Download - Introducción a los límites con geogebra
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LÍMITES
1) 3
32lim
2
3
x
xx
x
Factorando
lim𝑥→3
(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
𝑥 − 3
Simplificando
lim𝑥→3
𝑥 + 1
1
Evaluando
3 + 1
1= 4
En GeoGebra se procede de la siguiente forma
a) En Entrada escribir la función
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b) Enter
c) En Entrada, escribir las primeras letras de límite, se despliega algunas opciones.
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d) Escoger la opción
e) En Función, escribir f(x). En Valor numérico escribir 3
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f) Enter
g) Clic derecho en a=4 (el cual representa el límite de la función cuando x tiende a 3)
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h) Clic en Propiedades de Objeto
i) En Nombre, escribir límite
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j) Clic en Cerrar ventana de Preferencias
2) xx
xxx
x 9
214lim
3
23
3
Factorando, simplificando y evaluando.
lim𝑥→3
𝑥(𝑥2 + 4𝑥 − 21)
𝑥(𝑥2 − 9)= lim
𝑥→3
𝑥(𝑥 + 7)(𝑥 − 3)
𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)= lim
𝑥→3
(𝑥 + 7)
(𝑥 + 3)=3 + 7
3 + 3=10
6=5
3= 1,67
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3) 122072
128lim
234
23
2
xxxx
xxx
x
Factorando
1 -2 -7 20 -12 1 ±1,±2,±3,±4,±6,±12
1 -1 -8 12
1 -1 -8 12 0
(𝑥 − 1)(𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 12)
Remplazando valores, simplificando y evaluando.
lim𝑥→2
𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 12
(𝑥 − 1)(𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 12)= lim
𝑥→2
1
𝑥 − 1=
1
2 − 1=1
1= 1
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4) 1
23lim
2
1
x
x
x
Multiplicando por la conjugada
lim𝑥→1
√𝑥2 + 3 − 2
𝑥 − 1∙√𝑥2 + 3 + 2
√𝑥2 + 3 + 2= lim
𝑥→1
𝑥2 + 3 − 4
(𝑥 − 1)(√𝑥2 + 3 + 2)
Factorando
lim𝑥→1
𝑥2 − 1
(𝑥 − 1)(√𝑥2 + 3 + 2)= lim
𝑥→1
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(√𝑥2 + 3 + 2)
Simplificando y evaluando
lim𝑥→1
(𝑥 + 1)
(√𝑥2 + 3 + 2)=
1 + 1
√12 + 3 + 2=
2
√4 + 2=
2
2 + 2=2
4=1
2= 0,5
5)x
xx
x
11lim
0
Multiplicando por la conjugada
lim𝑥→0
√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥
𝑥= lim
𝑥→0
√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥
𝑥∙√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥
√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥
Realizando las operaciones
lim𝑥→0
1 + 𝑥 − (1 − 𝑥)
𝑥(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)= lim
𝑥→0
1 + 𝑥 − 1 + 𝑥
𝑥(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)= lim
𝑥→0
2𝑥
𝑥(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)
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lim𝑥→0
2
(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)=
2
(√1 + 0 + √1 − 0)=
2
√1 + √1=
2
1 + 1=2
2= 1
6) 741
63lim
2
x
x
x
lim𝑥→2
3𝑥 − 6
1 − √4𝑥 − 7= lim
𝑥→2
3𝑥 − 6
1 − √4𝑥 − 7∙1 + √4𝑥 − 7
1 + √4𝑥 − 7= lim
𝑥→2
(3𝑥 − 6)(1 + √4𝑥 − 7)
1 − (4𝑥 − 7)
lim𝑥→2
3(𝑥 − 2)(1 + √4𝑥 − 7)
1 − 4𝑥 + 7= lim
𝑥→2
3(𝑥 − 2)(1 + √4𝑥 − 7)
8 − 4𝑥
lim𝑥→2
3(𝑥 − 2)(1 + √4𝑥 − 7)
−4(𝑥 − 2)= lim
𝑥→2
3(1 + √4𝑥 − 7)
−4=3(1 + √4 ∙ 2 − 7)
−4=3(1 + √1)
−4
6
−4= −
3
2
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7) 123
2lim
4
x
x
x
lim𝑥→4
2 − √𝑥
3 − √2𝑥 + 1= lim
𝑥→4
2 − √𝑥
3 − √2𝑥 + 1∙2 + √𝑥
2 + √𝑥∙3 + √2𝑥 + 1
3 + √2𝑥 + 1
lim𝑥→4
(4 − 𝑥)(3 + √2𝑥 + 1)
(2 + √𝑥)(9 − 2𝑥 − 1)= lim
𝑥→4
(4 − 𝑥)(3 + √2𝑥 + 1)
(2 + √𝑥)2(4 − 𝑥)= lim
𝑥→4
(3 + √2𝑥 + 1)
2(2 + √𝑥)
(3 + √2 ∙ 4 + 1)
2(2 + √𝑥)=
3 + √9
2(2 + √4)=
3 + 3
2(2 + 2)=
6
2(4)=3
4= 0,75
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8) 11
11lim
30
x
x
x
Multiplicando por la conjugada
lim𝑥→0
√1 + 𝑥 − 1
√1 + 𝑥3
− 1∙(√1 + 𝑥3
)2+ √1 + 𝑥
3∙ 1 + 12
(√1 + 𝑥3
)2+ √1 + 𝑥
3∙ 1 + 12
∙√1 + 𝑥 + 1
√1 + 𝑥 + 1
lim𝑥→0
(1 + 𝑥 − 1) ((√1 + 𝑥3
)2+ √1 + 𝑥
3+ 1)
(1 + 𝑥 − 1)(√1 + 𝑥 + 1)
lim𝑥→0
(√1 + 𝑥3
)2+ √1 + 𝑥
3+ 1
√1 + 𝑥 + 1=(√1 + 03
)2+ √1 + 0
3+ 1
√1 + 0 + 1
(√13
)2+ √1
3+ 1
√1 + 1=1 + 1 + 1
1 + 1=3
2= 1,5
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9) 1
3lim
34
1
x
xxx
x
Cambiando la variable
𝑥 = 𝑎12
𝑎𝑚𝑛 = √𝑎𝑚
𝑛
813 = √81
3= 2
lim𝑎12→1
√𝑎124
+ √𝑎123
+ √𝑎122
− 3
𝑎12 − 1= lim
𝑎12→1
𝑎124 + 𝑎
123 + 𝑎
122 − 3
𝑎12 − 1
Factorando
lim𝑎12→1
𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎6 − 3
𝑎12 − 1= lim
𝑎12→1
𝑎6 + 𝑎4 + 𝑎3 − 3
𝑎12 − 1
1 0 1 1 0 0 -3 1 ±1,±3
1 1 2 3 3 3
1 1 2 3 3 3 0 (𝑎 − 1)(𝑎5 + 𝑎4 + 2𝑎3 + 3𝑎2 + 3𝑎 + 3)
𝑎12 − 1 = (𝑎6 + 1)(𝑎6 − 1) = (𝑎2 + 1)(𝑎4 − 𝑎2 + 1)(𝑎3 + 1)(𝑎3 − 1) 𝑎12 − 1 = (𝑎2 + 1)(𝑎4 − 𝑎2 + 1)(𝑎 + 1)(𝑎2 − 𝑎 + 1)(𝑎 − 1)(𝑎2 + 𝑎 + 1)
Remplazando
lim𝑎12→1
(𝑎 − 1)(𝑎5 + 𝑎4 + 2𝑎3 + 3𝑎2 + 3𝑎 + 3)
(𝑎2 + 1)(𝑎4 − 𝑎2 + 1)(𝑎 + 1)(𝑎2 − 𝑎 + 1)(𝑎 − 1)(𝑎2 + 𝑎 + 1)
Simplificando
lim𝑎12→1
𝑎5 + 𝑎4 + 2𝑎3 + 3𝑎2 + 3𝑎 + 3
(𝑎2 + 1)(𝑎4 − 𝑎2 + 1)(𝑎 + 1)(𝑎2 − 𝑎 + 1)(𝑎2 + 𝑎 + 1)
Remplazando
𝑎12 = 1
√𝑎1212
= √1212
⇒ 𝑎 = 1
15 + 14 + 2 ∙ 13 + 3 ∙ 12 + 3 ∙ 1 + 3
(12 + 1)(14 − 12 + 1)(1 + 1)(12 − 1 + 1)(12 + 1 + 1)
=1 + 1 + 2 + 3 + 3 + 3
(1 + 1)(1 − 1 + 1)(1 + 1)(1 − 1 + 1)(1 + 1 + 1)=
13
(2)(1)(2)(1)(3)=13
12= 1,08
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10) 1
1523lim
1
x
xxx
x
Evaluando y restando la evaluación
lim𝑥→1
√𝑥 + √3𝑥 − 2 − √5𝑥 − 1
𝑥 − 1= lim
𝑥→1
(√𝑥 − 1) + (√3𝑥 − 2 − 1) − (√5𝑥 − 1 − 2)
𝑥 − 1
Distribuyendo
lim𝑥→1
(√𝑥 − 1)
𝑥 − 1+ lim
𝑥→1
(√3𝑥 − 2 − 1)
𝑥 − 1− lim
𝑥→1
(√5𝑥 − 1 − 2)
𝑥 − 1
Resolviendo el primer límite
lim𝑥→1
(√𝑥 − 1)
𝑥 − 1= lim
𝑥→1
√𝑥 − 1
𝑥 − 1∙√𝑥 + 1
√𝑥 + 1= lim
𝑥→1
𝑥 − 1
(𝑥 − 1)(√𝑥 + 1)= lim
𝑥→1
1
√𝑥 + 1=
1
√1 + 1
lim𝑥→1
(√𝑥 − 1)
𝑥 − 1=1
2
Resolviendo el segundo límite
lim𝑥→1
(√3𝑥 − 2 − 1)
𝑥 − 1= lim
𝑥→1
√3𝑥 − 2 − 1
𝑥 − 1∙√3𝑥 − 2 + 1
√3𝑥 − 2 + 1= lim
𝑥→1
3𝑥 − 2 − 1
(𝑥 − 1)(√3𝑥 − 2 + 1)
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lim𝑥→1
3𝑥 − 3
(𝑥 − 1)(√3𝑥 − 2 + 1)= lim
𝑥→1
3(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(√3𝑥 − 2 + 1)= lim
𝑥→1
3
√3𝑥 − 2 + 1
3
√3 ∙ 1 − 2 + 1=
3
√1 + 1=3
2
Resolviendo el tercer límite
lim𝑥→1
(√5𝑥 − 1 − 2)
𝑥 − 1= lim
𝑥→1
√5𝑥 − 1 − 2
𝑥 − 1∙√5𝑥 − 1 + 2
√5𝑥 − 1 + 2= lim
𝑥→1
5𝑥 − 1 − 4
(𝑥 − 1)(√5𝑥 − 1 + 2)
lim𝑥→1
5𝑥 − 5
(𝑥 − 1)(√5𝑥 − 1 + 2)= lim
𝑥→1
5(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(√5𝑥 − 1 + 2)= lim
𝑥→1
5
√5𝑥 − 1 + 2
5
√5 ∙ 1 − 1 + 2=
5
√4 + 2=5
4
Sumando las tres respuestas
lim𝑥→1
(√𝑥 − 1)
𝑥 − 1+ lim
𝑥→1
(√3𝑥 − 2 − 1)
𝑥 − 1− lim
𝑥→1
(√5𝑥 − 1 − 2)
𝑥 − 1
1
2+3
2−5
4=2 + 6 − 5
4=3
4