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MECANICA DE FLUIDOS I
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INDICE
INTRODUCCION Y PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 5
Los Fluidos. 5
Hidromecnica. 6
Densidad. 7
Densidad Relativa. 9
Viscosidad: Ley de la Viscosidad de Newton. 12
Viscosidad Cinemtica. 17
Mdulo de Elasticidad Volumtrica 18
Presin 21
Medida de la presin 34
ESTATICA DE LOS FLUIDOS 42
Fuerza Sobre Superficie Plana. 49
Fuerza Sobre Superficie Curva. 54
El Principio de Arqumedes. 58
CINEMATICA DE LOS FLUIDOS 63
El Campo de Velocidades. 63
El Campo de las Aceleraciones. 65
El Campo Rotacional. 71
Clasificacin de los Flujos. 74
Descripcin del Movimiento. 79
Lnea de Corriente. 80
Campo Potencial, solenoidal y Armnico. 84
Movimiento Plano de los Fluidos. 87
Ecuaciones de Cauchy Riemann. 97
Red de Corriente. 98
Gasto o Caudal-Ecuacin de Continuidad. 109
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DINMICA DE LOS FLUIDOS
Principio de la Cantidad de Movimiento. 119
Dinmica de los Fluidos Perfectos. 128
Ecuacin de Bernoulli. 131
Dinmica de los Fluidos Reales. 138
Coeficiente de Coriolis. 140
Coeficiente de Boussinesq. 143
Ecuacin de la Energa.- Bombas y Turbinas. 146
Problemas de Aplicacin del Principio de la Energa con Bombas y Turbinas. 150
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INTRODUCCIN
En la formacin del Ingeniero, adems de las matemticas instrumento imprescindible
de trabajo y de la Fsica, base de la ingeniera han de intervenir las siguientes disciplinas
fundamentales: Mecnica de los cuerpos rgidos, mecnica de los cuerpos deformables, o
resistencia de materiales, termodinmica, transmisin de calor y mecnica de fluidos.
La explosin de la informacin, de hoy en da en el mundo de la ciencia y de tcnica,
hace necesario que toda aquella informacin que se sume a las existentes, stas deben reunir
ciertos requisitos de unidad y sntesis, que en el presente se ha tratado de cumplir; y van
principalmente orientados para mis alumnos de la Escuela Profesional de Ingeniera Civil, de la
Facultad de Ingeniera Civil, de Sistemas y de Arquitectura, de la Universidad Nacional Pedro
Ruiz Gallo, de la ciudad de Lambayeque.
La presente separata contiene parte del curso de Mecnica de los Fluidos I, que dicto
en mi Universidad, producto de mi experiencia docente, en el dictado del mismo, y que incluye
aspectos como: propiedades, esttica, cinemtica y dinmica de de los fluidos.
Por ubicarnos estratgicamente en medio de grandes proyectos de naturaleza
hidrulica, tales como el Proyecto Olmos y el Terminal martimo Puerto Eten, el Corredor
Bioceanico y Zona Franca Industrial, nos exige competencias, que este inicial trabajo, pretende
contribuir en destacar la importancia de la mecnica de los fluidos en la formacin del ingeniero
civil.
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CONTENIDO
Los Fluidos
Definicin de Fluidos: Son substancias (cualquier materia) que tiene la propiedad (capacidad)
de fluir; es decir de deslizarse a lo largo de un conducto ajustndose o adaptndose a su
forma.
Tambin se le define como substancias que se deforman continuamente cuando son sometidas
a esfuerzos cortantes o tangenciales.
Clases de Fluidos:
Pueden ser:
a) Fluidos lquidos: Es un estado tpico de la materia, se les puede considerar
prcticamente incomprensibles bajo las mismas condiciones de presin y temperatura; se
caracterizan por tener un volumen propio y su forma cambia dependiendo del conducto o
recipiente que lo contiene agregndose de que muestran una superficie libre.
b) Fluidos gaseosos: Es un estado tpico de la materia, son compresibles.
Se caracterizan por no tener volumen ni forma propia, son expansibles y no posee una
superficie libre.
Diferencia entre lquidos y gases:
LQUIDO GAS
POR SU VOLMEN 1.- Volumen propio
1.- No poseen volumenpropio; susceptible devariacin, acomodndoseal recipiente que loscontiene
POR SU
COMPRESIBILIDAD
2.-Son prcticamenteincompresible. lquidoperfecto (incompresible)
2.-Son compresibles Gasperfecto (infinitamentecompresibles)
Definicin Mecnica de Fluidos: Es la parte de la fsica que se ocupa de estudiar el equilibrio
y movimiento de los fluidos, as como de las aplicaciones y mecanismos de ingeniera.
La mecnica de los fluidos se subdivide en dos campos principales:
- La esttica de los fluidos o hidrosttica, que se ocupa de estudiar los fluidos en reposo,
- La dinmica de los fluidos, que se ocupa de estudiar los fluidos en movimiento.
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La Hidromecnica:
Es una rama importante de la mecnica los fluidos que se ocupa de estudiar el equilibrio y
movimiento de los fluidos incompresibles, especialmente los fluidos lquidos.
La Hidromecnica tcnica o hidrulica cuando las leyes y principios de la Hidromecnica se
aplican en estructuras que le interesan directamente al ingeniero civil.
La Dinmica de los fluidos se subdivide en:
- Hidrodinmica: Estudia el movimiento de los fluidos incompresibles, se aplica al flujo de
lquidos o al flujo de gases a baja velocidad, en el que puede considerarse que el gas es
esencialmente incompresible,
- La Aerodinmica, o dinmica de gases, se ocupa del comportamiento de los gases, cuando
los cambios de velocidad y presin son lo suficientemente grandes para que sea necesario
incluir los efectos de la compresibilidad.
Estados de la materia: La materia se presenta en diferentes estados, que se reducen
tpicamente a tres: slido, lquido y gaseoso, sin perjuicio de que existan estados intermedios,
que segn los casos, puedan asimilarse a uno u otro.
La diferencia entre slido y fluido: las cualidades esenciales de la materia son: la masa, la
forma y la duracin.
Magnitudes: son las cualidades de la materia, en cuanto a susceptibles de medicin.
La diferencia entre slido y fluido; que son estados contrapuesto; el patrn de ambas es el
grado de rigidez del enlace molecular.
Slido tpico, es capaz de resistir una accin deformante permanente, mientras que el fluido
es incapaz de ello.
Slido perfecto (infinita rigidez del enlace molecular) y fluido perfecto (infinita libertad del
enlace molecular).
MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E
1.- Slido Slido : Masa; volumen; forma geomtrica2.- LquidoFluidos :
Masa; volumen3.- Gas Masa.
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No existiendo en la naturaleza magnitudes infinitas es decir a falta de la infinita rigidez o de la
infinita libertad del enlace molecular, el slido perfecto y el fluido perfecto son entes de razn,
puras abstracciones.
1.- Densidad (): Es la masa contenido en la unidad de volumen.
Masa: Es la sustancias de la materia.
M: Es el smbolo de la magnitud de la masa.
: Es el smbolo del volumen de la masa M
Ecuacin de dimensiones:
- Sistema absoluto : [ ] 3= ML dimensiones
- Sistema gravitacional : [ ] 42 = LFT dimensiones.
Unidades:
M.K.S : [ ]3m
kgm=
- Sistema Absoluto
C.G.S : [ ]3cm
grm=
M.K.S : [ ]4
2
m
Skgf=
- Sistema GravitacionalC.G.S : [ ]
4
2
cm
Sgrf=
- Sistema Internacional [ ]3m
kgm=
Donde: kgm = Kilogramo masa.MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 7
=
M
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kgf = Kilogramo fuerza.
grm = gramo masa.
grf = gramo fuerza
2.- Peso Especfico ( ): Es el peso de la unidad de volumen.
=
W
w mgg = = =
g =
Ecuacin de dimensiones:
- Sistema absoluto : [ ] 22 = TML dimensiones
- Sistema gravitacional : [ ] 3= FL dimensiones
Unidades:
M.K.S : [ ]22sm
kgm
=
- Sistema Absoluto
C.G.S : [ ]22scm
grm=
M.K.S : [ ]3m
kgf= o [ ]
3m
Newton=
- Sistema Gravitacional
C.G.S : [ ]3cm
grf= o [ ]
3cm
Dinas=
- Sistema Internacional [ ]sm
kgm2
=
Para relacionar las unidades de medida entre los sistemas absolutos y gravitacionales, se usa
la segunda ley de Newton del movimiento:MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 8
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aMF .=SISTEMA
SISTEMA ABSOLUTO SISTEMA GRAVITACIONAL
M.K.S
C.G.S
2
m1NEWTON 1kgm x1s
=
2
1kgmxm1N
S=
La Unidad derivada para la fuerza es elnewton (N) definido como la fuerza queaplicada sobre 1 kgm le produce unaaceleracin de 1 m/s2. kgm, m y s; sonUnidades fundamentales.
2
m1kgf 1kgmx 9.81s=
2
kgmxm1kgf 9.81 9.81N
s= =
21 kgf xs1kgm
9.81 m=
La unidad derivada de masa es elkgm que adquiere la aceleracingravitacional cuando se le aplicauna fuerza de 1 kgf. Kgf, m y s; sonunidades fundamentales.
3.-Densidad Relativa.-(r): es otra forma de cuantificar la densidad de un liquido, refirindola a
la correspondencia al agua. Es decir es la relacin entre la densidad del fluido y la densidad del
agua a una presin y temperatura especifica. (4C y 1 atmsfera).
2
fluidor
H 0
=
Carece de dimensiones.
4.-Peso Especfico relativo ( r), o Gravedad Especfica.-: Anlogamente a la densidadrelativa; el Peso especfico relativo es la relacin entre el peso especfico del fluido y el peso
especfico del agua a una presin y temperatura especfica.
OH
FLUIDOr EG
2
..
== Carece de dimensiones
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OH
FLUIDO
OH
FLUIDOrr
22
===
5.-Volumen Especifico )( s : El volumen especfico se define de distinta manera en el
sistema absoluto y en el sistema gravitacional.
5.1.- Sistema Absoluto y Sistema Internacional: El volumen especfico es el volumen
ocupado por la unidad de masa (un kilogramo masa) de la sustancia.
Ms
=
11 =
=Ms
1=s
El volumen especfico es el reciproco de la densidad.
Ecuacin de dimensiones:
[ ] 13 = MLs
Unidades:
Sistema absoluto (MKS) y Sistema Internacional.
kgm
ms
31=
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Ejm. El "" s del agua destilada a la presin atmosfrica y 4C es aproximadamente igual a
kgm
m3310
. Es interesante observar que la densidad del aire a la presin atmosfrica y 4C es
aproximadamente 1.33m
kgmy su
kgm
ms
3.1
1 3= .
Es decir, 1 kgm de aire a la presin atmosfrica ocupa aproximadamente 800 veces mas
espacio que 1 kg.m de agua.
5.2.- Sistema Tcnico o Gravitacional: El volumen especfico es el volumen ocupado por la
unidad de peso (un kilogramo peso) de la sustancia.
Ws
=
11=
=Ws
1=s
El volumen especfico es el recproco del peso especfico.
El volumen especfico, como todas las magnitudes especficas, se han de referir en el sistema
absoluto (Tambin en el S.I), que es un sistema msico, a la unidad de masa (kgm); mientras
que en el sistema gravitacional, las mismas magnitudes especficas se han de referir a launidad de peso (kgp o kgf).
Ntese sin embargo, que siendo 1 kgp el peso de 1 kgm, los valores numricos de "" s
coinciden en ambos sistemas de unidades, pero expresados en unidades diferentes (kgm
m3
en el
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sistema absoluto ykgp
m3
en el sistema gravitacional). Asimismo, el valor numrico de en el
sistema Tcnico o Gravitacional es igual al valor numrico de en el sistema absoluto; pero
el valor numrico de en el sistema tcnico o gravitacional no es igual al valor numrico de
en el sistema absoluto, como es fcil de comprobar.
6.-Viscosidad.- ():
1. La viscosidad de un fluido es una medida de su resistencia a fluir, como resultado de la
interaccin y cohesin molecular.
2. La viscosidad de un fluido determina la cantidad de resistencia opuestas a las fuerzascortantes. La viscosidad se debe primordialmente a las interacciones (accin reciproca),
que se ejercen entre las molculas del fluido.
3. Tambin se define como una medida de su resistencia a la rapidez de deformacin,
cuando se someten a un esfuerzo tangencial que explica su fluidez.
4. Determina la resistencia opuesta al deslizamiento cuando se desplaza el fluido.
6.1.- Ley de la Viscosidad de Newton:
Hiptesis:
1.- Considrese dos superficies planas paralelas de grandes dimensiones, una fija y otra mvil,
con el espacio entre ellas llenos de fluidos, separadas a una pequea distancia yo.
2.- Que la placa superior se mueve a una velocidad constante V0, al actuar sobre ella una
fuerza F tambin constante.
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3.- El fluido en contacto con la placa mvil se adhiere a ella movindose a la misma
velocidad Vo, mientras que el fluido en contacto con la placa fija permanecer en
reposo.
4.- si la separacin yo y la velocidad Vo no son muy grandes, la variacin de las velocidades
vendr dado por una lnea recta
La experiencia ha demostrado que la fuerza F vara con el rea de la placa A, con la
velocidad V0 e inversamente proporcional con la separacin Y0.
0
0
y
AVF (1)
Por tringulos semejantes:dy
dv
y
V
V
dv
y
dy ==0
0
00
(2)
)1()2( dy
dvA
y
AVF =
0
0
dy
dv
A
F =
dy
dv = (I)
Donde:
= viscosidad absoluta o dinmica
Segn Newton el esfuerzo tangencial () que se produce entre dos lminas separadas una
distancia dy que se desplazan con velocidades (v) y (v + dv), esdy
dv
Ahora:
Analicemos el movimiento de un flujo sobre una frontera slida fija, donde las partculas se
mueven en lneas rectas paralelas (fluido viscoso: laminar) como consecuencia anterior
supondremos que el flujo se producen en forma de capas o laminas de espesor diferencial,
cuyas velocidades varan con la distancia Y normal a dicha frontera.
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Recordemos la definicin (3) de la Viscosidad: La Viscosidad es una medida de su
resistencia a la rapidez de deformacin, cuando se someten a un esfuerzo tangencial
que explica su fluidez.
Para las mismas hiptesis anteriores, es decir tratndose de un flujo bien ordenado en que las
partculas del fluido se mueven en lneas rectas y paralelas (flujo paralelo): flujo laminar, se
trata pues de un flujo de capas o lminas.
En tales condiciones Newton en el ao 1686, demostr:
t
(1) El esfuerzo cortante es proporcional a la rapidez de deformacin.
Adems sabemos que: ys = (2);
Donde: xs y en radianes y para ngulos pequeos: xs = (3)
)2()3( : yx = ; Luegoy
x= (4)
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)1()4( :x v
yt y =
v
y
y
v=
dy
dv=
De acuerdo con esta ecuacin el esfuerzo tangencial en cualquier punto de un fluido puede
desapareceren los siguientes casos:
a) Si se desprecia la accin de la viscosidad (fluido no viscoso)
b) Si la distribucin de velocidades es uniforme (v= cte) y por tanto dv/dy=0; sucede
cuando el flujo es turbulento y el efecto viscoso es despreciable.
c) En un lquido en reposo, donde la velocidad en cada punto (y como consecuencia
dv/dy vale cero.
6.2.- Ecuacin de Dimensiones:
Sistema Absoluto : [ ] 11 = TML dimensiones.
Sistema Gravitacional : [ ] TFL 2= dimensiones.
6.3.- Unidades:
M.K.S: [ ]sm
Kgm
=
Sistema Absoluto
C.G.S: [ ] = =
grm1poise
cm s
M.K.S: [ ]2
1
m
sKgf=
Sistema Gravitacional
C.G.S: [ ]2
1
cm
sgrf=
Sistema Internacional. [ ]sm
Kgm
=
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Conclusiones Adicionales: - La viscosidad de un lquido ocurre por la cohesin de
molculas. Esta cohesin y por tanto la viscosidad disminuyen cuando la temperatura aumenta.
La viscosidad de un gas es el resultado del movimiento aleatorio de las molculas, existe poca
cohesin entre ellas. Sin embargo las molculas interactan chocando unas con otras durantes
sus movimientos rpidos. La propiedad de la viscosidad resulta de estos choques. Este
movimiento aleatorio aumenta con la temperatura, de manera que la viscosidad aumenta con la
temperatura.
Nuevamente se nota que la presin tiene solo un efecto pequeo sobre la viscosidad y por lo
general sta no se toma en cuenta.
Frmulas Empricas para Calcular la Viscosidad Absoluta del Agua y del Aire.
- La viscosidad para el agua.- Est dada por la frmula de Poiseuille (1799-1869),
investigador Francs (mdico).
[ ]20002.00337.01
0178.0
tt++= Sistema Absoluto
Donde: [ ] poise= y Ct o=
[ ]20002.00337.01
0001814.0
tt++= Sistema Gravitacional
Donde:
[ ]2
m
sKgf= y Ct o=
Ejemplo: si t = 20 oC.
poisepoises 01.0010145.0 ==
centipoise1=
..1 pc=
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2
00010348.0m
sKgf=
- La viscosidad para el aire.-
)00000034.00275.01(10715.124
ttx +=
poise= y Ct o=
Estas frmulas funcionan para cualquier valor de la temperatura.
7.- Viscosidad Cinemtica.- ()
=
Para los clculos prcticos es ms conveniente relacionar la viscosidad dinmica del fluido y su
densidad.
Ecuacin de Dimensiones:
12 = TL Dimensiones.
Se aprecia que la ventaja de usar esta nueva propiedad es evidente, ya que sus dimensiones
son [L2T-1], esto es independiente de los conceptos de masa y fuerza.
Unidades:
Sistema M.K.S:s
m2=
Sistema C.G.S: Stoke1s
cm2
==
Equivalente til: .=2m
1Stoke 0 0001s
En la fig. se muestra los valores de y para el caso del agua y el aire en funcin de la
temperatura y la presin atmosfrica al nivel del mar.
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8.- Mdulo de Elasticidad Volumtrica (E): Expresa la compresibilidad de un fluido, es la
relacin entre el incremento de presin (P) y la disminucin unitaria de volumen (1
).
Es una medida del cambio de volumen (y por lo tanto de su densidad), cuando se somete a
diversas presiones.
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1
=
pE
12 pp >
En general, cuando un volumen de un lquido de densidad
y presin p se somete acompresin por efecto de una fuerza F, como se muestra en la Fig., la masa total de fluido
),( = m permanecer constante, es decir que: ( ) ( )= = + =d m d d d 0
De donde resulta:
=d d
Al multiplicar ambas muestras x dp (diferencial de presin), se obtiene:
dpd
dpd
=
d
dp
d
dp=
d
dp
d
dpE +=
=
El signo negativo de la ecuacin indica una disminucin en el volumen al aumentar la presin
p
2
6
)( 10*1.2cm
KgfE ACEROS =
2
6
)( 10*0105.0.
cm
KgfE AIREa =
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2
4
210*1.221000
2 cm
Kgf
cm
KgfE OH ==
2
8
2
8 10*1.210*1.22 cm
Kgf
cm
KgfE OH ==
- El aire es 20000 veces ms compresible que el agua.
- El agua es 100 veces ms compresible que el acero.
Ecuacin de dimensiones:
Sistema Absoluto: [ ] 21 = TMLE Dimensiones
Sistema Absoluto: [ ] 2= FLE Dimensiones
Unidades:
M.K.S: [ ]2sm
KgmE
=
Sistema Gravitacional
C.G.S: [ ]2scm
grmE
=
M.K.S: [ ]2m
KgfE =
Sistema Gravitacional
C.G.S: [ ]2cm
grfE =
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9.-Presin:
=dP
pdA
A
Fp N
=
La presin no es una fuerza sino el cociente de una fuerza sobre una superficie.
Donde:
NF = Es una fuerza normal a la superficie A
P = Presin media sobre la superficie A
Propiedades de la Presin
Primera Propiedad: La presin en un punto de un fluido en reposo, es igual en todas
direcciones (principios de Pascal). Es decir, una diminuta placa (infinitesimal) sumergida en un
fluido experimentara el mismo empuje de parte del fluido, sea cual fuere la orientacin de la
placa.
Demostracin:
a) Considrese un pequeo prisma triangular de lquido en reposo, bajo la accin del fluido
que lo rodea.
b) Los valores medios de la presin o presiones medias sobre las tres superficies son p1, p2
y p3.
En la direccin Z, las fuerzas son iguales y opuestas y se anulan entre ellas.
Sumando las fuerzas en la direccin x e y se obtiene:
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= 0Fx 032 = senPP
0)()(32
= sendsdzpdydzp
= 0Fy 0cos31 = dwPP
1 3
1p (dxdz) p (dsdz)cos ( dxdydz) 0
2 =
coscos dsdxds
dx==
Equivalencias
dssendyds
dysen ==
Las ecuaciones anteriores se reducen a:
0)()(32
= dydzpdydzp 32 pp =
1 3
1p p ( dy) 0
2 =
Cuando el prisma tiende a contraerse sobre un punto, dy tiende a cero en el lmite, y la
presin media se vuelve uniforme en la superficie que tiende a cero y queda definida la presin
en un punto. Por tanto al poner dy = 0 en la ecuacin (2) se obtiene 31 pp = y de aqu:
321 ppp == .
Presin de un fluido: Se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y acta
normalmente a cualquier superficie plana, en el mismo plano horizontal.
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Demostracin: si se aplica una presin a un fluido incompresible (un liquido), la presin se
transmite, sin disminucin, a travs de todo el fluido.
Esto se demuestra utilizando la botella de Pascal; que bsicamente, consiste en una botella de
forma esfrica, a la cual se le ha aplicado varios agujeros. Tapados los agujeros con corchos,
se llena con un lquido.
Al aplicar una presin p por el mbolo, esta se transmite con igual magnitud en todas
direcciones, haciendo saltar todos los corchos al mismo tiempo.
Aplicaciones del Principio de Pascal: Prensa Hidrulica- Es aquel dispositivo o mquina que
est constituida bsicamente por dos cilindros de diferentes dimetros conectados entre s, de
manera que ambas confinen un liquido.
El objetivo de esta mquina es obtener fuerzas grandes aplicando fuerzas pequeas. Tener en
cuenta que esta mquina esta basado en el principio de Pascal. Esta mquina hidrulica
funciona como un dispositivo multiplicador de fuerzas.
Son ejemplos directos de este dispositivo: los sillones de los dentistas y los barberos, los frenos
hidrulicos, etc.
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02211 = dApdAp ; 21 dAdA =
21 pp =
Ni la gravedad, ni las presiones sobre la superficie lateral del cilindro tienen componente alguno
en la direccin del eje del cilindro. Como la orientacin del eje del cilindro es arbitraria queda
demostrada la segunda propiedad.
Tercera Propiedad.-
En un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce en el interior de un fluido una parte del
fluido sobre la otra contigua al mismo tiene la direccin normal a la superficie de contacto.
Como esta fuerza normal es la presin, en el interior de un fluido en reposo no existe mas
fuerza que la debida a la presin.
Demostracin:
a) Consideremos un volumen cualquiera de fluido como en la figura.
b) Dividamos el volumen en dos partes (A) y (B) por una superficie cualesquiera.
Anlisis: Si la fuerza que ejerce B sobre A tuviera la direccin 1, se descompondra en dos
fuerzas 2 y 3.
El fluido no puede soportar la fuerza tangencial 3 sin ponerse en movimiento; pero por hiptesis
el fluido est en reposo, luego la fuerza no puede tener la direccin 1 y tiene que tener la
direccin 2, o sea, la direccin de la normal.
Este mismo argumento es valedero para la fuerza que el fluido en reposo ejerce sobre el
contorno slido en el cual est contenido.
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Cuarta Propiedad
La fuerza de la presin en un fluido en reposo se dirige siempre hacia el interior del fluido, es
decir, es una compresin, jams una traccin. Tomando como positivo el signo de compresin,
la presin absoluta no puede ser jams negativa.
Quinta Propiedad
La superficie libre de un lquido en reposo es siempre horizontal.
Demostracin: Segn la figura, supongamos que es la superficie libre de un lquido, no
horizontal. Cortado por un plano no horizontal y aislando la parte superior del lquido se ve
que siendo las fuerzas elementales de presin que el lquido inferior ejerce sobre el lquido
aislado normales al plano , su resultante tambin lo ser y no podr estar en equilibrio con la
fuerza de la gravedad, W.
Unidades (dimensiones): Sistema Absoluto: [ ] 21 = TMLp
Sistema Gravitacional: [ ] 2= FLp
- M.K.S: [ ] )1(11
* 22PaPascal
m
Newton
sm
Kgmp ===
ABSOLUTO
- C.G.S: [ ]22
1
*
1
cm
dina
scm
grmp ==
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- M.K.S: [ ]2m
kgfp =
GRAVITACIONAL
- C.G.S: [ ]2
1
cm
grfp =
En la prctica se expresa con frecuencia la presin en altura equivalente de columna de un
lquido determinado: por ejemplo en metros de columna de agua, en milmetros de columna
de mercurio, etc. Dimensionalmente la presin no es una longitud sino una fuerza partido por
una superficie. Por eso en el Sistema Internacional (SI) las alturas como unidades de
presin han sido abolidas aunque no hay dificultad en seguir utilizndose como alturas
equivalentes. Como excepcin puede seguirse utilizando como unidad de presin el mm. de
columna de mercurio, que recibe el nombre de Torr (en atencin a Torricelli), nombre que
debe sustituir al de mm. cm. :
Torr1etroHglimmi1 =
A continuacin se deduce una ecuacin, que permite pasar fcilmente de una presin
expresada en columna equivalente de un fluido a la expresada en unidades de presin
de un sistema cualquiera:
Consideremos un recipiente cilndrico de base horizontal A lleno de lquido de densidad
hasta una altura h.
Por definicin de presin:
ghA
gAh
A
g
A
Wp
==
==
)( = ghp
Ejemplo: Hallar la presin correspondiente a una columna de glicerina de h = 300mm.MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 27
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26.1)( =glicerinar ; Luego 31000*26.1 mkgm
glicerina =
Luego3
1260m
kgmglicerina = (S:I)
Aplicando ()3 2
kg mp 1260 9.81 0.3mm s
=
2*2.3708
segm
kgmp =
2
kgm1Pa
m seg=
Pap 2.3708=
Con frecuencia se presenta el caso al pasar de una columna del lquido x a otra de un
lquido distinto y.
Aplicando la ecuacin (), se tiene:
yyxx ghghp ==
)(
= x
y
xy hh
Si el lquido y es agua, se tiene:
x
OH
xOH hh
2
2
= xxrOH hh =2
Caso particular, para transformar a alturas equivalentes de columnas de agua.
Ejm:
Convertir 750 Torr en unidades diversas.
Solucin:
).....(136003
Tablam
kgmHG =
ghp =
mmHgTorrp 750750? === ; Luego:
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28.9
750
seg
mg
mmHgh
=
=
Hg Hgp g h=
3 2
kg mp 13600 9.81 0.75mHg
m seg=
2
kgp 100062
m seg=
2kgm
1Pa 1m seg
=
Pap 062,100=
Presin Atmosfrica (Pamb)
Segn las normas DIN 1314 (Feb. 1977), que denomina a la presin atmosfrica Pamb (del
latn ambiens)
Sobre la superficie libre de un lquido reina la presin del aire o gas que sobre ella existe. Esta
presin puede adquirir un valor cualquiera en un recipiente cerrado; pero si el recipiente est
abierto, sobre la superficie libre del lquido reina la presin atmosfrica pamb, debido al peso
de la columna de aire que gravita sobre el fluido.
La presin atmosfrica vara con la temperatura y la altitud.
Presin atmosfrica estndar: Es la presin al nivel medio del mar y a la temperatura de
15C; equivale a la atmsfera real que se encuentra en muchas partes del mundo.
.lg7.14
.lg92.29
)..(1
.760
.33.10
)......(033227.1
2
2
2
pulbP
HgpuP
raunaatmosfeambP
mmP
mP
EEUUcm
kgP
stamb
stamb
stamb
Hgstamb
OHstamb
stamb
=
=
=
=
=
=2
ambst
amb 2st
amb 2st
ambst
ambst
ambst
6 2
ambst
P 2,116.2lb pie .
P 33.87pieH O.
P 406.79pulgH O.
P 101,325Pa.
P 101.325kPa.
P 1.01325Bars.
P 1.01325x10 dinas cm
=
=
=
=
=
=
=
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En la tcnica se utiliza mucho la atmsfera tcnica.
kPam
Nbartecnicaatmosfera 1001011
2
5 ===
211
m
NPa =
El kilopascal es tambin usado como unidad de presin
Presin Atmosfrica Local y Temporal:- Es la presin atmosfrica reinante en un lugar y
tiempo determinado
Por lo tanto hay tres atmsferas:
1.- Atmsfera Estndar = 1.033227 kg/cm2=1.01396 bar
2.- Atmsfera Tcnica = 1.019368 kg/cm2=1 bar
3.- Atmsfera Local y Temporal = ?
Presin Absoluta y Presin Relativa o Excedente.
La presin en cualquier sistema de unidades se puede expresar como presin absoluta (pabs) o
como presin relativa o excedente (pr). Esta denominacin no afecta a la unidad, sino al cero
de la escala. Sucede lo mismo con la temperatura: Los grados centgrados expresan
temperaturas relativas, tomando como 0C la temperatura de fusin del hielo; mientras que las
temperaturas en Kelvin expresan temperaturas absolutas, medidas a partir del cero absoluto.
En el sistema ingls de unidades, los grados Farenheit expresan temperaturas relativas
(Temperatura de fusin del hielo 32F); mientras que los grados Rankine expresan
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temperaturas absolutas. El cero absoluto de temperaturas es el mismo en todos los sistemas
de unidades. Lo mismo sucede con el cero absoluto de presiones.
180
32
100
= FCoo
9
32
5
= FCoo
Escala Kelvin.- Se sabe que la temperatura no tiene lmite superior; pero si un inferior.
Mtodos modernos de la fsica de bajar la temperatura de un cuerpo; mximo a la vecindad de
-273C; pero no se ha conseguido llegar hasta ella, ni bajar ms.
La temperatura de -273C se denomina cero absoluto y un gran fsico del siglo XIX llamado
Kelvin, propuso una construccin de una escala termomtrica cuyo cero fuese el cero absoluto
y cuyos intervalos de un grado fueran iguales a las de las escalas Celsius o Centgrados.
0K=273 + 0C
Las presiones absolutas se miden con relacin al cero absoluto (vaco total o 100% de
vaco) y las presiones relativas con relacin a la atmsfera.
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La mayora de los manmetros (dispositivos para medir presiones), estn construidos de
manera que miden presiones relativas o excedentes con relacin a la Atmsfera local. Para
hallar la presin absoluta con exactitud habr que sumar a la presin leda en el manmetro la
presin atmosfrica local medida exactamente con un barmetro. Muchas veces no se necesita
gran precisin y entonces se suma a la lectura del manmetro (presin relativa) la Atmsfera
Tcnica, que es igual a 1 bar =1.019 Kg/cm2
222
5
2
5 019.168.193,1081.9
10101
cm
kg
m
Kg
m
Kgf
m
Nbar ====
De aqu resulta la Ecuacin Fundamental:
)..(.......... ambrabs PPP +=
Donde:
absP = Presin absoluta Pa, S.I
rP = Presin relativa, Pa, SI (medida con el manmetro)
ambP = Presin atmosfrica, presin ambiente o presin baromtrica, Pa, SI
(medida con un barmetro).
O bien la Ecuacin aproximada:
1+= rabs PP bar.()
1 bar = 1 atmsfera tcnica
Las ecuaciones () y () pueden estudiarse grficamente en la figura siguiente.
Finalmente los vacos se miden con mucha frecuencia en tanto por ciento de la presin
atmosfrica local. Es decir el cero absoluto es 100% de vaco y la presin atmosfrica local al
cero por ciento.
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Torricelli, Fue el primero en medir la presin atmosfrica, su experimento consisti en:
a) Consigui un tubo de vidrio abierto por uno de los extremos, al cual llen completamente de
mercurio. Fig. A
b) Consigui un recipiente tambin al cual introdujo el mismo lquido mercurio. Fig. B
c) Tapando el extremo libre del tubo volte dicho tubo y lo sumergi en el recipiente antes
mencionado, para inmediatamente destaparlo.
d) El mercurio descendi por el tubo y se detuvo a una altura de 76 cm. Encima del nivel del
mercurio del recipiente. Fig. C..
Torricelli concluy que la presin atmosfrica al actuar sobre el recipiente equilibraba a la
columna de 76cm de mercurio, con la cual la presin atmosfrica sera:
cmHgPamb 76=
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Medida de la Presin
La medida, la transmisin y el registro de presiones, es muy frecuente, tanto en laboratorios,
como en la industria.
Los medidores de presin o manmetros necesariamente son variadsimos, y que en los
laboratorios y la Industria se han de medir presiones desde un vaco absoluto del 100 por 100
hasta 10,000 bar y an mayores, con grado de precisin muy diverso y en medios
(temperaturas elevadas, atmsferas explosivas, etc.) muy diversos.
Los aparatos que sirven para medir las presiones se denominan manmetros. Los manmetros
pueden clasificarse segn los siguientes criterios:
1.-Clasificacin: segn la naturaleza de la presin medida:
a. -Instrumentos que miden la presin atmosfrica: barmetros
b. -Instrumentos que miden la presin relativa: manmetros.
c. -Instrumentos que miden la presin absoluta: manmetros de presin absoluta.
d. -Instrumentos para medir diferencias de presiones: manmetros diferenciales.
e. -Instrumentos para medir presiones muy pequeas: micromanmetros.
2.-Clasificacin segn el principio de funcionamiento.
A.-Mecnicos, el principio de funcionamiento de estos consiste en equilibrar la fuerza
originada por la presin que se quiere medir con otra fuerza, a saber, con el peso de una
columna de lquido, con un resorte en los manmetros clsicos o con la fuerza ejercida sobre
la otra cara de un mbolo en los manmetros de mbolo. Esta ltima fuerza se mide
mecnicamente.
B.-Elctricos, en este tipo de manmetros la presin origina una deformacin elstica, que
se mide elctricamente.
El grado de exactitud de cada manmetro depende del tipo, de la calidad de construccin, de
su instalacin y, por supuesto, de su adecuada lectura.
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A.-Barmetros
Son Instrumentos que sirven para medir la presin atmosfrica. Los principales son: barmetro
de mercurio de cubeta y barmetro de mercurio en U.
Barmetro de Mercurio de Cubeta.-
En la figura representada, encima del mercurio reina el vaco, p = 0, se ha tenido en cuenta de
eliminar el aire al sumergir el tubo. Una escala graduada mvil no dibujada en la figura, cuyo
cero se hace coincidir antes de hacer la lectura con el nivel del mercurio en la cubeta, permite
leer l, que es la presin atmosferita pamb en Torr. o en mm c.m.
Del diagrama del cuerpo libre de la figura se cumple:
P2=Pamb=P1+ Hg
Pero como P1=0, entonces:
Pamb= Hg h
Barmetro de Mercurio en U
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En este barmetro la cubeta queda eliminada.
Por razonamiento similar y evaluando el diagrama del cuerpo libre de la columna de mercurio,
entre las secciones 0 y 1 y teniendo en consideracin que P o=0, pues corresponde al vaco
total; y adems de la segunda propiedad de la presin la presin en todos los puntos situados
en un mismo plano horizontal en el seno de un fluido en reposo es la misma; es decir: P1 = P2
= Pamb
Luego: Pamb= Hg h
B.-Piezmetros
Son tubos transparentes de cristal o plstico, recto o con un codo, de dimetro que no debe ser
inferior a 5 mm para evitar los efectos de capilaridad debidos a la tensin superficial. Este tubo
se conecta al punto que se quiere medir la presin, practicando cuidadosamente en la pared
del recipiente o tubera un orificio, que se llama orificio piezomtrico.
Los tubos piezomtricos constituyen el procedimiento ms econmico y al mismo tiempo de
gran precisin para medir presiones relativamente pequeas. Midiendo la altura de ascensin
del lquido en el tubo piezomtrico nos dar la presin requerida.
PA = h
Donde es el peso especfico del fluido en la tubera, que es mismo que asciende en el tubo
piezomtrico o simplemente piezmetro.
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C.-Manmetros
Se utilizan para medir presiones relativas, tanto positivas como negativas. Particularmente se
utilizan cuando el fluido es poco viscoso, pues en este caso trata de ganar grandes alturas,
utilizndose el mercurio como lquido manomtrico.
El lquido manomtrico se escoger apropiadamente de acuerdo a las presiones a medir.
Tipos:
Manmetro en U ; con Sobrepresin o Presin Relativa Positiva
Es aquel que es conectado a depsitos o tuberas a presin, por lo tanto las presiones a
registrar son mayores que la atmosfrica.
Objetivo, determinar la presin en A.
Se sabe que la presin en 1 es igual a la presin en 2
P1 = P2
Del diagrama del cuerpo libre, en equilibrio, de altura h, puesto que se est trabajando con
presiones relativas,
Luego,
Pamb =0
Entonces:
P1 = l h (1)
Del diagrama del cuerpo libre, en equilibrio de altura z,
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P1 = PA + z (2)
Igualando (1) y (2):
PA = l h - z
Hagamos,
Sl
=
;
)zSh(PA =
Manmetro en U ; con Depresin o Presin Relativa Negativa
Es aquel que es conectado a depsito o tubera en vaco, por lo tanto las presiones a
registrar son menores que la atmosfrica.
Objetivo, determinar la presin en A.
Se sabe que la presin en 2 es igual a la presin en 3
P2 = P3
Del diagrama del cuerpo libre, en equilibrio, de altura z+h, puesto que se est trabajando con
presiones relativas,
Luego,
P3 =0 (1)
Entonces:
P2 = PA + z + l h (2)
Igualando (1) y (2):
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PA = -( lh- z)
Hagamos,
Sl
=
Entonces:
)zSh(PA +=
Regla Prctica:
Consiste en dividir el fluido en secciones, correspondientes a los cambios de densidad. En la
prctica se escribe inmediatamente una sola ecuacin partiendo del punto inicial (A) y en
nuestro caso sumndole o restndole los trminos correspondientes a las columnas de lquido
hasta llegar al punto final (B); es una suma y resta de presiones; al considerar positivas las
presiones de secciones que se encuentran por debajo de la seccin inmediata de referencia y
negativas, las presiones que se encuentren por encima de la seccin inmediata de referencia;
ejemplo:
Dl
A PhzP =++
Pero,
PD = 0
Entonces:
)zSh(PA +=
Resultado que es el mismo obtenido por el procedimiento analtico o general.
Manmetro Diferencial
Mide la diferencia de presiones entre dos puntos. La sensibilidad del manmetro es tanto
mayor cuanto la diferencia ( m - ) sea menor. Siendo m el peso especfico del lquido
manomtrico.
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Objetivo, determinar la diferencia de presiones entre A y B.
Se sabe que la presin en 1 es igual a la presin en 2 y tambin a la Presin en 3
P1 = P2 = P3 (1)
Del diagrama del cuerpo libre en equilibrio de la columna de altura z,
PA = P1 + z (2)
Reemplazando (1) en (2) ,
Resulta:
PA = P3 + z (3)
Del diagrama del cuerpo libre, en equilibrio, de la columna de altura h,
P3 = P4 +l
h (4)
Pero, P4 =P5 (5)
Sustituyendo (5) en (4), resulta:
P3 = P5 + l h (6)
Adems, del diagrama del cuerpo libre de la columna de altura h+z:
PB = P5 + (h+z) (7)
Restando (3)-(7) y simplificando,
Resulta:
PA PB = P3 P5 - h (8)
(6) en (8):
PA PB = h ( l- )
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D.-Vacumetros
Sirve para medir presiones de lquidos o gases empleando un lquido manomtrico no miscible.
Aplicando los mismos principios que en los manmetros al vacumetro de lquido de la figura,
se obtiene la presin absoluta de la seccin 5:
P5 = (Sh-z)
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ESTTICA DE LOS FLUIDOS
La esttica de los fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en reposo, y
cuando se trata slo de lquidos, se denomina hidrosttica. Desde el punto de vista de
ingeniera civil es ms importante el estudio de los lquidos en reposo que de los gases, por lo
cual aqu se har mayor hincapi en los lquidos y, en particular, en el agua.
Si todas las partculas de un elemento fluido, visto como un medio continuo, estn en reposo o
movindose con la misma velocidad, se dice que el fluido es un medio esttico; por lo que el
concepto de propiedades de un fluido esttico pueden aplicarse a situaciones en las cuales se
estn moviendo los elementos del fluido, con tal de que no haya movimiento relativo entre
elementos finitos. Como no hay movimiento relativo entre las placas adyacentes, tampoco
existirn fuerzas cortantes, por lo que la viscosidad en este caso deja de ser importante y las
nicas fuerzas que actan sobre las superficies de los fluidos son las de presin. La esttica se
refiere a un estudio de las condiciones en las que permanece en reposo una partcula fluida o
un cuerpo.
Se distinguen dos tipos de fuerzas que pueden actuar sobre los cuerpos, ya sea en reposo o
en movimiento: Las fuerzas msicas y las fuerzas superficiales.
Las fuerzas msicas incluyen todas las fuerzas exteriores que actan sobre el material en
cuestin sin contacto directo, ejemplo la gravedad.
Las fuerzas superficiales incluyen todas las fuerzas ejercidas sobre su contorno, por su
proximidad, por contacto directo; es por esto una accin de contorno o superficial, ejemplo las
fuerzas de presin, de friccin, etc.
En mecnica de fluidos se usan las fuerzas relativas con las masas o reas, as:
am
FmaF II == g
m
FmgF GG ==
pA
FpAF
N
PNP == ==
T
TTT A
FAF
Ecuacin Fundamental de Variacin de la Presin en un Fluido en Reposo Absoluto
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Como el fluido se encuentra en reposo absoluto, estar sometido exclusivamente a su peso
propio, no existirn otro tipo de fuerzas de masa o exteriores; es decir, adems de la fuerza
gravitacional, existirn las fuerzas superficiales debido a la presin, no existiendo fuerzas de
friccin o tangenciales por encontrarse en reposo absoluto.
Evaluemos la variacin de la presin en un elemento diferencial ortodrico de dimensiones dx,
dy y dz, como se muestra en la figura, en donde se hallar las fuerzas que producen en el eje
y, la presin y la gravedad de las partculas fluidas.
Como la masa contenida en el elemento diferencial de volumen, est en equilibrio, y
conociendo por la segunda propiedad de la presin que todos los puntos contenidos en un
plano horizontal tienen la misma presin; por lo tanto las fuerzas debidas a las presiones en las
direcciones z y x se cancelan, por lo que resulta aplicable solo la ecuacin de equilibrio en la
direccin y:
( ) =+= gdydxdzdxdzdpppdxdzFYSimplificando y ordenando resulta:
gdydp = gdy
dp= ()
En general, la ecuacin de la esttica de los fluidos (), no se puede integrar a menos que se
especifique la naturaleza de . En la determinacin de la presin se trata entonces por
separado los gases y a los lquidos.
Pero como remarcamos al inicio del estudio del presente tema, como ingenieros civiles nos
interesa fundamentalmente el estudio de los lquidos, especialmente el agua, por lo que solo
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abordaremos el caso de fluidos lquidos; por lo que siendo as, integraremos para los puntos P1
y P2 en el interior y en la superficie libre, respectivamente del fluido en reposo:
==
=
2
1
2
1
y
y
pp
ppdygdp
( )1212 yygpp =
Donde, de la figura superior, extrema derecha: Amb2 pp =
Luego:
hppp Amb1 +== ()
Donde: pp1 = Presin absoluta
Ambp Presin atmosfrica
h Presin manomtrica o relativa
La expresin (), es conocida como la Ecuacin Fundamental de la Esttica de los Fluidos
Lquidos o Incompresibles en reposo absoluto.
Si se trabaja con presiones relativas, la expresin (), se transforma en:
hp = ()
Cuyo diagrama de variacin de la presin de la ecuacin () es:
Ecuacin Fundamental de la Hidrosttica
Resuelve el caso general, es decir el reposo absoluto y el reposo relativo, tanto para fluidos
lquidos y gases.
Consideremos un elemento diferencial ortodrico de dimensiones dx, dy y dz, el cual lo hemos
separado de un medio continuo de fluido en reposo, como se muestra en la figura siguiente, en
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donde se hallar las fuerzas que producen en los diferentes ejes la presin y la aceleracin de
las partculas fluidas:
Sea p la presin que acta sobre cada una de las caras del triedro ms prximo al origen de
coordenadas. Sobre las caras del triedro opuesto las presiones sern respectivamente:
dxx
pp
+ ; dyy
pp
+ ; dzz
pp
+
Habindose despreciado infinitsimas de orden superior al primero.
Sea F = La Resultante de las fuerzas exteriores o Fuerza Total externa, por unidad de masa,
que suponemos aplicada en el centro de gravedad de la masa dm del elemento diferencial
ortodrico de volumen dxdydzd = .
Es decir : kZjYiXF ++= ()
Donde:
F= Fuerza por unidad de masa debida a la inercia que se origina por la aceleracin externa al
fluido; es una fuerza msica. X, Y y Z, son sus componentes. Tambin se le denomina
aceleracin externa ( )a .
Como el elemento diferencial de fluido se encuentra en equilibrio, se verifica, en cada eje
coordenado: = iF
Condicin de equilibrio en el eje y:
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=+
+ dxdydzYdxdz)dyy
pp(pdxdz
Simplificando: Yy
p=
De igual manera realizando el equilibrio en los ejes x y z, resulta:
Xx
p=
Zz
p=
Donde: iXix
p =
, jYjy
p =
y kZkz
p =
()
Las expresiones (), son conocidas como las Ecuaciones estticas de Euler.
Sumando miembro a miembro las Ecuaciones estticas de Euler, tendremos:
kZjYiXkz
pj
y
pi
x
p ++=
+
+
El primer miembro de la ecuacin corresponde al desarrollo de p :
)kZjYiX(p ++=Adems reemplazando (), en la expresin anterior, resulta:
Fp = ()
La expresin (), es conocida como la Ecuacin Fundamental Vectorial de la Hidrosttica,
o Ecuacin de Euler, aplicable tanto para fluidos en reposo absoluto o relativo.
Proyectando la expresin (), segn la direccin dr:
Donde: kdzjdyidxdr ++=
drFdrp =
El desarrollo de la expresin anterior resulta:
ZdzYdyXdxdzz
pdy
y
pdx
x
p++=
+
+
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El desarrollo del primer miembro de la ecuacin corresponde a dp, luego esta puede ser
escrita, como:
)ZdzYdyXdx(dp ++= ()
La expresin()
, es conocida como laEcuacin Fundamental Analtica de la Hidrosttica
,o Ecuacin de Euler, aplicable tanto para fluidos en reposo absoluto o relativo.
Variacin de la Presin de un Fluido Lquido Sometido a su Peso Propio
Aplicando la ecuacin fundamental analtica de la hidrosttica ()
Donde:
=X =Y y gZ =
Reemplazando en la Ecuacin (), tendremos:
dzgdzdp ==
dzdp =
dzdp
=
=+
dzdp
En el caso de los lquidos, = Cte; luego tendremos:
=+ dzdp1
Integrando para los puntos P1 y P2 en el interior y en la superficie libre, respectivamente del
fluido en reposo:
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=+ p
z
z
2
1
dzdp1
=+
)zz(p1
12
Sabiendo que: hzz 12 = y reemplazando y acomodando la expresin anterior:
hp
=
hp = ()
La expresin (), es conocida como la Ecuacin Fundamental de la Esttica de los Fluidos
Lquidos o Incompresibles en Reposo Absoluto para el caso de presiones relativas.
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Fuerza Hidrosttica sobre una Superficie Plana
Consideremos el caso general en que el plano donde se encuentra la superficie plana
sumergida A forme un ngulo con el plano piezomtrico.
Determinacin de la Fuerza (F)
- La fuerza elemental dF debida a la presin sobre el elemento dA es:
dApdF .= ; Pero hp =
hdAdF = ; Adems: ysenh =
Luego: )1.......(..........dAysendF =
- Siendo paralelas todas las fuerzas dF (ya que son normales a cada dA), la fuerza resultante
F, debida a la presin ser:
F dF= , sustituyendo (1)
= dAysenF
= )2.....(..........ydAsenF
Por definicin de centro de gravedad: = AYydA G .. (3).
Donde: =ydA momento del rea con respecto al eje X
=GY Ordenada del centro de gravedad
=A rea total de la superficie plana sumergida
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(3) en (2): AYsenF G= . (4); pero GG hsenY =
)......(.......... AhF G=
Es decir:
La fuerza hidrosttica sobre una superficie plana sumergida, es igual a la presin
relativa al centro de gravedad, multiplicada por el rea.
b) Determinacin del Centro de Presiones
- La lnea de accin de la fuerza resultante F corta a la superficie en un punto que se llama
centro de presiones, que no coincide en general con el centro de gravedad (slo en las
superficies horizontales coinciden, porque Yg=Yp)
- Para determinar las coordenadas del centro de presiones (Xp, Yp); se utiliza el teorema de
los momentos (Teorema de Varignon): El momento de la resultante es igual a la suma de los
momentos de las componentes
Clculo de Yp
Aplicando el teorema de los momentos respecto al eje X, se tiene:
= ydFMR ; Pero pR yFM = . Donde:
=RM Momento de la resultante
= ydF Momento de las componentes
)5......(..........dFyyF p
=
De (1) dAysendF =
(1) y (4) en (5): = )()( dAysenyyAysen pG
Ay
dAyY
G
p
=2
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Donde: == xIdAy 2 momento de inercia de la superficie A, respecto al eje x.
En (6): )7.(.....................Ay
IY
G
xp =
Pero es muy usual trabajar con los momentos de inercia respecto a los ejes centroidales,
paralelos a los ejes x e y.
Para ello aplicamos el teorema de Steiner
Respecto al eje x :
)8.(....................2Gxx AYII +=
(8) en (7):
AY
AYIY
G
Gx
p
2+=
AY
AY
AY
IY
G
G
G
x
p
2
+=
G
G
x
p YAY
IY +=
)......(AY
IYY
G
x
Gp += Donde: 0>AY
I
G
x
Es decir:
El centro de presiones est debajo del centro de gravedad, excepto en las superficies
horizontales que coinciden )( Gp YY =
b.2: Clculo de Xp
Ahora aplicamos el teorema de los momentos respecto al eje Y:
= xdFMR ; Pero pR XFM =
= )9(dFxXF p
(1) y (4) en (9):
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= )()( dAysenxXAYsen pG
)10(AY
xydAX
G
p
=
Donde: = xyIxydA
Producto de inercia de la superficie A, respecto a los ejes x e y.
en (10): )11(AY
IX
G
xy
p = .
Aplicando Steiner respecto a los ejes centroidales x e y , se tiene:
)12(AYXII GGxyxy +=
(12) en (11):AY
AYXxyIX
G
GGp
+=
AY
AYX
AY
xyIX
G
GG
G
p +=
G
G
p XAY
xyIX +=
)(AY
xyIXX
G
Gp +=
El valor xyI puede ser positivo o negativo de modo que el Cp puede encontrarse a uno u otro
lado de de G. Basta que la superficie plana inclinada tenga un eje de simetra para que =xyI
, en cuyo caso:
Gp XX =
Comentario: Por lo general las situaciones de inters se relacionan con superficies planas que
tienen uno o dos ejes de simetra, de modo que slo se trata de determinar el valor de Yp.
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=VF
Componentes de la Fuerza Hidrosttica de una Superficie Plana Inclinada:
= FsenFh
= SsenhF Gh
vGh ShF =
= cosFFV
= cosShF GV
hGV ShF =
Siendo: hGV ShF =
Luego:
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vGH SpF =
hGV SpF =
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Para calcular las componentes de la resultante total de las presiones, sobre una superficie
inclinada, se toman superficies imaginarias, que resultan de las proyecciones de dicha
superficie sobre planos perpendiculares a dichas componentes.
Fuerzas de Presin Sobre Superficies Curvas
La Resultante total de las fuerzas de presin que obran sobre una superficie curva, est
formada por la suma de los elementos diferenciales de fuerza (dF=pdA) normales a la
superficie. La magnitud y posicin de la Resultante de estas fuerzas elementales, no puede
determinarse fcilmente por los mtodos usados para superficies planas. Sin embargo, se
pueden determinar con facilidad las componentes horizontal y vertical de la Resultante para
luego combinarlas vectorialmente.
Considrense las fuerzas que obran sobre el prisma de lquido ilustrado en la fig.(A), limitado
por la superficie libre a-o, por la superficie vertical plana o-b, y por la superficie curva a-b. El
peso de este volumen es una fuerza w vertical hacia abajo, y actuando de derecha a
izquierda, sobre o-b est la fuerza horizontal vGh AhP = , en donde Av es el rea de la
superficie plana vertical imaginaria, uno de cuyos bordes es ob. Estas fuerzas se mantienen en
equilibrio por fuerzas iguales y opuestas de reaccin de la superficie curva a-b. Se deduce en
consecuencia, que la componente horizontal de la Resultante total de las presiones sobre una
superficie curva es igual, y est aplicada en el mismo punto, que la fuerza que acta sobre la
superficie plana vertical formada al proyectar en direccin horizontal la superficie curva. Por
otra parte, la componente vertical de dicha Resultante total sobre la superficie curva es igual al
peso del lquido que se encuentra encima de sta, y est aplicada en el centro de la gravedad
del volumen lquido. Un razonamiento semejante demostrar que cuando el lquido se
encuentra debajo de la superficie curva, la componente vertical es igual al peso del volumen
imaginario del lquido que se encontrara encima de la superficie y est aplicada hacia arriba
pasando por su centro de gravedad.
Por ejemplo la componente vertical de la Resultante total de presiones, ejercida sobre la
componente radial o de abanico de la fig. (B), es igual al peso del volumen representado por
LNM y acta hacia arriba pasando por G como se indica.MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 54
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Ejm 1.- La figura que se muestra, ilustra una seccin de un depsito de agua de 6 mts. de
longitud. La pared abc del depsito est articulado en c y es soportado en a por un tirante.
El segmento bc de la pared es un cuadrante de circunferencia de 1.20 m de radio.
a) Determinar la fuerza T que ejerce el tirante
b) Determinar la Resultante total de presiones que obra sobre la compuerta
c) Determinar la Fuerza Resultante sobre la articulacin, c, despreciando el peso de la
pared.
Solucin:
a) Determinar la fuerza T que ejerce el tirante
Kg4320)m20.1x00.6)(m60.0)(m
Kg1000(AhP 23Gh ===
Kg4320Ph =MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 55
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La posicin de P est a mmx 40.0)20.13
1( = arriba de C
mhP 80.0=
Kg6785m
Kg1000)m20.1(m64
rm6WP 3
22
v ==
==
KgPv 6785=
Pv esta aplicada en el centro de gravedad del cuadrante del circulo, el cual se encuentra a:
m51.03
)m20.1(4
3
r4
==, a la izquierda de oc
mxp 51.0=
Para calcular T, se halla tomado momentos respecto a la articulacin c como sigue:
= )m40.0(P)m51.0(WT50.1 h
Reemplazando valores:
KgT 3458=b) Determinar la resultante total de presiones que obra sobre la compuerta.
KgP 8043)6785()4320( 22 =+=
KgP 8043=
La direccin, sentido y la posicin de P se halla componiendo vectorialmente Pv y Ph en su
interseccin. Como todos los componentes elementales de P son normales a la superficie de
la compuerta y pasan, por consiguiente, por el punto o, se concluye que P pasar tambin
por o.
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c) Determinar la Fuerza Resultante sobre la articulacin, despreciando el peso de la
pared.
-) == hhH RPTF
hh PTR =
kg)43203458(Rh =
kg862Rh =
= kg862Rh
-) == VVV PRF
VV PR =
VR 6785kg=
Luego, la Fuerza Resultante sobre la articulacin, es:
2 2R (862) (6785) 6839Kg= + =
R = 6839 Kg.
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Principio de Arqumedes
Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un lquido experimenta un empuje
vertical (fuerza vertical) ascendente igual al peso del volumen del lquido desalojado. El
punto de aplicacin de dicho empuje coincide con el Centroide del volumen sumergido (Igual al
del volumen desalojado) y se conoce con el nombre de centro de flotacin o de carena.
Centro de flotacin o de carena: es el centro de gravedad de la parte sumergida del cuerpo y
es el punto donde est aplicado el empuje.
Demostracin:
Sea el caso de un cuerpo slido cualquiera flotando en un lquido, existe un estado de equilibrio
debido a que el lquido ejerce sobre el cuerpo una presin ascendente de igual magnitud que el
peso propio del cuerpo, que se puede calcular a partir de los resultados anteriores.
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Parcialmente Sumergido
= vF en el volumen de control.
dEdFdF VV = 12HaHa dApdA)hp(dE +=
HaHHa dAphdAdApdE +=
HhdAdE =
= A HhdAELa integral es igual al volumen ( s ) de laparte del cuerpo en flotacin que seencuentra debajo de la superficie libre dellquido; esto es:
sE =
Totalmente Sumergido
= vF en el volumen de control
12 VV dFdFdE =
H1H2 dAhdAhdE =)hh(dAdE 12H =
HhdAdE =
HA dAhE =sE =
s = Volumen del lquido desalojado (volumen
del cuerpo sumergido) = Peso especfico del lquido.
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Relacin entre el Empuje y el Peso del cuerpo sumergido
Sea W = El peso total del cuerpo
E = Empuje del fluido sobre el cuerpo
1.- Si E < W, el cuerpo tiende a ir hacia el fondo
2.- Si E = W, el equilibrio del cuerpo es estable (el cuerpo se mantiene sumergido en la
posicin en que se le deje) Flotacin en Equilibrio.
3.- Si E > W, el cuerpo tiende a ir hacia la superficie.
Condiciones de Equilibrio de los Cuerpos en Flotacin
El equilibrio de un cuerpo flotante se clasifica en tres tipos:
1.- Estable.- Una fuerza actuante-por ejemplo el empuje del oleaje o del viento- origina una
inclinacin lateral, pero cuando aquella cesa el cuerpo vuelve a su posicin original. Este
tipo de equilibrio lo tienen los cuerpos de centro de gravedad bajo.
2.- Inestable.- La fuerza actuante origina el volteo brusco del cuerpo (zozobra), el cul despus
recupera una posicin ms o menos estable. Este equilibrio lo tienen aquellos cuerpos cuyo
centro de gravedad es alto.
3.- Indiferente.- La fuerza actuante origina un movimiento de rotacin continua del cuerpo;
cuya velocidad es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza y cuya duracin es
la misma que la de dicha fuerza. Este tipo de equilibrio lo poseen cuerpos cuya distribucin
de la masa es uniforme (por ejemplo la esfera con posicin de flotacin indiferente; el
cilindro cuya posicin de flotacin es indiferente con su eje longitudinal en la direccin
horizontal).
Las condiciones de equilibrio de un cuerpo flotante se explican con claridad utilizando como
ejemplo un barco (como el mostrado en la fig. a) cuya superficie de flotacin muestra una forma
simtrica con un eje longitudinal y otro transversal. La rotacin alrededor del primer eje se
conoce como Balanceo, y del segundo Cabeceo.
En La posicin de equilibrio (Sin fuerzas ocasionales) sobre el barco acta el peso W ejercido
en el centro de gravedad G, adems del empuje ascendente del lquido E que acta en el
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centro de flotacin o de carena, G1. Ambas fuerzas son iguales, colineales y de sentido
contrario.
Al producirse una fuerza ocasional el barco se inclina un ngulo y pasa a ocupar la posicin
mostrada en la fig. (b); el punto G1, pasa ahora a la posicin G1.
Por efecto de las cuas sombreadas- una que se sumerge y otra que emerge por encima de la
lnea de flotacin- se origina un movimiento producido por las fuerzas F1 y F2.
El empuje ascendente total E, en su nueva posicin G1, es la resultante de E en su
posicin original y las fuerzas F1 = F2 por efecto de las cuas.
El momento de la Fuerza Resultante con respecto a G1 ser igual a la suma algebraica de los
momentos de sus componentes, y considerando que es pequeo, por lo tanto W pasa por
G1.
mFnE 1 =
E
mFn 1
=
Clculo de 1F m .
1 cuadF d (1)= K K K K
Para un elemento de volumen ( d ) de la cua
ydAd cua = , donde gxy tan= .
dAxd cua tan=
)2(tan dAxd cua =
(2) (1): dAgtanxdF1 =
dM x tang dA x=
dAxgtandM 2=
dAxgtanMA
2 =
zIgtanM =
z1 IgtanmFM ==MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 61
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E
Igtann z
= ; sE =
s
z
s
z IgtanIgtann
=
=
Luego:
zI = Momento de Inercia del rea de la seccin del barco a nivel de la superficie de flotacin ab
con respecto al eje longitudinal Z del mismo que pasa por O.
El par de fuerzas E y W producen un momento M1 = W hsen, que tratar de volver al barco a
su posicin original o de voltearlo mas, hasta hacerlo zozobrar.
Para predecir el comportamiento del barco es importante conocer la posicin del punto M de
interseccin de E en G1, con el eje y del barco inclinado; punto que se denomina
metacentro y la altura metacntrica se indica con h. A medida que h aumenta es mas
estable la flotacin del cuerpo, es decir, ms rpidamente tratar de recobrar su posicin
original.
El equilibrio es estable si el punto M queda arriba del punto G (h>0) y es inestable si M
queda debajo de G; por tanto, la estabilidad del barco exige que sea h>0, esto es:
>
=
= 0s
z0 hsen
Igtanh
sen
nh , siendo pequeo, sen=tang
0
nh
sen