LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS
Elipse: lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
d(X,F) + d(X,F’) = k
Hipérbola: lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS
|d(X,F) – d(X,F’)| = k
Parábola: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto, llamado foco, y de una recta llamada directriz.
LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS
d(X,F) = d(X,d)
ESTUDIO DE LA ELIPSE
Elipse: lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
ELEMENTOS DE LA ELIPSE
Centro de la elipse: O
Semieje mayor: a
Semieje menor: b
Semidistancia focal: c
Focos: F(c,0), F(-c,0)
Vértices: A(a,0), A’(-a,0), B(0,b), B’(0,-b)
Constante: k = 2a, porque d(A,F) + d(A,F’) = k, luego k = 2a
RELACIONES EN LA ELIPSE:
1) a2 = b2 + c2
2) Excentricidad: excc
=a
La excentricidad de una elipse es un número comprendido entre 0 y 1.
El vértice B cumple: d(B,F) + d(B,F’) = k
Como k = 2a y d(B,F) = d(B,F’)
d(B,F) = d(B,F’) = a
a, b y c forman un triángulo rectángulo, luego a2 = b2 + c2
Cuanto más separados están los focos, mayor es la excentricidad y más se aleja la elipse de la circunferencia.
a = 15, c = 4
exc = 4/15 = 0’267
a = 15, c = 9
exc = 9/15 = 0’6
a = 15, c = 12
exc = 12/15 = 0’8
¿Cómo será una elipse de excentricidad cero?
Es una circunferencia
ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE:
Ecuación de la elipse centrada en el origen de coordenadas y cuyos ejes son los ejes de coordenadas.
Cualquier punto X(x,y) de la elipse cumple: d(X,F) + d(X,F’) = k
Como k = 2a , d(X,F) + d(X,F’) = k 2 2 2 2, (x c) (y 0) (x c) (y 0) 2a
2 2 2 2(x c) (y 0) (x c) (y 0) 2a, 2 2 2 2 2 2x 2cx c y x 2cx c y 2a,
2 2 2 2 2 2x 2cx c y 2a x 2cx c y , 2
2 2 2 2 2 2 2x 2cx c y 2a x 2cx c y ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x 2cx c y 4a 4a x 2cx c y x 2cx c y ,
2x 22cx c 2y 2 2 2 2 24a 4a x 2cx c y x 22cx c 2y ,
2 2 2 22cx 4a 4a x 2cx c y 2cx, 2 2 2 24a x 2cx c y 4a 4cx,
Simplificando por 4, 2 2 2 2a x 2cx c y a cx, elevando al cuadrado,
2 2
2 2 2 2a x 2cx c y a cx , 2 2 2 2 4 2 2 2a x 2cx c y a 2a cx c x ,
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2a x 2a cx a c a y a 2a cx c x , 2 2 2a x 2a cx 2 2 2 2 4 2a c a y a 2a cx 2 2c x ,
2 2 2 2 2 2 4 2 2a x a c a y a c x , 2 2 2 2 2 2 4 2 2a x c x a y a a c ,
x2 en el 1er miembro y a a2 en el 2º, se obtiene 2 2 2 2 2 2 2 2x a c a y a a c ,
como a2 = b2 + c2, a2 – c2 = b2, luego 2 2 2 2 2 2b x a y a b ,
sacando factor común a
dividiendo por a2b2, se obtiene
2 2 2 2 2 2 b x a y a b , dividiendo por a2b2, se obtiene: 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
b x a y a b,
a b a b a b
2b 2
2 2
x
a b
2
a 2
2
y
a
2
2
a
b
2b2a 2b
, es decir,
x y
a b
2 2
2 21
EJEMPLO 1: Escribir la ecuación de la elipse centrada en el origen de focos (2,0) y (-2,0) y constante 6.
La ecuación de una elipse centrada en el origen de coordenadas es de la forma: 2 2
2 2
x y1
a b
K = 2a, luego 2a = 6, a = 3
a2 = b2 + c2, b2 = a2 – c2, b2 = 9 – 4 = 5
2 2x y1
9 5
EJEMPLO 2: Escribir la ecuación de la elipse centrada en el origen, de excentricidad 0’8 y semieje mayor 10. Represéntala.
La ecuación de una elipse centrada en el origen de coordenadas es de la forma: 2 2
2 2
x y1
a b
Conocemos a = 10, como exc = , c
a
c
10= 0’8, c = 8; a2 = b2 + c2, b2 = a2 – c2, b2 = 100 – 64,
b2 = 36, b = 6. 2 2x y
1100 36
2 2x y1
100 36 REPRESENTACIÓN DE
1.- Ejes de coordenadas
2.- Centro de la elipse
3.- Semiejes
4.- Vértices de la elipse
5.- Dibujar la elipse
ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE CON LOS FOCOS EN EL EJE Y:
x y
a b
2 2
2 21
FOCOS SOBRE EL EJE X FOCOS SOBRE EL EJE Y
y x
a b
2 2
2 21
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON EL CENTRO FUERA DEL ORIGEN DE COORDENADAS
FOCOS SOBRE EL EJE X FOCOS SOBRE EL EJE Y
(x ) (y )
a b
2 2
2 21 (y ) (x )
a b
2 2
2 21
EJEMPLO: Halla los elementos notables y la excentricidad de la siguiente
elipse y represéntala.
2 2y x1
36 16
Centro: O(0,0)
Semiejes: a: 6, b = 4
a2 = b2 + c2, c2 = a2 – b2 = 36 – 16 = 20,
Focos sobre el eje Y
c = 20 = 4’47
Vértices: A(0,6), A’(0,-6), B(4,0), B’(-4,0)
Focos: F(0,4’47), F’(0,-4’47)
EJEMPLO: Halla los elementos notables y la excentricidad de la siguiente
elipse y represéntala.
22(x 2)
y 14
Centro:
Semiejes: a = 2, b = 1
a2 = b2 + c2, c2 = a2 – b2 = 4 – 1 = 3,
Focos sobre el eje X
c = 3 = 1’73
Vértices: A(4,0), A’(0,0), B(2,1), B’(2,-1)
Focos: F(2’73,0), F’(0’27,0)
C(2,0)
exc = c
a
3
20’866
EJEMPLO: Halla los elementos notables y la excentricidad de la siguiente
elipse y represéntala.
2 2(x 2) (y 1)1
25 16
Centro:
Semiejes: a = 5, b = 4
a2 = b2 + c2, c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9,
Focos sobre paralelo al eje X
c = 3
Vértices: A(4,0), A’(0,0), B(2,1), B’(2,-1)
Focos: F(2’73,0), F’(0’27,0)
C(-2,1)
exc = c
a
3
5 0’6
EJEMPLO: Halla los elementos notables y la excentricidad de la elipse
4x2 + y2 = 4 y represéntala.
Centro:
Semiejes: a = 2, b = 1
a2 = b2 + c2, c2 = a2 – b2 = 4 – 1 = 3,
Focos sobre el eje Y
c = 3 = 1’73
Vértices: A(0,2), A’(0,-2), B(1,0), B’(-1,0)
Focos: F(0,1’73), F’(0,-1’73)
C(0,0)
exc = c
a
3
20’866
Dividiendo la ecuación por 4 obtenemos: 2
2 yx 1
4
22y
, x 14
EJEMPLO: Halla los elementos notables y la excentricidad de la
elipse 4x2 + 9y2 – 16x + 36y + 16 = 0 y represéntala.
Si nos fijamos en los términos que contienen x podemos escribir:
(2x – 4)2 = 4x2 – 16x + 16 (3y + 6)2 = 9y2 + 36y + 36
4x2 + 9y2 – 16x + 36y + 16 = (2x – 4)2 + (3y + 6)2 – 36
luego
por tanto la ecuación de la elipse se puede escribir: (2x – 4)2 + (3y + 6)2 – 36 = 0
Si en el primer binomio se extrae factor común a 2 y en el segundo a 3, se obtiene:
[2(x – 2)]2 +[3(y + 2)]2 – 36 = 0,
(2x – 4)2 + (3y + 6)2 = 36
4(x – 2)2 +9(y + 2)2 = 36 dividiendo por 36
2 24(x 2) 9(y 2) 36
36 36 36
2 2(x 2) (y 2)1
9 4
2 2(x 2) (y 2)1
9 4
Centro:
Semiejes: a = 3, b = 2
a2 = b2 + c2, c2 = a2 – b2 = 9 – 4 = 5,
Focos sobre un eje paralelo al eje X
c = 5 = 2’24
Vértices: A(5,-2), A’(-1,-2), B(2,0), B’(2,-4)
Focos: F(4’24,-2), F’(-0’24,-2)
C(2,-2)
exc = c
a
5
20’118