb)− c) = 0
Obtenemos la funcion de reaccion de la empresa 1
q1 =θ (a− q2(ca)− c) + (1− θ) (a− q2(cb)− c)
2
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 11 / 59
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
El EN verifica las ecuaciones
q1 =θ (a− q2(ca)− c) + (1− θ) (a− q2(cb)− c)
2
q2(ca) =a− q1 − ca
2
q2(cb) =a− q1 − cb
2
Despejando q2(ca) y q2(cb) en la primera ecuacion, obtenemos
2q1 = θ
(a− a− q1 − ca
2− c
)+ (1− θ)
(a− a− q1 − cb
2− c
)y de aquı obtenemos que
q1 =a− 2c + θca + (1− θ)cb
3
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 12 / 59
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
Sustituyendo este valor obtenemos
q∗1 =a− 2c + θca + (1− θ)cb
3
q∗2(ca) =a− 2ca + c
3+
1− θ6
(ca − cb)
q∗2(cb) =a− 2cb + c
3− θ
6(ca − cb)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 13 / 59
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
Comparacion con el equilibrio de Cournot con informacioncompleta
Con informacion completa y costes c1, c2 el equilibrio de Cournot es
q1 =a− 2c1 + c2
3q2 =
a− 2c2 + c1
3
Observamos que el caso de informacion completa se obtiene delmodelo de informacion incompleta eligiendo c1 = c , c2 = ca = cb.
q∗1 =a− 2c + θca + (1− θ)cb
3
q∗2(ca) =a− 2ca + c
3+
1− θ6
(ca − cb)
q∗2(cb) =a− 2cb + c
3− θ
6(ca − cb)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 14 / 59
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
Comparacion con el equilibrio de Cournot con informacioncompleta
Con informacion completa y costes c1, c2 el equilibrio de Cournot es
q1 =a− 2c1 + c2
3q2 =
a− 2c2 + c1
3
Observamos que el caso de informacion completa se obtiene delmodelo de informacion incompleta eligiendo c1 = c , c2 = ca = cb.
q∗1 =a− 2c + θca + (1− θ)cb
3
q∗2(ca) =a− 2ca + c
3+
1− θ6
(ca − cb)
q∗2(cb) =a− 2cb + c
3− θ
6(ca − cb)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 14 / 59
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
Comparacion con el equilibrio de Cournot con informacioncompleta
Con informacion completa y costes c1, c2 el equilibrio de Cournot es
q1 =a− 2c1 + c2
3q2 =
a− 2c2 + c1
3
Observamos que el caso de informacion completa se obtiene delmodelo de informacion incompleta eligiendo c1 = c , c2 = ca = cb.
q∗1 =a− 2c + θca + (1− θ)cb
3
q∗2(ca) =a− 2ca + c
3+
1− θ6
(ca − cb)
q∗2(cb) =a− 2cb + c
3− θ
6(ca − cb)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 14 / 59
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
Llamamos
q1(ca) =a− 2c + ca
3
la produccion de la empresa 1 si sabe que el coste de la empresa 2 esca.
y
q1(cb) =a− 2c + cb
3
la produccion de la empresa 1 si sabe que el coste de la empresa 2 escb.
Entoncesq1(ca) ≥ q∗1 ≥ q1(cb)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 15 / 59
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
Llamamos
q1(ca) =a− 2c + ca
3
la produccion de la empresa 1 si sabe que el coste de la empresa 2 esca.
y
q1(cb) =a− 2c + cb
3
la produccion de la empresa 1 si sabe que el coste de la empresa 2 escb.
Entoncesq1(ca) ≥ q∗1 ≥ q1(cb)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 15 / 59
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
q∗1 =a− 2c + θca + (1− θ)cb
3
q∗2(ca) =a− 2ca + c
3+
1− θ6
(ca − cb)
q∗2(cb) =a− 2cb + c
3− θ
6(ca − cb)
Observamos que
q∗2(ca) >a− 2ca + c
3
q∗2(cb) <a− 2cb + c
3
Esto ocurre porque la empresa 2 no solo ajusta su cantidad a su propiocoste, sino que tambien tiene en cuenta que la empresa 1 no sabe elcoste de la empresa 2 y adopta una produccion intermedia entre laque adoptarıa si supiera que el coste de la empresa 2 coste es a o b.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 16 / 59
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Competencia de Cournot con informacion asimetrica
q∗1 =a− 2c + θca + (1− θ)cb
3
q∗2(ca) =a− 2ca + c
3+
1− θ6
(ca − cb)
q∗2(cb) =a− 2cb + c
3− θ
6(ca − cb)
Observamos que
q∗2(ca) >a− 2ca + c
3
q∗2(cb) <a− 2cb + c
3
Esto ocurre porque la empresa 2 no solo ajusta su cantidad a su propiocoste, sino que tambien tiene en cuenta que la empresa 1 no sabe elcoste de la empresa 2 y adopta una produccion intermedia entre laque adoptarıa si supiera que el coste de la empresa 2 coste es a o b.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 16 / 59
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Subastas a sobre cerrado al primer precio
Dos agentes participan en una subasta, i = 1, 2. Los agentes entregansus pujas simultaneamente. El agente con una puja mayor se lleva elobjeto y paga la cantidad pujada. En caso de empate, el ganador sedetermina lanzando una moneda al aire. Los participantes sonneutrales al riesgo.
Cada agente tiene una valoracion vi ∈ [0, 1] del bien y solo sabe cuales su valoracion. Sobre los posibles valoraciones vj del otro agente,solo sabe que esta uniformemente distribuida en el intervalo [0, 1]. Esdecir,
prob(vj ≤ x) = x
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 17 / 59
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Subastas a sobre cerrado al primer precio
Vamos a escribir este mecanismo en forma de Juego Bayesiano yanalizar los equilibrios.
Los tipos de los agentes son T1 = T2 = [0, 1].
La probabilidad de cada tipo es prob(vj ≤ x) = x . Estas son lasconjeturas de los agentes.
El conjunto de acciones para los agentes es A1 = A2 = [0, 1].Denotamos la puja (accion) del agente i = 1, 2 por bi ∈ Ai .
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 18 / 59
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Subastas a sobre cerrado al primer precio
Funciones de utilidad
Las funcion de utilidad del agente i = 1, 2
ui (bi , bj |vi ) =
vi − bi , si bi > bj ;0, si bi < bj ;(vi − bi )/2 si bi = bj .
Una estrategia es una funcion bi (vi ) de Ti en Ai .
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 19 / 59
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Subastas a sobre cerrado al primer precio
Si cada agente j = 1, 2 esta utilizando la estrategia bj(vj), entonces lamejor respuesta del agente i esta determinada por el problema demaximizacion
maxbi
(vi − bi )prob(bi > bj(vj)) +1
2(vi − bi )prob(bi = bj(vj))
y como prob(bi = bj(vj)) = 0 este problema es equivalente
maxbi
(vi − bi )prob(bi > bj(vj))
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 20 / 59
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Subastas a sobre cerrado al primer precio
Vamos a probar que existe un equilibrio simetrico y lineal. Es decir,
bi (v) = bj(v) = Av
Tenemos que determinar el valor de A.
La condicion anterior es
maxbi
(vi − bi )prob(bi > bj(vj)) = maxbi
(vi − bi )prob(bi > Avj) =
= maxbi
(vi − bi )prob
(vj <
bi
A
)= max
bi
(vi − bi )bi
A
La condicion de primer orden es
vi − 2bi = 0
Por lo que
bi =vi
2es un EB simetrico.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 21 / 59
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Subastas a sobre cerrado al primer precio
Vamos a probar que existe un equilibrio simetrico y lineal. Es decir,
bi (v) = bj(v) = Av
Tenemos que determinar el valor de A.
La condicion anterior es
maxbi
(vi − bi )prob(bi > bj(vj)) = maxbi
(vi − bi )prob(bi > Avj) =
= maxbi
(vi − bi )prob
(vj <
bi
A
)= max
bi
(vi − bi )bi
A
La condicion de primer orden es
vi − 2bi = 0
Por lo que
bi =vi
2es un EB simetrico.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 21 / 59
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Subastas a sobre cerrado al primer precio
Vamos a probar que existe un equilibrio simetrico y lineal. Es decir,
bi (v) = bj(v) = Av
Tenemos que determinar el valor de A.
La condicion anterior es
maxbi
(vi − bi )prob(bi > bj(vj)) = maxbi
(vi − bi )prob(bi > Avj) =
= maxbi
(vi − bi )prob
(vj <
bi
A
)= max
bi
(vi − bi )bi
A
La condicion de primer orden es
vi − 2bi = 0
Por lo que
bi =vi
2es un EB simetrico.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 21 / 59
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Subastas a sobre cerrado al primer precio
Vamos a probar que existe un equilibrio simetrico y lineal. Es decir,
bi (v) = bj(v) = Av
Tenemos que determinar el valor de A.
La condicion anterior es
maxbi
(vi − bi )prob(bi > bj(vj)) = maxbi
(vi − bi )prob(bi > Avj) =
= maxbi
(vi − bi )prob
(vj <
bi
A
)= max
bi
(vi − bi )bi
A
La condicion de primer orden es
vi − 2bi = 0
Por lo que
bi =vi
2es un EB simetrico.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 21 / 59
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Asignacion de Bienes publicos
Dos vecinos viven en una isla sin carretera. El gobierno planeaconstruir una carretera cuyo coste serıa 20 millones. El valormonetario de la carretera serıa
I 30 millones para el usuario, si este tiene coche yI 0, si no lo tiene.
La probabilidad de que un vecino tenga coche es
p(coche) = p
Esta informacion se publica en el periodico de la isla y es conocidapor todos los agentes.
Para tomar la decision sobre si construir la carretera o no, el gobiernoconsidera uno de los dos mecanismos siguientes.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 22 / 59
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Asignacion de Bienes publicos
Dos vecinos viven en una isla sin carretera. El gobierno planeaconstruir una carretera cuyo coste serıa 20 millones. El valormonetario de la carretera serıa
I 30 millones para el usuario, si este tiene coche yI 0, si no lo tiene.
La probabilidad de que un vecino tenga coche es
p(coche) = p
Esta informacion se publica en el periodico de la isla y es conocidapor todos los agentes.
Para tomar la decision sobre si construir la carretera o no, el gobiernoconsidera uno de los dos mecanismos siguientes.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 22 / 59
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Asignacion de Bienes publicos
Dos vecinos viven en una isla sin carretera. El gobierno planeaconstruir una carretera cuyo coste serıa 20 millones. El valormonetario de la carretera serıa
I 30 millones para el usuario, si este tiene coche yI 0, si no lo tiene.
La probabilidad de que un vecino tenga coche es
p(coche) = p
Esta informacion se publica en el periodico de la isla y es conocidapor todos los agentes.
Para tomar la decision sobre si construir la carretera o no, el gobiernoconsidera uno de los dos mecanismos siguientes.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 22 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Mecanismo A
Cada vecino rellena un formulario expresando si tiene coche o no.
Se entiende que cada vecino que dice que tiene coche esta dispuesto apagar hasta 30 millones de euros para construir la carretera.
Si el numero de vecinos que dice tener coche es suficiente para cubrirel coste, se construye la carretera y el coste se reparte entre aquellosvecinos que han dicho que tienen coche.
Si el numero de vecinos que dice tener coche no es suficiente paracubrir el coste, entonces no se construye la carretera.
Vamos a escribir este mecanismo en forma de Juego Bayesiano yanalizar los equilibrios.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 23 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Mecanismo A
Cada vecino rellena un formulario expresando si tiene coche o no.
Se entiende que cada vecino que dice que tiene coche esta dispuesto apagar hasta 30 millones de euros para construir la carretera.
Si el numero de vecinos que dice tener coche es suficiente para cubrirel coste, se construye la carretera y el coste se reparte entre aquellosvecinos que han dicho que tienen coche.
Si el numero de vecinos que dice tener coche no es suficiente paracubrir el coste, entonces no se construye la carretera.
Vamos a escribir este mecanismo en forma de Juego Bayesiano yanalizar los equilibrios.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 23 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Mecanismo A
Cada vecino rellena un formulario expresando si tiene coche o no.
Se entiende que cada vecino que dice que tiene coche esta dispuesto apagar hasta 30 millones de euros para construir la carretera.
Si el numero de vecinos que dice tener coche es suficiente para cubrirel coste, se construye la carretera y el coste se reparte entre aquellosvecinos que han dicho que tienen coche.
Si el numero de vecinos que dice tener coche no es suficiente paracubrir el coste, entonces no se construye la carretera.
Vamos a escribir este mecanismo en forma de Juego Bayesiano yanalizar los equilibrios.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 23 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Mecanismo A
Cada vecino rellena un formulario expresando si tiene coche o no.
Se entiende que cada vecino que dice que tiene coche esta dispuesto apagar hasta 30 millones de euros para construir la carretera.
Si el numero de vecinos que dice tener coche es suficiente para cubrirel coste, se construye la carretera y el coste se reparte entre aquellosvecinos que han dicho que tienen coche.
Si el numero de vecinos que dice tener coche no es suficiente paracubrir el coste, entonces no se construye la carretera.
Vamos a escribir este mecanismo en forma de Juego Bayesiano yanalizar los equilibrios.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 23 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Los tipos de los agentes son T = T1 = T2 = {coche, no coche}. Perosera mas conveniente utilizar como tipo el valor que cada uno asignaa construir la carretera T = T1 = T2 = {0, 30}.La probabilidad de cada tipo es p(0) = 1− p, p(30) = p. Estas sonlas conjeturas de los agentes
pi (tj = 30|ti ) = p
El conjunto de acciones para los agentes es A = A1 = A2 = {si, no}.Denotamos la accion del agente i = 1, 2 por ai . La estrategia delagente i = 1, 2 es una funcion T → Ai .
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 24 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Los tipos de los agentes son T = T1 = T2 = {coche, no coche}. Perosera mas conveniente utilizar como tipo el valor que cada uno asignaa construir la carretera T = T1 = T2 = {0, 30}.La probabilidad de cada tipo es p(0) = 1− p, p(30) = p. Estas sonlas conjeturas de los agentes
pi (tj = 30|ti ) = p
El conjunto de acciones para los agentes es A = A1 = A2 = {si, no}.Denotamos la accion del agente i = 1, 2 por ai . La estrategia delagente i = 1, 2 es una funcion T → Ai .
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 24 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Los tipos de los agentes son T = T1 = T2 = {coche, no coche}. Perosera mas conveniente utilizar como tipo el valor que cada uno asignaa construir la carretera T = T1 = T2 = {0, 30}.La probabilidad de cada tipo es p(0) = 1− p, p(30) = p. Estas sonlas conjeturas de los agentes
pi (tj = 30|ti ) = p
El conjunto de acciones para los agentes es A = A1 = A2 = {si, no}.Denotamos la accion del agente i = 1, 2 por ai . La estrategia delagente i = 1, 2 es una funcion T → Ai .
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 24 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Los tipos de los agentes son T = T1 = T2 = {coche, no coche}. Perosera mas conveniente utilizar como tipo el valor que cada uno asignaa construir la carretera T = T1 = T2 = {0, 30}.La probabilidad de cada tipo es p(0) = 1− p, p(30) = p. Estas sonlas conjeturas de los agentes
pi (tj = 30|ti ) = p
El conjunto de acciones para los agentes es A = A1 = A2 = {si, no}.Denotamos la accion del agente i = 1, 2 por ai . La estrategia delagente i = 1, 2 es una funcion T → Ai .
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 24 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Funciones de utilidad
La funcion de utilidad del agente i = 1, 2 es (se entiende que i 6= j)
ui (a1, a2|ti ) =
ti − 20, si ai = si y aj = no;ti , si ai = no y aj = si;ti − 10, si ai = aj = si;0, si ai = aj = no.
Observemos que
ui (a1, a2|0) =
−20, si ai = si y aj = no;0, si ai = no y aj = si;−10, si ai = aj = si;0, si ai = aj = no.
Es decir, la accionai (0) = no
es estrategia dominante.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 25 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Funciones de utilidad
La funcion de utilidad del agente i = 1, 2 es (se entiende que i 6= j)
ui (a1, a2|ti ) =
ti − 20, si ai = si y aj = no;ti , si ai = no y aj = si;ti − 10, si ai = aj = si;0, si ai = aj = no.
Observemos que
ui (a1, a2|0) =
−20, si ai = si y aj = no;0, si ai = no y aj = si;−10, si ai = aj = si;0, si ai = aj = no.
Es decir, la accionai (0) = no
es estrategia dominante.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 25 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Informacion completa
Supongamos que t1 = 30 y t2 = 0 . El juego es
si no
si 20, -10 10, 0
no 30, -20 0,0
El EN es (si, no).
Supongamos que t1 = t2 = 30 . El juego es
si no
si 20, 20 10, 30
no 30, 10 0,0
El EN es (1
2si +
1
2no,
1
2si +
1
2no
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 26 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Informacion completa
Supongamos que t1 = 30 y t2 = 0 . El juego es
si no
si 20, -10 10, 0
no 30, -20 0,0
El EN es (si, no).
Supongamos que t1 = t2 = 30 . El juego es
si no
si 20, 20 10, 30
no 30, 10 0,0
El EN es (1
2si +
1
2no,
1
2si +
1
2no
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 26 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Informacion completa
Supongamos que t1 = 30 y t2 = 0 . El juego es
si no
si 20, -10 10, 0
no 30, -20 0,0
El EN es (si, no).
Supongamos que t1 = t2 = 30 . El juego es
si no
si 20, 20 10, 30
no 30, 10 0,0
El EN es (1
2si +
1
2no,
1
2si +
1
2no
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 26 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Informacion completa
Supongamos que t1 = 30 y t2 = 0 . El juego es
si no
si 20, -10 10, 0
no 30, -20 0,0
El EN es (si, no).
Supongamos que t1 = t2 = 30 . El juego es
si no
si 20, 20 10, 30
no 30, 10 0,0
El EN es (1
2si +
1
2no,
1
2si +
1
2no
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 26 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Informacion completa
Supongamos que t1 = 30 y t2 = 0 . El juego es
si no
si 20, -10 10, 0
no 30, -20 0,0
El EN es (si, no).
Supongamos que t1 = t2 = 30 . El juego es
si no
si 20, 20 10, 30
no 30, 10 0,0
El EN es (1
2si +
1
2no,
1
2si +
1
2no
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 26 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Informacion completa
Supongamos que t1 = 30 y t2 = 0 . El juego es
si no
si 20, -10 10, 0
no 30, -20 0,0
El EN es (si, no).
Supongamos que t1 = t2 = 30 . El juego es
si no
si 20, 20 10, 30
no 30, 10 0,0
El EN es (1
2si +
1
2no,
1
2si +
1
2no
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 26 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Informacion incompleta
Vamos a buscar un equilibrio simetrico en estrategias puras.
Equilibrio simetrico significa que a1(t) = a2(t) para todo t ∈ T .
En equilibrio, a1(0) = a2(0) = no.
¿Es a1(30) = a2(30) = si un equilibrio?
Supongamos que ti = 30. (el agente i tiene coche)
El pago esperado de este agente con la estrategia anterior es
pui (si, aj(30)|30) +
(1− p)ui (si, aj(0)|30) =
pui (si, si|30) + (1− p)ui (si, no|30) =
p(30− 10) + (1− p)(30− 20) = 10p + 10
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 27 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Informacion incompleta
Vamos a buscar un equilibrio simetrico en estrategias puras.
Equilibrio simetrico significa que a1(t) = a2(t) para todo t ∈ T .
En equilibrio, a1(0) = a2(0) = no.
¿Es a1(30) = a2(30) = si un equilibrio?
Supongamos que ti = 30. (el agente i tiene coche)
El pago esperado de este agente con la estrategia anterior es
pui (si, aj(30)|30) +
(1− p)ui (si, aj(0)|30) =
pui (si, si|30) + (1− p)ui (si, no|30) =
p(30− 10) + (1− p)(30− 20) = 10p + 10
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 27 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Informacion incompleta
Vamos a buscar un equilibrio simetrico en estrategias puras.
Equilibrio simetrico significa que a1(t) = a2(t) para todo t ∈ T .
En equilibrio, a1(0) = a2(0) = no.
¿Es a1(30) = a2(30) = si un equilibrio?
Supongamos que ti = 30. (el agente i tiene coche)
El pago esperado de este agente con la estrategia anterior es
pui (si, aj(30)|30) +
(1− p)ui (si, aj(0)|30) =
pui (si, si|30) + (1− p)ui (si, no|30) =
p(30− 10) + (1− p)(30− 20) = 10p + 10
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 27 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Informacion incompleta
Vamos a buscar un equilibrio simetrico en estrategias puras.
Equilibrio simetrico significa que a1(t) = a2(t) para todo t ∈ T .
En equilibrio, a1(0) = a2(0) = no.
¿Es a1(30) = a2(30) = si un equilibrio?
Supongamos que ti = 30. (el agente i tiene coche)
El pago esperado de este agente con la estrategia anterior es
pui (si, aj(30)|30) +
(1− p)ui (si, aj(0)|30) =
pui (si, si|30) + (1− p)ui (si, no|30) =
p(30− 10) + (1− p)(30− 20) = 10p + 10
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 27 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Informacion incompleta
Vamos a buscar un equilibrio simetrico en estrategias puras.
Equilibrio simetrico significa que a1(t) = a2(t) para todo t ∈ T .
En equilibrio, a1(0) = a2(0) = no.
¿Es a1(30) = a2(30) = si un equilibrio?
Supongamos que ti = 30. (el agente i tiene coche)
El pago esperado de este agente con la estrategia anterior es
pui (si, aj(30)|30) +
(1− p)ui (si, aj(0)|30) =
pui (si, si|30) + (1− p)ui (si, no|30) =
p(30− 10) + (1− p)(30− 20) = 10p + 10
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 27 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Informacion incompleta
Vamos a buscar un equilibrio simetrico en estrategias puras.
Equilibrio simetrico significa que a1(t) = a2(t) para todo t ∈ T .
En equilibrio, a1(0) = a2(0) = no.
¿Es a1(30) = a2(30) = si un equilibrio?
Supongamos que ti = 30. (el agente i tiene coche)
El pago esperado de este agente con la estrategia anterior es
pui (si, aj(30)|30) +
(1− p)ui (si, aj(0)|30) =
pui (si, si|30) + (1− p)ui (si, no|30) =
p(30− 10) + (1− p)(30− 20) = 10p + 10
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Informacion incompleta
Vamos a buscar un equilibrio simetrico en estrategias puras.
Equilibrio simetrico significa que a1(t) = a2(t) para todo t ∈ T .
En equilibrio, a1(0) = a2(0) = no.
¿Es a1(30) = a2(30) = si un equilibrio?
Supongamos que ti = 30. (el agente i tiene coche)
El pago esperado de este agente con la estrategia anterior es
pui (si, aj(30)|30) + (1− p)ui (si, aj(0)|30) =
pui (si, si|30) + (1− p)ui (si, no|30) =
p(30− 10) + (1− p)(30− 20) = 10p + 10
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 27 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Informacion incompleta
Vamos a buscar un equilibrio simetrico en estrategias puras.
Equilibrio simetrico significa que a1(t) = a2(t) para todo t ∈ T .
En equilibrio, a1(0) = a2(0) = no.
¿Es a1(30) = a2(30) = si un equilibrio?
Supongamos que ti = 30. (el agente i tiene coche)
El pago esperado de este agente con la estrategia anterior es
pui (si, aj(30)|30) + (1− p)ui (si, aj(0)|30) =
pui (si, si|30)
+ (1− p)ui (si, no|30) =
p(30− 10) + (1− p)(30− 20) = 10p + 10
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 27 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Informacion incompleta
Vamos a buscar un equilibrio simetrico en estrategias puras.
Equilibrio simetrico significa que a1(t) = a2(t) para todo t ∈ T .
En equilibrio, a1(0) = a2(0) = no.
¿Es a1(30) = a2(30) = si un equilibrio?
Supongamos que ti = 30. (el agente i tiene coche)
El pago esperado de este agente con la estrategia anterior es
pui (si, aj(30)|30) + (1− p)ui (si, aj(0)|30) =
pui (si, si|30) + (1− p)ui (si, no|30) =
p(30− 10) + (1− p)(30− 20) = 10p + 10
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 27 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Informacion incompleta
Vamos a buscar un equilibrio simetrico en estrategias puras.
Equilibrio simetrico significa que a1(t) = a2(t) para todo t ∈ T .
En equilibrio, a1(0) = a2(0) = no.
¿Es a1(30) = a2(30) = si un equilibrio?
Supongamos que ti = 30. (el agente i tiene coche)
El pago esperado de este agente con la estrategia anterior es
pui (si, aj(30)|30) + (1− p)ui (si, aj(0)|30) =
pui (si, si|30) + (1− p)ui (si, no|30) =
p(30− 10)
+ (1− p)(30− 20) = 10p + 10
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 27 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Informacion incompleta
Vamos a buscar un equilibrio simetrico en estrategias puras.
Equilibrio simetrico significa que a1(t) = a2(t) para todo t ∈ T .
En equilibrio, a1(0) = a2(0) = no.
¿Es a1(30) = a2(30) = si un equilibrio?
Supongamos que ti = 30. (el agente i tiene coche)
El pago esperado de este agente con la estrategia anterior es
pui (si, aj(30)|30) + (1− p)ui (si, aj(0)|30) =
pui (si, si|30) + (1− p)ui (si, no|30) =
p(30− 10) + (1− p)(30− 20) =
10p + 10
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 27 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Informacion incompleta
Vamos a buscar un equilibrio simetrico en estrategias puras.
Equilibrio simetrico significa que a1(t) = a2(t) para todo t ∈ T .
En equilibrio, a1(0) = a2(0) = no.
¿Es a1(30) = a2(30) = si un equilibrio?
Supongamos que ti = 30. (el agente i tiene coche)
El pago esperado de este agente con la estrategia anterior es
pui (si, aj(30)|30) + (1− p)ui (si, aj(0)|30) =
pui (si, si|30) + (1− p)ui (si, no|30) =
p(30− 10) + (1− p)(30− 20) = 10p + 10
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 27 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Equilibrio simetrico en estrategias puras
Mientras que si se desvıa y sigue la estrategia bi = no, su pagoesperado es
pui (no, ai (30)|30) + (1− p)ui (no, ai (0)|30) =
pui (no, si|30) + (1− p)ui (no, no|30) =
p(30− 0) + (1− p)× 0 = 30p
Por tanto, la estrategia
a1(30) = a2(30) = si
es un EB si 10 + 10p ≥ 30p, es decir si p ≤ 1/2.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 28 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Equilibrio simetrico en estrategias puras
Mientras que si se desvıa y sigue la estrategia bi = no, su pagoesperado es
pui (no, ai (30)|30) + (1− p)ui (no, ai (0)|30) =
pui (no, si|30) + (1− p)ui (no, no|30) =
p(30− 0) + (1− p)× 0 = 30p
Por tanto, la estrategia
a1(30) = a2(30) = si
es un EB si 10 + 10p ≥ 30p, es decir si p ≤ 1/2.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 28 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Equilibrio simetrico en estrategias puras
Mientras que si se desvıa y sigue la estrategia bi = no, su pagoesperado es
pui (no, ai (30)|30) + (1− p)ui (no, ai (0)|30) =
pui (no, si|30) + (1− p)ui (no, no|30) =
p(30− 0) + (1− p)× 0 = 30p
Por tanto, la estrategia
a1(30) = a2(30) = si
es un EB si 10 + 10p ≥ 30p, es decir si p ≤ 1/2.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 28 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
En resumen, si p ≤ 1/2 hay un EB simetrico en estrategias puras
a1(0) = a2(0) = no
a1(30) = a2(30) = si
Este equilibrio es eficiente: Se construye la carretera si t1 + t2 > 20.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 29 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
En resumen, si p ≤ 1/2 hay un EB simetrico en estrategias puras
a1(0) = a2(0) = no
a1(30) = a2(30) = si
Este equilibrio es eficiente: Se construye la carretera si t1 + t2 > 20.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 29 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
¿Hay algun otro equilibrio simetrico en estrategias puras?
¿Es ai (30) = ai (0) = no i = 1, 2 un EB?
El pago esperado con esta estrategia es 0.
Mientras si un agente se desvıa, su pago esperado es 10.
Por lo tanto, ai (30) = ai (0) = no i = 1, 2 no es un EB.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 30 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
¿Hay algun otro equilibrio simetrico en estrategias puras?
¿Es ai (30) = ai (0) = no i = 1, 2 un EB?
El pago esperado con esta estrategia es 0.
Mientras si un agente se desvıa, su pago esperado es 10.
Por lo tanto, ai (30) = ai (0) = no i = 1, 2 no es un EB.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 30 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
¿Hay algun otro equilibrio simetrico en estrategias puras?
¿Es ai (30) = ai (0) = no i = 1, 2 un EB?
El pago esperado con esta estrategia es 0.
Mientras si un agente se desvıa, su pago esperado es 10.
Por lo tanto, ai (30) = ai (0) = no i = 1, 2 no es un EB.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 30 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
¿Hay algun otro equilibrio simetrico en estrategias puras?
¿Es ai (30) = ai (0) = no i = 1, 2 un EB?
El pago esperado con esta estrategia es 0.
Mientras si un agente se desvıa, su pago esperado es 10.
Por lo tanto, ai (30) = ai (0) = no i = 1, 2 no es un EB.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 30 / 59
![Page 91: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/91.jpg)
Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
¿Hay algun otro equilibrio simetrico en estrategias puras?
¿Es ai (30) = ai (0) = no i = 1, 2 un EB?
El pago esperado con esta estrategia es 0.
Mientras si un agente se desvıa, su pago esperado es 10.
Por lo tanto, ai (30) = ai (0) = no i = 1, 2 no es un EB.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 30 / 59
![Page 92: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/92.jpg)
Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
¿Hay algun otro equilibrio simetrico en estrategias puras?
¿Es ai (30) = ai (0) = no i = 1, 2 un EB?
El pago esperado con esta estrategia es 0.
Mientras si un agente se desvıa, su pago esperado es 10.
Por lo tanto, ai (30) = ai (0) = no i = 1, 2 no es un EB.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 30 / 59
![Page 93: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/93.jpg)
Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Informacion incompleta. Equilibrio simetrico en estrategiasmixtas
Ahora nos preguntamos si existe un EB simetrico en estrategiasmixtas cuando p > 1/2.
El equilibrio simetrico en estrategias mixtas debe ser de la forma
a1(30) = a2(30) = w si + (1− w) no =
Supongamos que el agente i es de tipo ti = 30 = 30 . Recordemosque una condicion necesaria para que la estrategia de arriba sea un unEN en estrategias mixtas es que el agente este indiferente entreai (30) = si y ai (30) = no. Vamos a expresar esta condicion.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 31 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Informacion incompleta. Equilibrio simetrico en estrategiasmixtas
Ahora nos preguntamos si existe un EB simetrico en estrategiasmixtas cuando p > 1/2.
El equilibrio simetrico en estrategias mixtas debe ser de la forma
a1(30) = a2(30) = w si + (1− w) no =
Supongamos que el agente i es de tipo ti = 30 = 30 . Recordemosque una condicion necesaria para que la estrategia de arriba sea un unEN en estrategias mixtas es que el agente este indiferente entreai (30) = si y ai (30) = no. Vamos a expresar esta condicion.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 31 / 59
![Page 95: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/95.jpg)
Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Informacion incompleta. Equilibrio simetrico en estrategiasmixtas
Ahora nos preguntamos si existe un EB simetrico en estrategiasmixtas cuando p > 1/2.
El equilibrio simetrico en estrategias mixtas debe ser de la forma
a1(30) = a2(30) = w si + (1− w) no =
Supongamos que el agente i es de tipo ti = 30 = 30 . Recordemosque una condicion necesaria para que la estrategia de arriba sea un unEN en estrategias mixtas es que el agente este indiferente entreai (30) = si y ai (30) = no. Vamos a expresar esta condicion.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 31 / 59
![Page 96: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/96.jpg)
Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Informacion incompleta. Equilibrio simetrico en estrategiasmixtas
Ahora nos preguntamos si existe un EB simetrico en estrategiasmixtas cuando p > 1/2.
El equilibrio simetrico en estrategias mixtas debe ser de la forma
a1(30) = a2(30) = w si + (1− w) no =
Supongamos que el agente i es de tipo ti = 30 = 30 . Recordemosque una condicion necesaria para que la estrategia de arriba sea un unEN en estrategias mixtas es que el agente este indiferente entreai (30) = si y ai (30) = no. Vamos a expresar esta condicion.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 31 / 59
![Page 97: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/97.jpg)
Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Informacion incompleta. Equilibrio simetrico en estrategiasmixtas
Ahora nos preguntamos si existe un EB simetrico en estrategiasmixtas cuando p > 1/2.
El equilibrio simetrico en estrategias mixtas debe ser de la forma
a1(30) = a2(30) = w si + (1− w) no =
Supongamos que el agente i es de tipo ti = 30 = 30 . Recordemosque una condicion necesaria para que la estrategia de arriba sea un unEN en estrategias mixtas es que el agente este indiferente entreai (30) = si y ai (30) = no. Vamos a expresar esta condicion.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 31 / 59
![Page 98: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/98.jpg)
Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Cuando el agente declara ai (30) = si y el otro agente j 6= i sigue laestrategia mixta aj(30) = (w , 1− w) entonces el pago esperado parael agente i es
p[w ui (si, si|30) + (1− w) ui (si, no|30)
]+ (1− p)ui (si, no|30) =
p[w(30− 10) + (1− w)(30− 20)
]+ (1− p)(30− 20) =
= 10 + 10pw
Si el agente declara ai (30) = no y el otro agente j 6= i sigue laestrategia mixta aj(30) = (w , 1− w) entonces el pago esperado parael agente i es
p[w ui (no, si|30) + (1− w) ui (no, no|30)
]+ (1− p)ui (no, no|30) =
p[w · 30 + (1− w) · 0
]+ (1− p) · 0 =
= 30pw
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 32 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Cuando el agente declara ai (30) = si y el otro agente j 6= i sigue laestrategia mixta aj(30) = (w , 1− w) entonces el pago esperado parael agente i es
p[w ui (si, si|30) + (1− w) ui (si, no|30)
]+ (1− p)ui (si, no|30) =
p[w(30− 10) + (1− w)(30− 20)
]+ (1− p)(30− 20) =
= 10 + 10pw
Si el agente declara ai (30) = no y el otro agente j 6= i sigue laestrategia mixta aj(30) = (w , 1− w) entonces el pago esperado parael agente i es
p[w ui (no, si|30) + (1− w) ui (no, no|30)
]+ (1− p)ui (no, no|30) =
p[w · 30 + (1− w) · 0
]+ (1− p) · 0 =
= 30pw
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 32 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Cuando el agente declara ai (30) = si y el otro agente j 6= i sigue laestrategia mixta aj(30) = (w , 1− w) entonces el pago esperado parael agente i es
p[w ui (si, si|30) + (1− w) ui (si, no|30)
]+ (1− p)ui (si, no|30) =
p[w(30− 10) + (1− w)(30− 20)
]+ (1− p)(30− 20) =
= 10 + 10pw
Si el agente declara ai (30) = no y el otro agente j 6= i sigue laestrategia mixta aj(30) = (w , 1− w) entonces el pago esperado parael agente i es
p[w ui (no, si|30) + (1− w) ui (no, no|30)
]+ (1− p)ui (no, no|30) =
p[w · 30 + (1− w) · 0
]+ (1− p) · 0 =
= 30pw
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 32 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Cuando el agente declara ai (30) = si y el otro agente j 6= i sigue laestrategia mixta aj(30) = (w , 1− w) entonces el pago esperado parael agente i es
p[w ui (si, si|30) + (1− w) ui (si, no|30)
]+ (1− p)ui (si, no|30) =
p[w(30− 10) + (1− w)(30− 20)
]+ (1− p)(30− 20) =
= 10 + 10pw
Si el agente declara ai (30) = no y el otro agente j 6= i sigue laestrategia mixta aj(30) = (w , 1− w) entonces el pago esperado parael agente i es
p[w ui (no, si|30) + (1− w) ui (no, no|30)
]+ (1− p)ui (no, no|30) =
p[w · 30 + (1− w) · 0
]+ (1− p) · 0 =
= 30pw(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 32 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Por tanto la estrategia a1(30) = a2(30) = w si + (1− w) no es un EBsi
10 + 10pw = 30pw
es decir si
w =1
2p
1
2≤ p ≤ 1
En conclusion, hemos encontrado que
1 Si p ≤ 1/2 entonces
ai (0) = no, ai (30) = si
es un EB.2 Si p > 1/2 entonces
ai (0) = no, ai (30) =1
2psi + (1− 1
2p) no
es un EB.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 33 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Por tanto la estrategia a1(30) = a2(30) = w si + (1− w) no es un EBsi
10 + 10pw = 30pw
es decir si
w =1
2p
1
2≤ p ≤ 1
En conclusion, hemos encontrado que
1 Si p ≤ 1/2 entonces
ai (0) = no, ai (30) = si
es un EB.2 Si p > 1/2 entonces
ai (0) = no, ai (30) =1
2psi + (1− 1
2p) no
es un EB.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 33 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Eficiencia
¿Cual es la probabilidad de que sea eficiente construir la carretera?
Hay cuatro casos posibles para los agentes,
(30, 30) (30, 0) (0, 30) (0, 0)
Eficiente si si si no
prob p2 p(1− p) p(1− p) (1− p)2
La probabilidad de que construir la carretera sea eficiente es
p2 + 2p(1− p) = 2p − p2
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 34 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Eficiencia
¿Cual es la probabilidad de que sea eficiente construir la carretera?
Hay cuatro casos posibles para los agentes,
(30, 30) (30, 0) (0, 30) (0, 0)
Eficiente si si si no
prob p2 p(1− p) p(1− p) (1− p)2
La probabilidad de que construir la carretera sea eficiente es
p2 + 2p(1− p) = 2p − p2
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 34 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
¿Cual es la probabilidad de que la carretera se construya siguiendo elmecanismo A?
si p ≤ 1/2,
(30, 30) (30, 0) (0, 30) (0, 0)
prob p2 p(1− p) p(1− p) (1− p)2
prob constr. 1 1 1 0
La probabilidad de construir la carretera es
p2 + 2p(1− p) = 2p − p2 ≤ 1
2
La probabilidad de construir la carretera coincide con la probabilidadde que sea eficiente construirla.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 35 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
¿Cual es la probabilidad de que la carretera se construya siguiendo elmecanismo A?
si p ≤ 1/2,
(30, 30) (30, 0) (0, 30) (0, 0)
prob p2 p(1− p) p(1− p) (1− p)2
prob constr. 1 1 1 0
La probabilidad de construir la carretera es
p2 + 2p(1− p) = 2p − p2 ≤ 1
2
La probabilidad de construir la carretera coincide con la probabilidadde que sea eficiente construirla.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 35 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
¿Cual es la probabilidad de que la carretera se construya siguiendo elmecanismo A?
si p ≤ 1/2,
(30, 30) (30, 0) (0, 30) (0, 0)
prob p2 p(1− p) p(1− p) (1− p)2
prob constr. 1 1 1 0
La probabilidad de construir la carretera es
p2 + 2p(1− p) = 2p − p2 ≤ 1
2
La probabilidad de construir la carretera coincide con la probabilidadde que sea eficiente construirla.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 35 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
¿Cual es la probabilidad de que la carretera se construya siguiendo elmecanismo A?
si p ≤ 1/2,
(30, 30) (30, 0) (0, 30) (0, 0)
prob p2 p(1− p) p(1− p) (1− p)2
prob constr. 1 1 1 0
La probabilidad de construir la carretera es
p2 + 2p(1− p) = 2p − p2 ≤ 1
2
La probabilidad de construir la carretera coincide con la probabilidadde que sea eficiente construirla.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 35 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Pero si p > 1/2,
(30, 30) (30, 0) (0, 30) (0, 0)
prob p2 p(1− p) p(1− p) (1− p)2
prob. 1− (1− w)2 w w 0constr. = 2w − w2
La probabilidad de construir la carretera es
p2(2w − w2) + 2p(1− p)w =3
4
El mecanismo es ineficiente con probabilidad
p2(1− w)2 + 2p(1− p)(1− w) = 2p − p2 − 3
4
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 36 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Pero si p > 1/2,
(30, 30) (30, 0) (0, 30) (0, 0)
prob p2 p(1− p) p(1− p) (1− p)2
prob. 1− (1− w)2 w w 0constr. = 2w − w2
La probabilidad de construir la carretera es
p2(2w − w2) + 2p(1− p)w =3
4
El mecanismo es ineficiente con probabilidad
p2(1− w)2 + 2p(1− p)(1− w) = 2p − p2 − 3
4
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 36 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
Pero si p > 1/2,
(30, 30) (30, 0) (0, 30) (0, 0)
prob p2 p(1− p) p(1− p) (1− p)2
prob. 1− (1− w)2 w w 0constr. = 2w − w2
La probabilidad de construir la carretera es
p2(2w − w2) + 2p(1− p)w =3
4
El mecanismo es ineficiente con probabilidad
p2(1− w)2 + 2p(1− p)(1− w) = 2p − p2 − 3
4
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 36 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
La grafica de la funcion 2p − p2 es
1 / 2
p
2p – p2
3 / 4 y = 3 / 4
Vemos que si 1/2 < p ≤ 1, entonces
2p − p2 >3
4
La probabilidad de construir la carretera es menor que la probabilidadde que sea eficiente construirla.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 37 / 59
![Page 114: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/114.jpg)
Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
La grafica de la funcion 2p − p2 es
1 / 2
p
2p – p2
3 / 4 y = 3 / 4
Vemos que si 1/2 < p ≤ 1, entonces
2p − p2 >3
4
La probabilidad de construir la carretera es menor que la probabilidadde que sea eficiente construirla.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 37 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo A
La grafica de la funcion 2p − p2 es
1 / 2
p
2p – p2
3 / 4 y = 3 / 4
Vemos que si 1/2 < p ≤ 1, entonces
2p − p2 >3
4
La probabilidad de construir la carretera es menor que la probabilidadde que sea eficiente construirla.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 37 / 59
![Page 116: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/116.jpg)
Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Mecanismo B
Ordenamos los agentes i = 1, 2. El agente 1 indica cuanto estadispuesto a pagar por construir la carretera: ξ1 ∈ [0, 20].
El individuo 2 conociendo ξ1 informa que su decision es1 ‘si’: y entonces la carretera se construye y los agentes pagan las
cantidades ξ1 y ξ2 = 20− ξ1.2 ‘no’: y entonces la carretera no se construye y los agentes pagan las
cantidades ξ1 = 0 y ξ2 = 0.
Vamos a escribir este mecanismo en forma de Juego Bayesiano yanalizar los equilibrios.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 38 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Mecanismo B
Ordenamos los agentes i = 1, 2. El agente 1 indica cuanto estadispuesto a pagar por construir la carretera: ξ1 ∈ [0, 20].
El individuo 2 conociendo ξ1 informa que su decision es1 ‘si’: y entonces la carretera se construye y los agentes pagan las
cantidades ξ1 y ξ2 = 20− ξ1.2 ‘no’: y entonces la carretera no se construye y los agentes pagan las
cantidades ξ1 = 0 y ξ2 = 0.
Vamos a escribir este mecanismo en forma de Juego Bayesiano yanalizar los equilibrios.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 38 / 59
![Page 118: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/118.jpg)
Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Mecanismo B
Ordenamos los agentes i = 1, 2. El agente 1 indica cuanto estadispuesto a pagar por construir la carretera: ξ1 ∈ [0, 20].
El individuo 2 conociendo ξ1 informa que su decision es1 ‘si’: y entonces la carretera se construye y los agentes pagan las
cantidades ξ1 y ξ2 = 20− ξ1.2 ‘no’: y entonces la carretera no se construye y los agentes pagan las
cantidades ξ1 = 0 y ξ2 = 0.
Vamos a escribir este mecanismo en forma de Juego Bayesiano yanalizar los equilibrios.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 38 / 59
![Page 119: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/119.jpg)
Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Mecanismo B
Ordenamos los agentes i = 1, 2. El agente 1 indica cuanto estadispuesto a pagar por construir la carretera: ξ1 ∈ [0, 20].
El individuo 2 conociendo ξ1 informa que su decision es1 ‘si’: y entonces la carretera se construye y los agentes pagan las
cantidades ξ1 y ξ2 = 20− ξ1.2 ‘no’: y entonces la carretera no se construye y los agentes pagan las
cantidades ξ1 = 0 y ξ2 = 0.
Vamos a escribir este mecanismo en forma de Juego Bayesiano yanalizar los equilibrios.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 38 / 59
![Page 120: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/120.jpg)
Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Los tipos de los agentes son T = T1 = T2 = {coche, no coche}.Tambien utilizaremos como tipo el valor que cada uno asigna aconstruir la carretera T = T1 = T2 = {0, 30}.La probabilidad de cada tipo es p(0) = 1− p, p(30) = p. Estas sonlas conjeturas de los agentes
pi (tj = 30) = p
Los conjuntos de acciones de los agentes son A1 = [0, 20],A2 = {si, no}.Denotamos la accion del agente i = 1, 2 por ai . La estrategia delagente 1 es una funcion a1 : T1 → A1. La estrategia del agente 2 esuna funcion a2 : T2 × A1 → A2.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 39 / 59
![Page 121: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/121.jpg)
Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Los tipos de los agentes son T = T1 = T2 = {coche, no coche}.Tambien utilizaremos como tipo el valor que cada uno asigna aconstruir la carretera T = T1 = T2 = {0, 30}.La probabilidad de cada tipo es p(0) = 1− p, p(30) = p. Estas sonlas conjeturas de los agentes
pi (tj = 30) = p
Los conjuntos de acciones de los agentes son A1 = [0, 20],A2 = {si, no}.Denotamos la accion del agente i = 1, 2 por ai . La estrategia delagente 1 es una funcion a1 : T1 → A1. La estrategia del agente 2 esuna funcion a2 : T2 × A1 → A2.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 39 / 59
![Page 122: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/122.jpg)
Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Los tipos de los agentes son T = T1 = T2 = {coche, no coche}.Tambien utilizaremos como tipo el valor que cada uno asigna aconstruir la carretera T = T1 = T2 = {0, 30}.La probabilidad de cada tipo es p(0) = 1− p, p(30) = p. Estas sonlas conjeturas de los agentes
pi (tj = 30) = p
Los conjuntos de acciones de los agentes son A1 = [0, 20],A2 = {si, no}.Denotamos la accion del agente i = 1, 2 por ai . La estrategia delagente 1 es una funcion a1 : T1 → A1. La estrategia del agente 2 esuna funcion a2 : T2 × A1 → A2.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 39 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Los tipos de los agentes son T = T1 = T2 = {coche, no coche}.Tambien utilizaremos como tipo el valor que cada uno asigna aconstruir la carretera T = T1 = T2 = {0, 30}.La probabilidad de cada tipo es p(0) = 1− p, p(30) = p. Estas sonlas conjeturas de los agentes
pi (tj = 30) = p
Los conjuntos de acciones de los agentes son A1 = [0, 20],A2 = {si, no}.Denotamos la accion del agente i = 1, 2 por ai . La estrategia delagente 1 es una funcion a1 : T1 → A1. La estrategia del agente 2 esuna funcion a2 : T2 × A1 → A2.
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Los tipos de los agentes son T = T1 = T2 = {coche, no coche}.Tambien utilizaremos como tipo el valor que cada uno asigna aconstruir la carretera T = T1 = T2 = {0, 30}.La probabilidad de cada tipo es p(0) = 1− p, p(30) = p. Estas sonlas conjeturas de los agentes
pi (tj = 30) = p
Los conjuntos de acciones de los agentes son A1 = [0, 20],A2 = {si, no}.Denotamos la accion del agente i = 1, 2 por ai . La estrategia delagente 1 es una funcion a1 : T1 → A1. La estrategia del agente 2 esuna funcion a2 : T2 × A1 → A2.
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Funciones de utilidad
La funcion de utilidad del agente 1 es
u1(a1, a2, t1) =
{t1 − a1, si a2 = si;0, si a2 = no.
La funcion de utilidad del agente 2 es
u2(a1, a2|t1) =
{t2 − (20− a1), si a2 = si;0, si a2 = no.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 40 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Funciones de utilidad
La funcion de utilidad del agente 1 es
u1(a1, a2, t1) =
{t1 − a1, si a2 = si;0, si a2 = no.
La funcion de utilidad del agente 2 es
u2(a1, a2|t1) =
{t2 − (20− a1), si a2 = si;0, si a2 = no.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 40 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Segunda etapa
vamos a calcular los EB. Como es un juego secuencial, lo resolvemospor induccion hacia atras. Primero analizamos las acciones deljugador 2.
Si el jugador 1 elige la accion a1, los pagos del jugador 2 son1 u2 = t2 − (20− a1) = t2 − 20 + a1, cuando a2 = si.2 u2 = 0, cuando a2 = no.
La mejor respuesta del jugador 1 es
a2(30, a1) = si, a2(0, a1) =
{no si a1 < 20;si, si a1 = 20.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 41 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Segunda etapa
vamos a calcular los EB. Como es un juego secuencial, lo resolvemospor induccion hacia atras. Primero analizamos las acciones deljugador 2.
Si el jugador 1 elige la accion a1, los pagos del jugador 2 son1 u2 = t2 − (20− a1) = t2 − 20 + a1, cuando a2 = si.2 u2 = 0, cuando a2 = no.
La mejor respuesta del jugador 1 es
a2(30, a1) = si, a2(0, a1) =
{no si a1 < 20;si, si a1 = 20.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 41 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Segunda etapa
vamos a calcular los EB. Como es un juego secuencial, lo resolvemospor induccion hacia atras. Primero analizamos las acciones deljugador 2.
Si el jugador 1 elige la accion a1, los pagos del jugador 2 son1 u2 = t2 − (20− a1) = t2 − 20 + a1, cuando a2 = si.2 u2 = 0, cuando a2 = no.
La mejor respuesta del jugador 1 es
a2(30, a1) = si, a2(0, a1) =
{no si a1 < 20;si, si a1 = 20.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 41 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Segunda etapa
vamos a calcular los EB. Como es un juego secuencial, lo resolvemospor induccion hacia atras. Primero analizamos las acciones deljugador 2.
Si el jugador 1 elige la accion a1, los pagos del jugador 2 son1 u2 = t2 − (20− a1) = t2 − 20 + a1, cuando a2 = si.2 u2 = 0, cuando a2 = no.
La mejor respuesta del jugador 1 es
a2(30, a1) = si, a2(0, a1) =
{no si a1 < 20;si, si a1 = 20.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 41 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Primera etapa
El jugador 1 anticipa la reaccion del jugador 2.
Si el tipo del jugador 1 es t1 = 0 , su mejor estrategia es elegira1(0) = 0.
Supongamos ahora que el tipo del jugador 2 es t1 = 30 y busquemossu estrategia optima.
Si su mensaje es a1 = 20, entonces su utilidad esperada es 10.
Si su mensaje es a1 < 20, entonces su utilidad esperada es
p(30− a1) + (1− p) · 0 = 30p − pa1
Es decir, Entre todos los mensajes a1 < 20 su estrategia optima eselegir a1 = 0.Y su utilidad esperada serıa 30p.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 42 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Primera etapa
El jugador 1 anticipa la reaccion del jugador 2.
Si el tipo del jugador 1 es t1 = 0 , su mejor estrategia es elegira1(0) = 0.
Supongamos ahora que el tipo del jugador 2 es t1 = 30 y busquemossu estrategia optima.
Si su mensaje es a1 = 20, entonces su utilidad esperada es 10.
Si su mensaje es a1 < 20, entonces su utilidad esperada es
p(30− a1) + (1− p) · 0 = 30p − pa1
Es decir, Entre todos los mensajes a1 < 20 su estrategia optima eselegir a1 = 0.Y su utilidad esperada serıa 30p.
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Primera etapa
El jugador 1 anticipa la reaccion del jugador 2.
Si el tipo del jugador 1 es t1 = 0 , su mejor estrategia es elegira1(0) = 0.
Supongamos ahora que el tipo del jugador 2 es t1 = 30 y busquemossu estrategia optima.
Si su mensaje es a1 = 20, entonces su utilidad esperada es 10.
Si su mensaje es a1 < 20, entonces su utilidad esperada es
p(30− a1) + (1− p) · 0 = 30p − pa1
Es decir, Entre todos los mensajes a1 < 20 su estrategia optima eselegir a1 = 0.Y su utilidad esperada serıa 30p.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 42 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Primera etapa
El jugador 1 anticipa la reaccion del jugador 2.
Si el tipo del jugador 1 es t1 = 0 , su mejor estrategia es elegira1(0) = 0.
Supongamos ahora que el tipo del jugador 2 es t1 = 30 y busquemossu estrategia optima.
Si su mensaje es a1 = 20, entonces su utilidad esperada es 10.
Si su mensaje es a1 < 20, entonces su utilidad esperada es
p(30− a1) + (1− p) · 0 = 30p − pa1
Es decir, Entre todos los mensajes a1 < 20 su estrategia optima eselegir a1 = 0.Y su utilidad esperada serıa 30p.
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Primera etapa
El jugador 1 anticipa la reaccion del jugador 2.
Si el tipo del jugador 1 es t1 = 0 , su mejor estrategia es elegira1(0) = 0.
Supongamos ahora que el tipo del jugador 2 es t1 = 30 y busquemossu estrategia optima.
Si su mensaje es a1 = 20, entonces su utilidad esperada es 10.
Si su mensaje es a1 < 20, entonces su utilidad esperada es
p(30− a1) + (1− p) · 0 = 30p − pa1
Es decir, Entre todos los mensajes a1 < 20 su estrategia optima eselegir a1 = 0.Y su utilidad esperada serıa 30p.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 42 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Primera etapa
El jugador 1 anticipa la reaccion del jugador 2.
Si el tipo del jugador 1 es t1 = 0 , su mejor estrategia es elegira1(0) = 0.
Supongamos ahora que el tipo del jugador 2 es t1 = 30 y busquemossu estrategia optima.
Si su mensaje es a1 = 20, entonces su utilidad esperada es 10.
Si su mensaje es a1 < 20, entonces su utilidad esperada es
p(30− a1) + (1− p) · 0 = 30p − pa1
Es decir, Entre todos los mensajes a1 < 20 su estrategia optima eselegir a1 = 0.Y su utilidad esperada serıa 30p.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 42 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Primera etapa
El jugador 1 anticipa la reaccion del jugador 2.
Si el tipo del jugador 1 es t1 = 0 , su mejor estrategia es elegira1(0) = 0.
Supongamos ahora que el tipo del jugador 2 es t1 = 30 y busquemossu estrategia optima.
Si su mensaje es a1 = 20, entonces su utilidad esperada es 10.
Si su mensaje es a1 < 20, entonces su utilidad esperada es
p(30− a1) + (1− p) · 0 = 30p − pa1
Es decir, Entre todos los mensajes a1 < 20 su estrategia optima eselegir a1 = 0.Y su utilidad esperada serıa 30p.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 42 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
El jugador 1 debe decidir si su mensaje es a1 = 20 o a1 = 0.
Elige a1 = 0 si 30p > 10. O lo que es lo mismo si
p >1
3
En conclusion
a1(0) = 0 a1(30) =
0, si p > 1/3;20, si p < 1/3;w ∈ [0, 20], si p = 1/3.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 43 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
El jugador 1 debe decidir si su mensaje es a1 = 20 o a1 = 0.
Elige a1 = 0 si 30p > 10. O lo que es lo mismo si
p >1
3
En conclusion
a1(0) = 0 a1(30) =
0, si p > 1/3;20, si p < 1/3;w ∈ [0, 20], si p = 1/3.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 43 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
El jugador 1 debe decidir si su mensaje es a1 = 20 o a1 = 0.
Elige a1 = 0 si 30p > 10. O lo que es lo mismo si
p >1
3
En conclusion
a1(0) = 0 a1(30) =
0, si p > 1/3;20, si p < 1/3;w ∈ [0, 20], si p = 1/3.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 43 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
El jugador 1 debe decidir si su mensaje es a1 = 20 o a1 = 0.
Elige a1 = 0 si 30p > 10. O lo que es lo mismo si
p >1
3
En conclusion
a1(0) = 0 a1(30) =
0, si p > 1/3;20, si p < 1/3;w ∈ [0, 20], si p = 1/3.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 43 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Equilibrio
En resumen, el EB es
a1(0) = 0 a1(30) =
0, si p > 1/3;20, si p < 1/3;w ∈ [0, 20], si p = 1/3.
a2(30, a1) = si, a2(0, a1) =
{no si a1 < 20;si, si a1 = 20.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 44 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Eficiencia
¿Cual es la probabilidad de que la carretera se construya siguiendo elmecanismo B?
(30, 30) (30, 0) (0, 30) (0, 0)
Eficiente si si si no
prob p2 p(1− p) p(1− p) (1− p)2
carretera se si si cuando p < 1/3 si noconstruye no cuando p > 1/3
La probabilidad de que construir la carretera sea eficiente esp2 + 2p(1− p) = 2p − p2.
La probabilidad de construir la carretera es
p2 + 2p(1− p) = 2p − p2 si p < 1/3
p2 + p(1− p) = p si p > 1/3
El mecanismo es ineficiente con probabilidad p(1− p) = p − p2.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 45 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Eficiencia
¿Cual es la probabilidad de que la carretera se construya siguiendo elmecanismo B?
(30, 30) (30, 0) (0, 30) (0, 0)
Eficiente si si si no
prob p2 p(1− p) p(1− p) (1− p)2
carretera se si si cuando p < 1/3 si noconstruye no cuando p > 1/3
La probabilidad de que construir la carretera sea eficiente esp2 + 2p(1− p) = 2p − p2.
La probabilidad de construir la carretera es
p2 + 2p(1− p) = 2p − p2 si p < 1/3
p2 + p(1− p) = p si p > 1/3
El mecanismo es ineficiente con probabilidad p(1− p) = p − p2.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 45 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Eficiencia
¿Cual es la probabilidad de que la carretera se construya siguiendo elmecanismo B?
(30, 30) (30, 0) (0, 30) (0, 0)
Eficiente si si si no
prob p2 p(1− p) p(1− p) (1− p)2
carretera se si si cuando p < 1/3 si noconstruye no cuando p > 1/3
La probabilidad de que construir la carretera sea eficiente esp2 + 2p(1− p) = 2p − p2.
La probabilidad de construir la carretera es
p2 + 2p(1− p) = 2p − p2 si p < 1/3
p2 + p(1− p) = p si p > 1/3
El mecanismo es ineficiente con probabilidad p(1− p) = p − p2.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 45 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
Eficiencia
¿Cual es la probabilidad de que la carretera se construya siguiendo elmecanismo B?
(30, 30) (30, 0) (0, 30) (0, 0)
Eficiente si si si no
prob p2 p(1− p) p(1− p) (1− p)2
carretera se si si cuando p < 1/3 si noconstruye no cuando p > 1/3
La probabilidad de que construir la carretera sea eficiente esp2 + 2p(1− p) = 2p − p2.
La probabilidad de construir la carretera es
p2 + 2p(1− p) = 2p − p2 si p < 1/3
p2 + p(1− p) = p si p > 1/3
El mecanismo es ineficiente con probabilidad p(1− p) = p − p2.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 45 / 59
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Asignacion de Bienes publicos Mecanismo B
¿Cual de los dos mecanismos es mas eficiente?
El mecanismo A es mas ineficiente que B si
2p − p2 − 3
4> p − p2
es decir si
p >3
4
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Jurados
Jurados
Una persona es acusada de un crimen. La persona puede ser culpable(w = C ) o inocente (w = I ).
La experiencia anterior, conocida por todos, demuestra que, cuando elcaso se lleva a juicio, la probabilidad de que el acusado sea culpablees prob (w = C ) = π.
El jurado (formado por al menos un agente) estudia la evidenciapresentada en el juicio y llega a la conclusion (quiza de formaequivocada) de que el acusado es culpable (s = c) o inocente (s = i).
Dada la evidencia presentada, la probabilidad de que el jurado lleguea la conclusion correcta es p cuando el acusado es culpable y qcuando es inocente.
Ante la evidencia presentada y sabiendo que se puede equivocar, cadamiembro del emite una veredicto de culpabilidad (a = C ) o inocencia(a = I ) del acusado. (a no tiene por que coincidir con s).
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 47 / 59
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Jurados
Jurados
Una persona es acusada de un crimen. La persona puede ser culpable(w = C ) o inocente (w = I ).
La experiencia anterior, conocida por todos, demuestra que, cuando elcaso se lleva a juicio, la probabilidad de que el acusado sea culpablees prob (w = C ) = π.
El jurado (formado por al menos un agente) estudia la evidenciapresentada en el juicio y llega a la conclusion (quiza de formaequivocada) de que el acusado es culpable (s = c) o inocente (s = i).
Dada la evidencia presentada, la probabilidad de que el jurado lleguea la conclusion correcta es p cuando el acusado es culpable y qcuando es inocente.
Ante la evidencia presentada y sabiendo que se puede equivocar, cadamiembro del emite una veredicto de culpabilidad (a = C ) o inocencia(a = I ) del acusado. (a no tiene por que coincidir con s).
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Jurados
Jurados
Una persona es acusada de un crimen. La persona puede ser culpable(w = C ) o inocente (w = I ).
La experiencia anterior, conocida por todos, demuestra que, cuando elcaso se lleva a juicio, la probabilidad de que el acusado sea culpablees prob (w = C ) = π.
El jurado (formado por al menos un agente) estudia la evidenciapresentada en el juicio y llega a la conclusion (quiza de formaequivocada) de que el acusado es culpable (s = c) o inocente (s = i).
Dada la evidencia presentada, la probabilidad de que el jurado lleguea la conclusion correcta es p cuando el acusado es culpable y qcuando es inocente.
Ante la evidencia presentada y sabiendo que se puede equivocar, cadamiembro del emite una veredicto de culpabilidad (a = C ) o inocencia(a = I ) del acusado. (a no tiene por que coincidir con s).
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Jurados
Jurados
Una persona es acusada de un crimen. La persona puede ser culpable(w = C ) o inocente (w = I ).
La experiencia anterior, conocida por todos, demuestra que, cuando elcaso se lleva a juicio, la probabilidad de que el acusado sea culpablees prob (w = C ) = π.
El jurado (formado por al menos un agente) estudia la evidenciapresentada en el juicio y llega a la conclusion (quiza de formaequivocada) de que el acusado es culpable (s = c) o inocente (s = i).
Dada la evidencia presentada, la probabilidad de que el jurado lleguea la conclusion correcta es p cuando el acusado es culpable y qcuando es inocente.
Ante la evidencia presentada y sabiendo que se puede equivocar, cadamiembro del emite una veredicto de culpabilidad (a = C ) o inocencia(a = I ) del acusado. (a no tiene por que coincidir con s).
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Jurados
Jurados
Una persona es acusada de un crimen. La persona puede ser culpable(w = C ) o inocente (w = I ).
La experiencia anterior, conocida por todos, demuestra que, cuando elcaso se lleva a juicio, la probabilidad de que el acusado sea culpablees prob (w = C ) = π.
El jurado (formado por al menos un agente) estudia la evidenciapresentada en el juicio y llega a la conclusion (quiza de formaequivocada) de que el acusado es culpable (s = c) o inocente (s = i).
Dada la evidencia presentada, la probabilidad de que el jurado lleguea la conclusion correcta es p cuando el acusado es culpable y qcuando es inocente.
Ante la evidencia presentada y sabiendo que se puede equivocar, cadamiembro del emite una veredicto de culpabilidad (a = C ) o inocencia(a = I ) del acusado. (a no tiene por que coincidir con s).
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Jurados
w = C
w = I
cp
i1-p c
i q
1-q
ππππ
1 1 1 1 −−−− ππππ
ak = C, I
sk
sk
b = C, I
Si solo hay un agente, el veredicto del juez (b) coincide con elveredicto del jurado.
Cuando el jurado se compone de dos o mas agentes,
I Los agentes del jurado no pueden intercambiar informacion.I El veredicto final del juez solo es de culpabilidad cuando todos los
agentes declaran culpable al acusado. Si algun jurado declara inocenteal acusado, el juez lo declara tambien inocente.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 48 / 59
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Jurados
w = C
w = I
cp
i1-p c
i q
1-q
ππππ
1 1 1 1 −−−− ππππ
ak = C, I
sk
sk
b = C, I
Si solo hay un agente, el veredicto del juez (b) coincide con elveredicto del jurado.
Cuando el jurado se compone de dos o mas agentes,
I Los agentes del jurado no pueden intercambiar informacion.I El veredicto final del juez solo es de culpabilidad cuando todos los
agentes declaran culpable al acusado. Si algun jurado declara inocenteal acusado, el juez lo declara tambien inocente.
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Jurados
w = C
w = I
cp
i1-p c
i q
1-q
ππππ
1 1 1 1 −−−− ππππ
ak = C, I
sk
sk
b = C, I
Si solo hay un agente, el veredicto del juez (b) coincide con elveredicto del jurado.
Cuando el jurado se compone de dos o mas agentes,
I Los agentes del jurado no pueden intercambiar informacion.I El veredicto final del juez solo es de culpabilidad cuando todos los
agentes declaran culpable al acusado. Si algun jurado declara inocenteal acusado, el juez lo declara tambien inocente.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 48 / 59
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Jurados
w = C
w = I
cp
i1-p c
i q
1-q
ππππ
1 1 1 1 −−−− ππππ
ak = C, I
sk
sk
b = C, I
Si solo hay un agente, el veredicto del juez (b) coincide con elveredicto del jurado.
Cuando el jurado se compone de dos o mas agentes,
I Los agentes del jurado no pueden intercambiar informacion.I El veredicto final del juez solo es de culpabilidad cuando todos los
agentes declaran culpable al acusado. Si algun jurado declara inocenteal acusado, el juez lo declara tambien inocente.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 48 / 59
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Jurados
w = C
w = I
cp
i1-p c
i q
1-q
ππππ
1 1 1 1 −−−− ππππ
ak = C, I
sk
sk
b = C, I
Si solo hay un agente, el veredicto del juez (b) coincide con elveredicto del jurado.
Cuando el jurado se compone de dos o mas agentes,
I Los agentes del jurado no pueden intercambiar informacion.I El veredicto final del juez solo es de culpabilidad cuando todos los
agentes declaran culpable al acusado. Si algun jurado declara inocenteal acusado, el juez lo declara tambien inocente.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 48 / 59
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Jurados
Preferencias sobre sucesos
Las preferencias de cada miembro jurado sobre el resultado final deljuicio son las siguientes
1 0 si el veredicto es correcto.2 z − 1 si una persona culpable es declarada inocente.3 −z si una persona inocente es declarada culpable.
Suponemos que 0 ≥ z − 1 ≥ −z . Equivalentemente,
1 ≥ z ≥ 1
2
(Es preferible equivocarse no condenando a un culpable quecondenando a un inocente)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 49 / 59
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Jurados
Preferencias sobre sucesos
Las preferencias de cada miembro jurado sobre el resultado final deljuicio son las siguientes
1 0 si el veredicto es correcto.2 z − 1 si una persona culpable es declarada inocente.3 −z si una persona inocente es declarada culpable.
Suponemos que 0 ≥ z − 1 ≥ −z . Equivalentemente,
1 ≥ z ≥ 1
2
(Es preferible equivocarse no condenando a un culpable quecondenando a un inocente)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 49 / 59
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Jurados
Preferencias sobre sucesos
Las preferencias de cada miembro jurado sobre el resultado final deljuicio son las siguientes
1 0 si el veredicto es correcto.2 z − 1 si una persona culpable es declarada inocente.3 −z si una persona inocente es declarada culpable.
Suponemos que 0 ≥ z − 1 ≥ −z . Equivalentemente,
1 ≥ z ≥ 1
2
(Es preferible equivocarse no condenando a un culpable quecondenando a un inocente)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 49 / 59
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Jurados
Preferencias sobre sucesos
Las preferencias de cada miembro jurado sobre el resultado final deljuicio son las siguientes
1 0 si el veredicto es correcto.2 z − 1 si una persona culpable es declarada inocente.3 −z si una persona inocente es declarada culpable.
Suponemos que 0 ≥ z − 1 ≥ −z . Equivalentemente,
1 ≥ z ≥ 1
2
(Es preferible equivocarse no condenando a un culpable quecondenando a un inocente)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 49 / 59
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Jurados
Preferencias sobre sucesos
Las preferencias de cada miembro jurado sobre el resultado final deljuicio son las siguientes
1 0 si el veredicto es correcto.2 z − 1 si una persona culpable es declarada inocente.3 −z si una persona inocente es declarada culpable.
Suponemos que 0 ≥ z − 1 ≥ −z . Equivalentemente,
1 ≥ z ≥ 1
2
(Es preferible equivocarse no condenando a un culpable quecondenando a un inocente)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 49 / 59
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Jurados
La funcion de utilidad
LlamamosI w = C , si el acusado es realmente culpable.I w = I , si el acusado es realmente inocente.I b = C , I (culpable o inocente) al veredicto final del juez (que depende
de las resoluciones de los miembros del jurado) .
La funcion de utilidad del jurado sobre el resultado final del juicio(utilidad de Bernouilli) es
u(b,w) =
0, si b = w ;z − 1, si w = C , b = I .−z , si w = I , b = C ;
(5.1)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 50 / 59
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Jurados
La funcion de utilidad
LlamamosI w = C , si el acusado es realmente culpable.I w = I , si el acusado es realmente inocente.I b = C , I (culpable o inocente) al veredicto final del juez (que depende
de las resoluciones de los miembros del jurado) .
La funcion de utilidad del jurado sobre el resultado final del juicio(utilidad de Bernouilli) es
u(b,w) =
0, si b = w ;z − 1, si w = C , b = I .−z , si w = I , b = C ;
(5.1)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 50 / 59
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Jurados
Preferencias sobre loterıas
Cuando el miembro del jurado emite su veredicto no esta seguro deque este sea correcto.
Sus preferencias sobre resultados inciertos se pueden representarutilizando una funcion de utilidad esperada, dada su informacion.
Supongamos que, despues de ver las pruebas, el jurado piensa que
prob (C |informacion recibida) = r
y el juez emite el veredicto final b, entonces su funcion de utilidad es
U = ru(b,C ) + (1− r)u(b, I )
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 51 / 59
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Jurados
Preferencias sobre loterıas
Cuando el miembro del jurado emite su veredicto no esta seguro deque este sea correcto.
Sus preferencias sobre resultados inciertos se pueden representarutilizando una funcion de utilidad esperada, dada su informacion.
Supongamos que, despues de ver las pruebas, el jurado piensa que
prob (C |informacion recibida) = r
y el juez emite el veredicto final b, entonces su funcion de utilidad es
U = ru(b,C ) + (1− r)u(b, I )
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 51 / 59
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Jurados
Preferencias sobre loterıas
Cuando el miembro del jurado emite su veredicto no esta seguro deque este sea correcto.
Sus preferencias sobre resultados inciertos se pueden representarutilizando una funcion de utilidad esperada, dada su informacion.
Supongamos que, despues de ver las pruebas, el jurado piensa que
prob (C |informacion recibida) = r
y el juez emite el veredicto final b, entonces su funcion de utilidad es
U = ru(b,C ) + (1− r)u(b, I )
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 51 / 59
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Jurados
Interpretacion de z
¿A partir de que valor de r el miembro del jurado prefiere que elacusado sea declarado culpable.
Si es declarado inocente su pago esperado es(1− r) · 0 + r(z − 1) = rz − r
Si es declarado culpable su pago esperado es r · 0− (1− r)z = rz − z
Esta indiferente entre los dos sucesos si rz − r = rz − z . Es decir siz = r .
Por tanto, el jurado prefiere que el acusado sea declarado culpable si
prob (C |r) > z
Si prob (C |r) < z , prefiere que sea declarado inocente.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 52 / 59
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Jurados
Interpretacion de z
¿A partir de que valor de r el miembro del jurado prefiere que elacusado sea declarado culpable.
Si es declarado inocente su pago esperado es(1− r) · 0 + r(z − 1) = rz − r
Si es declarado culpable su pago esperado es r · 0− (1− r)z = rz − z
Esta indiferente entre los dos sucesos si rz − r = rz − z . Es decir siz = r .
Por tanto, el jurado prefiere que el acusado sea declarado culpable si
prob (C |r) > z
Si prob (C |r) < z , prefiere que sea declarado inocente.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 52 / 59
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Jurados
Interpretacion de z
¿A partir de que valor de r el miembro del jurado prefiere que elacusado sea declarado culpable.
Si es declarado inocente su pago esperado es(1− r) · 0 + r(z − 1) = rz − r
Si es declarado culpable su pago esperado es r · 0− (1− r)z = rz − z
Esta indiferente entre los dos sucesos si rz − r = rz − z . Es decir siz = r .
Por tanto, el jurado prefiere que el acusado sea declarado culpable si
prob (C |r) > z
Si prob (C |r) < z , prefiere que sea declarado inocente.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 52 / 59
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Jurados
Interpretacion de z
¿A partir de que valor de r el miembro del jurado prefiere que elacusado sea declarado culpable.
Si es declarado inocente su pago esperado es(1− r) · 0 + r(z − 1) = rz − r
Si es declarado culpable su pago esperado es r · 0− (1− r)z = rz − z
Esta indiferente entre los dos sucesos si rz − r = rz − z . Es decir siz = r .
Por tanto, el jurado prefiere que el acusado sea declarado culpable si
prob (C |r) > z
Si prob (C |r) < z , prefiere que sea declarado inocente.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 52 / 59
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Jurados
Interpretacion de z
¿A partir de que valor de r el miembro del jurado prefiere que elacusado sea declarado culpable.
Si es declarado inocente su pago esperado es(1− r) · 0 + r(z − 1) = rz − r
Si es declarado culpable su pago esperado es r · 0− (1− r)z = rz − z
Esta indiferente entre los dos sucesos si rz − r = rz − z . Es decir siz = r .
Por tanto, el jurado prefiere que el acusado sea declarado culpable si
prob (C |r) > z
Si prob (C |r) < z , prefiere que sea declarado inocente.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 52 / 59
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Jurados
Interpretacion de z
¿A partir de que valor de r el miembro del jurado prefiere que elacusado sea declarado culpable.
Si es declarado inocente su pago esperado es(1− r) · 0 + r(z − 1) = rz − r
Si es declarado culpable su pago esperado es r · 0− (1− r)z = rz − z
Esta indiferente entre los dos sucesos si rz − r = rz − z . Es decir siz = r .
Por tanto, el jurado prefiere que el acusado sea declarado culpable si
prob (C |r) > z
Si prob (C |r) < z , prefiere que sea declarado inocente.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 52 / 59
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Jurados
Interpretacion de z
¿A partir de que valor de r el miembro del jurado prefiere que elacusado sea declarado culpable.
Si es declarado inocente su pago esperado es(1− r) · 0 + r(z − 1) = rz − r
Si es declarado culpable su pago esperado es r · 0− (1− r)z = rz − z
Esta indiferente entre los dos sucesos si rz − r = rz − z . Es decir siz = r .
Por tanto, el jurado prefiere que el acusado sea declarado culpable si
prob (C |r) > z
Si prob (C |r) < z , prefiere que sea declarado inocente.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 52 / 59
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Jurados
Valores de los parametros
Tomamos los parametros
π = 2/3 prob. de que el acusado sea culpable, antes del juicio
z = 4/7 ≈ 0.57
p = 3/4 prob. de que en el juicio un culpable sea declarado culp.
q = 3/4 prob. de que en el juicio un inocente sea declarado inoc.
Es decir, la probabilidad de que el jurado interprete la evidenciacorrectamente es p = q = 3/4.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 53 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Jurado con solo un agente
La informacion del jurado es s = i , c .
El veredicto del juez coincide con el del jurado: b = a.
Las preferencias del agente sobre el veredicto a (dado que suinformacion es s) son
U(a|s) = prob (C |s) u(a,C ) + prob (I |s) u(a, I )
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 54 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Jurado con solo un agente
La informacion del jurado es s = i , c .
El veredicto del juez coincide con el del jurado: b = a.
Las preferencias del agente sobre el veredicto a (dado que suinformacion es s) son
U(a|s) = prob (C |s) u(a,C ) + prob (I |s) u(a, I )
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 54 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Jurado con solo un agente
La informacion del jurado es s = i , c .
El veredicto del juez coincide con el del jurado: b = a.
Las preferencias del agente sobre el veredicto a (dado que suinformacion es s) son
U(a|s) = prob (C |s) u(a,C ) + prob (I |s) u(a, I )
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 54 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Jurado con solo un agente
La informacion del jurado es s = i , c .
El veredicto del juez coincide con el del jurado: b = a.
Las preferencias del agente sobre el veredicto a (dado que suinformacion es s) son
U(a|s) = prob (C |s) u(a,C ) + prob (I |s) u(a, I )
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 54 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Jurado con solo un agente
La informacion del jurado es s = i , c .
El veredicto del juez coincide con el del jurado: b = a.
Las preferencias del agente sobre el veredicto a (dado que suinformacion es s) son
U(a|s) = prob (C |s) u(a,C ) + prob (I |s) u(a, I )
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 54 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
La decision del jurado
w = C
w = I
cp
i1-p c
i q
1-q
ππππ
1 1 1 1 −−−− ππππ
s
s
Si el jurado piensa que el acusado es inocente (s = i), la probabilidadde que este sea culpable es
prob (C |s = i) =(1− p)π
(1− p)π + q(1− π)=
2
5≈ 0.4 (5.2)
Comoprob (C |s = i) = 0.4 < z ≈ 0.57
el jurado lo declara inocente (A = I ) cuando s = i .
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 55 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
La decision del jurado
w = C
w = I
cp
i1-p c
i q
1-q
ππππ
1 1 1 1 −−−− ππππ
s
s
Si el jurado piensa que el acusado es inocente (s = i), la probabilidadde que este sea culpable es
prob (C |s = i) =(1− p)π
(1− p)π + q(1− π)=
2
5≈ 0.4 (5.2)
Comoprob (C |s = i) = 0.4 < z ≈ 0.57
el jurado lo declara inocente (A = I ) cuando s = i .
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 55 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
w = C
w = I
cp
i1-p c
i q
1-q
ππππ
1 1 1 1 −−−− ππππ
s
s
Si el jurado piensa que el acusado es culpable (s = c), la probabilidadde que este sea culpable es
prob (C |s = c) =pπ
pπ + (1− q)(1− π)=
6
7≈ 0.85
Comoprob (C |s = c) ≈ 0.85 > z ≈ 0.57 (5.3)
el jurado lo declara culpable (A = C ) cuando s = c .
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 56 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
w = C
w = I
cp
i1-p c
i q
1-q
ππππ
1 1 1 1 −−−− ππππ
s
s
Si el jurado piensa que el acusado es culpable (s = c), la probabilidadde que este sea culpable es
prob (C |s = c) =pπ
pπ + (1− q)(1− π)=
6
7≈ 0.85
Comoprob (C |s = c) ≈ 0.85 > z ≈ 0.57 (5.3)
el jurado lo declara culpable (A = C ) cuando s = c .
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 56 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Metodo alternativo
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i .
Si el agente 1 eligea1(i) = I , a1(c) = C ,
C I
π 1− πsenal c i c i
probabilidad p 1− p 1− q q
Veredicto C I C I
u(b,C ) 0 z-1 -z 0s1 = i z-1 0
Por tanto, su utilidad esperada U1(b(a1(i))|i) es
U1(b(a1(i))|i) = prob (C |i) u(b(a1(i)),C ) + prob (I |i) u(b(a1(i)), I )
= prob (C |i) u(I ,C ) + prob (I |i) u(I , I )
=π(1− p)(z − 1)
π(1− p) + q(1− π)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 57 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Metodo alternativo
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i . Si el agente 1 eligea1(i) = I , a1(c) = C ,
C I
π 1− πsenal c i c i
probabilidad p 1− p 1− q q
Veredicto C I C I
u(b,C ) 0 z-1 -z 0s1 = i z-1 0
Por tanto, su utilidad esperada U1(b(a1(i))|i) es
U1(b(a1(i))|i) = prob (C |i) u(b(a1(i)),C ) + prob (I |i) u(b(a1(i)), I )
= prob (C |i) u(I ,C ) + prob (I |i) u(I , I )
=π(1− p)(z − 1)
π(1− p) + q(1− π)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 57 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Metodo alternativo
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i . Si el agente 1 eligea1(i) = I , a1(c) = C ,
C I
π 1− πsenal
c i c i
probabilidad p 1− p 1− q q
Veredicto C I C I
u(b,C ) 0 z-1 -z 0s1 = i z-1 0
Por tanto, su utilidad esperada U1(b(a1(i))|i) es
U1(b(a1(i))|i) = prob (C |i) u(b(a1(i)),C ) + prob (I |i) u(b(a1(i)), I )
= prob (C |i) u(I ,C ) + prob (I |i) u(I , I )
=π(1− p)(z − 1)
π(1− p) + q(1− π)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 57 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Metodo alternativo
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i . Si el agente 1 eligea1(i) = I , a1(c) = C ,
C I
π 1− πsenal c i c i
probabilidad
p 1− p 1− q q
Veredicto C I C I
u(b,C ) 0 z-1 -z 0s1 = i z-1 0
Por tanto, su utilidad esperada U1(b(a1(i))|i) es
U1(b(a1(i))|i) = prob (C |i) u(b(a1(i)),C ) + prob (I |i) u(b(a1(i)), I )
= prob (C |i) u(I ,C ) + prob (I |i) u(I , I )
=π(1− p)(z − 1)
π(1− p) + q(1− π)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 57 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Metodo alternativo
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i . Si el agente 1 eligea1(i) = I , a1(c) = C ,
C I
π 1− πsenal c i c i
probabilidad p 1− p 1− q q
Veredicto
C I C I
u(b,C ) 0 z-1 -z 0s1 = i z-1 0
Por tanto, su utilidad esperada U1(b(a1(i))|i) es
U1(b(a1(i))|i) = prob (C |i) u(b(a1(i)),C ) + prob (I |i) u(b(a1(i)), I )
= prob (C |i) u(I ,C ) + prob (I |i) u(I , I )
=π(1− p)(z − 1)
π(1− p) + q(1− π)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 57 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Metodo alternativo
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i . Si el agente 1 eligea1(i) = I , a1(c) = C ,
C I
π 1− πsenal c i c i
probabilidad p 1− p 1− q q
Veredicto C I C I
u(b,C )
0 z-1 -z 0s1 = i z-1 0
Por tanto, su utilidad esperada U1(b(a1(i))|i) es
U1(b(a1(i))|i) = prob (C |i) u(b(a1(i)),C ) + prob (I |i) u(b(a1(i)), I )
= prob (C |i) u(I ,C ) + prob (I |i) u(I , I )
=π(1− p)(z − 1)
π(1− p) + q(1− π)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 57 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Metodo alternativo
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i . Si el agente 1 eligea1(i) = I , a1(c) = C ,
C I
π 1− πsenal c i c i
probabilidad p 1− p 1− q q
Veredicto C I C I
u(b,C ) 0 z-1 -z 0s1 = i
z-1 0
Por tanto, su utilidad esperada U1(b(a1(i))|i) es
U1(b(a1(i))|i) = prob (C |i) u(b(a1(i)),C ) + prob (I |i) u(b(a1(i)), I )
= prob (C |i) u(I ,C ) + prob (I |i) u(I , I )
=π(1− p)(z − 1)
π(1− p) + q(1− π)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 57 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Metodo alternativo
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i . Si el agente 1 eligea1(i) = I , a1(c) = C ,
C I
π 1− πsenal c i c i
probabilidad p 1− p 1− q q
Veredicto C I C I
u(b,C ) 0 z-1 -z 0s1 = i z-1 0
Por tanto, su utilidad esperada U1(b(a1(i))|i) es
U1(b(a1(i))|i) = prob (C |i) u(b(a1(i)),C ) + prob (I |i) u(b(a1(i)), I )
= prob (C |i) u(I ,C ) + prob (I |i) u(I , I )
=π(1− p)(z − 1)
π(1− p) + q(1− π)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 57 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Metodo alternativo
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i . Si el agente 1 eligea1(i) = I , a1(c) = C ,
C I
π 1− πsenal c i c i
probabilidad p 1− p 1− q q
Veredicto C I C I
u(b,C ) 0 z-1 -z 0s1 = i z-1 0
Por tanto, su utilidad esperada U1(b(a1(i))|i) es
U1(b(a1(i))|i) = prob (C |i) u(b(a1(i)),C ) + prob (I |i) u(b(a1(i)), I )
= prob (C |i) u(I ,C ) + prob (I |i) u(I , I )
=π(1− p)(z − 1)
π(1− p) + q(1− π)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 57 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Metodo alternativo
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i . Si el agente 1 eligea1(i) = I , a1(c) = C ,
C I
π 1− πsenal c i c i
probabilidad p 1− p 1− q q
Veredicto C I C I
u(b,C ) 0 z-1 -z 0s1 = i z-1 0
Por tanto, su utilidad esperada U1(b(a1(i))|i) es
U1(b(a1(i))|i) = prob (C |i) u(b(a1(i)),C ) + prob (I |i) u(b(a1(i)), I )
= prob (C |i) u(I ,C ) + prob (I |i) u(I , I )
=π(1− p)(z − 1)
π(1− p) + q(1− π)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 57 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Supongamos ahora que el jurado 1 es de tipo s1 = i .
Si el agente 1elige a1(i) = C , a1(c) = C
C Iπ 1− π
senal c i c i
probabilidad p 1− p 1− q q
Veredicto C C C C
u(b(a1(i)),C ) 0 0 -z -zs1 = i 0 -z
Por tanto, su utilidad esperada U1(C |i) es
U1(b(a1(i))|i) = prob (C |i) u(b(a1(i)),C ) + prob (I |i) u(b(a1(i)), I )
= prob (C |i) u(C ,C ) + prob (I |i) u(C , I )
=−(1− π)qz
π(1− p) + q(1− π)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 58 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Supongamos ahora que el jurado 1 es de tipo s1 = i . Si el agente 1elige a1(i) = C , a1(c) = C
C Iπ 1− π
senal
c i c i
probabilidad p 1− p 1− q q
Veredicto C C C C
u(b(a1(i)),C ) 0 0 -z -zs1 = i 0 -z
Por tanto, su utilidad esperada U1(C |i) es
U1(b(a1(i))|i) = prob (C |i) u(b(a1(i)),C ) + prob (I |i) u(b(a1(i)), I )
= prob (C |i) u(C ,C ) + prob (I |i) u(C , I )
=−(1− π)qz
π(1− p) + q(1− π)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 58 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Supongamos ahora que el jurado 1 es de tipo s1 = i . Si el agente 1elige a1(i) = C , a1(c) = C
C Iπ 1− π
senal c i c i
probabilidad
p 1− p 1− q q
Veredicto C C C C
u(b(a1(i)),C ) 0 0 -z -zs1 = i 0 -z
Por tanto, su utilidad esperada U1(C |i) es
U1(b(a1(i))|i) = prob (C |i) u(b(a1(i)),C ) + prob (I |i) u(b(a1(i)), I )
= prob (C |i) u(C ,C ) + prob (I |i) u(C , I )
=−(1− π)qz
π(1− p) + q(1− π)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 58 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Supongamos ahora que el jurado 1 es de tipo s1 = i . Si el agente 1elige a1(i) = C , a1(c) = C
C Iπ 1− π
senal c i c i
probabilidad p 1− p 1− q q
Veredicto C C C C
u(b(a1(i)),C )
0 0 -z -zs1 = i 0 -z
Por tanto, su utilidad esperada U1(C |i) es
U1(b(a1(i))|i) = prob (C |i) u(b(a1(i)),C ) + prob (I |i) u(b(a1(i)), I )
= prob (C |i) u(C ,C ) + prob (I |i) u(C , I )
=−(1− π)qz
π(1− p) + q(1− π)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 58 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Supongamos ahora que el jurado 1 es de tipo s1 = i . Si el agente 1elige a1(i) = C , a1(c) = C
C Iπ 1− π
senal c i c i
probabilidad p 1− p 1− q q
Veredicto C C C C
u(b(a1(i)),C ) 0 0 -z -zs1 = i
0 -z
Por tanto, su utilidad esperada U1(C |i) es
U1(b(a1(i))|i) = prob (C |i) u(b(a1(i)),C ) + prob (I |i) u(b(a1(i)), I )
= prob (C |i) u(C ,C ) + prob (I |i) u(C , I )
=−(1− π)qz
π(1− p) + q(1− π)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 58 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Supongamos ahora que el jurado 1 es de tipo s1 = i . Si el agente 1elige a1(i) = C , a1(c) = C
C Iπ 1− π
senal c i c i
probabilidad p 1− p 1− q q
Veredicto C C C C
u(b(a1(i)),C ) 0 0 -z -zs1 = i 0 -z
Por tanto, su utilidad esperada U1(C |i) es
U1(b(a1(i))|i) = prob (C |i) u(b(a1(i)),C ) + prob (I |i) u(b(a1(i)), I )
= prob (C |i) u(C ,C ) + prob (I |i) u(C , I )
=−(1− π)qz
π(1− p) + q(1− π)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 58 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Supongamos ahora que el jurado 1 es de tipo s1 = i . Si el agente 1elige a1(i) = C , a1(c) = C
C Iπ 1− π
senal c i c i
probabilidad p 1− p 1− q q
Veredicto C C C C
u(b(a1(i)),C ) 0 0 -z -zs1 = i 0 -z
Por tanto, su utilidad esperada U1(C |i) es
U1(b(a1(i))|i) = prob (C |i) u(b(a1(i)),C ) + prob (I |i) u(b(a1(i)), I )
= prob (C |i) u(C ,C ) + prob (I |i) u(C , I )
=−(1− π)qz
π(1− p) + q(1− π)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 58 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Supongamos ahora que el jurado 1 es de tipo s1 = i . Si el agente 1elige a1(i) = C , a1(c) = C
C Iπ 1− π
senal c i c i
probabilidad p 1− p 1− q q
Veredicto C C C C
u(b(a1(i)),C ) 0 0 -z -zs1 = i 0 -z
Por tanto, su utilidad esperada U1(C |i) es
U1(b(a1(i))|i) = prob (C |i) u(b(a1(i)),C ) + prob (I |i) u(b(a1(i)), I )
= prob (C |i) u(C ,C ) + prob (I |i) u(C , I )
=−(1− π)qz
π(1− p) + q(1− π)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 58 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Por tanto, un jurado que piensa que el acusado es inocente (s = i) lodeclara culpable si π(1− p)(z − 1) < −(1− π)qz
que ocurre cuando
pπ
pπ + (1− q)(1− π)> z
e inocente en caso contrario.
Este expresion coincide con la obtenida en la ecuacion 5.2.
Un razonamiento analogo nos permite ver que con cualquier otradesviacion el agente obtiene una utilidad esperada menor si se verificala desigualdad 5.3. (Ejercicio.)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 59 / 59
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Jurados Jurado con solo un agente
Conclusion
La estrategia a1(i) = I , a1(c) = C es la mejor estrategia para eljurado.
Con esta estrategia, la probabilidad de que un agente que realmentees inocente, sea declarado inocente es q = 3/4.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 60 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Jurado con dos agentes
Supongamos que ahora el jurado se compone de dos agentes.
¿Aumentan o disminuyen las garantıas procesales de una personainocente?
Recordemos que, para que el acusado sea declarado culpable por eljuez, es necesario que haya unanimidad entre los jueces.
b(a1, a2) =
{C , si a1 = a2 = C ;I , si a1 = I o a2 = I .
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 61 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Jurado con dos agentes
Supongamos que ahora el jurado se compone de dos agentes.
¿Aumentan o disminuyen las garantıas procesales de una personainocente?
Recordemos que, para que el acusado sea declarado culpable por eljuez, es necesario que haya unanimidad entre los jueces.
b(a1, a2) =
{C , si a1 = a2 = C ;I , si a1 = I o a2 = I .
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 61 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Jurado con dos agentes
Supongamos que ahora el jurado se compone de dos agentes.
¿Aumentan o disminuyen las garantıas procesales de una personainocente?
Recordemos que, para que el acusado sea declarado culpable por eljuez, es necesario que haya unanimidad entre los jueces.
b(a1, a2) =
{C , si a1 = a2 = C ;I , si a1 = I o a2 = I .
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 61 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Jurado con dos agentes
Supongamos que ahora el jurado se compone de dos agentes.
¿Aumentan o disminuyen las garantıas procesales de una personainocente?
Recordemos que, para que el acusado sea declarado culpable por eljuez, es necesario que haya unanimidad entre los jueces.
b(a1, a2) =
{C , si a1 = a2 = C ;I , si a1 = I o a2 = I .
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 61 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
w = C
w = I
cp
i1-p c
i q
1-q
ππππ
1 1 1 1 −−−− ππππ
ak = C, I
sk
sk
b = C, I
Suponemos que las probabilidades de llegar a la conclusion de que elacusado es culpable o inocente:
I son las mismas para los dos miembros del jurado: p1 = p2 = p,q1 = q2 = q.
I Las variables aleatorias que determinan las probabilidades anterioresson independientes entre sı.
I 1/2 < p < 1, 1/2 < q < 1.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 62 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
w = C
w = I
cp
i1-p c
i q
1-q
ππππ
1 1 1 1 −−−− ππππ
ak = C, I
sk
sk
b = C, I
Suponemos que las probabilidades de llegar a la conclusion de que elacusado es culpable o inocente:
I son las mismas para los dos miembros del jurado: p1 = p2 = p,q1 = q2 = q.
I Las variables aleatorias que determinan las probabilidades anterioresson independientes entre sı.
I 1/2 < p < 1, 1/2 < q < 1.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 62 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
w = C
w = I
cp
i1-p c
i q
1-q
ππππ
1 1 1 1 −−−− ππππ
ak = C, I
sk
sk
b = C, I
Suponemos que las probabilidades de llegar a la conclusion de que elacusado es culpable o inocente:
I son las mismas para los dos miembros del jurado: p1 = p2 = p,q1 = q2 = q.
I Las variables aleatorias que determinan las probabilidades anterioresson independientes entre sı.
I 1/2 < p < 1, 1/2 < q < 1.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 62 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
w = C
w = I
cp
i1-p c
i q
1-q
ππππ
1 1 1 1 −−−− ππππ
ak = C, I
sk
sk
b = C, I
Suponemos que las probabilidades de llegar a la conclusion de que elacusado es culpable o inocente:
I son las mismas para los dos miembros del jurado: p1 = p2 = p,q1 = q2 = q.
I Las variables aleatorias que determinan las probabilidades anterioresson independientes entre sı.
I 1/2 < p < 1, 1/2 < q < 1.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 62 / 59
![Page 213: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/213.jpg)
Jurados Jurado con dos agentes
Como cada agente no sabe lo que piensa el otro, podemos estudiar lasituacion como un juego Bayesiano.
Los tipos de los agentes son S1 = S2 = {c , i}.El conjunto de acciones para los agentes es A1 = A2 = {C , I}.Denotamos la accion del agente k = 1, 2 por ak . La estrategia delagente k = 1, 2 es una funcion ak : Sk → Ak . (Cada agente emite elveredicto basandose en su informacion)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 63 / 59
![Page 214: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/214.jpg)
Jurados Jurado con dos agentes
w = C
w = I
cp
i1-p c
i q
1-q
ππππ
1 1 1 1 −−−− ππππ
s
s
Conjeturas: Para cualquier agente
prob (sj |si ,w)i = prob (sj |w)i
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 64 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Funciones de utilidad
Sobre sucesos seguros: Si el verdadero estado del acusado esw ∈ {C , I} y los jurados emiten el veredicto (a1, a2), entonces el juezdictamina b(a1, a2) y la utilidad de los agentes sobre este suceso esu (b(a1, a2),w).
Con incertidumbre: Si la opinion del agente k = 1, 2 es sk y losagentes siguen las estrategias ak : Sk → Ak , la utilidad esperada delagente k es
Uk(ak , a2|sk) =
prob (C , (i , i)|sk) u(b(a1(i), a2(i)),C
)+ prob (C , (i , c)|sk) u
(b(a1(i), a2(c)),C
)+prob (C , (c , i)|sk) u
(b(a1(c), a2(i)),C
)+ prob (c , c,C |sk) u
(b(a1(c), a2(c)),C
)+prob (I , (i , i)|sk) u
(b(a1(i), a2(i)), I
)+ prob (I , (i , c)|sk) u
(b(a1(i), a2(c)), I
)+prob (I , (c , i)|sk) u
(b(a1(c), a2(i)), I
)+ prob (I , (c , c)|sk) u
(b(a1(c), a2(c)), I
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 65 / 59
![Page 216: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/216.jpg)
Jurados Jurado con dos agentes
Funciones de utilidad
Sobre sucesos seguros: Si el verdadero estado del acusado esw ∈ {C , I} y los jurados emiten el veredicto (a1, a2), entonces el juezdictamina b(a1, a2) y la utilidad de los agentes sobre este suceso esu (b(a1, a2),w).
Con incertidumbre: Si la opinion del agente k = 1, 2 es sk y losagentes siguen las estrategias ak : Sk → Ak , la utilidad esperada delagente k es
Uk(ak , a2|sk) =
prob (C , (i , i)|sk) u(b(a1(i), a2(i)),C
)+ prob (C , (i , c)|sk) u
(b(a1(i), a2(c)),C
)+prob (C , (c , i)|sk) u
(b(a1(c), a2(i)),C
)+ prob (c , c,C |sk) u
(b(a1(c), a2(c)),C
)+prob (I , (i , i)|sk) u
(b(a1(i), a2(i)), I
)+ prob (I , (i , c)|sk) u
(b(a1(i), a2(c)), I
)+prob (I , (c , i)|sk) u
(b(a1(c), a2(i)), I
)+ prob (I , (c , c)|sk) u
(b(a1(c), a2(c)), I
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 65 / 59
![Page 217: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/217.jpg)
Jurados Jurado con dos agentes
Funciones de utilidad
Sobre sucesos seguros: Si el verdadero estado del acusado esw ∈ {C , I} y los jurados emiten el veredicto (a1, a2), entonces el juezdictamina b(a1, a2) y la utilidad de los agentes sobre este suceso esu (b(a1, a2),w).
Con incertidumbre: Si la opinion del agente k = 1, 2 es sk y losagentes siguen las estrategias ak : Sk → Ak , la utilidad esperada delagente k es
Uk(ak , a2|sk) =
prob (C , (i , i)|sk) u(b(a1(i), a2(i)),C
)+ prob (C , (i , c)|sk) u
(b(a1(i), a2(c)),C
)+prob (C , (c , i)|sk) u
(b(a1(c), a2(i)),C
)+ prob (c , c,C |sk) u
(b(a1(c), a2(c)),C
)+prob (I , (i , i)|sk) u
(b(a1(i), a2(i)), I
)+ prob (I , (i , c)|sk) u
(b(a1(i), a2(c)), I
)+prob (I , (c , i)|sk) u
(b(a1(c), a2(i)), I
)+ prob (I , (c , c)|sk) u
(b(a1(c), a2(c)), I
)(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 65 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Vamos a estudiar si existe un equilibrio en el que cada agente elige laestrategia ak(i) = I , ak(c) = C .
Tenemos que comparar la utilidad esperada de, por ejemplo elagente 1, con la estrategia anterior con la utilidad esperada cuando elagente 1 utiliza cualquier otra estrategia.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 66 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Vamos a estudiar si existe un equilibrio en el que cada agente elige laestrategia ak(i) = I , ak(c) = C .
Tenemos que comparar la utilidad esperada de, por ejemplo elagente 1, con la estrategia anterior con la utilidad esperada cuando elagente 1 utiliza cualquier otra estrategia.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 66 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i , el jurado 2 sigue laestrategia a2(i) = I , a2(c) = C y el agente 1 elige a1(i) = I ,a1(c) = C . Para calcular la utilidad esperada U1(a1, a2|i), utilizamosla regla de Bayes a partir de la tabla siguiente.
C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 I I C C I I C C
2 I C I C I C I C
jurado II IC CI CC II IC CI CC
juez I I I C I I I C
ut. z-1 z-1 z-1 0 0 0 0 -zs1 = i z-1 z-1 0 0
Por tanto, su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 67 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i , el jurado 2 sigue laestrategia a2(i) = I , a2(c) = C y el agente 1 elige a1(i) = I ,a1(c) = C . Para calcular la utilidad esperada U1(a1, a2|i), utilizamosla regla de Bayes a partir de la tabla siguiente.
C Iπ 1− π
sen.
ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 I I C C I I C C
2 I C I C I C I C
jurado II IC CI CC II IC CI CC
juez I I I C I I I C
ut. z-1 z-1 z-1 0 0 0 0 -zs1 = i z-1 z-1 0 0
Por tanto, su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 67 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i , el jurado 2 sigue laestrategia a2(i) = I , a2(c) = C y el agente 1 elige a1(i) = I ,a1(c) = C . Para calcular la utilidad esperada U1(a1, a2|i), utilizamosla regla de Bayes a partir de la tabla siguiente.
C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob.
(1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 I I C C I I C C
2 I C I C I C I C
jurado II IC CI CC II IC CI CC
juez I I I C I I I C
ut. z-1 z-1 z-1 0 0 0 0 -zs1 = i z-1 z-1 0 0
Por tanto, su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 67 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i , el jurado 2 sigue laestrategia a2(i) = I , a2(c) = C y el agente 1 elige a1(i) = I ,a1(c) = C . Para calcular la utilidad esperada U1(a1, a2|i), utilizamosla regla de Bayes a partir de la tabla siguiente.
C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1
I I C C I I C C
2 I C I C I C I C
jurado II IC CI CC II IC CI CC
juez I I I C I I I C
ut. z-1 z-1 z-1 0 0 0 0 -zs1 = i z-1 z-1 0 0
Por tanto, su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 67 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i , el jurado 2 sigue laestrategia a2(i) = I , a2(c) = C y el agente 1 elige a1(i) = I ,a1(c) = C . Para calcular la utilidad esperada U1(a1, a2|i), utilizamosla regla de Bayes a partir de la tabla siguiente.
C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 I I C C I I C C
2
I C I C I C I C
jurado II IC CI CC II IC CI CC
juez I I I C I I I C
ut. z-1 z-1 z-1 0 0 0 0 -zs1 = i z-1 z-1 0 0
Por tanto, su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 67 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i , el jurado 2 sigue laestrategia a2(i) = I , a2(c) = C y el agente 1 elige a1(i) = I ,a1(c) = C . Para calcular la utilidad esperada U1(a1, a2|i), utilizamosla regla de Bayes a partir de la tabla siguiente.
C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 I I C C I I C C
2 I C I C I C I C
jurado
II IC CI CC II IC CI CC
juez I I I C I I I C
ut. z-1 z-1 z-1 0 0 0 0 -zs1 = i z-1 z-1 0 0
Por tanto, su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 67 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i , el jurado 2 sigue laestrategia a2(i) = I , a2(c) = C y el agente 1 elige a1(i) = I ,a1(c) = C . Para calcular la utilidad esperada U1(a1, a2|i), utilizamosla regla de Bayes a partir de la tabla siguiente.
C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 I I C C I I C C
2 I C I C I C I C
jurado II IC CI CC II IC CI CC
juez
I I I C I I I C
ut. z-1 z-1 z-1 0 0 0 0 -zs1 = i z-1 z-1 0 0
Por tanto, su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 67 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i , el jurado 2 sigue laestrategia a2(i) = I , a2(c) = C y el agente 1 elige a1(i) = I ,a1(c) = C . Para calcular la utilidad esperada U1(a1, a2|i), utilizamosla regla de Bayes a partir de la tabla siguiente.
C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 I I C C I I C C
2 I C I C I C I C
jurado II IC CI CC II IC CI CC
juez I I I C I I I C
ut.
z-1 z-1 z-1 0 0 0 0 -zs1 = i z-1 z-1 0 0
Por tanto, su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 67 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i , el jurado 2 sigue laestrategia a2(i) = I , a2(c) = C y el agente 1 elige a1(i) = I ,a1(c) = C . Para calcular la utilidad esperada U1(a1, a2|i), utilizamosla regla de Bayes a partir de la tabla siguiente.
C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 I I C C I I C C
2 I C I C I C I C
jurado II IC CI CC II IC CI CC
juez I I I C I I I C
ut. z-1 z-1 z-1 0 0 0 0 -zs1 = i
z-1 z-1 0 0
Por tanto, su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 67 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i , el jurado 2 sigue laestrategia a2(i) = I , a2(c) = C y el agente 1 elige a1(i) = I ,a1(c) = C . Para calcular la utilidad esperada U1(a1, a2|i), utilizamosla regla de Bayes a partir de la tabla siguiente.
C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 I I C C I I C C
2 I C I C I C I C
jurado II IC CI CC II IC CI CC
juez I I I C I I I C
ut. z-1 z-1 z-1 0 0 0 0 -zs1 = i z-1 z-1 0 0
Por tanto, su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 67 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i , el jurado 2 sigue laestrategia a2(i) = I , a2(c) = C y el agente 1 elige a1(i) = I ,a1(c) = C . Para calcular la utilidad esperada U1(a1, a2|i), utilizamosla regla de Bayes a partir de la tabla siguiente.
C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 I I C C I I C C
2 I C I C I C I C
jurado II IC CI CC II IC CI CC
juez I I I C I I I C
ut. z-1 z-1 z-1 0 0 0 0 -zs1 = i z-1 z-1 0 0
Por tanto, su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 67 / 59
![Page 231: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/231.jpg)
Jurados Jurado con dos agentes
Metodo 1:
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i , el jurado 2 sigue laestrategia a2(i) = I , a2(c) = C y el agente 1 se desvıa del equilibrio yelige a1(i) = C , a1(c) = C . Para calcular la utilidad esperadaU1(a1, a2|i), utilizamos la regla de Bayes a partir de la tabla siguiente.
C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 C C C C C C C C
2 I C I C I C I C
jurado CI CC CI CC CI CC CI CC
juez I C I C I C I C
ut. z-1 0 z-1 0 0 -z 0 -zs1 = i z-1 0 0 -z
Por tanto, su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− p)2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 68 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Metodo 1:
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i , el jurado 2 sigue laestrategia a2(i) = I , a2(c) = C y el agente 1 se desvıa del equilibrio yelige a1(i) = C , a1(c) = C . Para calcular la utilidad esperadaU1(a1, a2|i), utilizamos la regla de Bayes a partir de la tabla siguiente.
C Iπ 1− π
sen.
ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 C C C C C C C C
2 I C I C I C I C
jurado CI CC CI CC CI CC CI CC
juez I C I C I C I C
ut. z-1 0 z-1 0 0 -z 0 -zs1 = i z-1 0 0 -z
Por tanto, su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− p)2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 68 / 59
![Page 233: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/233.jpg)
Jurados Jurado con dos agentes
Metodo 1:
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i , el jurado 2 sigue laestrategia a2(i) = I , a2(c) = C y el agente 1 se desvıa del equilibrio yelige a1(i) = C , a1(c) = C . Para calcular la utilidad esperadaU1(a1, a2|i), utilizamos la regla de Bayes a partir de la tabla siguiente.
C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob.
(1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 C C C C C C C C
2 I C I C I C I C
jurado CI CC CI CC CI CC CI CC
juez I C I C I C I C
ut. z-1 0 z-1 0 0 -z 0 -zs1 = i z-1 0 0 -z
Por tanto, su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− p)2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 68 / 59
![Page 234: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/234.jpg)
Jurados Jurado con dos agentes
Metodo 1:
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i , el jurado 2 sigue laestrategia a2(i) = I , a2(c) = C y el agente 1 se desvıa del equilibrio yelige a1(i) = C , a1(c) = C . Para calcular la utilidad esperadaU1(a1, a2|i), utilizamos la regla de Bayes a partir de la tabla siguiente.
C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1
C C C C C C C C
2 I C I C I C I C
jurado CI CC CI CC CI CC CI CC
juez I C I C I C I C
ut. z-1 0 z-1 0 0 -z 0 -zs1 = i z-1 0 0 -z
Por tanto, su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− p)2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 68 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Metodo 1:
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i , el jurado 2 sigue laestrategia a2(i) = I , a2(c) = C y el agente 1 se desvıa del equilibrio yelige a1(i) = C , a1(c) = C . Para calcular la utilidad esperadaU1(a1, a2|i), utilizamos la regla de Bayes a partir de la tabla siguiente.
C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 C C C C C C C C
2
I C I C I C I C
jurado CI CC CI CC CI CC CI CC
juez I C I C I C I C
ut. z-1 0 z-1 0 0 -z 0 -zs1 = i z-1 0 0 -z
Por tanto, su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− p)2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
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Jurados Jurado con dos agentes
Metodo 1:
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i , el jurado 2 sigue laestrategia a2(i) = I , a2(c) = C y el agente 1 se desvıa del equilibrio yelige a1(i) = C , a1(c) = C . Para calcular la utilidad esperadaU1(a1, a2|i), utilizamos la regla de Bayes a partir de la tabla siguiente.
C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 C C C C C C C C
2 I C I C I C I C
jurado
CI CC CI CC CI CC CI CC
juez I C I C I C I C
ut. z-1 0 z-1 0 0 -z 0 -zs1 = i z-1 0 0 -z
Por tanto, su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− p)2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
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Jurados Jurado con dos agentes
Metodo 1:
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i , el jurado 2 sigue laestrategia a2(i) = I , a2(c) = C y el agente 1 se desvıa del equilibrio yelige a1(i) = C , a1(c) = C . Para calcular la utilidad esperadaU1(a1, a2|i), utilizamos la regla de Bayes a partir de la tabla siguiente.
C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 C C C C C C C C
2 I C I C I C I C
jurado CI CC CI CC CI CC CI CC
juez
I C I C I C I C
ut. z-1 0 z-1 0 0 -z 0 -zs1 = i z-1 0 0 -z
Por tanto, su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− p)2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
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Jurados Jurado con dos agentes
Metodo 1:
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i , el jurado 2 sigue laestrategia a2(i) = I , a2(c) = C y el agente 1 se desvıa del equilibrio yelige a1(i) = C , a1(c) = C . Para calcular la utilidad esperadaU1(a1, a2|i), utilizamos la regla de Bayes a partir de la tabla siguiente.
C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 C C C C C C C C
2 I C I C I C I C
jurado CI CC CI CC CI CC CI CC
juez I C I C I C I C
ut.
z-1 0 z-1 0 0 -z 0 -zs1 = i z-1 0 0 -z
Por tanto, su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− p)2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
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Jurados Jurado con dos agentes
Metodo 1:
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i , el jurado 2 sigue laestrategia a2(i) = I , a2(c) = C y el agente 1 se desvıa del equilibrio yelige a1(i) = C , a1(c) = C . Para calcular la utilidad esperadaU1(a1, a2|i), utilizamos la regla de Bayes a partir de la tabla siguiente.
C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 C C C C C C C C
2 I C I C I C I C
jurado CI CC CI CC CI CC CI CC
juez I C I C I C I C
ut. z-1 0 z-1 0 0 -z 0 -zs1 = i
z-1 0 0 -z
Por tanto, su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− p)2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
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Jurados Jurado con dos agentes
Metodo 1:
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i , el jurado 2 sigue laestrategia a2(i) = I , a2(c) = C y el agente 1 se desvıa del equilibrio yelige a1(i) = C , a1(c) = C . Para calcular la utilidad esperadaU1(a1, a2|i), utilizamos la regla de Bayes a partir de la tabla siguiente.
C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 C C C C C C C C
2 I C I C I C I C
jurado CI CC CI CC CI CC CI CC
juez I C I C I C I C
ut. z-1 0 z-1 0 0 -z 0 -zs1 = i z-1 0 0 -z
Por tanto, su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− p)2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
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Jurados Jurado con dos agentes
Metodo 1:
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i , el jurado 2 sigue laestrategia a2(i) = I , a2(c) = C y el agente 1 se desvıa del equilibrio yelige a1(i) = C , a1(c) = C . Para calcular la utilidad esperadaU1(a1, a2|i), utilizamos la regla de Bayes a partir de la tabla siguiente.
C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 C C C C C C C C
2 I C I C I C I C
jurado CI CC CI CC CI CC CI CC
juez I C I C I C I C
ut. z-1 0 z-1 0 0 -z 0 -zs1 = i z-1 0 0 -z
Por tanto, su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− p)2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
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Jurados Jurado con dos agentes
Para que la estrategia ai (i) = I , ai (c) = C sea un equilibrio esnecesario que
π(z − 1)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p) ≥π(z − 1)(1− p)2 − z(1− π)q(1− q)
o lo que es lo mismo
z ≥ p(1− p)π
p(1− p)π + q(1− q)((1− π)=
2
3≈ 0.66
pero como z ≈ 0.57 esto no se verifica.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 69 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Por tanto, la estrategia (a1, a2) no puede ser un EN, ya que elagente 1 obtendrıa un pago mayor desviandose a la estrategia a1
(votarıa culpable aun cuando piensa que el acusado es inocente). Nohay un EB en el que cada agente elige la estrategia ak(i) = I ,ak(c) = C .
Esto ocurre porque, aunque el jurado 1 piensa que es inocente, sabeque su voto solo influira en la decision de declararlo culpable cuandoel otro agente piensa que es culpable y en ese caso debe usar la reglade Bayes para actualizar su opinion. Si el jurado 2 piensa que elacusado es culpable, el agente 1 debe rebajar la probabilidad que suopinion sea correcta.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 70 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Por tanto, la estrategia (a1, a2) no puede ser un EN, ya que elagente 1 obtendrıa un pago mayor desviandose a la estrategia a1
(votarıa culpable aun cuando piensa que el acusado es inocente). Nohay un EB en el que cada agente elige la estrategia ak(i) = I ,ak(c) = C .
Esto ocurre porque, aunque el jurado 1 piensa que es inocente, sabeque su voto solo influira en la decision de declararlo culpable cuandoel otro agente piensa que es culpable y en ese caso debe usar la reglade Bayes para actualizar su opinion. Si el jurado 2 piensa que elacusado es culpable, el agente 1 debe rebajar la probabilidad que suopinion sea correcta.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 70 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
EB en estrategias mixtas
Veamos ahora que existe un EB en estrategias mixtas en el que
a1(c) = a2(c) = C
a1(i) = a2(i) = β ⊗ C + (1− β)⊗ I = (β, 1− β)
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i y el jurado 2 sigue laestrategia de equilibrio.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 71 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
EB en estrategias mixtas
Veamos ahora que existe un EB en estrategias mixtas en el que
a1(c) = a2(c) = C
a1(i) = a2(i) = β ⊗ C + (1− β)⊗ I = (β, 1− β)
Supongamos que el jurado 1 es de tipo s1 = i y el jurado 2 sigue laestrategia de equilibrio.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 71 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Si el agente 1 elige a1(i) = I , a1(c) = C ,
C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 I I C C I I C C2 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1
C I C C I C C I C C I Cver. IC II IC CC CI CC IC II IC CC CI CCfinal I I I C I C I I I C I C
u(a, C) z-1 z-1 z-1 0 z-1 0 0 0 0 -z 0 -zs1 = i z-1 z-1 z-1 0 0 0
su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)β(1− p)2 + π(z − 1)(1− β)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
) =
π(z − 1)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 72 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Si el agente 1 elige a1(i) = I , a1(c) = C ,C Iπ 1− π
sen.
ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 I I C C I I C C2 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1
C I C C I C C I C C I Cver. IC II IC CC CI CC IC II IC CC CI CCfinal I I I C I C I I I C I C
u(a, C) z-1 z-1 z-1 0 z-1 0 0 0 0 -z 0 -zs1 = i z-1 z-1 z-1 0 0 0
su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)β(1− p)2 + π(z − 1)(1− β)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
) =
π(z − 1)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 72 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Si el agente 1 elige a1(i) = I , a1(c) = C ,C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob.
(1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 I I C C I I C C2 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1
C I C C I C C I C C I Cver. IC II IC CC CI CC IC II IC CC CI CCfinal I I I C I C I I I C I C
u(a, C) z-1 z-1 z-1 0 z-1 0 0 0 0 -z 0 -zs1 = i z-1 z-1 z-1 0 0 0
su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)β(1− p)2 + π(z − 1)(1− β)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
) =
π(z − 1)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 72 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Si el agente 1 elige a1(i) = I , a1(c) = C ,C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1
I I C C I I C C2 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1
C I C C I C C I C C I Cver. IC II IC CC CI CC IC II IC CC CI CCfinal I I I C I C I I I C I C
u(a, C) z-1 z-1 z-1 0 z-1 0 0 0 0 -z 0 -zs1 = i z-1 z-1 z-1 0 0 0
su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)β(1− p)2 + π(z − 1)(1− β)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
) =
π(z − 1)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 72 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Si el agente 1 elige a1(i) = I , a1(c) = C ,C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 I I C C I I C C2
β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1C I C C I C C I C C I C
ver. IC II IC CC CI CC IC II IC CC CI CCfinal I I I C I C I I I C I C
u(a, C) z-1 z-1 z-1 0 z-1 0 0 0 0 -z 0 -zs1 = i z-1 z-1 z-1 0 0 0
su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)β(1− p)2 + π(z − 1)(1− β)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
) =
π(z − 1)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 72 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Si el agente 1 elige a1(i) = I , a1(c) = C ,C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 I I C C I I C C2 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1
C I C C I C C I C C I Cver.
IC II IC CC CI CC IC II IC CC CI CCfinal I I I C I C I I I C I C
u(a, C) z-1 z-1 z-1 0 z-1 0 0 0 0 -z 0 -zs1 = i z-1 z-1 z-1 0 0 0
su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)β(1− p)2 + π(z − 1)(1− β)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
) =
π(z − 1)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 72 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Si el agente 1 elige a1(i) = I , a1(c) = C ,C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 I I C C I I C C2 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1
C I C C I C C I C C I Cver. IC II IC CC CI CC IC II IC CC CI CCfinal
I I I C I C I I I C I Cu(a, C) z-1 z-1 z-1 0 z-1 0 0 0 0 -z 0 -zs1 = i z-1 z-1 z-1 0 0 0
su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)β(1− p)2 + π(z − 1)(1− β)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
) =
π(z − 1)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 72 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Si el agente 1 elige a1(i) = I , a1(c) = C ,C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 I I C C I I C C2 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1
C I C C I C C I C C I Cver. IC II IC CC CI CC IC II IC CC CI CCfinal I I I C I C I I I C I C
u(a, C)
z-1 z-1 z-1 0 z-1 0 0 0 0 -z 0 -zs1 = i z-1 z-1 z-1 0 0 0
su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)β(1− p)2 + π(z − 1)(1− β)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
) =
π(z − 1)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 72 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Si el agente 1 elige a1(i) = I , a1(c) = C ,C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 I I C C I I C C2 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1
C I C C I C C I C C I Cver. IC II IC CC CI CC IC II IC CC CI CCfinal I I I C I C I I I C I C
u(a, C) z-1 z-1 z-1 0 z-1 0 0 0 0 -z 0 -zs1 = i
z-1 z-1 z-1 0 0 0
su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)β(1− p)2 + π(z − 1)(1− β)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
) =
π(z − 1)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 72 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Si el agente 1 elige a1(i) = I , a1(c) = C ,C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 I I C C I I C C2 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1
C I C C I C C I C C I Cver. IC II IC CC CI CC IC II IC CC CI CCfinal I I I C I C I I I C I C
u(a, C) z-1 z-1 z-1 0 z-1 0 0 0 0 -z 0 -zs1 = i z-1 z-1 z-1 0 0 0
su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)β(1− p)2 + π(z − 1)(1− β)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
) =
π(z − 1)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 72 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Si el agente 1 elige a1(i) = I , a1(c) = C ,C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 I I C C I I C C2 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1
C I C C I C C I C C I Cver. IC II IC CC CI CC IC II IC CC CI CCfinal I I I C I C I I I C I C
u(a, C) z-1 z-1 z-1 0 z-1 0 0 0 0 -z 0 -zs1 = i z-1 z-1 z-1 0 0 0
su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)β(1− p)2 + π(z − 1)(1− β)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
) =
π(z − 1)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 72 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Si el agente 1 elige a1(i) = C , a1(c) = C ,C Iπ 1− π
sen.
ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 C C C C C C C C2 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1
C I C C I C C I C C I Cver. CC CI CC CC CI CC CC CI CC CC CI CCfinal C I C C I C C I C C I C
u(a, C) 0 z-1 0 0 z-1 0 -z 0 -z -z 0 -zs1 = i 0 z-1 0 -z 0 -z
su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− β)(1− p)2 − z(1− π)βq2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
) =
π(z − 1)(1− p)2 − πβ(z − 1)(1− p)2 − z(1− π)βq2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 73 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Si el agente 1 elige a1(i) = C , a1(c) = C ,C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob.
(1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 C C C C C C C C2 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1
C I C C I C C I C C I Cver. CC CI CC CC CI CC CC CI CC CC CI CCfinal C I C C I C C I C C I C
u(a, C) 0 z-1 0 0 z-1 0 -z 0 -z -z 0 -zs1 = i 0 z-1 0 -z 0 -z
su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− β)(1− p)2 − z(1− π)βq2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
) =
π(z − 1)(1− p)2 − πβ(z − 1)(1− p)2 − z(1− π)βq2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 73 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Si el agente 1 elige a1(i) = C , a1(c) = C ,C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1
C C C C C C C C2 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1
C I C C I C C I C C I Cver. CC CI CC CC CI CC CC CI CC CC CI CCfinal C I C C I C C I C C I C
u(a, C) 0 z-1 0 0 z-1 0 -z 0 -z -z 0 -zs1 = i 0 z-1 0 -z 0 -z
su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− β)(1− p)2 − z(1− π)βq2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
) =
π(z − 1)(1− p)2 − πβ(z − 1)(1− p)2 − z(1− π)βq2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 73 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Si el agente 1 elige a1(i) = C , a1(c) = C ,C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 C C C C C C C C2
β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1C I C C I C C I C C I C
ver. CC CI CC CC CI CC CC CI CC CC CI CCfinal C I C C I C C I C C I C
u(a, C) 0 z-1 0 0 z-1 0 -z 0 -z -z 0 -zs1 = i 0 z-1 0 -z 0 -z
su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− β)(1− p)2 − z(1− π)βq2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
) =
π(z − 1)(1− p)2 − πβ(z − 1)(1− p)2 − z(1− π)βq2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 73 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Si el agente 1 elige a1(i) = C , a1(c) = C ,C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 C C C C C C C C2 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1
C I C C I C C I C C I Cver.
CC CI CC CC CI CC CC CI CC CC CI CCfinal C I C C I C C I C C I C
u(a, C) 0 z-1 0 0 z-1 0 -z 0 -z -z 0 -zs1 = i 0 z-1 0 -z 0 -z
su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− β)(1− p)2 − z(1− π)βq2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
) =
π(z − 1)(1− p)2 − πβ(z − 1)(1− p)2 − z(1− π)βq2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 73 / 59
![Page 263: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/263.jpg)
Jurados Jurado con dos agentes
Si el agente 1 elige a1(i) = C , a1(c) = C ,C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 C C C C C C C C2 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1
C I C C I C C I C C I Cver. CC CI CC CC CI CC CC CI CC CC CI CCfinal
C I C C I C C I C C I Cu(a, C) 0 z-1 0 0 z-1 0 -z 0 -z -z 0 -zs1 = i 0 z-1 0 -z 0 -z
su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− β)(1− p)2 − z(1− π)βq2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
) =
π(z − 1)(1− p)2 − πβ(z − 1)(1− p)2 − z(1− π)βq2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 73 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Si el agente 1 elige a1(i) = C , a1(c) = C ,C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 C C C C C C C C2 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1
C I C C I C C I C C I Cver. CC CI CC CC CI CC CC CI CC CC CI CCfinal C I C C I C C I C C I C
u(a, C)
0 z-1 0 0 z-1 0 -z 0 -z -z 0 -zs1 = i 0 z-1 0 -z 0 -z
su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− β)(1− p)2 − z(1− π)βq2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
) =
π(z − 1)(1− p)2 − πβ(z − 1)(1− p)2 − z(1− π)βq2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 73 / 59
![Page 265: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/265.jpg)
Jurados Jurado con dos agentes
Si el agente 1 elige a1(i) = C , a1(c) = C ,C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 C C C C C C C C2 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1
C I C C I C C I C C I Cver. CC CI CC CC CI CC CC CI CC CC CI CCfinal C I C C I C C I C C I C
u(a, C) 0 z-1 0 0 z-1 0 -z 0 -z -z 0 -zs1 = i
0 z-1 0 -z 0 -z
su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− β)(1− p)2 − z(1− π)βq2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
) =
π(z − 1)(1− p)2 − πβ(z − 1)(1− p)2 − z(1− π)βq2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 73 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Si el agente 1 elige a1(i) = C , a1(c) = C ,C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 C C C C C C C C2 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1
C I C C I C C I C C I Cver. CC CI CC CC CI CC CC CI CC CC CI CCfinal C I C C I C C I C C I C
u(a, C) 0 z-1 0 0 z-1 0 -z 0 -z -z 0 -zs1 = i 0 z-1 0 -z 0 -z
su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− β)(1− p)2 − z(1− π)βq2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
) =
π(z − 1)(1− p)2 − πβ(z − 1)(1− p)2 − z(1− π)βq2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 73 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Si el agente 1 elige a1(i) = C , a1(c) = C ,C Iπ 1− π
sen. ii ic ci cc ii ic ci cc
prob. (1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2 q2 q(1− q) q(1− q) (1− q)2
1 C C C C C C C C2 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1 β 1− β 1
C I C C I C C I C C I Cver. CC CI CC CC CI CC CC CI CC CC CI CCfinal C I C C I C C I C C I C
u(a, C) 0 z-1 0 0 z-1 0 -z 0 -z -z 0 -zs1 = i 0 z-1 0 -z 0 -z
su utilidad esperada U1(a1, a2|i) es
π(z − 1)(1− β)(1− p)2 − z(1− π)βq2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
) =
π(z − 1)(1− p)2 − πβ(z − 1)(1− p)2 − z(1− π)βq2 − z(1− π)q(1− q)
π((1− p)2 + p(1− p)
)+ (1− π)
(q2 + q(1− q)
)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 73 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Si el agente 1 sigue la estrategia mixta, debe verificarse queU1(I , a2|i) = U1(C , a2|i). Es decir,
π(z − 1)(1− p)2 + π(z − 1)p(1− p) =
π(z − 1)(1− p)2 − πβ(z − 1)(1− p)2 − z(1− π)βq2 − z(1− π)q(1− q)
por lo que
π(z−1)p(1−p) = −πβ(z−1)(1−p)2−z(1−π)βq2−z(1−π)q(1−q)
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 74 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Despejamos
β =π(z − 1)p(1− p) + z(1− π)q(1− q)
−z(1− π)q2 − π(z − 1)(1− p)2=
1
5
Hemos visto que si el jurado 2 utiliza la estrategia
a2(c) = C , a2(i) = β ⊗ C + (1− β)⊗ I = (β, 1− β)
con β = 1/5, el agente 1 no tiene incentivos a desviarse de la mismaestrategia a1(i) = β ⊗ C + (1− β)⊗ I = (β, 1− β).Es facil comprobar que no hay otras desviaciones ventajosas paraningun agente y que, por tanto la estrategia
a1(c) = a2(c) = C
a1(i) = a2(i) = β ⊗ C + (1− β)⊗ I = (β, 1− β)
con β = 1/5, es un EN.Conclusion: Al anadir un jurado adicional, la probabilidad de que unacusado, que en realidad es inocente, sea declarado culpable haaumentado.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 75 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Despejamos
β =π(z − 1)p(1− p) + z(1− π)q(1− q)
−z(1− π)q2 − π(z − 1)(1− p)2=
1
5
Hemos visto que si el jurado 2 utiliza la estrategia
a2(c) = C , a2(i) = β ⊗ C + (1− β)⊗ I = (β, 1− β)
con β = 1/5, el agente 1 no tiene incentivos a desviarse de la mismaestrategia a1(i) = β ⊗ C + (1− β)⊗ I = (β, 1− β).
Es facil comprobar que no hay otras desviaciones ventajosas paraningun agente y que, por tanto la estrategia
a1(c) = a2(c) = C
a1(i) = a2(i) = β ⊗ C + (1− β)⊗ I = (β, 1− β)
con β = 1/5, es un EN.Conclusion: Al anadir un jurado adicional, la probabilidad de que unacusado, que en realidad es inocente, sea declarado culpable haaumentado.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 75 / 59
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Jurados Jurado con dos agentes
Despejamos
β =π(z − 1)p(1− p) + z(1− π)q(1− q)
−z(1− π)q2 − π(z − 1)(1− p)2=
1
5
Hemos visto que si el jurado 2 utiliza la estrategia
a2(c) = C , a2(i) = β ⊗ C + (1− β)⊗ I = (β, 1− β)
con β = 1/5, el agente 1 no tiene incentivos a desviarse de la mismaestrategia a1(i) = β ⊗ C + (1− β)⊗ I = (β, 1− β).Es facil comprobar que no hay otras desviaciones ventajosas paraningun agente y que, por tanto la estrategia
a1(c) = a2(c) = C
a1(i) = a2(i) = β ⊗ C + (1− β)⊗ I = (β, 1− β)
con β = 1/5, es un EN.Conclusion: Al anadir un jurado adicional, la probabilidad de que unacusado, que en realidad es inocente, sea declarado culpable haaumentado.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 75 / 59
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Mas informacion puede ser peor
Consideremos el siguiente juego con informacion incompleta,
1,1/2 1,0 1,3/4
2,2 0,0 0,3
1,1/2 1,3/4 1,0
2,2 0,3 0,0
1 2 1/2 1/2w1 w2
T
B
T
B
L M R L M R
Los agentes piensan que con probabilidad 1/2 juegan el juego w1 ycon con probabilidad 1/2 juegan el juego w2.
EL unico EN es (B, L). Cada jugador obtiene un pago esperado de 2.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 76 / 59
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Mas informacion puede ser peor
Consideremos el siguiente juego con informacion incompleta,
1,1/2 1,0 1,3/4
2,2 0,0 0,3
1,1/2 1,3/4 1,0
2,2 0,3 0,0
1 2 1/2 1/2w1 w2
T
B
T
B
L M R L M R
Los agentes piensan que con probabilidad 1/2 juegan el juego w1 ycon con probabilidad 1/2 juegan el juego w2.
EL unico EN es
(B, L). Cada jugador obtiene un pago esperado de 2.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 76 / 59
![Page 274: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/274.jpg)
Mas informacion puede ser peor
Consideremos el siguiente juego con informacion incompleta,
1,1/2 1,0 1,3/4
2,2 0,0 0,3
1,1/2 1,3/4 1,0
2,2 0,3 0,0
1 2 1/2 1/2w1 w2
T
B
T
B
L M R L M R
Los agentes piensan que con probabilidad 1/2 juegan el juego w1 ycon con probabilidad 1/2 juegan el juego w2.
EL unico EN es (B, L). Cada jugador obtiene un pago esperado de 2.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 76 / 59
![Page 275: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/275.jpg)
Mas informacion puede ser peor
1,1/2 1,0 1,3/4
2,2 0,0 0,3
1,1/2 1,3/4 1,0
2,2 0,3 0,0
1 2 1/2 1/2w1 w2
T
B
T
B
L M R L M R
Supongamos ahora que el jugador 2 conoce si estan jugando w1 o w2.El unico EN es (T ,R) o (T ,M). El pago del jugador 2 es 3/4.
Preferirıa no estar informado.
El jugador 2 no puede comprometerse de manera fiable a ignorar lainformacion.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 77 / 59
![Page 276: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/276.jpg)
Mas informacion puede ser peor
1,1/2 1,0 1,3/4
2,2 0,0 0,3
1,1/2 1,3/4 1,0
2,2 0,3 0,0
1 2 1/2 1/2w1 w2
T
B
T
B
L M R L M R
Supongamos ahora que el jugador 2 conoce si estan jugando w1 o w2.El unico EN es (T ,R) o (T ,M). El pago del jugador 2 es 3/4.Preferirıa no estar informado.
El jugador 2 no puede comprometerse de manera fiable a ignorar lainformacion.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 77 / 59
![Page 277: UC3Mmarhuend/ecoinformacion... · El equilibrio Bayesiano Cada jugador i tiene unaconjetura p i : T i !( T i) sobre los tipos de los dem as jugadores. Puede depender de su propio](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052014/602bec4c8e83b165805cbfdd/html5/thumbnails/277.jpg)
Mas informacion puede ser peor
1,1/2 1,0 1,3/4
2,2 0,0 0,3
1,1/2 1,3/4 1,0
2,2 0,3 0,0
1 2 1/2 1/2w1 w2
T
B
T
B
L M R L M R
Supongamos ahora que el jugador 2 conoce si estan jugando w1 o w2.El unico EN es (T ,R) o (T ,M). El pago del jugador 2 es 3/4.Preferirıa no estar informado.
El jugador 2 no puede comprometerse de manera fiable a ignorar lainformacion.
(Capıtulo 2) Juegos estaticos con informacion asimetrica Curso 2009–2010 77 / 59