Download - integrales .docx
-
7/25/2019 integrales .docx
1/26
INTEGRALES TRIGONOMTRICAS
Diez frmulas ms habrn de agregarse al formulario actual de integrales del estudiante.Son seis correspondientes a las seis funciones trigonomtricas seno, coseno, tangente, cotangen-te, secante y cosecante, y cuatro ms correspondientes a las inversas de las derivadas de las seisfunciones trigonomtricas. Esto ltimo se refiere a !ue si la derivada de la tangente es la secantecuadrada, entonces la integral de la secante cuadrada es la tangente.
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
sen u du = cosu + c
cosu du =sen u + c
tanu du = lnsecu = ln cosu + c
cot u du = ln sen u + c
secu du = ln(tan u +secu) + c
-
7/25/2019 integrales .docx
2/26
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
cscu du = ln(cscu cot u) + c
sec"u du = tanu + c
csc"
u du = cot u + c
tanusecu du =secu + c
cot u cscu du = cscu + c
#omo en todos los casos de frmulas nuevas, para emplearlas debidamente debe hacerse
un cambio de variable, en donde u es el argumento de la funcin trigonomtrica.
E$emplo %& 'ntegrar sen (x dx
Solucin& En este caso el argumento es (x, o sea !ue
u ) (x , de donde
du ) (dx
*ara tener la diferencial du hay !ue multiplicar por (+ pero para !ue no se altere la integraloriginal tambin debe dividirse entre (, de modo !ue&
sen d )
%
sen x ( dx
( ((
[-
]
sen u du
-
7/25/2019 integrales .docx
3/26
=%
sen u du =%
[ cosu]+ c( (
sen (x dx = %
cos (x + c(
E$emplo "& 'ntegrar (x ")tan(.x" /x +%%)dx
Solucin& En este caso el argumento es .x " - /x 0 %% , o sea !ue
u ) .x " - /x 0 %% , de dondedu ) 12x - /3dx
*ara tener la diferencial du hay !ue multiplicar por "+ pero para !ue no se altere la integraloriginal tambin debe dividirse entre ", de modo !ue&
(x ") tan(.x"
/x +
%%)=
%tan(.x" /x +
%%)"
"(x ")dx
=%
"
tan x" /x +%% (2x /)dx
tan u du
=%
ln sec u + c"
(.x ")tan (.x"
/x + %%)dx =%
ln sec (.x"
/x +
(
-
7/25/2019 integrales .docx
4/26
-
7/25/2019 integrales .docx
5/26
EJERCICIO 25
6ealizar las siguientes integrales&
%3
3
3
%;3
cos /x dx
cot (%=x + 2) dx
csc (% x %"x" +%"x %.)dx
< =
"
"
%"3
sen "xdx
%3 cos dx
%% (
" <
/
%/3x
tan
x" dx
%
-
7/25/2019 integrales .docx
6/26
?@#'#8S A 6E#B6S4S DE '?EC68#'9
*ara integrar cual!uier otra funcin trigonomtrica !ue no pueda resolverse con un sim-
ple cambio de variable, tales como las estudiadas en las pginas precedentes de este cap:tulo,
deben emplearse diferentes tcnicas y recursos algebraicos para reducir la funcin original a una
forma e!uivalente ya integrable.
'ndependientemente de la tcnica o recurso !ue se emplee, es necesario tener a la manolas siguientes frmulas o identidades trigonomtricas&
(1)
(2)
(3)
sen"A + cos
"A =
% tan" A + % =
sec"A cot
"A +%
= csc"A
%(4) sen A = cscA
(5)cos A = %
secA
(6)
(7)
(8)
tan A =
cot A =
sec A =
%
cot A
%
tanA
%
cos A
-
7/25/2019 integrales .docx
7/26
(9)csc A = %
senA
(10)tan A = senA
cos A
(11)cot A = cos A
senA
(12)
(13)
(14)
(15)
sen"A =
%(% cos "A)
"
cos"A =
%(%+ cos "A)
"
sen "A = "sen A cosA
cos "A = cos" A sen" A = % "sen" A = "cos" A %
'gualmente, deben tenerse presentes algunas normas generales para evitar transformar laintegral original en otra funcin ms complicada&
a3 Si la funcin a integrar est compuesta por dos o ms factores trigonomtricos, stosdeben tener el mismo argumento+ de lo contrario, mientras no se igualen los argu-mentos no se podr integrar.
Por ejemplo, la integral sen "x tan /x dx no se podr integrar mientras no se igua-len los argumentos del seno con el de la tangente.
b3 Debe evitarse pasar de una integral del seno a otra del coseno de la misma forma,por!ue se considera !ue una y otra son lo mismo en cuanto a su tcnica de integra-
cin.
-
7/25/2019 integrales .docx
8/26
Por ejemplo, si se tiene la integral sen"x
dx
y se emplea la frmula trigonomtrica (1)
para establecer que sen"x dx =
(% cos"x)dx
=
dx cos"x dx , como se
pas de la integral sen"xdx
a la integral cos"x dx se considera que no se
avanz absolutamente nada porque son de la misma forma.
c3 #uando deba emplearse ms de una vez la tcnica de los cuadrados, debe seguirsesiempre el mismo criterio por!ue de lo contrario se regresa a la integral original.Emplear el mismo criterio significa utilizar siempre la misma funcin trigonomtricaal cuadrado para sustituirla por su e!uivalente de dos trminos, no una vez una y otravez otra. 8lgunos e$emplos posteriores lo aclarn.
d3 *ara integrar senm v cosn v dv &
i3 Si m = n , debe emplearse la frmula trigonomtrica (14) en la !ue, despe-$ando, se llega a !ue
por lo !ue
sen A cos A =%
"
sen "A ,
"
sen"A cos
"A =
%sen "A
"
senA cos
A =
%sen "
A
, etc.
"
ii3 Si m ) % o bien n ) % , con el cambio de variable u igual a la funcintrigonomtrica con eponente diferente de %, se resuelve.
iii3 En cual!uier otro caso, utilizar la tcnica de los cuadrados para partir endos la integral.
.
-
7/25/2019 integrales .docx
9/26
as principales tcnicas son&
a3 ?cnica de los cuadrados.b3 ?cnica de pasar a senos yo cosenos.c3 ?cnica de los binomios con$ugados.
a3 Tcnica de los cuadrados: #onsiste en factorizar una potencia trigonomtrica en unfactor al cuadrado multiplicado por lo !ue !uede+ ese factor al cuadrado se reemplaza por sue!uivalente de dos trminos para partir en dos la integral original.
#omo en casi todas las integrales de las diferentes potencias de las seis funciones trigo-
nomtricas se emplea la tcnica de los cuadrados, en el siguiente blo!ue de e$emplos se mostrarla tcnica para integrar el seno al cuadrado, el seno al cubo, el seno a la cuarta potencia, etc+ lomismo con la tangente y con la secante.
E$emplo & 'ntegrar sen"x dx
Solucin& Si se emplea la tcnica de los cuadrados se tienen dos opciones& sen"x =% cos"
x
1des-
pe$ando de la frmula (1), pgina =23 o bien hacersen
"x =
%(%cos "x), segn la
fr- "
mula (12). *ero como ya se vio en el e$emplo del inciso 1b3 de la pgina =>, la primera rela-cin no debe emplearse por!ue se pasa de una forma a otra igual. Entonces
sen"x dx =
%(% cos "x)dx
"
= %
dx %
cos "x dx
" "
=%
dx
%
cos "x dx
" "
-
7/25/2019 integrales .docx
10/26
a primera integral ya es de frmula. *ara la segunda integral, sea u ) "x, de donde
du = "dx . 8s: !ue multiplicando y dividiendo por " al mismo tiempo para !ue no se alterela integral original&
=% dx % %
cos "
(" d
)
" " "
=%
dx %
cos u du
" /
=%
x %
sen u + c" /
sen"x dx =
x
%sen "x +
E$emplo /& 'ntegrar senx dx
Solucin& Empleando la tcnica de los cuadrados, se factoriza el seno cbico en seno cuadrado por se-no. El seno cuadrado se sustituye por su e!uivalente de dos trminos 1% - cos "x3, tomando
en cuenta la norma del inciso 1a3, pgina ==, se multiplica y luego se parte en dos integrales&
senx dx =
=
sen"x sen x dx
(% cos"x)sen x dx
= sen x dx cos"x sen x dx
u = cos x
du = - sen x dx
-
7/25/2019 integrales .docx
11/26
a primera integral ya es de frmula. a segunda integral es de la forma seFalada en el inci-so 1d3 de la pgina => y cumple con el re!uisito del subinciso 1ii3. De manera !ue se hace elcambio de variable indicado para obtener
= sen x dx +
u.
u"du
= cos x + +c
.
senx dx = cos x +
%cos
x +
E$emplo
-
7/25/2019 integrales .docx
12/26
= sen"x dx
% sen " d "
= sen"xdx %
/sen" "x dx
8mbas integrales son el seno al cuadrado, solamente !ue con diferente argumento. Se inte-gran como se mostr en el e$emplo de la pgina =(&
= %
(% cos "x)dx %
%(% cos /x)dx
" / "
= % dx % cos "x dx % dx + % cos /x dx" " > >
=x
%
sen "x x
+%
sen /x + c" / > "
sen/x dx =
x
%sen "x +
%sen /x +
E$emplo 2& 'ntegrar sen
-
7/25/2019 integrales .docx
13/26
= senx dx cos"xsen
.x dx
a primera integral se resolvi en el e$emplo / pgina >;, por lo !ue ya solamente se copiarsu resultado. a segunda integral pertenece a la condicin del inciso 1d3, subinciso 1iii3, p-gina =(>;, por lo !ue se debe volver a utilizar la tcnica de los cuadrados con el mismo cri-terio, es decir !ue si anteriormente se factoriz para obtener un seno al cuadrado para susti-tuirlo por su e!uivalente de dos trminos, ahora nuevamente debe factorizarse un seno alcuadrado y reemplazarlo por su e!uivalente de dos trminos. Gacindolo se obtiene&
= senx dx
=
sen
x dx
cos"x sen x sen
"x dx
cos
"
x sen x (%
cos
"x
)dx
= senx dx cos"x senxdx +
cos/x senxdx
a segunda y tercera integrales corresponden a la condicin del inciso 1d3, subinciso 1ii3,pginas =>=(, por lo !ue con un cambio de variable se puede integrar. Gaciendo
u = cos x
du = - sen x dx
= senx dx + u" du
u/du
=(, por lo!ue con un cambio de variable se puede integrar. En efecto, haciendo
u = cos x , de dondedu = - sen x dx
= (cosx)" (sen x dx)
= u"du =
u+ c
s en"x cot x %
dx = cos x +c
E$emplo %
-
7/25/2019 integrales .docx
21/26
sen x cos x cos x sen"x cos
"x sen
x
=dxcos x senx
= senx cosx dx
Esta integral corresponde a lo seFalado en el inciso 1d3, subinciso 1 i 3, pgina =>, debe em-plearse la frmula trigonomtrica (14) en la !ue, despe$ando, se llega a !ue
por lo !ue
sen x cos x=
%sen "x ,
"
.
senx cos
x =
%sen "
x
"
por lo tanto,
sen.x cos
x dx =
%sen "x
dx
"
%
=>
sen "x dx
*ara ver los detalles de cmo se resuelve esta integral, ver el e$emplo / de la pgina >;&
=%
>
=%
>
sen"x sen" "x dx
sen"x (% cos" "x)dx
=%
sen"x dx %
sen"x cos" "x dx
> >
-
7/25/2019 integrales .docx
22/26
*ara la primera integral debe hacerse el cambio de variable u = "x, de donde du = " dx. *a-ra la segunda integral hacer v = cos "x, de donde dv = - "sen "x dx &
) % % sen "(
" d
)H % H
%cos
""
(H " sen "d
)
> " > "
sen u du v"
dv
= % senu du + % v"dv%2 %2
% % v = cos "x + + c%2 %2
tanxcoxcotxsen"x % %
dx = cos "x + cos
"x+ c sec
"x csc x %2 />
c3 Tcnica de los #ino$ios con%u&ados: #uando en el denominador aparece uno delos binomios con$ugados !ue se mencionan en la siguiente tabla, se multiplica el numerador y eldenominador por su con$ugado para obtener en el denominador su e!uivalente de un trmino alcuadrado.
Esta tcnica se basa en el hecho de !ue de las tres frmulas trigonomtricas llamadas*itagricas o de los cuadrados 1ver frmulas (1), (2) y (3) de la pgina =23, al despe$ar cual!uiera
de los dos trminos !ue aparecen en el lado iz!uierdo del signo igual (=), se obtiene una diferen-cia de cuadrados, la cual se puede factorizar en dos binomios con$ugados.
-
7/25/2019 integrales .docx
23/26
a siguiente tabla muestra lo afirmado en el prrafo anterior&
Frmula Pitagrica:2 despees p!si"les:
#i$!mi!s c!$ugad!s(di%ere$cia de cuadrad!s)
sen"A + cos
"A ) %
sen"A ) % - cos "A ) 1% - cos A31% 0 cos A3
cos"A ) % -sen "A ) 1% -sen A31% 0sen A3
tan"A 0 % )sec "A
tan"A )sec "A - % ) 1sec A - %31sec A + %3
% )sec "A - tan "A ) 1sec A - tan A31sec A + tan A3
cot"A 0 % ) csc "A
a idea de esta tcnica radica en !ue los numeradores s: se Ipueden partirJ en cada unode sus trminos entre todo el denominador+ sin embargo, los denominadores no se Ipueden par-
tirJ. Entonces se trata de hacer !ue en el denominador aparezca un solo trmino y en el numera-dor dos o ms para partir la fraccin en su suma correspondiente.
Bna vez multiplicado el numerador y el denominador por el con$ugado del binomio deldenominador, el producto del denominador dar la diferencia de cuadrados correspondiente a latabla anterior, le:da de derecha a iz!uierda, la cual e!uivale a una funcin trigonomtrica al cua-drado. Se vuelve a aplicar la tcnica 1%3 de los cuadrados o la tcnica 1"3 de convertir todo a se-nos yo cosenos.
E$emplo %2& 'ntegrartan
"x dx % cos "x
("1)
("2)
("3)
("4)
cot"A = csc
"A - %
% ) csc "A - cot "A
)
)
1csc A - %31csc A + %3
1csc A - cot A31csc A + cot A3
("5)
("6)
-
7/25/2019 integrales .docx
24/26
Solucin& El denominador tiene dos trminos, pero as: no se puede partir en la suma de dos la fraccio-
nes. Sin embargo, este denominador es uno de los binomios con$ugados ("1) de la tabla an-terior. Esto sugiere !ue debe multiplicarse numerador y denominador por su binomio con$u-gado, es decir, por 1% 0 cos "x3. Gacindolo resulta&
tan"x dx % cos "x
=
tan"x (% + cos "x)
dx
(% cos "x)(%+ cos"x)
(tan"x + tan"x cos "x)dx
=% cos" "
x
(tan "x + tan"x cos "x)dx
=sen
""x
En este momento el numerador ya tiene dos trminos, por lo !ue ya se puede partir en la su-ma de dos fracciones&
= tan"x dx + tan "x cos "x dxsen" "x sen" "x
Bna vez partida la integral en la suma de dos, se aplica el criterio de pasar todo a senos yocosenos vista en la pgina >(&
= sen "x dx
+ sen "x cos "x dx
cos "x sen" "x cos "x sen" "x
= dx
+ dx
sen "xcos
"x sen "x
*ara la primera integral se cumple la condicin del inciso 1d3, subinciso 1i3, de la pgina =>.
-
7/25/2019 integrales .docx
25/26
a segunda integral es igual a la cosecante, ya !ue%
senA
= csc A , de manera !ue
= dx
+ %sen /x
"
csc"x dx
= " csc/x dx +
csc"x dx
) " % csc / (
/ d
)0 %
csc"x ("dx) / "
=%
cscu du +%
csc v dv
" "
=%
ln(cscu cot u) +%
ln(cscv cot v) + c" "
tan "x dx
=%
ln (csc /x cot /x ) +%
ln (csc "x cot "x )
-
7/25/2019 integrales .docx
26/26
EJERCICIO 2'
6ealizar las siguientes integrales&
%3
3
3
%;3
cos (x dx
tan (=x + >) dx
sec/ %x dx
csc/
(x dx
tan (x csc" (x dx
%%3 tan>x sen >x cot >xdx
%"3 tan x cot x sec x csc x dx
dx
% senx
%>3 dx
csc" 2x csc2x