Download - interes compuesto
-
INTERES COMPUESTO
1
-
INTERES COMPUESTO
Definicin
El inters compuesto se caracteriza porque el inters generado en un
perodo de tiempo ,siempre que no se retire, se suma al capital y este nuevo valor vuelve a ganar intereses y se acumula al nuevo capital. Y
as sucesivamente tanta veces como perodos de capitalizacin se hayan establecido. En este mtodo, se dice que los intereses se
capitalizan.
2
-
COMPARACION CON EL INTERES SIMPLE Ejemplo Calcular el Monto a inters simple y el inters compuesto de un
capital de $ 4.000.000 invertido a una tasa de inters del 10% durante 6 perodos.
a) Inters simple. I= Cit = 4.000.000 (0,10) (6) = $ 2.400.000 M = C (1+it) = 4.000.000 [1 + 0,10(6)] = $ 6.400.000.-
3
-
b) Inters compuesto Para el primer perodo M= 4.000.000 [1 + 0,10(1)] = $ 4.400.000 Para el segundo perodo M = 4.400.000 [1 + 0,10(2)] = $ 4.840.000.
Para el tercer perodo M = 4.840.000 [1 +0,10(3)] = $ 5.324.000.
Para el cuarto perodo M = 5.324.000 [1 + 0,10(4)] = $ 5.856.400.
Para el quinto perodo M = 5.856.400 [1 + 0,10(5)] = $ 6.442.040.
Para el sexto perodo M = 6.442.040 [1 + 0,10(6)] = $ 7.086.244.-
4
-
Note la diferencia: El Monto final a Inters simple = $ 6.400.000. El Monto final a Inters Compuesto = $ 7.086.244.
CONCLUSIONES: El inters simple es constante durante todo el perodo El inters compuesto es creciente a travs del tiempo porque los interese
se van capitalizando a travs del tiempo Mientras ms perodos se capitalice, mayor ser la diferencia entre el IS y
el IC
5
-
VARIABLES DEL INTERES COMPUESTO
Perodo de capitalizacin = n: es el espacio de tiempo en el que el inters se adiciona o acumula al capital. Este perodo puede ser anual, semestral, trimestral, mensual, etc.
Tasa de inters = i: es la tasa de capitalizacin del perodo que puede ser anual, semestral, trimestral, mensual, diaria, etc.
6
-
Ejemplo: Calcular el nmero de perodos de capitalizacin y la tasa de inters por
perodo de capitalizacin de un capital invertido a inters compuesto durante 7 aos, a una tasa de inters de 15% anual capitalizable semestralmente.
t = 7 aos
Entonces:
n= nmero total de meses / nmero de meses del perodo de capitalizacin
n = 7(12)/6 = 14 semestres
7
-
i= tasa anual/ numero de capitalizaciones al ao= tasa anual /m en donde
m= 360 / N de das del perodo = 360/ 180 = 2
i = 0,15 anual / 2 (semestres) = 0,075 = 7,5% semestral
8
-
Ejemplo:
Calcular el nmero de perodos de capitalizacin(n) y la tasa de inters por perodo de capitalizacin (i) de un capital colocado a inters compuesto durante 5 aos, a una tasa de inters anual del 15%, capitalizable trimestralmente
t = 5 aos
i= 15%
n= 5 (12/3) = 20 trimestres
m= 360 / 90 = 4 significa que se capitaliza 4 veces al ao.
I = 0,15/ 4 (trimestres) = 0,0375 = 3,75% trimestral
9
-
FORMULA DEL MONTO A INTERES COMPUESTO
El Monto (M) de un capital invertido a inters compuesto, o monto compuesto, es el valor del capital final, o capital acumulado, despus de sucesivas adiciones de los intereses.
IC = MC C En donde
IC = inters compuesto MC= Monto Compuesto C= Capital original
10
-
11
Ejemplo:
Calcular el monto (M) a inters compuesto de un capital de $ 100.000 a 4 aos plazo invertidos a una tasa del 12% anual.
Si tenemos que I = Cit
Primer ao: I = 100.000(0,12) (1) = $ 12.000. M= 100.000 + 12.000 = $ 112.000.
Segundo ao: I = 112.000(0,12) (1)= $ 13.440 M= 112.000 + 13.440= $ 125.440
-
12
Tercer ao: I = 125.440(0,12) (1)= $ 15.052,80 M = 125.440 + 15.052,80 = $ 140.492,80
Cuarto ao: I = 140.492,80(0,12) (1)= $ 16.859,14 M= 140.492,80 + 16.859,14 = $ 157.351,94 Entonces, C= Capital i = Tasa de inters por perodo de capitalizacin n= nmero de perodos de capitalizacin
-
Entonces para n perodos de capitalizacin tenemos
13
Perodo Capital al inicio del perodo
Inters Monto
1 C Ci C + Ci = C(1 + i)
2 C(1+i) C ( 1 + i)i C(1+i) + C(1+i)i= C(1+i)2
3 C(1+i)2 C(1+i)2 i C(1+i)2 + C(1+i)2 i= C(1+i)3
4 C(1+i)3 C(1+i)3 i
n C ( 1 + i ) n-1 C ( 1 + i ) n-1 i C ( 1 + i ) n-1 + C ( 1 + i ) n-1 i = C( 1+ i ) n
-
Entonces, para cualquier perodo de capitalizacin y tasa de inters por perodo, se obtiene la frmula del monto a inters compuesto:
M= C (1 + i)n
La frmula del Monto tambin puede expresarse tomando en cuenta los perodos de capitalizacin menor de un ao: semestral, trimestral, mensual,
diaria.
14
-
Entonces, el INTERES ser
I = M-C
15
-
Frmula del Monto a inters compuesto en funcin de m y n
M = C (1 + i/m) mn En donde: M = Monto
C = Capital inicial
i/m = Tasa de inters nominal que puede ser capitalizable varias veces en un ao
m = nmero de capitalizaciones al ao
n = nmero de aos
16
-
Si la capitalizacin es anual, la frmula del monto en un ao es:
M = C (1+i)n Si la capitalizacin es semestral
M = C (1 + i/2)2 Si la capitalizacin es trimestral
M = C (1 + i/4)4
17
-
Si la capitalizacin es bimestral
M = C (1 + i/6)6 Si la capitalizacin es mensual
M = C (1 + i/12)12 Si la capitalizacin es quincenal
M = C (1 + i/24)24 Si la capitalizacin es diaria
M = C (1 + i/360)360
18
-
Ejemplo Calcular el monto de un capital de $ 200.000 invertido al 12% inters anual
compuesto durante 5 aos capitalizable en la siguiente manera:
Anualmente ( o tasa efectiva)
M= 200.000(1+0,12)5 = $ 352.468,34 Capitalizable semestralmente
M = 200.000(1+0,12/2)10 = $ 358.169,54 Capitalizable trimestralmente
M = 200.000(1+0,12/4)20 = $ 361.222,25
19
-
Capitalizable bimestralmente
M = 200.000(1+0,12/6)30 = $ 362.272,32 Capitalizable mensualmente
M = 200.000(1+0,12/12)60 = $ 363.339,34 Capitalizable diariamente
M = 200.000(1+0,12/360)1.800 = $ 364.387,33 OBSERVE QUE CUANDO EL PERIODO DE CAPITALIZACION AUMENTA,
AUMENTA EL MONTO PORQUE AUMENTA EL INTERES COMPUESTO
20
-
Ejemplo: Una empresa obtiene un prstamo de $ 3.000.000 a 6 aos plazo a una
tasa de inters anual del 15% capitalizable semestralmente. Calcular el monto que debe pagar al vencimiento y el inters pagado.
M= 3.000.000(1+0,15/2)12 = 3.000.000(1,075)12 = 3.000.000(2,381780)= $ 7.145.338,80 Inters que debe pagar: I = M C I = 7.145.338,80 3.000.000 = $ 4.145.338,80
21
-
Monto Compuesto con perodos de capitalizacin fraccionarios
Cuando el tiempo de pago no coincide con el perodo de capitalizacin, se
presenta este caso Ejemplo: Calcular el valor de una deuda de $ 4.000.000 contrada a inters
compuesto durante 6 aos y 3 meses plazo, a una tasa de inters anual del 14% capitalizable semestralmente.
22
-
Resolucion Toma el valor exacto de n en la frmula del Monto compuesto Entonces tenemos: n = 6(12) + 3 / 6 = 75/6 = 12, 5 semestres i = 0, 14/2= 0, 07 semestral (7% semestral) M = 4.000.000 (1 +0, 07)12.5 = 4.000.000(2, 329685)= $ 9.318.740,34
23
-
Ejemplo: Calcular el Monto compuesto de un capital de $ 2.000.000 invertido a 7
aos y 8 meses plazo a una tasa anual del 18% capitalizable trimestralmente
Calculo n e i n= 7(12)+8/ 3 = 84+8 /3 = 30,6667 trimestres i = 0,18/4 = 0,045 trimestral M= 2.000.000(1+0,045)30,6667= $ 7.713.714,13
24
-
TASAS EQUIVALENTES
TASA NOMINAL (i/m) tasa que puede ser capitalizable varias veces en el periodo de un ano
TASA EFECTIVA DE INTERES (i): es la que se capitaliza una vez por al ao.
Dos tasas anuales de inters con diferentes perodos de
capitalizacin son equivalentes si producen el mismo inters compuesto (I) al final del ao.
O lo que es lo mismo: Las tasas nominal y efectiva son equivalentes cuando producen la misma cantidad de dinero (Monto) al final del ano
25
-
EJEMPLO
Un Capital de $ 1.000.000 invertido al 18% anual y capitalizable mensualmente ser:
M= 1.000.000 (1 + 0,18/12) 12 = 1.000.000 (1,05)12 = 1.000.000(1,1956182)
M= $ 1.195.618,2
El mismo Capital invertido a una tasa efectiva anual del 19,56182% M= 1.000.000 (1 + 0,1956182)= 1.000.000 (1,1956182) M= $ 1.195.618.2 Conclusiones: Una tasa nominal del 18% anual capitalizable
mensualmente es equivalente a una tasa efectiva anual del 19,56182%
26
-
FORMULA DE EQUIVALENCIA TASA
NOMINAL / TASA EFECTIVA El monto de $ 1 a la tasa i en un ano es:
M= 1 ( 1 + i ) El monto de $ 1 a la tasa j con m capitalizaciones en el
ano es : M= 1(1 + i/m)mn Considerando que los dos montos son iguales, se puede
plantear la equivalencia:
(1+i) = (1+i/m) mn
27
-
Ejemplo: A qu tasa efectiva de inters equivale una tasa nominal
del 18% anual capitalizable trimestralmente? i = ? m= 4 mn=n=4 ( 1 + i ) = ( 1 + 0,18/4)4 ( 1 + i ) = ( 1 + 0,045)4 ( 1 + i ) = 1,1925186 i = 1,1925186 1 = 0,1925186 i = 19,25186%
28
-
Se puede plantear el problema inverso a qu tasa nominal capitalizable trimestralmente es equivalente una tasa efectiva del 19,25186%?
(1+i) = (1+i/m) mn Reemplazamos: (1+0,1925186) = (1 + i/4)4 (1,1925186) = (1 + i/4)4
29
-
Resolvemos por exponenciales, elevando ambos trminos a la misma potencia y la igualdad no se altera:
(1,1925186)1/4 = (1 + i/4)4/4 1,045 = 1 + i/4 1,045 1 = i/4 4 (0,045) =i i/m= 0,18 = 18%
30
-
Ejemplo: Calcular el Monto y el inters compuesto que producir
un Capital de $ 200.000 durante 5 anos y 9 meses si es colocado (invertido)
a) A una tasa efectiva del 16% b) A una tasa del 15,4065923% anual con capitalizaciones semestrales. Monto= C(1+i)n Monto = 200.000(1+0,16)5,75 = $ 469.530,09
31
-
Monto= C ( 1 + i/m)mn
Monto= 200.000(1+ 0,154065923/2)11,5
Monto = $ 469.530,09
32
-
33
La ecuacin de equivalencia sirve cuando se requiere invertir un determinado Capital y tenemos en el mercado tasas de inters con diferentes tipos de capitalizaciones.
Ejemplo Una persona desea invertir $ 6.000.000 durante dos aos, y tiene
las siguientes opciones: Una tasa de inters efectiva de 44,5% Una tasa de inters del 41% anual capitalizable semestralmente Una tasa de inters del 39,5% capitalizable trimestralmente Una tasa de inters del 38% anual capitalizable mensualmente Cul opcin produce mayor inters?
-
Este problema se puede solucionar de dos
maneras: analticamente, o sea, utilizando l a e c u a c i n d e e q u i v a l e n c i a o prcticamente, utilizando la frmula del monto con inters compuesto
34
-
Solucin analtica Se compara la tasa efectiva del 44,5% y se compara con las
otras(108,80%) 1 + i = (1 + 0,41/2)4 i = 2,108376601 1 i = 110,83% Con la tasa del 39,5% anual capitalizable trimestralmente 1 + i = (1 + 0,395/4)8 i = 2,124178969 1 i = 112,42 %
35
-
Con la tasa del 38% anual capitalizable mensualmente 1 + i = (1 + 0,38/12)24 i = 2,11322416 1 i = 111,32 % Resultado: la mejor alternativa es la tasa del 39,5% anual
capitalizable trimestralmente
36
-
Solucin prctica:
Se calcula con los datos de Capital, tiempo y tasa de inters Con la tasa efectiva del 44,5% M= 6.000.000 (1 + 0,445)2
M= $ 12.528.150.- Con la tasa del 41% anual capitalizable semestralmente M=6.000.000 (1 +0,41/2)4 M= $ 12.650.159,60
37
-
Con la tasa del 39,5% anual capitalizable trimestralmente M= 6.000.000 (1 +0,39/4)8 M= $ 12.745.073,81 Con la tasa del 38 % anual capitalizable mensualmente M= 6.000.000 (1 +0,38/12)24 M= $ 12.679.344,96 Se demuestra que la mejor oferta es la de capitalizaciones
trimestrales.
38
-
Ejercicio Una empresa desea invertir $ 12.000.000 durante 4
aos y tiene las siguientes opciones Una tasa efectiva del 9% Una tasa del 8,75% anual capitalizable semestralmente Una tasa del 8% anual capitalizable trimestralmente Una tasa del 7% anual capitalizable mensualmente
Aplique solucin analtica y prctica.
39
-
EJERCICIOS 1.- Una empresa obtiene un prstamo de $ 4.000.000. a 10
anos plazo a una tasa de interes del 15% anual capitalizable semestralemente . Calcule el inters y el Monto que debe pagar en la fecha de vencimiento.
2.- Una persona toma un depsito a plazo en su libreta de
ahorros de $ 3.000.000. al 12% de inters anual capitalizable trimestralmente. Cuanto habr en su libreta ala cabo de 8 anos y 6 meses.
40
-
3.- Calcule el Monto a interes compuesto de un Capital de $ 1.000.000 invertido al 12% anual durante 10 anos.
4.- A qu tasa de inters efectiva equivale una tasa nominal
del 15% capitalizable semestralmente? 5.- A qu tasa anual, capitalizable trimestralmente equivale
una tasa efectiva del 19, 2519? 6.- Rubn abre una cuenta de ahorros hoy, con $ 800.000.
a una tasa de inters del 14% capital izable semestralmente .Calcule cuanto habr en la cuenta al cabo de 7 anos y 7 meses.
41
-
CALCULO DE LA TASA DE INTERES
LA TASA NOMINAL O EFECTIVA DE INTERES SE PUEDE CALCULAR PARTIENDO DE LA FORMULA DEL MONTO
M = C ( 1 + i ) n ; M= C ( 1 + i/m)mn
Y DESPEJAMOS APLICANDO LOGARITMOS
42
-
M C M C
43
log (1 + i ) n
n log (1 + i )
M C n log (1 + i )
log
log
log
-
O TAMBIEN i =
44
M C
1/ n
- 1
Tarea : Deduzca la Frmula para la tasa nominal
-
EJEMPLO A qu tasa efectiva se convertir un capital
de $ 300.000 en un monto de $ 450.000 al cabo de 6 anos? M = C ( 1 + i ) n M/C = ( 1 + i )n
45
-
450.000 / 300.000 =( 1 + i ) 6
1,5 = ( 1 + i ) 6 Aplicamos logaritmos log1,5 = log( 1 + i ) 6
log1,5 = 6 log( 1 + i )
log1,5 /6 = log( 1 + i ) 0,029348= log( 1 + i ) antilog 0,029348= 1 + i
46
-
1, 069913 = 1 + i
0,069913 = i
i = 6,99132 %
47
-
ACTIVIDADES DE EJERCITACION
A q u t a s a a n u a l c a p i t a l i z a b l e trimestralmente, un capital de $ 400.000 se convertir en veces ms al cabo de 5 anos?
A qu tasa efectiva es equivalente la tasa del 11,35037% anual capitalizable trimestralmente?
48
-
A qu tasa efectiva se convertir un capital de $ 500.000 en un Monto de $ 900.000 en 9 anos y 6 meses?
A que tasa de inters annual capitalizable
trimestralmente se debe colocar un capital de $ 1.000.000 para que produzca un Monto de $ 5.500.000 en 6 anos y 9 meses.A qu tasa efectiva equivale?
49
-
CALCULO DEL TIEMPO
A INTERES COMPUESTO
PARA CALCULAR EL TIEMPO, SE DEBE CALCULAR PRIMERO n, POR LO CUAL SE APLICA LA FORMULA DEL MONTO
M = C ( 1 + i ) n ; M= C ( 1 + i/m)mn
M = C ( 1 + i ) n
50
-
51
M C M C
log (1 + i )
n log (1 + i )
n
log
log
log
M C
log (1 + i ) n
Tarea : Deduzca la Frmula para la tasa nominal
-
EJEMPLO En qu tiempo un capital de $ 1.000.000. se
convertir en $ 1.500.000. a una tasa de inters efectiva del 18%?
Tenemos: M = $ 1.500.000 C = $ 1.000.000 i = 18%
52
-
M/C = ( 1 + i )n 1.500.000 / 1.000.000 = ( 1 + 0,18)n 1,5 = ( 1 + 0,18)n log 1,5 = log ( 1 + 0,18 )n log 1,5 =n log ( 1 + 0,18) n=log 1,5 / log (1+0,18) n = 0,176091/0,071882 n= 2,449726 anos (1 ano = 360 das, 0,449726 son x
das) n= 2 aos, 5 meses, 12 das
53
-
EJERCICIOS
En qu tiempo un capital de $ 700.000 se duplicar invertido a una tasa del 18% capitalizable semestralmente?
En qu tiempo un capital de $ 2.500.000 , se
convertir en $ 5.625.000 invertido a una tasa de inters anual del 24% capitalizable semestralmente?
54
-
En cuantos anos aumentar en su valor un capital de $ 600.000 invertido a una tasa de inters del 17% capitalizable semestralmente ?
55
-
VALOR ACTUAL A INTERES COMPUESTO
El VAC es el valor de un documento, inversin o deuda, antes de la fecha de su vencimiento, considerando determinada tasa de inters
VAC significa el valor de un pago futuro en una determinada fecha antes de su vencimiento
56
-
Responde por ejemplo a : Cuanto vale HOY da una deuda de $ 1.000.000
que vencer en 5 anos mas ? En cuanto se puede vender HOY un documento
de $ 5.000.000 que en vence en 4 anos ms?
57
-
Si tenemos que: M= C(1 + i )n
Despejamos C C = para tasa efectiva
Para tasa nominal =
58
M
(1 + i )n
C M
(1 + i/m )mn
-
Para el clculo del VAC (entre la fecha de suscripcin y la fecha de vencimiento) pueden haber dos casos generales:
Caso 1: Cuando conocemos el valor que tendr un documento al cabo de n periodos ( o sea, conocemos el Monto)
Caso 2 : Cuando conocemos el valor hoy da del documento que gana inters. En este caso desconocemos el Monto (hay que calcularlo).
59
-
Ejemplo Caso 1: Cual es el VAC de un pagar cuyo valor al
vencimiento al final de 4 anos es $ 3.500.000, considerando una tasa de inters del 12% anual capitalizable semestralmente?
Entonces tenemos que : M=$ 3.500.000.- i/m = 0,12 m = 2 t = 4
60
-
C= M ( 1 + j/m)
C = M ( 1 + 0,12/ 2)
C = 3.500.000 ( 1 + 0,06)
C = 3.500.000 (0,627412) = $ 2.195.943,30
61
- mt
-(2)4
-8
1 0 2 3 4
$ 2.195.943,30 $ 3.500.000
-
62
Ejemplo Caso 2: Cual es el VAC de un pagar cuyo valor nominal
es $ 500.000 a 6 anos plazo considerando una tasa de inters del 12% anual capitalizable semestralmente desde su suscripcin si se vende dos anos antes de la fecha de vencimiento , considerando una tasa anual del 14% capitalizable semestralmente?
-
Solucin grfica
63
0 1 2 3 4 5 6
$ 500.000 M= ? C= ?
-
Entonces primero se calcula el Monto a 6 anos: M = C ( 1 + i/m) M = 500.000 ( 1 + 0,12/ 2)
M = 500.000 ( 2,012196)
M = $ 1.006.098,236
64
mn
2(6)
-
Ahora calculamos el VAC 2 anos antes de su vencimiento
C = M (1 + i/m) C = 1.006.098,236 ( 1 + 0,14/ 2) C = 1.006.098,236 (0,762895) C = $ 767.547,58 ( VAC)
65
-mn
-2(2)
-
VAC CON TIEMPO FRACCIONARIO
Para calcular el VAC con perodos de capitalizacin fraccionarios, utilizamos la frmula del inters compuesto
C = o lo que es lo mismo C = M ( 1 + i )
66
M
(1 + i ) n
-n
-
Ejemplo El valor de un pagar al cabo de 7 anos ser $3.400.000. Calcular su VAC luego de transcurridos 3 anos y
4 meses de la fecha de suscripcin , considerando una tasa de inters del 14% capitalizable semestralmente
M = $ 3.400.000 i/2 = 0,14 /2 = 0,07
67
-
Calculamos primero el tiempo n Aplicamos la frmula: C C = $ 2.070.131,25
68
= (7)(12) [ (3)(12) + 4 ]
6 = 44/ 6 = 7,3333
= $ 3.400.000( 1 + 0,14/2) - 7,3333
-
EJEMPLO Luego de 3 anos y 3 meses de la fecha de
suscripcin se negocia un documento suscrito el da de hoy por $ 2.800.000 a 6 anos 9 meses con una tasa de inters del 12% capitalizable semestralmente. Calcular el valor actual a dicha fecha considerando una tasa de inters del 11,25% efectiva.
69
-
Se calcula el Monto al final de los 6 anos y 9 meses
n M 2.800.000 ( 1 + 0,12/2) M $ 6.148.755,355
70
= (6)(12)+ 9
6 =
81
6 = 13 3/6 = 13,5
= 13,5
=
-
Ahora se calcula el valor actual a los 3 anos y 3 meses, si la tasa de inters es del 11,25% efectiva
El tiempo que falta para el vencimiento del documento es:
n C = $ 6.145.755,355 (1+0,1125) C = $ 4.233.866,90
71
= [6(12) +9] [3(12)+3]
6 = 3,5 anos
- 3,5
-
EJERCICIOS
Calcule el VAC de un pagar cuyo valor al trmino de 3 anos y 6 meses ser de $ 2.100.000 considerando una tasa de inters del 16% anual capitalizable semestralmente.
Un documento suscrito hoy por $ 950.000 a 5 anos plazo a una tasa del 17% anual capitalizable semestralmente , se vende dos anos antes de la fecha de su vencimiento considerando una tasa del 18% anual capitalizable semestralmente. Calcule el VAC a esa fecha
72