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INTEGRALES DEFINIDAS (ΓREAS) Ejercicio 1.- Hallar el valor de las siguientes integrales definidas (Inmediatas)
! (π₯! + 2)ππ₯"
#!
!4
β5π₯ + 1
$
%
ππ₯
! π₯-1 + π₯!β"
%
ππ₯
! π₯ β π#"'!())
%ππ₯
!3π₯! β 2π₯ + 7"
#!
ππ₯
!π₯! + 1!
%
ππ₯
!ππ₯
(π₯ β 1)"#)
#!
!ππ₯
β1 + π₯
"
%
! π₯-π₯! + 9ππ₯*
%
!π₯
βπ₯! β 1ππ₯
"
!
!π₯
π₯! β 1 ππ₯"
!
Ejercicio 2.- Calcula la siguiente integral definida utilizando primero la propiedad de los
logaritmos y despuΓ©s la integraciΓ³n por partes:
! ln π₯! ππ₯+
)
Ejercicio 3.- Resuelve las siguientes integrales definidas utilizando el mΓ©todo de integraciΓ³n por partes:
! arcsin π₯ ππ₯)
%
! ln(-π₯! + 1 β π₯))
%ππ₯
! π!' β cos π₯ ππ₯,
%
Ejercicio 4.- Realiza la siguiente integral utilizando los conocimientos sobre integrales trigonomΓ©tricas:
! π ππ!π₯,
%ππ₯
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Ejercicio 5.- Calcular el Γ‘rea del recinto limitado por la grΓ‘fica de la funciΓ³n
π(π₯) = π₯! β 4, el eje OX y la recta π₯ = 3.
Ejercicio 6.- Calcular el Γ‘rea encerrada por la curva π¦ = π₯! β 4π₯ y la recta π¦ = 2π₯ β 5.
Ejercicio 7.- Determinar el Γ‘rea encerrada por las grΓ‘ficas de las funciones:
π(π₯) = 6π₯ β π₯!; π(π₯) = π₯! β 2π₯
Ejercicio 8.- Calcula el Γ‘rea de la regiΓ³n limitada por la curva de ecuaciΓ³n
π¦ = π₯(π₯ β 1)(π₯ β 2) y la recta π¦ = 0. Hacer un dibujo de esta regiΓ³n.
Ejercicio 9.- Representar grΓ‘ficamente el recinto plano limitado por la recta π₯ β π¦ = 1
y por la curva de ecuaciΓ³n π¦ = βπ₯ β 1. Calcular su Γ‘rea.
Ejercicio 10.- Calcular el Γ‘rea del triangulo de vΓ©rtices π΄(3,0), π΅(6,3), πΆ(8,0)
Ejercicio 11.- Hallar el Γ‘rea del recinto plano y limitado por la parΓ‘bola π¦ = 4π₯ β π₯! y las tangentes a la curva en los puntos de intersecciΓ³n con el eje OX.
Ejercicio 12.- Calcula el Γ‘rea encerrada por la curva π¦ = π₯(6 β π₯) y la recta de ecuaciΓ³n π¦ = π₯
Ejercicio 13.- Calcula el Γ‘rea que encierra la siguiente curva y la recta:
π¦! = π₯; π-. π΄(1, β1)π΅(4,2)
Ejercicio 14.- JUNIO 2020 A4.- Dibujar la regiΓ³n encerrada por
π(π₯) = π₯! β 2π₯ + 1π¦π(π₯) = βπ₯! + 5, y calcular el Γ‘rea de dicha regiΓ³n.
Ejercicio 15.- JULIO 2020 A4.- Representar la regiΓ³n finita del plano limitada por la curva π¦ = 3 β π₯! y por la recta π¦ = 2π₯.Calcular su Γ‘rea.
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SOLUCIONES
Ejercicio 1.- Hallar el valor de las siguientes integrales definidas (Inmediatas)
! (ππ + π)π ππ
#π
π₯"
3 + 2π₯O#!
"
= P3"
3 + 2(3)Q β R(β2)"
3 + 2(β2)S =273 + 6 +
83 + 4
=27 + 18 + 8 + 12
3 =653 π’!
!π
βππ + π
π
π
π π
! 4 β (5π₯ + 1)#)!ππ₯
$
%=45! 5 β (5π₯ + 1)#
)!ππ₯
$
%=45 β X
(5π₯ + 1))!
12
Y
%
$
=
45 β XZ
(5(7) + 1))!
32
[ β Z(5(0) + 1)
)!
32
[Y =45 β \2β36 β 2] = 8π’!
! π-π + ππβπ
π
π π
12! 2π₯ β -1 + π₯!ππ₯β"
%
=12 β X
(1 + π₯!)"!
32
Y
%
β"
=12 β ^Z
\1 + (β3)!]"!
32
[ β Z(1 + 0!)
"!
32
[_
=73π’
!
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! π β π#πππ(ππ
ππ π
β16! β6π₯ β
)
%π#"'!()ππ₯ = β
16 β aπ
#"'!()b%
)= β
16 a\π
#"())!()] β \π#"(%)!()]b
=β16π! +
π6π’
!
!πππ β ππ + ππ
#π
π π
!3π₯! β 2π₯ + 7"
#!
ππ₯ = [π₯" β π₯! + 7π₯]#!" =
= (3" β 3! + 7(3)) β ((β2)" β (β2)! + 7(β2)) = 65π’!
!ππ + ππ
π
π π
!π₯! + 1!
%
ππ₯ = gπ₯"
3 + π₯O%
!
= P2"
3 + 2Q β P0"
3 + 0Q =143 π’
!
!π π
(π β π)π#π
#π
!ππ₯
(π₯ β 1)"#)
#!= ! (π₯ β 1)#"ππ₯ = g
(π₯ β 1)#!
β2 O#!
#)
= h1
β2(π₯ β 1)!i#!
#)
=#)
#!
j1
β2(β1 β 1)!k β j1
β2(β2 β 1)!k = β572π’
!
!π π
βπ + π
π
π
!ππ₯
β1 + π₯
"
%= ! (1 + π₯)#
)!ππ₯
"
%= a2β1 + π₯b%
"= \2β1 + 3] β \2β1 + 0] =
= 2π’!
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! π-ππ + ππ ππ
π
! π₯-π₯! + 9ππ₯*
%=12! 2π₯-π₯! + 9
*
%ππ₯ =
12 X(π₯! + 9)
"!
32
Y
%
*
=
12 XZ
(4! + 9)"!
32
[ β Z(0! + 9)
"!
32
[Y =983 π’!
!π
βππ β ππ π
π
π
!π₯
βπ₯! β 1ππ₯
"
!= ! π₯ β (π₯! β 1)#
)!ππ₯
"
!=12! 2π₯ β (π₯! β 1)#
)!ππ₯
"
!=
12 m2
-π₯! β 1n!
"=12 mo2
-3! β 1p β o2-2! β 1pn = 2β2 β β3π’!
!π
ππ β π π ππ
π
!π
ππ β π π ππ
π=ππ!
ππππ β π
π
ππ π =
ππ aππsπ
π β πsbππ =
ππ a\ππsπ
π β πs] β \ππsππ β πs]b =ππ[πππ β πππ] =
ππ β ππ
πππ
π
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Ejercicio 2.- Calcula la siguiente integral definida utilizando primero la propiedad de los
logaritmos y despuΓ©s la integraciΓ³n por partes:
! ln π₯! ππ₯+
)= ! 2 ln π₯
+
)ππ₯ = 2! ln π₯ ππ₯ =
+
)
π’ = ln π₯ππ£ = ππ₯ β
ππ’ =1π₯ππ₯
π£ = π₯
! ln π₯ππ₯ = π₯ β ln π₯ β !π₯ β1π₯ ππ₯ = π₯ β ln π₯ β π₯ + π
2! ln π₯ ππ₯ =+
)2(π₯ β ln π₯ β π₯))+ = 2[(π β ln π β π) β (1 β ln 1 β 1)] = 2π’!
Ejercicio 3.- Resuelve las siguientes integrales definidas utilizando el mΓ©todo de integraciΓ³n por partes:
! ππ«ππ¬π’π§ π π ππ
π
!πππ sin π₯ ππ₯ = π₯ β arcsin π₯ β !π₯
β1 β π₯!ππ₯ = π₯ β arcsin π₯ +
12!β2π₯
(1 β π₯!)#)!ππ₯
π₯ β arcsin π₯ + -1 β π₯! + π
π’ = arcsin π₯ β ππ’ =1
β1 β π₯!ππ₯
ππ£ = ππ₯ β π£ = π₯
! arcsin π₯ ππ₯)
%= mπ₯ β arcsin π₯ + -1 β π₯!n
%
)= (ππππ ππ1) β (1) =
π2 β 1π’
!
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! π₯π§(-ππ + π β π)π
ππ π
π’ = ln(-π₯! + 1 β π₯) β ππ’ =
2π₯2βπ₯! + 1
β 1
βπ₯! + 1 β π₯ππ₯ β ππ’ =
π₯ β βπ₯! + 1βπ₯! + 1 β π₯
ππ₯ β ππ’ = β1ππ₯
ππ£ = ππ₯ β π£ = π₯
= ! ln(-π₯! + 1 β π₯) ππ₯ = x β ln(-π₯! + 1 β π₯) β !βπ₯ ππ₯ =
= x β ln o-π₯! + 1 β π₯p +π₯!
2 + π
! ln o-π₯! + 1 β π₯p)
%ππ₯ = gx β ln o-π₯! + 1 β π₯p +
π₯!
2 Oπ
π
=
= P1 β ln o-1! + 1 β 1p +1!
2 Q β P0 β ln o-0! + 1 β 0p +
0!
2 Q =
πΏπ2 β12π’
!
! πππ β ππ¨π¬ π π ππ
π
!π!' cos π₯ ππ₯ = π πππ₯ β π!' β 2!π!' β π πππ₯ππ₯
= π πππ₯ β π!' β 2 hβπ!' cos π₯ + 2!π!' cos π₯ ππ₯i =
En la soluciΓ³n encontramos nuevamente la integral del enunciado, se trata de una integral cΓclica.
πΌ = π πππ₯ β π!' + 2π!' cos π₯ β 4πΌ β 5πΌ = π πππ₯ β π!' + 2π!' cos π₯ β
πΌ =π πππ₯ β π!' + 2π!' cos π₯
5 + π
π’ = π!'ππ£ = cos ππ₯
β ππ’ = π!'ππ₯π£ = π πππ₯
PROCEDIMIENTO
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π’ = π!'ππ£ = π πππ₯ππ₯
β ππ’ = 2π!'ππ₯π£ = βcos π₯
! πππ β ππ¨π¬ π π ππ
π= g
π πππ₯ β π!' + 2π!' cos π₯5 O
π
π
=
Pπ πππ β π!, + 2π!, cos π
5 Q β Pπ ππ0 β π!(%) + 2π!(%) cos 0
5 Q = β2π!, + 2
5
Ejercicio 4.- Realiza la siguiente integral utilizando los conocimientos sobre integrales trigonomΓ©tricas:
! π ππ!π₯,
%ππ₯
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Ejercicio 5.- Calcular el Γ‘rea del recinto limitado por la grΓ‘fica de la funciΓ³n
π(π₯) = π₯! β 4, el eje OX y la recta π₯ = 3.
Representamos la curva π¦ = π₯! β 4 , para ello podemos calcular el vΓ©rtice, que coincidirΓ‘ con el valor de mΓ‘ximo o el mΓnimo de la funciΓ³n:
π¦9 = 2π₯ β π¦9 = 0 β 2π₯ = 0 β π₯ = 0
Para saber la imagen de este vΓ©rtice, debemos de sustituir este valor en la funciΓ³n:
π(0) = 0! β 4 = β4 β (0,β4)ππΈπ ππΌπΆπΈ
Ahora debemos de calcular los puntos de corte de la funciΓ³n con los ejes:
π₯ π¦ 0 π¦ = 0! β 4 = β4
0 = π₯! β 4 β π₯ = οΏ½+2β2 0
! π₯! β 4"
!ππ₯ =
gπ₯"
3 β 4π₯O!
"
=
R3"
3 β 4(3)S β R2"
3 β 4(2)S =
=73π’
!
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Ejercicio 6.- Calcular el Γ‘rea encerrada por la curva π¦ = π₯! β 4π₯ y la recta π¦ = 2π₯ β 5.
Representamos cada funciΓ³n:
π¦ = π₯! β 4π₯
β π¦9 = 2π₯ β 4
π¦9 = 0 β 2π₯ β 4 = 0 β π₯ = 2
En el punto π₯ = 2vamos a tener un mΓ‘ximo o un mΓnimo (vΓ©rtice), debemos de calcular su imagen:
π(2) = 2! β 4(2) = β4
En el punto (2, β4)ππ πππ£Γ©ππ‘πππππππππππππππ.
Calculamos los puntos de corte:
π₯ π¦ 0 π¦ = 0! β 4(0) = 0
0 = π₯! β 4π₯ β π₯ = οΏ½04 0
π¦ = 2π₯ β 5
π₯ π¦ 0 β5 1 β3
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Ahora debemos de calcular los puntos de corte entre las dos funciones para saber entre
que dos valores tienen que estar definida la integral.
οΏ½π¦ = π₯! β 4π₯π¦ = 2π₯ β 5 β π₯! β 4π₯ = 2π₯ β 5 β π₯! β 6π₯ + 5 = 0 β οΏ½π₯ = 1
π₯ = 5
! 2π₯ β 5 β (π₯! β 4π₯):
)ππ₯ = ! βπ₯! + 6π₯ β 5ππ₯ =
:
)
gβπ₯"
3 + 3π₯! β 5π₯O)
:
= Rβ5"
3 + 3(5)! β 5(5)S β Pβ(1)"
3 + 3(1)! β 5Q =
323 π’!
Ejercicio 7.- Determinar el Γ‘rea encerrada por las grΓ‘ficas de las funciones:
π(π₯) = 6π₯ β π₯!; π(π₯) = π₯! β 2π₯
Cuando trabajamos con dos funciones polinΓ³micas de grado dos, es muy sencillo
determinar que funciΓ³n actΓΊa como tapa superior y cual como tapa inferior en el calculo
del Γ‘rea, ya que, conocemos con es la representaciΓ³n de cada funciΓ³n.
La funciΓ³n que tiene el signo menos con la x elevada al cuadrado es la tapa superior, por
el contrario, la que tiene la x al cuadrado positiva, es la tapa inferior. Lo ΓΊnico que
necesitamos saber, son los puntos de corte entre ambas funciones para determinar el
Γ‘rea:
οΏ½π¦ = 6π₯ β π₯!
π¦ = π₯! β 2π₯β 6π₯ β π₯! = π₯! β 2π₯ β β2π₯! + 8π₯ = 0 β 2π₯(βπ₯ + 4) = 0 β
β οΏ½π₯ = 0π₯ = 4
Estos son los valores entre los que estarΓ‘ el Γ‘rea:
! 6π₯ β π₯! β (π₯! β 2π₯)*
%ππ₯ = ! β2π₯! + 8π₯
*
%ππ₯
= gβ2π₯"
3 + 4π₯!O%
*
=
Pβ2(4)"
3 + 4(4)!Q β Pβ2(0)"
3 + 4(0)!Q =643 π’!
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Ejercicio 8.- Calcula el Γ‘rea de la regiΓ³n limitada por la curva de ecuaciΓ³n
π¦ = π₯(π₯ β 1)(π₯ β 2) y la recta π¦ = 0. Hacer un dibujo de esta regiΓ³n.
Para realizar la representaciΓ³n grΓ‘fica de estas funciones, quizΓ‘s puedas tener algΓΊn
problema con π¦ = π₯(π₯ β 1)(π₯ β 2) pero veras lo sencillo que es:
Primero calculamos los puntos de corte con los ejes:
π₯ π¦
0 π¦ = 0(0 β 1)(0 β 2) = 0
0 = π₯(π₯ β 1)(π₯ β 2) β π₯ = οΏ½π₯ = 0π₯ = 1π₯ = 2
0
Cuando ya tenemos los cΓ‘lculos de los puntos de corte hechos, deberemos de calcular
los mΓ‘ximos y mΓnimos de la funciΓ³n:
π¦ = π₯(π₯ β 1)(π₯ β 2) β π¦ = (π₯! β π₯)(π₯ β 2) β π¦ = π₯" β 3π₯! + 2π₯
π¦9 = (2π₯ β 1)(π₯ β 2) + (π₯! β π₯)(1) β π¦9 = 2π₯! β 4π₯ β π₯ + 2 + π₯! β π₯
π¦9 = 3π₯! β 6π₯ + 2
Tenemos que igualar ahora la derivada a cero para poder hallar los puntos de los
posibles mΓ‘ximos o mΓnimos:
π¦9 = 0 β 3π₯! β 6π₯ + 2 = 0 β π₯ =
β©βͺβ¨
βͺβ§3 + β3
33 β β33
Vamos a calcular la segunda derivada para comprobar cada punto si es un mΓ‘ximo o un
mΓnimo:
π¦99 = 6π₯ β 6
πβ²β² P3 + β33 Q > 0 β πΓππππ
πβ²β² P3 β β33 Q < 0 β πΓ‘π₯πππ
Con esta informaciΓ³n podemos hacer una representaciΓ³n de la funciΓ³n aproximada:
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Como puedes comprobar, vamos a tener dos Γ‘reas. Una que se encuentra por encima
del eje OX que esta definida desde π₯ = 0; βππ π‘ππ₯ = 1 y otra funciΓ³n que esta por
debajo del eje OX que esta definida desde π₯ = 1; βππ π‘ππ₯ = 2
! π(π₯) β 0ππ₯ +)
%! 0 β π(π₯)!
)ππ₯
! π₯(π₯ β 1)(π₯ β 2)dx)
%+! β[π₯(π₯ β 1)(π₯ β 2)]
!
)ππ₯
! π₯" β 3π₯! + 2π₯)
%ππ₯ +! βπ₯" + 3π₯! β 2π₯
!
)ππ₯ =
gπ₯*
4 β 3π₯"
3 + π₯!O%
)
+ gβπ₯*
4 + 3π₯"
3 β π₯!O)
!
=
14 +
14 =
12π’
!
PΓ‘gina 14 de 21 C2ACADEMIA.COM
Ejercicio 9.- Representar grΓ‘ficamente el recinto plano limitado por la recta π₯ β π¦ = 1
y por la curva de ecuaciΓ³n π¦ = βπ₯ β 1. Calcular su Γ‘rea.
Recuerda que para representar una ecuaciΓ³n de este tipo π¦ = βπ₯ β 1 tenemos que calcular el dominio:
π₯ β 1 β₯ 0 β π₯ β₯ 1
π·πππ¦ = [1,β)
Ahora solamente debemos de hacer una tabla de valores, sabiendo cual es el dominio:
π₯ π¦ 1 0 5 2 10 3
Para representar la otra funciΓ³n π₯ β π¦ = 1 β π¦ = π₯ β 1 tenemos que hacer una tabla de valores y ya estarΓa hecha la representaciΓ³n:
π₯ π¦ 1 0 5 4 10 9
PΓ‘gina 15 de 21 C2ACADEMIA.COM
Ahora debemos de calcular los puntos entre los que estarΓ‘ definida la integral, para eso
debemos de igualar las dos funciones y resolver el sistema:
οΏ½π¦ = βπ₯ β 1π¦ = π₯ β 1
β βπ₯ β 1 = π₯ β 1 β π₯ β 1 = (π₯ β 1)! β
π₯ β 1 = π₯! β 2π₯ + 1 β π₯! β 3π₯ + 2 = 0 β π₯ = οΏ½12
! βπ₯ β 1)
%β (π₯ β 1)ππ₯ = ! (π₯ β 1)
)! β (π₯ β 1)ππ₯
)
%= ! (π₯ β 1)
"!ππ₯
)
%=
X(π₯ β 1)
:!
52
Y
%
)
= Z(1 β 1)
:!
52
[ β Z(0 β 1)
:!
52
[ =25π’
!
Ejercicio 10.- Calcular el Γ‘rea del triangulo de vΓ©rtices π΄(3,0), π΅(6,3), πΆ(8,0)
Para realizar este ejercicio debemos de representar los puntos sobre los ejes y unir
dichos puntos para crear el triΓ‘ngulo.
Cuando ya tienes la representaciΓ³n
hecha, tienes que fijarte en lo siguiente:
El Γ‘rea que representa el triΓ‘ngulo por
debajo siempre esta definida la misma
funciΓ³n ( π¦ = 0) . Pero por encima,
primero tenemos la recta que une los
puntos A y B y despuΓ©s la recta que une
los puntos B y C.
Como ya te estarΓ‘s dando cuenta, debemos de calcular las dos rectas π΄π΅π¦π΅πΆ:
Recta AB:
π΄π΅Β₯Β₯Β₯Β₯Β₯β = (3,3) β π =33 = 1
Sabiendo la pendiente, y recordando que la ecuaciΓ³n de una recta tiene esta estructura:
π¦ = ππ₯ + π
Calculamos el valor de π sustituyendo uno de los dos puntos en la ecuaciΓ³n, es decir,
π¦ = π₯ + π β π΄(3,0) β 0 = 3 + π β π = β3
La ecuaciΓ³n: π¦ = π₯ β 3
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Hacemos el mismo procedimiento con los puntos B y C:
π΅πΆΒ₯Β₯Β₯Β₯Β₯β = (2, β3) β π =β32
Sabiendo la pendiente, y recordando que la ecuaciΓ³n de una recta tiene esta estructura:
π¦ = ππ₯ + π
Calculamos el valor de π sustituyendo uno de los dos puntos en la ecuaciΓ³n, es decir,
π¦ = β32π₯ + π β π΄(8,0) β 0 = β
32 (8) + π β π = 12
La ecuaciΓ³n: π¦ = β "!π₯ + 12
Vamos ahora a calcular las integrales definidas, una de π₯ = 3ππ₯ = 6 y la otra integral
de π₯ = 6ππ₯ = 8.
! π₯ β 3ππ₯ +! β32π₯ + 12ππ₯
;
<
<
"
gπ₯!
2 β 3π₯O"
<
+ gβ3π₯!
4 + 12π₯O<
;
=92 + 3 =
152 π’!
Ejercicio 11.- Hallar el Γ‘rea del recinto plano y limitado por la parΓ‘bola π¦ = 4π₯ β π₯! y las tangentes a la curva en los puntos de intersecciΓ³n con el eje OX.
Lo primero que haremos serΓ‘ calcular los puntos de corte de la funciΓ³n con el eje OX, ya
que en esos puntos serΓ‘ donde debamos de calcular las rectas tangentes para
posteriormente realizar el calculo del Γ‘rea:
Puntos de corte eje ππ(π¦ = 0) β 0 = 4π₯ β π₯! β 0 = π₯(4 β π₯) β π₯ = οΏ½04
Ahora tenemos que realizar el calculo de las rectas tangentes, tal y como hemos
aprendido en temas anteriores, puedes encontrar el esquema en la pagina web de la
academia c2academia.com
πππ₯ = 0 β
π¦ = π(0) + π9(0)(π₯ β 0) β
π¦ = 4π₯
πππ₯ = 4 β
π¦ = π(4) + π9(4)(π₯ β 4) β
π¦ = β4π₯ + 16
Ahora hacemos la representaciΓ³n de las
tres funciones:
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Date cuenta ahora de lo siguiente; por encima del Γ‘rea que encierran las tres funciones
tenemos dos funciones, y por debajo siempre tenemos una ΓΊnica funciΓ³n:
Por tanto, vamos a tener que diferenciar dos integrales: una de π₯ = 0ππ₯ = 2 y otra
integral de π₯ = 2ππ₯ = 4
! 4π₯ β!
%(4π₯ β π₯!)ππ₯ +! β4π₯ + 16 β (
*
!4π₯ β π₯!)ππ₯
! π₯!ππ₯!
%+! π₯! β 8π₯ + 16
*
!ππ₯
= gπ₯"
3 O%
!
+ gπ₯"
3 β 4π₯! + 16π₯O!
*
=83 +
83 =
163 π’!
Ejercicio 12.- Calcula el Γ‘rea encerrada por la curva π¦ = π₯(6 β π₯) y la recta de ecuaciΓ³n π¦ = π₯
Cuando el enunciado no nos diga que debemos de representar las grΓ‘ficas podemos realizar el ejercicio interpretando y sabiendo como se comportan las funciones:
π¦ = 6π₯ β π₯!
Esta funciΓ³n es una parΓ‘bola en la que las ramas van hacia abajo ya que el signo del monomio π₯! es negativo, por lo tanto, esta funciΓ³n a la hora de realizar el calculo del Γ‘rea actuara como funciΓ³n que va por encima (tapa).
Por tanto, la recta actuara como funciΓ³n que va por debajo:
Para saber entre que dos valores esta definida la integral, debemos de igualar las dos funciones:
οΏ½π¦ = 6π₯ β π₯!π¦ = π₯ β 6π₯ β π₯! = π₯ β 5π₯ β π₯! = 0 β οΏ½π₯ = 0
π₯ = 5
Ahora que ya sabemos entre que dos valores esta definida la integral, y tambiΓ©n sabemos que funciΓ³n va por encima y cual por debajo, entonces;
! 6π₯ β π₯! β π₯:
%ππ₯ = ! 5π₯ β π₯!
:
%ππ₯ = g
5π₯!
2 βπ₯"
3 O%
:
=
P5(5)!
2 β(5)"
3 Q β P5(0)!
2 β(0)"
3 Q =1252 β
1253 =
375 β 2506 =
1256 π’!
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Ejercicio 13.- Calcula el Γ‘rea que encierra la siguiente curva y la recta:
π¦! = π₯; π-. π΄(1, β1)π΅(4,2)
Lo primero que podemos hacer es crear la recta que pasa por los puntos A y B:
π΄π΅Β₯Β₯Β₯Β₯Β₯β = (3,3) β π =33 = 1
Sabiendo que la pendiente es tres y que la expresiΓ³n de una recta es: π¦ = ππ₯ + π
π¦ = π₯ + π β π΄(1,β1) β β1 = 1 + π β π = β2
Por tanto,
π¦ = π₯ β 2
Ahora vamos a representar la curva con la que estamos trabajando:
π¦! = π₯ β π¦ = Β±βπ₯
Lo primero que debemos de hacer para representar esta funciΓ³n es, calcular el dominio.
π₯ β₯ 0 β π·πππ¦ = [0,β)
Por lo tanto, lo ΓΊltimo que debemos de hacer es crear una tabla de valores.
π₯ π¦
4 Β±2
9 Β±3
16 Β±4
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Como puedes comprobar, vamos a tener que calcular dos integrales definidas, ya que
por debajo del Γ‘rea que encierran las funciones tenemos dos funciones diferentes;
primero la azul y despuΓ©s la verde.
Para saber los puntos entre los que estarΓ‘ definida cada integral debemos de igualar las
funciones:
οΏ½ π¦ = βπ₯π¦ = π₯ β 2 ββπ₯ = π₯ β 2 β π₯ = (π₯ β 2)! β π₯ = π₯! β 4π₯ + 4 β
π₯! β 5π₯ + 4 = 0 β π₯ = οΏ½14
! βπ₯)
%ππ₯ +! βπ₯ β (π₯ β 2)
*
)ππ₯ = X
π₯" !=
32Y
%
)
+ Xπ₯" !=
32
βπ₯!
2 + 2π₯Y
)
*
=
g2βπ₯"
3 O%
)
+ g2βπ₯"
3 βπ₯!
2 + 2π₯O)
*
=23 +
196 =
236 π’!
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Ejercicio 14.- JUNIO 2020 A4.- Dibujar la regiΓ³n encerrada por
π(π₯) = π₯! β 2π₯ + 1π¦π(π₯) = βπ₯! + 5, y calcular el Γ‘rea de dicha regiΓ³n.
Lo primero que debemos hacer es representar las dos funciones, al ser polinomios de segundo grado son muy sencillas de representar. Γnicamente con calcular el mΓ‘ximo o mΓnimo de cada funciΓ³n y los puntos de corte con los ejes es mas que suficiente.
La representaciΓ³n de estas funciones es la siguiente:
Cuando ya tienes la representaciΓ³n de las curvas y tienes determinado el Γ‘rea, debemos de calcular entre que valores habrΓ‘ que realizar la integral, para eso debemos de igualar las dos funciones:
οΏ½π¦ = π₯! β 2π₯ + 1π¦ = βπ₯! + 5
β π₯! β 2π₯ + 1 = βπ₯! + 5 β 2π₯! β 2π₯ β 4 = 0 β οΏ½ π₯ = 2π₯ = β1
Recuerda que cuando vas a calcular un Γ‘rea que encierran dos funciones siempre es la integral de la funciΓ³n que va por encima menos la que va por debajo:
! (βπ₯! + 5) β (π₯! β 2π₯ + 1)!
#)ππ₯
= ! β2π₯! + 2π₯ + 4ππ₯ = gβ2π₯"
3 + π₯! + 4π₯O#)
!
=!
#)
hβ2(8)3 + 4 + 8i β g
β2(β1)3 + 1 β 4O =
β16 + 12 + 243 β
+2 + 3 β 123 = 9π’!
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Ejercicio 15.- JULIO 2020 A4.- Representar la regiΓ³n finita del plano limitada por la curva π¦ = 3 β π₯! y por la recta π¦ = 2π₯.Calcular su Γ‘rea.
En este ejercicio lo primero que tenemos que hacer es representar las funciones que nos da el enunciado, por un lado, una funciΓ³n de primer grado que la representamos con una tabla de valores y la otra funciΓ³n, de segundo grado, que se representa calculando su mΓ‘ximo o mΓnimo y sus puntos de corte con los ejes.
Cuando ya tienes la representaciΓ³n y sabes cual es el Γ‘rea que debes de calcular, ΓΊnicamente necesitas saber, entre que valores tenemos que calcular la integral, para eso hacemos un sistema con las dos funciones:
οΏ½π¦ = 2π₯
π¦ = 3 β π₯! β 2π₯ = 3 β π₯! β π₯! + 2π₯ β 3 = 0 β οΏ½π₯ = β3π₯ = 1
! 3 β π₯! β 2π₯ππ₯ = g3π₯ βπ₯"
3 β π₯!O#"
)
= h3 β13 β 1i β hβ9 β
β273 β 9i =
323 π’
!)
#"