Límites y continuidadJuan Manuel Rodríguez Prieto

Límites

Límites

Recuerdan el límite

limx®0

sin(x)

x-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.84

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

x

f(x)

Límites

Recuerdan el límite

limx®0

sin(x)

2x

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.42

0.43

0.44

0.45

0.46

0.47

0.48

0.49

0.5

0.51

Límites

Podemos extender la estrategia a funciones de varias variables?

limx,y®0

sin(x2 + y2 )

x2 + y2

0.515

0.515

0.515

0.515

0.576

0.576

0.576

0.576

0.636

0.636

0.636

0.636

0.697

0.697

0.697

0.697

0.758

0.758

0.758

0.758

0.818

0.818

0.818

0.818

0.879

0.939

x

y

Curvas de nivel

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Límites

Podemos extender la estrategia a funciones de varias variables?

limx,y®0

sin(x2 + y2 )

x2 + y2

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

sin(x2 + y2)/(x2 + y2)

y

Limites

Calculemos el limite de la siguiente función:

limx,y®0

sin(x2 + y2 )

x2 + y2

Existe el limite

Límites

Calculemos el límite de la siguiente función:

2 2

2 2, 0lim

x y

x y

x y

-1-0.5

00.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

x

(x2 - y2)/(x2 + y2)

y

Límites

Calculemos el límite de la siguiente función:

2 2

2 2, 0lim

x y

x y

x y

-0.778

-0.778

-0.556

-0.556

-0.333

-0.333

-0.111

-0.1110.111

0.111

0.333

0.333

0.556

0.556

0.778

0.778

xy

Curvas de nivel

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Límites

Calculemos el límite de la siguiente función:

2 2

2 2, 0lim

x y

x y

x y

No Existe el limite

Límites

Calculemos el límite de la siguiente función:

limx,y®0

y2

x2 + y2

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.5

1

y

y2/(x2 + y2)

x

Límites

Calculemos el límite de la siguiente función:

limx,y®0

y2

x2 + y2

0.111

0.111

0.222

0.222

0.333

0.333

0.444

0.4440.556

0.556

0.667

0.667

0.778

0.778

0.889

0.889

x

y

Curvas de nivel

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Límites

Calculemos el límite de la siguiente función:

limx,y®0

y2

x2 + y2

No Existe el limite

Límites

Calculemos el límite de la siguiente función:

, 0

1 cos( )lim

x y

xy

xy

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1-0.5

0

0.5

x

-(cos(x y) - 1)/(x y)

y

Límites

Calculemos el límite de la siguiente función:

, 0

1 cos( )lim

x y

xy

xy

-0.356

-0.356

-0.254

-0.254

-0.152

-0.152

-0.05

-0.05

0.0519

0.0519

0.154

0.154

0.256

0.256

0.358

0.358

x

y

Curvas de nivel

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Límites

Calculemos el límite de la siguiente función:

, 0

1 cos( )lim

x y

xy

xy

Existe el limite

Límites

Calculemos el límite de la siguiente función:

2 2

2 2 2, 0lim

( )x y

x y

x y x y

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

(x2 y2)/((x - y)2 + x2 + y2)

y

Límites

Calculemos el límite de la siguiente función:

2 2

2 2 2, 0lim

( )x y

x y

x y x y 0.0313

0.0313

0.0313

0.0313

0.0625

0.0625

0.0625

0.0625

0.0938

0.0938

0.0938

0.0938

0.125

0.125

0.125

0.125

0.156

0.156

0.156

0.156

0.188

0.188

0.219

0.219

0.25

0.25

0.281

0.281

0.313

0.313

0.344

0.344

0.375

0.375

0.406

0.406

0.438

0.438

0.469

0.469

x

y

Curvas de nivel

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Límites

Calculemos el límite de la siguiente función:

2 2

2 2 2, 0lim

( )x y

x y

x y x y

Existe el limite

Límites

Cómo podemos calcular los límites usando herramientas matemáticas:

2 3, (0,1)

3lim 3

5x y

x xy

x y xy y

Límites

Cómo podemos calcular los límites usando herramientas matemáticas:

2

, 0

2

, 0

2

, 0

, 0

, 0

lim

( )( )lim

( )( )

( )( )lim

( )

( )( )lim

( )

lim ( )

0

x y

x y

x y

x y

x y

x xy

x y

x xy x y

x y x y

x xy x y

x y

x x y x y

x y

x x y

-0.813

-0.626

-0.438

-0.251

-0.0641 0.123

0.123

0.31

0.31

0.497

0.497

0.685

0.685

0.872

0.872

1.06

1.06

1.25

1.25

1.43

1.43

1.62

1.62

1.81

1.81

x

y

Curvas de nivel

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Existe el limite

Límites

Cómo podemos calcular los límites usando herramientas matemáticas:

limx,y®0

2x2 y

x4 + y2

Criterio de dos trayectorias

y = kx2

limx®0

2x2kx2

x4 + (kx2 )2=

limx®0

2kx4

x4 + k2x4=

limx®0

2kx4

x4(1+ k2 )=

limx®0

2k

1+ k2=

2k

1+ k2

-1

0

1

-1-0.500.51

-1

-0.5

0

0.5

1

x

y

(2 x2 y)/(x4 + y2)

No Existe el limite

Límites

Cómo podemos calcular los límites usando herramientas matemáticas:

limx,y®0

2x2 y

x4 + y2

Criterio de dos trayectorias

y = kx2

limx®0

2x2kx2

x4 + (kx2 )2=

limx®0

2kx4

x4 + k2x4=

limx®0

2kx4

x4(1+ k2 )=

limx®0

2k

1+ k2=

2k

1+ k2

-0.667

-0.667

-0.333

-0.333

0

0

0

00.333

0.333

0.667

0.667

x

y

Curvas de nivel

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

No Existe el limite

Límites

Cómo podemos calcular los límites usando herramientas matemáticas:

limx,y®0

2x2 y

x4 + y2No Existe el limite

Límites

Calcule los siguientes límites (factorización):

2 2

, 1

2lim

( )x y

x xy y

x y

2 2

, 1lim

( )x y

x y

x y

, (4,3)

1lim

1x y

x y

x y

Límites

Calcule los siguientes límites:

2 2

, 1

2lim

( )x y

x xy y

x y

0.5

1

1.5

0.5

1

1.5-1

-0.5

0

0.5

1

x

(x2 - 2 x y + y2)/(x - y)

y

Existe el limite

Límites

Calcule los siguientes límites:

2 2

, 1

2lim

( )x y

x xy y

x y

-0.875

-0.75

-0.625

-0.5

-0.375

-0.25

-0.125

0.125

0.25

0.375

0.5

0.625

0.75

0.875

x

y

Curvas de nivel

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

Límites

Calcule los siguientes límites:

2 2

, 1

2lim

( )x y

x xy y

x y

0.5

1

1.5

0.5

1

1.5-1

-0.5

0

0.5

1

x

(x2 - 2 x y + y2)/(x - y)

y

Existe el limite

Límites

Calcule los siguientes límites:

2 2

, 1lim

( )x y

x y

x y

0.5

1

1.5

0.5

1

1.51

1.5

2

2.5

3

x

(x2 - y2)/(x - y)

y

Existe el limite

Límites

Calcule los siguientes límites:

2 2

, 1lim

( )x y

x y

x y

1.13

1.13

1.26

1.26

1.38

1.38

1.5

1.5

1.63

1.63

1.75

1.75

1.88

1.88

2

2

2.12

2.12

2.25

2.25

2.37

2.37

2.5

2.5

2.62

2.62

2.74

2.74

2.87

2.87

x

y

Curvas de nivel

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

Existe el limite

Límites

Calcule los siguientes límites:

2 2

, 1lim

( )x y

x y

x y

0.5

1

1.5

0.5

1

1.51

1.5

2

2.5

3

x

(x2 - y2)/(x - y)

y

Existe el limite

Limites

Calcule los siguientes limites:

, (4,3)

1lim

1x y

x y

x y

Existe el limite

Límites

Demuestre que no existen siguiendo el criterio de las trayectorias:

2 2, 0lim

x y

x

x y

4 2

4 2, 0lim

( )x y

x y

x y

limx,y®(0,0)

(x2 + y)

y

, (0,0)

( )lim

( )x y

x y

x y

Continuidad

Continuidad

0 0

0 0

0 0

( , ) ( , )

0 0( , ) ( , )

esta definida en ( , )

lim ( , ) existe

lim ( , ) ( , )

x y x y

x y x y

f x y

f x y

f x y f x y

Una función f(x,y) es continua en el punto (x0,y0)

ContinuidadEjemplo

2 2

2, (x,y) (0,0)

( , )

0, (x,y)=(0,0)

xy

x yf x y

Muestre que

Es continua en todo punto, excepto en el origenLa función f es continua en cualquier punto pues son valores que están dados por una función racional de x y y

En (0,0), el valor de f esta definido, pero f no tiene limite cuando .La razón de esto es que distintas trayectorias de acercamiento al origen pueden conducir a distintos resultados (ver derecha)

(x,y) ≠ (0,0)

( , ) (0,0)x y

2 2( , ) (0,0)

2 20

2

2 2 20

2

2 20

20

2

2lim

2lim

( )

2lim

2lim

(1 )

2lim

1

2

1

x y

x

x

x

x

xy

x y

xkx

x kx

kx

x k x

kx

x k

k

k

k

k

ContinuidadEjemplo

Muestre que

Es continua en todo puntoLa función f es continua en cualquier punto pues son valores que están dados por una función racional de x y y

En (0,0), el valor de f esta definido y el limite de f(x,y) cuando es 0 (ver derecha) , por tanto la función es continua.

(x,y) ≠ (0,0)

( , ) (0,0)x y

2

2 2( , ) (0,0)

3 2

2 2 20

2

0

5lim

5 cos ( )sin( )lim

(cos ( ) sin ( ))

lim(5 cos ( )sin( )) 0

x y

r

r

x y

x y

r

r

r