Cálculo Diferencial
Otoño 2014
Límites y Continuidad
Contenido
2.1 Introducción al concepto de límite de una función.
2.2 Límites unilaterales en funciones algebraicas, compuestas y especiales.
2.3 Técnicas para calcular límites
2.4 Límites al infinito relacionadas a las asíntotas verticales y horizontales.
2.5 Continuidad y teoremas sobre continuidad
2.1 Introducción al concepto de límite de una función
• La tangente a una curva es una recta que toca la curva.
• En otras palabras, una recta tangente debe tener la misma dirección que la curva en el punto de contacto
Ejemplo
• Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 en el punto (1, 1).
• SOLUCIÓN: • Podremos encontrar la ecuación de
la recta tangente t conociendo su pendiente m.
• La dificultad es que solo conocemos un punto P sobre t, y para calcular la pendiente se necesitan dos puntos.
• Podemos calcular una aproximación a m eligiendo un punto cercano Q(x, x 2) sobre la parábola
• Calculando la pendiente mPQ de la recta secante PQ.
Ejemplo
• Elegimos x 1 de manera que Q P.
• Por ejemplo:
1
12
x
xmPQ
5.25.0
25.1
15.1
125.2
PQm
Ejemplo
• Decimos que la pendiente de la recta tangente es el límite de las pendientes de las rectas secantes, y esto lo expresamos simbólicamente escribiendo
• La ecuación de la recta tangente en (1, 1) como
Aproximación a la tangente
Ejemplo
• Supongamos que una pelota se deja caer desde la plataforma superior de observacion de la Torre CN en Toronto, a 450 m sobre el suelo.
• Encuentre la velocidad de la pelota después de 5 segundos.
Solución
• La distancia que recorre cualquier cuerpo en caída libre es proporcional al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. (Este modelo de caída libre no considera la resistencia del aire.)
• Si la distancia de caída después de t segundos se denota por s(t) y se mide en metros,
222 9.42
8.9
2
1ttgtts
• La dificultad para encontrar la velocidad después de 5 s es que se trata de un solo instante de tiempo
Ejemplo
• La siguiente tabla muestra los resultados de cálculos similares de la velocidad promedio durante periodos cada vez mas pequeños
• Parece que, a medida que acorta el periodo, la velocidad promedio es cada vez mas cercana a 49 m/s.
• La velocidad instantánea cuando t = 5 se define como el valor limite de estas velocidades promedio, durante periodos cada vez mas cortos que comienzan en t =5
Ejemplo
Limites
Ejemplo
• Encuentre el valor de
• Sin embargo, la función no esta definida en x=1
• Eso no importa, porque la definición del limite considera los valores x que están cerca de a, pero no son iguales a a.
Solución
Ejemplo:
• Encuentre el valor de • Solución:
Ejemplo:
• Determine el valor
• Basados en estos resultados podríamos inferir que:
Limites Laterales
Limites Laterales
Limites Laterales
Solución
2.3 Técnicas para calcular límites
Ejemplo
Solución
Solución
Leyes de los limites
Ejemplo
Solución
Sustitución Directa
Ejemplo
Propiedades de los limites
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejercicio
Ejercicio
Teoremas
Ejemplo
Solución
Ejemplo
Encuentre el limite del Coseno cuando el ángulo tiende a cero
Ejemplo
Encuentre el limite del Seno cuando el ángulo tiende a cero
Ejemplo
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
2.2 Límites unilaterales
• Definición formal del limite
Ejemplo
• Encuentre un numero tal, que
Solución
1240.1
4510.1
5751.2
02.45
8.165
3
2
1
3
3
x
x
x
xx
xx
9114.0
6364.1
5478.2
08.35
2.265
3
2
1
3
3
x
x
x
xx
xx
Solución
Ejemplo
Solución
Ejercicio
Limite por la izquierda y derecha
Ejemplo
2.4 Límites al infinito relacionadas a las asíntotas verticales y horizontales.
Limites Infinitos
Limites Infinitos
Limites Infinitos
Limites Infinitos
Ejemplo
Ejercicio
Limites Infinitos
Limites cuando x se aproxima a infinito
Ejercicio
Asintota Vertical
Ejemplo
Asíntota Horizontal
Limites infinitos
2.5 Continuidad y teoremas sobre continuidad
Ejemplo
Ejemplo
Solución
Discontinuidades
Discontinuidad Removible
Discontinuidad Removible
Discontinuidad Infinita
Discontinuidad de salto
Continuidad por la derecha
Continua sobre un intervalo
Ejemplo
Teorema
Funciones polinomial y racional
Ejemplo
Ejemplo
En que puntos son continuas las siguientes funciones
Composición de funciones
Ejemplo
Ejemplo
Ejercicio
Teorema del Valor Intermedio
Ejemplo
Ejercicio
Ejercicio