Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo nueve UNO - Pandeo.
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Introducción a las Estructuras
Capítulo nueve UNO: Pandeo
1. El pandeo en la construcción.
General.
En el año 1744 Leonhard Euler resuelve el problema del fenómeno de
las barras esbeltas sometidas a cargas de compresión. Las ecuaciones del
problema se conocen como “Ecuaciones de Euler”. La ingeniería en sus on-
das de cientifismo y empirismo quedó prendida del genio matemático de
Euler para resolver la cuestión de las columnas esbeltas.
Es tanto el atractivo que generó esa teoría que la literatura científica
de la construcción denomina “pandeo” también a fenómenos que están muy
lejos de la teoría de Euler. Esta teoría se basa en la hipótesis de barra recta,
material homogéneo y carga concentrada, todo de manera perfecta. Pero la
realidad es otra; no existe una columna de ejes y lados con esas condiciones.
El material de la construcción tampoco es homogéneo, cualquier alteración,
sea un pequeño agujero o un corto cordón de soldadura hace al material im-
perfecto. Por último, lo más difícil, casi imposible de lograr, es centrar carga
sobre la columna.
Con lo anterior queremos explicar que si bien el fenómeno, desde la
teoría se sigue llamando pandeo, desde la realidad es una flexo compresión.
La historia de la ingeniería los destaca como uno de los fenómenos que ma-
yor cantidad de fallas ha causada en la construcción. Antes del advenimiento
de materiales tales como el hormigón armado y el acero, las columnas goza-
ban de buena estabilidad. Porque en general, sus secciones eran robustas por
ser construidas con materiales como la piedra o mamposterías cerámicas
(muros, bóvedas, arcos y otros). La esbeltez de estas piezas resultaba baja y
la rotura solo llegaba con el agotamiento del material.
Pero cuando aparece el hierro a fines del siglo XIX, las secciones de
las piezas estructurales comienzan a elevar su esbeltez. Tal es así que los
primeros grandes desastres y derrumbes en obras de ingeniería, se produje-
ron por los efectos de alguna de las distintas formas que puede presentar el
pandeo o la flexo compresión. Se lo comienza a estudiar no solo desde la
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teoría, sino también dentro de los laboratorios y en con datos obtenidos de la
realidad de las obras.
2. Conceptos. Hasta ahora estuvimos acostumbrados a revisar la geometría de las
piezas desde los datos de su sección transversal:
S → Sección transversal: superficie (cm2).
W → Módulo resistente (cm3).
I → Momento de inercia (cm4).
Ahora en el estudio de las columnas debemos incorporar los datos de
su altura y condiciones de borde.
sk → longitud de pandeo.
i → radio de giro.
e → esbletez.
λ → grado de esbeltez.
Lo hacemos explicando los conceptos desde el inicio para interpretar
mejor el desarrollo.
Longitud de pandeo.
Es la distancia entre los
puntos de inflexión de la
deformada de la columna. Ellas
poseen deferentes condiciones de
apoyos en sus extremos. Por
ejemplo, el puntal que soporta los
encofrados, posee apoyos simples
que el permiten un libre giro, la
columna es articulada en ambos
apoyos.
Situación diferente se
presenta con las columnas de
hormigón armado, que forman
parte de un edificio de varias
plantas. Al existir continuidad
tanto del hormigón como de las
barras de hierro, la columna se
encuentra empotrda en ambos extremos. En estos casos la longitud de
pandeo se reduce.
Otro ejemplo es la columna de un tinglado. Se encuentra empotrada en
el suelo y libre en su extremo superior. .
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Según lo anterior a las columnas podemos clasificarlas según las con-
diciones de borde, de la siguiente manera:
1) Articulada articulada (sk = l):
Gira libremente en ambos extremos y su elástica o deformada tie-
ne la forma indicada en el dibujo. Es una media sinusoide. La lon-
gitud de pandeo es igual a la altura total de la columna.
2) Empotrada empotrada (sk = 0,5 l):
Los giros se encuentran impedidos en ambos extremos. La elástica
se configura mostrando una longitud de pandeo en su parte media
igual a la mitad de la longitud de la anterior.
3) Articulada empotrada (sk = 0,7 l):
Se deforma libremente desde el extremo articulado. La longitud
de pandeo es la dos terceras partes superiores.
4) Empotrada libre (sk = 2 l):
La elástica adquiere una conformación de una longitud doble de
su altura, como vemos la longitud de pandeo también será doble.
Hemos tomado la figura de la elástica del caso articulado articula-
do como unitario y la comparamos con todas las otras situaciones,
obteniendo así las diferentes longitudes de pandeo.
Radio de giro:
Es la raíz cuadrada del cociente entre la inercia de la sección y su su-
perficie, el radio de giro es una distancia y lo analizamos en el capítulo de
Estática de las Formas.
√
I: momento de inercia de la sección (cm4).
F: superficie de la sección (cm2).
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Esbeltez.
Es la relación entre la longitud de pandeo y su menor lado:
d: lado menor de la columna.
sk: longitud de pandeo.
Grado de esbeltez:
Es la relación entre la longitud de pandeo del elemento y su radio de
giro:
i: radio de giro.
Relación entre “esbeltez” y “grado de esbeltez”.
Supongamos una columna cuadrada cuyos lados sean de 15 centíme-
tros y hacemos variar la altura. A los efectos comparativos mostramos los
valores. En general se utiliza como referencia el “grado de esbeltez”, pero
algunas antiguas normas siguen utilizando la “esbeltez”.
Altura Esbeltez Grado
esbeltez
200 13 46
250 17 58
300 20 69
350 23 81
400 27 92
Tanto la esbeltez como el grado de esbeltez son adimensionales; es el
cociente entre dos longitudes (centímetros).
3. Tipos de roturas. Analizamos los sucesos de una columna en función de la carga y sus
dimensiones.
Acortamiento:
Es característica de cualquier material de-
formarse ante la acción de cargas. Las columnas
robustas sufren un acortamiento cuya magnitud
es proporcional al valor de la carga aplicada en
período elástico, en columnas muy esbeltas el
acortamiento puede ser simultáneo con un brusco
cambio de configuración. Según el tipo de mate-
rial esta relación de carga y deformación puede pasar por un período elástico
y luego plástico, es el caso del hierro.
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Rotura del material:
En columnas robustas, la rotura del material
sobreviene de manera instantánea en los casos de
materiales frágiles (paredes de ladrillos cerámicos)
y con un suceso de alta deformación en materiales
elasto plásticos.
Rotura de la configuración geométrica:
No se rompe el material, antes se quiebra la geo-
metría inicial. La barra pasa de su configuración recta a
la de una elástica de manera instantánea y sin aviso pre-
vio. Esta columna así deformada, si el material es elásti-
co (hierro o madera) seguirá resistiendo parte de la carga,
pero si es de material frágil (hormigón o cerámico) la
rotura de geometría se acompaña con rotura del material.
En el momento del suceso la viga posee dos tipos
de deformaciones, una la original, la del acortamiento
“δ” y la otra la del desplazamiento del eje teórico; la
excentricidad “e”. El fenómeno pasa de compresión pura
al de flexo compresión.
4. Otros tipos de pandeo.
Vigas metálicas.
También en las vigas
se presenta el fenómeno de
pandeo, especialmente en
aquellas que soportan gran-
des cargas y son construidas
con acero. Una viga consti-
tuida por un perfil normal
PNI puede resultar afectada
por alguna de las siguientes
formas de pandeo:
Pandeo en los extremos.
En la figura anterior, en el extremo (1), si la carga que proviene de las
columnas superiores es muy elevada, y el alma del perfil es muy esbelto, se
produce una dobladura o también llamado abollamiento.
Para evitar esta situación se colocan presillas o perfiles soldados en
los extremos que le otorgan rigidez en esa región.
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Pandeo en el alma.
Debido a la formación na-
tural de rutas de tensiones de
compresión, el alma (2), tal co-
mo lo vimos en capítulos ante-
riores, se puede deformar ingre-
sando en pandeo. Esta situación
se presenta en el caso de vigas
cuyas almas resultan muy delga-
das. La deformación se mani-
fiesta mediante un alabeo o abo-
llamiento.
El primer caso se presenta cuando las alas son muy delgadas, mientras
que el segundo cuando la longitud de la viga y su altura son elevadas.
Pandeo en el ala.
Las alas del perfil (3) están sometidas a esfuerzos de compre-
sión y pueden llegar a deformarse de dos maneras:
a) Generando dobleces o alabeos ondulantes en el ala supe-
rior.
b) Produciendo una especie de volcamiento total de la viga.
Es el caso de pandeo lateral de todo el cordón superior.
Vigas reticuladas.
En estas vigas pueden presentarse las mismas situaciones que en las
macizas, pero el fenómeno se sitúa en elementos localizados en las barras
que componen el reticulado (diagonales, montantes y cordones).
Pandeo los montantes extremos.
El montante (1) puede pandear en forma individual, si las cargas supe-
riores que apoyan sobre la viga son muy elevadas y la esbeltez del montante
muy grande.
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Pandeo en las diagonales.
En aquellos reticulados cuyas diagonales (2) trabajan a la compresión,
y resultan muy largas, sin los arriostramientos necesarios, también se puede
producir pandeo.
Pandeo del cordón superior.
Al igual que las vigas
macizas, se plantea el alabeo
parcial o total del cordón. En
estos casos es conveniente
tratar de armar los elementos
del reticulado, sometidos a
compresión con piezas com-
puestas. La figura muestra
los cordones, montantes y
diagonales efectuados con
dos perfiles ángulos soldados
a una gruesa planchuela, conformando así el nudo.
Para evitar el pandeo total del cordón superior, es conveniente arrios-
trarlo mediante triangulaciones con tensores que reducen las longitudes a
pandear. En el caso de las cubiertas, las correas que apoyan sobre el cordón
superior de las cabriadas conforman arriostramientos que evitan el pandeo de
los cordones.
Pandeo de cáscaras comprimidas.
Si generalizamos y llamamos cáscaras a todos los elementos estructu-
rales de superficie con diferentes curvaturas, tales como bóvedas cilíndricas,
cúpulas de revolución, bóvedas de doble curvatura, bóvedas corrugadas y
otras, podemos decir que el pandeo se puede presentar en ellas.
En estas superficies sometidas a compresión, la inestabilidad se genera
en función de las longitudes de los elementos y de su espesor (esbeltez de
superficie).
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En el pandeo se observa un cambio brusco de forma. Esto lo podemos
apreciar mediante el ejemplo de la pelotita de ping pong; que si bien es una
esfera, podemos asociarla a una cúpula de revolución. Si le aplicamos con el
dedo una fuerza de compresión en paulatino aumento, observaremos que en
un momento dado, en forma instantánea pasa a otra configuración de equili-
brio para desde allí, continuar resistiendo.
En algunas superficies cilíndricas verticales, especialmente las cons-
trucciones que se realizan de chapas delgadas para el acopio de cereales (si-
los), se observa luego de fuertes vientos que los cilindros se abollan. El vien-
to ejerció presiones de compresión en una dirección y el cilindro ingresó en
pandeo.
5. Carga crítica pandeo de Euler.
General.
Estudiaremos en los párrafos que siguen la carga crítica obtenida por
la ecuación teórica de Euler. También por el método simplificado “ω” y por
otro método indicado en algunos reglamentos.
Carga crítica de Euler.
En la época del 1770 cuando Euler descubre su admirable fórmula, era
imposible la experimentación. Las herramientas para realizar los ensayos
resultaban rudimentarias e imprecisas. Por otro lado, no se le dio importancia
a su teoría de pandeo porque las piezas de las estructuras de la época resulta-
ban muy grandes. Su teoría permanece en el olvido por más de un siglo.
Cuando surgen los nuevos materiales de la construcción (acero y hor-
migón), se obtienen secciones de columnas más pequeñas y con probabilida-
des de pandeo, entonces el estudio realizado por Euler vuelve a tomar vigen-
cia hasta nuestros días.
El genio de Euler resuelve la ecuación de la
elástica de una columna deformada:
P: La carga crítica que produce el pandeo.
y: el desplazamiento en zona central.
Soluciona la ecuación diferencial y obtiene
la carga crítica que provoca el pandeo:
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E: módulo de elasticidad del material.
I: momento de inercia de la sección.
sk: longitud de pandeo.
También la podemos expresar de otra manera, si a la expresión ante-
rior la dividimos por la sección, obtenemos la tensión crítica.
La esbeltez de la pieza:
La tensión crítica será:
Esta expresión corresponde al caso simple de una columna articulada
en sus dos extremos. Si queremos estudiarla para otras condiciones de borde,
sustituimos la longitud de pandeo por sus correspondientes valores.
La carga que nos da la expresión de Euler es la necesaria para que la
columna ingrese al pandeo. Es la carga límite. Según el tipo de material, a
las cargas críticas, calculadas según la expresión anterior, se las deben redu-
cir mediante un coeficiente de seguridad.
μ: coeficiente de seguridad que oscila entre 2,5 y 3,0 que depende de muchos
factores, en especial el tipo de material y las condiciones de borde.
Visualización práctica:
Calculamos la carga y tensión crítica de la
columna de madera dura de la figura:
Datos:
Condiciones de borde: articulada en ambos extremos.
Material de columna: madera dura.
Módulo de elasticidad: E = 70.000 kg/cm2
Tensión de rotura: σrot = 225 kg/cm2.
Tensión admisible: σadm = 85 kg/cm2.
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Longitud de pandeo: sk = h = 370 cm.
Sección de columna: S = 10 . 10 = 100 cm2.
Momento de inercia: I = 833 cm4
Radio de giro: 2,89 cm
Grado de esbeltez: λ = 128
Para columna robusta sin pandeo:
Carga de rotura sin pandeo:
Carga admisible sin pandeo:
Para columna esbelta con pandeo:
Carga crítica de pandeo:
Los valores anteriores son los críticos, los límites antes del pandeo. Si
adoptamos un coeficiente de seguridad igual a 2,65 obtendremos la carga
admisible:
En este caso la columna se encuentra a una tensión de trabajo:
Un valor varias veces menor que la tensión de rotura sin pandeo. Si
observamos los valores obtenidos vemos que la carga que soporta la colum-
na se reduce 14 veces desde la robusta sin pandeo (22.500 kg) hasta la esbel-
ta con carga admisible (1.600 kg).
Fin de pandeo parte uno