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Sector Matemtica Mapa de Progreso d
Nmeros y Operacione
Mapas de Progresodel Aprendizaje
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Material elaborado por la Unidad de Curriculum, UCE,
Ministerio de Educacin.
Se agradece a los siguientes establecimientos que colaboraron en
el proceso de recoleccin de trabajos de alumnos y alumnas:
Alianza Francesa - Vitacura
Colegio Carlos Oviedo Cavada - Maip
Colegio Notre Dame - Providencia
Colegio San Adrin - Quilicura
Colegio Saint George - Vitacura
Colegio Santo Cura de Ars - San Miguel
Colegio Victor Domingo Silva - La ReinaConfederacin Suiza - Santiago
Escuela Antrtica Chilena - Vitacura
Escuela Cardenal Ral Silva Henrquez - Puente Alto
Escuela Irene Frei de Cid - Santiago
Escuela Repblica de Ecuador - Via del Mar
Escuela San Joaqun - Renca
Escuela Victoria Prieto - Santiago
Instituto Nacional - Santiago
Liceo Christie Mc Auliffe - La Cisterna
Liceo Daro Salas - Santiago
Liceo Domingo Espieira Riesco - Ancud - Chilo
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Marzo 2007, primera versin pblica
Mapas de Progreso del Aprendizaje Nmeros y Operaciones
Mapas de Progreso del Aprendizaje
El material que se presenta a continuacin, es parte del con-junto de Mapas de Progreso del Aprendizaje que describenla secuencia tpica en que progresa el aprendizaje, en deter-
minadas reas o dominios que se consideran undamentales
en la ormacin de los estudiantes, en los distintos sectorescurriculares. Esta descripcin est hecha de un modo conciso
y de la orma ms clara posible para que todos puedancompartir esta visin sobre cmo progresa el aprendizaje a
travs de los 12 aos de escolaridad. Se busca aclarar a los
proesores, a los padres de amilia y a los estudiantes,qu signifca mejorar en un determinado dominio delaprendizaje.
Los Mapas complementan las actuales herramientas curriculares
(Marco Curricular de OF/CMO y Programas de Estudio) yen ningn caso las sustituyen. Establecen una relacin entrecurrculum y evaluacin, orientando lo que es importante
evaluar y entregando criterios comunes para observar y describir
cualitativamente el aprendizaje logrado. No constituyen un
nuevo currculo, ya que no promueven otros aprendizajes;por el contrario, pretenden proundizar la implementacindel currculo de la Reorma, promoviendo la observacin delas competencias claves que se deben ormar.
Los Mapas describen el aprendizaje en 7 niveles, que abarcandesde primero bsico a cuarto medio, con la excepcin de
Ingls, que tiene menos niveles por comenzar su enseanza
en 5 bsico.
En estos 7 niveles se describe una secuencia que los estu-diantes recorren a dierentes ritmos y, por lo mismo, los
niveles no corresponden exactamente a lo que todos logranen un determinado grado escolar. Sin embargo, cada nivelest asociado a una expectativa para dos aos de escolaridad.
Por ejemplo, el nivel 1 corresponde aproximadamente al
logro que se espera para la mayora de los nios y nias al
trmino del 2 Bsico; el Nivel 2 corresponde al trmino de4 Bsico y as sucesivamente. El ltimo nivel (7), describeel aprendizaje de un alumno o alumna que al egresar es
sobresaliente, es decir va ms all de la expectativa que seespera para la mayora que es el nivel 6.
Los Mapas se irn dando a conocer a la comunidad escolargradualmente. En esta primera etapa se dan a conocer cinco
de ellos, que dan cuenta de algunos dominios clave de lossectores de Lenguaje y Comunicacin, Matemtica, Historia
y Ciencias Sociales, Ciencias Naturales e Ingls.
Matemtica
El currculum de Matemtica tiene como propsito que los alumnos
y alumnas adquieran los conocimientos bsicos de la disciplina,a la vez que desarrollen el pensamiento lgico, la capacidad dededuccin, la precisin, las capacidades para ormular y resolverproblemas y las habilidades necesarias para modelar situacioneso enmenos. La construccin de la Matemtica surge de la
necesidad de responder y resolver desaos provenientes de los
ms variados mbitos del quehacer humano y de la Matemticamisma; su construccin y desarrollo es una creacin ligada a la
historia y la cultura. Su aprendizaje enriquece la comprensinde la realidad, acilita la seleccin de estrategias para resolver
problemas y contribuye al desarrollo de un pensamiento pro-
pio y autnomo. El modelamiento matemtico de la realidad,
mediante el uso apropiado de conceptos, relaciones entre ellos yprocedimientos matemticos, ayuda al estudiante a comprendersituaciones y enmenos, y le permite ormular explicaciones
y hacer predicciones de ellos, aumentando su capacidad para
intervenir en esa realidad.
Mapa de Progreso de Nmeros y
Operaciones
Los aprendizajes de Matemtica se han organizado en cuatro
Mapas de Progreso:
Nmeros y Operaciones, describe el desarrollo del concepto
de cantidad y de nmero y la competencia en el uso de tc-nicas mentales y escritas para calcular y resolver problemasque involucran distintos tipos de nmeros.
lgebra, describe cmo los alumnos y alumnas desarrollan,en primer lugar, las abstracciones que prefguran el lgebra,para luego expresar operaciones y relaciones usando smbolos,
as como realizar operaciones mediante el uso del lenguaje
algebraico. Geometra, describe el progreso de las competencias relacio-
nadas con la comprensin, medicin y el modelamiento delas ormas, las transormaciones, la posicin y el espacio.
Datos y Azar, describe el crecimiento de la capacidad de
recolectar, organizar y representar inormacin disponible,
para describir y analizar situaciones, y hacer interpretacionesde sucesos en los que interviene el azar y la incertidumbre.
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Sector Matemtica
El Razonamiento Matemtico constituye una dimensin que es
abordada transversalmente en estos cuatro Mapas de Progreso.
Los aprendizajes descritos en el Mapa Nmeros y Operaciones
progresan considerando tres dimensiones que se desarrollan demanera interrelacionada:
a. Comprensin y uso de los nmeros. Se refere a la compren-
sin del signifcado de los nmeros, la orma de expresarlosy los contextos numricos a los que pertenecen, as como lasaplicaciones y los problemas que los originaron y/o permitenresolver.
b. Comprensin y uso de las operaciones. Se refere a la
comprensin del signifcado de las operaciones, los contextos
numricos en los que se realizan, las relaciones entre ellas, ascomo sus propiedades y usos para obtener nueva inormacin
a partir de la inormacin dada.c. Razonamiento Matemtico. Involucra habilidades relacio-
nadas con la seleccin, aplicacin y evaluacin de estrategiaspara la resolucin de problemas; la argumentacin y la co-municacin de estrategias y resultados.
Elementos claves del Mapa de Nmeros yOperaciones
Un supuesto importante que orienta este Mapa se refere a la
ntima relacin entre los nmeros, las operaciones que permitenrealizar y los problemas que resuelven; y cmo las operacionesgeneran preguntas y problemas que motivan nuevas defnicionesde nmeros y extensiones de los mbitos numricos. El progresodel concepto de nmero est dado, primero, por la extensin delos nmeros naturales en relacin con los requerimientos del
proceso del conteo; luego, la operacin de sustraccin muestrala necesidad de los nmeros negativos, motivando la nocin
de nmero entero; la divisin entre nmeros enteros motiva laaparicin de los racionales y, la operacin extraccin de raz,muestra la necesidad de utilizar nuevos nmeros, dando inicioal estudio de los irracionales y, posteriormente, de los nmeros
imaginarios en el caso de las races de nmeros negativos.
Las operaciones se consideran en este eje, principalmente, desdeel punto de vista de su comprensin, su uso adecuado y cmo atravs de ellas los alumnos muestran dominio de los nmeros.Operaciones tambin incluye la habilidad para estimar y calcular
mentalmente.
Finalmente, el Razonamiento Matemtico, en este Mapa, se refere
a la resolucin de problemas con nmeros y sobre nmeros. Laresolucin de problemas implica la capacidad de una persona
para reunir, organizar, combinar y utilizar en orma apropiada,conocimientos matemticos que permiten responder a situacio-nes o problemas parcial o completamente nuevos; o bien, a lacapacidad para responder a un problema conocido de una ormanueva, original o parcialmente dierente a las respuestas dadas con
anterioridad. En este sentido, resolucin de problemas se opone
a comportamiento rutinario o repetitivo.
La resolucin de problemas tambin incluye el uso de los nmeros
para hacer e investigar conjeturas sobre ellos. Esto involucrar eluso de un rango creciente de estrategias para resolver problemasy argumentaciones crecientemente ms abstractas y de naturaleza
cada vez ms sofsticada.
Esta capacidad requiere el desarrollo de habilidades tales como:la identifcacin de la incgnita o de las variables cuyos valorespermitiran resolver el problema; la bsqueda y construccin decaminos de solucin; el anlisis de los datos y de las soluciones; la
anticipacin y estimacin de el o los resultados posibles; el anlisisde la pertinencia de esos resultados; la sistematizacin del ensayoy error, as como la aplicacin y ajuste de modelos.
En las pginas siguientes se encuentra el Mapa de Progresode Nmeros y Operaciones. Comienza con una presentacin
sinttica de todos los niveles. Luego se presenta en detallecada nivel, partiendo por su descripcin, algunos ejemplos de
desempeo que ilustran cmo se puede reconocer este nivel
de aprendizaje, y uno o dos ejemplos de trabajo realizadospor alumnos de establecimientos subvencionados, con los
comentarios del proesor que justifcan por qu juzga que elalumno se encuentra en el nivel. En un anexo, se incluyela versin completa de las tareas a partir de las cuales se
recolectaron los trabajos de los estudiantes.
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Mapas de Progreso del Aprendizaje Nmeros y Operaciones
Nivel 7
Nivel 6
Nivel
Nivel
Nivel
Nivel 2
Mapa de Progreso de Nmeros y Operaciones
Nivel 1
Sobresaliente
Comprende los dierentes conjuntos numricos, las relaciones entre ellos y los problemas que les dieron origen1.
Comprende que en cada conjunto numrico se puede operar sobre la base de reglas o propiedades que pueden
ser usadas para justicar o demostrar relaciones. Muestra autonoma y fexibilidad para resolver un amplio reper-
torio de problemas, tanto rutinarios como no rutinarios, utilizando diversas estrategias y para ormular conjeturas
acerca de objetos matemticos. Utiliza lenguaje matemtico para presentar argumentos en la demostracin desituaciones matemticas.
Utiliza potencias de base real y exponente racional para resolver problemas. Reconoce a los nmeros complejos
como una extensin del campo numrico y los utiliza para resolver problemas que no admiten solucin en los
reales. Usa las cuatro operaciones con nmeros complejos. Resuelve problemas, utilizando un amplio repertorio
de estrategias, combinando o modicando estrategias ya utilizadas. Realiza conjeturas que suponen generaliza-
ciones o predicciones y argumenta la validez de los procedimientos o conjeturas.
Reconoce a los nmeros irracionales como nmeros decimales no peridicos que no pueden ser escritos como raccin
entre dos nmeros enteros y a los nmeros reales, como la unin de los nmeros racionales e irracionales. Realiza las
cuatro operaciones con nmeros reales en orma algebraica, utilizando propiedades, e identica el conjunto numricoal que pertenecen los resultados. Utiliza las potencias de base racional y exponente racional, y sus propiedades, para
simplifcar clculos, y establece la relacin entre potencias y races. Resuelve problemas utilizando estrategias que
implican descomponer un problema o situaciones propuestas en partes o sub-problemas. Argumenta sus estrategias
o procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos para vericar la validez o alsedad de conjeturas.
Comprende que todo nmero racional es un cuociente entre dos nmeros enteros y los utiliza al estimar, establecer
razones, proporciones y calcular porcentajes. Comprende la conexin entre las cuatro operaciones en los nmeros
racionales positivos y negativos. Utiliza la notacin cientca y las potencias de base racional y exponente entero,
y sus propiedades, para simplicar clculos. Resuelve problemas no rutinarios y/o ormula conjeturas en diversos
contextos en los que se deben establecer relaciones entre conceptos. Justifca la estrategia utilizada, las conjeturas
ormuladas y los resultados obtenidos, utilizando conceptos, procedimientos y relaciones matemticas.
Reconoce que los nmeros naturales se pueden expresar como producto de actores y los expresa en orma depotencias. Utiliza nmeros decimales positivos y racciones positivas para ordenar, comparar, estimar, medir y
calcular. Utiliza nmeros enteros para cuanticar magnitudes, ordenar y comparar. Comprende el signicado de
porcentaje y establece equivalencias entre estos y racciones o nmeros decimales, para calcular porcentajessimples2. Comprende y realiza las cuatro operaciones con nmeros decimales y con racciones. Resuelveproblemas no rutinarios y/o ormula conjeturas en diversos contextos, que requieren reorganizar la inor-macin disponible. Argumenta sobre la validez de un procedimiento, estrategia o conjetura planteada.
Utiliza los nmeros naturales hasta 1.000.000 para contar, ordenar, comparar, medir, estimar y calcular. Comprende
que las racciones simples3 y los nmeros decimales permiten cuanticar las partes de un objeto, una coleccin deobjetos o una unidad de medida, y realiza comparaciones entre nmeros decimales o entre racciones. Multiplica ydivide (por un solo dgito) con nmeros naturales, comprendiendo el signicado de estas operaciones y la relacin entreellas. Realiza estimaciones y clculos mentales de multiplicaciones y divisiones exactas que requieren de estrategiassimples. Resuelve problemas rutinarios y/o ormula conjeturas en contextos amiliares en que los datos no estn nece-
sariamente explcitos y requieren reorganizar la inormacin del enunciado. Justica la estrategia utilizada, explicandosu razonamiento o vericando conjeturas a travs de ejemplos.
Utiliza los nmeros naturales hasta 1.000 para contar, ordenar, comparar, medir, estimar y calcular cantidades de
objetos y magnitudes. Comprende que en estos nmeros, la posicin de cada dgito determina su valor. Realiza adi-ciones y sustracciones comprendiendo el signicado de estas operaciones y la relacin entre ellas. Reconoce que losnmeros naturales se pueden expresar como adiciones o sustracciones de dos nmeros naturales y descomponer encentenas, decenas y unidades. Realiza estimaciones y clculos mentales de adiciones y sustracciones que requierende estrategias simples, con nmeros menores que 100. Resuelve problemas rutinarios en contextos amiliares, en quelos datos estn explcitos y cuya estrategia de solucin est claramente sugerida en el enunciado. Describe y explica
la estrategia utilizada.
1 Los enteros motivados por la sustraccin, los racionales por los cuocientes imposibles entre enteros, los irracionales como consecuencia de la raz cuadrada y los imaginarios como consecuencia de
las races de orden par de nmeros negativos.
2 10%, 15%, 20%, 25%, 50%, 75%.
3 Fracciones simples: medios, tercios, cuartos, quintos, octavos, dcimos y centsimos.
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Utiliza los nmeros naturales hasta 1.000 para contar, ordenar, comparar, medir, estimar
y calcular cantidades de objetos y magnitudes. Comprende que en estos nmeros,
la posicin de cada dgito determina su valor. Realiza adiciones y sustracciones com-
prendiendo el signifcado de estas operaciones y la relacin entre ellas. Reconoce que
los nmeros naturales se pueden expresar como adiciones o sustracciones de dos
nmeros naturales y descomponer en centenas, decenas y unidades. Realiza estima-
ciones y clculos mentales de adiciones y sustracciones que requieren de estrategias
simples, con nmeros menores que 100. Resuelve problemas rutinarios en contextos
amiliares, en que los datos estn explcitos y cuya estrategia de solucin est clara-
mente sugerida en el enunciado. Describe y explica la estrategia utilizada.
Nivel 1
Marzo 2007, primera versin pblica
Sector Matemtica
Cmo se puede reconocer este nivel de aprendizaje? Ejemplos de desempeo
Cuando un alumno o alumna ha logrado este nivel, realiza actividades como las siguientes:
Compara nmeros de dos y tres ciras. Por ejemplo: la longitud de ros chilenos para saber cul es ms largo;
el precio de dos o ms productos para saber cul es el ms conveniente.
Estima cantidades a partir de un conjunto de objetos. Por ejemplo: cantidad de porotos o piedras en una
caja cuando se sabe la cantidad total que sta es capaz de contener.
Estima el resultado de adiciones y sustracciones a partir del redondeo de los trminos involucrados. Por
ejemplo: estima el precio total de varios productos, para determinar si el dinero disponible alcanza para la
compra.
Calcula mentalmente el resultado de problemas que involucran adicin o sustraccin de nmeros pequeos.
Por ejemplo: calcula mentalmente la cantidad de alumnos en una biblioteca si hay nueve estudiantes y llegan
ocho estudiantes ms.Resuelve adiciones y sustracciones, utilizando composicin y descomposicin aditiva.
Responde preguntas relacionadas con los nmeros y las operaciones. Por ejemplo: responde a la pregunta:
Qu sucede cuando cambias la posicin de los dgitos en el nmero 79?
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Mapas de Progreso del Aprendizaje Nmeros y Operaciones
a. Si Juan tiene dinero para comprar dos chocolates, entonces cunto dinero tiene Juan?Muestra tu desarrollo.
Ejemplo de trabajo de alumnos y alumnas
La tarea
b. De los dos hermanos Quin tendra ms dinero? Muestra tu desarrollo.
A los alumnos y alumnas se les present una situacin en la que dos hermanos querancomprar chocolates que costaban 120 pesos cada uno. Se seal para cuntos chocolatesle alcanzaba a Juan y se entreg la cantidad de monedas que tena Teresa a travs de unailustracin. Se les pidi a los estudiantes determinar la cantidad de dinero que tena cadanio y quin de ellos tena ms dinero para la compra de chocolates.
Ejemplo de trabajo en el nivel
Realiza la adicin ne-
cesaria para respon-
der cunto dinero tiene
Juan.
Compone aditivamen-
te para determinar el
monto de dinero que
tiene Teresa. Compara
ambos resultados ob-
tenidos y seala cul
de los dos nios tiene
ms dinero.
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Utiliza los nmeros naturales hasta 1.000.000 para contar, ordenar, comparar, medir,
estimar y calcular. Comprende que las racciones simples4 y los nmeros decimales
permiten cuanticar las partes de un objeto, una coleccin de objetos o una unidad de
medida, y realiza comparaciones entre nmeros decimales o entre racciones. Multiplica
y divide (por un solo dgito) con nmeros naturales, comprendiendo el signicado de
estas operaciones y la relacin entre ellas. Realiza estimaciones y clculos mentales demultiplicaciones y divisiones exactas que requieren de estrategias simples. Resuelve
problemas rutinarios y/o ormula conjeturas en contextos amiliares en que los datos no
estn necesariamente explcitos y requieren reorganizar la inormacin del enunciado.
Justica la estrategia utilizada, explicando su razonamiento o vericando conjeturas a
travs de ejemplos.
Nivel 2
Marzo 2007, primera versin pblica
Sector Matemtica
Cmo se puede reconocer este nivel de aprendizaje? Ejemplos de desempeo
Cuando un alumno o alumna ha logrado este nivel, realiza actividades como las siguientes:
Compara nmeros naturales hasta el milln en contextos de la vida cotidiana. Por ejemplo: el nmero de
personas que asisten a dos eventos masivos dierentes.
Estima el resultado de una multiplicacin, a partir del redondeo de los trminos involucrados. Por ejemplo:
aproxima el resultado del producto de 13 29, redondeando los actores a la decena ms cercana.
Fracciona en partes iguales objetos o magnitudes representadas grcamente y escribe la raccin que co-
rresponde a una o ms de esas partes.
Compara nmeros decimales con o sin apoyo de la recta numrica. Por ejemplo: compara la estatura de dos
estudiantes expresada en metros.
Eecta clculos mentales de productos y cuocientes de nmeros por 10, por 100 y por 1.000.
Resuelve problemas que involucran multiplicacin, divisin por un dgito o combinacin de estas, realizando la
operacin adecuada de acuerdo al contexto. Por ejemplo: calcula el dinero reunido en una ria realizada en un
curso de 35 alumnos, si cada alumno vendi 20 nmeros a $200 cada uno. Otro ejemplo: un padre entrega
diariamente $960 para el pasaje de sus cuatro hijos. Cunto dinero gasta en pasaje cada nio durante una
semana (5 das)?
4 Fracciones simples: medios, tercios, cuartos, quintos, octavos, dcimos y centsimos.
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Mapas de Progreso del Aprendizaje Nmeros y Operaciones
a. Cuntas bolitas tiene Ernesto?
b. Ernesto y Jaime le regalan bolitas a Pedro. Ernesto le regala 10 y Jaime le regala la terceraparte de las suyas. Con cuntas bolitas se quedan Jaime, Pedro y Ernesto?
Ejemplo de trabajo de alumnos y alumnas
La tarea
Ejemplo de trabajo en el nivel
A los alumnos y alumnas se les present un problema con datos explcitos e implcitos enel enunciado. En la situacin planteada, los estudiantes deban determinar el nmero debolitas que tendran tres amigos.
Para resolver la primera
pregunta, identifca la
operacin que le per-
mite descubri r datos
no explcitos en el pro-
blema, traduciendo 7
veces como una mul-
tiplicacin por 7. Luego,
en la segunda pregunta,elabora una estrategia
que involucra separar
el problema en partes,
que le permite resol-
verlo paso por paso.
Utiliza las operaciones
adecuadas y da cuenta
que comprende el sig-
nifcado de la divisin
al traduci r la tercera
parte de una cantidad,
como una divisin en
tres partes iguales.
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Reconoce que los nmeros naturales se pueden expresar como producto de actores
y los expresa en orma de potencias. Utiliza nmeros decimales positivos y racciones
positivas para ordenar, comparar, estimar, medir y calcular. Utiliza nmeros enteros
para cuantifcar magnitudes, ordenar y comparar. Comprende el signifcado de
porcentaje y establece equivalencias entre estos y racciones o nmeros decimales,para calcular porcentajes simples5. Comprende y realiza las cuatro operaciones con
nmeros decimales y con racciones. Resuelve problemas no rutinarios y/o ormula
conjeturas en diversos contextos, que requieren reorganizar la inormacin disponible.
Argumenta sobre la validez de un procedimiento, estrategia o conjetura planteada.
Nivel 3
Marzo 2007, primera versin pblica
Sector Matemtica
Cmo se puede reconocer este nivel de aprendizaje? Ejemplos de desempeo
5 10%, 15%, 20%, 50%, 25%, 75%
Cuando un alumno o alumna ha logrado este nivel, realiza actividades como las siguientes:
Resuelve problemas que involucran porcentajes, transormando el porcentaje a la raccin correspondiente.
Por ejemplo: calcula el precio nal de un pantaln que cuesta $4.000, si tiene un 25% de descuento.
Realiza adiciones y sustracciones con racciones y/o nmeros decimales, sustituyendo racciones por otras
iguales cuando sea necesario. Por ejemplo, calcula:
Aproxima resultados de operaciones con nmeros decimales, redondeando los nmeros involucrados.
Encuentra racciones iguales a una raccin dada, mediante amplicacin o simplicacin.
Descompone multiplicativamente un nmero identicando actores. Por ejemplo: descompone el nme-
ro 360 en actores primos 2 3 3 2 5 2, en actores como 2 18 10; 6 6 10; 3 12 10,
etc.
Resuelve problemas que implican ordenar nmeros enteros. Por ejemplo: ordena de menor a mayor las
temperaturas mnimas registradas en una semana del mes de julio en cierta ciudad, si estas van de 4 C a
5 C.
41
8
2
4
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Mapas de Progreso del Aprendizaje Nmeros y Operaciones
Cul de los dos paquetes trae ms ca gratis? Justifca tu respuesta
Ejemplo de trabajo de alumnos y alumnas
La tarea A los estudiantes se les present la siguiente imagen. Se les pidi determinar cul de losenvases traa ms ca gratis.
Ejemplo de trabajo en el nivel
Al esc ribir de 250
y de 400 gr. en su
desarrollo, asocia los
porcentajes con sus
respectivos reerentes
(cantidad de ca que
hay en cada envase).
Expresa el porcentaje
como una raccin de
denominador 100 y
encuentra su valor uti-
lizando las operaciones
adecuadas.
Compara los resultados
y concluye interpretando
la respuesta de acuerdo
al contexto.
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Comprende que todo nmero racional es un cuociente entre dos nmeros enteros
y los utiliza al estimar, establecer razones, proporciones y calcular porcentajes.
Comprende la conexin entre las cuatro operaciones en los nmeros racionales
positivos y negativos. Utiliza la notacin cientca y las potencias de base racional y
exponente entero, y sus propiedades, para simplicar clculos. Resuelve problemas
no rutinarios y/o ormula conjeturas en diversos contextos en los que se deben es-
tablecer relaciones entre conceptos. Justica la estrategia utilizada, las conjeturas
ormuladas y los resultados obtenidos, utilizando conceptos, procedimientos y
relaciones matemticas.
Nivel 4
Marzo 2007, primera versin pblica
Sector Matemtica
Cmo se puede reconocer este nivel de aprendizaje? Ejemplos de desempeo
Cuando un alumno o alumna ha logrado este nivel, realiza actividades como las siguientes:
Escribe un nmero racional de diversas maneras. Por ejemplo: escribe en orma de raccin el nmero
Resuelve problemas que involucran clculo de porcentajes usando proporciones. Por ejemplo: calcula el
porcentaje de mujeres de una poblacin si se conoce el total de la poblacin y el total de hombres.
Escribe nmeros grandes o pequeos utilizando notacin cientca. Por ejemplo: el tamao de una bacteria:
0,0000002 mm como mm; la distancia del Sol a la Tierra: 150.000.000 Km. como Km.
Utiliza las propiedades de las potencias para calcular el resultado de operaciones con potencias de base
racional y exponente entero.
Usa las 4 operaciones con nmeros enteros para realizar clculos. Por ejemplo: calcula - 10 - 3, Qu
resultado es mayor, - 8 : - 2 - 20 : 4?, etc.
Ubica en la recta numrica nmeros racionales escritos como raccin o decimal.
Usa las cuatro operaciones con nmeros racionales. Por ejemplo, 1,25 : 0,5 y
2 107
1,25.
1,5 108
1
2
32
5
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Mapas de Progreso del Aprendizaje Nmeros y Operaciones
Ejemplo de trabajo de alumnos y alumnas
La tarea A los estudiantes se les present una situacin con dos alternativas, en la cual debandeterminar el precio ms conveniente por la compra de una bicicleta, considerando des-cuentos y el IVA.
Ejemplo de trabajo en el nivel
Para resolver el pro-
blema, utiliza un valor
reerencial ($30.000),
no necesariamente un
valor real. Calcula por-
centajes utilizando las
proporciones y realiza
correctamente las ope-
raciones para conocerel precio fnal de la bici-
cleta en ambos casos;
concluye justiicando
el resultado utilizando
conceptos y relaciones
matemticos.
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Reconoce a los nmeros irracionales como nmeros decimales no peridicos que
no pueden ser escritos como raccin entre dos nmeros enteros y a los nmeros
reales, como la unin de los nmeros racionales e irracionales. Realiza las cuatro
operaciones con nmeros reales en orma algebraica, utilizando propiedades, e
identifca el conjunto numrico al que pertenecen los resultados. Utiliza las potencias
de base racional y exponente racional, y sus propiedades, para simplicar clculos,y establece la relacin entre potencias y races. Resuelve problemas utilizando estra-
tegias que implican descomponer un problema o situaciones propuestas en partes
o sub-problemas. Argumenta sus estrategias o procedimientos y utiliza ejemplos y
contraejemplos para vericar la validez o alsedad de conjeturas.
Nivel 5
Marzo 2007, primera versin pblica
Sector Matemtica
Cmo se puede reconocer este nivel de aprendizaje? Ejemplos de desempeo
Cuando un alumno o alumna ha logrado este nivel, realiza actividades como las siguientes:
Ubica en la recta numrica un nmero irracional. Por ejemplo:
Determina aproximaciones por deecto y por exceso de un nmero irracional con una precisin indicada. Por
ejemplo: encuentra dos decimales de la
Realiza clculos extendiendo las propiedades de las potencias a aquellas de base racional y exponente
racional.
Resuelve problemas cuya solucin es un nmero irracional. Por ejemplo: Un cuadrado tiene un rea de
10 m2. Calcula la longitud de uno de sus lados.
Resuelve problemas que involucran combinacin de operaciones con nmeros reales, utilizando convenciones
de parntesis, propiedades de las operaciones y prioridad de las operaciones.
Realiza pruebas para argumentar la validez de una conjetura. Por ejemplo: El producto de dos nmeros
irracionales distintos es siempre un nmero irracional.
3.
2.
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1Marzo 2007, primera versin pblica
Mapas de Progreso del Aprendizaje Nmeros y Operaciones
Ejemplo de trabajo de alumnos y alumnas
La tarea
Ejemplo de trabajo en el nivel
A los alumnos se les presenta la siguiente situacin: En la siguiente tabla se presentan seissegmentos y sus respectivas longitudes en centmetros. Como puedes ver, se ha utilizadointencionalmente distintas maneras para representar la longitud de cada segmento.
Determina aproximacio-
nes a un nmero irracio-
nal con una precisin de
dos decimales.
a. Dist ingue los n-
meros irracionales,
de los nmeros
racionales, por la
imposib il idad deescribirlos como
raccin.
b. Resuelve problemas
cuya solucin es un
nmero i rracional.
Infere que al res-
tarle un nmero
irracional a uno ra-
cional se obtiene un
nmero donde no
es posible visualizar
un perodo recono-
cindolo como irra-
cional.
c. Compre nde que
al sumar nmeros
irracionales, el re-
sul tado obtenido
no siempre es irra-
cional.
Realiza conjeturas y
las verifca a travs
de ejemplos.
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Utiliza potencias de base real y exponente racional para resolver problemas. Re-
conoce a los nmeros complejos como una extensin del campo numrico y los
utiliza para resolver problemas que no admiten solucin en los reales. Usa las cuatro
operaciones con nmeros complejos. Resuelve problemas, utilizando un amplio re-
pertorio de estrategias, combinando o modicando estrategias ya utilizadas. Realiza
conjeturas que suponen generalizaciones o predicciones y argumenta la validez de
los procedimientos o conjeturas.
Nivel 6
Marzo 2007, primera versin pblica
Sector Matemtica
Cmo se puede reconocer este nivel de aprendizaje? Ejemplos de desempeo
Cuando un alumno o alumna ha logrado este nivel, realiza actividades como las siguientes:
Interpreta las soluciones de una ecuacin cuadrtica cuyo discriminante es negativo. Por ejemplo:
Representa nmeros complejos escritos en orma cartesiana sobre el plano complejo (plano de Argand).
Escribe un nmero complejo de dierentes maneras. Por ejemplo: escribe el nmero real 5 como nmero
complejo de la orma 5 + 0i; Otro ejemplo: Trasorma el nmero complejo (8,-2) escrito en orma cartesiana
a su orma binomial como 8 2i.
Determina el producto de dos nmeros complejos en su orma binomial. Por ejemplo: (-1+ 3i) (3-9i).
Calcula la raz cuadrada de nmeros negativos para dar solucin a un problema. Por ejemplo: Un nmero
elevado al cuadrado es 3, cul es el nmero?.
x2+1= 0.
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17Marzo 2007, primera versin pblica
Mapas de Progreso del Aprendizaje Nmeros y Operaciones
Ejemplo de trabajo de alumnos y alumnas
La tareaEjemplo1
A los alumnos se les presenta una ecuacin cuadrtica que deben resolver y describir lassoluciones obtenidas.
Ejemplo de trabajo en el nivel
Identiica el contexto
numrico en el cual la
ecuacin cuadrtica se
puede resolver. Identif-
ca y justifca que no
pertenece a los nme-
ros reales. Encuentra las
soluciones complejas
de la ecuacin.
1
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Sector Matemtica
Ejemplo de trabajo de alumnos y alumnas
La tarea Ejemplo 2
Ejemplo de trabajo en el nivel
A los estudiantes se les presenta una situacin en la que deben trabajar con un nmero ir-racional conocido como el nmero ureo. ste es presentado en su orma algebraicay unaaproximacin decimal. Con esto se les solicita realizar tres acciones con ste nmero.
a. Resuelve la expre-
sin reemplazando
el nmero irracional
presentado. Opera
correctamente para
determinar el valor
resultante.
b. Escribe las expre-
siones algebraicasde los nmeros
y -1. Reconoce
que -1 es el inver-
so mult ip licativo
de . Transorma
las expresiones a
decimales de cin-
co ciras decimales,
opera y con esto
concluye que po-
seen la misma parte
decimal.
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Mapas de Progreso del Aprendizaje Nmeros y Operaciones
Ejemplo de trabajo en el nivel
c. Utiliza los valores de
las distintas expre-
siones para concluir
que el rectngulo(1)+(2) es ureo, a
travs de valores
numricos.
Util iza dist intas
aproximaciones en
las expresiones ,
por lo que conclu-
ye sin la precisin
requerida para el
problema.
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20
Comprende los dierentes conjuntos numricos, las relaciones entre ellos y los
problemas que les dieron origen6. Comprende que en cada conjunto numrico se
puede operar sobre la base de reglas o propiedades que pueden ser usadas para
justicar o demostrar relaciones. Muestra autonoma y fexibilidad para resolver un
amplio repertorio de problemas, tanto rutinarios como no rutinarios, utilizando diver-sas estrategias y para ormular conjeturas acerca de objetos matemticos. Utiliza
lenguaje matemtico para presentar argumentos en la demostracin de situaciones
matemticas.
Nivel 7Sobresaliente
Marzo 2007, primera versin pblica
Sector Matemtica
Cmo se puede reconocer este nivel de aprendizaje? Ejemplos de desempeo
Cuando un alumno o alumna ha logrado este nivel, realiza actividades como las siguientes:
Explica por qu los nmeros complejos de la orma ia 0+ se comportan como los nmeros reales.
Demuestra propiedades relativas a nmeros. Por ejemplo: demuestra que el producto entre dos reales ne-
gativos es un nmero real positivo.
Resuelve problemas complejos que implican la aplicacin de distintos conceptos matemticos. Por ejemplo:
calcula el dinero que obtiene Juan despus de 20 aos si deposita en el banco $ 500.000 al 9% de inters
compuesto.
6 Los enteros motivados por la sustraccin, los racionales por los cuocientes imposibles entre enteros, los irracionales como consecuencia de la raz cuadrada y los imaginarios como consecuencia
de las races de orden par de nmeros negativos.
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21Marzo 2007, primera versin pblica
Mapas de Progreso del Aprendizaje Nmeros y Operaciones
A los estudiantes se les presenta una situacin en la que deben trabajar con un nmero irracionalconocido como el nmero ureo. ste es presentado en su orma algebraicay una aproximacindecimal. Con esto se les solicita realizar tres acciones con este nmero.
Ejemplo de trabajo de alumnos y alumnas
La tarea
Ejemplo de trabajo en el nivel
a. Determina el valor
de una expresin
numrica, median-
te operatoria con
nmeros reales .
Plantea una con-
jetura numrica, a
partir del resultado
obtenido anterior-mente.
b. Utiliza la conjetura
anterior para de-
mostrar la propie-
dad buscada.
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22 Marzo 2007, primera versin pblica
Sector Matemtica
Ejemplo de trabajo en el nivel
c. Formal iza una
d e m o s t r a c i n
matemtica plan-
teando explcita-mente hiptesi s
y tesis. Encadena
correctamente los
argumentos para
demostrar la propo-
sicin matemtica.
Demuestra dominio
en la operatoria con
races.
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AnexosTareas Aplicadas
por Nivel
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Nivel 1 / Tareas Aplicadas
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Mapas de Progreso del Aprendizaje Nmeros y Operaciones
Nivel 2/ Tareas Aplicadas
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Sector Matemtica
Nivel / Tareas Aplicadas
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Mapas de Progreso del Aprendizaje Nmeros y Operaciones
Nivel / Tareas Aplicadas
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2 Marzo 2007, primera versin pblica
Sector Matemtica
Nivel / Tareas Aplicadas
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2Marzo 2007, primera versin pblica
Mapas de Progreso del Aprendizaje Nmeros y Operaciones
Nivel / Tareas Aplicadas
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0 Marzo 2007, primera versin pblica
Sector Matemtica
Nivel 6 / Tareas Aplicadas
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?Anexo
1Marzo 2007, primera versin pblica
Mapas de Progreso del Aprendizaje Nmeros y Operaciones
Nivel 6 y 7 / Tareas Aplicadas
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?Anexo
2 Marzo 2007, primera versin pblica
Sector Matemtica
Nivel 6 y 7 / Tareas Aplicadas
MPA Sector Matemtica / Nmeros
Borrador Diciembre 2006, no citar ni reproducir
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Mapas de Progreso
del Aprendizaje