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Geometría
Analítica Plana
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I.Sistemas de coordenadas
II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
III. La línea recta
IV. Ecuación de la circunferencia
V. Transformación de coordenadas
VI. La parábola
VII. La elipse
VIII. La hipérbola
Geometría Analítica Plana
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http://www.licimep.org/geometriaanalitica.htm
Página WEB del curso
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http://www.licimep.org/MateFisica.htm
Problemas resueltos de Matemáticas y de
Física
• En particular, hay una sección dedicada a Geometría Analítica, que tiene 81 problemas resueltos
• En esa sección hay problemas del Lehmann.Del capítulo II hay 15 problemas resueltos
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¿Qué es la Geometría Analítica?
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Es el estudio de la geometría
usando los principios del
álgebra.
Es la unión de la geometría
y el álgebra
¿Qué es la Geometría Analítica?
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Ecuaciones en dos
variables
Figuras geométricas en el plano
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Gracias al sistema
coordenado, al plano
cartesiano
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Que establece una correspondencia biunívoca, uno a
uno, entre los puntos del plano y
los pares ordenados de
números reales
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Abscisa
Ordenada
Plano cartesiano
,x y
x
y
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Ecuaciones en x e y
Figuras en el
plano
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4 2 5x y
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4 2 5 x y
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5 3 23 4 2 5x y xy x y
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5 3 23 4 2 5x y xy x y
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2 23 4 2 7 0x y xy x y
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2 23 4 2 7 0x y xy x y
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2 27 3 2 7x y x y
![Page 23: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/23.jpg)
2 27 3 2 7x y x y
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En este curso, de
Geometría Analítica Plana,
nos limitaremos a:Las líneas rectas
y a las secciones cónicas, que son:La elipse (y la circunferencia
como caso especial)La parábolaLa hipérbola
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Las ecuaciones lineales en dos variables.
Es decir, todas las ecuaciones de la forma
0
donde , y son números reales y 0 ó 0
ax by c
a b c a b
Las líneas rectas en el plano
![Page 26: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/26.jpg)
2 2
Las ecuaciones de segundo grado en dos variables.
Es decir, todas las ecuaciones de la forma
0
donde , , , , y son números reales y
alguno de los numeros , , es distinto de
Ax Bxy Cy Dx Ey F
A B C D E F
A B C
cero.
Las cónicas o casos degenerados
de ellas en el plano
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¡No toda ecuación de
segundo grado en dos
variables tiene asociada
una curva!
Más adelante veremos
algunos ejemplos.
![Page 28: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/28.jpg)
¡No toda ecuación de
segundo grado en dos
variables tiene asociada
una curva!
2 2 1 0x y
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I.Sistemas de coordenadas
II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
III. La línea recta
IV. Ecuación de la circunferencia
V. Transformación de coordenadas
VI. La parábola
VII. La elipse
VIII. La hipérbola
Geometría Analítica Plana
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http://www.licimep.org/MateFisica.htm
Problemas resueltos de Matemáticas y de
Física
• En particular, hay una sección dedicada a Geometría Analítica, que tiene 81 problemas resueltos
• En esa sección hay problemas del Lehmann,. En particular, del capítulo II hay 15 problemas resueltos
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Gráfica de una ecuación y
lugares geométricos
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Dos problemas fundamentales de la geometría analítica
Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación
Intersección con los ejes Simetría Extensión de la curva Asíntotas Construcción de curvas Ecuaciones factorizables Intersecciones de curvas Segundo problema fundamental Ecuación de un lugar geométrico
Geometría Analítica PlanaGráfica de una ecuación y lugares geométricos
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Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica
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En este capítulo haremos un estudio preliminar de dos
problemas fundamentales de la Geometría Analítica.
I . Dada una ecuación interpretarla geométricamente;
es decir, construir la gráfica correspondiente .
II. Dada una figura geométrica, o la condición que
deben cumplir los puntos de la misma, determinar
su ecuación.
Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica
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Dada una ecuación,
interpretarla geométricam
ente
Dada un figura geométrica,
determinar su ecuación
Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica
![Page 36: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/36.jpg)
I . Dada una ecuación interpretarla geométricamente; es decir,
construir la gráfica correspondiente .
II. Dada una figura geométrica, o la condición que deben cumplir
los puntos de la misma, determinar su ecuación.
Estos problemas son esencialmente inversos entre si.
Estrictamente hablando, sin embargo, ambos problemas
están tan estrechamente relacionados que constituyen
juntos el problema fundamental de toda la Geometría
Analítica.
Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica
![Page 37: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/37.jpg)
I . Dada una ecuación interpretarla geométricamente;
es decir, construir la gráfica correspondiente .
II. Dada una figura geométrica, o la condición que deben
cumplir los puntos de la misma, determinar su ecuación.
Por ejemplo, veremos más adelante, que después de
obtener la ecuación para una condición geométrica dada,
frecuentemente es posible determinar, por un estudio de
esta ecuación, posteriores caracteristicas geométricas y
propiedades para la condición dada.
El propósito al considerar inicialmente separados los dos,
es de conveniencia; de esta manera tenemos que enfocar
nuestra atención sobre un número menor de ideas a la vez.
Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica
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Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Primer problema fundamental: La gráfica de una
ecuación
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Supongamos que se nos da una ecuación en dos variables,
e , que podemos escribir en la forma
, =0
En general, hay un número infinito de pares de valores de
e que satisfacen esta ecuación. Cada un
x y
f x y
x y o de tales pares
de valores reales se toma como las coordenadas ( , ) de
un punto en el plano.
x y
Primer problema fundamental: La gráfica de una ecuación
![Page 40: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/40.jpg)
Definición 1: El conjunto de los puntos,
y solamente de aquellos puntos, cuyas
coordenadas s
gráfica de la e
atisfagan una ecuación
, =0
se llama o, bien,
su
cuación
lugar geométr co .i
f x y
Primer problema fundamental:
La gráfica de una ecuación
![Page 41: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/41.jpg)
Definición 2: Cualquier punto cuyas
coordenadas satisfacen la ecuación
, =0
pertenece a la gráfica de la ecuación.
f x y
Primer problema fundamental:
La gráfica de una ecuación
![Page 42: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/42.jpg)
Debe insistirse mucho en que solamente aquellos
puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación
pertenecen a su lugar geométrico.
Lo importante es que si las coordenadas de un punto
satisfacen una ecuación, ese punto pertenece a la
gráfica de esa ecuación y , reciprocamente , si un
punto está sobre la gráfica de una ecuación, sus
coordenadas satisfacen la ecuación.
Primer problema fundamental:La gráfica de una ecuación
![Page 43: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/43.jpg)
Lo importante es que si las coordenadas de un punto
satisfacen una ecuación, ese punto pertenece a la
gráfica de esa ecuación y , reciprocamente , si un
punto está sobre la gráfica de una ecuación, sus
coordenadas satisfacen la ecuación.
Primer problema fundamental:La gráfica de una ecuación
Este es un caso típico de una condición
necesaria y suficiente.
![Page 44: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/44.jpg)
Como las coordenadas de los puntos de un
lugar geométrico están restringidas por su
ecuación, tales puntos estarán localizados,
en general, en posiciones tales que, tomadas
en conjunto, formen un trazo bien definido
llamado curva, gráfica o lugar geométrico.
Primer problema fundamental:La gráfica de una ecuación
![Page 45: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/45.jpg)
2 5 3y x x
![Page 46: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/46.jpg)
5 3 27 3 2 10 0x y x x y
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En Álgebra se estudia el trazado de gráficas del tipo
, =0
El procedimiento consiste en trazar un cierto
número de puntos y dibujar una linea continua
que pase por todos ellos, tal como mostramos en
las
f x y
transparencias anteriores.
Primer problema fundamental:
La gráfica de una ecuación
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Pero, a1 hacer esto, se supone que la gráfica entre
dos puntos sucesivos cualesquiera tiene la forma de
la curva continua que se dibuja uniendo los puntos.
Aunque esto es verdadero para algunas gráficas, no
es verdadero para las gráficas de todas las
ecuaciones.
Primer problema fundamental: La gráfica de una ecuación
En Álgebra se estudia el trazado de gráficas del tipo
, =0
El procedimiento consiste en trazar un cierto número de puntos
y dibujar una linea continua que pase por todos ellos.
f x y
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Para evitar errores de este tipo , debemos hacer
una investigación preliminar de la ecuación para
ciertas caracteristicas antes de proceder al
trazado de la curva. Esto se llama discutir la
ecuación y se describe en los artículos que siguen
inmediatamente al presente.
Primer problema fundamental:La gráfica de una ecuación
Aunque esto es verdadero para algunas ecuaciones,
no es verdadero para las gráficas de todas las ecuaciones.
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¡Atención!
No toda ecuación del tipo
, 0
tiene, necesariamente,
una gráfica.
f x y
Primer problema fundamental:La gráfica de una ecuación
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2 2
La ecuación
4 0
se satisface para un número infinito de pares de valores de
e , pero en ningun caso son ambos valores números reales.
Por esto no se puede trazar ningun punto cuyas coordenadas
sat
x y
x y
2 2
isfagan esta ecuación, ya que estamos restringidos a puntos
cuyas coordenadas sean ambas números reales. Decimos
entonces que 4 0 no tiene gráfica en el sistema
coordenado rectangular real que esta
x y
mos empleando.
No toda ecuación del tipo , 0 tiene una gráfica.f x y
![Page 52: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/52.jpg)
2 2
La ecuación
0
se satisface solamente para
0, 0.
En este caso la "gráfica" asociada
a esta ecuación se reduce a un
solo punto, el origen.
x y
x y
No toda ecuación del tipo , 0 tiene una gráfica.f x y
![Page 53: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/53.jpg)
Primer caso: Construir una gráfica a partir de
una ecuación.Definición: El conjunto de puntos
cuyas coordenadas satisfagan u
gráfica de la
ecuación
na
ecuación, se llama
lugar geomét ó rico.
![Page 54: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/54.jpg)
Para trazar una gráfica
Se necesitaPlano
cartesiano
Ecuación
Pares ordenados de puntos
Lugar geométrico ó gráfica de la
ecuación
![Page 55: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/55.jpg)
Características de la ecuación
Al menos una de las variables debe
de estar en función de la otra.
![Page 56: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/56.jpg)
Características de la ecuación
Es decir, en la ecuación original
, 0
debemos despejar una de las variables,
digamos , y obtener la ecuación
f x y
y
y F x
Al menos una de las variables debe
de estar en función de la otra.
![Page 57: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/57.jpg)
Características de la ecuación
El conjunto solución de la ecuación,
formado por los puntos ordenados,
debe pertenecer al conjunto de los
números reales.
![Page 58: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/58.jpg)
Características de la ecuación El conjunto solución de la ecuación,
formado por los puntos ordenados,
debe pertenecer al conjunto de los
números reales.
,Es decir, y x F x x y R
![Page 59: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/59.jpg)
Primer caso:Construir una
gráfica a partir de una ecuación.
Ejemplos
![Page 60: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/60.jpg)
¿Qué figura geométrica
representa la ecuación
2 3 0?x y
Primer caso: Construir una gráfica a partir de una ecuación
Ejemplos
![Page 61: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/61.jpg)
2 3 0x y
Esta ecuación está en la forma implícita:
, 0F x y
Debemos ponerla en forma explícita
despejando alguna de las variables.
Elegimos despejar , y tenemos 2 3
y f x
y y x
![Page 62: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/62.jpg)
x y0 -3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 3 0
2 3
x y
y x
![Page 63: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/63.jpg)
x y0 -31 -1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 3 0x y
![Page 64: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/64.jpg)
x y0 -31 -1-1 -5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 3 0x y
![Page 65: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/65.jpg)
x y0 -31 -1-1 -52 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 3 0x y
![Page 66: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/66.jpg)
x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -7 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 3 0x y
![Page 67: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/67.jpg)
x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 3 0x y
![Page 68: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/68.jpg)
x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3-3 -9
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 3 0x y
![Page 69: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/69.jpg)
x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3-3 -94 5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 3 0x y
![Page 70: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/70.jpg)
x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3-3 -94 5-4 -11
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 3 0x y
![Page 71: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/71.jpg)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 3 0x y
![Page 72: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/72.jpg)
2
¿Qué figura geométrica
representa la ecuación
5 3 0?y x x
Primer caso: Construir una gráfica a partir de una ecuación
Ejemplos
![Page 73: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/73.jpg)
2 5 3y x x x y0 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
![Page 74: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/74.jpg)
x y0 31 -1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
2 5 3y x x
![Page 75: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/75.jpg)
x y0 31 -2-1 9
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 5 3y x x
![Page 76: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/76.jpg)
x y0 31 -2-1 92 -3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 5 3y x x
![Page 77: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/77.jpg)
x y0 31 -2-1 92 -3-2 1
7-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
0
5
10
15
20
2 5 3y x x
![Page 78: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/78.jpg)
x y0 31 -2-1 92 -3-2 1
73 -3 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
0
5
10
15
20
2 5 3y x x
![Page 79: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/79.jpg)
x y0 31 -2-1 92 -3-2 1
73 -34 -1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
0
5
10
15
20
2 5 3y x x
![Page 80: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/80.jpg)
x y0 31 -2-1 92 -3-2 1
73 -34 -1-4 3
9
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
0
5
10
15
20
2 5 3y x x
![Page 81: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/81.jpg)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-10
0
10
20
30
40
50
2 5 3y x x
![Page 82: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/82.jpg)
3 2
¿Qué figura geométrica
representa la ecuación
8 15 ?y x x x
Primer caso: Construir una gráfica a partir de una ecuación
Ejemplos
![Page 83: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/83.jpg)
x y-1.00 -24.003 28 15y x x x
![Page 84: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/84.jpg)
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17
3 28 15y x x x
![Page 85: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/85.jpg)
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63
3 28 15y x x x
![Page 86: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/86.jpg)
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.27
3 28 15y x x x
![Page 87: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/87.jpg)
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.00
3 28 15y x x x
![Page 88: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/88.jpg)
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.27
3 28 15y x x x
![Page 89: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/89.jpg)
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.63
3 28 15y x x x
![Page 90: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/90.jpg)
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.17
3 28 15y x x x
![Page 91: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/91.jpg)
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.00
3 28 15y x x x
![Page 92: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/92.jpg)
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.20
3 28 15y x x x
![Page 93: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/93.jpg)
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.88
3 28 15y x x x
![Page 94: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/94.jpg)
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.11
3 28 15y x x x
![Page 95: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/95.jpg)
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.00
3 28 15y x x x
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x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.64
3 28 15y x x x
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x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.13
3 28 15y x x x
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x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.55
3 28 15y x x x
![Page 99: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/99.jpg)
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.00
3 28 15y x x x
![Page 100: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/100.jpg)
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.003.25 -1.42
3 28 15y x x x
![Page 101: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/101.jpg)
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.003.25 -1.423.50 -2.63
3 28 15y x x x
![Page 102: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/102.jpg)
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.003.25 -1.423.50 -2.633.75 -3.52
3 28 15y x x x
![Page 103: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/103.jpg)
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.003.25 -1.423.50 -2.633.75 -3.524.00 -4.00
3 28 15y x x x
![Page 104: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/104.jpg)
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.003.25 -1.423.50 -2.633.75 -3.524.00 -4.004.25 -3.98
3 28 15y x x x
![Page 105: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/105.jpg)
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.003.25 -1.423.50 -2.633.75 -3.524.00 -4.004.25 -3.984.50 -3.38
3 28 15y x x x
![Page 106: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/106.jpg)
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.003.25 -1.423.50 -2.633.75 -3.524.00 -4.004.25 -3.984.50 -3.384.75 -2.08
3 28 15y x x x
![Page 107: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/107.jpg)
x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.003.25 -1.423.50 -2.633.75 -3.524.00 -4.004.25 -3.984.50 -3.384.75 -2.085.00 0.00
3 28 15y x x x
![Page 108: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/108.jpg)
-1.0
0-0
.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
5.00
5.50
6.00
-25.00
-15.00
-5.00
5.00
15.00
3 28 15y x x x
![Page 109: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/109.jpg)
¿Qué figura geométrica
representa la ecuación
1?
1y
x
Primer caso: Construir una gráfica a partir de una ecuación
Ejemplos
![Page 110: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/110.jpg)
1
1y
x
x y-10 -0.09
-9 -0.10-8 -0.11-7 -0.13-6 -0.14-5 -0.17-4 -0.20-3 -0.25-2 -0.33-1 -0.500 -1.0012 1.003 0.504 0.335 0.256 0.207 0.178 0.149 0.13
10 0.11
![Page 111: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/111.jpg)
1
1y
x
![Page 112: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/112.jpg)
1
1y
x
![Page 113: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/113.jpg)
x y0.00 -1.000.05 -1.050.10 -1.110.15 -1.180.20 -1.250.25 -1.330.30 -1.430.35 -1.540.40 -1.670.45 -1.820.50 -2.000.55 -2.220.60 -2.500.65 -2.860.70 -3.330.75 -4.000.80 -5.000.85 -6.670.90 -10.000.95 -20.00
1
1y
x
![Page 114: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/114.jpg)
x y1.05 20.001.10 10.001.15 6.671.20 5.001.25 4.001.30 3.331.35 2.861.40 2.501.45 2.221.50 2.001.55 1.821.60 1.671.65 1.541.70 1.431.75 1.331.80 1.251.85 1.181.90 1.111.95 1.052.00 1.00
1
1y
x
![Page 115: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/115.jpg)
1
1y
x
-2.00-1.70-1.40-1.10-0.80-0.50-0.20 0.10 0.40 0.70 1.14 1.44 1.74 2.04 2.34 2.64 2.94
-15.00
-10.00
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
![Page 116: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/116.jpg)
1
1y
x
![Page 117: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/117.jpg)
Intersección con los
ejes
Construcción de la
curva
Extensión de la curva
Asíntotas
Simetría
Criterios
Cálculo de
coordenadas
![Page 118: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/118.jpg)
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricosIntersección
con los ejes coordenados
![Page 119: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/119.jpg)
Intersección con el eje X
La intersección de la curva con
el eje , es la abscisa del punto
de intersección de la curva con
el eje.
La abscisa al origen es ,0 .
X
f x
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Intersección con el eje X
Para encontrar la intersección
con el eje :
Se hace y = 0 en la ecuación
y se encuentran las raíces de
la ecuación resultante.
X
![Page 121: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/121.jpg)
Hacemos 0
La ecuación que resulta es 2 3 0
La resolvemo
La curva intersecta al eje en la
a
s
bs
3 /
ci
2
sa 3 / 2
X
x
y
x
x
Intersección con el eje X. Ejemplo 1 2 3 0x y
![Page 122: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/122.jpg)
2 3y x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
153
,02
![Page 123: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/123.jpg)
2
Hacemos 0.
La ecuación que resulta es
5 3 0
y
x x
Intersección con el eje X. Ejemplo 2
2 5 3 0y x x
![Page 124: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/124.jpg)
¿Cómo se resuelve una ecuación de segundo
grado?2
2
La forma general de la ecuación de segundo grado es:
0
La solución general de la ecuación de segundo grado
es:
4
2
ax bx c
b b acx
a
![Page 125: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/125.jpg)
¿Cómo se resuelve una ecuación de segundo
grado? Ejemplo
2
2
Resolver la ecuación de segundo grado:
5 3 0
Usando la fórmula tenemos
5 5 4 1 3 5 25 12 5 13
2 1 2 2
5 13
2
x x
x
x
![Page 126: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/126.jpg)
2
1 2
Hacemos 0
La ecuación que resulta es 5 3 0
5 25 12 5
La curva intersecta
13La r
al eje en la
5 13 5 13abscisa y en
2 2
esolvemos 2 2
X
x
y
x
x
x
x
Intersección con el eje X. Ejemplo 22 5 3 0y x x
![Page 127: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/127.jpg)
2 5 3y x x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-10
0
10
20
30
40
50
5 13,0
2
5 13,0
2
![Page 128: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/128.jpg)
3 2
Hacemos 0
La ecuación que resulta es
8 15 0
y
x x x
Intersección con el eje X. Ejemplo 3
3 28 15y x x x
![Page 129: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/129.jpg)
2
3 2
2
2
El polinomio se factoriza.
Primero factorizamos la ,
8 15
El polinomio que nos queda 8 15
es del tipo "Dos binomios con un término
en común", así que se factoriza c
8 15
8 5 5
omo
1
x x
x
x x x
x x
x x x
x
3 2
3
Finalmente
8 15 5 3
x
x x x x x x
Intersección con el eje X. Ejemplo 3
![Page 130: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/130.jpg)
1 2
3 2
1 2 1
1
Hacemos 0
La ecuación que resulta es 8 15 0
ó sea 3 5 0
La resolvemos
La curva intersecta al eje en las
0, 3,
abscisas 0, 3, 5
5
y
x x x
x x x
x
X
x x
x
x
x
Intersección con el eje X. Ejemplo 33 28 15y x x x
![Page 131: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/131.jpg)
3 28 15
3 5
Las raices son: 0, 3, 5
y x x x
y x x x
0,0 3,0
5,0
![Page 132: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/132.jpg)
Hacemos 0
1La ecuación que resulta es 0
1que n
La curva no
o tien
inter
e soluc
secta al eje
n
ió
y
X
x
Intersección con el eje X. Ejemplo 41
1y
x
![Page 133: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/133.jpg)
f(x)=1/(x-1)
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-15
-10
-5
5
10
15
x
y
1
1y
x
![Page 134: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/134.jpg)
Intersección con el eje Y
La intersección de la curva con
el eje , es la ordenada del punto
de intersección de la curva con
el eje.
La ordenada al origen es 0, .
Y
f y
![Page 135: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/135.jpg)
Intersección con el eje Y
Para encontrar la intersección
con el eje Y:
Se hace 0 en la ecuación
y se encuentran las raíces de
la ecuación resultante.
x
![Page 136: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/136.jpg)
Hacemos 0
La ecuación que resulta es 3 0
La resolvemo
La curva intersecta al eje en la
ordenad
3
a 3
s,
x
Y
y
y
y
Intersección con el eje Y. Ejemplo 1 2 3 0x y
![Page 137: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/137.jpg)
2 3y x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
0, 3
![Page 138: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/138.jpg)
Hacemos 0
La ecuación que resulta es 3 0
La resolvem
La curva intersecta al eje en la
o
o
s,
rd
3
enada 3
x
y
y
Y
y
Intersección con el eje Y. Ejemplo 2
2 5 3 0y x x
![Page 139: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/139.jpg)
2 5 3y x x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-10
0
10
20
30
40
50
0,3
![Page 140: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/140.jpg)
La cur
Hacemo
va int
s 0
La ecua
ersecta al
ción que resulta es
eje en la
ordenad
0
a 0
y
y
x
Y
Intersección con el eje Y. Ejemplo 3
3 28 15y x x x
![Page 141: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/141.jpg)
3 28 15
0 0
La raíz es: 0
y x x x
x y
0,0
![Page 142: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/142.jpg)
La cur
Hacemo
va int
s 0
La ecua
ersecta al
ción que resulta es
eje en la
ordenad
1
a 1
y
Y
y
x
Intersección con el eje Y. Ejemplo 4
1
1y
x
![Page 143: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/143.jpg)
f(x)=1/(x-1)
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-15
-10
-5
5
10
15
x
y
1
1y
x
0, 1
![Page 144: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/144.jpg)
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Simetría
![Page 145: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/145.jpg)
SimetríaEl segundo punto a considerar, en
relación con la discusión de una
ecuación, es la simetría de la curva
que representa, con respecto a los
ejes coordenados y con respecto a1
origen.
![Page 146: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/146.jpg)
SimetríaSe dice que dos puntos son
si la recta es
perpendicular al seg
simétricos
con respecto a una recta
mento que los une
en su punto medio.
l
l
A B
![Page 147: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/147.jpg)
La recta con respecto a la cual
son simétricos los dos puntos se
ll eje de simetama ría.
Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a una recta si la
recta es perpendicular al segmento que los une en su punto medio.
Simetría
l
A B
![Page 148: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/148.jpg)
En la figura, los dos puntos y
son simétricos con respecto a1
eje de simetría , si la recta es
perpendicular a1 segmento ,
exacto en su punto medio.
A B
l l
AB##############
Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a una recta si la
recta es perpendicular al segmento que los une en su punto medio.
Simetría
l
A B
![Page 149: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/149.jpg)
Simetría simétricos
respecto a un pun
Se dice que dos puntos son
, si es el punto
medio del segmento que los e
to
un .
O O
A BO
![Page 150: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/150.jpg)
Simetría
A BO
Se dice que dos puntos son simétricos respecto a un punto ,
si es el punto medio del segmento que los une.
O
O
El punto se llama centro de simetría.O
![Page 151: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/151.jpg)
Simetría
A BO
Se dice que dos puntos son simétricos respecto a un punto ,
si es el punto medio del segmento que los une.
O
O
En la figura los dos puntos y son simétricos
con respecto a1 centro de simetría siempre
que sea el punto medio del segmento .
A B
O
O AB##############
![Page 152: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/152.jpg)
y
x
O
P(x, y)
P’(a, b)
M(x, 0)
SimetríaSe dice que una curva es
cuando para cada punto de la curva
hay un punto
correspondiente,
también de la curva,
tal que e
simétrica con respecto a un
ej
stos
dos puntos
son simétricos
r
e de simetrí
espect
a
o al eje.
![Page 153: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/153.jpg)
24 9 36y x
![Page 154: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/154.jpg)
SimetríaSe dice que una curva es
,
cuando para cada punto de la curva hay
un punto correspondiente, también de
la curv
simétrica con
respecto a un
a, tal que dos puntos son
s
centro de s
imétricos re
ime
spe
tría
a
cto
O
.O
![Page 155: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/155.jpg)
2 29 4 36x y
![Page 156: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/156.jpg)
Ahora interpretaremos estas definiciones
Todas las definiciones anteriores son
puramente geométricas .
, usando los ejes coordenados
como ejes de simetria y el origen como
centr
analiticament
o de si
e
metria.
Simetría
![Page 157: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/157.jpg)
Sea , un punto cualquiera de una curva.
de la definición 3
se deduce que debe
haber otro punto
Si esta curva es simétrica con respecto al e
' , sobre la curva,
tal que el segmento '
queda b c
e
is
j
e
,
P x y
P a b
PP
X
tado
perpendicularmente por
el eje .X
![Page 158: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/158.jpg)
Sea el punto medio de ';
sus coordenadas son,
evidentemente, ( ,0).
M PP
x
Simetría con respecto al eje X
![Page 159: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/159.jpg)
Entonces, por las fórmulas del punto medio,
dadas en el corolario del teorema 3,
artículo 7, tenemos
y 02 2
de donde
y
a x y bx
a x b y
Sea el punto medio de '; sus coordenadas son ( ,0)M PP x
Simetría con respecto al eje X
![Page 160: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/160.jpg)
Por tanto, las coordenadas de ' son ,P x y
Simetría con respecto al eje X
![Page 161: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/161.jpg)
Pero como ' está sobre la curva,
sus coordenadas deben de satisfacer la
ecuación de la curva. Es decir , una ecuación
, 0 que sí se satisface para las
coordenadas , de se satisface tambien
para las
P
f x y
x y P
coordenadas , de '.x y P
Simetría con respecto al eje X
![Page 162: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/162.jpg)
Simetría con respecto al eje XSi la ecuación de una curva
no se altera
cuando la variable es
reemplazada por – ,
la curva es simétrica
respecto al eje .
El recíproco también es verdadero.
y
y
X
![Page 163: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/163.jpg)
x y y0.0 0.0 0.01.0 1.0 -1.02.0 1.4 -1.43.0 1.7 -1.74.0 2.0 -2.05.0 2.2 -2.26.0 2.4 -2.47.0 2.6 -2.68.0 2.8 -2.89.0 3.0 -3.0
10.0 3.2 -3.211.0 3.3 -3.312.0 3.5 -3.513.0 3.6 -3.614.0 3.7 -3.715.0 3.9 -3.916.0 4.0 -4.017.0 4.1 -4.118.0 4.2 -4.219.0 4.4 -4.420.0 4.5 -4.5
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.010
.011
.012
.013
.014
.015
.016
.017
.018
.019
.020
.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
2y x
![Page 164: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/164.jpg)
Simetría con respecto al eje YSi la ecuación de una curva
no se altera
cuando la variable es
reemplazada por – ,
la curva es simétrica
respecto al eje .
El recíproco también es verdadero.
x
x
Y
![Page 165: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/165.jpg)
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110
20
40
60
80
100
120
140x y
-10 100-9 81-8 64-7 49-6 36-5 25-4 16-3 9-2 4-1 10 01 12 43 94 165 256 367 498 649 81
10 10011 121
2y x
![Page 166: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/166.jpg)
Simetría con respecto al origenSi la ecuación de una curva
no se altera
cuando las variables y
son reemplazadas por – y
la curva es simétrica
respecto al origen .
El recíproco también es verdadero.
x y
x y
O
![Page 167: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/167.jpg)
-10
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500x y-10 -1000-9 -729-8 -512-7 -343-6 -216-5 -125-4 -64-3 -27-2 -8-1 -10 01 12 83 274 645 1256 2167 3438 5129 729
10 100011 1331
3y x
![Page 168: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/168.jpg)
NOTA. Si comparamos los teoremas 1, 2 y 3
veremos que, si una curva es simétrica con
respecto a ambos ejes coordenados, es también
simétrica con respecto al origen.
Pero el reciproco no es necesariamente verdadero.
Por ejemplo, la curva cuya ecuación es 1
es simétrica con respecto a1 origen, pero no es
simétrica con respecto a ninguno de los ejes
coordenados.
xy
Simetría
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Simetría
1xy
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Geometría
Analítica Plana
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I.Sistemas de coordenadas
II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
III. La línea recta
IV. Ecuación de la circunferencia
V. Transformación de coordenadas
VI. La parábola
VII. La elipse
VIII. La hipérbola
Geometría Analítica Plana
![Page 172: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/172.jpg)
http://www.licimep.org/MateFisica.htm
Problemas resueltos de Matemáticas y de
Física
• En particular, hay una sección dedicada a Geometría Analítica, que tiene 81 problemas resueltos
• En esa sección hay problemas del Lehmann,. En particular, del capítulo II hay 15 problemas resueltos
![Page 173: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/173.jpg)
http://speckle.inaoep.mx/~jjbaezr/
Página del doctor Javier Baez. Donde
están las presentaciones
![Page 174: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/174.jpg)
¿Qué es la Geometría Analítica?
![Page 175: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/175.jpg)
Es el estudio de la geometría
usando los principios del
álgebra y viceversa.
Es la unión de la geometría
y el álgebra
¿Qué es la Geometría Analítica?
![Page 176: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/176.jpg)
Ecuaciones en dos
variables
Figuras geométricas en el plano
![Page 177: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/177.jpg)
Ecuaciones en x e y
Figuras en el
plano
![Page 178: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/178.jpg)
Gracias al sistema
coordenado, al plano
cartesiano
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Que establece una correspondencia biunívoca, uno a
uno, entre los puntos del plano y
los pares ordenados de
números reales
![Page 180: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/180.jpg)
Abscisa
Ordenada
Plano cartesiano
,x y
x
y
![Page 181: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/181.jpg)
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica
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En este capítulo haremos un estudio preliminar de dos
problemas fundamentales de la Geometría Analítica.
I . Dada una ecuación interpretarla geométricamente;
es decir, construir la gráfica correspondiente .
II. Dada una figura geométrica, o la condición que
deben cumplir los puntos de la misma, determinar
su ecuación.
Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica
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Dada una ecuación,
interpretarla geométricam
ente
Dada un figura geométrica,
determinar su ecuación
Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica
![Page 184: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/184.jpg)
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Primer problema fundamental: La gráfica de una
ecuación
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Supongamos que se nos da una ecuación en dos variables,
e , que podemos escribir en la forma
, =0
En general, hay un número infinito de pares de valores de
e que satisfacen esta ecuación. Cada un
x y
f x y
x y o de tales pares
de valores reales se toma como las coordenadas ( , ) de
un punto en el plano.
x y
Primer problema fundamental: La gráfica de una ecuación
![Page 186: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/186.jpg)
Definición 1: El conjunto de los puntos,
y solamente de aquellos puntos, cuyas
coordenadas s
gráfica de la e
atisfagan una ecuación
, =0
se llama o, bien,
su
cuación
lugar geométr co .i
f x y
Primer problema fundamental:
La gráfica de una ecuación
![Page 187: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/187.jpg)
Definición 2: Cualquier punto cuyas
coordenadas satisfacen la ecuación
, =0
pertenece a la gráfica de la ecuación.
f x y
Primer problema fundamental:
La gráfica de una ecuación
![Page 188: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/188.jpg)
Características de la ecuación
El conjunto solución de la ecuación,
formado por los puntos ordenados,
debe pertenecer al conjunto de los
números reales.
![Page 189: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/189.jpg)
Intersección con los
ejes
Construcción de la
curva
Extensión de la curva
Asíntotas
Simetría
Cálculo de
coordenadas
![Page 190: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/190.jpg)
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Extensión de la curva
![Page 191: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/191.jpg)
Extensión de una curva
La extensión de una curva
son los intervalos de variación
para los cuales los valores de
e son valores reales.x y
![Page 192: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/192.jpg)
Extensión de una curvaLa extensión de una curva son los intervalos de variación
para los cuales los valores de e son valores reales.x y
Es útil, porque:
Da la localización general de la curva en el plano
Indica si la curva es cerrada o
si es de extensión indefinida.
![Page 193: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/193.jpg)
Extensión de una curvaLos intervalos para los cuales
los valores de e son reales
se determinan resolviendo la
ecuación dada
para en términos de ,
y para en términos de .
x y
y x
x y
![Page 194: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/194.jpg)
2 2 4 0x y
Extensión de una curva. Ejemplo 1
No existen números reales, y ,
que satisfaga la ecuación.
La extensión es el conjunto vacío.
x y
![Page 195: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/195.jpg)
2 2 0x y
Extensión de una curva. Ejemplo 2
La extensión de esta ecuación se
reduce a un único punto, el 0,0 .
![Page 196: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/196.jpg)
2 3 4 0x y
Extensión de una curva. Ejemplo 3
![Page 197: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/197.jpg)
2 3 4 0x y Extensión de una curva.
Ejemplo 3
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
![Page 198: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/198.jpg)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
2 3 4 0x y
Extensión de una curva. Ejemplo 3
La extensión es todo el plano; es decir,
puede tomar cualquier valor real, y
también puede tomar cualquier valor real.
x
y
![Page 199: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/199.jpg)
2y xExtensión de una curva.
Ejemplo 4
![Page 200: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/200.jpg)
-1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y2y x
Extensión de una curva. Ejemplo 4
![Page 201: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/201.jpg)
2y x
y x
Extensión de una curva. Ejemplo 4
Es claro que no puede ser negativo.
Sólo puede ser positivo o cero.
La extensión es el intervalo [0, ).
x
![Page 202: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/202.jpg)
2
2
y x
x y
Extensión de una curva. Ejemplo 4
Es claro que puede tomar cualquier valor real.
No hay ninguna restricción.
La extensión en es toda la recta real, es , .
y
y
![Page 203: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/203.jpg)
-1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y2y x
Extensión de una curva. Ejemplo 4
![Page 204: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/204.jpg)
2 29 4 36x y Extensión de una curva.
Ejemplo 5
![Page 205: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/205.jpg)
2 29 4 36x y
2 2
2 2
2 2 2
2
9 4 36
4 36 9
9 99 4
4 43
42
Por tanto, 2,2
x y
x
y x
y x x
y x
![Page 206: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/206.jpg)
2 29 4 36 2,2x y x
![Page 207: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/207.jpg)
2 29 4 36x y
2 2
2 2
2 2 2
2
9 4 36
9 36 4
4 44 9
9 92
93
Por tanto, 3,3
x y
y
x y
x y y
x y
![Page 208: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/208.jpg)
2 29 4 36 3,3x y y
![Page 209: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/209.jpg)
2 29 4 36; 2,2 , 3,3x y x y
![Page 210: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/210.jpg)
2 3 0y x
Extensión de una curva. Ejemplo 6
![Page 211: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/211.jpg)
2 3
3
0
Por t
0
anto
y x
y
x
x
2 3 0y x
![Page 212: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/212.jpg)
2 3
23
0
Por tan o
t
x
y
y x
y
R
2 3 0y x
![Page 213: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/213.jpg)
Extensión de una curva en x
1. Se despejan en función de
2. Se analiza qué valores de son
posibles en la ecuación.
3. Esos valores de constituyen
la extensión en de la curva.
y x
x
x
X
![Page 214: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/214.jpg)
Extensión de una curva en y
1. Se despejan en función de
2. Se analiza qué valores de son
posibles en la ecuación.
3. Esos valores de constituyen
la extensión en de la curva.
x y
y
y
Y
![Page 215: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/215.jpg)
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Asíntotas
![Page 216: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/216.jpg)
Asíntotas Si para una curva dada, existe una
recta tal que, a medida que un punto
de la curva se aleja indefinidamente
del origen, la distancia de ese punto
a la recta decrece continuamente y
tiende a cero, dicha recta se llama
asíntota de la curva.
![Page 217: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/217.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 1
1
2y
x
![Page 218: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/218.jpg)
1
2y
x
2x
Asíntotas. Ejemplo 1
![Page 219: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/219.jpg)
1
2y
x
2x
Asíntotas. Ejemplo 1
![Page 220: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/220.jpg)
1
2y
x
2x
Asíntotas. Ejemplo 1
![Page 221: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/221.jpg)
1
2y
x
2x
Asíntotas. Ejemplo 1
![Page 222: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/222.jpg)
1
2y
x
Asíntotas. Ejemplo 1
![Page 223: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/223.jpg)
24 5 15=
2 3
x xy
x
Asíntotas. Ejemplo 2
![Page 224: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/224.jpg)
24 5 15=
2 3
x xy
x
2 5y x
Asíntotas. Ejemplo 2
![Page 225: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/225.jpg)
24 5 15=
2 3
x xy
x
2 5y x
Asíntotas. Ejemplo 2
![Page 226: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/226.jpg)
24 5 15=
2 3
x xy
x
2 5y x
Asíntotas. Ejemplo 2
![Page 227: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/227.jpg)
Asíntotas Esta definición implica dos cosas:
1) Una curva que tiene una asíntota
no es cerrada o de extensión finita,
sino que se extiende indefinidamente.
2) Una curva se aproxima a la asíntota
más y más a medida que se extiende
más y más en el plano coordenado.
![Page 228: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/228.jpg)
Asíntotas Siendo la asíntota una línea recta, puede tener
una cualquiera de tres posiciones particulares.
Si es
asíntota horizo
paralela o coincide con el eje , se llama
.
Si es paralela o coincide con el eje
ntal
X
Y,
.
Si no es paralela a ninguno de los ejes
coordenados,
asíntota vertical
asíntota obl .icua
![Page 229: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/229.jpg)
Asíntotas
Consideraremos solamente la
determinación de asíntotas
verticales y horizontales.
![Page 230: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/230.jpg)
Asíntotas
Posteriormente veremos la
determinación de asíntotas
oblicuas para la hipérbola.
![Page 231: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/231.jpg)
Asíntotas Hay muchas curvas que
no tienen asíntotas
![Page 232: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/232.jpg)
Asíntotas Una curva puede tener
una o más asíntotas.
![Page 233: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/233.jpg)
Asíntotas Las asíntotas son un
importante auxiliar en
el trazado de curvas.
![Page 234: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/234.jpg)
Asíntotas Las asíntotas son
líneas rectas.
![Page 235: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/235.jpg)
Asíntotas Aquí consideraremos solamente la
determinación de asíntotas verticales
y horizontales.
Posteriormente veremos la determinación
de asíntotas oblicuas para una curva
particular conocida con el nombre de
hipérbola.
![Page 236: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/236.jpg)
Asíntotas Se debe tener presente que una curva no tiene
necesariamente una o más asíntotas. Hay
muchas curvas que no tienen asíntotas. Sin
embargo , si una curva tiene asíntotas, su
determinación será, como veremos, una gran
ayuda para construir su gráfica.
![Page 237: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/237.jpg)
Asíntotas En el capitulo siguiente haremos un estudio
detallado de la ecuación general de la recta.
Pero ahora tenemos necesidad de hallar
ecuaciones de asíntotas verticales y
horizontales.
![Page 238: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/238.jpg)
Sea una recta
cualquiera
paralela a1 eje
y que dista
unidades del eje.
l
Y
k
Recta paralela al eje Y
![Page 239: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/239.jpg)
Todo punto de ,
cualquiera que sea el valor
de su ordenada , tiene una
abscisa igual a .
l
k
Recta paralela al eje YSea una recta cualquiera
paralela a1 eje y que dista
unidades del eje.
l
Y
k
![Page 240: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/240.jpg)
Las coordenadas de todos los
puntos de satisfacen , por tanto
la ecuación es
,
.
l
x k
Recta paralela al eje YSea una recta cualquiera
paralela a1 eje y que dista
unidades del eje. Todo punto
de , cualquiera que sea el valor
de su ordenada , tiene una
abscisa igual a .
l
Y
k
l
k
![Page 241: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/241.jpg)
Recíprocamente, cualquier punto
cuyas coordenadas satisfacen esta
ecuación es un punto cuya abscisa
es y situado, por tanto, a una
distancia de unidades del eje ,
y, en consecuencia , está sobre
la rec
k
k Y
ta .l
Recta paralela al eje Y
![Page 242: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/242.jpg)
Recta paralela al eje Y
La ecuación de una recta
paralela al eje es:
donde es la distancia
de la recta al eje .
x
k
k
Y
Y
![Page 243: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/243.jpg)
Recta paralela al eje XLa ecuación de una recta
paralela al eje es:
donde es la distancia
de la recta al eje .
y
k
k
X
X
![Page 244: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/244.jpg)
Recta paralela al eje X
2y
2
![Page 245: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/245.jpg)
Asíntotas Vimos que se puede determinar la extensión
de una curva despejando en función de
y en función de . Para obtener las asintotas
verticales y horizontales, usaremos estas
mismas ecuaciones en las que
y x
x y
aparecen
despejadas las variables.
![Page 246: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/246.jpg)
Asíntotas verticales Para obtener las ecuaciones de las
asíntotas verticales, resuelvase la
ecuación dada para en función
de e igualese a cero cada uno de
los factores lineales del denominador.
y
x
![Page 247: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/247.jpg)
Asíntotas horizontales Análogamente, para obtener las ecuaciones
de las asíntotas horizontales, resuelvase la
ecuación dada para en funcion de e
igualese a cero cada uno de los factores
lineales del denominador.
x y
![Page 248: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/248.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 1 Encontrar las asíntotas de la
gráfica de la ecuación
1 0xy y
![Page 249: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/249.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 1
Encontrar las asíntotas de la
gráfica de la ecuación
1 0xy y
![Page 250: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/250.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 1 Encontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación 1 0xy y
1) Despejar en función de
1 0
1
1 1
1
1
y x
xy y
xy y
y x
yx
![Page 251: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/251.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 1 Encontrar las asíntotas de la gráfica
1de la ecuación 1 0 ó
1xy y y
x
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador; es decir,
1 0
ó sea que la asíntota tiene como ecuación:
1
x
x
![Page 252: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/252.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 1 Encontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación 1 0xy y
1) Despejar en función de
1 0
1
1
x y
xy y
xy y
yx
y
![Page 253: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/253.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 1 Encontrar las asíntotas de la gráfica
1de la ecuación 1 0 ó
1xy y y
x
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador
0
ó sea que la asíntota tiene como ecuaci
0
ón:
y
y
![Page 254: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/254.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 1
1x
0y
![Page 255: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/255.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 2
2
2
Encontrar las asíntotas de la
gráfica de la ecuación
1
xy
x
![Page 256: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/256.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 2 2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1
xy
x
2
2
1) Despejar en función de
Ya está despejada, entonces tenemos 1
pero debemos escribir el denominador como
factores lineales. Es fácil, factorizando :
y x
xy
x
![Page 257: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/257.jpg)
2 2
2 1 1 1
a b a b a b
x x x
Diferencia de cuadrados
![Page 258: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/258.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 2 2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1
xy
x
2
2
2 2
2
1) Despejar en función de
Ya está despejada, entonces tenemos 1
pero debemos escribir el denominador como
factores lineales. Es fácil, factorizando; tenemos
1 1 1
y x
xy
x
x xy
x x x
![Page 259: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/259.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 2
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador; es decir,
1 0 y 1 0
ó sea que tenemos dos asíntotas verticale
1 1
s:
y x
x
x
x
2 2
2
Encontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación 1 1 1
x xy
x x x
![Page 260: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/260.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 2
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador; es decir,
1 0 y 1 0
ó sea que tenemos dos asíntotas verticale
1 1
s:
y x
x
x
x
2 2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1 1 1
x xy
x x x
¡Hay dos
asíntotas!
![Page 261: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/261.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 2
2
2
2 2
2 2
2
1) Despejar en función de
1
1
0
1 0
x y
xy
x
y x x
yx x y
y x y
2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1
xy
x
![Page 262: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/262.jpg)
2
2
0
4
2
ax bx c
b b acx
a
Ecuación de segundo grado
![Page 263: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/263.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 2
2
2
1) Despejar en función de
1 0
0 0 4 1 4 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1
1
x y
y x y
y y y y y yx
y y y
y yx
y
2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1
xy
x
![Page 264: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/264.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 2
2
2
2
1) Despejar en función de
1 0
1
1
1
x y
y x y
y x y
yx
y
yx
y
2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1
xy
x
![Page 265: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/265.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 2
2
2
2
1) Despejar en función de
1 0
1
1
1
x y
y x y
y x y
yx
y
yx
y
2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1
xy
x
1
1
y yx
y
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Asíntotas. Ejemplo 2 2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1
xy
x
2
1
1
1 1
11
11
yx
y
yyx
y y
y yy yx
yy
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Asíntotas. Ejemplo 2 2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1
xy
x
2
1
1
1 1
11
11
yx
y
yyx
y y
y yy yx
yy
1
1
y yx
y
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Asíntotas. Ejemplo 2
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador: 1 0
ó sea que la asíntota tiene como ecuación
1
:
y
y
2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1
xy
x
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2
2 1
xy
x
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2
2 1
xy
x
1
1
1
x
x
y
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Asíntotas. Ejemplo 3
La tangente Mostrar las asíntotas
de la tangente
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Asíntotas. Ejemplo 3, La tangente
Las rectas
y 2 2
son asíntotas.
x x
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Asíntotas. Ejemplo 3, La tangente
![Page 274: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/274.jpg)
Una curva puede tener más de una
asintota vertical u horizontal.
Asi, la curva cuya ecuación es
1
1 2
tiene dos asintotas verticales,
1 y 2.
yx x
x x
Asíntotas. Notas
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Para muchas ecuaciones en las variables e ,
veremos que frecuentemente es ventajoso
investigar el comportamiento de una de las
variables cuando a la otra se le dan valores
cada vez mas grandes en valor
x y
absoluto.
Esto es particularmente útil para la
determinación de las asíntotas.
Asíntotas. Notas
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1Así, para la ecuación , si damos
1valores a cada vez más grandes, en
valor absoluto, el valor de se aproxima
cada vez más a cero.
yx
x
y
Asíntotas. Notas
![Page 277: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/277.jpg)
Es decir, a medida que el punto sobre la curva
se aleja indefinidamente del origen, ya sea hacia
la derecha o hacia la izquierda, la curva se
aproxima a la recta 0 que, por lo tanto, es
una asintota h
y orizontal.
Asíntotas. Notas 1
Así, para la ecuación , si damos valores1
a cada vez más grandes, en valor absoluto, el
valor de se aproxima a cero.
yx
x
y
![Page 278: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/278.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 1
1x
0y
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Asíntotas. Ejemplo 1 Encontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación 1 0xy y
1) Despejar en función de
1 0
1
1 1 11
x y
xy y
xy y
y yx
y y y y
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Análogamente, si escribimos la
ecuación en la forma
11
vemos que, a medida que toma
valores cada vez mayores en valor
absoluto se aproxima a 1.
Por tanto, 1 es una asíntota vertícal.
xy
y
x
x
Asíntotas. Notas
![Page 281: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/281.jpg)
Es una gran ventaja usar las asintotas
de una curva, cuando existen, en el
trazado de la misma.
Las asíntotas actúan como lineas
guía de la gráfica.
Asíntotas. Notas
![Page 282: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/282.jpg)
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricosConstrucc
ión de curvas
![Page 283: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/283.jpg)
La discusión de una ecuación y
su representación gráfica constituyen,
en conjunto, un problema de tan gran
importancia en todas las ramas de las
Matemáticas y sus aplicaciones,
que se le ha dado el nombre especial
de construcción de curvas.
Construcción de curvas
![Page 284: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/284.jpg)
El trazado de una curva consta de los seis puntos siguientes :
1 . Determinación de las intersecciones con los ejes coordenados .
2. Determinación de la simetría de la curva con respecto a los
ejes coordenados y a1 origen .
3. Deteminación de la extensión de la curva.
4. Determinación de las ecuaciones de las asíntotas verticales u
horizontales que la curva puede tener .
5 . Cálculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos
para obtener una gráfica adecuada .
6. Trazado de la curva .
Construcción de curvas
![Page 285: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/285.jpg)
4 2
Construir la curva
cuya ecuación es
4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
Ejercicio 8, grupo 6, página 46
![Page 286: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/286.jpg)
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el
Hacemos 0 en la ecuación 4 0
X
y x x y
![Page 287: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/287.jpg)
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
4 2
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el
Hacemos 0 en la ecuación
4 0
lo que nos lleva a la ecuación
4 0
X
y
x x y
x x
![Page 288: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/288.jpg)
4 24 0x x
2
2 2
es un factor común,
así que queda
4 0
x
x x
![Page 289: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/289.jpg)
4 2 2 24 0 4 0x x x x
2
2
4 0
y
0
x
x
![Page 290: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/290.jpg)
4 2 2 24 0 4 0x x x x
2 2 24 2
es una diferencia de cuadrados
x x
![Page 291: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/291.jpg)
2 2
2 1 1 1
a b a b a b
x x x
Diferencia de cuadrados
![Page 292: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/292.jpg)
4 2 2 24 0 4 0x x x x
2 2 2
2
4 2
es una diferencia de cuadrados
y se factoriza entonces como
4 2 2
x x
x x x
![Page 293: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/293.jpg)
4 2
2 2
2
4 0
4 0
2 2 0
x x
x x
x x x
![Page 294: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/294.jpg)
4 2 24 0 2 2x x x x x
Por tanto, las raices son
0 dos veces, 2 y 2
![Page 295: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/295.jpg)
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
4 2
2 2 2
1 2 3 4
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el
Hacemos 0 en la ecuación 4 0
lo que nos lleva a 4 0
que se factoriza como 4 2 2 0
Tenemos por tanto cuatro raices:
2, 0, 0,
X
y x x y
x x
x x x x x
x x x x
2
![Page 296: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/296.jpg)
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el
La gráfica intersecta al eje en
2, 0 y 2
X
X
![Page 297: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/297.jpg)
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
1. Intersecciones con los ejes.
b) Con el
Hacemos 0 en la ecuación 4 0
lo que nos lleva a 0
Tenemos una raíz:
0
Y
x x x y
y
y
![Page 298: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/298.jpg)
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
1. Intersecciones con los ejes.
b) Con el
La gráfica intersecta al eje en
0
Y
Y
y
![Page 299: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/299.jpg)
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0
x
y
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
![Page 300: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/300.jpg)
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
4 2
2. Simetrías
a) Con respecto al eje
La ecuación 4 0
cambia a la ecuación
4 0
cuando intercambiamos por .
Por lo t LA GRÁFICA NO ES
SIMÉTRI
ant
CA RESPEC
o,
.TO AL EJE
X
x x
X
y
x x y
y y
![Page 301: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/301.jpg)
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
4 2
2. Simetrías
b) Con respecto al eje
La ecuación 4 0
cambia a la ecuación (que es la misma)
4 0
cuando intercambiamos por .
Por lo LA GRÁFICA SÍ ES
SIMÉTR
tanto,
ICA RE
SPECTO AL EJ .E
Y
x x y
x x
x x
Y
y
![Page 302: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/302.jpg)
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
4 2
2. Simetrías
c) Con respecto al origen
La ecuación 4 0
cambia a la ecuación
4 0
cuando intercambiamos por
y por .
Por lo LA GRÁFICA NO ES
SIMÉT
tan
RIC
to,
A RESPECTO AL O .R
IGEN
x x y
x x y
x x
y y
![Page 303: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/303.jpg)
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
2. Simetrías
La única simetría que tiene esta gráfica
es respecto al eje .
No es simétrica ni respecto al eje ,
ni respecto al origen.
Y
X
![Page 304: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/304.jpg)
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
4 2
cualquier valor de es posible
3. Extensión
a) En el eje
Despejando de la ecuación
4 0 tenemos
4
Por ta .nto,
X
y
x x y
x
y x x
![Page 305: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/305.jpg)
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
3. Extensión
b) En el eje
Despejando de la ecuación
4 0
Y
x
x x y
![Page 306: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/306.jpg)
2
2
0
4
2
ax bx c
b b acx
a
Ecuación de segundo grado
![Page 307: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/307.jpg)
4 2
22 2
2
2
2
4 0
4 0
4 4 4 1
2 1
4 4 44 16 4 4 2 4
2 2 2
2 4
2 4
x x y
x x y
yx
yy
x
y
y
y
![Page 308: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/308.jpg)
2 2 4
2 4
x y
x y
2 2 4x y
![Page 309: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/309.jpg)
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
3. Extensión
b) En el eje
Despejando de la ecuación
4 0 tenemos
2 4
Por lo tanto, necesa 4riamente
Y
y
x
x x y
x y
![Page 310: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/310.jpg)
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
3. Extensión
La variable puede tomar cualquier
valor real.
La variable tiene que ser mayor o
igual a menos 4.
Es decir,
e 4
x
y
y
x R
![Page 311: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/311.jpg)
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
4. Asíntotas
4
2 4
Por lo tanto, esta curva
no tiene asíntotas.
y x x
x y
![Page 312: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/312.jpg)
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntos
![Page 313: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/313.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 1
x y0.00 0.00
0.25 -0.25
0.50 -0.94
0.75 -1.93
1.00 -3.00
1.25 -3.81
1.50 -3.94
1.75 -2.87
2.00 0.00
2.25 5.38
2.50 14.06
4 26. Construcción de la curva 4 0x x y
![Page 314: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/314.jpg)
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00 4 26. Construcción de la curva 4 0x x y
![Page 315: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/315.jpg)
4 26. Construcción de la curva 4 0x x y
![Page 316: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/316.jpg)
2 2
Construir la curva
cuya ecuación es
3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
Ejercicio 21, parágrafo 19, página 47
![Page 317: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/317.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el
Hacemos 0 en la ecuación
3 2
lo que nos lleva a
3 2
X
y
x y x xy x
x x
2 2 3 2x y x xy x
![Page 318: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/318.jpg)
2 3 2x x
¡Hay que resolver esta ecuación de segundo grado!
![Page 319: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/319.jpg)
2 3 2x x
2
2
2
2
¡Hay que resolver esta
ecuación de segundo grado!
3 2
3 2
0 2 3
3 2 0
x x
x x
x x
x x
![Page 320: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/320.jpg)
2 23 2 3 2 0x x x x
¡Hay que resolver esta
ecuación de segundo grado!
a) Se puede hacer mediante la fórmula
general de la ecuación de segundo grado.
b) Se puede hacer mediante factorización
![Page 321: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/321.jpg)
2
2
2
0
4
2
3 2 0
ax bx c
b b acx
a
x x
Ecuación de segundo grado
![Page 322: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/322.jpg)
22 4
3 2 0 2
b b acx x x
a
2
1
2
2
1
2
3 2 0
3 3 4 1 2
2 1
3 9 8 3 1 3 1
2 2 23 1 4 3 1 2
2 ;
2
12 2 ;
2 1
2
x x
x
x x
x x
![Page 323: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/323.jpg)
2
2
2
1 2
3 2 0
3 2 2 1 0
2 0 1 0
2 1
x a x b x a b x ab
x x
x x x x
x x
x x
El producto de dos binomios con un
término en común
![Page 324: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/324.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2
2
1 2
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el
Hacemos 0 en la ecuación 3 2
lo que nos lleva a 3 2
ó bien 3 2 0
que se factoriza como 2 1 0
Tenemos por tanto dos raices:
1, 2
X
y x y x xy x
x x
x x
x x
x x
2 2 3 2x y x xy x
![Page 325: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/325.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el
La gráfica intersecta al eje en 1 y 2
X
X
2 2 3 2x y x xy x
![Page 326: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/326.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
1. Intersecciones con los ejes.
b) Con el
Hacemos 0 en la ecuación
3 2
lo que nos lleva a 0 2 que no
se satisface para ningún va
Por tanto, la gráfica n
lor de .
o intersecta al eje .
Y
x
x y x xy x
y
Y
2 2 3 2x y x xy x
![Page 327: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/327.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
1. Intersecciones con los ejes.
b) Con el
La gráfica no intersecta al eje .
Y
Y
2 2 3 2x y x xy x
![Page 328: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/328.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2
2 2
2
2. Simetrías
a) Con respecto al eje . Cambiar
La ecuación 3 2
cambia a la ecuación
3 2
cuando intercambiamos por
3 2
:
X y y
x y x xy x
x y x
x
x y x
y y
y x xy x
2 2 3 2x y x xy x
![Page 329: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/329.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2 2
2. Simetrías
a) Con respecto al eje . Cambiar
La ecuación 3 2
cambia a la ecuación
3 2
Por lo tan LA GRÁFICA NO ES
SIMÉTRICA RESPECTO AL
to,
.EJE
X y y
x y x xy x
x y x xy x
X
2 2 3 2x y x xy x
![Page 330: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/330.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2 2
2 2
2. Simetrías
a) Con respecto al eje :
La ecuación 3 2
cambia a la ecuación
3 2
o se
3 2
a
Y x x
x y x xy x
x y x x y x
x y x xy x
2 2 3 2x y x xy x
![Page 331: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/331.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2 2
2. Simetrías
a) Con respecto al eje :
La ecuación 3 2
cambia a la ecuació
LA GRÁFICA NO ES
SIMÉTRICA RESPE
n
3 2
cuando intercambiamos por .
Por lo
CTO AL EJE .
tanto,
Y x x
x y x xy x
x y x xy
y y
Y
x
2 2 3 2x y x xy x
![Page 332: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/332.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2 2
2 2
2. Simetrías
c) Con respecto al origen
La ecuación 3 2 cambia a la ecuación
3 2
3 2
cuando intercambiamos por y po
LA GRÁFICA NO ES
SIMÉTRI
r .
Por lo tanto,
x y x xy x
x y x x y x
x y x xy x
x x y y
CA RESPECTO AL ORIGEN.
2 2 3 2x y x xy x
![Page 333: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/333.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2. Simetrías
La gráfica no tiene ninguna simetría.
No es simétrica
ni con respecto al eje ,
ni con respecto al eje ,
ni con respecto al origen .
X
Y
O
2 2 3 2x y x xy x
![Page 334: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/334.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
3. Extensión
a) En el eje
Debemos despejar a como función de ,
en la ecuación
3 2
X
y x
x y x xy x
2 2 3 2x y x xy x
![Page 335: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/335.jpg)
2 2
2 2
2 2
2
2
3 2
3 2
3 2
3 2
x y x xy x
x y xy x x
y x x x x
x xy
x x
![Page 336: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/336.jpg)
2
2
3 2
2 1
1
x xy
x x
x xy
x x
2 2 3 2x y x xy x
![Page 337: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/337.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
3. Extensión
a) En el eje
Despejando de la ecuación 3 2
2 1tenem
cualquier valor de es posible menos
os 1
Por tanto,
0
y .1
X
y x y x xy x
x xy
x x
x
2 2 3 2x y x xy x
![Page 338: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/338.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
3. Extensión
b) En el eje
Debemos despejar como función de
en la ecuación
3 2
Y
x y
x y x xy x
2 2 3 2x y x xy x
![Page 339: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/339.jpg)
2 2
2
3 2
1 3 2 0
1
x y x xy x
y x y x
y
![Page 340: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/340.jpg)
2
2
2
0
4
2
1 3 2 0
ax bx c
b b acx
a
y x y x
Ecuación de segundo grado
![Page 341: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/341.jpg)
2
2 2
2
2
2
2
3 2
1 3 2 0
3 3 4 1 2
2 1
3 6 9 8 1
2 1
3 6 9 8 8
2
3 14 1
2 11
x y x xy x
y x y x
y y yx
y
y y
y y
y y
y
y y y y
y
y
y
![Page 342: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/342.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2
3. Extensión
b) En el eje
Despejando de la ecuación
3 2
tenemos
3 14 1 si 1
2 1
Y
x
x y x xy x
y y yx y
y
2 2 3 2x y x xy x
![Page 343: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/343.jpg)
23 14 1
si 12 1
y y yx y
y
2 14 1 0y y
2
2
14 1 0
14 14 4 1 1 14 196 4
2 1 2
14 192
2
y y
y
![Page 344: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/344.jpg)
192 2
96 2
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1
![Page 345: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/345.jpg)
192 2
96 2
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1
66 322 3 2 3 2 3 8 3
![Page 346: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/346.jpg)
23 14 1
si 12 1
y y yx y
y
2 14 1 0y y
2
2
14 1 0
14 14 4 1 1 14 196 4
2 1 2
14 192 14 8 37 4 3
2 2
y y
y
![Page 347: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/347.jpg)
23 14 1
si 12 1
y y yx y
y
2 14 1 0y y
2
1 2
1 2
14 1 0
7 4 3 7 4 3
0.072 13.928
y y
y y
y y
![Page 348: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/348.jpg)
2
2 2
1 2
1 2
3 14 1 si 1
2 1
14 1 0 14 1 0
7 4 3 7 4 3
0.072 13.928
y y yx y
y
y y y y
y y
y y
210 14 10 1 100 140 1 39 0
![Page 349: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/349.jpg)
-20 121 0 1-19 96 1 16-18 73 2 33-17 52 3 52-16 33 4 73-15 16 5 96-14 1 6 121-13 -12 7 148-12 -23 8 177-11 -32 9 208-10 -39 10 241
-9 -44 11 276-8 -47 12 313-7 -48 13 352-6 -47 14 393-5 -44 15 436-4 -39 16 481-3 -32 17 528-2 -23 18 577-1 -12 19 628
2 14 1y y
![Page 350: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/350.jpg)
-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4
-40
-20
20
40
60
80
100
120
y
y
2 14 1y y
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Construcción de curvas. Ejemplo 2
2
2
3. Extensión
b) En el eje
3 14 1Despejando tenemos
2 1
Así que sólo son posibles los valores de que hacen que
14 1 0.
Esos son lo , 7 4 3 7s 4 3, y
Y
y y yx x
y
y
y y
2 2 3 2x y x xy x
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Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
3. Extensión
b) En el eje
En el caso de 1 tenemos que la ecuación
3 2
se transforma en
4 2
1ó sea y es posible el valor 1
2
Y
y
x y x xy x
x
x y
2 2 3 2x y x xy x
![Page 353: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/353.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
3. Extensión
La extensión de la curva es
,
, 7 4 3 7 4 3,
x
y
2 2 3 2x y x xy x
![Page 354: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/354.jpg)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
x
y
![Page 355: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/355.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
4. Asíntotas
a) Asíntotas verticales
Despejando de la ecuación 3 2
2 1tenemos
1
Es claro de lo que ya hemos es tenemos
dos asíntotas verticales
tudiado que
0 y 1.
y x y x xy x
x xy
x x
x x
2 2 3 2x y x xy x
![Page 356: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/356.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2
4. Asíntotas
a) Asíntotas horizontales
Despejando de la ecuación 3 2
tenemos
3 14 1
2 1
Por lo tanto, es claro que tenemos
una asíntota horizon l 1.ta
x x y x xy x
y y yx
y
y
2 2 3 2x y x xy x
![Page 357: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/357.jpg)
![Page 358: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/358.jpg)
5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntos
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2
3 2
3 2
1
x y x xy x
x xy
x x
![Page 359: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/359.jpg)
x y X Y x y x y-10.00 1.47 -5.00 2.10 0.00 NO 5.00 0.40
-9.75 1.48 -4.75 2.18 0.25 4.20 5.25 0.42-9.50 1.50 -4.50 2.27 0.50 1.00 5.50 0.44-9.25 1.51 -4.25 2.38 0.75 0.24 5.75 0.46-9.00 1.53 -4.00 2.50 1.00 0.00 6.00 0.48-8.75 1.55 -3.75 2.65 1.25 -0.07 6.25 0.49-8.50 1.56 -3.50 2.83 1.50 -0.07 6.50 0.51-8.25 1.59 -3.25 3.05 1.75 -0.04 6.75 0.52-8.00 1.61 -3.00 3.33 2.00 0.00 7.00 0.54-7.75 1.63 -2.75 3.70 2.25 0.04 7.25 0.55-7.50 1.66 -2.50 4.20 2.50 0.09 7.50 0.56-7.25 1.68 -2.25 4.91 2.75 0.13 7.75 0.57-7.00 1.71 -2.00 6.00 3.00 0.17 8.00 0.58-6.75 1.75 -1.75 7.86 3.25 0.20 8.25 0.59-6.50 1.78 -1.50 11.67 3.50 0.24 8.50 0.60-6.25 1.82 -1.25 23.40 3.75 0.27 8.75 0.61-6.00 1.87 -1.00 NO 4.00 0.30 9.00 0.62-5.75 1.92 -0.75 -25.67 4.25 0.33 9.25 0.63-5.50 1.97 -0.50 -15.00 4.50 0.35 9.50 0.64-5.25 2.03 -0.25 -15.00 4.75 0.38 9.75 0.65
![Page 360: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/360.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
6. Construcción de la curva
3 2x y x xy x
![Page 361: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/361.jpg)
![Page 362: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/362.jpg)
2 2 3 2x y x xy x
![Page 363: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/363.jpg)
2 2 3 2x y x xy x
![Page 364: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/364.jpg)
2 2 3 2x y x xy x
![Page 365: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/365.jpg)
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
y
![Page 366: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/366.jpg)
2 2 2 2
Construir la curva
cuya ecuación es
4 4 0x y x y
Construcción de curvas. Ejemplo 3
Ejercicio 23, parágrafo 19, página 47
![Page 367: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/367.jpg)
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
2
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el
Hacemos 0 en la ecuación 4 4 0
lo que nos lleva a 4 0.
Por tanto, la curva intersecta al eje únicamente
en el origen; es decir, en 0.
X
y x y x y
x
X
x
![Page 368: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/368.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 3
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el
La gráfica intersecta al eje en 0
X
X
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
![Page 369: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/369.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
2
1. Intersecciones con los ejes.
b) Con el
Hacemos 0 en la ecuación 4 4 0
lo que nos lleva a 4 0
Tenemos una raíz: 0
Por lo tanto, la curva intersecta al eje
únicamente en el origen.
Y
x x y x y
y
y
Y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
![Page 370: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/370.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 3
1. Intersecciones con los ejes.
b) Con el
La gráfica intersecta al eje en 0
Y
Y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
![Page 371: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/371.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
2 22 2
2 2 2 2
2. Simetrías
a) Con respecto al eje : por .
La ecuación 4 4 0 queda
4 4 0
ó sea
4 4 0
X y y
x y x y
x y x y
x y x y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
![Page 372: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/372.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
2. Simetrías
a) Con respecto al eje
La ecuación 4 4 0
no cambia cuando in
L
tercambiamos
por .
Por lo tanto, A GRÁFICA SÍ ES
SIMÉTRICA RESPECTO AL .EJE
X
x y x y
y y
X
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
![Page 373: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/373.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
2 22 2
2 2 2 2
2. Simetrías
b) Con respecto al eje : por .
La ecuación 4 4 0 cambia a
4 4 0
que da
4 4 0
Y x x
x y x y
x y x y
x y x y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
![Page 374: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/374.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
2. Simetrías
b) Con respecto al eje
La ecuación 4 4 0
NO cambia cuando intercambiamos
por .
Por lo tanto, LA GRÁFICA ES
SIMÉTRICA RESPECTO AL EJ
E .
Y
x y x
x x
Y
y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
![Page 375: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/375.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2. Simetrías
c) Con respecto al origen : por e por .
La ecuación 4 4 0
cambia a la ecuación
4 4 0
que da
4 4 0
x x y y
x y x y
x y x y
x y x y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
![Page 376: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/376.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
2. Simetrías
c) Con respecto al origen
La ecuación 4 4 0
NO cambia cuando intercambiamos
por e por .
Por lo tant LA GRÁFICA ES
SIMÉTRICA RESP
o,
ECTO AL ORIGEN
.
x y x y
x x y y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
![Page 377: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/377.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2. Simetrías
La curva es simétrica respecto
al eje , respecto al eje y
respecto al origen .
X Y
O
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
![Page 378: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/378.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
3. Extensión
a) En el eje
Debemos despejar
como función de
en la ecuación
4 4 0
X
y x
x y x y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
![Page 379: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/379.jpg)
2 2 2 2
2
4 4 0
Si 0, queda
4 0
por t
¡El valor 0 sí es perm
anto
i id
0
t o!x
x y x y
x
y
y
![Page 380: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/380.jpg)
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
22
2
2
2
2
4 4 0
2
4 4
4
4
4
4
4
4
4
x y x y
x y y x
x y x
xy
x
xy
xx
yx
Si 0 x
![Page 381: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/381.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
2
2
3. Extensión
a) En el eje
De la ecuación 4 4 0 tenemos
2
4
Sólo las tales que 4 0
X
x y x y
xy
x
x x
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
![Page 382: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/382.jpg)
2
2
4 0
4
2 y 2
x
x
x x
![Page 383: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/383.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 3
3. Extensión
a) En el eje
2 y 2
, 2 2,
X
x x
x
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
![Page 384: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/384.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
3. Extensión
b) En el eje
Debemos despejar de la ecuación
4 4 0
Y
x
x y x y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
![Page 385: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/385.jpg)
2 2 2 2
2
4 4 0
Si 0, queda
4 0
por t
¡El valor 0 sí es perm
anto
i id
0
t o!y
x y x y
y
x
x
![Page 386: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/386.jpg)
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
2
2
2
22
2
2
4
4 4 0
4 4
4 4
4
4
4
4
x y x y
x y x y
x y y
yx
y
yx
y
yx
y
Si 0 y
![Page 387: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/387.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2 2 2 2
2
2
3. Extensión
a) En el eje
De la ecuación 4 4 0 tenemos
2
4
Sólo las tales que 4 0
Y
x y x y
yx
y
y y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
![Page 388: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/388.jpg)
2
2
4 0
4
2 y 2
y
y
y y
![Page 389: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/389.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 3
3. Extensión
a) En el eje
2 y 2
, 2 2,
Y
y y
y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
![Page 390: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/390.jpg)
![Page 391: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/391.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2
4. Asíntotas verticales
Primero notamos que
2 2
2 24
Aunque los factores en el denominador no son
lineales (están dentro de la raíz), intuimos que
las rectas 2 y 2 son asíntotas verticales.
x xy
x xx
x x
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
![Page 392: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/392.jpg)
2
2 2
2 2
2 24
2 22
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 22 2
x xy
x xx
x xx
x x x x
x x x x x x
x xx x
![Page 393: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/393.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 3
4. Asíntotas verticales
2 2 2
2 2
La recta 2 es una asíntota.
Efectivamente, conforme se
aproxima al número 2 por la
derecha, crece sin límite.
x x xy
x x
x
x
y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
![Page 394: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/394.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 3
4. Asíntotas verticales
2
2 2
La recta 2 es una asíntota.
Efectivamente, conforme se
aproxima al número 2 por la
derecha, crece sin límite.
xy
x x
x
x
y
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
![Page 395: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/395.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 3
2
4. Asíntotas horizontales
Primero notamos que
2 2 22 2
2 22 24
Aunque los factores en el denominador no son
lineales (están dentro de la raíz), intuimos que
las rectas 2 y 2 son asínto
y y yy yx
y yy yy
y y
tas horizontales.
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
![Page 396: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/396.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 3
4. Asíntotas verticales
2
2 2
La recta 2 es una asíntota.
Efectivamente, conforme se
aproxima al número 2 por la
derecha, crece sin límite.
yx
y y
y
y
x
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
![Page 397: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/397.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 3
4. Asíntotas verticales
2
2 2
La recta 2 es una asíntota.
Efectivamente, conforme se
aproxima al número 2 por la
derecha, crece sin límite.
yx
y y
y
y
x
2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y
![Page 398: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/398.jpg)
![Page 399: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/399.jpg)
5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntosx y
2.001 63.27 2.002 44.75 2.003 36.56 2.004 31.67 2.005 28.34 2.006 25.88 2.007 23.97 2.008 22.43 2.009 21.15 2.010 20.07 2.011 19.15 2.012 18.34 2.013 17.63 2.014 16.99 2.015 16.42 2.016 15.91 2.017 15.44 2.018 15.01 2.019 14.61 2.020 14.25
-
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
2.00
1 2.
002
2.00
3 2.
004
2.00
5 2.
006
2.00
7 2.
008
2.00
9 2.
010
2.01
1 2.
012
2.01
3 2.
014
2.01
5 2.
016
2.01
7 2.
018
2.01
9 2.
020
![Page 400: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/400.jpg)
5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntosx y
2.02 14.25 2.03 11.68 2.04 10.15 2.05 9.11 2.06 8.35 2.07 7.76 2.08 7.28 2.09 6.89 2.10 6.56 2.11 6.28 2.12 6.03 2.13 5.81 2.14 5.62 2.15 5.45 2.16 5.30 2.17 5.15 2.18 5.03 2.19 4.91 2.20 4.80 2.21 4.70
-
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
14.00
16.00
2.02
2.
03
2.04
2.
05
2.06
2.
07
2.08
2.
09
2.10
2.
11
2.12
2.
13
2.14
2.
15
2.16
2.
17
2.18
2.
19
2.20
2.
21
![Page 401: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/401.jpg)
5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntosx y
2.3 4.05 2.4 3.62 2.5 3.33 2.6 3.13 2.7 2.98 2.8 2.86 2.9 2.76 3.0 2.68 3.1 2.62 3.2 2.56 3.3 2.51 3.4 2.47 3.5 2.44 3.6 2.41 3.7 2.38 3.8 2.35 3.9 2.33 4.0 2.31 4.1 2.29 4.2 2.27
-
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2
![Page 402: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/402.jpg)
2 2 2 26. Construcción de la curva 4 4 0x y x y
-
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00 2.
100
3.10
0 4.
100
5.10
0 6.
100
7.10
0 8.
100
9.10
0 10
.100
11
.100
12
.100
13
.100
14
.100
15
.100
16
.100
17
.100
18
.100
19
.100
20
.100
21
.100
22
.100
23
.100
24
.100
25
.100
26
.100
27
.100
28
.100
29
.100
30
.100
![Page 403: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/403.jpg)
![Page 404: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/404.jpg)
2 2 2 26. Construcción de la curva 4 4 0x y x y
![Page 405: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/405.jpg)
![Page 406: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/406.jpg)
2 2 2 26. Construcción de la curva 4 4 0x y x y
![Page 407: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/407.jpg)
3 2 2
Construir la curva
cuya ecuación es
2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
Ejercicio 24, parágrafo 19, página 47
![Page 408: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/408.jpg)
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
3
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el
Hacemos 0 en la ecuación 2 0
lo que nos lleva a 0.
Por tanto, la curva intersecta al eje únicamente
en el origen; es decir, en 0.
X
y x xy y
x
X
x
![Page 409: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/409.jpg)
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el
La gráfica intersecta al eje en 0
X
X
![Page 410: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/410.jpg)
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
2
1. Intersecciones con los ejes.
b) Con el
Hacemos 0 en la ecuación 2 0
lo que nos lleva a 2 0
Tenemos una raíz: 0
Por lo tanto, la curva intersecta al eje
únicamente en el origen.
Y
x x xy y
y
y
Y
![Page 411: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/411.jpg)
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
Construcción de curvas. Ejemplo 4
1. Intersecciones con los ejes.
b) Con el
La gráfica intersecta al eje en 0
Y
Y
![Page 412: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/412.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
2 23
3 2 2
2. Simetrías
a) Con respecto al eje : por .
La ecuación 2 0 queda
2 0
ó sea
2 0.
X y y
x xy y
x x y y
x xy y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
![Page 413: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/413.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
2. Simetrías
a) Con respecto al eje
La ecuación 2 0
no cambia cuando int
LA
ercambiamos
por .
Por lo tanto GRÁFICA SÍ ES
SIMÉTRICA RESPECTO AL EJE
,
.
X
x xy y
y
X
y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
![Page 414: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/414.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
3 2 2
3 2 2
2. Simetrías
b) Con respecto al eje : por .
La ecuación 2 0 cambia a
2 0
que da
2 0.
Y x x
x xy y
x x y y
x xy y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
![Page 415: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/415.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
3 2 2
2. Simetrías
b) Con respecto al eje
La ecuación 2 0
cambia a la ecuación
2 0
cuando intercambiamos por .
Por lo LA GRÁFICA NO ES
SIMÉTRICA RESPECTO AL EJ
tanto
.E
,
Y
x xy y
x xy y
x
Y
x
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
![Page 416: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/416.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
3 2 2
3 2 2
2. Simetrías
c) Con respecto al origen : por e por .
La ecuación 2 0
cambia a la ecuación
2 0
que da
2 0
x x y y
x xy y
x x y y
x xy y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
![Page 417: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/417.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
3 2 2
2. Simetrías
c) Con respecto al origen
La ecuación 2 0
cambia a la ecuación
2 0
cuando intercambiamos por e por .
Por LA GRÁFICA NO ES
SIMÉTRICA RESPECTO AL ORI
lo tanto,
GEN.
x xy y
x xy y
x x y y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
![Page 418: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/418.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 4
2. Simetrías
La única simetría que tiene esta
gráfica es respecto al eje .
No es simétrica ni respecto al eje ,
ni respecto al origen .
X
Y
O
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
![Page 419: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/419.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
3. Extensión
a) En el eje
Debemos despejar
como función de
en la ecuación
2 0
X
y x
x xy y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
![Page 420: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/420.jpg)
3 2 2
2
2 0
Si 0, queda
2 0
por ta
¡El valor 0 sí es per
nto
m ti
0
i do!x
x xy y
x
y
y
![Page 421: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/421.jpg)
3 2 2
3
2 0
Si 2, queda
0
por t
¡El valor 2 NO es permitido!
anto
x xy y
x
x
x
![Page 422: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/422.jpg)
3 2 2
3 2
3 2
3
32
3
2 0
2 0
2
2
2
2
x xy y
x y x
x y x
xy
x
x
x
x
xy
y
Si 0
y
2
x
x
![Page 423: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/423.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
3 2 2 2
3
3. Extensión
a) En el eje
De la ecuación 2 0 tenemos
2 2
Si 2 y 0, podemos despejar y tenemos
2Por tanto, no puede tener ningún valor entre
0 y 2, excluyendo el 0 (el
X
x xy y
x xy y x y
x x y
xy
xx
0 si es permitido).
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
![Page 424: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/424.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
2 2
3. Extensión
a) En el eje
Si en la ecuación 2 0 hacemos 2,
tenemos
8 2 2 0
ó sea
8 0
que obviamente es un absurdo.
Por tanto, el valor 2 no debe ser considerado.
X
x xy y x
y y
x
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
![Page 425: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/425.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3. Extensión
a) En el eje
Resumiendo
, 0 2,
X
x
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
![Page 426: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/426.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
3. Extensión
b) En el eje
Debemos despejar de la ecuación
2 0
Y
x
x xy y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
![Page 427: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/427.jpg)
3 2
2 3
2 3
3
La ecuación cúbica
0
tiene las soluciones
3 3donde
2 9 ,
3 27
y 2 4 27
x ax bx c
p ax u
u
a a abp b q c
q q pu
Solución de la ecuación cúbica
![Page 428: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/428.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
Despejar en la ecuación
2 0
es muy complicado, y en realidad
no es necesario, dado que se sabe
que toda ecuación cúbica tiene al
menos una raíz real.
x
x xy y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
![Page 429: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/429.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2
Dicho de otra manera, independientemente
del valor que tome , existe una real que
resuelve la ecuación
2 0
y x
x xy y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
![Page 430: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/430.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3. Extensión
b) En el eje
Por lo tanto puede tomar
cualquier valor.
Y
y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
![Page 431: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/431.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3. Extensión
Tenemos entonces que
,0 2,
y
,
x
y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
![Page 432: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/432.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3
4. Asíntotas
Ya despejamos a como función de ,
y obtuvimos
2
y x
xy
x
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
![Page 433: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/433.jpg)
3 3 3
33
2
3
21
2 2 2 2
22
2 2 2
2
2
x x x xy
x x x x
x xx x
x x x
x x
x
![Page 434: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/434.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3
4. Asíntotas
Primero notamos que
2
2
Haciendo cero los factores lineales del
denominador, encontramos la asíntota vertical
2
x xy
x
x
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
![Page 435: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/435.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3
4. Asíntotas
2
2
La recta 2 es una asíntota.
Efectivamente, conforme se
aproxima al número 2 por la
derecha, crece sin límite.
x xy
x
x
x
y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
![Page 436: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/436.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 4
4. Asíntotas
No existe ninguna asíntota horizontal.
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
![Page 437: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/437.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 4
3 2 2 2 2 2 2
4. Asíntotas
Sin embargo, puede existir asíntotas oblicuas.
Para analizar esa posibilidad escribimos
2 2 2
Vemos que si fijamos , y dejamos crecer tanto como se
quiera, el té
x xy y x x y y x x y x y y
y x
2rmino 2 puede ser "despreciado" y obtenemos
lo cual nos hace pensar que las rectas
0 y 0
sean asíntotas
y
x x y x y
x y x y
3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y
![Page 438: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/438.jpg)
5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntos
3 2 22 0x xy y x y2.01 28.502.02 20.302.03 16.702.04 14.572.05 13.132.06 12.072.07 11.262.08 10.612.09 10.072.10 9.622.11 9.242.12 8.912.13 8.622.14 8.372.15 8.142.16 7.942.17 7.752.18 7.592.19 7.442.20 7.302.21 7.172.22 7.052.23 6.942.24 6.84
![Page 439: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/439.jpg)
5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntos
3 2 22 0x xy y
![Page 440: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/440.jpg)
5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntos
3 2 22 0x xy y
![Page 441: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/441.jpg)
3 2 26. Construcción de la curva 2 0x xy y
![Page 442: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/442.jpg)
3 2 26. Construcción de la curva 2 0x xy y
![Page 443: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/443.jpg)
3 2 26. Construcción de la curva 2 0x xy y
![Page 444: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/444.jpg)
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Ecuaciones
factorizables
![Page 445: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/445.jpg)
El trazado de curvas se puede simplificar
considerablemente para ciertos tipos de
ecuaciones a las que llamaremos ecuaciones
factorizables; es decir , aquellas que pueden
escribirse en forma del producto de dos o
más factores variables igualado a cero .
Ecuaciones factorizables
![Page 446: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/446.jpg)
En general, si la ecuación
, =0
es factorizable; es decir, si , puede
escribirse como el producto de dos o más
factores variables, la gráfica de ,
constará de las gráficas de las ecuaciones
obtenida
f x y
f x y
f x y
s a1 igualar a cero cada uno de estos
factores.
Ecuaciones factorizables
![Page 447: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/447.jpg)
3 3
Trazar la gráfica correspondiente
a la ecuación
, 0f x y x y
Ecuaciones factorizables.
Ejemplo 1
![Page 448: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/448.jpg)
3 3Trazar la gráfica correspondiente a la ecuación ,f x y x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
3 3
2 2
La ecuación
, 0
se factoriza trivialmente como
, 0
f x y x y
f x y x y x xy y
![Page 449: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/449.jpg)
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
3 3
Así que, por lo que acabamos de ver,
la gráfica de será la grafica
de las ecuaciones que resultan al hacer
cada uno de los factores igual a cero.
x y
3 3 2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x xy y
![Page 450: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/450.jpg)
3 3 2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x xy y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
¿La gráfica de 0?x y
![Page 451: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/451.jpg)
3 3 2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x xy y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
¿La gráfica de 0?x y Toda ecuación del tipo
0
es una línea recta.
ax by c
![Page 452: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/452.jpg)
3 3 2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x xy y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
¿La gráfica de 0?x y X y
0 01 -1-1 1
![Page 453: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/453.jpg)
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
0x y
![Page 454: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/454.jpg)
3 3 2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x xy y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
La gráfica de
0
es una recta que pasa por el origen
con pendiente 1; es decir, es una
recta que pasa por el origen y que
hace un ángulo de 135 grados con
el eje .
x y
X
![Page 455: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/455.jpg)
3 3 2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x xy y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
2 2
¿Cuál es la gráfica de
la ecuación
0 ?x xy y
![Page 456: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/456.jpg)
2 2¿Cuál es la gráfica de la ecuación ?x xy y
2
1. Intersecciones.
a) Con el eje X: 0.
Si 0 0 0
Intersecta al eje en 0.
y
y x x
X
![Page 457: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/457.jpg)
2 2¿Cuál es la gráfica de la ecuación ?x xy y
2
1. Intersecciones.
b) Con el eje Y: 0.
Si 0 0 0
Intersecta al eje en 0.
x
x y y
Y
![Page 458: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/458.jpg)
2 2¿Cuál es la gráfica de la ecuación ?x xy y
1. Intersecciones.
La única intersección con
los ejes es el punto 0,0
![Page 459: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/459.jpg)
2 2¿Cuál es la gráfica de la ecuación ?x xy y
22 2 2
2 2
2. Simetrías.
a) Simetría respecto al eje :
0
No es simétrica respecto al eje .
X y y
x xy y x x y y
x xy y
X
![Page 460: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/460.jpg)
2 2¿Cuál es la gráfica de la ecuación ?x xy y
22 2 2
2 2
2. Simetrías.
b) Simetría respecto al eje :
0
No es simétrica respecto al eje .
Y x x
x xy y x x y y
x xy y
Y
![Page 461: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/461.jpg)
2 2¿Cuál es la gráfica de la ecuación ?x xy y
2 22 2
2 2
2. Simetrías.
c) Simetría respecto al eje : y
0
Sí es simétrica respecto al origen .
O x x y y
x xy y x x y y
x xy y
O
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2 2¿Cuál es la gráfica de la ecuación ?x xy y
3. Extensión.
a) En el eje
Despejamos como función de .
X
y x
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2 2
2 2
2
2 2 2 2
2
0
0
4
2
4 1 4
2 1 2
3 3 1 3
2 2 2
x xy y
y xy x
b b acy
a
x x x x x xy
x x x xx
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2 2¿Cuál es la gráfica de la ecuación ?x xy y
3. Extensión.
a) En el eje
Despejamos como función de .
1 3
2
X
y x
y x
![Page 465: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/465.jpg)
2 2¿Cuál es la gráfica de la ecuación ?x xy y
3. Extensión.
a) En el eje
1 3
2Por tanto, únicamente el valor 0
hace posible la ecuacíon anterior y
la extensión en se reduce a 0.
X
y x
x
X x
![Page 466: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/466.jpg)
3 3 2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x xy y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
Efectivamente el punto 0,0 está
ene la gráfica de la ecuación, pero
unicamente ese punto.
La gráfica de la ecuación se reduce
a un único punto, el origen.
![Page 467: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/467.jpg)
3 3 2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x xy y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
3 3
Por tanto, la gráfica de la ecuación
0
es la de la línea recta
0
x y
x y
![Page 468: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/468.jpg)
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
3 3 0x y
![Page 469: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/469.jpg)
2 2
Trazar la gráfica correspondiente
a la ecuación
, 0f x y x y
Ecuaciones factorizables.
Ejemplo 2
![Page 470: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/470.jpg)
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
2 2
La ecuación
, 0
se factoriza como
, 0
f x y x y
f x y x y x y
![Page 471: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/471.jpg)
2 2
Así que, por lo que acabamos de ver,
la gráfica de será la grafica de
las ecuaciones que resultan al hacer
cada uno de los factores igual a cero.
x y
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
![Page 472: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/472.jpg)
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
¿La gráfica de 0?x y
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
![Page 473: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/473.jpg)
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
¿La gráfica de 0?x y Toda ecuación del tipo
0
es una línea recta.
ax by c
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
![Page 474: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/474.jpg)
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
¿La gráfica de 0?x y X y
0 01 -1-1 1
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
![Page 475: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/475.jpg)
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
0x y
![Page 476: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/476.jpg)
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
La gráfica de
0
es una recta que pasa por el origen con
pendiente 1; es decir, es una recta
que pasa por el origen y que hace un
ángulo de 135 grados con el eje .
x y
X
![Page 477: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/477.jpg)
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
¿La gráfica de 0?x y
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
![Page 478: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/478.jpg)
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
¿La gráfica de 0?x y Toda ecuación del tipo
0
es una línea recta.
ax by c
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
![Page 479: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/479.jpg)
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
¿La gráfica de 0?x y X y
0 01 1-1 -1
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
![Page 480: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/480.jpg)
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
0x y
![Page 481: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/481.jpg)
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
La gráfica de
0
es una recta que pasa por el origen con
pendiente 1; es decir, es una recta que
pasa por el origen y que hace un
ángulo de 45 grados con el eje .
x y
X
![Page 482: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/482.jpg)
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
2 2
Por tanto,
la gráfica de la ecuación
0
son dos líneas rectas.
x y
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
![Page 483: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/483.jpg)
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
2 2
Por tanto, la gráfica de la ecuación
0
son dos líneas rectas.
Ambas pasan por el origen,
una hace con el eje un ángulo de 135 grados
y la otra hace con el eje un ángulo de 45 grados
x y
X
X
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
![Page 484: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/484.jpg)
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
2 2 0x y
![Page 485: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/485.jpg)
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Intersección de curvas
![Page 486: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/486.jpg)
Considere un sistema de dos
ecuaciones independientes
, 0 , 0f x y g x y
Intersección de curvas
![Page 487: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/487.jpg)
Si sus gráficas se cortan en
uno ó más puntos, cada uno
de estos puntos se llama
punto de intersección.
Considere un sistema de dos ecuaciones independientes
, 0 , 0f x y g x y
Intersección de curvas
![Page 488: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/488.jpg)
La interpretación analítica de un punto de intersección de las dos gráficas, es que es un punto cuyas coordenadas representan una solución común a las dos ecuaciones
Considere un sistema de dos ecuaciones independientes
, 0 , 0f x y g x y
Intersección de curvas
![Page 489: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/489.jpg)
2 1
3 9
x y
x y
![Page 490: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/490.jpg)
2 1
3 9
5 10
x y
x y
x
![Page 491: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/491.jpg)
2 1 3 9
5 1010
25
x y x y
x
x
![Page 492: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/492.jpg)
2 1 3 9
5 1010
25
2 1 2 2 1 3
x y x y
x
x
y x
![Page 493: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/493.jpg)
2 1 3 9
2 3
x y x y
x y
![Page 494: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/494.jpg)
Encontrar la intersección de las curvas
y 3 92 1x y x y
Intersección de curvas. Ejemplo 1
Ejercicio 11, parágrafo 21, página 49.
![Page 495: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/495.jpg)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
2 1x y
Intersección de curvas. Ejemplo 1
![Page 496: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/496.jpg)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
3 9x y
Intersección de curvas. Ejemplo 1
![Page 497: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/497.jpg)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
3
2 1
9x y
x y
Intersección de curvas. Ejemplo 1
2,3
![Page 498: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/498.jpg)
2 2 2
Encontrar la intersección de las curvas
y 8 2y xx y
Intersección de curvas. Ejemplo 2
Ejercicio 17, parágrafo 21, página 49
![Page 499: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/499.jpg)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y2 2 8x y
Intersección de curvas. Ejemplo 2
![Page 500: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/500.jpg)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y2 2y x
Intersección de curvas. Ejemplo 2
![Page 501: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/501.jpg)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y2 2
2
8
2
x y
y x
Intersección de curvas. Ejemplo 2
2,2
2, 2
![Page 502: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/502.jpg)
2 2 2
Encontrar la intersección de las curvas
y
Hay dos puntos de intersección:
2,2 y
8
2,
2
2
y xx y
Intersección de curvas. Ejemplo 2
Ejercicio 17, parágrafo 21, página 49
![Page 503: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/503.jpg)
2
2
1 2
2 8
2 8 0
2 4 4 1 8 2 36 2 6
2 2 2
2 4
x x
x x
x
x x
Intersección de curvas. Ejemplo 2
2 2 2
Encontrar la intersección de las curvas y 8 2y xx y
![Page 504: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/504.jpg)
1 2
1
2
2 4
2
2 2 4 2
8 No existe
x x
y x
y
y
Intersección de curvas. Ejemplo 2
2 2 2
Encontrar la intersección de las curvas y 8 2y xx y
![Page 505: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/505.jpg)
1 1
2 2
2 2
2 2
x y
x y
Intersección de curvas. Ejemplo 2
2 2 2
Encontrar la intersección de las curvas y 8 2y xx y
![Page 506: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/506.jpg)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y2 2
2
8
2
x y
y x
Intersección de curvas. Ejemplo 2
2,2
2, 2
![Page 507: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/507.jpg)
2 2 22
Encontrar la intersección de las curvas
y 1 4x yx y
Intersección de curvas. Ejemplo 3
Ejercicio 18,parágrafo 21,página 49
![Page 508: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/508.jpg)
2 2 2 21 y 4x y x y
Para encontrar la intersección de
estas dos curvas debemos resolver
las ecuaciones simultaneamente
Intersección de curvas. Ejemplo 3
![Page 509: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/509.jpg)
2 2 2 2
2
1 y 4
Sumando las dos ecuaciones, obtenemos
2 5
5y por tanto,
2
x y x y
x
x
2 2 2 21 y 4x y x y
Intersección de curvas. Ejemplo 3
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2 2 2 2
2
1 y 4
5Sustituyendo en la primera
25
obtenemos 12
5 3que nos da 1
2 2que no existe en los números reales.
x y x y
x
y
y
2 2 2 21 y 4x y x y
Intersección de curvas. Ejemplo 3
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Las dos curvas
no se intersectan,
como es evidente
de sus gráficas.
2 2 2 21 y 4x y x y
Intersección de curvas. Ejemplo 3
![Page 512: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/512.jpg)
2
Encontrar la intersección de las curvas
y 4 0 4 02 yx y x
Intersección de curvas. Ejemplo 0
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22 4 0 y 4 0x y y x
Para encontrar la intersección de
estas dos curvas debemos resolver
las ecuaciones simultaneamente
Intersección de curvas. Ejemplo 0
![Page 514: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/514.jpg)
2
2
1 2
Despejando en la primera: 4 2
Sustituyendo en la segunda: 4 2 4 0
Desarrollando: 4 20 16 0
Factorizando: 4 4 1 0
Tenemos dos soluciones, 1 y 4
y y x
x x
x x
x x
x x
22 4 0 y 4 0x y y x
Intersección de curvas. Ejemplo 0
![Page 515: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/515.jpg)
1
2
De la primera, 4 2
Sustituyendo los valores de
4 2 1 2
y
4 2 4 4
y x
x
y
y
2
1 2
2 4 0 y 4 0
1 y 4
x y y x
x x
Intersección de curvas. Ejemplo 0
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Por tanto,
los puntos de intersección son:
1,2 y 4, 4
22 4 0 y 4 0x y y x
Intersección de curvas. Ejemplo 0
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22 4 0 y 4 0x y y x
4, 4
1,2
Intersección de curvas. Ejemplo 0
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Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricosSegundo problema
fundamental: Encontrar la
ecuación de un lugar geométrico
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En este capítulo haremos un estudio preliminar
de dos problemas fundamentales de la
Geometría Analítica.
I . Dada una ecuación interpretarla geométricamente;
es decir, construir la gráfica correspondiente .
II. Dada una figura geométrica, o la condición que
deben cumplir los puntos de la misma, determinar
su ecuación.
Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica
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Consideremos ahora el segundo
problema fundamental de la
Geometría Analítica:
Dada una figura geométrica,
o la condición que deben cumplir
los puntos de la misma, determinar
su ecuación.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
![Page 521: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/521.jpg)
Una figura geométrica ,
tal como una curva ,
generalmente se da
por su definición.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
![Page 522: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/522.jpg)
Por definición de un objeto entendemos
una descripción de ese objeto, de tal
naturaleza que sea posible identificarlo
de una manera definida entre todos los
demás objetos de su clase.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
![Page 523: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/523.jpg)
Debemos observar cuidadosamente lo que
implica este enunciado: expresa una
condición necesaria y suficiente para la
existencia del objeto definido.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométricoPor definición de un objeto entendemos una descripción de
ese objeto, de tal naturaleza que sea posible identificarlo de
una manera definida entre todos los demás objetos de su clase.
![Page 524: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/524.jpg)
Así , consideremos que estamos definiendo una
curva plana del tipo por medio de una
propiedad , que únicamente posee . Entonces,
entre todas las curvas planas, una curva es del
tipo si y solamente s
C
P C
C i posee la propiedad .P
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométricoEste enunciado expresa una condición necesaria y
suficiente para la existencia del objeto definido.
![Page 525: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/525.jpg)
Como un ejemplo especifico, consideremos una
curva plana muy conocida: la circunferencia.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
![Page 526: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/526.jpg)
Definimos una circunferencia como una
curva plana que posee la propiedad única ,
que todos sus puntos están a igual distancia
de un punto fijo en su plano.
P
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométricoComo un ejemplo especifico, consideremos una
curva plana muy conocida: la circunferencia.
![Page 527: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/527.jpg)
Esto significa que toda circunferencia
tiene la propiedad , y reciprocamente,
toda curva plana que tenga la
propiedad es una circunferencia.
P
P
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométricoDefinimos una circunferencia como una curva plana
que posee la propiedad única , que todos sus puntos
están a igual distancia de un punto fijo en su plano.
P
![Page 528: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/528.jpg)
Para una curva , dar la condición que
deben cumplir sus puntos es dar una
ley a la cual deben obedecer todos
los puntos de la curva.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
![Page 529: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/529.jpg)
Esto significa que todo punto de la
curva debe satisfacer la ley particular
de la curva.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométricoPara una curva , dar la condición que deben
cumplir sus puntos es, dar una ley a la cual
deben obedecer todos los puntos de la curva.
![Page 530: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/530.jpg)
De acuerdo con esto se define
frecuentemente una curva como
el lugar geométrico descrito por
un punto que se mueve siguiendo
una ley específica.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
![Page 531: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/531.jpg)
Así, una circunferencia puede definirse como
el lugar geométrico de un punto que se mueve
en un plano de tal manera que su distancia a
un punto fijo de ese plano es constante.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométricoDe acuerdo con esto se define frecuentemente una
curva como el lugar geométrico descrito por un
punto que se mueve siguiendo una ley específica.
![Page 532: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/532.jpg)
Un lugar geométrico no debe satisfacer
necesariamente una sola condición;
puede satisfacer dos ó más condiciones.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
![Page 533: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/533.jpg)
Podemos tener una curva que sea el lugar
geométrico de un punto que se mueve de
tal manera que:
1 ) Pasa por un punto dado.
2) Se conserva siempre a una distancia
constante de una recta dada.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
![Page 534: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/534.jpg)
Definición:
Una curva es el lugar geométrico de
todos aquellos puntos, y solamente de
aquellos puntos, que satisfacen una o
más condiciones geométricas dadas.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
![Page 535: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/535.jpg)
i) Se debe observar que esta definición implica
que la condición o condiciones dadas sean
necesarias y suficientes para la existencia de
la curva.
ii) Esta definición debe también compararse
con la definición 1 del artículo 14, que
presentamos a continuación:
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
![Page 536: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/536.jpg)
Definición 1: El conjunto de los puntos,
y solamente de aquellos puntos, cuyas
coordenadas s
gráfica de la e
atisfagan una ecuación
, =0
se llama o,
bien, su
cuación
lugar geométr co .i
f x y
Primer problema fundamental: La gráfica de
una ecuación
![Page 537: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/537.jpg)
En este articulo hemos estudiado
el problema desde un punto
de vista puramente geométrico.
En el siguiente, consideraremos la
interpretación analítica.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
![Page 538: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/538.jpg)
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Ecuación de un lugar
geométrico
![Page 539: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/539.jpg)
Ecuación de un lugar geométrico
Estudiaremos ahora el problema de la
determinación de la ecuación de un
lugar geometrico en el caso que la
interpretación analítica de la condición
o condiciones geometricas definen el
lugar geométrico.
![Page 540: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/540.jpg)
Ecuación de un lugar geométrico
El método es el indicado claramente
por las dos definiciones previas
siguientes:
![Page 541: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/541.jpg)
Definición 1: El conjunto de los puntos,
y solamente de aquellos puntos, cuyas
coordenadas s
gráfica de la e
atisfagan una ecuación
, =0
se llama o,
bien, su
cuación
lugar geométr co .i
f x y
Primer problema fundamental: La gráfica de
una ecuación
![Page 542: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/542.jpg)
Definición:
Una curva es el lugar geométrico de
todos aquellos puntos, y solamente
de aquellos puntos, que satisfacen
una o más condiciones geométricas
dadas.
Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un
lugar geométrico
![Page 543: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/543.jpg)
Ecuación de un lugar geométrico
Combinando estas dos definiciones
tenemos una nueva:
![Page 544: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/544.jpg)
Definición:
Se llama ecuación de un lugar geométrico plano a una
ecuación de la forma
, 0
cuyas soluciones reales para valores correspondientes
de e son todas coordenadas de aquellos puntos,
y solam
f x y
x y
ente de aquellos puntos, que satisfacen la
condición o condiciones geométricas dadas que
definen el lugar geométrico.
Ecuación de un lugar geométrico
![Page 545: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/545.jpg)
Ecuación de un lugar geométrico
Nótese que esta definición expresa una
condición necesaria y suficiente
para que , 0 sea la ecuación de un
lugar geométrico.
f x y
![Page 546: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/546.jpg)
Ecuación de un lugar geométrico
De acuerdo con esto, el procedimiento
para obtener la ecuación de un lugar
geométrico es esencialmente como sigue :
Definición:
Se llama ecuación de un lugar geométrico plano a una ecuación de la forma
, 0
cuyas soluciones reales para valores correspondientes de e son todas
coordenadas de aquellos puntos, y s
f x y
x y
olamente de aquellos puntos, que
satisfacen la condición o condiciones geométricas dadas que definen el
lugar geométrico.
![Page 547: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/547.jpg)
1. Se supone que el punto P, de
coordenadas (x, y), es un punto
cualquiera que satisface la condición
ó condiciones dadas, y, por tanto, un
punto del lugar geométrico.
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico
![Page 548: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/548.jpg)
2. Se expresa, analíticamente, la
condición o condiciones geométricas
dadas, por medio de una ecuación o
ecuaciones en las coordenadas
variables x e y.
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico
![Page 549: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/549.jpg)
3. Se simplifica, si hace falta, la
ecuación obtenida en el paso
anterior (2) de tal manera que tome
la forma
f(x,y)=0
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico
![Page 550: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/550.jpg)
4. Se comprueba el reciproco: sean
(x1, y1) las coordenadas de cualquier
punto que satisfacen f(x.y)=0 de tal
manera que:
f(x1 ,y1 )=0
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico
![Page 551: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/551.jpg)
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométricoEn la práctica generalmente se omite el paso 4,
ya que la repetición del trabajo del paso 3 al
paso 2 es, generalmente, inmediata.
Nótese que en el paso 1 que al tomar como
un punto cualquiera del lugar
P
geométrico,
estamos considerando todos los puntos de ese
lugar geométrico.
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14. Un punto se mueve de tal manera que su
distancia al punto 2,4 es siempre igual a
su distancia al eje aumentada en 3.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico.
A
Y
Ecuación de un lugar geométrico.
Ejemplo1
Ejercicio 14, grupo 8, capítulo II. Página 54
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14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto
2,4 es siempre igual a su distancia al eje aumentada en 3.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico.
A Y
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo1
Sea , un punto genérico y arbitrario
del lugar geométrico.
La especificación del lugar geométrico se
escribe, en términos algebráicos, como
, , 2,4 , , 3
P x y
d P x y A d P x y Y
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14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto
2,4 es siempre igual a su distancia al eje aumentada en 3.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico.
A Y
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo1
2 2
Ahora
, , 2,4 , , 3
es
2 4 3
d P x y A d P x y Y
x y x
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14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto
2,4 es siempre igual a su distancia al eje aumentada en 3.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico.
A Y
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo1
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 4 3
Elevando al cuadrado:
2 4 3
Desarrollando los cuadrados:
4 4 8 16 6 9
Pasando todo al primer miembro:
4 4 8 16 6 9 0
x y x
x y x
x x y y x x
x x y y x x
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14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto
2,4 es siempre igual a su distancia al eje aumentada en 3.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico.
A Y
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo1
2 2 2
2 22
2
4 4 8 16 6 9 0
Reduciendo términos seme
4
j
4 16 9
ante
6
s:
8 0
8 10 11 0
x
x x y y x x
y y
y y x
xx x
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14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto
2,4 es siempre igual a su distancia al eje aumentada en 3.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico.
A Y
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo1
2
La ecuación del lugar geométrico es:
8 10 11 0y y x
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2 8 10 11 0y y x
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Un punto se mueve de tal manera que su distancia
del eje es siempre igual a su distancia del punto
4, 0 . Hallar la ecuación de su lugar geométrico.
Y
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 2
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Sea ( , ) un punto cualquiera del lugar geométrico.
Sea el pie de la perpendicular de al eje ,
según el problema, debe satisfacer lacondición
geométrica
P x y
B P Y
P
PB PA
Un punto se mueve de tal manera que su distancia
del eje es siempre igual a su distancia del punto
4, 0 . Hallar la ecuación de su lugar geométrico.
Y
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 2
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2 2
22 2
2 2 2
2
4
4
8 16
8 16 0
PB PA
x x y
x x y
x x x y
y x
Un punto se mueve de tal manera que su distancia
del eje es siempre igual a su distancia del punto
4, 0 . Hallar la ecuación de su lugar geométrico.
Y
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 2
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2 8 16 0y x
Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 2
1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
y 2 8 16 0y x
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Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico. Ejemplo 3Hallar la ecuación del lugar geométrico
de un punto que se mueve de tal manera
que siempre equidista de dos puntos
dados ( 1 ,2) y (4, 1 ).A B
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Hallar la ecuación del lugar geométrico
de un punto que se mueve de tal manera
que siempre equidista de dos puntos
dados ( 1 ,2) y (4, 1 ).A B
![Page 565: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/565.jpg)
![Page 566: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/566.jpg)
![Page 567: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/567.jpg)
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo
3
La ecuación buscada es
5 3 6 0x y
Hallar la ecuación del lugar geométrico
de un punto que se mueve de tal manera
que siempre equidista de dos puntos
dados ( 1 ,2) y (4, 1 ).A B
![Page 568: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/568.jpg)
5 3 6 0x y
![Page 569: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/569.jpg)
Pasos para obtener la ecuación de un lugar
geométrico. Ejemplo 5
![Page 570: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/570.jpg)
2
2
( - 3)² ( -1)² ( / 2)
( - 3)² ( -1)² / 4
( - 3)² ( -1)² / 4 0
(3 / 4) ² - 6 ² - 2 10 0
(3 / 4) ² - 6 ² - 2 10 0
x y x
x y x
x y x
x x y y
x x y y
![Page 571: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/571.jpg)
2 3 4 5 6 7
-1
0
1
2
3
x
y(3 / 4) ² - 6 ² - 2 10 0x x y y
![Page 572: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/572.jpg)
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo
5. Un punto se mueve de tal manera que su
distancia al punto 2,3 es siempre igual a 5.
Hallar la ecuación de su lugar geométrico y
dar una interpretación geométrica.
![Page 573: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/573.jpg)
1. Se supone que el punto P, de coordenadas ( , ) es un
punto cualquzera que satisface la condici6n o condiciones
dadas, y , por tanto, un punto del lu
Sea entonces
gsr geom6tri
, un pu
c
nto genera
o.
l P x y
x y
y arbitrario del
lugar geométrico
![Page 574: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/574.jpg)
. Se expresa , analfticamente , la condici6n o
condiciones geometricas dadas, por medio de
una ecuaci6n o ecuaciones en las coordenadas
variables x y y.
2
En este caso esa condición se escribe
, , 2,3 5d P x y A
2 2
que se expresa como
2 3 5x y
![Page 575: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/575.jpg)
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
3. Se simplifica , si hace falta , la ecuaci6n
obtenida en el paso 2 de tal manera que
tome la forma
En este caso
2 3 5
2 3 25
4 4 6 9 25
4 4 6 9 25
, 0
4 2
0
6 1 0
x y
x y
x x y y
x x
f
y x y
x
x
y
y y
![Page 576: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/576.jpg)
1 14 . Se comprueba el reciproco : sean , las coordenadas de
ctialquier punto que satisfacen (1) de tal manera que la ecuaci6n
es verdadera . Si de (2) se puede deducir la expresi6n analitica de la
cond
x y
2 2
1 1
2 2
1 1
2 21 1 1 1
ici6n o condiciones geometricas dadas, cuando se aplica a1 punto
(XI, yl) , entonces (I) es la ecuaci6
En este caso
n del lugar geo
2 3 5
m6t.rico que se
buscaba
2 3 25
.
4 4 6 9 2
x y
x y
x x y y
2 21 1 1 1
2 21 1 1 1
5
4 4 6 9 25 0
4 6 12 0
x x y y
x y x y
![Page 577: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/577.jpg)
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 5
2 2
Construir la gráfica de la
ecuación
4 6 12 0x y x y
![Page 578: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/578.jpg)
2 2
2
Intersecciones con los ejes
Eje :
Hacemos 0 en la ecuación
4 6 12 0,
y obtenemos
4 12 0
La factorizamos
6 2 0
Las intersecciones del eje son 6 y 2
X
y
x y x y
x x
x x
X
![Page 579: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/579.jpg)
2 2
2
2
Intersecciones con los ejes
Eje :
Hacemos 0 en la ecuación
4 6 12 0,
y obtenemos
6 12 0,
La resolvemos
6 6 4 1 12 6 36 48
2 1 2
6 84 6 4 21 6 2 213 21
2 2 2
Las intersecciones del eje son 3
Y
x
x y x y
y y
y
Y
21 y 3 21
![Page 580: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/580.jpg)
Simetrías
No tiene
![Page 581: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/581.jpg)
2 2
2 2
2 2
2
Extensión
En el eje :
Despejamos como función de ,
de 4 6 12 0,
6 36 4 4 12 6 4 16 84
2 2
6 4 4 21 6 2 4 21
2 2
3 4 21
X
y x
x y x y
x x x xy
x x x x
y x x
![Page 582: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/582.jpg)
Asíntotas
No tiene
![Page 583: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/583.jpg)
2 2 4 6 12 0x y x y
2,3
![Page 584: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/584.jpg)
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo
23. Dos de los vértices de un triángulo son
los puntos fijos (-1,3) y (5,1). Hallar la
ecuación del lugar geométrico del tercer
vértice si se mueve de tal manera que la
pendiente del lado es si
A B
C
AC##############
empre el doble
de la del lado .BC##############
![Page 585: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/585.jpg)
1
2
Solución:
Sea ( , ) un punto cualquiera del lugar geométrico.
3La pendiente del lado es
11
La pendiente del lado es 5
Segun el problema, , debe satisfacer la
condición geomé
P x y
yAP m
xy
BP mx
P x y
##############
##############
1 2trica 2m m
23. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos (-1,3) y (5,1).
Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice si se mueve de
tal manera que la pendiente del lado es
A B
C
AC##############
siempre el doble de la del lado .BC##############
![Page 586: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/586.jpg)
1 2
La condición geométrica especificada,
que la pendiente del lado es siempre
el doble de la del lado ; es decir, que
2
se expresa analíticamente como
3 1=2
1 5
AP
BP
m m
y y
x x
##############
##############
23. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos (-1,3) y (5,1).
Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice si se mueve de
tal manera que la pendiente del lado es
A B
C
AC##############
siempre el doble de la del lado .BC##############
![Page 587: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/587.jpg)
Simplificamos ahora la expresión que
expresa la condición analiticamente,
3 12 0
1 53 5 2 1 1
01 5
3 5 15 2 2 2 20
1 5
y y
x xy x y x
x x
xy x y xy x y
x x
3 1=2
1 5
y y
x x
![Page 588: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/588.jpg)
3 5 15 2 2 2 20
1 5
7
7 17 0
170
1 5
7 17 0
xy x y xy x y
x x
xy x y
x x
x y
xy y
y x
x
3 1=2
1 5
y y
x x
![Page 589: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/589.jpg)
1 1 1
Nos falta comprobar ahora el recíproco, el punto 4
de los pasos que hemos especificado; es decir,
si un punto ( , ) satisface la ecuación
7 17 0
entonces satisface la condición geométrica,
que la
P x y
xy x y
pendiente del lado es siempre el doble de
la del lado .
AP
BP
##############
##############
![Page 590: I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022102621/54d73e37497959bd1d8b5731/html5/thumbnails/590.jpg)
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
Como el punto ( , ) satisface la ecuación
7 17 0
tenemos
7 17 0
Dividimos ambos lados de la ecuación,
7 170
1 5
P x y
xy x y
x y x y
x y x y
x x
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1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 1
1
13 3 5 5 15 1
7 170
1 5
Y ahora separamos las fracciones
7 170
1 5
3 5 15 2 2 2 20
1 5
( 5)( 3) 2( 1)( 1)0
1 5
( 5)(
5
x y x y
x x
x y x y
x x
x y x y x y x y
x x
x y y x
x x
x
x y x y x x y y
y
1 1 1
1 1
3) 2( 1)( 1)0
1 5
y x
x x
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Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 5
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 2
( 5)( 3) 2( 1)( 1)0
1 5
( 5)( 3) ( 1)( 1)2 0
1 5 1 5
3 12 0
1 5
3 12
5
2
1
m m
x y y x
x x
x y y x
x x x x
y y
x x
y y
x x
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Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 5
Construir la gráfica de la
ecuación
7 17 0xy x y
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Construir la gráfica de la ecuación 7 17 0xy x y
la curva intersecta al e
Intersecciones con los ejes
je
Eje :
Hacemos 0 en la ecuación 7 17 0,
17 0
ó sea .
Eje :
Hacemos 0 en l
en 17
la cu
a ecuación
rva intersec
7 17 0,
7 17 0
ó ta sea
X x
X
y xy x y
x
Y
x xy x y
y
al eje en 1 7.7 /Y y
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Construir la gráfica de la ecuación 7 17 0xy x y
l
S
a
im
c
etrí
urva
as
Respec
no es s
to al eje :
Camb
imétrica respec
iando en la ecuación 7 17 0,
obtenemos 7 17 0
ó sea .
Respecto al eje :
Cambiando en la ecuació
to al eje
n 7 1
X
y y xy x y
xy x y
Y
x x xy x
X
y
7 0,
obtenemos 7 17 0
ó sea .
Respecto al origen:
Cambiando y en la ecuación
la curva no es simétrica respecto al eje
la curva no
7 17 0,
obtenemos
es simé
7 17 0
ó ts ce ri a a
xy x y
x x y y xy x y
xy x
Y
y
respecto al origen.
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Construir la gráfica de la ecuación 7 17 0xy x y
puede tomar cualquier valor,
excepto 7
Extensión
En el eje :
Despejamos como función de ,
17
7por lo tanto
En el eje :
Despejamos como función de , 7 17 0,
17 7
1
por lo tanto
.
pued
X
y x
xy
xx
y
Y
x y xy x y
yx
y
e tomar cualquier valor,
excepto 1.
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Construir la gráfica de la ecuación 7 17 0xy x y
Asíntotas
Vérticales
17En la expresión
7hacemos cero el denominador lineal, y obtenemos
para la asíntota vertical.
Horizontales
17 7En la expresión
1
hacemos cero el denominador lineal,
7
x
y
x
yx
yx
y obtenemos
para la asíntota horizon a .
1
t l
y
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