1Cueva de Naica (Chihuahua, México)
2
La Geometría encarnada en la Naturaleza como cristales: el qué, el cómo y el por qué de su ser
Alberto Navarro Izquierdo
3Cueva de Naica (Chihuahua, México)
4
CONTENIDOS
� Introducción y objeto
� Breve historia de la geometría
� Sólidos perfectos y otros
� Ejemplos de cristales
� Que son los cristales
� Como son los cristales
� Clasificación y características microscópicas
� Por que se forman los cristales
� Tipos de cristales según las fuerzas que los forman
� Algunas propiedades
5
Breve historia de la geometría antigua
Bifaz de calcedonia de Torralba, c. 350 000 años a. p.
6
Breve historia de la geometría antigua
Venus de Lespugue, en marfil, altura 14,7 cm ~ 25000 años a. p.
¿ESTETICA?
7
Breve historia de la geometría antigua
Cuenco de Samarra, Sumeria (Irak), c. 5000 a. C.
¿ESTETICA?
8
Breve historia de la geometría antigua
9
Breve historia de la geometría antigua
10
Breve historia de la geometría antigua
Keops, reinó c. 2579 a 2556 a. C
Kefrén, reinó c. 2547 a 2521 a. C.
� Egipto: Papiro de Rhind (c 1900 a.C.)
� Babilonia tabletas de arcilla: v. gr. Plimpton 322 (1900 a. C.)
11
π = 3,141592…
longitud = l = 2π r
superficie = s = π r2
r
Breve historia de la geometría antigua
meses = 12
horas = 24 = 12 × 2
días ≈ 360 = 12 × 30
minutos y segundos = 60 = 12 × 5
Sobre 1900 a. C.
12
Breve historia de la geometría antigua
MUNDO GRIEGO
� Tales de Mileto (c. 624 a. C. – c. 546 a. C.)
º90ˆ =CBA2º teorema de Tales:
13
Escuela Pitagórica. Pitágoras (c. 570 a. C. – c. 495 a. C.)
a2 = b2 + c2
Breve historia de la geometría antigua
ca
b
14
Pitagóricos: Mística de la Matemática - Geometría
Simplicidad, armonía, belleza, asombro, fascinación,D
� «Los números son cosas en si»
� «Las cosas son números»
� « Pitágoras más que nadie parece haber honrado
y avanzado en el estudio de los números,
arrebatándoles su uso a los mercaderes y
equiparando todas las cosas a los números »
Filosofía - Metafísica - Ontología - Religión -
Mística de la Geometría
15
SOLIDOS PERFECTOS O PLATONICOS
Platón 427 a. C. a 347 a. C. Teeteto 417 a. C. a 369 a. C.
DODECAEDRO
OCTAEDRO ICOSAEDRO
HEXAEDRO
TETRAEDRO
16
DODECAEDRO
OCTAEDRO ICOSAEDRO
HEXAEDRO
TETRAEDRO
SOLIDOS PERFECTOS O PLATONICOS
17
SOLIDOS PERFECTOS
IcosaedroDodecaedroOctaedroHexaedro,
cuboTetraedroNombre
2012864Número de caras
Radio interno
Radio externo
DodecaedroIcosaedroHexaedroOctaedroTetraedroPoliedro conjugado
35343Vértices contenidos
en cada cara
53433Caras concurrentes
en cada vértice
1220684Número de vértices
303012126Número de aristas
Euclides (c. 325 a. C. – c. 265 a. C.)
Aristóteles (384 a 322 a. C.)
18
En Escocia se han encontrado piedras
talladas de los sólidos perfectos, las más
antiguas c. 3000 a. C.
SOLIDOS PERFECTOS
“Bola de piedra” de Towie
(en Aberdeenshire, Escocia)
19
SOLIDOS PERFECTOS
20
RELACION DE PARENTESCO
21
POLIEDROS DUALES. Cubo: 6 caras, 8 vérticesOctaedro: 8 caras, 6 vértices
RELACION DE PARENTESCO
22
POLIEDROS DUALES
Relación de
parentesco
23
RELACION DE PARENTESCO
24
POLIEDROS DUALES. Icosaedro: 20 caras, 12 vérticesDodecaedro: 12 caras, 20 vértices
25
POLIEDROS DUALES. Tetraedros conjugados
RELACION DE PARENTESCO
26
RELACION DE PARENTESCO
27
RELACION DE PARENTESCO
28
RELACION DE PARENTESCO
29
INSCRIPCION EN LA CIRCUNFERENCIA Y OTROS
Hombre de Vitrubio. Leonardo da Vinci, 1487
30
INSCRIPCION EN UNA ESFERA
Modelo planetario de Kepler (1596)
31
ROMBODODECAEDRO. Sólido de caras uniformes (de Catalan) con aristas uniformes
Zonoedro
32
OCTAEDRO TRUNCADO (Sólido de Arquímedes)
Zonoedro
33
CUBOCTAEDRO (Sólido de Arquímedes)
c
c
c
o
o
o
c: cubo
o: octaedro
34
ROMBOEDRO (TRAPEZOEDRO TRIGONAL)
αβ
γ180º-α
β
γ
35
PROYECCION DE LOS ROMBOEDROS Y EL CUBO
romboedro obtuso cubo romboedro agudo
36
HALITA: NaCl
37
PIRITA: FeS2
38
PIRITA: FeS2
39
PIRITA: FeS2
40
PIRITA: FeS2. Simetría pseudo pentagonal
En contra de la apariencia, se demuestra teóricamente, y se confirma experimentalmente que no existen ejes de simetría de orden 5
Clase m3 (2/m 3), diploidalGrupo espacial Pa3 {P21/a3}
41
PIRITA: FeS2
Macla “cruz de hierro”
42
DIAMANTE: C
43
Maclas de DIAMANTE
44
GRANATES: X3Z2(SiO4)3
45
SOLIDOS QUIRALES
Tetraedros con las 4 caras de distinto color: son quirales
Un objeto quiral y su imagen especular son ENANTIOMORFOS
46
SOLIDOS QUIRALES
47
SOLIDOS QUIRALES
L R
48
DISPARIDAD DE FORMAS DE LA CALCITA
Unas 800 formas diferentes
49
DISPARIDAD DE FORMAS DE LA CALCITA. MACLAS
http://nsminerals.atspace.com/calcite.html
50
DISPARIDAD DE FORMAS DE LA CALCITA
Escalenoedro: “diente de perro”
51
DISPARIDAD DE FORMAS DE LA CALCITA
52
DISPARIDAD DE FORMAS DE LA CALCITA
53
DISPARIDAD DE FORMAS DE LA CALCITA
54
DISPARIDAD DE FORMAS DE LA CALCITA
55
DISPARIDAD DE FORMAS DE LA CALCITA
56
DISPARIDAD DE FORMAS DE LA CALCITA
57
DISPARIDAD DE FORMAS DE LA CALCITA. MACLAS
58
DISPARIDAD DE FORMAS DE LA CALCITA. Maclas
59
DISPARIDAD DE FORMAS DE LA CALCITA. MACLAS
Maclas
60
CALCITA: UNA CELDILLA UNIDAD
Altura 1,7061××××10-9 m Lado base 0,49896××××10-9 m
Angulo base 60º
61
CALCITA: UNA CELDILLA UNIDAD
62
SOLIDO COMPUESTO POR ATOMOS
63
SOLIDO COMPUESTO POR ATOMOS (ICOSAEDRO)
64
APILAMIENTO COMPACTO DE ESFERAS
65
DIFRACCION DE RAYOS X (1895)
Max von Laue, 1912: ; ;
Bragg & Bragg, 1913: nλ = 2d senθθθθ
L
B
B
66
DIFRACCION DE RAYOS X nλ = 2d senθθθθ
d5
d4
d3
d2d1
67
DIFRACCION DE RAYOS Xnλ = 2d senθθθθ
Rayos X
2θθθθ i
di
68
nλ = 2d senθθθθ
69
MICROSCOPIO DE IONES EN CAMPO (1951)
Wolframio, diámetro atómico 0,28 nm
70
MICROSCOPIOS CON SONDA DE BARRIDO (1981)
Pb fcc, cara 111 Ni fcc, cara 110
NiO, cara 001
71
CRISTALES Y SOLIDOS AMORFOS
Cuarzo cristalino
(SiO2)
Vidrio de cuarzo
no cristalino
72
CLASIFICACION DE LOS SOLIDOS
SOLIDOS
NANOMATERIALES
VIDRIOS
CRISTALES
HOMOGENEOS
POLIMEROS, FIBRAS, Y MADERANO
HOMOGENEOS
73
estructura cristalina = retículo cristalino + motivo
el motivo consiste en:
• 1 átomo
• 1 molécula
• varios iones
• o conjuntos de los anteriores
Puntos reticulares que ubican un
“motivo químico”
Retículo cristalino o red cristalina(pura geometría)
74Celda unitaria Superposición de Celdas unitarias
Teselación del espacio. Celdilla unidad
Celda unitaria
75
CELDILLA UNIDAD PRIMITIVA FCC
76
Los siete sistemas cristalinos y sus celdas simples
Cúbico Tetragonal Ortorrómbico Romboédrico, trigonal
Monoclínico Triclínico Hexagonal
77
Los siete sistemas cristalinos
CONTENIDOFORMA
3 ejes binarios ( ó 3 P)5934Ortorrómbico
1 eje binario (ó 1 P)1332Monoclínico
4 ejes ternarios3653Cúbico
Sistema Nº
celdillas
Nº grupos
puntuales
Nº grupos
espaciales
Elementos de simetría
mínimos
Hexagonal 1 7 25 1 eje senario
Trigonal 1 5 27 1 ejes ternario
Tetragonal 2 7 68 1 eje cuaternario
Triclínico 1 2 2 1 centro o nada
TOTAL 14 32 230
78
Construcción del “edificio cristalino”
79
Diferencia de tamaño para metales con red fcc
409Plata
361Cobre
408Oro
495Plomo
392Platino
405Aluminio
Elemento arista / pm
Calcio 559
Níquel 352
a
a
80
Los tres tipos de celdas cúbicas en los metales
Cúbica simple Cúbica centrada en el cuerpo (B.C.C.)
Cúbica centrada en las caras (F.C.C.)
81
Relación entre la longitud de la arista y elradio atómico en tres celdas unitarias cúbicas
82
Distribución de esferas idénticasen una celda cúbica simple de un metal
Huecos cúbicos
Coordinación 6 (octaédrica)
Vista de la planta
Vista por la diagonal
83
Distribución de esferas idénticas enun cubo centrado en el cuerpo de un metal
Vista de la planta Coordinación 8 (cúbica)
Hueco: bipirámide tetragonal
pseudoctaédrico
84
Distribución de esferas idénticas enun cubo centrado en las caras de un metal
Vista de la planta
Vista por la diagonal principalCoordinación 12
85
Coordinación de los empaquetamientos compactos
86
Coordinación de los empaquetamientos compactos
Primera capaA
B Segunda capa
El sólido se construye por superposición de capas
6 átomos misma capa +
3 átomos capa inferior +
3 átomos capa superior =
12 átomosB
A
87
Empaquetamientos compactos
HUECOS TETRAEDRICOSPrimera capaA
B Segunda capa
El sólido se construye por superposición de capas
Hexagonal compacto: ABABD.
HUECOS OCTAEDRICOS
Cúbico centrado en las caras: ABCABCD
88
Empaquetamientos compactos
Cúbico centrado en
las caras
89
Diamante: el más duro, el mejor conductor térmico, el de menor capacidad calorífica, el de mayor punto de fusión, muy mal conductor eléctrico, muy alto índice de refracción
Si, Ge, Compuestos III-V: GaAs, InP, (In,Ga)N, D
Exfoliación por (111), (caras octaedro)
Coordinación
tetraédrica
90
C
Diamante y semiconductores de uso técnico
¡El punto de vista!http://www.xtal.iqfr.csic.es/Cristalografia/parte_01-en.html
91
Grafito: blando, exfoliable, conductor anisotrópico, negro, alta Tfus
142 pm
335 pm
Red hexagonal en la que el
motivo es una pareja de
átomos desplazados ½ de la
diagonal principal
Conducción
eléctrica anisotropía
92
Cristales iónicos. NaCl
NaCl: red cúbica centrada en las caras en la que el motivo es 1 anión + 1 catión
desplazados ½ arista
Cada ión coordina con 6 de signo contrario
situados en los vértices de un octaedro
Cl ; Na
93
Cristales iónicos
ZnS (esfalerita, blenda de cinc): red cúbica centrada en las caras en la que el
motivo es 1 anión + 1 catión desplazados ¼ de la diagonal principal
Cada ión coordina con 4 de signo contrario situados en los vértices de un
tetraedro
CONTENIDO:ANIONES: (8 vértices · 1/8) + (6 centro caras · ½) = 4
CATIONES: 4 interior del cubo · 1 = 4
S ; Zn
94
Cristales iónicos
CsCl: red cúbica simple en la que el motivo es 1 anión + 1 catión desplazados 1/2
de la diagonal principal
Cada ión coordina con 8 de signo contrario situados en los vértices de un cubo
CONTENIDO:ANIONES: 8 vértices · 1/8 = 1
CATIONES: 1 centro del cubo · 1 = 1
Cl; Cs
95
Otras estructuras de cristales iónicos
CaF2 (fluorita)F Ca
ZnS (wurzita)
S Zn
Al2O3 (corindón)O Al
Cuando los puntos reticulares se encuentran ocupados por motivos más complejos
como SO42- , ClO3
- , NO3-, NH4
+ , S las redes son de menor simetría: ortorrómbico,
romboédrico, monoclínico y triclínico
96
CRISTALES TERMINADOS Y NO TERMINADOS
� Lo más frecuente es encontrarse con sólidos policristalinos, formados por múltiples cristales
� El tamaño de los cristales varia ampliamente
� Macrocristales: visibles por el ojo
� Microcristales: visibles con el microscopio óptico > 4 10-7 m
� Criptocristales: dificultad de visualización con lámina
delgada
� Nanocristales: del orden de 10-9 m
� La DRX desentraña su orden interior
SOLIDOS POLICRISTALINOS
97
CRISTALES NO TERMINADOS
Galvanizado de cinc sobre acero
98
CRISTALES NO TERMINADOS
Roca: granito Rosa Porriño
99
CRISTALES NO TERMINADOS
Roca en lámina delgada: 30 µµµµm – 2 µµµµm
100
¿Por qué?G = H - TS
∆∆∆∆G = ∆∆∆∆ H - T ∆∆∆∆ S
en un proceso a T = cte
G : energía libre de Gibbs
H : entalpía
T : temperatura absoluta
S : entropía
101
∆∆∆∆G = ∆∆∆∆ H - T ∆∆∆∆ S < 0Un proceso a T y p constantes, es espontáneo si:
Lo que se favorece si:
a) ∆∆∆∆ H < 0 : desprendimiento de energía
b) ∆∆∆∆ S > 0 : aumento del desorden En la formación de un cristal a partir de un líquido, una disolución, o un vapor ∆∆∆∆ S < 0 ⇒⇒⇒⇒el factor entrópico dificulta la cristalización
PROCESO DE CRISTALIZACIÓN
102
∆∆∆∆ H < 0 : desprendimiento de energía
Energía proveniente de interacciones electromagnéticas microscópicas regidas por la
mecánica cuántica, y vulgarmente conocidas como“energías de enlace”
¡Todos los tipos de enlaces provocan disposiciones geométricas similares y con energía minimizada!
103
Tipo de cristal
Unidades constitutivas
Fuerza de enlace
Propiedades Ejemplos
Energía para separar las unidades
kcal / mol
Molecular,
f. débiles
Moléculas o átomos de
gases nobles
Van derWaals,
E. de H
Tfus y Teb baja; aislantes,
transparente
Ar
CH4
H2O
1,6
2,0
12,0
Iónico IonesAtracción
electrostática
Tfus y Teb altas; aislantes,
transparente
LiF
NaCl
ZnO
247
186
964
Covalente AtomosEnlaces
covalentes
Tfus y Teb muy altas;
aislantes, transparente
Diamante
Si
SiO2
170
105
433
Metálico AtomosEnlace
metálico
Tfus y Teb
medios; conductores,
opacos
Li
Fe
W
38
99
200
Propiedades características de los tipos de cristales
104
¿QUE CARAS APARECEN?
105
POLIMORFISMO
alta presión
baja temperatura
baja presión
alta temperatura
Condiciones
2,952,71Densidad
AragonitoCalcitaNombre
CaCO3
Sistema Trigonal Ortorrómbico
106
POLIMORFISMO
107
POLIMORFISMO
SillimanitaCianitaAndalucitaNombre
Al2(SiO4)O
Sistema Tetragonal Triclínico Ortorrómbico
Condiciones “baja p y T” “media p y T” “alta p y T”
108
POLIMORFISMO
Cianita
Sillimanita
Andalucita
109
EL HIELO
110
EL HIELO
111
EL HIELO
http://www.its.caltech.edu/~atomic/snowcrystals/ice/ice.htm
112Estructura del hielo: muy direccional, muy abierta, poco compacta
113
EL AGUA ES UNA SUSTANCIA MUY ESPECIAL
Temperatura (ºC)D
en
sid
ad
ag
ua
(g
/mL
)
Densidad máxima
4 ºC
11.3
Densidad del hielo a 0 ºC: 0,917 g/mL
SUSTANCIACp
/ kJ kg−1 K−1
Amoniaco 4,70
Etanol 2,44
Gasolina 2,22
Mercurio 0,14
Agua 4,18
114
Diagrama de fases del H2O. (16 fases sólidas)
vapor
p / Pa
T / K
líquido
cristales
115
COLOR
Intrínseco: cinabrio (rojo), óxidos de hierro (pardos y
amarillos), compuestos de cobre (azul y verde), sales
de manganeso (rosados),S
Extrínseco (impurezas, defectos cristalinos): rubí
rojo (Cr), zafiro azul (Fe + Ti), diamante azul (B),
diamante amarillo (N),S
116
COLOR. Fluorita (CaF2)
117
COLOR. Fluorita (CaF2)
118
COLOR
Crecimiento no homogéneo
119
BRILLO (R) – INDICE DE REFRACCION (n)
1,96Zircon, ZrSiO4
2,91Cinabrio, HgS
4,01Germanio, Ge
2,62Rutilo, TiO2
1,31Hielo, H2O
1,54Cuarzo, SiO2
1,65Calcita, CaCO3
1,60Berilo, Be3Al2(SiO3)6
1,67Turmalina, (silicato complejo)
1,77Ruby, zafiro, Al2O3
2,00Casiterita, SnO2
2,42Diamante, C
nMaterial
n = c / v
2
1
1
+−
=n
nR
120
Birrefringencia
-0,2511,3361,587RomboédricoNitrato de sodio, NaNO3
+0,6832,6561,973TetragonalCalomelanos, Hg2Cl2
-0,1721,4861,658TrigonalCalcita, CaCO3
-0,0451,5571,602HexagonalBerilo, Be3Al2(SiO3)6
∆nnenoSistema
cristalinoMaterial
121
Birrefringencia
RUTILO
122
DUREZA
6Ortosa
2Yeso
1Talco
3Calcita
5-8Acero
>10Fullerita (ADNRs)
10Diamante
9Corindón
8Topacio
7Cuarzo
5Apatito
4Fluorita
MohsMaterial
123
ABRASIVOS
corte y pulido de metales, gemas, rocas, óptica, odontología,…
~9WCcarburo de
wolframio, widia
10Cdiamante
>10Cfullerita y ADNRs
9,5-10BNnitruro de boro
7SiO2sílice, cuarzo
9Al2O3corindón, alúmina
9,4SiCcarburo de silicio
durezaMohs
fórmulanombre
124
EXFOLIACION Y FRACTURA
125
Cuchillos cerámicos
ZrO2 dureza 8,5 frente a 5-8 de los aceros
126Si: 99,9999999%. 1 impureza 104 millones de átomos
SEMICONDUCTORES
127Grosor de las obleas ≈ 0,16 – 0,5 mm
SEMICONDUCTORES
Obleas cortadas según [100] o [111]
Toda laelectrónica
128
Banda prohibida de los semiconductores
1,4InP
fórmulaEg / eV, a 300 K
GaN 3,4
SiC 2,4 – 3,1
GaP 2,3
GaAs 1,4
Si 1,1
GaSb 0,70
Ge 0,67
� LED
� PILAS SOLARES
� LASERES
� DETECTORES DE LUZ
Ca
rácte
r ais
lan
te
ELECTRICIDAD ⇔⇔⇔⇔ LUZ
129
Superconductores a “altas temperaturas”
YBa2Cu3O7-x (x = 0-0,6)
Superconductor a -178 ºCN2(l) -196 ºC
RMN
CERN
MAGLEV
Efecto Meissner