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LeydeGaussysusAplicaciones
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LaleydeGauss
La ley de Gauss constituye una de las leyesfundamentales de la Teora Electromagntica.
Se trata de una relacin entre la cargaencerrada en una superficie y el flujo de sucampoelctrico,atravs de lamisma.
Constituye un medio para obtenerexpresiones de campos elctricos, consuficientes condiciones de simetra.
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Recordando la definicin de flujo elctrico
Deunaformamsformal(general)
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El flujo de campo elctrico a travs de cualesquiersuperficie cerrada (gaussiana), es igual a la carga
netaencerrada, por lamisma,entre laconstante
0 encE dA q
0 E encq
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RecordandoconceptosdeFlujo
Elvector dereasiempreesperpendicular
alasuperficie.
Solohay uncampoE, peroatraviesa (ono)diferentes superficies. Entonces encontramosElnguloque existe entre Ey Ay aplicamos elPrincipiode superposicin!!!
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DefinicindeLEYDEGAUSS
El flujo de campo elctrico a travs de cualesquiersuperficie cerrada (gaussiana), es igual a la carga
netaencerrada, por lamisma, entre laconstante
0
E
qE d
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Consideracionesapartirdelaexpresin:
0
E
q
E dA
FlujoCarga encerrada
Campo ElctricoConstante
rea deSUPERFICIEGAUSSIANA
Permitividaddel vacoe n c
e n c
en ce n c
en ce n c
qq L
Lq
q AA
qq V
V
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Cmo cambia la expresin dependiendo de la
densidad de carga?
0
E
q
E dA enc
enc
enc
enc
enc
enc
q
q LL
qq A
A
qq V
V
0encq E L dA
0encq E A dA
0encq E V dA
SUPERFICIEGAUSSIANA
Principio deSuperposicin CAMPOSDepender delosvectoresdesuperficiey
La relacin deE y A para cada uno deellos
Distribucinde Carga
De unreadeterminada24/08/2011 WL G4
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SuperficiesGaussianas
S1
S4
S3
S2
q
-q= E dS=?
Si
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Superficiesgaussianas
Simetra SimetraEsfrica cilndrica
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Unconductoraisladocargado
Si un exceso de cargas escolocado en un conductoraislado, esa cantidad de cargase movercompletamente a lasuperficie del conductor.Nada del exceso de carga seencontrara dentro del cuerpo
delconductor.
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Campoelctricodeunacargapuntual
0 0 encE dA EdA q
0E dA q
2
0 4E r q 20
1
4
qE
r
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Aplicacinde laleyde Gauss, simetracilndrica
cos
(2 )cos0 (2 )
EA
E rh E rh
0 encq
0 2E rh h
02
Er
Mismoresultadoanterior pero
usandoLeydeGAUSS
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Para una lnea infinita, con densidad linealde carga uniforme, el campo elctrico encualquier punto p, es perpendicular a la lneadecargay demagnitud:
Donderesla distancia perpendiculardelalnea decarga al punto.
02E
r
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Para una lnea infinita, con densidad linealde carga uniforme, el campo elctrico encualquier punto p, es perpendicular a la lneadecargay demagnitud:
Donderesla distancia perpendiculardelalnea decarga al punto.
02E
r
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Cilindro Cargado
Encontrar elcampoelctricoen elinterior delcilindroCilindrode longitud infinita, radioR y densidad de carga
L
R
Elcampoelctricotiene direccin perpendicular aleje delcilindro.
r
Dibuje un cilindrode radio r en elinterior delcilindro.
AE 2 rLE0
V
2
0
r L0
inq
02E
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Ejemplo
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Aplicacinde laLeyde GaussSimetraPlana
La nica direccin especificada por la situacinfsica es la direccin perpendicular al plano. Por
tanto, sta tiene que ser la direccin de E.Puntos que quedan en planos paralelos estnequidistantes al planoy tienen un campo Ede lamisma magnitud
La superficie gaussiana que usamos tiene tapasque son dos de esos planos paralelos. El flujo atravs de la superficie Gaussiana es cero. Losflujos a travs de las dos tapas son iguales.
0 EA EA A
02E
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LMINAINFINITACARGADA
Calculemos elcampodebidoa una lminainfinita, delgada cargada, de una densidad
superficial de carga
Solucin: Una superficie gaussianaconveniente es uncilindro pequeo,cuyoejeseaperpendicular al plano con extremoequidistante del plano,y reas de las bases A.Comoel campo es perpendicular, no existe flujo atravs del rea lateral delcilindro.Empleando l a ley de Gauss,
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Podemosescribirpara lastressuperficiesdel cilindro (dosdelasbasesy una lateral)
Como el flujo a travsdela superficielateral (superficieb)escero,pues E esperpendiculara ds ,y el flujo a travs
decada una delasbaseses EA (reasa y c) resulta que:
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Comolacargaencerradaporlasuperficiegaussiana esq=A, laecuacinanteriorse
transformaen
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PlacasParalelas
Hallarel campo elctrico debido a dosplanos infinitos,tanto
en la regin entreplacascomo en lasregionesen cualquierlado delasplacas
+ -
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SOLUCIN:
El campo elctrico resultante se determinamediante el principio de superposicin,teniendo en cuenta el campo debido a unalmina infinita decarga
Los campos de las lminas 1 y 2 son 1 E y 2 E
respectivamente,y tienen la misma magnitud,
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Dos placas
conductoras:
1
0 0
2E
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CampoenPlacas
1
0 0
2E
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Aplicacin de laLeyde Gauss- SimetraEsfrica-
Concha esfrica de R .
1) Etiene direccinradial,
2) La magnitud de Ees constante en la superficie de cualquier
superficie esfrica concntrica con la carga. Es obvio quedebe tomarse la superficie Gaussiana comoesfera.
3) Por tanto Ey da apuntanen la misma direcciony la integraldel lado izquierdo de la ley de Gauss resulta:
Tomemos elejemplo de uncascarnesfrico de carga q y radio R.Debemos considerar dos regiones:
I) fuera delcascarnII) dentro delcascarn.
Siempre llamamos r a la distancia entre el punto donde queremos calcular E y el centro desimetra. Matemticamente las regiones se definencomo
I)r>RII)r
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Para la regin I, se toma la esfera gaussiana S2 .
Debe notar que qN = q ya que esaes lacarga adentro de la
esfera S2 .En esta regin la carga se comporta se acumula en lasuperficie indicada por los puntos conductor-.Para la regin II, tomamos la esfera gaussiana S1.
Ahora qN = 0 y n o h a y E dentro de lacarga.
2
0 0 0 4E dA EdA E r
I) r>RII) r
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Ellado izquierdode la ley de Gauss depende slode la simetra. Loque
tenemos que determinar es elladoderecho, osea, la carga encerrada.
Fuera de la distribucin de carga, la respuesta es igualque elcasoanterior.
Dentrode la esfera, qN= Vr donde es la densidad volumtrica de carga=q/VR.
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Distribucin esfrica,campo a r R
Cargauniforme,campo a r R
'
20
1
4
q
E r
3
0
( )4
qE r
R
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AplicandolaleydeGauss: ConchaEsfrica
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Concha esfrica,campo a r R
Campo elctrico a rR
2
0
14
qEr
0E
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Aplicacin delaley deGauss
Esfera deradio Ry constante .Cules el campo en el interior?
Seescoge unasuperficie gaussianaesfrica deradio r
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CORTEZAESFRICA
Una corteza esfrica delgada de radio R tiene
una carga total Q distribuida uniformementesobre su superficie.
Determineel campo elctrico parapuntos:
1. fueradelcascarn Rr
2. dentrodelcascarnR
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LEYDEGAUSS
Formas de la ley de Gauss:
0
cos encerradaQ
AdEAdEAdE
Distribucindecarga Localizacindel campo
elct r ico
Magnitud del campo
elct r ico
Carga puntual individual q Distancia r respecto a q
Carga qenla superficiedeuna
esfera conductora deradio R
Esfera exterior,r> R
Esfera interior,r< R
Alambreinfinito,concarga porunidaddelongitud
Distancia r respecto al alambre
La superficie que encierra la carga se conoce comosuperficiegaussiana.
204
1
r
qE
204
1
r
q
E
0E
rE
02
1
Camposelctricosoriginadospor distribucionesdecargasimtricas
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LEYDEGAUSS
Distribucindecarga Local izacindel campo
elct rico
Magnitud del campo
elct rico
Cilindro conductorinfinito deradioR concarga porunidaddelongitud
Cilindro exterior,r> R
Cilindro interior,r< R
Esfera slida aislantederadio R,carga Q distribuidauniformementeentodo elvolumen
Esfera exterior,r> R
Esfera interior,r< R
Lamina infinita decarga,concargaporunidaddearea
Cualquierpunto
Dosplacasconductorasconcargasopuestasy densidades
superficialesdecarga + y -
Cualquierpunto entrelasplacas
rE
02
1
0E
204
1
r
QE
3
0
1
4
QE
r
02E
0
E
Camposelctricosoriginadospor distribucionesdecargasimtricas
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