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UNIDAD N 1
1.1 La naturaleza de la fsica
La fsica es una ciencia experimental. Los fsicos observan los fenmenos naturales y
tratan de encontrar los patrones y principios que los relacionen. Dichos patrones se
denominan teoras fsicas o, si estn bien establecidos y se usan ampliamente, leyes o
principios fsicos.
Decir que una idea es una teora no implica que se trate de una divagacin o de un concepto
no comprobado. Ms bien, una teora es una explicacin de fenmenos naturales basada en
observaciones y en los principios fundamentales aceptados. Un ejemplo es la evolucin
biolgica, que es el resultado de extensas investigaciones y observaciones de varias
generaciones de bilogos.
El desarrollo de la teora fsica exige creatividad en todas sus etapas. El fsico debe aprender
a hacer las preguntas adecuadas, disear experimentos para tratar de contestarlas y deducir
conclusiones apropiadas de los resultados.
Segn la leyenda, Galileo Galilei (1564/1642) dej caer objetos ligeros y pesados desde la
torre Inclinada de Pisa para averiguar si sus velocidades de cada eran iguales o diferentes.
Galileo saba que slo la investigacin experimental podra darle la respuesta. Examinando
los resultados de sus experimentos, dedujo la teora de que la aceleracin de un cuerpo
que cae es independiente de su peso.
El desarrollo de teoras fsicas como la de Galileo siempre es un proceso bidireccional que
comienza y termina con observaciones y experimentos. El camino a menudo es indirecto, con
callejones sin salida, equivocaciones y el abandono de teoras infructuosas en favor de otras
ms prometedoras. Ninguna teora se considera como la verdad final o definitiva; siempre
cabe la posibilidad de que nuevas observaciones obliguen a modificarla o desecharla.
Podemos demostrar la falsedad de una teora fsica al encontrar comportamientos no
congruentes en ella, pero nunca podemos probar que una teora es siempre correcta.
Volviendo a Galileo, supongamos que dejamos caer una pluma y una bala de can. Sin duda
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no caen a la misma velocidad. Esto no significa que Galileo estuviera errado, sino que su
teora era incompleta. Si soltamos esos objetos en un vaco para eliminar los efectos del
aire, s caern a la misma velocidad. La teora de Galileo tiene un intervalo de validez: slo
es vlida para objetos cuyo peso es mucho mayor que la fuerza ejercida por el aire (debido a
su resistencia y a la flotacin del objeto). Los objetos como las plumas y paracadas
obviamente se salen del intervalo. Concluimos entonces que toda teora fsica tiene un
intervalo de validez fuera del cual no es aplicable.
1.2 Modelos idealizados
En fsica, un modelo es una versin simplificada de un sistema fsico demasiado complejo
como para analizarse con todos sus pormenores. Por ejemplo, supongamos que no interesa
analizar el movimiento de una pelota de bisbol lanzada al aire. La pelota no es
perfectamente esfrica ni perfectamente rgida, tiene costuras y est girando. El viento y la
resistencia del aire afectan su movimiento, la Tierra gira, el peso de la pelota vara un poco
al cambiar su distancia respecto al centro de la Tierra, etc. Si tratamos de incluir todo esto,
la complejidad del anlisis nos abrumar. En vez de ello, inventamos una versin simplificada
del problema. Omitimos el tamao y la forma de la pelota y la representamos como un
objeto puntual, o partcula. Omitimos la resistencia del aire haciendo que la pelota se
mueva en el vaco, nos olvidamos de la rotacin terrestre y suponemos un pesos constante.
Ahora s tendremos un problema manejable.
Para crear un modelo idealizado del sistema, debemos pasar por alto muchos efectos
menores y concentrarnos en las caractersticas ms importantes. Necesitamos criterio y
creatividad para lograr un modelo que simplifique lo suficiente un problema, sin omitir sus
caractersticas esenciales.
Al usar un modelo para predecir el comportamiento de un sistema, la validez de la prediccin
est limitada por la validez del modelo. La prediccin de Galileo respecto a la cada de los
cuerpos corresponde a un modelo idealizado que no incluye los efectos de la resistencia del
aire. El modelo funciona bien para una bala de can, pero no para una pluma.
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El concepto de modelos idealizados es muy importante en fsica y en todas las tecnologas.
1.3 El proceso de la medicin
Hemos visto que la fsica es una ciencia experimental y los experimentos requieren
mediciones cuyos resultados suelen describirse con nmeros. Un nmero empleado para
describir cuantitativamente un fenmeno fsico es una cantidad fsica. Dos cantidades fsicas
que describen a una persona son su peso y estatura. Algunas cantidades fsicas son tan
bsicas que slo podemos definirlas describiendo la forma de medirlas, es decir, con una
definicin operativa. Ejemplos de ello son medir una distancia con una regla, o un lapso de
tiempo con un cronmetro. En otros casos definimos una cantidad fsica describiendo la
forma de calcularla a partir de otras cantidades medibles. As, podramos definir la velocidad
media de un objeto como la distancia recorrida (medida con una regla) dividida el tiempo
empleado en recorrerla (medido con un cronmetro).
Al medir una cantidad, siempre la comparamos con un estndar de referencia. Si decimos
que un automvil tiene 4,25 m de longitud, queremos decir que es 4,25 veces ms largo que
una vara de metro, que por definicin tiene 1 m de largo. Este estndar define una unidad de
la cantidad. El metro es una unidad de distancia, y el segundo, de tiempo. Al describir una
cantidad fsica con un nmero, siempre debemos especificar la unidad empleada; describir
una distancia como 4,25 no significa nada.
Las mediciones exactas y confiables exigen unidades inmutables que los observadores
puedan duplicar en distintos lugares. El sistema de unidades empleado por los cientficos e
ingenieros en todo el mundo es el llamado Sistema Internacional (SI), que veremos en el
tema siguiente.
1.4 Unidades y patrones
En la Repblica Argentina estn vigentes la Ley Nacional de Metrologa N 19511/72 y su
Decreto Modificatorio N 878/89, por los cuales se establece el Sistema Mtrico Legal
Argentino (SIMELA) para todo el territorio de la Nacin.
El SIMELA est constituido por las unidades, mltiplos y submltiplos, prefijos y smbolos del
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Sistema Internacional de Unidades (SI), recomendado por la 14a sesin de la Conferencia
General de Pesas y Medidas realizada en Pars (Francia). El mismo es de uso obligatorio y
exclusivo en todos los actos pblicos o privados de cualquier orden o naturaleza.
Unidades de Base
El SI tiene siete unidades bsicas o fundamentales, que son las siguientes:
Magnitud Unidad Smbolo longitud metro m masa kilogramo kg tiempo segundo s corriente elctrica ampre (amperio) A temperatura termodinmica kelvin K intensidad luminosa candela cd cantidad de materia mol mol
A continuacin se definen las tres primeras, que son las que se utilizan en Mecnica:
metro: longitud del trayecto recorrido por la luz en el vaco en un intervalo de tiempo igual a 1/299.792.458 segundos. masa: es la masa de un cilindro de aleacin platino-iridio guardado en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Svres, cerca de Pars (Francia). segundo: duracin de 9.192.631.770 ciclos de la radiacin que estimula la transicin entre los dos niveles energticos ms bajos del tomo de Cesio 133.
Unidades Suplementarias
Magnitud Unidad Smbolo ngulo plano radin rad ngulo slido estereorradin sr
Unidades Derivadas Son 77 en total. Las siguientes son las que se utilizan en Mecnica:
Magnitud Unidad Smbolo Superficie metro cuadrado m2 Volumen metro cbico m3 Frecuencia hertz (hercio) Hz (1/s) Densidad kilogramo por metro cbico kg/m3 Velocidad metro por segundo m/s Velocidad angular radin por segundo rad/s
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Aceleracin metro por segundo al cuadrado m/s2 Aceleracin angular radin por segundo al cuadrado rad/s2 Fuerza newton N (kg.m/s2) Presin pascal Pa (N/m2) Viscosidad cinemtica metro cuadrado por segundo m2/s Viscosidad dinmica newton-segundo por metro cuadrado N.s/m2 Trabajo, energa, cantidad de calor joule (julio) J (N.m) Potencia watt (vatio) W (J/s)
Sinonimias litro: nombre especial que puede darse al decmetro cbico (dm3) en tanto y en cuanto no exprese resultados de medidas de volumen de alta precisin. grado Celsius: cuando no es necesario considerar temperaturas termodinmicas (a partir del cero absoluto), puede usarse para expresar un intervalo de temperatura (en esto es equivalente al kelvin).
Formacin de mltiplos y submltiplos
Factor Prefijo Smbolo 10-1 deci d 10-2 centi c 10-3 mili m 10-6 micro 10-9 nano n 10-12 pico p 10-15 femto f 10-18 atto a
En el caso particular del kilogramo, sus mltiplos y submltiplos se forman tomando como base la unidad auxiliar gramo (g), igual a 10-3 kg. Por ejemplo: miligramo (mg), microgramo (g), etc.
Unidades fuera del SI
Magnitud Unidades Tiempo minuto, hora y da
ngulo plano grado, minuto y segundo sexagesimales
Unidad antigua vigente En Argentina an se utiliza, especialmente en el comercio, una unidad del antiguo Sistema Tecnolgico muy arraigada en la poblacin, denominada kilogramo fuerza (kgf).
1 kgf = 9,80665 N
Factor Prefijo Smbolo1018 exa E 1015 peta P 1012 tera T 109 giga G 106 mega M 103 kilo k 102 hecto h 101 deca da
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1.5 Fuerza
La mecnica es la rama de la fsica y de la ingeniera que se ocupa del movimiento de
los cuerpos materiales y de las causas que provocan dicho movimiento.
Cuando empujamos un cuerpo o tiramos de l, decimos que ejercemos una fuerza sobre el
mismo. Esta fuerza est en contacto con el cuerpo empujado o atrado por la misma.
Fuerza es toda causa capaz de sacar un cuerpo de su posicin de equilibrio o
alterar su estado de movimiento.
Las fuerzas pueden ser ejercidas tambin por objetos inanimados: un resorte tenso ejerce
fuerzas sobre los cuerpos atados a sus extremos; el aire comprimido ejerce una fuerza
sobre las paredes del recipiente que lo contiene; una locomotora ejerce una fuerza sobre el
tren que est arrastrando.
La fuerza que mejor conocemos en nuestra vida diaria es la fuerza de atraccin
gravitatoria ejercida sobre todo cuerpo por la Tierra, y que denominamos peso del
cuerpo. Las fuerzas gravitatorias (as como las fuerzas elctricas y magnticas) pueden
actuar a travs del vaco sin tener contacto con el cuerpo.
Un instrumento frecuentemente utilizado para medir fuerzas es la balanza de
resorte (conocida como dinammetro). La fuerza ejercida sobre la balanza aumenta la
longitud del resorte y el instrumento puede calibrarse del modo siguiente: se suspende
primero de la balanza un kilogramo patrn, y se marca la posicin del ndice con la seal 1
Kg y as sucesivamente. La balanza calibrada puede utilizarse entonces para medir una
fuerza desconocida cualquiera (ms adelante veremos porqu este tipo de balanza no es
apta para el comercio).
1.6 Representacin grfica de las fuerzas: Vectores
Supongamos que hay que deslizar una caja sobre el suelo arrastrndola con una cuerda o
empujndola, como muestran las Figs. 1.1 y 1.2. Es decir, hay que deslizarla ejerciendo
El aire comprimido ejerce una fuerza sobre las paredes del recipiente quelo contiene Una locomotora ejerce una fuerza
sobre el tren que est arrastrando
Un resorte tenso ejerce fuerzas sobre los cuerpos atados a sus extremos
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una fuerza sobre ella.
El punto de vista adoptado es que el movimiento de la caja no es producido por los objetos
que tiran de ella o que la empujan, sino por las fuerzas que aquellos ejercen.
Cuando una caja es arrastrada o empujada sobre el suelo por una fuerza inclinada,
como en las Figs. 1.1(a) y 1.2(a), es evidente que la efectividad de la fuerza para mover la
caja sobre el suelo depende de la direccin en la cual acta dicha fuerza.
En la Fig. 1.1(a), el empuje a la caja est en parte forzando a la misma a apretarse contra
el suelo. El diagrama de esta fuerza se representa en la figura 1.1(b).
Las fuerzas en las Figs. 1.2(a) y 1.2(b) producen el efecto de mover la caja hacia
adelante. En la Fig. 1.2(c), la traccin de la cuerda tiende a levantar la caja separndola
del suelo.
La Fig. 1.3(a) es el diagrama correspondiente a la Fig. 1.2(a). Hay otras fuerzas que actan
sobre la caja, no indicadas en la figura (por ejemplo: la fuerza de gravedad). Las Figs.
1.3(b) y 1.3(c) son respectivamente los diagramas de las Figs. 1.2(b) y 1.2(c).
Fig. 1.2
(b)(a) (c)
Fig. 1.1 (a)
45
(b)
0 5 10 N 10 N
(c)
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Siendo el valor del empuje o de la traccin de 10 N, escribir simplemente 10 N sobre el
esquema no determinar completamente la fuerza, puesto que no indicar la direccin y el
sentido en la cual est actuando. Se debe escribir 10 N y 30 por encima de la horizontal,
hacia la izquierda.
Adoptamos el convenio de representar:
o Fuerza: por una flecha, o Mdulo o Intensidad: por la longitud de la flecha a una cierta escala elegida
(indica el valor de la fuerza mediante un nmero y su unidad),
o Direccin: recta a la cual pertenece el vector, o Sentido: el sentido en que apunta la flecha muestra el sentido de la fuerza. o Punto de aplicacin: punto que pertenece al cuerpo y es donde se ha
aplicado la fuerza.
La fuerza no es la nica magnitud fsica que requiere especificar la direccin y el sentido,
adems del valor de la misma.
Magnitudes vectoriales: son aquellas que pueden representarse grficamente mediante
un vector, tal como hemos visto para la fuerza; por ejemplo: la velocidad, la aceleracin,
la intensidad de los campos elctricos y magnticos, los fasores (vectores giratorios) de las
corrientes alternas, etc.
Magnitudes escalares: quedan determinadas nicamente por su valor representado por
Fig. 1.3
(b)
30
(a)
10 N
0 5 10 N
(c)
mdulo
sentido punto de aplicacin
direccin
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un nmero y su correspondiente unidad (de volumen, de superficie, de longitud, etc.).
Algunas magnitudes vectoriales, una de las cuales es la fuerza, no quedan completamente
determinadas si no consideramos tambin su lnea de accin y su punto de aplicacin.
La lnea de accin es una recta de longitud indefinida paralela a la direccin del vector. El
punto de aplicacin de una fuerza dada que acta sobre un cuerpo rgido puede ser
trasladado a otro punto cualquiera de la lnea de accin sin alterar el efecto de la fuerza.
As, una fuerza aplicada a un cuerpo rgido puede suponerse que acta en
cualquier punto a lo largo de su lnea de accin.
1.7 Componentes de un vector
Para definir las componentes de un vector partimos de un sistema de coordenadas
rectangulares (ejes cartesianos). Podemos representar cualquier vector en el plano xy
como la suma de un vector paralelo al eje x con otro paralelo al eje y. Rotulamos esos
vectores como Fx y Fy en la Fig. 1.4; son los vectores componentes del vector F.
En smbolos: F = Fx + Fy
Grficamente:
Cada vector componente tiene la direccin de uno de los ejes de coordenadas. Fx y Fy
son las componentes de F.
Las componentes de una fuerza en dos direcciones coordenadas, son los valores
efectivos de esa fuerza en sas direcciones.
Las componentes de una fuerza, en cualquier direccin, pueden encontrarse por
un mtodo grfico. Representamos en la Fig. 1.5, una fuerza dada por el vector F desde
O hasta A.
x
y
Fig. 1.4
Fy
Fx F
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Para encontrar la componente de F en la direccin de la recta Ob, trazamos desde A una
perpendicular a sta que la corta en el punto B.
El vector Fb, desde O hasta B, en la misma escala que la utilizada para el vector F,
representa la componente de F en la direccin Ob, o el valor efectivo de la fuerza F en esta
direccin.
Anlogamente, la fuerza Fc de O a C, representa la componente de la fuerza F en la
direccin Oc.
La componente de un vector en cualquier direccin puede calcularse como sigue. En el
tringulo OAB de la Fig. 1.5(a), es:
Si F = 10 N y b = 60, cos b = 0,500 y bF = 10 N 0,500 = 5 N
Fig. 1.6
Fig. 1.5 (a) (b)
a
O
F
A
B b
Fb
b
a
O
F
A
B b
Fb
c
Fc
C
c
RECORDAMOS
seno del ngulo = cat. opuestosenhipotenusa
coseno del ngulo cat. adyacentecoshipotenusa
=
tangente del ngulo = cat. opuestotgcat. adyacente
cos ;bbFOB
OA F = = cos .b bF F =
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Del mismo modo, en la Fig. 1.5(b):
Si c = 30, cos c = 0,866 y bF = 10 N 0,866 = 8,66 N
En general, la componente de un vector F en cualquier direccin que forme un ngulo con la del vector, es igual a F cos . Si = 90, cos = 0 y la componente de F es nula (cero). Si = 0, cos = 1 y la componente de F es igual a F.
La Fig. 1.7 representa la misma caja de las Figs. 1.2(a) y 1.3(a). Los vectores Fx y Fy son
las componentes de F en las direcciones x e y, perpendiculares entre s, y se denominan
componentes rectangulares de F segn estas dos direcciones. Pero, puesto que un
vector no tiene componente perpendicular a su propia direccin, Fx no tiene componente a
lo largo de y, y Fy no tiene componente a lo largo de x. No es, por tanto, posible ninguna
descomposicin ulterior de la fuerza en componentes segn x e y. Fsicamente, esto
significa que las dos fuerzas Fx y Fy, actuando simultneamente como en la Fig. 1.7(b), son
equivalentes en todos los aspectos a la fuerza inicial F. Cualquier fuerza puede ser
reemplazada por sus componentes rectangulares.
Ejemplo numrico:
Sean F = 10 N, x = 30 y y = 60 Resultan:
Fx = 8,66 N y Fy = 5 N
0 5 10 N
Fig. 1.7
(a)
O
B
Y A C
F
Fx
Fy
(b)
Y
O Fx
X
X
Fy x
y
cos ;ccFOC
OA F = = cos .c cF F =
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Se encuentra que estas dos fuerzas aplicadas simultneamente como en la Fig. 1.7(b),
producen exactamente el mismo efecto que la fuerza nica de 10 N (OA) de la Fig. 1.7(a).
Es con frecuencia cmodo expresar ambas componentes de un vector segn los ejes x e y,
en funcin del ngulo que forma el vector con el eje x.
En la Fig. 1.7(a) vemos que: Fy = F sen x
Por consiguiente, con el convenio de que se refiere al ngulo formado por el vector F con el eje x, en general podemos decir que:
Finalmente concluimos que, la aplicacin simultnea de las componentes Fx y Fy de
una fuerza F produce el mismo efecto que la aplicacin de la fuerza F.
En la Fig. 1.8 se representa un bloque que es arrastrado hacia arriba sobre un plano
inclinado, mediante una fuerza F. Las fuerzas Fx y Fy, una paralela y otra perpendicular a la
superficie inclinada del plano, son las componentes de F.
1.8 Resultante o vector suma
Un cuerpo puede estar sometido simultneamente a un cierto nmero de fuerzas, que tienen
distintos mdulos, direcciones, sentidos y puntos de aplicacin.
Consideremos un conjunto de fuerzas que se encuentran en el mismo plano (fuerzas
coplanarias) y que tienen el mismo punto de aplicacin (fuerzas concurrentes). Se encuentra
;yxFBA OC
senOA OA F
= = =
cos ,xF F =
.yF F sen=
Fig. 1.8
Fx O
X
Y
Fy F
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experimentalmente que, cualquier conjunto de fuerzas coplanarias concurrentes
puede reemplazarse por una sola fuerza, cuyo efecto es el mismo que el de las
fuerzas dadas. Esta fuerza suplente se denomina resultante.
La construccin de la Fig. 1.9 se denomina mtodo del paralelogramo y nos permite
encontrar la resultante de dos vectores.
En la Fig. 1.9(a), un cuerpo est sometido a dos fuerzas F1 y F2, ambas aplicadas en el
mismo punto O. Para encontrar su resultante, se construye el paralelogramo OACB, del
cual los vectores F1 y F2 forman dos lados contiguos; la diagonal concurrente del
paralelogramo, el vector R determinado por los puntos O y C, se denomina vector suma
de los vectores F1 y F2 y se comprueba experimentalmente que representa la fuerza
resultante en intensidad, direccin y sentido.
En el caso especial de dos fuerzas F1 y F2 perpendiculares entre s, como en la Fig. 1.9(b), el
tringulo OAC es rectngulo y sus catetos son las fuerzas F1 y F2. El valor y direccin de la
resultante estn dados por
Otro caso especial es el de dos fuerzas que tienen la misma recta de accin y el mismo
sentido, como en la Fig. 1.10(a), o de sentido opuesto, como en la Fig. 1.10(b).
Si son del mismo sentido, el valor de la resultante R es igual a la suma de los valores
de F1 y F2. Si son de sentido opuesto, el valor de la resultante R es igual a la
diferencia entre los valores de F1 y F2.
Fig. 1.9
(b) (a)
R
F2
F1
B
O
C
A
F2
F1
B C
A O
R
2 21 2 ,R F F= + 2
1
Ftg
F =
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Las construcciones (a) y (b) de la Fig. 1.11 se realizan aplicando el mtodo del tringulo.
El mismo consiste en trasladar cualquiera de los dos vectores paralelamente a s mismo
hasta que el origen de uno coincida con el extremo del otro. La resultante R est
representada por el lado que cierra el tringulo.
En la Fig. 1.12 se representa el mtodo del polgono, el cual es un procedimiento grfico
satisfactorio para encontrar la resultante de un cierto nmero de fuerzas (pero presenta
dificultades para el clculo numrico). F1, F2, F3 y F4 son un conjunto de fuerzas
concurrentes y coplanarias. R1 es la resultante de F1 y F2. R2 es la resultante de R1 y F3.
R es la resultante de R2 y F4 (R es las resultante del conjunto).
Fig. 1.11
(a) (b)
R
F2
F1 F1
O R F1
F2
F2
O
R
O R2R1F1 F2 F3
F4
Fig. 1.12
Fig. 1.10 (a)
(b)
F1
F1
F2 F2
R
R
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1.9 Composicin de fuerzas dadas por sus componentes rectangulares
En la Fig. 1.13(a) se representan tres fuerzas concurrentes F1, F2 y F3, cuya resultante se
desea encontrar. Para ello construimos un par de ejes rectangulares de direccin arbitraria.
Se obtiene una simplificacin si uno de los ejes coincide con una de las fuerzas, lo que es
siempre posible. En la Fig. 1.13(b), el eje x coincide con la fuerza F1.
En primer lugar, debemos descomponer cada una de las fuerzas dadas en sus componentes
segn los ejes x e y. De acuerdo con los convenios habituales de la geometra analtica, se
consideran positivas las componentes segn el eje x dirigidas hacia la derecha y, negativas,
las dirigidas hacia la izquierda. Adems, las componentes segn el eje y dirigidas hacia
arriba se consideran positivas y las dirigidas hacia abajo negativas. La fuerza F1 coincide
con el eje x y no necesita ser descompuesta.
Las componentes de F2 son F2x = F2 cos y F2y = F2 sen ; ambas son positivas (F2x ha sido desplazada ligeramente hacia arriba para representarla con mayor claridad). Las
componentes de F3 son F3x = F3 cos y F3y = F3 sen ; ambas son negativas.
Imaginemos ahora que suprimimos F2 y F3 y que las reemplazamos por sus componentes
rectangulares (para indicar esto, se han cruzado ligeramente los vectores F2 y F3). Todas
las componentes segn el eje x pueden componerse ahora en una sola fuerza Rx, cuyo
valor es igual a la suma algebraica de las componentes segn x, o sea Fx; y todas las componentes segn el eje y pueden componerse en una sola fuerza Ry, de valor Fy .
Fig. 1.13
(b)
x
F2y Y
F2
O F3x
F3
F2x F1
F3y (a)
F2
F1
F3
O
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Es decir:
Rx = Fx Ry = Fy
Finalmente, stas pueden componerse como se indica en la Fig. 1.14 para formar la
resultante R, cuyo valor, puesto que Rx y Ry son perpendiculares entre s, es:
El ngulo que forma R con el eje x puede calcularse ahora mediante una cualquiera de sus funciones trigonomtricas:
Ejemplo: Sea la Fig. 1.13, donde:
F1 = 120 N, F2 = 200 N, F3 = 150 N, = 60 y = 45
Los clculos pueden disponerse en forma sistemtica como sigue :
Fuerza ngulo Componente x Componente y
F1 = 120 N 0 +120 N 0
F2 = 200 N 60 +100 N +173 N
F3 = 150 N 45 - 106 N - 106 N
Fx = + 114 N Fy = + 67 N
/////
2 2x yR R R= +
y
x
Rtg
R =
Fig. 1.14
R
X
Ry = Fy
Rx = Fx
Y
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= 132 N R = (114 N)2 + (67 N)2
= arc tg 0,588 = 30,4
= arc tg 67 N 114 N
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PROBLEMAS
1.1 Con una regla, trazar grficamente las componentes vertical y horizontal de los dos vectores de la figura siguiente. Medir las componentes as determinadas y comparar con las
respuestas indicadas abajo.
1.2 Encontrar grficamente las componentes horizontal y vertical de una fuerza de 40 N cuya
direccin forma un ngulo de 50 por encima de la horizontal hacia la derecha. Hgase en el
dibujo 3mm = 2 N. Comprobar los resultados calculando analticamente las componentes.
Respuesta: Fx = 25,71 N y Fy = 30,64 N
1.3 Una caja es empujada sobre el suelo, como indica la Fig. 1.1(a), por una fuerza de 20 N
que forma un ngulo de 30 con la horizontal. Utilizando una escala de 5 mm = 1 N, encontrar
las componentes horizontal y vertical de la fuerza por el mtodo grfico. Comprobar los
resultados calculando las componentes analticamente.
Respuesta: Fx = 17,32 N y Fy = 10 N
1.4 Un bloque es elevado por un plano inclinado 20, mediante una fuerza F que forma un
ngulo de 30 con dicho plano, como indica la Fig. 1.8. a) Qu fuerza F es necesaria para que
la componente Fx paralela al plano inclinado sea de 8 N? ; b) Cuanto valdr entonces la
componente Fy? Resolver grficamente haciendo 3mm = 1 N.
Respuesta: F = 9,2 N y Fy = 4,6 N
1.5 Las tres fuerzas representadas en la figura siguiente actan sobre un cuerpo situado en el
origen. a) Calcular las componentes x e y de cada una de las tres fuerzas; b) Utilizar el mtodo
V
Vector de la izquierda: la componente horizontal tiene 3 cm y la componente vertical tiene 4 cm. Vector de la derecha: la componente horizontal tiene 6 cm y la componente vertical tiene 4 cm.
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de la descomposicin rectangular para encontrar la resultante de la misma; c) Hallar la
magnitud, direccin y sentido de la fuerza que debe aadirse, para hacer que la resultante sea
nula.
Respuesta: a) componentes sobre x: 173,2 N / - 212,13 N / - 93,28 N
componentes sobre y: 100 N / 212,13 N / - 123,8 N
b) R = 230,1 N y = - 54,93 + 180 (2do. cuadrante) c) F = 230,1 N y = - 54,93 (4to. cuadrante)
1.6 Dos hombres y un muchacho desean empujar un fardo en la direccin marcada con
x en la figura siguiente. Ambos hombres empujan con las fuerzas F1 y F2, cuyos valores
y sentidos estn indicados en la figura. Encontrar la intensidad, direccin y sentido de la
fuerza mnima que debe ejercer el muchacho.
Respuesta: F3 = - 46,6 N (direccin coincidente con el eje de las y)
1.7 Dos fuerzas F1 y F2 actan en un punto. El valor de F1 es de 8 N y su direccin forma
un ngulo de 60 por encima del eje x en el primer cuadrante. El valor de F2 es de 5 N y su
direccin forma un ngulo de 53 por debajo del eje x en el cuarto cuadrante. a) Cules
son las componentes horizontal y vertical de la fuerza resultante?; b) Cul es el valor de
la resultante?; c) Cul es la magnitud del vector diferencia (F1 - F2)?
Respuesta: a) Fx = 7 N y Fy = 3 N ; b) R = 7,61 N ; c) F1-2 = 10,97 N
1.8 Dos fuerzas F1 y F2 actan sobre un cuerpo de tal modo que, la fuerza resultante R
tiene un valor modular igual a F1 y es perpendicular a sta. Sea F1 = R = 10 N. Encontrar
200 N
45 53
30
155 N
300 N
60
30
F1 = 100 N
F2 = 80 N
x
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el valor y direccin (con respecto a F1) de la segunda fuerza F2.
Respuesta: F2 = 14,14 N y = - 45 (4to. cuadrante)
1.9 Hallar, por el mtodo de la descomposicin rectangular, la resultante del siguiente
conjunto de fuerzas: 80 N verticalmente hacia abajo; 100 N a 53 por encima de la
horizontal hacia la derecha; 60 N horizontalmente hacia la izquierda. Comprubese el
resultado por el mtodo del polgono. Respuesta: R = 0,227 N y = - 36,92 (4to. cuadrante)
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