IES HISPANIDAD Departamento de Matemáticas
1
LÍMITE DE FUNCIONES LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO +∞→x LÍMITE FINITO. DEFINICIÓN Cuando +∞→x la función puede comportarse de diversas maneras:
lxfx
=+∞→
)(lim
Al aumentar los valores de x, los valores de f(x) se aproximan a un cierto número l.
+∞=+∞→
)(lim xfx
Al aumentar los valores de x, los valores de f(x) crecen cada vez más (toman valores tan grandes como queramos)
−∞=
+∞→
)(lim xfx
Al aumentar los valores de x, los valores de f(x) son cada vez “más negativos” (es decir, negativos y cada vez más grandes en valor absoluto.
)(lim xf
x +∞→
no existe
Los valores de f(x) no siguen ninguno de los comportamientos anteriores.
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2
Def.- εδδε <−⇒>>∃>∀⇔=+∞→
LxfxquetalLxfx
)( 0,0)(lim .
Dicho de otra manera, dado ε (arbitrariamente pequeño) podemos encontrar δ (tan grande como sea necesario para que se verifique ε<− Lxf )( . Intuitivamente, podemos conseguir que f(x) esté tan próximo a L como queramos sin más que darle a x valores suficientemente grandes.
OPERACIONES CON LÍMITES FINITOS Si axf
x=
+∞→
)(lim y bxgx
=+∞→
)(lim , entonces se cumplen las siguientes propiedades:
1) [ ] baxgxfxgxfxxx
±=±=±+∞→+∞→+∞→
)()()()( limlimlim
2) [ ] baxgxfxgxfxxx
⋅=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⋅
+∞→+∞→+∞→
)()()()( limlimlim
3) Si 0)(lim ≠=+∞→
bxgx
, ba
xg
xf
xgxf
x
x
x==⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
+∞→
+∞→
+∞→ )(
)(
)()(
limlim
lim
4) Si f(x) >0, [ ] bxg
x
xg
xaxfxf x =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= +∞→
+∞→+∞→
)()(
lim)()( limlim
5) Si 0)( ≥xf , nn
x
n
xaxfxf ==
+∞→+∞→
)()( limlim
6) Si 0>α , f(x) > 0, [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
+∞→+∞→
)(log)(log limlim xfxfxx
αα
LIMITES INFINITOS. DEFINICIONES Def 1,- εδδε >⇒>>∃>∀⇔+∞=
+∞→
)( 0 0)(lim xfxquetalxfx
Es decir, que dado ε (arbitrariamente grande) podemos encontrar δ (tan grande como sea necesario) que cumple ε>)(xf . Intuitivamente, podemos conseguir que f(x) sea tan grande como queramos sin más que tomar x tan grande como sea necesario. Cuanto más grande sea ε , más grande debemos tomar δ .
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3
Análogamente, Def 2,-
ε
ε
−<⇒
>>∃>∀⇔−∞=+∞→
)(
0 0)(limxf
hxquetalhxfx
ALGUNOS LÍMITES INFINITOS Recordemos tres familias de funciones que se hacen infinitas cuando +∞→x
Potencias: Si k>0, ±∞=⋅+∞→
k
xxplim
( )
( ) −∞=−+−
+∞=+−
+∞→
+∞→
132
524
:5
3
lim
lim
xx
xx
Ejm
x
x
Exponenciales: Si a>1, ±∞=⋅+∞→
x
xaplim
−∞=⋅−
+∞=⋅
+∞→
+∞→
x
x
x
xEjm
52
5,13
:
lim
lim
Logarítmicas: Si a>1, ±∞=⋅+∞→
xp ax
loglim−∞=⋅−
+∞=⋅
+∞→
+∞→
x
x
Ejm
x
x
2log2
log3
:
lim
lim
Calcula los siguientes límites:
a. ( ) =−++∞→
32 3lim xxxx
c. ( )=++∞→
3 2 2lim xx
b. ( ) =⋅−+∞→
x
x
225lim d. ( ) =−+∞→
xx
3log2 5lim
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4
COMPARACIÓN DE INFINITOS Def.- Si ±∞=
+∞→
)(lim xfx
y ±∞=+∞→
)(lim xgx
se dice que f(x) es un infinito de orden superior
a g(x) si ±∞=+∞→ )(
)(lim xgxf
x, o lo que es lo mismo. 0
)()(lim =
+∞→ xfxg
x.
Las comparaciones más usadas:
Dadas dos potencias de x,. la de mayor exponente es un infinito de orden superior.
+∞=+∞→
3
4
7lim xx
x +∞=
+∞→ xx
x 3
3 5
lim
Dadas dos funciones exponenciales de bases mayores que 1, la de mayor base es un
infinito de orden superior.
+∞=+∞→
x
x
x 5,12lim
Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito superior a cualquier
potencia.
+∞=+∞→
20
2,1lim x
x
x
Tanto las funciones exponenciales de base mayor que 1 como las potencias de x son
infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.
+∞=+∞→ x
xx 3
4
loglim +∞=+∞→ x
x
x log32,1lim
Si en una suma hay varios sumandos infinitos, el orden de la suma es el del sumando de
mayor orden. 534 26 xxx +− es un infinito del mismo orden que 5x , esto es;
02265
534
lim ≠==+−
+∞→
Lx
xxxx
xxx 2523 ⋅+− es un infinito del mismo orden que x2 , esto es;
052
2523
lim ≠==⋅+−
+∞→
Lxxx
x
x
OPERACIONES CON EXPRESIONES INFINITAS Del mismo modo que se manejan las operaciones con límites finitos, hay muchas operaciones en las que intervienen funciones cuyo resultado es también obvio. Por ejemplo:
Si +∞=+∞→
)(lim xfx
y +∞=+∞→
)(lim xgx
, entonces: [ ] +∞=++∞→
)()(lim xgxfx
y se expresa:
( ) ( ) ( )∞+=∞++∞+ . A continuación, ponemos algunos de los resultados de operar con funciones infinitas. Intenta razonarlos con algunos ejemplos y no los memorices.
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5
INDETERMINACIONES Def.- Una indeterminación es el reconocimiento de que con solo conocer los límites de las funciones que intervienen, no podemos asignar límite al resultado de la operación. Hay que efectuar una investigación más profunda que nos permita llegar al valor de dicho límite. Las más importantes son:
( ) ( )∞+−∞+ ( )0∞+ ( )00
( ) ( )0⋅∞± ( )( )+∞1 ( )( )∞±∞±
( )( )00
( )( )−∞1
Ahora aprenderemos algunos métodos para resolver los casos más frecuentes de indeterminación.
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6
CÁLCULO DE LÍMITES CUANDO +∞→x COCIENTE DE POLINOMIOS
( )( )∞±∞±
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=<>∞±
=+∞→ )()(
)()( 0)()(
)()(lim
xgradoQxgradoPsiLxgradoQxgradoPsixgradoQxgradoPsi
xQxP
x
siendo L el cociente de los coeficientes de los polinomios P(x) y Q(x) de mayor grado. Ejm:
+∞===+−−+
+∞→+∞→+∞→ 53
53
265323 limlimlim 2
3
2
3 xxx
xxxx
xxx
063
63
266323 limlimlim 2
2
23
2
===+−−+
+∞→+∞→+∞→ xxx
xxxx
xxx
53
53
53
265323 limlimlim 3
3
3
23
===+−−+
+∞→+∞→+∞→ xxx xx
xxxx
0142
26432 limlimlim 33
===+−
−
+∞→+∞→+∞→ xxx
xxx
xxx
−∞=−
=−
=+−
−+
+∞→+∞→+∞→ 269
26329 limlimlim
33 xx
xx
xxxxx
31
62
68
26328 limlimlim
3 33 23 −=
−=
−=
+−−+
+∞→+∞→+∞→ xx
xx
xxx
xxx
DIFERENCIA DE EXPRESIONES INFINITAS ( ) ( )∞+−∞+ Estudiaremos tres casos:
I) Cuando se aprecia a simple vista que las expresiones cuya diferencia son infinitos de orden distinto, podemos atribuirle. Directamente, límite ∞+ ó ∞− .
+∞=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+−−
+∞→ xxxxxx
x 22342 3
55lim
orden 25
orden 2
( )−∞=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅−
−−
+∞→
x
x xx 5,13
15
2
4
lim
orden 2 exponencial siempre orden superior a 2x
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7
II) Cuando puede efectuarse la operación.
( )
113
113
6252
332
3522
352
limlim
limlim22
22
−=+
−=
+−−−
=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⋅
−+−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+−
+∞→+∞→
+∞→+∞→
xx
xxxxx
xxx
xxxx
xxx
xx
xx
III) Cuando hay radicales, entonces multiplicamos y dividimos por el conjugado:
[ ] ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
11122
2
2
2
2
2
2
2
222
2
22
22
2
222
2
222
lim
limlimlim
limlim
−=+−
=+
−=
=+−
−=
+−
−−=
+−
−−=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−
+−⋅−−=−−
+∞→
+∞→+∞→+∞→
+∞→+∞→
xx
xxxx
x
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxxxxxxx
x
xxx
xx
Hemos aplicado la identidad notable, suma por diferencia igual a diferencia de cuadrados, esto es; ( ) ( ) 22 bababa −=+⋅−
LÍMITE DE UNA POTENCIA Sabiendo que el límite de una potencia, en muchos casos, se puede calcular sin más que conocer los limites de la base y el exponente.
Si Lxfx
=+∞→
)(lim y +∞=+∞→
)(lim xgx
, se cumple:
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
=>∞+<<
=+∞→ 1mindet
1 10 0
)( )(limLadoerInL
Lxf xg
x
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8
Ejm: ( ) +∞=+−
+∞→
32 1lim x
xx ( ) +∞==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + ∞+
+
+∞→
212 2
limx
x xx
( )
031
153
2
2
2
lim =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∞++
+∞→
xx
x xxx
Si Lxfx
=+∞→
)(lim y −∞=+∞→
)(lim xgx
, se cumple:
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
=><<∞+
=+∞→ 1mindet
1 010
)( )(limLadoerInL
Lxf xg
x
Ejm: ( )( )
( )( ) 01)( 32lim =∞+
=∞+=− ∞+∞−−
+∞→
x
xxx
( )( ) 0
21212 2
lim ===⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞+∞−
+−
+∞→
x
x xx
( ) ( )
+∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∞+∞−+−
+∞→ 13
31
153
2
2
2
limxx
x xxx
REGLA PRÁCTICA DE EXPRESIONES ( )( )+∞1
( )( )+∞1 Si 1)(lim =+∞→
xfx
y +∞=+∞→
)(lim xfx
, entonces: [ ][ ] )(1)(
)( lim)(lim
xgxfxg
x
xexf⋅−
+∞→
+∞→=
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9
Ejm:
( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) 01limlim
limlim1
15
1545
1515
15151
152
2
2
23
2
2
22
222
2
22
lim
=====
====⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∞+∞−−+
+−−
−+
+⋅+−
+⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+
−+−+⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
−+∞++
+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
eeee
eexx
x
xxxxx
xxxxx
xxxx
xxxxxxx
xxx
x
xx
xx
5. Resuelve, aplicando la regla anterior:
a. 35
1353lim
−
+∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+ x
x xx
b. 42
23
3 23lim−
+∞→⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+−x
x xxxx
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO −∞→x DEFINICIONES
⇔=−∞→
lxfx
)(lim Dado 0>ε , existe un h (suficientemente grande) tal que si hx −< ,
entonces ε<− lxf )( . Intuitivamente, podemos conseguir que f(x) esté tan próximo a l como queramos, sin más que darle a x valores suficientemente “grandes y positivos”.
CÁLCULO DE LÍMITES Para calcular este tipo de límites, tendremos en cuenta:
)()( limlim xfxfxx
−=+∞→−∞→
y aplicaremos lo anterior: Ejm:
( ) ( ) +∞=++=+−⋅−−=+−+∞→+∞→−∞→
353535 222 limlimlim xxxxxxxxx
( ) ( ) ( ) −∞=−−−=−⋅+−⋅−−=+−
+∞→+∞→−∞→
xxxxxxxxxxxx
353535 232323 limlimlim
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10
012122 limlimlim =
∞+===
+∞→
−
+∞→−∞→x
x
x
x
x
x
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO LÍMITES LATERALES INFINITOS
KxfentoncescxcsiquetalKxfcx
><<−>∃>∀⇔+∞=−→
)( , 0,0)(lim δδ .
Intuitivamente, diremos que el límite de f(x) cuando x tiende a c por la izquierda es ∞+ , si al acercarse x a c tomando valores menores que c, f(x) toma valores tan grandes como se quiera.
Análogamente: KxfentoncescxcsiquetalKxf
cx
>+<<>∃>∀⇔+∞=+→
)( , 0,0)(lim δδ .
Kxfentonces
cxcsiquetalKxfcx
−<
<<−>∃>∀⇔−∞=−→
)(
, 0,0)(lim δδ.
Kxfentonces
cxcsiquetalKxfcx
−<
+<<>∃>∀⇔−∞=−+→
)(
, 0,0)(lim δδ.
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11
LÍMITES LATERALES FINITOS POR LA IZQUIERDA
εδδε <<<−>∃>∀⇔=−→
l-f(x)entoncescxcsiquetallxfcx
, 0,0)(lim
Intuitivamente, si queremos que f(x) sea muy próximo a l (es decir,
ε<− lxf )( ), bastará con darle a x valores suficientemente próximos a c inferiores a c.
POR LA DERECHA εδδε <+<<>∃>∀⇔=
+→
l-f(x)entoncescxcsiquetallxfcx
, 0,0)(lim
LÍMITE FINITO EN UN PUNTO En los límites laterales nos hemos acercado a c por un lado o por el otro. Ahora vamos a hacerlo indistintamente por uno u otro lado.
εδδδε <+<<−>∃>∀⇔=→
l-f(x)entoncescxcsiquetallxfcx
, 0,0)(lim
Esto es; si queremos que f(x) sea muy próximo a l, podremos conseguirlo sin más que darle a x valores tan próximos a c como sea necesario. Además, esta definición engloba las dos definiciones de límites laterales. Por tanto,
)()( )( limlimlim xfxfcoincidenylateraleslímitesloslxfcxcxcx +−+ →→→
=∃⇔=
CÁLCULO DE LÍMITES CUANDO ax → CASOS INMEDIATOS Recordemos que en las funciones elementales se verifica siempre que, si f(x) está definida en x = c, entonces
)()(lim cfxfcx
=→
Ejm:
14
)(lim4
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
→
ππ
tgxtgx
( ) ( ) 2433121 512·313
2lim ==+=+ −−
→
x
xx
Con los resultados operativos vale aquí toda la casuística que hemos visto en los límites cuando +∞→x (en las páginas 2 y 5).
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12
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞+=∞++∞+=+∞+=+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−∞+−
→
55055
12 0
1
11
31
lim x
x x
INDETERMINACIONES
Cociente de polinomios: )()(lim xQ
xPcx→
. Pueden darse dos casos:
0)( ≠cP , entonces el límite es ∞± . Puede ser distinto el límite a la izquierda y a la derecha de c. Para averiguarlo, se recomienda obtener con la calculadora el resultado del cociente para valores de x próximos a c por uno y otro lado.
0)( =cP , indeterminación del tipo ( )( )00
. Entonces la fracción puede simplificarse
dividiendo numerador y denominador por cx − . Ejm1:
( )( )
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+∞=+−
+
−∞=+−
+
==+−
+
+
−
→
→
→
453
453
019
453
2
2
4
2
2
4
2
2
4
lim
limlim
xxx
xxx
xxx
x
x
x
La calculadora me determina el signo del ∞
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
==+⋅−
+
−=−
=+⋅−
+
9,6331,081,19
41,451,431,4
79,6229,021,18
49,359,339,3
2
2
2
2
Ejm2: ( )( )
( ) ( )( ) ( ) 4
3222
32
3222
00
654 limlimlim
222
2
2−=
−+
=−+
=−⋅−+⋅−
==+−
−
→→→ xx
xxxx
xxx
xxx
R=
−
021422401
( ) ( )2242 +⋅−=− xxx
R=−−
−
031622
651( ) ( )32652 −⋅−=+− xxxx
Ejm3:
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) 2
111
11
111
111
111
11111
00
11
limlim
limlimlimlim
11
1
22
111
−=
+−
=+−
=+⋅−−−
=
=+⋅−
−=
+⋅−−
=+⋅−+⋅−
==−
−
→→
→→→→
xxxx
xxx
xxx
xxxx
xx
xx
xxxx
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13
Ejm4:
( )( )
( )( )
( )[ ]( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
0490
61111
61
611
6500
65
662
3
62
3
1
62
3
16 22
6 32
13 2
2
1
lim
limlimlim
==+−⋅
=+
−⋅=
=+⋅−
−⋅=
−+
−==
−+
−
→
→→→
xxx
xxxx
xx
xx
xxxx
x
xxx
R=
−
061611651
( ) ( )61652 +⋅−=++ xxxx
Del tipo ( ) ( )∞+−∞+ En este caso, la mejor forma de deshacer estas indeterminaciones es efectuar la resta y estudiar la expresión resultante.
Del tipò ( )( )+∞1 La regla que obtuvimos con anterioridad es también válida para los límites cuando cx → (pág 8). Ejm1:
( )( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
( )
( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−∞=−
−
+∞=−
−
=−
=−
−=
−−−
=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−−
=∞+−∞+=−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−−
+
−
→
→
→→
→→
231
231
05
231
241
24
21
04
01
24
21
lim
lim
limlim
limlim
2
2
22
22
xxx
xxx
xxx
xxxx
xxx
xxx
xxxx
x
x
xx
xx
Calculadora ( )
( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−=−
=−⋅−
=−−
=−⋅−
24,2521,0
3,521,21,21,231
74,2419,07,4
29,19,19,131
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14
Ejm2:
( )( )
eeeee
eex
xx
xx
xxx
xxxxx
xxx
xxx
xxxx
x
x
xxx
xx
=====
====⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
+⋅
+⋅
+⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−−++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++
−+++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+++
∞+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→
→→→
→→
101
11
11
111
111
1111
11
011
2
0
limlimlim
limlim1
11
11
0
2
0
2
0
2
0
2
0lim
1) Calcula los siguientes límites:
a. 76
5222
23
1lim −−
++−
−→ xxxxx
x c.
xxxxx
x 3215
23
3
4lim −+
+−
→
b. 3 23
2
3 332lim
xxxx
x +
−+
−→
d. 22
4 3
1lim
−+
−
→ xxxx
x
2) Calcula los siguientes límites:
a. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+++
−+
+−
→ xxxx
xxxx
x3
3
2
2
0
122
25lim
b. 71
2
7 347lim
−+
→⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+− xx
x xxx