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TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014
TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014
16 de febrero de 2014
Ecuaciones
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ECUACION
def. Una igualdad en la cual al menos una de las expresiones esalgebraica recibe el nombre de ecuacion.
Ejemplo:3x = 1
9x + 2 = 5− 3x
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ECUACION LINEAL
Este tipo de ecuaciones son las que contienen una sola incognitade grado 1, se escriben generalmente de la siguiente forma:
ax + c = 0; a, c ∈ R
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SOLUCION DE UNA ECUACION
Es el valor o valores de la incognita que al ser sustituidos en laecuacion la transforman en una igualdad numerica verdadera.Resolvamos el siguiente ejemplo:
x− (2x + 1) = 8− (3x + 3)x− 2x− 1 = 8− 3x− 3−x− 1 = 5− 3x
−x− 1 + 3x = 5− 3x + 3x−1 + 2x = 5
−1 + 1 + 2x = 5 + 12x = 6x = 6
2x = 3
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CONJUNTO SOLUCION
Al conjunto S de todas las soluciones de la ecuacion se le llamaconjunto solucion. En el ejemplo anterior tenemos que el valorde x que es solucion es 3
∴ S = {3}
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CONJUNTO SOLUCION
Podemos verificar facilmente que el valor obtenido es,efectivamente, una solucion:
2(3)=66=6
Obtenemos una igualdad numerica verdadera. Tomemos 5 yproblemos si es solucion:
2(5)=6 ; 10=6
Se obtiene una igualdad falsa, por lo tanto 5 no pertenece a S
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NOTAS:
1 Las ecuaciones de primer grado con una incognita tienenuna o ninguna solucion.
2 A las soluciones de una ecuacion se les llama tambienraıces de la ecuacion.
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Resolvamos mas ecuaciones lineales
1 15x− 10 = 6x− (x + 2) + (−x + 3)
2 (5− 3x)− (−4x + 6) = (8x + 11)− 3x− 6
3 30x− (−x + 6) + (−5 + 4) = 5x + 6− 8 + 3x
4 −3(2x + 7) + (−5x + 6)− 8(1− 2x)− (x− 3) = 0
5 (x− 2)2 − (3− x)2 = 1
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ECUACIONES CUADRATICAS
Unas ninas muy precoces,al cuadrado se elevaron.
Y como eran muy audacespor dos se multiplicaron.
Que ya eran muchas sintierony por eso se restaron
doce veces lo que fueron.
Las que al principio empezaroncon esto se contentaron
y treinta y dos ahora son.Ahora quiero que me digassin miedo y sin compasion
A¿Cuantas eran al principiode este juego jugueton?.
Alejandro Bravo,Margarita Espinosa.
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ECUACIONES CUADRATICAS
def. Una ecuacion cuadratica o de segundo grado en unavariable con coeficientes reales es una ecuacion que puedeescribirse como:
ax2 + bx + c = 0;a, b, c ∈ R, a 6= 0
Ejemplo:
x2 − 6x− 3 = 0donde a=1 , b=-6 , c=-3
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ECUACIONES CUADRATICAS
Para resolver una ecuacion de este tipo requeriremos de losmetodos de factorizacion estudiados previamente,principalmente inspeccion, completar cuadrados o la formulageneral que veremos a continuacion:
Formula General:−b±
√4
2aDiscriminante: 4 = b2 − 4ac
donde :
1 Si 4 > 0, ecuacion tiene dos soluciones reales.
2 Si 4 = 0, ecuacion tiene una solucion real.
3 Si 4 < 0, ecuacion no tiene soluciones reales.
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Resolvamos las siguientes ecuaciones:
1 x2 − x− 6 = 0
2 x2 + 7x = 18
3 2x2 = 2x− 12
4 5(x2 + 1) = 8x
5 3t2 −√
15t + 2 = 0
6 3x2 + 3√
2x = 4
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ECUACIONES DE GRADO MAYOR A 2
Para hallar las soluciones de este tipo de ecuaciones podemosutilizar los siguientes metodos de factorizacion principalmente:factor comun, agrupamiento y division sintetica. Veamos elsiguiente ejemplo:
x3 − 7x + 6 = 0
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Resolvamos mas ejemplos:
1 x4 − 10x2 + 9 = 0
2 x2(3x2 + 2) = 4(x2 − 3) + 13
3 x6 = x3 + 12
4 x5 + 2x4 − 10x3 − 20x2 + 9x + 18 = 0
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ECUACIONES RACIONALES
En este tipo de ecuaciones encontramos expresiones algebraicasracionales, utilicemos el siguiente ejemplo para comprendercomo se resuelven:
x− 1
2+
x− 2
4= 1 +
x
34(x− 1) + 2(x− 2)
8=
3 + x
36x− 8
8=
3 + x
33(6x− 8) = 8(3 + x)18x− 24 = 24 + 8x
10x = 48
x =24
5
S =
{24
5
}
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SISTEMAS DE ECUACIONES
Un sistemas de ecuaciones lineales en las incognitas x, yo sistema 2X2 es una expresion de la forma:{
ax− by = ecx− dy = f
donde a, b, c, d, e, f ∈ R.Una solucion del sistema es una par ordenado (x0, y0);x0, y0 ∈ R, que satisface ambas ecuaciones simultaneamente.Estudiaremos cuatro metodos para resolver sistemas deecuaciones: igualacion, suma y resta, sustitucion ymediante una grafica.
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IGUALACION
Resuelva el siguiente sistema:{2x + 3y = 15x + 4y = 2
1) Se despeja la variable x en ambas ecuaciones:
x =1− 3y
2
x =2− 4y
5
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IGUALACION
2)Luego, igualamos ambas expresiones:
1− 3y
2=
2− 4y
55(1− 3y) = 2(2− 4y)
5− 15y = 4− 8y5− 4 = −8x + 15y
1 = 7y
y =1
7
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IGUALACION
3)Luego se sustituye el valor de y en cualquiera de lasexpresiones anteriores:
5x + 4(17) = 25x + 4
7 = 25x = 2− 4
75x = 10
7x = 2
7
S =
{(2
7,1
7
)}
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Sustitucion{2x + 3y = 15x + 4y = 2(?)
1)Se despeja X en cualquiera de las dos expresiones.
x =1− 3y
2(♠)
2)Sustituimos el valor de x en (?)
5
(1− 3y
2
)+ 4y = 2
y =1
7
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Sustitucion
3)Sustituimos el valor de y en (♠):
y =1− 31
7
2=
2
7
∴ S =
{(2
7,1
7
)}
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SUMA Y RESTA{2x + 3y = 15x + 4y = 2{
(2x + 3y = 1)5(5x + 4y = 2)− 2{10x + 15y = 5−10x− 8y = −4
7y = 1
y =1
7
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SUMA Y RESTA
Sustituimos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones delsistema inicial:
2x + 3
(1
7
)= 1
x =2
7
∴ S =
{(2
7,1
7
)}
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LENGUAJE MATEMATICO
La suma de 10 y x: 10 + x
La mitad de un numero:x
22 mas que a: a + 2
La diferencia de dos numeros: x− yEl producto de dos numeros: xy
El cociente de dos numeros:x
yEl doble de un numero: 2aEl triple de un numero: 3a
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LENGUAJE MATEMATICO
Traduzcamos las siguientes frases:
1 Un numero disminuido en 16:
2 Un tercio de w:
3 El cociente de 25 entre un numero:
4 Luis tiene 4 helados mas que Marıa:
5 El total de dıas en x horas
6 Dos veces t menos nueve:
7 La suma de dos numeros es 81:
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LENGUAJE MATEMATICO
Saber realizar este tipo de traduccion nos ayuda a la resolucionde problemas. Ejemplo:
El padre tiene 51 anos, el hijo tiene 9 anos.A¿Al cabo decuantos anos sera la edad del padre 8 veces la edad del hijo?
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EJERCICIOS