Download - Integrales
DefiniciónDefiniciónUna función F se dice que es una primitiva o antiderivada de f en un intervalo I si F’(x)=f(x) para todo x є I.
EjemploEjemploSe necesita encontrar una función F que su derivada sea f(x)=4x3, por los conocimientos en diferenciación se diría que:
Por lo tanto F es una primitiva de f.
4)( xxF 34 4xxdxd
Familia de Primitivas:Familia de Primitivas:Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G es una primitiva de f en I si y solo si G es de la forma:
EjemploEjemploSabemos que la función F(x)=x4 es una primitiva de f(x)=4x3 así que las siguientes funciones:
G1(x)=x4+5 G2(x)=x4-123
también son primitivas de f(x).
CxFxG R
C
Ix
CxxG 4 Es la familia de primitivas de f(x)
Para denotar la primitiva de una función f se usa la notación:
DefiniciónDefiniciónEl proceso de calcular las primitivas de una función f se denomina integración, así que tenemos:
lo que significa que:
dxxf
CxFdxxf
xfxFCxFdxd
'
RC
Partes de la Integración:Partes de la Integración:
CxFdxxf
Variable de Integración
Integrando
Símbolo de la
Integración
Constante de
Integración
Reglas de la Integración:Reglas de la Integración:
1.
2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
Cxdxx
ln1
dxxgdxxfdxxgxf
11
1
nCn
xdxx
nn
dxxfkdxxkf
Cedxe xx Ca
adxa
xx
ln
Cxsenxdx cos Csenxxdxcos
Reglas de la Integración:Reglas de la Integración:
9. 10.
11. 12.
13. 14.
Cxxdx tansec2 Cxxdx cotcsc2
Cxxdxx sectansec Cxxdxx csccotcsc
Cxdxx
12
tan1
1
Cxsendxx
1
2 1
1
Ejemplo:Ejemplo:
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
1. 2.
3. 4.
5.
dxx3
1 dxx
senxdx2 dxx 2
dxxxx 24 53
Solución:Solución:
C2x1
dxx1
23C
xdxx
2
23
Cx32
dxx 3 CxCx
dxx 232
3
2/1
32
23
C2cosx2senxdx Cxdxsenx cos22
1.
2.
3.
Solución:Solución:
C2x2x
dx2x2
dxdxx 2
xdxdxxdxx 24 53dxx5x3x 24
Cx21
x35
x53 235
C
xxx23
55
3235
4.
5.
Ejercicios para resolver en Clase:Ejercicios para resolver en Clase:
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
1.
2.
3.
dxxx 24 sec210
dxxx 63
dx
xxx
23 3
62
Ejercicios de Tarea:Ejercicios de Tarea:
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
1.
2.
3.
dxxx 122/3
dxxsenx cos32
dxx
xx 12
Identidades Fundamentales:Identidades Fundamentales:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
senxx
1csc
xx
cos1
sec
xsenx
xcos
tan xsenxx coscot
xx
tan1
cot 1cos22 xxsen
xx 22 sec1tan xx 22 csc1cot
Con las identidades mencionadas anteriormente se extienden las fórmulas básicas de integración:
15. 16.
17. 18.
Cxxdx coslntan Csenxxdx lncot
Cxxxdx tanseclnsec Cxxxdx cotcsclncsc
Ejemplo:Ejemplo:
Calcular la siguiente integral
Solución:Solución:
dyy 1tan2
Ctany ydydyy 22 sec1tan
Ejercicios para Resolver en Clases:Ejercicios para Resolver en Clases:
1. Resolver las siguientes integrales
a) b)
c)
dxxsenx cos32
dxxxcotcsc1
dxsenxx2sec
Entre ambas ramas existe una relación descubierta independientemente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, que se denomina Teorema Fundamental del Cálculo, el cual afirma que la diferenciación e integración son operaciones mutuamente inversas.
Teorema Fundamental de CálculoTeorema Fundamental de Cálculo
Si f(x) es una función continua en [a, b] y F es una primitiva de f en [a, b] entonces:
Para aplicarlo se va a utilizar la siguiente notación:
b
a
aFbFdxxf )()(
b
a
ba aFbFxFdxxf )()(
Propiedades de la Integral DefinidaPropiedades de la Integral Definida
Sea f(x) una función integrable en [a, b], entonces:
1. Si k es cualquier constante entonces:
2. Si g(x) es una función integrable en [a, b], entonces:
dxxfkdxxkfb
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxfb
a
b
a
b
a
Propiedades de la Integral DefinidaPropiedades de la Integral Definida
3. Sea c є [a, b], es decir, a<c<b. Entonces f es integrable en [a, b], si solo si f es integrable en [a, c] y en [c, b]:
4. La integral definida sobre un punto es cero, esto es:
dxxfdxxfdxxfb
c
c
a
b
a
0 dxxfa
a
Propiedades de la Integral DefinidaPropiedades de la Integral Definida
5. La integral definida de a a b de f es igual a menos la integral definida de b a a de f, es decir:
dxxfdxxfa
b
b
a
EjemploEjemplo
Resuelva las siguientes integrales:
1.dxx
4
1
3
dxxx
1
0 32.
Solución:Solución:2. Geométricamente la integración de la función (2) en el intervalos [1, 4] es el área de la región sombreada:
14
4
1
2/34
1
21
2/333
xdxx /dxx3
4
1
2/32/3 1242
Ejercicios para Resolver en ClaseEjercicios para Resolver en Clase
Resolver las siguientes integrales:
1.
2.
dxx1
0
2
dxx
0
1
2
Ejercicios de TareaEjercicios de Tarea
Resolver las siguientes integrales:
1.
2.
3.
dxx
2
12
13
dxx
1
1
3 2
dxx
x
4
1
2
Método de SustituciónMétodo de SustituciónSea g una función cuyo rango es un intervalo I, y sea f una función continua en I. Si g es diferenciable en su dominio y F es una primitiva de f en I, entonces:
Si hacemos el cambio de variable u=g(x) entonces du=g’(x)dx y:
Este método es comparable a la regla de la cadena en la diferenciación.
CxgFdxxgxgf '
CuFduuf
Ejemplo:Ejemplo:
1. Resolver la integral:
Solución:Solución:
dxxx 13 32
duuduudxxx 2/132 13
dxxdu
xu2
3
3
1
CuCu
2/32/3
32
23
C1x32 33 cx
2/33 132
Ejercicios para Resolver en ClasesEjercicios para Resolver en Clases
1. Resuelva las siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
dxxx 42 12
dxxx 22 1
dxx)5cos(5
Existen dos métodos para evaluar una integral definida por sustitución.
Uno de ellos es evaluar primero la integral indefinida y en seguida aplicar el TFC, por ejemplo:
4
0
2/34
0
4
0 2/312
21
21221
12
xdxxdxx
326
12731
131
931
1231 2/32/3
4
0
2/3x
El otro método suele ser el mas adecuado, en este se cambian los límites de integración cuando se cambie la variable, como se explica a continuación:
Si g’ es continua sobre el intervalo [a, b] y f lo es sobre el rango de u=g(x) entonces
duufdxxgxgfbg
ag
b
a
)(
)(
'
EjemploEjemplo
SoluciónSoluciónTomando la sustitución u=2x+1 tenemos que
Hallamos los nuevos límites de integración:
dxx 4
0
12
dxdu 2 dudx21
110200 ux
914244 ux
Por lo tanto:
duu 9
1
dx12x4
0
912/39
1
2/3
9
1
2/39
1
2/1
31
32
21
322
121
uuu
duu
326
2/32/3 1931
Ejemplo:Ejemplo:Evaluar la siguiente integral dxxx
1
0
32 1
xdxdu
xu
2
12
xdxdu
21 11000 2 ux
21111 2 ux
duuduu 2
1
32
1
3
21
21
815
44 1281 214
2
1
4
81
421
uu
Ejercicios para Resolver en ClaseEjercicios para Resolver en Clase
Evaluar las siguientes integrales:
1.
2.
3.
dxx
x
5
1 12
dxxxe
1
ln
dxx 7
3
3
Ejercicios de TareaEjercicios de Tarea
Calcular las siguientes integrales
1.
2.
3.
dxx
xx
732
dxxx
1
1
32 1
dxxx 292
Índice
1 Área del recinto donde interviene una función
1.1 La función f(x) es positiva en [a, b]1.2 La función f(x) es negativa en [a, b]1.3 La función toma valores positivos y negativos en [a, b]
2 Área del recinto donde intervienen dos funciones
2.1 Las dos funciones no se cortan en [a, b]2.2 Las dos funciones se cortan en [a, b]
1.1 La función f(x) es positiva en [a, b]
b,aen0)x(f
Área del recinto = b
a
dx)x(f
1 Área del recinto donde interviene una función
El recinto será el limitado por la función f(x), el eje OX y dos recta verticales x =a y x = b.
y=x2
y=x4-2x3+2
Área = 2
4
2
4
2
32 u
3
56
3
8
3
64
3
xdxx
Área =
2
1
2
2
1
4534 u
10
51x2
2
x
5
xdx)2x2x(
Ejemplos1. Hallar el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = x2, el eje OX, la recta x = 2 y la recta x = 4.
2. Hallar el área de la región R limitada por la curva y = x4 – 2x3 + 2 entre x = -1 y x = 2.
1.2 La función f(x) es negativa en [a, b]
Área del recinto = - b
a
dx)x(f
Ejemplo:
Área = 2
2
2
2
2
32 u
3
16
3
8
3
8
3
xdx)x(
y = -x2
Hallar el área del recinto determinado por la parábola de ecuación y = -x2, el eje OX y las rectas x = -2 y x = 2
El recinto será el limitado por la función f(x), el eje OX y dos recta verticales x =a y x = b.
1.3 La función toma valores positivos y 1.3 La función toma valores positivos y
negativosnegativos
Área (R) = be
ed
dc
ca
dx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f
Ejemplo:
1. Hallar el área delimitada por la gráfica de y = cos x y el eje OX en el intervalo [0 , 2]
2
2
3 2
y=cosx
Área (R) = 2u4dxxcosdxxcosdxxcos 2
3
2
2
2
3
2
0
Ejemplo:2. Hallar el área limitada por la curva y = x3 – 6x2 + 8x y el eje OX.
Área (R) = 242
2320
23 u8dx)x8x6x(dx)x8x6x(
y = x3 – 6x2 + 8x
Ejemplo:1. Hallar el área de la región limitada por las funciones y = x2 e y = 2x – 3 entre x = 2 y x = 4
Área (R) = 24
22 u
3
38dx)]3x2(x[
y = x2
y = 2x – 3
2.2 Las dos funciones se cortan en [a, b]
Área (R) = bc
ca
dx)]x(g)x(f[dx)]x(f)x(g[
Ejemplo:1. Hallar el área de la región limitada por las funciones y = x2 e xy
y = x2
xy
Área (R) = 2
1
0
323
10
210
21
u3
1
3
xx
3
2dxxdxx
Ejemplo:2. Hallar el área del recinto limitado por la parábola y = x2 , la recta y = -x + 2 y el eje OX
Área (R) = 22
110
2 u6
5dx)2x(dxx
y = x2
y = - x + 2
Cuando una región plana es girada alrededor de un eje de revolución engendra un sólido de revolución.
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Ejemplo: El cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Para encontrar el volumen de un sólido de revolución con el método de los discos, usar la fórmula siguiente:
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)
Sea la función dada por y=f(x) que represente una curva suave en el intervalo [a,b]. La longitud de arco de f entre a y b es:
Longitud de arco
La definición de longitud de arco puede aplicarse a una función lineal.
Longitudes de arco(EJEMPLO)
Sea f y g funciones diferenciables en un intervalo I, entonces:
Se puede utilizar otra notación, que es más fácil de recordar, la cual se muestra a continuación:
dxxfxgxgxfdxxgxf ''
)(
)(
xgv
xfu
dxxgdv
dxxfdu
)('
)('
vduuvudv
EjemploEjemplo
SoluciónSolución
De manera que:
dxxsenxxu dxdu
dxxsendv )(xv cos
dxxxxdxxxxdxxsenx coscoscoscos
Csenxxcosx
SoluciónSoluciónNotamos que si hubiéramos elegido u=senx y dv=xdx, entonces du=cos(x)dx y v=x2/2 por lo que:
es una integral mas difícil de calcular.
dxxsenx
dxxxsenxx
dxxsenx cos21
22
2
dxcosxx2
EjemploEjemplo
SoluciónSolución
De manera que:
La integral obtenida es mas sencilla que la inicial pero aun no es obvia, por lo cual hay que volver a aplicar la integración por partes.
dxex x 2
2xu xdxdu 2
dxedv xxev
dxxeexdxex xxx 222
dxxexxu dxdu dxedv x xev
Cexedxexedxxe xxxxx 2
Sustituyendo el resultado de la segunda ecuación tenemos que: Cexeexdxxeexdxex xxxxxx 22 222
1xxx2 C2e2xeex CC 21
Ejercicios para Resolver en ClaseEjercicios para Resolver en Clase
Resuelva las siguientes integrales:
1.
2.
3.
4.
dxxln
dxsenxexdxxx ln2
dxx 3sec
Fórmula de Integración por Partes para Integrales DefinidasFórmula de Integración por Partes para Integrales Definidas
b
a
b
a
ba vduuvudv
EjemploEjemplo
De donde:
Por lo tanto:
dxxex1
0
dxdu
xu
x
x
ev
dxedv
101
0
1
0
1
0
1
0
xxxxx exedxexedxxe 1 10 ee
Ejercicios de TareaEjercicios de Tarea
Resuelva las siguientes integrales:
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4.
dxxe x 2
dxxx cos
dxxsen 1
dxsen cos
dxxx2
0
2cos
dxx4
1
ln
dxxx 1
0
1tan