1
LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD
Significado del límite
Ejercicio nº 1.-
Representa gráficamente y explica el significado de la expresión:
Ejercicio nº 2.-
Explica el significado de la siguiente expresión y represéntalo gráficamente:
Ejercicio nº 3.-
Escribe una definición para la siguiente expresión y represéntala gráficamente:
Ejercicio nº 4.-
Da una definición para esta expresión y represéntala gráficamente:
Ejercicio nº 5.-
Dado el siguiente resultado:
explica su significado y represéntalo gráficamente.
Cálculo de límites
Ejercicio nº 6.-
Calcula:
52
152
2
=+−
+∞→ xxxlím
x
6392
3=
−−
→ xxlím
x
( ) −∞=−→
xflímx 2
+∞=−+→ 1
32
2
1 xxlím
x
2122
2
2
=+−
−∞→ xxlím
x
[ ] 2
42 3b)1a)
x logxxlímxelím
x
x
x
−+−
−∞→+∞→
2
Ejercicio nº 7.-
Obtén el valor de los siguientes límites:
Ejercicio nº 8.-
Calcula los siguientes límites:
Ejercicio nº 9.-
Halla el límite:
Ejercicio nº 10.-
Halla el límite:
Ejercicio nº 11.-
Halla los siguientes límites:
Ejercicio nº 12.-
Halla los siguientes límites:
Ejercicio nº 13.-
Halla los límites:
+−
+−
+
+−+∞→−∞→ 12
1b)12
123a) 2
32
4
4
xx
xxlím
xxlím
xx
1
2322b)
2312a)
2 +
+∞→−∞→
+−
+−
x
x
x
x xxlím
xxlím
−+
−−→ 3
19
223 x
xx
xlímx
x
x xxxlím
32
0 1513
++−
→
[ ] ( )x
xlnlímxlímx
x
x
1b)2a)2
2 +−
−∞→+∞→
1332b)
113a)
22
32
+
−
+−
+ −∞→+∞→ xxlím
xx
xxlím
xx
x
x
x
x xxxlím
xxlím
+−
−+
−∞→+∞→ 9374b)
21a) 2
22
2
2
3
Ejercicio nº 14.-
Calcula el límite:
Ejercicio nº 15.-
Calcula:
Ejercicio nº 16.-
Calcula los siguientes límites:
Ejercicio nº 17.-
Calcula los límites:
Ejercicio nº 18.-
Calcula:
Ejercicio nº 19.-
Calcula el siguiente límite:
Ejercicio nº 20.-
Halla el siguiente límite:
123
23
2
1 −−+−+
−→ xxxxxlím
x
32
2
3 4412 −
→
+
+− xx
x xxxlím
[ ]1
3b)a) 2x
3
x +−
−∞→+∞→ xlímx logxlím
x
212b)213a)
4
3 52
+
−
−−
−∞→+∞→ xxlímxxlím
xx
21
2
232
323b)12a)
+
+∞→
−
−∞→
+
+
x
x
x
x xxlím
xlím
11242
0 −+
−+→ x
xlímx
2
22 4223 −
→
+−− x
x
x xxxlím
4
Ejercicio nº 21.-
Calcula estos límites:
Ejercicio nº 22.-
Calcula los siguientes límites:
Ejercicio nº 23.-
Halla:
Ejercicio nº 24.-
Calcula:
Ejercicio nº 25.-
Calcula el límite:
Ejercicio nº 26.-
Obtén el valor de los siguientes límites:
Ejercicio nº 27.-
Halla los límites:
1b)13a) 92
+
+−
−∞→+∞→ xelímxxlím
x
xx
+−
+−
+−∞→+∞→
xxxlímxx
xlímxx
23b)135
23a) 2
2
13
2 2
5324b)
5425a)
−
−∞→+∞→
+−
+−
x
x
x
x xxlím
xxlím
323
23
1 2783132−+−
+−→ xxx
xxlímx
13
21 642 −
→
+−+ x
x
x xxxlím
xxx
xlímx log
xlím2
1b)23a)2 +−
−∞→+∞→
xxxxlímxxxlím
xx 213b)325a)
6
22
−
−+
−−
−∞→+∞→
5
Ejercicio nº 28.-
Calcula estos límites:
Ejercicio nº 29.-
Halla el valor del siguiente límite:
Ejercicio nº 30.-
Calcula el siguiente límite:
Continuidad
Ejercicio nº3 1.-
Estudia la continuidad de la siguiente función. Si en algún punto no es continua, indica el tipo de discontinuidad que hay:
Ejercicio nº 32.-
Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:
Ejercicio nº 33.-
Estudia la continuidad de la siguiente función:
122
2
5221b)
1232a)
−
+∞→
−
−∞→
++
+−−
x
x
x
x xxlím
xxlím
43102
23
2
2 +−−+
→ xxxxlím
x
11
2
1 132 −
→
+
+− x
x xxxlím
( )1
352
23
−−−−
=x
xxxxf
( )
≥+<≤++
<−=
2si1321si2
1si32
xxxabxx
xaxxf
( )
≥+
<≤−−
−<+
=
2si13
21si2
1si32
2
xx
xx
xx
x
xf
6
Ejercicio nº 34.-
Calcula el valor de a para que la siguiente función sea continua:
Ejercicio nº 35.-
Estudia la continuidad de la siguiente función. En los puntos en los que no sea continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta:
Ejercicio nº 36.-
Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua en x = 2:
Ejercicio nº 37.-
Estudia la continuidad de la función:
Ejercicio nº 38.-
Calcula los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:
Ejercicio nº 39.-
discontinuidad que hay en los puntos en los que no es continua.
( )
>+≤+−
=1si 31si122
xxlnaxxaxxf
( )103
8232
2
−+−−
=xxxxxf
( )
=
≠++−++−
=2si
2si8814448113
23
23
xk
xxxxxxx
xf
( )
≥+<≤+
<=
1si 410si13
0si2
xxlnxx
xexf
x
( )
≥+<≤++
≤−=
2si321si4
1si22
2
xbxxbaxx
xxaxxf
( ) de tipo el Indica d.continuida su estudia ,103
5153 función la Dada 2
23
−++++
=xx
xxxxf
7
Ejercicio nº 40.-
Halla el valor de a para que la siguiente función sea continua:
Teorema de Bolzano
Ejercicio nº 41.-
Demuestra que la ecuación:
tiene, al menos, una solución real. Determina un intervalo de amplitud menor que 2 en el que se encuentre la raíz.
Ejercicio nº 42.-
Demuestra que la ecuación e−3x + 4x −2 = 0 tiene, al menos, una solución real en el intervalo [0, 1].
Ejercicio nº 43-
Halla un intervalo de amplitud menor que 2 en el que la siguiente ecuación tenga, al menos, una raíz real:
3x3 + 2x − 7 = 0
Ejercicio nº 44.-
Dada la función f (x) = x3 + 2x + 1, encuentra un intervalo de amplitud menor que 2 en el que f (x) corta al eje OX.
Ejercicio nº 45.-
Prueba que la función f (x) = 3x + cos πx + 1 corta al eje OX en el intervalo [−1, 0].
( )
>+−≤+
=1si531si2
2 xaxxaxf
x
0123 27 =+−+ xxx
8
SOLUCIONES LÍMITES Y CONTINUDAD
Significado del límite
Ejercicio nº 1.-
Representa gráficamente y explica el significado de la expresión:
Solución:
valores suficientemente grandes. Con más precisión: Dado ε > 0, podemos encontrar un número h tal que, si x > h, entonces
Representación:
Ejercicio nº 2.-
Explica el significado de la siguiente expresión y represéntalo gráficamente:
Solución:
Dado ε > 0, podemos encontrar δ > 0 tal que, si x ≠ 3 y 3 − δ < x < 3 + δ, entonces
52
152
2
=+−
+∞→ xxxlím
x
xxx
x a dando queramos como 5 a próximo tan esté 2
15 que conseguir Podemos 2
2
+−
.52
152
2
ε<−+−
xxx
6392
3=
−−
→ xxlím
x
.6392
ε<−−−
xx
9
Representación:
Ejercicio nº 3.-
Escribe una definición para la siguiente expresión y represéntala gráficamente:
Solución: Dado un número k, podemos encontrar δ tal que, si 2 − δ < x < 2, entonces f(x) < −k. Representación:
Ejercicio nº 4.-
Da una definición para esta expresión y represéntala gráficamente:
Solución:
Dado un número k, podemos encontrar δ > 0 tal que, si 1 < x < 1 + δ, entonces
( ) −∞=−→
xflímx 2
+∞=−+→ 1
32
2
1 xxlím
x
.1
32
2
kx
x>
−
10
Representación:
Ejercicio nº 5.-
Dado el siguiente resultado:
explica su significado y represéntalo gráficamente. Solución:
Representación:
Cálculo de límites
Ejercicio nº 6.-
Calcula:
Solución:
Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.
2122
2
2
=+−
−∞→ xxlím
x
.2122 entonces , si que, tal número un existe 0, Dado 2
2
ε<−+−
−<>εxxhxh
[ ] 2
42 3b)1a)
x logxxlímxelím
x
x
x
−+−
−∞→+∞→
[ ] +∞=+−+∞→
1a) 2xelím x
x
11
Porque una potencia es un infinito de orden superior a un logaritmo.
Ejercicio nº 7.-
Obtén el valor de los siguientes límites:
Solución:
Ejercicio nº 8.-
Calcula los siguientes límites:
Solución:
Ejercicio nº 9.-
Halla el límite:
Solución:
+∞=+
=−
+∞→−∞→ 2
4
2
4 33b)x log
xxlímx log
xxlímxx
+−
+−
+
+−+∞→−∞→ 12
1b)12
123a) 2
32
4
4
xx
xxlím
xxlím
xx
222
12
123
12
123a)4
4
4
4
−=−
=+
+−=
+
+−+∞→−∞→ x
xlímx
xlímxx
=+++
−−−=
−++−+−
=
+−
+−
+∞→+∞→+∞→ 2221
)1()2()2()1()1(
121b) 23
344
2
322
2
32
xxxxxxlím
xxxxxxlím
xx
xxlím
xxx
222
1223
3
−=+++
−−=
+∞→ xxxxlím
x
1
2322b)
2312a)
2 +
+∞→−∞→
+−
+−
x
x
x
x xxlím
xxlím
032
2312
2312a)
22
=
=
+−−−
=
+−
+∞
+∞→−∞→
x
x
x
x xxlím
xxlím
( ) ( )25
23551·
2323221·1
23221
2322b)
−+−−+
+
−−−+
−+−+
+∞→====
+−
+∞→+∞→+∞→ eeeex
xlím xxlímx
xxxlímx
xxlímx
xxxx
−+
−−→ 3
19
223 x
xx
xlímx
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) =
−+++−
=−+++−
=
−+
−− →→→ 33
34233
31231
92 2
3323 xxxxxlím
xxxxxlím
xx
xxlím
xxx
12
Hallamos los límites laterales:
Ejercicio nº 10.-
Halla el límite:
Solución:
Ejercicio nº 11.-
Halla los siguientes límites:
Solución:
Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.
Ejercicio nº 12.-
Halla los siguientes límites:
( ) ( ) )0(18
33322
3
−=
−+−−−
=→ xx
xxlímx
( ) ( ) ( ) ( ) −∞=−+−−−
+∞=−+−−−
+− →→ 3332;
3332 2
3
2
3 xxxxlím
xxxxlím
xx
x
x xxxlím
32
0 1513
++−
→
( )( ) =====
++− +
−
+−
+−−+−
−
++−
→
→→→→ 15833·
1583·
1515133·1
15133
2
0
0
2
0
2
0
2
0
1513 xx
xxlímxx
xxlímxxxxxlím
xxxxlímx
x
xxxx eeeex
xxlím
( )2415
830 −+
−
== → ee xxlím
x
[ ] ( )x
xlnlímxlímx
x
x
1b)2a)2
2 +−
−∞→+∞→
[ ] +∞=−+∞→
22a) xlím x
x
( ) ( ) 011b)22
=−
+=
++∞→−∞→ x
xlnlímx
xlnlímxx
1332b)
113a)
22
32
+
−
+−
+ −∞→+∞→ xxlím
xx
xxlím
xx
13
Solución:
Ejercicio nº 13.-
Halla los límites:
Solución:
Ejercicio nº 14.-
Calcula el límite:
Solución:
Hallamos los límites laterales:
Ejercicio nº 15.-
Calcula:
=+++−−+
=
+++−+
=
+−
+ +∞→+∞→+∞→ 133
)1()1()1()1(3
113a) 23
3424
2
322
2
32
xxxxxxxlím
xxxxxxlím
xx
xxlím
xxx
+∞=+++
+−=
+∞→ 132
23
234
xxxxxxlím
x
332
32
13
32
13
32b)22
−=
−=
+
−−=
+
−+∞→−∞→ x
xlímx
xlímxx
x
x
x
x xxxlím
xxlím
+−
−+
−∞→+∞→ 9374b)
21a) 2
22
2
2
121a) 02
62·2
212·1212
2
222
22
2
2
=====
−+ −
−
+−+
−
−
+
+∞→
+∞→+∞→+∞→ eeeexxlím x
xlímxx
xxlímxx
xlímx
x
xxx
043
34
9374
9374b) 2
2
2
2
=
=
=
−−
=
+−
+∞−∞−
+∞→−∞→
x
x
x
x xxxlím
xxxlím
123
23
2
1 −−+−+
−→ xxxxxlím
x
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) )0(
511
2311231
123
12123
2
1
−=
−+−
=−+
−+=
−−+−+
−→−→−→ xxxlím
xxxxlím
xxxxxlím
xxx
( ) ( ) ( ) ( ) +∞=−+
−−∞=
−+−
+− −→−→ 1123;
1123
11 xxxlím
xxxlím
xx
32
2
3 4412 −
→
+
+− xx
x xxxlím
14
Solución:
Ejercicio nº 16.-
Calcula los siguientes límites:
Solución:
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.
Ejercicio nº 17.-
Calcula los límites:
Solución:
Ejercicio nº 18.-
Calcula:
====
+
+− −+−−
−
+−−+−
−
−
++−
−
→
→→→ 32·
44352
32·
444412
32·1
4412
32
2
3
2
3
2
3
2
3
4412 x
xx
xxlímxx
xxxxlím
xx
xxxlímx
x
xxxx eee
xxxlím
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) 8
211642
44212
3442312
33 eeee xxxlím
xxxxxlím
xx ==== ++
−+−+
→→
[ ]1
3b)a) 2x
3
x +−
−∞→+∞→ xlímx logxlím
x
[ ] +∞=−+∞→
x logxlímx
3a)
001
31
3b) 22 =∞+
=+
=+
−
+∞→−∞→ xlím
xlím
x
x
x
x
212b)213a)
4
3 52
+
−
−−
−∞→+∞→ xxlímxxlím
xx
=+−
−−=
+−
−−
−−
=
−−
+∞→+∞→+∞→ xx
xxlímxx
xxxxlímxxlím
xxx 213
413
213
213213213a)
2
22
2
22
2
−∞=+−
−−=
+∞→ xx
xlímx 213
12
2
02
12
2
12b)4
3 5
4
3 5
=+
−−=
+
−+∞→−∞→ x
xlímx
xlímxx
21
2
232
323b)12a)
+
+∞→
−
−∞→
+
+
x
x
x
x xxlím
xlím
15
Solución:
Ejercicio nº 19.-
Calcula el siguiente límite:
Solución:
Ejercicio nº 20.-
Halla el siguiente límite:
Solución:
Ejercicio nº 21.-
Calcula estos límites:
021212a)3232
==
−=
+ ∞−
−−
+∞→
−
−∞→
x
x
x
x xlím
xlím
132
3b) 06422
21·
32323
21·1
323
21
2
222
22
2
2
=====
++
−−
+
+
−−
+
−
+
+
+∞→
+∞→+∞→+∞→ eeeex
xlím x
xlímx
x
xxlímx
x
xlímx
x
xxx
11242
0 −+
−+→ x
xlímx
=++−+
++−+=
++++−+
++++−+=
−+
−+→→→ )242()11(
)11()442()242()11()11()11()242()242(
11242
000 xxxxlím
xxxxxxlím
xxlím
xxx
144
242)11(2
)242()11(2
00==
++
++=
++
++=
→→ xxlím
xxxxlím
xx
2
22 4223 −
→
+−− x
x
x xxxlím
====
+−− −+−
−+−−
+−
−+−−
−
−
+−
−−
→
→→→ )2()42()65(
2·
424223
2·1
4223
2
22
2
2
22
2
222
4223 xxx
xxxlímx
x
xx
xxxlímx
x
xx
xlímxx
x
xxx eeexx
xlím
21
42
)42()3(
)2()42()2()3(
2222 eeee xx
xxlímxxx
xxxlímxx ==== +−
−−
−+−
−−−→→
1b)13a) 92
+
+−
−∞→+∞→ xelímxxlím
x
xx
16
Solución:
Ejercicio nº 22.-
Calcula los siguientes límites:
Solución:
Ejercicio nº 23.-
Halla:
Solución:
Ejercicio nº 24.-
Calcula:
−∞=
−=
+−
+∞→+∞→29
92 13a) xlímxxlímxx
0011
)b =∞−
=+−
=+
−
+∞→−∞→ xelím
xelím
x
x
x
x
+−
+−
+−∞→+∞→
xxxlímxx
xlímxx
23b)135
23a) 2
2
553
53
135
23a)2
==+−
++∞→ xx
xlímx
=++
++
−+
=
−+=
+−
+∞→+∞→−∞→ xxx
xxxxxxlímxxxlímxxxlím
xxx 23
23232323b)
2
22
22
−∞=++
+−=
++
−+=
+∞→+∞→ xxx
xxlímxxx
xxxlímxx 23
33
23
432
2
2
22
13
2 2
5324b)
5425a)
−
−∞→+∞→
+−
+−
x
x
x
x xxlím
xxlím
54
1512
151212
32·
545425
32·1
5425
32
5425a)
−−+−
+
−−−
−+−
+∞→=====
+−
+∞→+∞→+∞→ eeeeex
xlím xxlím
xx
xxlímxx
xlímx
xxxx
+∞=
=
+−−−
=
+−
+∞−
+∞→
−
−∞→ 34
5324
5324b)
11 22 x
x
x
x xxlím
xxlím
323
23
1 2783132−+−
+−→ xxx
xxlímx
17
Solución:
Ejercicio nº 25.-
Calcula el límite:
Solución:
Ejercicio nº 26.-
Obtén el valor de los siguientes límites:
Solución:
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logartimos.
Ejercicio nº 27.-
Halla los límites:
Solución:
( ) ( )( ) ( )
331
32
2
13
23
23
13
2312
123112
2783132
=−+
=−−
−+=
−+−+−
→→→ xxlím
xxxxlím
xxxxxlím
xxx
13
21 642 −
→
+−+ x
x
x xxxlím
====
+−+ −+−
−+−−
+−
−+−+
−
−
+−
+−
→
→→→ )1()6()3()23(
13·
6642
13·1
642
13
21
2
2
12
2
121
642 xxx
xxxlímx
x
xx
xxxlímx
x
xx
xlímxx
x
xxx eeexx
xlím
21
63
6)2(3
)1()6()1()2(3
2121 eeee xx
xxlímxxx
xxxlímxx ==== +−
−−−+−
−−−
→→
xxx
xlímx log
xlím2
1b)23a)2 +−
−∞→+∞→
+∞=−
+∞→ x logxlím
x
23a)2
−∞=+−
=+
−+∞→−∞→ xxxx
xlímxlím2
12
1b)
xxxxlímxxxlím
xx 213b)325a)
6
22
−
−+
−−
−∞→+∞→
=+−
+−
−−
=
−−
+∞→+∞→ xxx
xxxxxxlímxxxlím
xx 325
325325325a)
2
22
2
18
Ejercicio nº 28.-
Calcula estos límites:
Solución:
Ejercicio nº 29.-
Halla el valor del siguiente límite:
Solución:
Hallamos los límites laterales:
Ejercicio nº 30.-
Calcula el siguiente límite:
Solución:
−∞=+−
−−=
+−
−−=
+∞→+∞→ xxx
xxlímxxx
xxxlímxx 325
24
325
9252
2
2
22
02
13
2
13b)6
2
6
2
=+
−−=
−
−++∞→−∞→ xx
xxlímxx
xxlímxx
122
2
5221b)
1232a)
−
+∞→
−
−∞→
++
+−−
x
x
x
x xxlím
xxlím
+∞=
=
++
=
+−−
∞+
+∞→
−
−∞→ 23
1232
1232a)
22x
x
x
x xxlím
xxlím
( ) ( )0
5221b) 52
4812·52
522112·152
2112 2222
=====
++ ∞−+
+−−
+
−−+−
−+
+−
+∞→
+∞→+∞→+∞→ eeeex
xlím xxlímx
xxxlímx
xxlímx
xxxx
43102
23
2
2 +−−+
→ xxxxlím
x
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) )0(
921
5221
25243
10222223
2
2=
−++
=−+
−+=
+−−+
→→→ xxxlím
xxxxlím
xxxxlím
xxx
( ) ( ) ( ) ( ) +∞=−+
+−∞=
−++
+− →→ 2152;
2152
22 xxxlím
xxxlím
xx
11
2
1 132 −
→
+
+− x
x xxxlím
====
+
+− −++−
−
+−−+−
−
−
++−
−
→
→→→ 11·
123
11·
1132
11·1
132
11
2
1
2
1
2
1
2
1
132 xx
xxlímxxxxxlím
xxxxlímx
xxxx eee
xxxlím
19
Continuidad
Ejercicio nº3 1.-
Estudia la continuidad de la siguiente función. Si en algún punto no es continua, indica el tipo de discontinuidad que hay:
Solución:
• Dominio = − {−1, 1}.
f(x) es continua en − {−1, 1}.
• Veamos el tipo de discontinuidad que presenta en x = −1 y en x = 1:
Discontinuidad evitable en x = −1.
Discontinuidad de salto infinito en x = 1.
Ejercicio nº 32.-
Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:
Solución:
• Dominio =
• Si x ≠ 1 y x ≠ 2 → f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas. • En x = 1:
( ) ( )( ) ( ) 2
112
1·11·2
11−
+−
−+−−
=== →→ eee xxlímxx
xxlímxx
( )1
352
23
−−−−
=x
xxxxf
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) 02
01
311131
135
1
2
12
23
1=
−=
−−+
=−+−+
=−
−−−−→−→−→ x
xxlímxxxxlím
xxxxlím
xxx
( ) ( ) ( ) :laterales límites los Hallamos.)0(4
131
11
−=
−−+
=→→ x
xxlímxflímxx
( ) ( ) −∞=+∞=+− →→
xflímxflímxx 11
;
( )
≥+<≤++
<−=
2si1321si2
1si32
xxxabxx
xaxxf
20
Para que f (x) sea continua en x = 1, ha de ser:
3 − a = 2 + b + a → 2a + b = 1
• En x = 2:
Para que f (x) sea continua en x = 2, ha de ser:
8 + 2b + a = 7 → a + 2b = −1
• Uniendo las dos condiciones anteriores, tenemos que:
Ejercicio nº 33.-
Estudia la continuidad de la siguiente función:
Solución:
• Dominio =
• Si x ≠ −1 y x ≠ 2 → f (x) es continua, pues está formada por funciones que son continuas en los intervalos
correspondientes.
• En x = −1:
• En x = 2:
( ) ( )
( ) ( )
( )
++=
++=++=
−=−=
++
−−
→→
→→
abf
ababxxlímxflím
aaxlímxflím
xx
xx
21
22
33
2
11
11
( ) ( )( ) ( )
( )
=
=+=
++=++=
++
−−
→→
→→
72
713
282
22
2
22
f
xlímxflím
ababxxlímxflím
xx
xx
( ) 1;133142121221
1212
−==→−=−→−=−+→−=−+−=
−=+=+
baaaaaaab
baba
( )
≥+
<≤−−
−<+
=
2si13
21si2
1si32
2
xx
xx
xx
x
xf
( )
( ) ( )( )
( ) .1 en continua es
11
12
132
2
11
11
−=
−=−
−=−=
−=+
=
++
−−
−→−→
−→−→
xxf
f
xlímxflímx
xlímxflím
xx
xx
21
Ejercicio nº 34.-
Calcula el valor de a para que la siguiente función sea continua:
Solución:
• Dominio =
• Si x ≠ 1 → f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
• En x = 1:
Para que f (x) sea continua en x = 1, ha de ser:
Ejercicio nº 35.-
Estudia la continuidad de la siguiente función. En los puntos en los que no sea continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta:
Solución:
• Dominio = − {−5, 2}
f (x) es continua en − {−5, 2}.
• Veamos el tipo de discontinuidad que presenta en x = −5 y en x = 2:
( ) ( )( ) ( )
( )finito. salto
de idaddiscontinu unaHay .2 en adiscontinu es 713
22
22
2
22 =
=+=
=−=
++
−−
→→
→→xxf
xlímxflím
xlímxflím
xx
xx
( )
>+≤+−
=1si 31si122
xxlnaxxaxxf
( ) ( )( ) ( )
( )
−=
=+=
−=+−=
++
−−
→→
→→
11
3 3
112
11
2
11
af
axlnalímxflím
axaxlímxflím
xx
xx
211231 −=→−=→=− aaaa
( )103
8232
2
−+−−
=xxxxxf
( ) ( ) ( )( ) ( )25
243103
8232
2
−+−+
=−+−−
=xxxx
xxxxxf
( ) :laterales límites los Hallamos .)0(
11543
55
−=
++
=−→−→ x
xlímxflímxx
22
Discontinuidad de salto infinito en x = −5.
Discontinuidad evitable en x = 2.
Ejercicio nº 36.-
Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua en x = 2:
Solución:
Para que f (x) sea continua en x = 2, ha de tenerse que:
f (2) = k
Ejercicio nº 37.-
Estudia la continuidad de la función:
Solución:
• Dominio =
• Si x ≠ 0 y x ≠ 1 → f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
• En x = 0:
( ) ( ) −∞=+∞=+− −→−→
xflímxflímxx 55
;
( )7
10543
22=
++
=→→ x
xlímxflímxx
( )
=
≠++−++−
=2si
2si8814448113
23
23
xk
xxxxxxx
xf
( ) ( )22
fxflímx
=→
( ) ( ) ( )( ) ( ) 10
72413
242132
8814448113
22
2
223
23
22=
++
=+−
+−=
++−++−
=→→→→ x
xlímxxxxlím
xxxxxxlímxflím
xxxx
7Por tanto, ha de ser 10
k• =
( )
≥+<≤+
<=
1si 410si13
0si2
xxlnxx
xexf
x
23
• En x = 1:
• Por tanto, f (x) es continua en .
Ejercicio nº 38.-
Calcula los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:
Solución:
• Si x ≠ 1 y x ≠ 2 → f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
• En x = 1:
Para que f (x) sea continua x = 1, ha de ser:
a − 2 = 4 + a + b → b = −6
• En x = 2:
Para que f (x) sea continua en x = 2, ha de ser:
10 + 2a = 0 → 2a = −10 → a = −5
• Por tanto, f (x) será continua si a = −5 y b = −6.
( )
( ) ( )
( )
( ) .0 en continua es
10
113
1
2
00
00
=
=
=+=
==
++
−−
→→
→→
xxf
f
xlímxflím
elímxflím
xx
x
xx
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) .1 en continua es
41
1 4
413
11
2
11
=
=
=+=
=+=
++
−−
→→
→→
xxf
f
xlnlímxflím
xlímxflím
xx
xx
( )
≥+<≤++
≤−=
2si321si4
1si22
2
xbxxbaxx
xxaxxf
( ) ( )
( ) ( )
( )
++=
++=++=
−=−=
++
−−
→→
→→
baf
babaxxlímxflím
axaxlímxflím
xx
xx
41
44
22
2
11
2
11
( ) ( )( ) ( )
( )
=
=−=
+=−+=
++
−−
→→
→→
02
063
21064
22
2
22
f
xlímxflím
aaxxlímxflím
xx
xx
24
Ejercicio nº 39.-
discontinuidad que hay en los puntos en los que no es continua. Solución:
• Dominio = − {−5, 2}
f (x) es continua en − {−5, 2}.
• Veamos que tipo de discontinuidad que presenta en x = −5 y en x = 2:
Discontinuidad evitable en x = −5.
Discontinuidad de salto infinito en x = 2.
Ejercicio nº 40.-
Halla el valor de a para que la siguiente función sea continua:
Solución:
• Si x ≠ 1 → la función es continua, pues está formada por funciones continuas.
• En x = 1:
Para que f (x) sea continua en x = 1, ha de ser:
2 + a = 6 − 3a → 4a = 4 → a = 1
( ) de tipo el Indica d.continuida su estudia ,103
5153 función la Dada 2
23
−++++
=xx
xxxxf
( ) ( ) ( )( ) ( )25
135103
5153 2
2
23
−+++
=−+
+++=
xxxx
xxxxxxf
( )776
776
213 2
55
−=
−=
−+
=−→−→ x
xlímxflímxx
( ) :laterales límites los Hallamos .)0(
132
13 2
22=
−+
=→→ x
xlímxflímxx
( ) ( ) +∞=−∞=+− →→
xflímxflímxx 22
;
( )
>+−≤+
=1si531si2
2 xaxxaxf
x
( ) ( )
( ) ( )
( )
+=
−=+−=
+=+=
++
−−
→→
→→
af
aaxlímxflím
aalímxflím
xx
x
xx
21
3653
22
2
11
11
25
Teorema de Bolzano
Ejercicio nº 41.-
Demuestra que la ecuación:
tiene, al menos, una solución real. Determina un intervalo de amplitud menor que 2 en el que se encuentre la raíz. Solución:
• Consideramos la función f (x) = x7 + 3x2 − 2x + 1, que es continua por ser polinómica.
• Tanteando, encontramos que f (−2) = −111; f (−1) = 5.
• Es decir:
Por el teorema de Bolzano, sabemos que existe, al menos, un c ∈ (−2, −1) tal que f (c) = 0.
La raíz de la ecuación es c.
Ejercicio nº 42.-
Demuestra que la ecuación e−3x + 4x −2 = 0 tiene, al menos, una solución real en el intervalo [0, 1]. Solución:
• Consideramos la función f (x) = e−3x + 4x −2, continua en , pues es suma de funciones continuas. En
particular, será continua en [0, 1].
• Por otra parte, tenemos que:
• Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que existe, al menos, un c ∈ −(−1, 0) tal que f (c) = 0.
La raíz de la ecuación es c.
Ejercicio nº 43-
Halla un intervalo de amplitud menor que 2 en el que la siguiente ecuación tenga, al menos, una raíz real:
3x3 + 2x − 7 = 0
0123 27 =+−+ xxx
( ) [ ]( ) ( )
−≠−
−−1 de signo 2 de signo
1,2 en continua es ff
xf
( )( ) ( ) ( )1 de signo 0 de signo
021010
3 ffef
f≠
>+=<−=
−
26
Solución:
• Consideramos la función f (x) = 3x3 + 2x − 7, continua por ser polinómica.
• Tanteando, encontramos que f (1) = −2; f (2) = 21.
• Es decir:
Por el teorema de Bolzano, sabemos que existe, al menos, un c ∈ (1, 2) tal que f (c) = 0.
La raíz de la ecuación es c.
Ejercicio nº 44.-
Dada la función f (x) = x3 + 2x + 1, encuentra un intervalo de amplitud menor que 2 en el que f (x) corta al eje OX. Solución:
• f (x) es continua en , pues es una función polinómica.
• Tanteando, encontramos que f (−1) = −2, f (0) = 1.
• Es decir:
Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que existe, al menos, un c ∈ (−1, 0) tal que f (c) = 0.
f (x) cortará al eje OX en x = c.
Ejercicio nº 45.-
Prueba que la función f (x) = 3x + cos πx + 1 corta al eje OX en el intervalo [−1, 0]. Solución:
• f (x) es una función continua en , pues es suma de funciones continuas. En particular, será continua en [−1,
0].
• Por otra parte:
Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que existe, al menos, un c ∈ (−1, 0) tal que f (c) = 0.
f (x) cortará al eje OX en x = c.
( ) [ ]( ) ( )
≠ 2 de signo 1 de signo
2,1 en continua es ff
xf
( ) [ ]( ) ( )
≠−
−0 de signo 1 de signo
0,1 en continua es ff
xf
( )( ) ( ) ( )0 de signo 1 de signo
020031
fff
f≠−
>=<−=−