CEPUNT MATEMÁTICA
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INTRODUCCIÓN:
Álgebra es el nombre que identifica a una rama de la
Matemática que emplea números, letras y signos para poder
hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas. El término
tiene su origen en el latín algebra, el cual, a su vez, proviene de un
vocablo árabe que se traduce al español
como “reducción” o “cotejo”.
Actualmente se entiende al álgebra como al área matemática que
se centra en las relaciones, estructuras y cantidades. La
disciplina que se conoce como álgebra elemental, en este marco,
sirve para llevar a cabo operaciones aritméticas (suma, resta,
multiplicación, división) pero que, a diferencia de la aritmética, se
vale de símbolos (a, x, y) en lugar de utilizar números. Esto
permite formular leyes generales y hacer referencia a números
desconocidos (incógnitas), lo que posibilita el desarrollo de
ecuaciones y el análisis correspondiente a su resolución.
1. TEORÍA DE EXPONENTES:
am . an = am + n
n
m
a
a = am – n
a0 = 1, a 0
a –n = na
1
(am)n = amn
{[(am)n]p}q = amnpq
““EXPRESIONES ALGEBRAICAS - POLINOMIOS”
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(a . b)n = an . bn
n
b
a
=
n
n
b
a
n
b
a
=
n
a
b
n ma = am/n
n ab =
nn b.a
n
n
n
b
a
b
a
m n a = mn a = mn
1
a
mnn m aa
n mnk mk aa
2. ECUACIONES EXPONENCIALES:
Igualdad de Bases:
ax = ay x = y, si a {0;1}
Igualdad de Exponentes:
ax = b x a = b, si x 0
Igualdad de Base y Exponente:
aa = xx a = x, si a {0;1}
3. EXPRESIÓN ALGEBRAICA:
Es una asociación finita de variables y constantes donde
intervienen las operaciones fundamentales, suma, resta,
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multiplicación, división, potenciación y radicación, sin variables en
los exponentes.
Ejemplos: 2x5 + 3x4 + 4x – 22; 7y2 – 3y 5
3.1. Término Algebraico:
Es la mínima expresión algebraica en la que sus elementos se
encuentran ligados por las diferentes operaciones aritméticas,
excepto la adición y sustracción. Sus partes se indican en el
siguiente esquema.
- 6 x2 y2
3.2. Términos Semejantes:
Son aquellos que tienen la misma parte literal. Dos o más
términos se pueden sumar o restar sólo si son semejantes,
para lo cual se suman o restan los coeficientes y se escribe la
misma parte literal.
Ejemplos: 7x y2 ; - 4x y2 ; 3xy2 son semejantes y se pueden
reducir a: (7 - 4 + 3) x y2 = 6x y2
3.3. Clasificación de las expresiones algebraicas:
Las expresiones algebraicas se pueden clasificar según la
naturaleza de sus exponentes o por el número de sus
términos:
3.3.1. Por su Naturaleza (Forma):
Coeficiente Parte literal (variables)
Signo
Exponentes
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A. Expresiones Algebraicas Racionales: Son aquellas
en las que los exponentes de sus letras o variables
son números enteros (Z).
Ejemplos: 2y
x6 x ; 3 x-2 + 4
A.1. Expresión Algebraica Racional Entera:
Son aquellas expresiones algebraicas racionales en donde
los exponentes de sus variables son números naturales
(incluido el cero).
Ejemplos: xy5 + 2x2 ; 2x
3
+ xy
A.2. Expresión Algebraica Racional Fraccionaria:
Son aquellas expresiones algebraicas racionales en
donde alguna de sus variables tiene exponente negativo.
Ejemplos: 8 x – 2 + 3y ; zx
xy45
B. Expresiones Algebraicas Irracionales: Son aquellas
expresiones en las que una o más variables están
afectadas del signo radical o del exponente
fraccionario.
Ejemplos: xxy ; 5 3x + 2
3.3.2. Por el Número de Términos:
Las expresiones algebraicas pueden ser monomios y
multinomios.
a. Monomios: Son aquellas expresiones algebraicas
que constan de un solo término.
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Ejemplos: 2x4y5a ; 4
5
z
yx4
b. Multinomios: Son aquellas expresiones
algebraicas que tienen dos o más términos.
Ejemplos:
4xy + xy + 3 ; x1/2y + 2x4 ; 3
33
z
)yx(yx
3.4. Grado de Expresiones Algebraicas:
GRADO: Es aquel exponente numérico (no variable) entero no
negativo que afecta a una variable tomada como base. En
otras palabras se denomina grado al exponente de variables
pero no al exponente de constantes o coeficientes.
CLASES DE GRADO: Existen dos clases de grado, que son:
- Grado Relativo (G.R.) : Toma en consideración solo a
una de las variables
- Grado Absoluto (G.A.): Toma en consideración a todas
sus variables a la vez.
A. GRADOS DE UN MONOMIO
A.1. GRADO RELATIVO:
Está indicado por el exponente de la variable al cual se hace
mención; para ello la expresión debe estar previamente
reducida o simplificada.
Así: el monomio: 4𝑥2𝑦5𝑧8 es:
Con respecto a “x”: de 2do grado
Con respecto a “y”: de 5to grado
Con respecto a “z”: de 8vo grado.
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A.2. GRADO ABSOLUTO
Se determina sumando algebraicamente los exponentes de
sus variables.
Ejemplo:
G.R. (x) G.R. (y)
P(x,y) = 6𝑎2𝑥4𝑦5
...G.A: = G.R (x) + G.R. (y) = 4 + 5 = 9
B. Grados de un Polinomio:
B.1. Grado Relativo: Está indicado por el mayor exponente
que afecta a la variableen uno de los términos del polinomio.
Así: El polinomio
𝐹(𝑥;𝑦;𝑧) = 3𝑥2𝑦4𝑧3 − 5𝑥3𝑦2𝑧 + 4𝑥5𝑦𝑧2es :
Mayores exponentes
Con respecto a x, de 5to grado
Con respecto a y, de 4to grado
OBSERVACION I. P(x) = 0 Este es el único polinomio cuyo grado es
indefinido. Ejemplo: P(X)= 25
su grado es cero por ser una constante.
II. El grado de toda constante siempre es cero; cte0
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Con respecto a z, de 3er grado
B.2. Grado Absoluto: Lo determina el mayor grado que
posee uno de los términos del polinomio.
Así: El polinomio
P(x,y) = 3a4x2y3z4 + bx10y12z3 + x5y6z
G.R. (x) = 2 G.R. (x) = 10 G.R. (x) = 5
G.R. (y) = 3 G.R. (y) = 12 G.R. (y) = 6
G.R. (z) = 0 G.R. (z) = 0 G.R. (z) = 0
G.A = 5 G.A = 11
... El G.A. de P(x,y) = 22
C. Grados en Operaciones con Polinomios:
Dados los polinomios P (x) de grado m y Q (x) de grado n ,
siendo m > n:
Operación Procedimiento Grado
Resultante
Adicion:
P (x) + Q(x)
El grado de la suma
o resta es del
polinomio de mayor
grado.
𝑚
Sustracción
P (x) - Q(x)
𝑚
Multiplicación
P (x) × Q(x)
Sumamos los grados
de los factores.
𝑚 + 𝑛
División:
P (x) ÷ Q(x)
Restamos el grado
del dividendo menos
el grado del divisor.
𝑚 − 𝑛
G.A = 22
MAYOR
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Ejemplo 1:
En la expresión: 3x2y + 5x5y3 + 2
G.R. (x) = 5 ; G.R. (y) = 3
El término de mayor grado es el segundo: G.A. = 5 + 3 = 8, luego
el grado de la expresión es 8.
Ejemplo 2:
Si en la siguiente expresión algebraica
P(x; y) = 7 xa+3 yb2 z6a + 5 xa+2 yb3 za+b
se sabe que: G.RxG.Ry = 3 G.A(P) = 13, entonces el valor de
“a b” es:
A) 6 B) 7 C) 8 D) 11 E) 12
Resolución: De la siguiente expresión algebraica se observa:
G. RX = a + 3 G.A(P) = a+b+1 ; G. Ry = b 2
a + b = 12 Clave E
4. POLINOMIOS:
Polinomio es una expresión algebraica racional entera que consta
de dos o más términos {monomios) en cantidad finita. Cuando los
coeficientes son reales se dice que es un polinomio en .
4.1. Clasificación según el número de términos:
a. Monomio.- Es la expresión algebraica racional entera de
un solo término.
b. Binomio.- Es el polinomio de dos términos.
Potenciación:
P (x) + Q(x)
Multiplicamos el
grado de la base por
el exponente.
𝑚 × 𝑘
Radicación:
P (x) + Q(x)
Dividimos el grado
del radicando entre
el índice del radical
𝑚
𝑘
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c. Trinomio.- Es el polinomio de tres términos.
4.2. Notación Polinómica.- Si un polinomio tiene una sola variable
“x” su notación será:
P(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +……..+ an-1x + an
Donde n Z+ ;n: grado del polinomio.
a0: coeficiente principal no nulo.
an: término independiente ;
Los polinomios con dos o más variables se denotan por:
P (x, y) : Polinomio con variables x, y
P (x, y, z): Polinomio con variables x, y, z.
Aunque cada polinomio se denota como identidad, siendo su
símbolo la notación = se empleara en lo sucesivo el símbolo
de igualdad (=).
4.3. Valor numérico de un Polinomio:
Consiste en asignar a la variable o variables un número
definido tal que al reemplazar en la expresión original se
obtenga una cantidad definida.
Ejemplo: Si : P(x) = 3x2 + 4x + 5 ; Para : x = 0 , entonces :
P(O) = 3(0)2 + 4(0) + 5 = 5
4.4. Polinomios Especiales:
Son polinomios que poseen características particulares que los
diferencian de otros. Estos son:
A. Polinomio Homogéneo :
Es aquel cuyos términos están constituidos por más de
una variable y presentan el mismo grado.
Ejemplo: P(x, y) = 2 x y4 - 3 x3y2+ y5 es homogéneo de 5to
grado.
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B. Polinomio Ordenado:
Cuando los exponentes de la variable que se toma como
referencia, guardan un cierto orden, ya sea ascendente o
descendente.
Ejemplo:P(x, y) = x y - x3y + x y3 , es ordenado en forma
decreciente respecto a x , y en forma creciente respecto a
y.
C. Polinomio Entero en x:
Es aquel que depende únicamente de la variable x, siendo
sus coeficientes números enteros.
Ejemplo: P(x) = 3x3+ 2x2 +x - l ; es un polinomio entero
en x de tercer grado.
D. Polinomio Mónico:
Es aquel polinomio entero en x que se caracteriza por ser
su coeficiente principal igual a la unidad.
Ejemplo:P(x) = x2+ 7x + 4 ; es un polinomio Mónico de
segundo grado (cuadrático).
E. Polinomio Completo:
Es el que contiene todos los exponentes de la variable que
se toma como referencia, desde el mayor exponente hasta
el exponente cero o término independiente.
Ejemplo:P(x) = - 2x + 3 x2+ x3 - 7 es completo, de 3er
grado y tiene cuatro términos, uno más que el grado.
F. Polinomios Idénticos:
Son aquellos cuyos términos semejantes poseen el mismo
coeficiente.
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Ejemplo:
Si P(x) = a x3 + b x2 + c y
Q(x) = m x3+ n x2 + p
Son idénticos P(x) = Q (x), se cumplirá que: a = m ; b = n
y c = p
G. Polinomios Equivalentes:
Son aquellos polinomios que teniendo formas diferentes
aceptan igual valor numérico para un mismo sistema de
valores asignados a sus variables.
Ejemplo:Dados los polinomios:
P(x;y) = (x + y)2 - (x - y)2Q(x;y) = 4xy
Si ambos admiten el mismo valor numérico para cualquier
valor de "x" e "y", entonces serán equivalentes; veamos:
Hagamos: x= 2 y = 1 ; en :
P (x;y): P(2 ; 1) = (2 + 1)2 - (2-1)2 = 8
Hagamos: x = 2 y = 1 ; en:
Q(x;y): Q(2 ; 1) = 4 (2) (1) = 8
Se observa que: P(2 ; 1) = Q(2 ; 1), entonces son
polinomios equivalentes P(x; y) y Q(X ; y).
H. Polinomio Idénticamente Nulo:
Es aquel que tiene sus coeficientes todos nulos. Su valor
es cero para cualquier valor de la variable.
Ejemplo: Si P(x) = ax3+ bx + c, es idénticamente nulo, se
cumplirá: a = 0; b = 0 y c = 0
Y se podrá representar así: P(x) = 0
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Propiedades:
- En cualquier Polinomio, se cumple que su suma de
coeficientes, se obtiene reemplazando a la variable o
variables, con las cuales se está trabajando por la
unidad.
coeficientes de P(x) = P(1)
- El termino Independiente: T.I., se obtiene
reemplazando a la variable (es) por cero.
Término independiente de P(x) = P(0)
- Todo Polinomio completo y ordenado de grado “n”,
posee: “n + 1” términos
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1. El grado del producto indicado:
P(x) = (x3 + 1)(x7 + 1)(x11 + 1) … … . . (x79 + 1), es:
A) 205 B) 250 C) 400 D) 650 E) 820
Resolución:
Su grado será : 3 7 11 ……… 79 , lo cual es equivalente:
( 4 – 1 ) (8 – 1 ) (12 – 1 ) ……… ( 80 – 1 )
[4(1) − 1] + [4(2) − 1] + [4(3) − 1] + ⋯ … . . +[4(20) − 1]
4. [1 + 2 + 3 + ⋯ … … … . +20] + (−1). 20 = 4.(20).(21)
2− 20 = 820
CLAVE: E
2. Si el polinomio:
P (x, y, z) = A x 2a + 2b – c + B y 2b + 2c - a + C z 2c + 2a –b
Es homogéneo, entonces el valor de :𝐅 =(𝐚+𝐛)𝐧 +(𝐛+𝐜)𝐧
(𝐜+𝐚)𝐧 ,es:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
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Resolución:
Si el polinomio es homogéneo se cumple:
2a + 2b – c = 2b + 2c - a = 2c + 2a – b, se halla : a = b = c ,
reemplazando en : 𝐅 =(𝐚 + 𝐚)𝐧 +(𝐚 + 𝐚)𝐧
(𝐚 + 𝐚)𝐧 = (𝟐𝐚)𝐧+(𝟐𝐚)𝐧
(𝟐𝐚)𝐧 = 𝟐.(𝟐𝐚)𝐧
(𝟐𝐚)𝐧 = 𝟐
CLAVE : B
3. El grado de P(x). Q2 (x) es 13 y el grado de P2(x). Q3 (x) es 22. El
grado de P2 (x) + Q3 (x) es:
A) 22 B) 20 C) 18 D) 12 E) 10
Resolución:
Sea:
Grado → [P(x)]° = a ; [P(x)]° = b → reemplazando en los datos ∶
[P(x). Q2 (x)]° = 13 a 2b = 13 y [P2(x). Q3 (x)]° = 22 2a 3b = 22
Resolviendo ambas ecuaciones se halla: a = 5 ; b = 4 ,
entonces reemplazando el grado de [P2 (x) + Q3 (x)]°[ 2a + 3b]°
el grado de [ 10 + 12]° es 12
CLAVE: D
4. Si los grados de los polinomios P(x) es (3n + 2); de Q (x) es
(4n - 3) y de R (x) es (2n + 1) y el grado de P2(x). Q(x) + Q2(x).
R(x) + R3(x) es 31, entonces el grado de Q (x) es :
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
Resolución:
Si los grados de: [P(x)]°= (3n + 2);[Q(x)]° = (4n − 3) y
[R(x)]° = (2n + 1), entonces el grado de:
[P2(x). Q(x)]°= 2(3n + 2) (4n - 3) = 10 n 1
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[Q2(x). R(x)]°= 2. (4n - 3) (2n + 1) = 10 n – 5 ;
[R3(x)]°= 3. (2n + 1) = 6n 3 ; se observa que el mayor es:
10 n 1 = 31
Se halla: n = 3 ; entonces el grado de:
[Q(x)]° = (4n − 3) = 12 – 3 = 9
CLAVE : E
5. Si el polinomio :P(x)= a. (x + 2)2 + b. (x + 3)2 − (2x + 3)2 + c es
idénticamente nulo, el valor de : √a − bc
es:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Resolución:
Resolviendo y agrupando :
P(x) = (a + b − 4)x2 + (4a + 6b − 12)x + (4a + 9b − 9 + c),
entonces por ser un polinomio idénticamente nulo, se cumple: a +
b − 4 = 0 ;
4a + 6b − 12 = 0; 4a + 9b − 9 + c = 0 , resolviendo se halla: a = 6;
b = -2 ; c = 3 , reemplazando en: √a − bc
→ √6 − (−2)3→ √8
3= 2
CLAVE: B