Rango de una Matriz Ma130 - p. 1/24
Álgebra Matricial y OptimizaciónMa130
Rango de una MatrizDepartamento de Matemáticas
ITESM
RangosRequisitosRango renglon yRango columnaigualesRango renglon yRango columnaigualesCotasMatrices de rangocompletoResultadoselementalesRango de matricesparticionadas
Rango de una Matriz Ma130 - p. 2/24
Los rangos de una matriz
El rango renglón de la matriz A es la dimensióndel espacio lineal R(A)
RangosRequisitosRango renglon yRango columnaigualesRango renglon yRango columnaigualesCotasMatrices de rangocompletoResultadoselementalesRango de matricesparticionadas
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Los rangos de una matriz
El rango renglón de la matriz A es la dimensióndel espacio lineal R(A) , mientras que el rangocolumna de A es la dimensión del espacio linealC(A).
RangosRequisitosRango renglon yRango columnaigualesRango renglon yRango columnaigualesCotasMatrices de rangocompletoResultadoselementalesRango de matricesparticionadas
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Requisitos
Dentro de los resultados ya vistos que serequieren para desarrollar la teoría del rango deuna matriz están los siguientes:
■ C(B) ⊆ C(A) si y sólo si existe una matriz X quecumpla B = AX.
■ R(C) ⊆ R(A) si y sólo si existe una matriz Y
q × m tal que C = YA.
■ Si U ⊆ V , entonces dim(U) ≤ dim(V ).
■ Si U es un espacio generado por k elementos,entonces dim(U) ≤ k.
■ Todo espacio generado tiene una base.
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Rango renglón y Rango columna iguales
Teorema
Sea A una matriz m × n con rango renglón r
y con rango columna c. Entonces■ existe una matriz B m × c y otra matriz L
c × n tal que A = BL, y■ existe una matriz K m × r y otra matriz T
r × n tal que A = KT.
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Rango renglón y Rango columna iguales
Uno de los resultados más importantes es el queindica que el rango renglón y el rango columna deuna matriz son iguales:
Teorema
Para cualquier matriz A, el rango renglón y elrango columna son iguales.
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Rango de una Matriz Ma130 - p. 5/24
Rango renglón y Rango columna iguales
Uno de los resultados más importantes es el queindica que el rango renglón y el rango columna deuna matriz son iguales:
Teorema
Para cualquier matriz A, el rango renglón y elrango columna son iguales.
Notaci on
El rango de una matriz es la dimensión delespacio columna (o del espacio renglón) dela matriz y se representará
rank(A)
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Cotas para el rango
Ejercicio 1
Demuestre
Teorema
Para cualquier matriz A m × n,rank(A) ≤ m y rank(A) ≤ n.
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Ejercicio 2
Demuestre
Teorema
Sea A una matriz m × n, B una matrizm × q, y C una matriz q × n. SiC(B) ⊆ C(A) entoncesrank(B) ≤ rank(A). Similarmente, siR(C) ⊆ R(A) entoncesrank(C) ≤ rank(A).
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Ejercicio 3
Demuestre
Corolario
Sea A una matriz m × n y F una matrizp × m, entonces rank(FA) ≤ rank(A) yrank(FA) ≤ rank(F).
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Ejercicio 4
Demuestre
Corolario
Sea A una matriz m × n y B una matrizm × p. Si C(B) ⊆ C(A) yrank(B) = rank(A) entoncesC(B) = C(A).
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Matrices de rango completo
Una matriz A m × n se dice de rango renglóncompleto si rank(A) = m.
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Rango de una Matriz Ma130 - p. 10/24
Matrices de rango completo
Una matriz A m × n se dice de rango renglóncompleto si rank(A) = m. Por otro lado, se dicede rango columna completo si rank(A) = n.
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Rango de una Matriz Ma130 - p. 10/24
Matrices de rango completo
Una matriz A m × n se dice de rango renglóncompleto si rank(A) = m. Por otro lado, se dicede rango columna completo si rank(A) = n. Unamatriz se dice matriz no-singular, si es de rangorenglón y columna completos. Claramente estetipo de matrices es cuadrada.
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Ejercicio 5
Demuestre el siguiente resultado
Teorema
Sea A una matriz m × n de rango r.Entonces existen matrices B m × r y T
r × n tales que A = BT. Así, B es derango columna completo y T es derango renglón completo.
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Teorema
Sea A una matriz m × n de rango r.Entonces existen matrices B m × m y K
n × n nosingulares tales que :
A = B
[
Ir 0
0 0
]
K
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Teorema
Sea A una matriz m × n de rango r.Entonces A contiene r rengloneslinealmente independientes y r columnaslinealmente independientes. Además, paracualquier selección de r renglones y r
columnas linealmente independientes, lasubmatriz r × r obtenida de A removiendolos renglones y las columnas restantes a laselección es una matriz de rengo completo.Y cualquier otra selección de renglones ocolumnas de A que involucre más de r
elementos debe ser linealmentedependiente. No existe ninguna submatriz deA con un rango mayor que r.
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Corolario
Cualquier matriz simétrica de rango r
contiene una submatriz principal r × r derango r.
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Resultados elementales
Ejercicio 6
Demuestre el siguiente resultado
Teorema
Sea A una matriz cualquiera.
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Resultados elementales
Ejercicio 6
Demuestre el siguiente resultado
Teorema
Sea A una matriz cualquiera.■ rank(A) = rank(A′)
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Rango de una Matriz Ma130 - p. 15/24
Resultados elementales
Ejercicio 6
Demuestre el siguiente resultado
Teorema
Sea A una matriz cualquiera.■ rank(A) = rank(A′)
■ si k 6= 0: rank(A) = rank(kA)
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Resultados elementales
Ejercicio 6
Demuestre el siguiente resultado
Teorema
Sea A una matriz cualquiera.■ rank(A) = rank(A′)
■ si k 6= 0: rank(A) = rank(kA)
■ rank(A) = rank(−A)
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Rango de matrices particionadas
Notaci on
rank(A,B) = rank ([A,B])
rank
(
A
B
)
= rank
([
A
B
])
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Teorema
Sean A, B, y C matrices m × n, m × q yq × n respectivamente. Entonces
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Teorema
Sean A, B, y C matrices m × n, m × q yq × n respectivamente. Entonces■ C(A) ⊆ C(A,B) , C(B) ⊆ C(A,B)
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Rango de una Matriz Ma130 - p. 17/24
Teorema
Sean A, B, y C matrices m × n, m × q yq × n respectivamente. Entonces■ C(A) ⊆ C(A,B) , C(B) ⊆ C(A,B)
■ R(A) ⊆ R
(
A
C
)
, R(C) ⊆ R
(
A
C
)
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Rango de una Matriz Ma130 - p. 17/24
Teorema
Sean A, B, y C matrices m × n, m × q yq × n respectivamente. Entonces■ C(A) ⊆ C(A,B) , C(B) ⊆ C(A,B)
■ R(A) ⊆ R
(
A
C
)
, R(C) ⊆ R
(
A
C
)
■ Además, C(A) = C(A,B) ↔ C(B) ⊆ C(A)
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Corolario
Sean A, B, y C matrices m × n, m × q yq × n respectivamente. Entonces
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Rango de una Matriz Ma130 - p. 18/24
Corolario
Sean A, B, y C matrices m × n, m × q yq × n respectivamente. Entonces■ rank(A) ≤ rank(A,B)
RangosRequisitosRango renglon yRango columnaigualesRango renglon yRango columnaigualesCotasMatrices de rangocompletoResultadoselementalesRango de matricesparticionadas
Rango de una Matriz Ma130 - p. 18/24
Corolario
Sean A, B, y C matrices m × n, m × q yq × n respectivamente. Entonces■ rank(A) ≤ rank(A,B)
■ rank(B) ≤ rank(A,B)
RangosRequisitosRango renglon yRango columnaigualesRango renglon yRango columnaigualesCotasMatrices de rangocompletoResultadoselementalesRango de matricesparticionadas
Rango de una Matriz Ma130 - p. 18/24
Corolario
Sean A, B, y C matrices m × n, m × q yq × n respectivamente. Entonces■ rank(A) ≤ rank(A,B)
■ rank(B) ≤ rank(A,B)
■ rank(A) ≤ rank
(
A
C
)
RangosRequisitosRango renglon yRango columnaigualesRango renglon yRango columnaigualesCotasMatrices de rangocompletoResultadoselementalesRango de matricesparticionadas
Rango de una Matriz Ma130 - p. 18/24
Corolario
Sean A, B, y C matrices m × n, m × q yq × n respectivamente. Entonces■ rank(A) ≤ rank(A,B)
■ rank(B) ≤ rank(A,B)
■ rank(A) ≤ rank
(
A
C
)
■ rank(C) ≤ rank
(
A
C
)
Rango de una Matriz Ma130 - p. 19/24
Lema
Sean A, B, y C matrices m × n, m × q y q × n
respectivamente. Entonces
Rango de una Matriz Ma130 - p. 19/24
Lema
Sean A, B, y C matrices m × n, m × q y q × n
respectivamente. Entonces■ C(A,B) = C(B,A) y rank(A,B) = rank(B,A)
Rango de una Matriz Ma130 - p. 19/24
Lema
Sean A, B, y C matrices m × n, m × q y q × n
respectivamente. Entonces■ C(A,B) = C(B,A) y rank(A,B) = rank(B,A)
■ R
(
A
C
)
= R
(
C
A
)
y rank
(
A
C
)
= rank
(
C
A
)
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Lema
Sean A, B, y L matrices m × n, m × q y n × q
respectivamente. Entonces
C(A,B) = C(A,B−AL) y rank(A,B) = rank(A,B−AL)
RangosRequisitosRango renglon yRango columnaigualesRango renglon yRango columnaigualesCotasMatrices de rangocompletoResultadoselementalesRango de matricesparticionadas
Rango de una Matriz Ma130 - p. 21/24
Lema
Sean A y E matrices m× n y m× q tales queC(E) ⊆ C(A), y además sean B y F
matrices m × p y m × r tales queC(F) ⊆ C(B). Entonces
C(E,F) ⊆ C(A,B)
y por consiguiente
rank(E,F) ≤ rank(A,B)
RangosRequisitosRango renglon yRango columnaigualesRango renglon yRango columnaigualesCotasMatrices de rangocompletoResultadoselementalesRango de matricesparticionadas
Rango de una Matriz Ma130 - p. 22/24
Lema
Sean A, B, y C matrices m × n, m × p, yn × q respectivamente. Entonces
rank(A,B) ≤ rank(A) + rank(B)
rank
(
A
C
)
≤ rank(A) + rank(C)
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Rango de una Matriz Ma130 - p. 23/24
Lema
Sean A, B matrices m × n. Entonces
C(A+B) ⊆ C(A,B) y rank(A+B) ≤ rank(A,B)
R(A+B) ⊆ R
(
A
B
)
y rank(A+B) ≤ rank
(
A
B
)
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Rango de una Matriz Ma130 - p. 24/24
Lema
Sean A, B matrices cualquiera. Entonces
rank
(
A 0
0 B
)
= rank(A) + rank(B)