INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
ESIME ZACATENCO
ANÁLISIS DE LA DINÁMICA DE VUELO DE UN MINIHELICÓPTERO DE DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN NACIONAL
Tesis que presenta
Rogelio Gerardo Hernández García
para obtener el Grado de
Maestro en Ciencias
en la especialidad de
Ingeniería Mecánica
Director de la Tesis
Dr. Samuel Alcántara Montes
México D. F. Noviembre 2007
i
CONTENIDO
Contenido i
Lista de Símbolos iii
Abreviaturas ix
Lista de figuras xi
Resúmen xiii
Abstract xv
Introducción xvii
Capítulo 1 Estado del Arte 1
Capítulo 2 Fundamentos 11
2.1 La dinámica de vuelo 12
2.2 El rotor principal 14
2.3 El rotor de cola 19
2.4 El fuselaje 20
2.5 El empenaje horizontal 21
2.6 El empenaje vertical 21
Capítulo 3 Ecuaciones de movimiento 23
3.1 Sistema de referencia del helicóptero 24
3.1.1 Sistema Núcleo 26
3.1.2 Sistema de referencia de un elemento de pala y sistema
viento
28
3.1.3 Ejes cuerpo 29
3.2 Análisis de fuerzas y momentos en el helicóptero 32
3.3 Ecuaciones generales de movimiento traslacional y
rotacional
35
Capítulo 4 Modelación Matemática 37
4.1 Ecuaciones que rigen la dinámica de vuelo 40
4.2 Elementos del modelado del rotor principal 41
4.2.1 Cantidad de movimiento lineal y corriente de flujo
inducido
41
ii
4.2.2 Determinación de fuerzas y momentos en el rotor
principal mediante análisis por elemento de pala
44
4.2.3 Determinación de fuerzas y momentos debido al aleteo
de las palas de rotor principal
55
4.2.4 El rotor equivalente a un sistema de resorte en el
centro
63
4.3 Tracción y potencia del rotor de cola 77
4.4 Fuerzas y momentos aerodinámica del fuselaje 80
4.5 Fuerzas normales del empenaje horizontal y vertical 82
4.6 Sistemas de mando de vuelo 84
4.6.1 Canales de cabeceo y alabeo 84
4.6.2 Canales de guiñada 86
4.6.3 Canal colectivo 87
Capítulo 5 Simulación Numérica del Modelo 89
Conclusiones y recomendaciones 97
Referencias 101
Apéndice 1 Plataforma experimental voladora A1-1
Apéndice 2 Sistema de adquisición de datos y sensores de la
aeronave
A2-1
Apéndice 3 Fabricación del cuerpo del fuselaje de la aeronave A3-1
Apéndice 4 Determinación de los coeficientes aerodinámicos del
cuerpo de la aeronave
A4-1
iii
LISTA DE SÍMBOLOS Símbolo Descripción Unidades
axB, ayB, azB Componentes de aceleración del elemento de pala m/s CI, CM, CM0 Matrices en las ecuaciones de batimiento de la
pala
CMF Función del momento de cabeceo del fuselaje CNF, CNFA, CNFB Funciones del momento de guiñada del fuselaje CQ Coeficiente de par torsional del rotor principal CQTR Coeficiente de par torsional del rotor de cola CT Coeficiente de empuje del rotor principal CTT Coeficiente de empuje del rotor de cola CX, CY, CZ Coeficientes de fuerza del rotor principal en los
ejes de la flecha
CXW, CYW, CZW Coeficientes de fuerza del rotor principal en los ejes núcleo-viento
CXF, CZF Funciones de fuerza del fuselaje CYFN Función de fuerza lateral del estabilizador CYS Coeficiente de fuerza lateral del fuselaje CZTP Coeficiente de fuerza del plano de cola DI, DM, DM0 Matrices en las ecuaciones de batimiento de la
pala
d,d Resistencia al avance y función normalizada de resistencia al avance que actúan en el elemento de pala
βd Determinante de la matriz en las ecuaciones de batimiento
EI Resistencia a la flexión de una pala F(r, t) Carga externa en una viga elástica en rotación F(1)(ψ), F(2)(ψ) Cargas aerodinámicas en la pala integrada
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2s1
2c1
1s2
1c2
1s1
1c1
10
F,F,F
,F,F,F,F
Componentes armónicas de F(1)(ψ) y F(2)(ψ)
fy, fz Fuerzas en el plano de la pala y normales
ωθθλββ ′ f,f,f,f,f,f twp
Funciones de los coeficientes en las ecuaciones de batimiento de la pala
g Constante gravitacional m/s2 g0 Función de iteración de la velocidad inducida hj Incremento de iteración de la velocidad inducida (
BBB k,j,i Vectores unitarios en el sistema de ejes de la pala
HHH k,j,i Vectores unitarios en el sistema de ejes del núcleo
L, M, N Momentos generales de alabeo, cabeceo y guiñada N-m LF, MF, NF Momentos aerodinámicos de alabeo, cabeceo y
guiñada del fuselaje N-m
LV, MV, NV Momentos aerodinámicos de alabeo, cabeceo y N-m
iv
guiñada del estabilizador vertical LH, MH, NH Momentos de alabeo, cabeceo y guiñada del rotor
en el sistema núcleo N-m
LR, MR, NR Momentos del rotor en los ejes de referencia del cuerpo
N-m
LE, ME, NE Momentos del empenaje horizontal N-m LRC, MRC, NRC Momentos del rotor de cola N-m Lβ Transformación matricial a coordenadas para
varias palas
λλ, Acción de la sustentación y de la función normalizada de la sustentación en un elemento de pala
M(r) Momento de batimiento en las coordenadas en rotación
N-m
m(rB) Distribución de masa de la pala Kg/m Pn(t) Coordenadas normales para viga elástica en
rotación
p, q, r Regimenes de alabeo, cabeceo y guiñada de la aeronave en torno a los ejes de referencia de cuerpo
rad/s
pw, qw, rw Regimenes de alabeo, cabeceo y guiñada del rotor en los ejes núcleo-viento
QE Par torsional del motor N-m QR Par torsional del rotor principal N-m QT Par torsional del rotor de cola N-m
BB r,r Coordenadas radiales de punta
Sn(r) Modos normales de la viga elástica en rotación SZ Fuerza cortante en la bisagra de batimiento Sβ Número de rigidez UT, UP Velocidades en el plano y normales en el elemento
de pala
u, v, w Componentes de la velocidad de la aeronave en el centro de gravedad
m/s
uA, vA, wA Velocidades “aerodinámicas” en el centro de gravedad
m/s
uB, vB, wB Componentes de velocidad del elemento de pala m/s uH, vH, wH Componentes de velocidad del núcleo del rotor m/s uHw, vHw, wHw Velocidades del núcleo del rotor en los ejes núcleo-
viento m/s
uwg, vwg, wwg Componentes de velocidad del viento m/s V(r, t) Fuerza cortante en el núcleo VF Velocidad total del fuselaje m/s VFN Velocidad total del estabilizador m/s
Hw~V Vector de la velocidad del rotor en los ejes núcleo-
viento m/s
V i Velocidad inducida del rotor m/s VT Velocidad total del plano de cola m/s W(r, t) Deflexión por flexión de viga elástica en rotación
v
wAλ Velocidad normal del fuselaje que incorpora a la velocidad inducida del rotor
m/s
X, Y, Z Componentes generales de fuerza en la aeronave N XF, YF, ZF Fuerzas aerodinámicas del fuselaje N XFN, YFN, ZFN Fuerzas aerodinámicas en el estabilizador N XHw, YHw, ZHw Fuerzas en el rotor en el sistema núcleo-viento N XR, YR, ZR Fuerzas en el rotor en los ejes de referencia del
cuerpo N
XTP, YTP, ZTP Fuerzas en el plano de cola N XT, YT, ZT Fuerzas en el rotor de cola N αF Ángulo de incidencia del fuselaje rad αsw, αcw Funciones de incidencia de la pala rad/º αTP Ángulo de incidencia del plano de cola rad β, βi Ángulos de batimiento de la pala rad β1(t) Ángulo de deflexión de la punta de la pala rad βd Ángulo de coneo diferencial rad βF Ángulo de derrape del fuselaje rad βFN Ángulo de derrape del estabilizador rad
M~I~,ββ Vectores de batimiento
βjc, βjs Coordenadas para varias palas β0, β1c, β1s Armónicas de batimiento β1cw, β1sw Batimiento cíclico en los ejes núcleo-viento ∆ Matriz de transformación del sistema núcleo-
viento
∆n Incremento de aceleración normal de la aeronave m/s2 δ Coeficiente de resistencia al avance de la pala del
rotor principal
δT Coeficiente de resistencia al avance de la pala del rotor de cola
δβ Determinante de matriz en las ecuaciones de batimiento
na Parámetro de carga del rotor nc Variable de la palanca del colectivo nct Variable del cable del pedal np Variable del pedal n1c, n1s Variables del bastón cíclico longitudinales y
laterales
θ, θp Ángulos de paso de la pala θ0 Paso colectivo del rotor principal en la raíz rad θ0p, θ0a Contribuciones del piloto y del sistema de
estabilidad artificial a θ0
θ0Tp, θ0Ta Contribuciones del piloto y del sistema de estabilidad artificial a θ0T
( )*T0T0 θθ Paso del rotor de cola (con corrección δ3)
θ1c, θ1s Componentes del ángulo cíclico de cabeceo de pala *s1
*c1 ,θθ Componentes del ángulo cíclico de cabeceo de pala
vi
antes de entrada en fase θ1cp, θ1sp, θ1ca, θ1sa Contribuciones del piloto y del sistema de
estabilidad artificial al ángulo de cabeceo cíclico
θ1cw, θ1sw Componentes del ángulo cíclico de cabeceo de pala en los ejes núcleo-viento
Λ Velocidad normalizada total del rotor λ0 Componente de velocidad inducida del rotor m/s λ1c, λ1s Componentes armónicas de velocidad inducida λ1cw, λ1sw Componentes armónicas de velocidad inducida en
los ejes núcleo-viento
λ0T Velocidad inducida uniforme del rotor de cola m/s λn Relación de frecuencia del modo n de batimiento λβ Relación de frecuencia de batimiento de la pala del
rotor
µ Velocidad normalizada del rotor en el plano xy µx, µy, µz Componentes de velocidad normalizada del rotor µT, µzT Velocidades normalizadas del rotor de cola σX Velocidad angular normalizada en coordenadas en
rotación
φ Ángulo de ataque de la pala rad
χ Ángulo de la estela rad ψ, θ, φ Ángulos de Euler rad ψ, ψi Ángulos acimutales de la pala rad ψw Ángulo de derrape del rotor rad Ω Velocidad del rotor rad/s
Hw~Ω Vector de velocidad angular del rotor rad/s
ΩT Velocidad del rotor de cola rad/s
( )y,y, xx ωωωω Velocidades angulares (normalizadas) en coordenadas en rotación
b Número de palas del rotor principal e Excentricidad normalizada de la bisagra de
batimiento
FT Factor de bloqueo del estabilizador f i Constante de iteración de Newton Iβ Momento de inercia de la pala Kg-m4 Kβ Rigidez del resorte kλT Factor de velocidad inducida del rotor principal en
el rotor de cola
kλF Factor de velocidad inducida del rotor principal en el fuselaje
kλTP Factor de velocidad inducida del rotor principal en el plano de cola
s1c1qp L,L,L,L θθ
…etc
Derivadas del momento de alabeo
vp,λλ Derivadas del momento de alabeo
nβ Número de inercia de la pala (γ/8)
vii
QEmax Par torsional máximo del motor N-m s Solidez del rotor
β
βββ
θ
θ
etc c1
,c1,c1,c1
s1
c1qp
Derivadas de batimiento
γ(γ0) Número de Lock de la pala δ3 Ángulo de acoplamiento de paso/coneo de la pala ε Excentricidad de la bisagra de batimiento ρ Densidad del aire Ωm Velocidad del rotor a máxima potencia
viii
ix
ABREVIATURAS
CNES Centre National d´Etudes Spatiales
DASH Drone Anti-Submarine Helicopter
DARPA Defense Advanced Research Projects Agency
DLR German Aerospace Center
EADS European Aeronautic and Defense Spatial
GPS Global Position System
HALE High Altitude/Long Endurance
INS Inertial Navigation System
IPN Instituto Politécnico Nacional
MALE Medium Altitude/Long Endurance
MRE Multi Role Endurance
NASA National Aeronautics and Space Administration
ONERA Office National d'Etudes et Recherches Aérospatiales
PEMEX Petróleos Mexicanos
PGR Procuraduría General de la República
RPV Remote Piloted Vehicle
SEAD Suppression of Enemy Air Defenses
SEMARNAT Secretaría del Medio Ambiente y Recursos Naturales
SPyV Secretearía de Protección y Vialidad
UAV Unmanned Aerial Vehicle
UNAM Universidad Nacional Autónoma de México
VTOL Vertical Take Off and Landing
x
xi
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 Supra-sistema de proyectos de aeronaves de ala rotativa
Figura 2.1 Asimetría de flujo y fuerzas de sustentación en una pala
Figura 2.2 Rotor Articulado
Figura 2.3 Vorticidad en las inmediaciones de un rotor
Figura 2.4 Rotor de cola convencional
Figura 3.1 Sistema núcleo y sistema pala
Figura 3.2 Rotación de guiñada ψ
Figura 3.3 Rotación de cabeceo θ
Figura 3.4 Rotación de alabeo φ
Figura 3.5 Fuerzas y momentos actuando en la parte lateral de la aeronave
Figura 3.6 Fuerzas y momentos actuando en la parte superior de la aeronave
Figura 3.7 Fuerzas y momentos actuando en la parte frontal de la aeronave
Figura 4.1 Subensambles del modelo matemático
Figura 4.2 Fuerzas aerodinámicas e inerciales en la pala
Figura 4.3 Fuerzas aerodinámicas en una sección diferencial de la pala
Figura 4.4 Fuerzas producidas por un elemento de pala actuando en el centro
del núcleo
Figura 4.5 Deformación elástica de una viga rotatoria
Figura 4.6 Simplificación de un rotor de pala con bisagra de aleteo fuera del
centro
Figura 5.1 Diagrama de bloques para vuelo estacionario
Figura 5.2 Diagrama de bloques de la simulación del coeficiente de tracción
en Simulink
Figura 5.3 Emisora de radio control de la aeronave
Figura 5.4 Gráfica del comportamiento de cabeceo de la aeronave
Figura 5.5 Velocidad de la aeronave en función del ángulo de paso del rotor principal
Figura 5.6 Posición de la palanca de mando cíclico longitudinal respecto a la velocidad de la aeronave
Figura A 1.1 Helicóptero de radio control convencional Raptor 90®
Figura A 1.1 Plataforma final de pruebas con equipo de navegación y sistema de
telemetría
xii
Figura A 2.1 Organización detallada del segmento de vuelo
Figura A 2.2 Organización detallada de la estación terrena
Figura A 2.3 Interfaz gráfica de la estación terrena que permite visualizar los
parámetros de la aeronave
Figura A 2.4 Interfaz gráfica de posicionamiento, altitud y latitud de la aeronave
Figura A 2.5 Conjunto de sensores que realizan la medición y envío de
parámetros a la estación terrena
Figura A 2.6 Sistema de Posicionamiento Global
Figura A 2.7 Vehículo aéreo equipado con sistemas de telemetría
Figura A 3.1 Creación de curvas de control paramétricas del fuselaje
Figura A 3.2 Perfiles de control que permiten la obtención de cuerpo fuselado
Figura A 3.3 Modelo geométrico del fuselaje
Figura A 3.4 Modelo geométrico final del fuselaje realizado en NX3®
Figura A 3.5 Generación del código para la nariz
Figura A 3.6 Simulación de maquinado de la nariz
Figura A 3.7 Generación del código de la parte llamada Cuerpo
Figura A 3.8 Simulación de maquinado de la parte Cuerpo
Figura A 3.9 Simulación de maquinado de la parte Botalón
Figura A 3.10 Máquina CNC Cincinnati 500 Arrow
Figura A 3.11 Montaje de herramienta de corte
Figura A 3.12 Montaje de material a utilizar
Figura A 3.13 Corte de las diferentes secciones del modelo
Figura A 3.14 Primera sección del modelo
Figura A 3.15 Terminación del maquinado de los elementos del fuselaje
Figura A 4.1 Mallado en tres dimensiones proveniente de HyperMesh® y
asignación de condiciones de frontera en Gambit®
Figura A 4.2 Distribución de presión dinámica sobre el contorno del fuselaje
Figura A 4.3 Distribución de vectores de velocidad alrededor del fuselaje
xiii
RESÚMEN
El presente trabajo plantea la conformación del modelo matemático para ser
implementado dentro de un mini helicóptero de diseño y construcción nacional con
el propósito de crear un sistema aéreo no tripulado. El modelo matemático fue
resuelto mediante la plataforma de simulación del software MATLAB®, Simulink ®.
El modelo matemático toma en consideración la dinámica de vuelo de cada uno de
los subsistemas que conforman el helicóptero los cuales son: fuselaje, rotor
principal, rotor de cola, empenaje horizontal y empenaje vertical. No se toma en
consideración la dinámica inducida por el motor, el cual consiste de un motor de
combustión interna recíproco de un émbolo.
xiv
xv
ABSTRACT
This work presents the conformation of the mathematical model to be implemented
within a national construction and design mini helicopter with the purpose of
creating an unmanned aerial system. The mathematical model was solved by
means of simulation platform of MATLAB® software.
The mathematical model taking in consideration the dynamics of flight of each one
of the subsystems that makes up the helicopter which are: fuselage, main rotor,
tail rotor, horizontal fin and fin unit. Nevertheless, the dynamics induced by the
motor is not taken in consideration, which consists of a motor of internal
combustion reciprocal monopiston.
xvi
xvii
INTRODUCCIÓN
Tratar de generar los conocimientos en el campo del diseño de helicópteros
de transporte de personal es factible en nuestro país y además se hace
indispensable, aunque el proceso resultaría lento. Sin embargo, adquirir la
experiencia para fabricar productos con la calidad impuesta en los mercados
internacionales por los países generadores de esas tecnologías es una tarea
descomunal que involucraría un cambio total de actitud de toda la sociedad
mexicana.
Bajo esta perspectiva, las competencias tecnológicas de una fracción de la sociedad
pueden dirigirse entonces a la generación de nuevos conceptos en donde no exista
relativo desarrollo y que presenten un alto valor agregado en producto de capital
humano.
Tal es el caso de este trabajo en el que se propone comenzar la investigación y
desarrollo de vehículos aéreos no tripulados (UAV – Unmanned Aerial Vehicle).
El presente trabajo tiene como objetivo la implementación y simulación numérica
de un modelo matemático para ser aplicado a un helicóptero de diseño y
construcción nacional para predecir y evaluar su dinámica de vuelo. Se prevé que
el modelo sea primeramente validado en un mini helicóptero Raptor 90 SE y una
vez validado, sea implementado dentro de la computadora de vuelo de un
helicóptero de diseño y construcción nacional para que éste pueda realizar vuelo
autónomo. Así mismo servirá como modelo matemático para el desarrollo de un
simulador de vuelo virtual para entrenamiento en el uso del mismo helicóptero.
Para el desarrollo de un artefacto de esta naturaleza, es decir que pueda
mantenerse en vuelo autorregulado y permitir el cumplimiento exitoso de una
misión, se requiere de un trabajo interdisciplinario y debe de ser de mucho interés
para la comunidad científica por todas sus implicaciones tecnológicas, científicas y
humanas.
xviii
En México no existe precedente de este tipo de aeronaves dada su específica
utilización, ni mucho menos de investigación encaminada en esta área, es por ello
que se considera de trascendental importancia su apoyo y desarrollo.
El modelo matemático encuentra su aplicación en cuatro áreas fundamentales.
Una de ellas es en el diseño de partes y componentes de helicópteros debido a que
el modelo matemático, al considerar las ecuaciones de fuerzas y momentos que se
generan en el helicóptero causados por efectos cinemáticos, aerodinámicos,
inerciales y aeroelásticos de cada unos de sus subsistemas, permite dimensionar,
modelar geométricamente y analizar estructuralmente los componentes.
Otra área es la del desarrollo de simuladores de vuelo virtuales para entrenamiento
de pilotos, constituyendo el modelo matemático el cerebro de un simulador de
vuelo.
Un área más donde cabe su aplicación, es para evaluar la calidad de vuelo y
comportamiento de un diseño nuevo de helicóptero. Con un modelo matemático se
puede predecir su comportamiento en vuelo, pudiéndose realizar los cambios y
adecuaciones necesarias al diseño antes de llegar a la etapa de construcción.
Una aplicación mas, que es la que se propone para este trabajo, es dentro de la
robótica aérea. El modelo matemático constituye el centro neurálgico de la
aeronave. Es el órgano que dicta su comportamiento y evolución durante una fase
de vuelo.
Este estudio establece las bases para el diseño de los sistemas de estabilidad,
control automático y de navegación que le permitirá a la aeronave el título de
Vehículo Aéreo Autónomo. Con ello podrá despegar y aterrizar de manera
completamente autónoma o también si se prefiere de manera manual, con la
propensión de realizar su trayectoria que se le indique a través de cartografía
cargada en una computadora portátil que funcionaría como estación en tierra. La
estación terrena servirá para monitorear datos del estado de la aeronave tales como
revoluciones por minuto del motor, temperatura del motor, carga de baterías,
cantidad de combustible, velocidad de la aeronave, posición, actitud, temperatura
ambiental así como de recibir la señales de video captadas por las cámaras que
portará la aeronave.
xix
El trabajo está estructurado en cinco capítulos. El primer capítulo hace una
introspección sobre el avance de los vehículos aéreos no tripulados en algunos de
los países mas desarrollados tecnológicamente en el mundo, comparando los
resultados de ese análisis con lo que existe en nuestro país. Este mismo capítulo
trata sobre algunos de los elementos y consideraciones que algunos autores han
incorporado a sus modelos matemáticos de helicópteros para mejorar su fidelidad y
representación del fenómeno.
En el capítulo dos se presenta una breve descripción de la teoría del helicóptero,
describiendo sus principales órganos, así como de la dinámica de vuelo.
En el tercer capítulo se presentan las ecuaciones de movimiento traslacional,
rotacional, relaciones de Euler y los diferentes marcos de referencia que habrán de
emplearse para referir la dinámica de cada uno de los subsistemas en que se
dividió al helicóptero.
En el cuarto capítulo se presenta un desarrollo de las ecuaciones de fuerzas y
momentos que se generan en el helicóptero debido a efectos cinemáticos,
aerodinámicos, inerciales y aeroelásticos de cada unos de los subsistemas del
helicóptero.
Finalmente en el capítulo cinco se presentan los resultados de la simulación de las
ecuaciones descritas en los capítulos tres y cuatro.
Se agregan cuatro apéndices. El primero describe las características de la
plataforma aérea empleada para contrastar el modelo matemático teórico con
resultados experimentales de la dinámica de vuelo de un helicóptero real. El
segundo apéndice presenta sucintamente, el desarrollo de los sistemas de
adquisición de datos, sistemas de identificación y sensores empleados para la
lectura de algunos parámetros de la aeronave. En el apéndice tercero se presenta la
fabricación del cuerpo fuselado empleado para cubrir la aeronave. En el último
apéndice se presenta el procedimiento para la obtención de las curvas de
coeficientes aerodinámicos obtenidos numéricamente y empleados en las
ecuaciones del capítulo 4.
La importancia del modelado matemático radica en que si lo anteriormente
expuesto se acepta como cierto, el modelo matemático es un órgano imprescindible
del proyecto completo acercando a nuestro país a conocimiento de frontera en el
área de modelado, control y navegación de aeronaves.
xx
CAPÍTULO 1 Estado del Arte
1
Capítulo 1 Estado del Arte
En este capítulo se presenta una reseña general a nivel mundial del estado
tecnológico de la simulación de la dinámica de vuelo de los helicópteros y su
importancia en el desarrollo de nuevos proyectos.
La simulación de la dinámica de vuelo de los helicópteros surge de la necesidad por
parte de las empresas dedicadas al desarrollo de estos aparatos de predecir
adecuadamente el comportamiento de nuevos diseños o de implementarlos dentro
de simuladores de vuelo para entrenamiento de pilotos de los equipos que ellos
venden. Es evidente que entre más exactitud y fidelidad se desee entre el fenómeno
descrito y el modelo matemático, mas serán los aspectos a considerar y por tanto
del incremento de la complejidad del modelo.
La necesidad de contar con modelos matemáticos confiables que describan fielmente
el comportamiento de la aeronave, principalmente durante la etapa de diseño, han
llevado a un incremento en su interés por ellos. Aunados a ello, hay que añadir los
avances en la capacidad de las computadoras. Con ello, mejores y más sofisticados
modelos son generados, permitiendo calcular y simular más amplios rangos y
maniobras de vuelo de la aeronave. A los modelos que permiten simular y calcular
parámetros en diferentes maniobras se conoce como “modelos comprensivos”.
CAPÍTULO 1 Estado del Arte
2
En años recientes ha existido un interés creciente en el desarrollo de vehículos
aéreos no tripulados, cuya aplicación está destinada a misiones peligrosas para el
hombre.
Alemania, Austria, Estados Unidos, Francia, Israel y Japón son los países que
encabezan la lista en el desarrollo e innovación de este tipo de aparatos.[1.1]
Específicamente en lo que a aeronaves de ala rotativa se refiere y más precisamente
helicópteros, Alemania ha desarrollado una aeronave para misiones de
reconocimiento, cuya principal peculiaridad es que cuenta con un par de rotores
contra rotativos coaxiales. Los desempeños operacionales de ésta aeronave son
elevados. Está motorizado con un motor turboeje de 420 SHP y una capacidad de
carga útil de 180 Kg. Su peso máximo de despegue es de 1125 Kg. [1.2]
La compañía austriaca Schiebel comercializa un helicóptero completamente
autónomo denominado Camcopter. Recientemente ha desarrollado una nueva
versión del Camcopter, el S-100 de mayores dimensiones y mayor capacidad de
carga útil. [1.3]
Los Estados Unidos de Norteamérica es el país con más desarrollo en este campo,
pues cuenta por lo menos con 10 modelos diferentes de helicópteros autónomos.
Las universidades, apoyadas por las fuerzas armadas, han tenido un papel
preponderante en este desarrollo, como es el caso del Georgia Tech y el MIT quienes
han acumulado una experiencia de 10 y 15 años respectivamente en investigación y
desarrollo de este tipo de vehículos mediante el apoyo de un programa de la agencia
DARPA [1.4]. Existen también empresas que comercializan como la Rotomotion Inc.
[1.5]. La misma marina de los Estados Unidos en conjunto con la empresa
Northrop-Grumman se han dado a la tarea de desarrollar vehículos de gran tamaño
tal como el Fire Scout [1.6]. Otras ideas han surgido de empresas como Sikorski con
su propuesta Mariner Cypher II [1.7] y otras empresas tal como SAIC/ATI Vigilante
[1.8].
CAPÍTULO 1 Estado del Arte
3
Otro caso de aparatos de elevada sofisticación tecnológica es el Vigilante F2000
[1.9]. Este aparato, que en un principio fue desarrollado por un ingeniero español, y
posteriormente cedido a la empresa francesa Thomson (ahora EADS-THALES) en
asociación con Techno-Sud Industries y el departamento de Comando de Sistemas y
Dinámica de Vuelo de la ONERA. Actualmente es el único aparato en su clase capaz
de poder sobrevolar zonas urbanas y contar con certificado de aeronavegabilidad.
Cabe mencionar, que el desarrollo de este aparato tomó aproximadamente 10 años
de investigación y pruebas por un grupo de especialistas dedicados exclusivamente
a él. [1.10]
En lo que concierne a Israel, existen varias empresas dedicadas al diseño y
comercialización de este tipo de aeronaves, entre las que se tiene el vehículo
Steadycopter [1.11].
La empresa Japonesa Yamaha ha desarrollado un vehículo UAV. El desarrollo de su
primer prototipo comenzó en el año de 1983. [1.12] Actualmente cuenta con el
RMAX 50, el cual tiene un precio de venta que oscila entre 1 300 000 Euros. [1.20].
Otra empresa japonesa que comercializa este tipo de vehículos bajo el principio de
RPV (Remote Piloted Vehicle), es decir, que necesariamente requiere para su
operación la intervención del ser humano es FUJI HEAVY INDUSTRIES. [1.13].
En América latina existe una red de investigación encaminada al desarrollo de este
tipo de vehículo. Está liderada por la universidad Colombiana EAFIT. Su
investigación se centra principalmente en la aplicación de métodos de modelado
matemático teórico y experimental, métodos de control convencional y no
convencional, informático, telemático y comunicaciones para vuelo “estacionario” de
un helicóptero comercial de radio control, no comprendiendo ni el diseño, ni mucho
menos la construcción de una aeronave con características específicas o para una
misión dada [1.14].
CAPÍTULO 1 Estado del Arte
4
En México, un grupo muy reducido se ha dado a la tarea de investigar sobre esta
área; específicamente en la ESIME Ticomán, donde se imparte la carrera de
Ingeniería en Aeronáutica, se tiene proyectado todo un programa encaminado al
diseño, construcción y uso de aeronaves de ala rotativa. Prueba de ello, es el diseño
y construcción de un banco de pruebas para la medición de la tracción, par
torsional y eficiencia de rotores de levantamiento para helicópteros [1.15]. Este
aparato forma parte del programa mencionado y tiene la finalidad de comprobar y
validar los modelos matemáticos de diferentes trabajos de investigación a nivel
licenciatura y posgrado entre los que destacan: Modelado y Control de Velocidad
para un Banco de Pruebas de Rotores de Helicópteros [1.16], análisis aeroelásticos
de rotores de levantamiento [1.17], Diseño y construcción de un rotor de alta
eficiencia aerodinámica [1.18].
Para el desarrollo de un Sistema Aéreo no tripulado, es necesario contar con un
modelo matemático que prediga y describa su dinámica de vuelo. Sin embargo,
según Mettler “El desarrollo exitoso de un vehículo aéreo autónomo requiere la
solución de complejos problemas de ingeniería (…) En los años iniciales de la
robótica aérea un pequeño número de aquellos sistemas fue construido,
principalmente en instituciones académicas, y sólo algunos de ellos pudieron
mostrar capacidades básicas de vuelo como el vuelo estacionario y el vuelo lento a
través de ciertos puntos. Después de estos avances importantes se han tenido
pequeños progresos en el mejoramiento de las capacidades de vuelo automático. La
razón principal para esta limitación es la ausencia de un modelo preciso que pueda
ser usado para el análisis y diseño del sistema de control de vuelo (…).
Estos aspectos de hardware y software ocuparon completamente el tiempo de los
investigadores y fue una de las razones primarias del lento y a menudo infructuoso
desarrollo de los vehículos experimentales en los años 90. Hoy, estas dificultades
continúan representando un problema; sin embargo, la situación está mejorando
con la experiencia acumulada y el progreso continuo en la tecnología de los sensores
CAPÍTULO 1 Estado del Arte
5
y las computadoras. Estos avances les permitirán a los investigadores enfocarse a
nuevos tópicos como la dinámica del vehículo, control avanzado de vuelo, guíado,
etc. que son fundamentales en la creación de vehículos altamente competentes".
[1.19]
Uno de las razones principales de no contar con un modelo adecuado es que la
aerodinámica del helicóptero es extremadamente compleja y difícil de medir,
modelar y predecir, como lo cita A. T. Conlisk [1.20] y ello debido a la dinámica del
rotor principal.
Un modelo matemático generalmente puede hallarse implementado íntegramente
dentro de un simulador de vuelo, el cual va a responder en función de las
condiciones externas impuestas tales como una ráfaga de viento o bien por una
maniobra comandada por el piloto. Si bien existen algunos simuladores de vuelo de
tipo comercial que pueden ser cargados en una PC con un relativo bajo costo, éstos
presentan una regular fidelidad respecto al fenómeno reproducido. Entre los más
conocidos se tiene el Flight Simulator de la compañía Microsoft Co. En este capítulo
se describen los de tipo profesional entre los que destacan una decena
aproximadamente y como resulta evidente, los fabricantes difícilmente
proporcionarían los modelos matemáticos que hacen funcionar sus simuladores.
Uno de los modelos más empleados es el desarrollado por la NASA denominado
Modelo Matemático de Simulación de Helicóptero de mínima complejidad [1.21]
desarrollado en 1988, para este entonces todavía resultaba difícil la simulación en
tiempo real de complejos modelos debido a las limitaciones que en el equipo de
computo se tenía. Este modelo fue evolucionando al grado de obtener resultados
satisfactorios mediante un refinamiento descrito en [1.22].
Otro modelo que ha servido como plataforma y que ha sufrido mejoras constantes es
el desarrollado por Howlett denominado GENHEL. Este modelo considera un rotor
de palas rígidas con articulación de aleteo y arrastre. Simula también la dinámica
CAPÍTULO 1 Estado del Arte
6
de la torsión longitudinal que sufren las palas debido a las cargas aerodinámicas
mediante un modelo empírico. Para el modelado del fuselaje considera un cuerpo
rígido e indeformable cuyas características aerodinámicas se toman de valores
empíricos. [1.23].
Posteriormente este modelo evolucionó al ser mejorado por Bullin, el cual
incrementa su fidelidad al enfocarse principalmente al mejoramiento de la parte que
simula el motor [1.24].
Este modelo se ve mejorado cuando Kim [1.25] añade la simulación de la dinámica
de la afluencia al rotor desarrollado por Pitt-Petters [1.25] dando origen al modelo
conocido como UM- GENHEL.
El modelo UM-GENHEL es mejorado por Turnoir al añadir la dinámica de aleteo,
arrastre y torsión de las palas de manera acoplada y empleando un análisis por
elementos finitos. Añade también un modelo matemático de la afluencia del rotor
descritos en el modelo aerodinámico en forma estado – espacio no permanente
desarrollado por Leishman – Nguyen [1.26]. Surge de esta manera el modelo de
simulación denominado Flexum.
Todos los códigos comprensivos del helicóptero considerados incluyen el modelado
del acoplamiento rotor–fuselaje. Con respecto al modelado del fuselaje, todos los
códigos asumen el modelo del fuselaje como rígido, mientras que los códigos
2GCHAS, COPTER, TECH01 y UMARC permiten, mediante un modulo de NASTRAN,
la representación elástica del fuselaje. Todos estos códigos son flexibles para
modelar cualquier tipo de configuración del núcleo del rotor, es decir articulados,
semirígidos y rígidos.
CAPÍTULO 1 Estado del Arte
7
A los modelos que incluyen análisis de la elasticidad de las palas del rotor principal
por elemento finito se conoce como de segunda generación. Este análisis permite
simular palas rígidas y elásticas, junto con las aletas de borde de salida de éstas, así
como incluir los grados de libertad de retraso y torsión. Estas consideraciones están
incluidas en los códigos 2GCHAS, COPTER, TECH01 y UMARC.
El TECH01 modela la pala usando el acoplamiento dinámico de aleteo/cabeceo y la
dinámica desacoplada de retraso. FLIGHTLAB utiliza el acoplamiento de
aleteo/retraso y el desacoplamiento de la dinámica torsional.
Con respecto al modelado de las características de flujo del rotor principal, una serie
de opciones de modelado de flujo se asocian con este modelo comprensivo del
helicóptero. Los códigos de 2GCHAS, CAMRAD y UMARC emplean el modelo simple
de flujo uniforme basado en la teoría de cantidad de movimiento. Una distribución
lineal de flujo es utilizada en el modelo de Pitt-Peters. El modelo de flujo de Drees
puede ser empleado en los modelos de TECH-01 y UMARC. Hay también ciertos
módulos de modelado de vortice de la estela que pueden ser introducidos en estos
códigos. Todos los códigos permiten modelar la geometría de vórtice basadas en
parámetros que incluyen la condición de vuelo, el movimiento de las palas del rotor,
la distribución de carga de las palas, etc.
El primer modelo de estela libre usado en la simulación de la dinámica de vuelo fue
el trabajo realizado por el modelo de estela libre de Scully [1.27] y la inclusión de
este modelo aparece como una variante del 2GCHAS, COPTER, CAMRAD y UMARC.
El modelo de estela libre de Jhonson es una modificación del modelo de Scully para
usarse en la familia de los códigos CAMRAD y está implementado en los códigos
COPTER y UMARC. MFW es el modelo de estela libre de Maryland ya descrito
anteriormente, implementado en los códigos de UMARC y 2GCHAS.
CAPÍTULO 1 Estado del Arte
8
Actualmente no existe código comprensivo que incluya una rutina que capture los
efectos aerodinámicos producidos por maniobras que se apoye en la teoría de estela
libre y subsecuentemente la distribución del flujo. Debe ser mencionado que
2GCHAS tiene la capacidad de capturar los efectos de las maniobras y reflejarlas en
la geometría del vórtice de estela, pero no está claro en la literatura disponible cómo
se logra esto.
Con respecto a los cálculos de punto de equilibrio, estos códigos permiten
calcularlos para vuelo libre y en túnel de viento en estado estable. CAMRAD es el
único código del que se tiene reportado que cuenta con la capacidad de calcular las
condiciones de equilibrio para helicópteros durante el estado de maniobra, por
ejemplo viraje coordinado y vuelo en ascenso y descenso. Existen algunas
diferencias en los procedimientos utilizados para calcular las condiciones de
equilibrio. EL 2GCHAS utiliza un procedimiento de evaluación periódica que
compara sus valores con los criterios de estabilidad. UMARC utiliza un ajuste
algebraico donde el ajuste de las condiciones de equilibrio cumple
satisfactoriamente el conjunto de ecuaciones. CAMRAD posee la capacidad de
utilizar ambos tipos de procedimientos de ajuste para calcular las condiciones de
equilibrio.
Todos los códigos comprensivos tienen la capacidad de obtener un conjunto de
ecuaciones lineales a partir de ecuaciones no lineales que surgen de los modelos
matemáticos. La obtención de un modelo linealizado es el argumento único para
contar con una posición de equilibrio.
Para los casos donde las ecuaciones de movimiento son formuladas en un marco de
referencia rotacional, los resultados de los modelos lineales tienen coeficientes
periódicos y requieren del uso de técnicas analíticas que puedan manipular
coeficientes periódicos tal como la teoría de Floquet. Estos códigos para modelos
lineales con coeficientes constantes permiten también ser calculados en marcos de
referencia no rotacional utilizando transformaciones de coordenadas multipala.
CAPÍTULO 1 Estado del Arte
9
Ya que cada uno de los códigos permite la obtención de modelos linealizados en la
condición de equilibrio, se pueden determinar históricos en respuesta a entradas de
piloto usando el modelo lineal. Con la excepción del UMARC, los códigos
comprensivos permiten el cálculo de respuestas de vuelo libre a entradas arbitrarias
del piloto, empleando un modelo matemático completamente no lineal. Los
históricos de las respuestas de entrada del piloto son determinados por integración
numérica de las ecuaciones de movimiento. Solo FLIGHT LAB puede calcular
respuestas de vuelo libre en tiempo real y esto es ejecutado a través de uso de
procesos paralelos.
La mayoría de las validaciones publicadas son hechas con códigos comprensivos
usados en instituciones gubernamentales (2GCHAS), educativas (UMARC) e
instituciones de investigación y aquellas disponibles comercialmente (CAMRAD,
FLIGHTLAB). Es menos frecuente encontrar en la literatura, publicaciones de
códigos que son desarrollados en las compañías para su propio uso, tal como
COPTER desarrollado para Bell y TECH-01 desarrollado para Boeing, aunque estos
códigos comprensivos contienen mucho de los ingredientes requeridos para
dinámica de vuelo, el numero actual de estudios y publicaciones difundidas de la
simulación de la dinámica de vuelo específica es limitada.
Finalmente, a algunos de los códigos les han sido añadidas algunas rutinas de
teoría aeroelástica, siendo la aeroelasticidad el estudio de las características
dinámicas del sistema cuerpo/rotor del helicóptero que considera la fusión entre la
aerodinámica y contribuciones estructurales e inerciales. Ha habido una actividad
en el campo de la aeroelasticidad en los helicópteros, especialmente con el
advenimiento de sistemas de rotores avanzados los cuales carecen de bisagras y
cojinetes. Algunas de las revisiones de modelos comprensivos con características
aeromecánicas relacionadas con rotores de helicópteros sin bisagras se incluye en
el estudio de Johnson, Ormiston, Friedmann y Chopra.
CAPÍTULO 2 Fundamentos
11
Capítulo 2 Fundamentos
La teoría del helicóptero está asociada con la dinámica del rotor y esta a su vez con
su aerodinámica. El complejo campo de flujo que se genera alrededor del rotor es el
causante principal de todos los problemas asociados a la dinámica del helicóptero.
El flujo a través del helicóptero es particularmente complicado por varias razones.
Primero, a diferencia del caso del flujo sobre un ala fija la cual puede ser analizada a
menudo con aerodinámica lineal, el flujo a través de un ala rotatoria nunca se
puede considerar como un caso de aerodinámica lineal. De este planteamiento
resulta un gran problema, comenzando desde el modelado hasta las simulaciones
numéricas, necesariamente de carácter iterativo y observaciones experimentales de
fenómenos altamente no lineales, los cuales son sumamente difíciles de interpretar
por su complejidad. En segundo lugar, desde una perspectiva de modelado y
experimental, es difícil el estudio del flujo del fluido en una situación donde algunos
de los componentes se desplazan a altas velocidades mientras que otros
permanecen fijos, como similarmente ocurre en el área de turbomaquinaria. Por
esta razón muchos experimentos y esfuerzos de modelado están enfocados en el
aislamiento de la estela de la pala y del rotor. Recientemente el efecto del fuselaje y
del rotor de cola ha sido incorporado a estos esfuerzos de modelado. De hecho el
trabajo del aerodinamicista del helicóptero se asemeja a analizar la envolvente de
vuelo completa de una aeronave de ala fija que va desde flujo transónico hasta el
desplome por baja velocidad en una sola revolución del rotor. Finalmente, la
CAPÍTULO 2 Fundamentos
12
experimentación de los efectos en el helicóptero son extremadamente caros, esto
implica un esfuerzo significativo en el modelado, el cual esta limitado en sí mismo
por el estado tecnológico actual de la arquitectura de las computadoras.
2.1. LA DINÁMICA DE VUELO
El vuelo de una aeronave es descrito por los principios de la mecánica clásica. En la
mecánica se trata el movimiento de los objetos que poseen una propiedad escalar
inercial llamada masa.
Los objetos pueden ser modelados como partículas individuales (también llamados
masas puntuales) o ensambles de partículas llamados cuerpos.
Los movimientos traslacionales de las masas puntuales y cuerpos son de interés.
Tales objetos ocupan posiciones en el espacio y pueden tener tres componentes
lineales de velocidad relativas a algún marco de referencia.
El producto de la masa de un objeto y su velocidad es llamado momento traslacional,
que es también un vector tridimensional. Las fuerzas pueden actuar sobre un objeto
y cambiar su momento traslacional, el cual de otra manera permanecería constante
relativo a un marco de referencia inercial.
A diferencia de las masas puntuales, los cuerpos tienen una forma tridimensional y
volumen. La posición de un cuerpo se define por las coordenadas de un punto de
referencia particular sobre o en el cuerpo, tal como su centro de masa (su punto de
balance). La velocidad del cuerpo se refiere a la velocidad de ese punto de referencia.
La orientación angular y el movimiento rotacional de un cuerpo son parámetros
importantes de su estado físico. El momento angular, equivalente rotacional del
momento traslacional, permanece sin cambios a menos que un par torsional (una
fuerza aplicada a una cierta distancia del centro de masa y perpendicular a dicho
radio de acción) actúe sobre el cuerpo. Un cuerpo puede ser caracterizado por seis
propiedades inerciales llamadas momentos y productos de inercia; el primero refleja
CAPÍTULO 2 Fundamentos
13
la relación directa entre la taza angular y el momento alrededor de un eje rotacional,
mientras que el segundo establece los efectos de acoplamiento entre ejes.
La mecánica es dividida en cinemática, estática, dinámica y control. La cinemática
es la descripción general del movimiento de los objetos sin considerar las fuerzas o
pares que puedan inducir cambios, de esta forma, se consideran la geometría y la
relación entre posición y velocidad y no los medios con los que se realizan los
cambios.
La estática está enfocada al balance de fuerzas y momentos y efectos inerciales para
producir equilibrio. Una aeronave puede alcanzar el equilibrio estático cuando se
esta moviendo, siempre y cuando su momento angular y lineal permanezcan sin
cambios; para una masa constante y características rotacionales inerciales, esto
implica un vuelo sin aceleración. La dinámica estudia el vuelo con aceleración,
cuando el momentum cambia con el tiempo. El problema mas usual de la dinámica
concierne a la variación continua del movimiento en respuesta a la variedad de
condiciones, como las condiciones iniciales de no equilibrio, entradas de
perturbación o fuerzas y pares torsionales comandadas.
Nos referimos a las posiciones lineales y angulares y cambios de la aeronave como
su estado dinámico; las correspondientes doce cantidades son ordenadas en lo que
se conoce como vector de estado que son cantidades de las variables
independientes. Los movimientos que ocurren en el plano vertical son llamados
movimientos longitudinales mientras que aquellos que ocurren fuera del plano son
llamados movimientos laterales-direccionales. Las variables del movimiento
longitudinal relacionadas con los ejes de cuerpo, son velocidad axial, velocidad
normal, relación de cabeceo, y sus integrales de ejes inerciales: alcance, altitud y
ángulo de cabeceo. Las variables laterales-direccionales son velocidad lateral,
relación de alabeo, relación de guiñada y sus integrales de ejes inerciales, alcance,
ángulo de cabeceo, y ángulo de guiñada. La estabilidad es una importante
característica dinámica que describe la tendencia del estado de la aeronave a
regresar a una condición de equilibrio o a divergir en respuesta a entradas o
condiciones iniciales. Control es el área crítica de la mecánica que desarrolla
CAPÍTULO 2 Fundamentos
14
estrategias y sistemas para alcanzar los objetivos y asegurar la estabilidad, una vez
dada la misión de una aeronave, como perturbaciones, incertidumbres paramétricas
y tareas de pilotaje. La estabilidad natural del avión puede aumentarse con el
control de retroalimentación.
2.2. EL ROTOR PRINCIPAL
El rotor principal es el sistema encargado de generar la sustentación en el
helicóptero. Este, además de generar las sustentación debe asegurar también la
tracción de la aeronave. La situación ideal para un helicóptero es que el
levantamiento se mantenga constante a través del ciclo de rotación del rotor. Sin
embargo, dado que las palas del rotor giran en una sola dirección, en vuelo hacia
adelante se presenta una fuerza y un momento desequilibrante. Esto es debido a
una disimetría de velocidades en la pala que avanza y en la pala que retrocede pues
a la velocidad tangencial (u) de cada una de las palas hay que sumar vectorialmente
la velocidad de desplazamiento de la aeronave (v). El levantamiento de cada pala es
proporcional a la velocidad de desplazamiento de ésta elevada al cuadrado, por
tanto la pala que avanza generaría mayor levantamiento que la que retrocede.
Fig. 2.1. Asimetría de flujo y fuerzas de sustentación en una pala
u-v
Zona de inversión de flujo
Mayor sustentación de la pala que avanza
Velocidad de desplazamiento del helicóptero
Perfil de velocidad relativa de la
pala que avanza
CAPÍTULO 2 Fundamentos
15
Sin un mecanismo que compense el momento generado por esta disimetría, el
helicóptero tendería a girar sobre su eje de traslación, es decir realizaría un
movimiento de alabeo. Para equilibrar los momentos y las fuerzas, el rotor necesita
ser ajustado; esto es, el ángulo de ataque de la pala que avanza y el de la que
retrocede deben ser ajustadas periódicamente durante el ciclo de rotación de cada
pala. A esto se le conoce como paso cíclico y consiste en dar un ángulo de ataque
pequeño pero suficiente a la pala que avanza y uno mayor en la pala que retrocede
para alcanzar el mismo levantamiento.
El paso colectivo de las palas es aquel en el cual el ángulo de ataque de cada una de
ellas se incrementa simultáneamente para obtener un mayor levantamiento; por
ejemplo de un incremento en el paso colectivo resulta un ascenso. En vuelo
estacionario, teóricamente, no se requeriría del ajuste así como tampoco del aleteo
para el balance de fuerzas, sin embargo las no uniformidades del flujo así como la
presencia del fuselaje los hacen necesarios. Adicionalmente, las palas del rotor
presentan un torcimiento así como un flechado, es decir que la geometría local del
ángulo de paso varía a lo largo de la envergadura así como su cuerda. [2.1].
Para proporcionar el ajuste así como evitar los altos esfuerzos aeroelásticos, los
rotores de los helicópteros a menudo están articulados en sentido que las palas
pueden “pivotar” hacia arriba y abajo fuera del plano de rotación, este mismo
mecanismo sirve para satisfacer los requerimientos de cabeceo y lograr de esta
manera el desplazamiento de la aeronave; a este mecanismo se le conoce como
articulación de aleteo o batimiento. Este movimiento de aleteo engendra otro
problema que hace que las palas sean solicitadas por momentos de flexión
longitudinales sobre el plano de rotación. Para disminuir los esfuerzos provocados
por este movimiento, los rotores de los helicópteros presentan otra articulación,
conocida como de arrastre. Esta permite el movimiento de la pala sobre el plano del
disco de rotor. Si un rotor presenta las dos articulaciones además de la de paso se
dice que el rotor es completamente articulado.
Las palas del rotor tienen un alargamiento (relación envergadura – cuerda) muy
grande y esto provoca que los esfuerzos se transmitan al núcleo si a las palas no se
CAPÍTULO 2 Fundamentos
16
les permite aletear. Sin embargo, como las palas son aeroelásticas, los esfuerzos en
el núcleo puedan ser reducidos al mínimo y ambos tipos de articulaciones
eliminados. En estos casos, se dice que el rotor es no articulado.
Fig. 2.2. Rotor Articulado
La pala al encontrarse girando describe entonces un movimiento periódico, el cual
se puede modelar mediante una serie de Fourier.
El aleteo o batimiento sigue una trayectoria descrita mediante:
...2sen2cossencos s2c2s1c10 +++++= ψβψβψβψβββ --------------- 2.1
El movimiento de arrastre tiene la forma
...2sen2cossencos s2c2s1c10 +++++= ψδψδψδψδδδ --------------- 2.2
El movimiento de cambio de incidencia de la pala tiene una forma
...2sen2cossencos s2c2s1c10 +++++= ψθψθψθψθθθ --------------- 2.3
Ω Articulación de arrastre Articulación de aleteo Mando de cambio de ángulo de paso
Eje de cambio de ángulo de paso
CAPÍTULO 2 Fundamentos
17
Las primeras armónicas del movimiento de las palas (coeficientes con subíndices 0,
1c, 1s) son los mas representativos en el desempeño y control del helicóptero.
De esta manera, el ángulo de conicidad es β0; β1c y β1s son los ángulos de cabeceo y
alabeo del plano de rotación del rotor respectivamente. θ0 es el ángulo de paso
colectivo; θ1c y θ1s son los ángulos de paso cíclico longitudinal y lateral
respectivamente.
Como se ha mencionado, al tener una pala que “vuela” a mayor velocidad con
respecto a la otra, el flujo en la punta de la pala que avanza es generalmente
compresible, mientras que de manera general, el flujo de las palas del rotor del
helicóptero es substancialmente incompresible. De hecho el flujo puede ser
transónico o localmente supersónico en la pala que avanza cerca de la punta lo que
provoca ondas de choque. En la pala que retrocede, por los requerimientos de
ajuste, el ángulo de ataque es grande y el flujo puede detenerse por los efectos
viscosos, hecho que ocasiona un desplome de manera local en alguna sección de la
pala. Por otra parte como las palas están girando, los vórtices generados por estas,
puede colisionar con la pala que viene detrás, este fenómeno es conocido como
interacción de vórtice (BVI) y es la mayor fuente de producción de ruido en el
helicóptero. [2.2].
Los vórtices de las palas interactúan con los otros componentes del helicóptero, las
interacciones mas importantes son del rotor principal con el fuselaje y el rotor
principal con el rotor de cola. Este vortice al encontrase girando forma una estela de
fluido altamente turbulenta.
Generalmente, la estela del helicóptero consiste en una superficie de vorticidad que
se desarrolla del eje de rotación hacia fuera y abajo así como de un vórtice helicoidal
en la punta de la pala.
CAPÍTULO 2 Fundamentos
18
La superficie de vorticidad y el vortice de la punta se confinan en regiones muy
delgadas las cuales están rodeadas sustancialmente por flujo irrotacional. Esto hace
que los experimentos así como los cálculos se vuelvan extremadamente difíciles
debido al gradiente de velocidad cerca de la superficie de vorticidad, de los vórtices
de punta y del fuselaje. Obsérvese en la figura 2.3 que el sentido de la circulación de
la superficie de vorticidad es opuesta al vórtice de la punta, esto provocará una
interacción inestable entre las dos. Hay un vórtice en la raíz de la pala, la cual
emana del borde de la pala del rotor. Sin embargo por la pequeña vorticidad que
genera -energéticamente hablando- usualmente se desprecia en el diseño del rotor.
Fig. 2.3. Vorticidad en las inmediaciones de un rotor (de Gray, 1956)
Vorticidad de punta
Superficie de Vorticidad
CAPÍTULO 2 Fundamentos
19
2.3. EL ROTOR DE COLA
Las aeronaves de ala rotativa al presentar un sistema de sustentación giratorio que
interactúa con el aire, por la tercera ley de Newton, sufrirá un par torsional reactivo
que se manifiesta sobre el fuselaje de la aeronave haciéndolo girar con la misma
intensidad pero en sentido opuesto.
Con el propósito de hacer controlable al aparato, los diseñadores han ideado
diversas formas de anular este par reactivo, existiendo diferentes conceptos de
diseño. Entre los más populares se encuentra el conocido como rotor de cola que
consiste en posicionar una hélice en la punta de una viga que provoque un par
torsional que anule el par reactivo generado por el rotor principal, a este sistema se
le conoce como rotor de cola.
Fig. 2.4. Rotor de cola convencional
CAPÍTULO 2 Fundamentos
20
2.4. EL FUSELAJE
El fuselaje es el subensamble que integra diferentes elementos y subensambles que
componen al helicóptero. Puede estar carenado o no, es decir cubierto o no por un
cuerpo currentilineo que minimice los efectos de resistencia al avance. Al
encontrarse en vuelo en traslación, es la superficie de placa plana de la vista frontal
la que interesa para el análisis de requerimientos de potencia, ya que es esta la que
opone resistencia a desplazarse. En vuelo estacionario esta resistencia al avance
vale cero ya que no existe componente de velocidad longitudinal, sin embargo el
rotor principal al encontrarse girando e inducir un flujo es interferido por el fuselaje
que se encuentra debajo de él, y es ahora la superficie de placa plana en su vista de
planta del fuselaje la que hay que considerar. Este flujo entonces, al ser interferido
por el fuselaje, genera una componente de fuerza vertical que se añade al peso. Este
suplemento de “peso” varia en función de la forma en planta del fuselaje siendo alto,
por ejemplo, para aeronaves que tiene soportes subalares para armamento, tanques
de combustible externos o una forma muy robusta debido a la misión que
desempeñan. Los valores de peso que añade esta resistencia vertical al vehículo,
varían entre un 2 a 5% del peso de la aeronave [2.3]. Más allá de los 100 Km/hr la
estela de flujo dejada por el rotor principal comienza a tener efectos despreciables
sobre el fuselaje [2.3]. Sin embargo en la transición de vuelo estacionario a vuelo de
traslación existe un instante donde la estructura de la estela dejada por el rotor
afecta todas las superficies de la aeronave tales como el empenaje horizontal,
vertical así como el rotor de cola. Al momento, la forma exacta de la estela no se ha
podido determinar con precisión ni su influencia sobre los mencionados elementos
por ello es deseable de momento un modelo matemático simple que describa el
fenómeno. [2.4].
CAPÍTULO 2 Fundamentos
21
2.5. EL EMPENAJE HORIZONTAL
El empenaje horizontal es la superficie que ayuda a mantener en equilibrio
longitudinal y lateral a la aeronave. La necesidad de estas superficies proviene de la
misma razón que en los aeroplanos: un fuselaje perfilado es aerodinámicamente
inestable en cabeceo y en guiñada, añadiéndole el ala o el rotor, lo empeora aún
más. Los primeros en reconocer que el helicóptero y el aeroplano tenían similares
necesidades aerodinámicas fueron los ingenieros de NACA (ahora NASA) quienes
comenzaron instalando colas en los helicópteros como parte del primer programa de
investigación para mejorar las cualidades de vuelo. Los diseñadores actuales, ya por
costumbre, bosquejan el estabilizador horizontal en todo diseño preliminar. [2.5]
2.6. EL EMPENAJE VERTICAL La necesidad de un estabilizador vertical es menos clara ya que el rotor de cola
suele ser suficiente para dar estabilidad al fuselaje en guiñada. Por esta razón,
muchos diseños del estabilizador vertical son simplemente soportes estructurales
del rotor de cola con formas currentilíneas con el propósito de disminuir la
resistencia al avance. [2.6]
CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento
23
Capítulo 3 Ecuaciones de movimiento
El vehículo puede ser visto como un arreglo de subsistemas interactuando entre sí.
Estos subsistemas, para efecto de este trabajo, serán divididos de la siguiente
manera:
rotor principal
rotor de cola
fuselaje
planta de potencia
sistema de control de vuelo
empenaje vertical y
empenaje horizontal
Las ecuaciones serán analizadas por subsistema y posteriormente ensambladas. El
origen del sistema de ejes de referencia ortogonales sobre el que serán ensambladas
es el centro de gravedad de la aeronave, el cual se considerará que es fijo. Se
asumirá que la aeronave se comporta como un cuerpo rígido y que presenta los seis
grados de libertad. Así mismo, se considerarán que el rotor principal presenta tres
grados de libertad, el ángulo de aleteo longitudinal, el lateral y la conicidad.
Como existen seis grados de libertad, la aeronave comprende las tres componentes
de velocidad traslacional u, v, w; las tres componentes de velocidad angular p, q, r y
los ángulos de Euler φ, θ, ϕ . Las velocidades son referidas al mismo sistema de ejes
CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento
24
establecido, que en lo sucesivo se le denominará Sistema Cuerpo. Es necesario así
mismo que la aeronave sea referida en el espacio tridimensional, para ello se
establece un sistema con origen en la tierra, el cual también es ortogonal, y que se
le denominará en lo sucesivo Sistema Tierra.
3.1. SISTEMAS DE REFERENCIA DEL HELICÓPTERO Las fuerzas tanto de cuerpo como de superficie así como los momentos que genera
el helicóptero tendrán que ser analizadas desde diferentes sistemas de referencia.
Entendiendo como sistema de referencia, aquel sistema coordenado que presenta
propiedades de simetría e invarianza.
Los sistemas que interesarán a lo largo del curso de este trabajo, son únicamente
sistemas cartesianos ortogonales.
En un sistema de coordenadas cartesiano (X, Y, Z); i, j, k, forman una base de
vectores unitarios alojados a lo largo de los ejes ortogonales X, Y, Z.,
respectivamente.
Si se emplea la notación iA , jA , kA por ejemplo, para alguna posición inicial de la
aeronave, cualquier giro alrededor de alguno de los ejes X, Y ó Z respectivamente se
puede obtener mediante una matriz de rotación. Una rotación por un ángulo ψ
alrededor del eje Z transforma a los vectores de la base iA , jA , kA en los vectores de
la base iB , jB , kB y la matriz que realiza la transformación es:
=100
0cossen-
0sencos
R z ψψψψ
--------------- 3.1
CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento
25
Esto es:
=
A
A
A
B
B
B
100
0cossen-
0sencos
k
j
i
k
j
i
ψψψψ
--------------- 3.2
Si en la nueva posición se realiza un giro por un ángulo θ alrededor del eje YB con la
matriz de rotación
=θθ
θθ
cos0sen
010
sen-0cos
RBY
--------------- 3.3
Ser tiene que:
=
A
B
B
C
B
C
cos0sen
010
sen-0cos
k
j
i
k
j
i
θθ
θθ
--------------- 3.4
De la misma manera, una rotación por un ángulo φ alrededor del nuevo eje XC, con
la matriz de rotación:
=φφφφ
cossen-0
sencos0
001
RCX
--------------- 3.5
Da:
=
C
B
C
D
D
C
cossen-0
sencos0
001
k
j
i
k
j
i
φφφφ
--------------- 3.6
Por lo tanto, las rotaciones sucesivas que permiten pasar de (iA , jA , kA) a la
posición final (iA , jA , kA) está dada por el producto de las matrices RZ, RYB, RXC, esto
es:
ZYX RRRRBC
= --------------- 3.7
De esta forma se tiene que:
CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento
26
+
+=
θφψφ
ψθφψφ
ψθφ
θφψφ
ψθφψφ
ψθφ
θψθψθ
coscoscossen-
sensencos
sensen
cossencos
cossencoscos
sensensen
sencos-
cossensen
sen-sencoscoscos
R
--------------- 3.8
Este criterio será aplicado para la transformación de fuerzas y momentos generados
en un sistema y su representación en los ejes cuerpo.
3.1.1. Sistema Núcleo
Este sistema es referido al sistema donde se generan todos los fenómenos
aerodinámicos del rotor. Estos fenómenos son cíclicos, es decir que se producen
regularmente a cada revolución del rotor, por tanto es necesario definir la posición
de la pala con relación a un origen. El ángulo ψ servirá para definir esta posición
que se conoce como acimut. Así mismo, en vuelo de translación, la velocidad
tangencial u de la pala se adiciona vectorialmente con la velocidad de translación v,
como ya se explico en la sección 2.1 del capítulo anterior. La velocidad resultante vR
presenta una componente tangencial uR que es la velocidad tangencial relativa de la
pala respecto al aire. uR varía con la posición acimutal (ψ) de la pala, y esta
variación conlleva a una disimetría de velocidades que a su vez genera una
disimetría de fuerzas de levantamiento en cada pala a cada revolución. Esta
disimetría de levantamiento hace que aparezca un fenómeno que se conoce como
aleteo o batimiento que a su vez genera otro fenómeno de avance y retraso de la
pala, haciendo aparecer los esfuerzos de Coriolis. Sin embargo, debido al fenómeno
de presesión que presentan todos los cuerpos que se encuentran girando
(giróscopos), el batimiento o aleteo, que debería ser máximo en el punto donde existe
la mayor velocidad relativa de la pala, será máximo 90º después. El desplazamiento
angular de cada pala producido por el fenómeno de aleteo será designado mediante
el ángulo β que como ya fue descrito en la ec. 2.1 del capítulo 2 tiene una forma
armónica en cada revolución, por supuesto de diferente valor para cada pala.
CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento
27
De esta manera se considerara el sistema núcleo, que se muestra en la figura 3.1.
Fig. 3.1. Sistema núcleo y sistema pala
Su origen es el centro del núcleo de rotación, de tal manera que los ejes xH, yH, zH se
encuentren alineados como se muestran en la figura. La transformación del sistema
pala al sistema núcleo requiere de dos transformaciones. La primera considera la
rotación del eje con la velocidad angular Ω (ángulo ψ) y el segundo considera el
ángulo de aleteo de la pala β. Por lo tanto para un rotor que gira de manera
antihoraria, con ψ = 0 en la parte posterior del disco, es decir sobre el botalón de la
aeronave, y β positivo hacia arriba, la transformación se puede escribir en términos
de vectores unitarios en los dos sistemas mencionados.
−
−=
B
B
B
H
H
H
k
j
i
cos0sen
010
sen0cos
100
0cos-sen
0sen-cos
k
j
i
ββ
ββψψψψ
--------------- 3.9
xB
ZH
XH
YH
zB
yB
ψ β
CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento
28
−=
B
B
B
H
H
H
k
j
i
cos0sen
sensencos-cossen
sencos-sen-coscos-
k
j
i
βββψψβψβψψβψ
--------------- 3.10
3.1.2. Sistema de referencia de un elemento de pala y sistema
viento
Las palas del rotor se doblan y tuercen bajo la influencia de cargas aerodinámicas
inestables y no lineales, que son en sí una función del movimiento de las mismas y
que perturban al sistema, en este evento se ven involucrados diversos fenómenos
como el aleteo, el adelanto y retraso de las palas y el cambio de paso cíclico. En esta
sección se definirá el sistema de referencia del movimiento cinemático de un
elemento de pala, realizándose sus transformaciones al sistema de referencia núcleo.
Las velocidades de traslación del sistema pala puede ser transportado al sistema
núcleo mediante la matriz de transformación
qxw
phv
qhu
cos0sin
010
sin0cos
w
v
u
CGA
RA
RA
ss
ss
H
H
H
++−
−=
γγ
γγ
--------------- 3.11
En las velocidades angulares de la cinemática de las palas interviene el viento
relativo por lo que hay que considerarlo, así:
q
p
cossin
sincos
q
p
ww
ww
w
w
−=
ψψψψ
--------------- 3.12
Donde
u
usin ,
u
ucos y
wx
w == ψψ --------------- 3.13
wx
wy
w sinu
u -cos
u
u ψψψ &&
& = --------------- 3.14
CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento
29
( )
+=
Ω=
Ω=
Ω=
21
2y
2x
Hz
Hy
Hx
uuu
R
wu ,
R
vu ,
R
uu
--------------- 3.15
De (3.4), las componentes de la aceleración angular del núcleo, en el sistema viento
se pueden escribir
pq
qp
cossin
sincos
q
p
w
w
ww
ww
w
w
−+
−=
ψψ
ψψψψ
&&&&
&&
--------------- 3.16
Usando la matriz de transformación de (3.2) y las relaciones mostradas arriba, las
componentes aerodinámicas de velocidad (relativo al aire) en un punto a lo largo de
la envergadura de la pala, rB, en el sistema de ejes de referencia pala, son
aproximados por,
βψ HwHwB wcosuu −−= --------------- 3.17
( )xwBHwB rrsenuv βωψ −−Ω−−= --------------- 3.18
( )βψβ &−++−= yBHwHwB wrwcosuw --------------- 3.19
3.1.3. Ejes cuerpo
Al aplicar los ángulos de rotación para pasar de un sistema a otro y así conocer el
comportamiento de las componentes de los diferentes vectores, la referencia que la
aeronave ocupa en el espacio es no única, ya que la secuencia de rotación no es
permutable. La secuencia de rotación se tomará como la empleada por B. Etkin
[3.2], la cual define una rotación en el eje z, haciendo aparecer el ángulo ψ que en
los sucesivo se denominará ángulo de guiñada, posteriormente una rotación sobre el
eje y haciendo aparecer un ángulo θ que se le denominará ángulo de cabeceo y
finalmente una rotación sobre el eje x, haciendo aparecer un ángulo φ, ángulo de
alabeo. Sea entonces la posición inicial de la aeronave la definida por el vector A,
CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento
30
que al realizar una rotación alrededor del eje z a un ángulo ψ y aplicar la matriz de
transformación ( )ψ , el nuevo sistema sea B, es decir:
( )
−=
=
A
A
A
A
B
B
k
j
i
100
0cossen
0sencos
k
j
i
ψψψψ
ψ AB
--------------- 3.20
Fig. 3.2. Rotación de guiñada ψψψψ
De manera similar, se realizará la transformación del vector B, rotando el eje yB a
un ángulo θ, y convirtiéndose el sistema en el vector C, es decir:
( )
=
=
A
B
B
B
B
C
k
j
i
cos0sen
010
sen-0cos
k
j
i
θθ
θθθ BC
--------------- 3.21
ψψψψ
xA
yA
yB
xB zA
CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento
31
Fig. 3.3. Rotación de cabeceo θθθθ
Finalmente, se realizará la transformación del vector C rotando el eje xC a un ángulo
φ, y convirtiéndose el sistema en el vector D, es decir:
( )
=
=
B
B
C
C
C
C
k
j
i
cossen-0
sencos0
001
k
j
i
φφφφ
φ CD
--------------- 3.22
Fig. 3.4. Rotación de alabeo φφφφ
φφφφ
yC
zB
yB
xC
zC
θθθθ
xB zB
yB
xC
zC
CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento
32
De esta manera el vector D puede ser representado mediante la matriz producto de
cada una de las matrices de transformación, esto es:
( )( )( ) AAD Γ== ψθφ --------------- 3.23
donde:
+
+=Γ
θφψφ
ψθφψφ
ψθφ
θφψφ
ψθφψφ
ψθφ
θψθψθ
coscoscossen-
sensencos
sensen
cossencos
cossencoscos
sensensen
sencos-
cossensen
sen-sencoscoscos
--------------- 3.24
3.2. ANÁLISIS DE FUERZAS Y MOMENTOS EN EL HELICÓPTERO En esta sección se presentan las fuerzas y momentos externos de la aeronave para
cada uno los subensambles en los que se ha dividido.
Fuerza
Longitudinal
X = XRP + XRC + XE + XV + XF --------------- 3.25
Fuerza Lateral Y = YRP + YRC + YE + YV + YF --------------- 3.26
Fuerza Vertical Z = ZRP + ZRC + ZE + ZV + ZF --------------- 3.27
Momento de Alabeo L = LRP + LRC + LE + LV + LF --------------- 3.28
Momento de
Cabeceo
M = MRP + MRC + ME + MV + MF --------------- 3.29
Momento de
Guiñada
N = NRP + NRC + NE + NV + NF --------------- 3.30
Algunos de los términos de las ecuaciones anteriores aportan un valor muy pequeño
por lo que serán despreciados.
CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento
33
La contribución del rotor de cola en el arrastre general de la aeronave es pequeño,
así mismo de la fuerza vertical y del momento de cabeceo, por tanto: XRC = ZRC =
MRC= 0
La fuerza que aporta el empenaje horizontal al arrastre así como la fuerza lateral
son pequeños. De la misma manera sucede con los momentos de alabeo y guiñada,
por tanto XE = YE = LE = NE = 0.
De la misma manera, el empenaje vertical aporta una fuerza pequeña al arrastre así
como en la fuerza vertical. Así mismo sucede con el momento de cabeceo, por tanto:
XV = ZV = MV = 0.
Fig. 3.5. Fuerzas y momentos actuando en la parte lateral de la aeronave
zRP lV lRP
xRP
MRP aRP xv lRC xRC MRC
x xF MF xE
θθθθ aF aE
aRC zRC av lF
lH
zf zE
z
CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento
34
Fig. 3.6. Fuerzas y momentos actuando en la parte superior de la aeronave
Fig. 3.7. Fuerzas y momentos actuando en la parte frontal de la aeronave
y
yRC yF lRP
aF
x NRP NF ψψψψ
yV yRC
lV
lRC
dRP dv
yV yRC
LRP yRP aV
aRC
aRP
yF LF φφφφ
y aF dF
zF z
CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento
35
3.3. ECUACIONES GENERALES DE MOVIMIENTO TRASLACIONAL Y
ROTACIONAL
Las ecuaciones que rigen el movimiento de traslación y de rotación del vehículo
serán escritas de la manera tradicional [3.2]
( ) θsengm
Xvrwqu −+−−=& --------------- 3.31
( ) φθ sencosgm
Ywpurv −+−−=& --------------- 3.32
( ) φθ coscosgm
Zuqvpw ++−−=& --------------- 3.33
( ) L)pqr(IqrIIpI xzzzyyXX +++−= && --------------- 3.34
( ) M)pr(IrpIIqI 22xzxxzzyy +−+−=&
--------------- 3.35
( ) N)qrp(IpqIIrI xzyyxxzz +−+−= && --------------- 3.36
Donde u, v, w y p, q, r representan las velocidades de traslación y de rotación del
vehículo respectivamente. ψ, θ, φ son los ángulos de Euler. Ixx, Iyy, Izz representan
los momentos de inercia alrededor de los ejes x, y , z respectivamente; Ixz el
producto de inercia alrededor de los ejes x y z. Los ángulos de Euler de las
componentes gravitacionales de las ecuaciones 3. 23, 3.24, y 3.25 pueden ser
determinadas de la ecuaciones diferenciales que las relacionan con las componentes
de velocidades angulares del sistema cuerpo.
θφθφφ tancosrtansenqp ++=&
--------------- 3.37
φφθ senrcosq −=& --------------- 3.38
θφθφψ seccosrsecsenq +=& --------------- 3.39
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
37
Capítulo 4 Modelación matemática
Hay dos tipos generales del modelo de una aeronave, "EI modelo de fuerzas y
momentos totales" y "El modelo de perturbaciones". Para el desarrollo de este
trabajo habrán de considerarse ambos tipos. El modelo de perturbaciones tiene
varias limitantes, principalmente para pequeñas perturbaciones en estado estable.
La razón de estas limitantes es que las derivadas de estabilidad y control son
funciones no lineales que deben calcularse continuamente como una función de la
dinámica de la aeronave.
El desarrollo del modelo de fuerzas y momentos totales se basa en las Leyes de
Newton teniendo un sistema de seis ecuaciones de movimiento que describen el
movimiento de una aeronave rígida con seis grados de libertad. Esto se expresa
como tres ecuaciones para el movimiento de traslación y tres de rotación ya
definidas en el capítulo anterior.
El modelo que aquí se presenta esta basado en el modelo matemático propuesto por
Patfield [4.1] teniendo una variación en cuanto a la modelación de la planta de
potencia.
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
38
Fig. 4.1. Elememtos del modelo matemático
( ) θsingmX
vrwqu −−−=&
( ) θθ sincosgmY
wpurv +−−=&
( ) θθ coscosgmZ
uqvpw +−−=&
( ) ( ) LpqrIqrIIpI xzzzyyxx +++= −&&
( ) ( ) MprIrpIIqI 22xzxxzzyy +++= −
&
( ) ( ) NqrpIpqIIrI xzxxzzzz +−+= −&&
FFNTPTR LLLLLL ++++=
FFNTPTR MMMMMM ++++=
FFNTPTR NNNNNN ++++=
( ) ( )TPZTPTP2T
2TP CSVR
21
Z αΩρ=
0YX TPTP ==
FFNTPTR XXXXXX ++++=
FFNTPTR YYYYYY ++++=
FFNTPTR ZZZZZZ ++++=
( ) ( )FXF2Fp
2F CVSR
21
X αΩρ=
( )
=
F
AYS
2Fs
2F V
vCVSR
21
Y Ωρ
( ) ( )FZF2Fp
2F CVSR
21
Z αΩρ=
FNFNFN YhL =
0MFN =
( ) FNcgFNFN YxN +−= λ
0ZX TT ==
( ) TTT0
TT2TTT0
2TTT F
sa
CRsaR
21
Y
= πΩρ
( )
=
sa
C2saRR
21
X0
X0
22H Ωρπ
( )
=
saC2
saRR21
Y0
Y0
22H Ωρπ
( )
=
saC2
saRR21
Z0
Z0
22H Ωρπ
−=
H
H
H
ss
ss
R
R
R
Z
Y
X
cos0sin
010
sin0cos
Z
Y
X
γγ
γγ
RRHR YhLL +=
RcgRRHR ZxXhMM +−=
RcgHR YxNN −=
s1H K2b
L ββ−=
( ) '1
bI
I2
sa
C2saRR
21
N R
0
Q0
32H Ω
γπΩρ
β
+
=
c1H K2b
M ββ−=
0LF =
( ) ( )FMF2FFp
2F CVSR
21
M αΩρ λ=
( ) ( )FNF2FFs
2F CVSR
21
N βΩρ λ=
0ZX FNFN ==
( ) ( )FNYFNFN2FN
2FN CSVR
21
Y βΩρ=
0NL TPTP ==
( ) TPcgTTP ZxM += λ
TTT YhL =
0MT =
( ) TcgTT YxN +−= λ
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
39
En este diagrama muy generalizado, se presentan las diferentes fuerzas y momentos
que conforman el modelo actuando en cada uno de los subensambles en que ha
sido dividida la aeronave. No se representan en el esquema los efectos que generan
los movimientos de aleteo, avance y retroceso de las palas del rotor principal, que
contribuyen a aceleraciones de tipo armónico, sin embargo si fueron tomadas en
cuenta en el modelo general.
El sistema de control, consistente en un arreglo de varillas y palancas no son
representados tampoco en la figura pero deben también ser modelados e incluidos
en el modelo general. Estos mandos permiten al piloto interactuar físicamente con la
dinámica de la aeronave para provocar una alteración en ella, es decir pilotear y
controlar el helicóptero.
Para ensamblar los diferentes submodelos que surgen de cada uno de los
subensambles, se deben realizar las transformaciones pertinentes, las cuales son
representadas por las matrices de rotación, ya descritas en el capítulo 3, debido a
que cada subensamble tiene un marco de referencia particular.
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
40
4.1. ECUACIONES QUE RIGEN LA DINAMICA DE VUELO El modelo tiene la forma de una ecuación diferencial no lineal escrita en forma de
un vector de estado de primer orden de la forma
)t,u,x(f
dt
xd = ------------- 4.1
Las ecuaciones que rigen la dinámica de vuelo de la aeronave se reducen a la
solución de las siguientes ecuaciones en concordancia con [4.1]:
Punto de Equilibrio 0)u,x(f ee = ------------- 4.2
Estabilidad 0
x
fIdet
eX
=
∂∂−λ ------------- 4.3
Respuesta ( ) ( )[ ]∫+= ττττ d,u,xf)0(x)t(x ------------- 4.4
donde:
x(t) es el vector columna de variables de estado
u(t) es el vector de control de variables
f es una función no lineal del movimiento de la aeronave, entradas de control
y perturbaciones externas.
La solución de la ecuación (4.2), solución de equilibrio, es representada por el cero
de una función algebraica no lineal, donde hay que introducir los valores correctos
de control ue para mantener un estado definido xe. De esta manera, un vuelo en
condiciones de punto de equilibrio es aquel en el cual la tasa de cambio del vector
de estado de la aeronave es cero y la resultante de fuerzas y momentos aplicados en
el centro de masa de la aeronave también son cero.
La solución del problema de estabilidad es determinada mediante la linealización de
las ecuaciones concernientes a una condición de punto de equilibrio particular y
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
41
hallar los valores propios de la matriz función de la aeronave, escrita como un
jacobiano de la función respecto al sistema de estado (variables independientes). Al
jacobiano que se forma se le conoce como función de derivadas de estabilidad
Después de linealizar la ecuación (4.1), resulta un sistema de ecuaciones
diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes que tiene
soluciones de la forma eλt. La estabilidad es determinada por los signos de las partes
reales de los valores propios de λ [4.2].
La solución al problema de respuesta está dada por la ecuación (4.4) y es
determinada por la integral en el tiempo de la función f. Esta permite conocer la
evolución del estado de la aeronave. Las fuerzas y momentos tienen que ser
recalculados posterior a una perturbación. Las ecuaciones no lineales resultantes
generalmente tienen que ser resueltas numéricamente.
4.2. ELEMENTOS DEL MODELADO DEL ROTOR PRINCIPAL
En esta sección se analizan los fenómenos que afectan la dinámica del rotor
principal. Para el desarrollo de éste análisis se dividirá en tres aspectos que influyen
a éste. Primeramente se analiza el aspecto aerodinámico cuantificando de manera
general los efectos que el aire produce sobre el rotor. Para la obtención de los
modelos se recurre al empleo de la teoría de cantidad de movimiento lineal. A
continuación se determinan las fuerzas aerodinámicas sobre el rotor, ello a través
de la teoría del elemento de pala. Una vez finalizada la aerodinámica se prosigue con
el aspecto aeroelástico de las palas y su efecto que tiene sobre toda la aeronave,
tratado en las secciones 4.2.3 y 4.2.4.
4.2.1 Cantidad de movimiento lineal y corriente de flujo inducido
Se asume un campo de flujo normal inducido al rotor que tiene una distribución
lineal y que presenta una variación longitudinal a lo largo del disco actuador [2].
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
42
La distribución de la corriente en el infinito después se escribe mediante:
( )ψλψλλλ sincosR
r
R
Vsw1cw1
B0i
i ++==Ω
------------- 4.5
De la teoría antes mencionada se determina el coeficiente de deflexión de flujo
( )( ) 21
20z
2
T0
2
C
λµµλ
−+= ------------- 4.6
λ0 es la corriente del flujo normalizada que ocurre en el centro del rotor y
únicamente es aplicable cuando el rotor del helicóptero genera tracción o se
encuentra en autorrotación o modo de molino de viento, no para condiciones
intermedias tales como estado de vórtice (Ring Votex State).
El término CT que aparece en la Ec. 4.6 es determinado con el modelo del elemento
de pala.
Con el propósito de calcular la corriente de flujo inducido de manera uniforme, se
recurre al método de Newton-Raphson [4.3], lo cual se hace de manera iterativa.
)( 00 λg se puede definir como sigue:
Λ−=
21T
00
2
Cg λ ------------- 4.7
Donde
( )20z
2 λµµ −+=Λ ------------- 4.8
( )
++
−+
++
+= tw
20zwsw1
22
00
T 14
1
22
p
223
1
2
aC θµλµθµµθσ
------------- 4.9
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
43
El método de Newton puede expresarse como:
( )j0jj01j0 h λλλ +=+ ------------- 4.10
Donde:
( )j0
00
0j ddg
gh
λλλ=
−= ------------- 4.11
Por lo tanto
( )0zT02
3
T2
1
j0
j
C4
sa2
C2h
λµ
λ
−−Λ
+Λ
Λ−Λ
−= ------------- 4.12
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
44
4.2.2 Determinación de fuerzas y momentos en el rotor principal
mediante análisis por elemento de pala
En esta sección se determinan las fuerzas y momentos sobre el rotor provocado por
fuerzas aerodinámicas generadas por el viento sobre las palas del helicóptero. Para
ello se recurre al análisis del elemento de pala. Se considera un elemento diferencial
de pala mdrB sobre el que se tienen las fuerzas fz y fy que son las componentes
normal y tangencial de la fuerza aerodinámica, m es la distribución de masa. Las
fuerzas producidas por cada una de las palas en el núcleo del rotor pueden ser
escritas en términos de los efectos aerodinámicos e inerciales. El peso de la pala se
despreciará debido a que es relativamente pequeño en comparación con las otras
dos fuerzas. De la figura 4.2 y para b número de palas, las tres componentes de la
fuerza se pueden escribir como:
( ) ( )( ) B
b
1i
R
0
ixBiiyByiiizBzHw drcosmasinmafcosmaX ∑∫=
+−−−−= ψψψβf
------------- 4.13
( ) ( )( ) B
b
1i
R
0
ixBiiyByiiizBzHw drsinψmacosmafsinmafY ∑∫=
−−−−= ψψβ ------------- 4.14
( ) B
b
1i
R
0ixBzBzHw drβmamafZ ∑∫
=+−= ------------- 4.15
Fig. 4.2. Fuerzas aerodinámicas e inerciales en la pala
fy - maYB
-maXB
ZH
XH
YH
fz - maZB
ψ β
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
45
Las fuerzas aerodinámicas se pueden escribir en términos de las funciones del
levantamiento y resistencia al avance, L(rB,ψ) y D(rB, ψ), y del ángulo de ataque de la
pala φ referido a partir de la línea de cero grados de paso. Se asumirá que cos φ ∼1 y
sen φ ∼ φ por tratarse de un ángulo pequeño.
Fig. 4.3. Fuerzas aerodinámicas en una sección diferencial de la pala
De la figura se observa que fz y fy pueden expresarse mediante:
φφφ DLsinDcosLf z −−≅−−= ------------- 4.16
φφφ LDsinLcosDf y −≅−= ------------- 4.17
L siendo el levantamiento y D la resistencia la avance respectivamente, pueden
expresarse mediante:
( ) ( ) U
UcaUU
2
1r,L
T
P0
2P
2TB
++= θρψ ------------- 4.18
( ) ( )PD
2P
2TB cCUU
2
1r,D += ρψ ------------- 4.19
CDp tiene la forma de una parábola, según el modelo adoptado por Prandlt, tal que:
π
2L
DD
CCC
0p+= ------------- 4.20
Velocidad Tangencial
Velocidad inducida
fZ
Resistencia al Avance (D)
dL
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
46
Asumiendo que UT>>UP, se verifica que UT2+UP2 ≅ UT2. Normalizando las velocidades
mediante R/UU TT Ω= y R/UU PP Ω= se tiene que, los coeficientes de fuerza para
un rotor de b palas sean escritos como [4.1]:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ii
2i
b
1iii
1
022
HW
0
XW sinFcosFb
1
aRR2
1X
a
C2 ψψψβψσπρσ
+=Ω
=
∑
=
------------- 4.21
( )( ) ( ) ( ) ( ) ii
2i
b
1iii
1
022
HW
0
YW cosFsinFb
1
aRR2
1Y
a
C2 ψψψβψσπρσ
+−=Ω
=
∑
=
------------- 4.22
( )( ) ( )
−=−=
Ω=
∑
= σψ
σπρσ 0
Tb
1ii
1
022
HW
0
ZW
a
C2F
b
1
aRR2
1Z
a
C2 ------------- 4.23
Donde:
( ) ( ) [ ] B
1
0TPi
2Ti
1 rdUUUF ∫ += θψ ------------- 4.24
( ) ( ) B
1
00
2T
iDp2piTPi
2 rda
UCUUuUF ∫
−+= θψ
------------- 4.25
la solidez (σ) del rotor está dado por:
R
bc
πσ = ------------- 4.26
el radio normalizado queda representado por:
R
rr BB = ------------- 4.27
Las componentes de velocidad PT UyU se pueden expresar en la forma
( ) ψµβω sin1rU xBT ++= ------------- 4.28
( ) ( )1yB0zP ´rcosU λβωψµβλµ −−+−−= ------------- 4.29
Donde µ representa la relación de avance longitudinal y axial, definidas mediante:
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
47
( )
Ω+
=Ω
=2
2H
2HHw
r
vu
R
uµ ------------- 4.30
y
R
w Hwz Ω
=µ ------------- 4.31
Ω= X
Xωω
Ω= Y
Yωω ------------- 4.32
ψββ
d
d´= ------------- 4.33
El torcimiento de la pala, siendo lineal, puede incorporarse en el paso de la pala
escribiéndolo en la forma:
tBp r θθθ += ------------- 4.34
θP se compone de la contribución colectiva y cíclica.
Las funciones F(1)(ψ) y F(2)(ψ) que resultan de sustituir las ecuaciones (4.28), (4.29),
(4.5), (4.34) en las ecuaciones (4.24) y (4.25), introduciendo los ángulos azimutales
de la pala, para b número de palas separadas uniformemente, representada por la
ecuación:
b
2iiii
πψψ −=+ ------------- 4.35
y mediante la simplificación de que 1x <<βω , estas funciones se reducen a:
( ) ( )
( ) ( )ψβµλµψµβλωψµ
θψµψµθψµψµψ
cossen2
1'
2
sen
3
1
sen2
1sen
3
2
4
1sensen
3
1F
0z1y
tw22
p221
−−
++−−
++
+++
++=
------------- 4.36
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
48
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( )
++−−−
+
−−−−+−−+−−
++−−
++
−−
++−−
+=
ψµψµβλω
λβωψµβλµψµβλµ
θψβµλµψµβλωψµ
θψβµλµψµβλωψµψ
22
0
Dp2
1y
1y0z2
0z
tw0z1y
p0z1y2
sensen3
1
a
C
3
'
'coscos
cos2
sen
3
1'
3
sen
4
1
cossen2
1'sen
2
1
3
1F
------------- 4.37
Esta última simplificación de los tres coeficientes de fuerza en el núcleo del rotor,
dependen del modelo considerado en la forma en la cual la pala aletea. Un modelo
individual de la pala, que incluye un aleteo transitorio de la pala y variaciones
armónicas en el coeficiente de fuerza, no requieren desarrollo más amplio que las
fuerzas consideradas. La reducción al modelo de aleteo quasi-constante, en donde el
aleteo es determinado solamente con relaciones algebraicas, se puede alcanzar a
través de un balance armónico o con una transformación en las coordenadas multi-
palas, descritos más detalladamente en la sección 4.2.3 de este trabajo. Por el
momento es suficiente con determinar las componentes fundamentales de (4.21),
(4.22) y (4.23) cuando el aleteo es escrito en la forma tradicional de una serie
infinita de Fourier:
sencos sw1cw10 ψβψβββ ++= ------------- 4.38
β0 es el ángulo de conicidad y β1cw, β1sw son los primeros términos armónicos cíclicos
de aleteo de la serie de Fourier. Para este trabajo únicamente se considerarán éstos
tres primeros términos de la serie infinita, ya que según la referencia [4.10] las
armónicas de orden superior a tres son relativamente pequeñas y sin un efecto
considerable en los valores de tracción y par torcional.
De manera similar el paso de la pala es escrito en la forma de una serie de Fourier,
representada mediante:
ψθψθθθ cos sen cw1sw10p ++= ------------- 4.39
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
49
Según lo descrito en la sección 4.3.1 de este capítulo, la función de la corriente
descendente expresada en términos de una serie se representa como [4.1]:
sin cos sw1cw11 ψθψθλ += ------------- 4.40
Las constantes de (4.21), (4.22) y (4.23) son iguales para cada pala y para
determinarlas, las funciones ( ) ( )ψ1F y
( ) ( )ψ2F necesitan ser expresadas en términos de
armónicas.
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ψψψψψ 2senF2cosFsenF cosFFF 1s2
1c2
1s1
1c1
10
1 ++++= ------------- 4.41
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ψψψψψ 2senF2cosFsenF cosFFF 2s2
2c2
2s1
2c1
20
2 ++++= ------------- 4.42
Los coeficientes CX, CY y CZ se reducen a:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
F
4
F
2
F
4
F
2
F
a
2C 2s1
sw1
1s2
0
1c1
cw1
1c2
10
0
Xw +++
+=
βββ
σ ------------- 4.43
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
F
4
F
2
F
4
F
2
F
a
2C 2c1
cw1
1s2
0
1s1
sw1
1c2
10
0
Yw +−−
+−=
βββ
σ ------------- 4.44
( )10
0
T
0
Z Fa
2C
a
2C−=
−=
σσ ------------- 4.45
En sentido estricto, la inclusión de los segundos términos armónicos en (4.43) y
(4.44) no son consistentes con la exclusión de la segunda armónica de aleteo en
(4.38), por lo que deberán incluirse. Las ecuaciones en (4.43) y (4.44) pueden
reescribir como:
( ) ( ) tw20zW
sw1
2
01
0 14
1
22
p
223
1F θµλµθµµθ ++
−+
++
+= ------------- 4.46
( )
+−+++
= tw0z0sw1sw1
s1 3
2
3F θλµθµθα
------------- 4.47
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
50
( )
23F 0cw1cw1
c1
µβθα−
+= ------------- 4.48
( ) 0cw1W
sw1cw11
s2 2
q
2F µβλβθµ −
−+−= ------------- 4.49
( )
++−
+−−=22
p
2F tw
0sw1W
cw1sw11
c2
θθµλβθµ ------------- 4.50
( )
( )
( )
0
Dp0sw1
cw1wcw1
cw1sw1w
0zsw1
twcw1
0zsw
cw1
2
0zsw
0
cwsw1swcw10zsw10
22
s1
a
C
2
q
4
4p
8
3
2
22443
442F
µµββλθµ
βλµλµθ
θµβλµµαβµλµµαθ
αβµαβµλµββµ
−
−−−
+
+−+−
+
−−++
−−++
−
−−+=
------------- 4.51
( )
−−−
+
−−
+−
+
+−+
+−+−
−−+
−−−=
0sw1cw1w
sw1
cw1sw1w0z
cw1sw10cw
tw
sw10cw
0swsw1
cwcw10zcw10z02c1
2
q
4
2
p
42834
2234
4
3
4
32F
µββλθµ
βλµλµθβµβµαθ
βµβµαθαβµ
αµβλµµβλµµβ
------------- 4.52
Donde las funciones de incidencia de la pala son dadas por:
cw1sw1Wsw
sw1cw1Wcw
p
q
βλαβλα
+−=−−=
------------- 4.53
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
51
Los términos arriba expresados para el arrastre del rotor y fuerza lateral son difíciles
de interpretar físicamente por su gran complejidad y composición de una gran
cantidad de términos relativamente pequeños. Como base de un modelo lineal,
donde las derivadas son deducidas, es necesaria una simplificación adicional de las
ecuaciones (4.43) y (4.44). Descartando las segundas variaciones armónicas del
levantamiento dadas por ( ) ( )1
c21s2 FyF , los tres términos restantes en (4.43) y (4.44) se
pueden identificar en términos de su origen físico. Por ejemplo, los términos
( ) ( )0
1c1ic
10 FyF ββ son los primeros términos armónicos del producto del levantamiento
y aleteo en la dirección del movimiento y representan una contribución al coeficiente
CXw de las posiciones delantera y trasera de las palas.
El termino ( )2s1F representa la contribución a CXw de la resistencia del perfil y el
levantamiento actuando en las palas que avanza y la que retrocede. Los términos de
CYw pueden ser descritos de forma similar.
El coeficiente del empuje del rotor se da por (4.45) y se determina comúnmente
iterando conjuntamente con el modelo para predecir las variaciones del flujo
inducido 0 1c 1s, , λ λ λ . Este modelo ya fue descrito en la sección 4.3.1.
La transformación del sistema núcleo/viento al sistema cuerpo puede ser hecho en
términos del ángulo de movimiento lateral ψV dado por la ecuación (3.8)
Mediante la siguiente transformación
−=∆
ww
ww
cossin
sincos
ψψψψ
------------- 4.54
Se obtienen los coeficientes en el eje cuerpo
∆=
Yw
Xw
Y
X
C
C
C
C ------------- 4.55
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
52
Los momentos de cabeceo y guiñada del núcleo del rotor pueden escribirse en
términos de la rigidez Kβ del resorte y son aproximadamente proporcionales a un
aleteo de la pala quasi-estable.
s1H K2
bL ββ−= ------------- 4.56
c1H K2
bM ββ−= ------------- 4.57
El momento restante producido por el rotor es el momento de guiñada NH.
Refiriéndose a la figura 4.4, se puede escribir en la forma:
( )∑∫=
−=b
1iByBy
R
0
BH drmafrN ------------- 4.58
NH puede ser escrita en la forma:
( )∑ ∫=
Ω+
−
=b
1iRB
R
0
BH IdrLDrN &φ ------------- 4.59
Donde IR es el momento de inercia de las palas del rotor sobre el eje más un
momento de inercia de cualesquiera otra de las partes que rotan directamente
unidas a éste, tales como la transmisión, núcleo y mástil del rotor. Usando (4.17) y
(4.18) y normalizándola, (4.59) se puede reescribir como:
( )'
1
bI
I2
sa
C2
aRR2
1N R
0
Q
032
H Ω
+=
Ω γσπρ β
------------- 4.60
Donde:
'2Ω
Ω=Ω&
------------- 4.61
y
b
40
I
Rcaργ = ------------- 4.62
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
53
El término en (4.61) se define como un término que representa la aceleración
angular normalizada y la expresión (4.62) el número de Lock.
B
2T
0
Dp2PTP
1
0
B0
Q rdUa
CUUUr
a
C2
−+−=
∫ θ
σ ------------- 4.63
La expresión para CQ, obtenidas por expansión e integración de (4.63), es de nuevo
complicada. Una aproximación mucho más simple se puede determinar mediante
una transformación y un cambio conveniente de los términos en la integral. De
(4.28) la coordenada radial puede escribirse
φµ sinur TB −≅ ------------- 4.64
Por lo tanto (2.63) puede escribirse en la forma
( ) B
1
0
B
1
0
BT
PT
o
Q rddrrdLU
UsenU
a
C2∫∫ +−−=
ψµ
σ ------------- 4.65
Donde
2T
0
DpTP
2T U
a
Cd y UUUL =+= θ ------------- 4.66
De esta manera, las tres componentes del coeficiente de esfuerzos de torsión pueden
ser escritos
+
+
−=
∫∫∫ B
1
0
B
1
0
BT
P1
0
BP
0
Q rdrrdLU
UsinrdLU
a
C2ψµ
σ ------------- 4.67
Estos tres términos se pueden ocupar por separado mostrando las tres distintas
contribuciones. De (4.29).
( ) ( )
−−+−−= ∫∫∫ B
1
0
B1y
1
0
B0z
1
0
BP rdLr'rdLcosrdLU λβωψµβλµ ------------- 4.68
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
54
El segundo término del lado derecho de (4.68) será despreciado, considerando que la
componente quasi-constante contiene solamente los segundos términos del orden
β1s, β1c, p,q. Esto será más evidente cuando el término integral se amplíe a las
ecuaciones de aleteo en la sección 4.2.3. De (4.24) y (4.45) el primer término en
(4.68) se reduce a:
( )
−−−=
σψµβλµ
σ 0
T0z
0
Q
a
C2cos
a
C2 ------------- 4.69
El segundo término del coeficiente del par torsional en (4.67) se puede también
reducir a una forma simple usando (4.13), (4.14), (4.15), (4.16) y (4.17) para obtener
∫∫ +
=
1
0
B0
T
0
XW1
0
BT
Prsindcos
a
C2-
a
C2rdL
U
Usin ψψβ
σσψ ------------- 4.70
Los términos armónicos ded de la ec. (4.66) no se han incluido en el análisis, por lo
que el último termino de (4.70) será despreciado. Al introducir (4.69) y (4.70) en
(4.67), las dos contribuciones dependientes del esfuerzo de torsión debido al
levantamiento, arrojan:
( )
+
−−=
σµ
σλµ
σ 0
Xv
0
T0z
20
Q
a
C2
a
C2
a
C2 ------------- 4.71
Finalmente, el tercer término de (4.67) puede ser reducido usando (4.66) para
obtener
( ) ( )2
0
Dp
0
Xv
0
T0z
0
Q 214a
C
a
C2
a
C2
a
C2µ
σµ
σλµ
σ++
+
−−≅
------------- 4.72
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
55
4.2.3 Determinación de fuerzas y momentos debido al aleteo de
las palas de rotor principal
Considerando al rotor con articulación en el centro, una rigidez kβ de restitución y
mediante la figura 4.4 el comportamiento del aleteo es descrito como la suma de los
momentos que actúan en el centro del núcleo. Estos momentos son, a saber, el
momento aerodinámico, de inercia y de restitución del resorte, como ya se ha
mencionado anteriormente, el peso de la pala al no ser representativo en
comparación con las otras tres magnitudes será despreciado.
Fig. 4.4. Fuerzas producidas por un elemento de pala actuando en el centro del núcleo
La sumatoria de estos momentos son expresados por
[ ] 0Kdrma)r(fr iB
R
0 ZBBZB =+−∫ ββ ------------- 4.73
El primer término representa el momento provocado por fuerzas aerodinámicas, el
segundo es provocado por las fuerzas de inercia de la pala y finalmente el tercero es
el momento de restitución elástica, provocado por un resorte que sujeta a la pala.
β
Kβ
r
R
dm
dFc dFi
Ω
θ
Ωr
Vi+β’(r-a)
i
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
56
Empleando (3.19) y (4.16), la ecuación puede escribirse en forma normalizada,
como
( )b,.......,2,1i
rdrUUUn4
sin2
'pqcos
2
'qp2
BB
1
0iPT
2T
iw
WiW
Wi2''
i
=
++
+−
+=+
∫ θ
ψψβλβ
β
β
------------- 4.74
Donde
22
I
K1
Ω+=
β
ββλ ------------- 4.75
λB representa la frecuencia de rotación debida al aleteo expresada en forma
normalizada.
En la sección 4.2.4 se describe el modelo de rotor articulado en el centro. Este se
presenta como una adecuada aproximación del comportamiento tanto para rotores
no articulados como articulado con pequeño valor de excentricidad.
IB es el momento de inercia de la pala, definida como:
∫=R
0
B2drmrI ββ ------------- 4.76
como en (4.33), )d/d(' ψββ = representa la tasa de cambio del ángulo de aleteo
con relación al ángulo acimutal y nβ representa el número de inercia, estrechamente
relacionado al numero de Lock γ, se tiene
ββ
ργI8
Rca
8n
40== ------------- 4.77
Empleando (4.28) y (4.29), la ecuación de aleteo, (4.74), se puede ampliar en la
forma
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
57
( ) ( )
( ) ( )[ ]1y0ztwtwpp
iw
wiw
w
ii2'
i'''
i
ffffn
sin2
'pqcos
2
'qp2
fcosnnf1
λωλµθθ
ψψ
βψµλββ
ωλθθβ
βββββ
−+−+++
+−
+
=++++
------------- 4.78
i = 1, 2, 3, …, 6
Donde
+=
++=
++=
+==
=
i
i22
itw
i22
ip
i
i'
sin3
41f
sin3
4sin2
3
4f
sin2sin3
81f
sin23
4ff
sin3
4f
ψµ
ψµψµ
ψµψµ
ψµ
ψµ
ω
θ
θ
βλ
β
------------- 4.79
En la sección 4.3.2, fueron derivadas las fuerzas y momentos del rotor. Si se desean
conocer los movimientos individuales de cada pala entonces se tendrá que hacer
uso de (4.78). La principal ventaja del modelado individual de la pala es la
capacidad para incluir cargas aerodinámicas más complejas radialmente. En
aquella sección, las fuerzas y momentos del rotor son descritos a través de la forma
quasi-estable mediante la introducción hasta la primera armónica de aleteo β0, β1s, y
β1c. Aquí es más general transformar los ángulos de aleteo de la pala individual en
coordenadas multi-pala [4.4], que incluye una variable diferencial de conicidad. Para
el rotor bipala, que es el caso aquí estudiado, la transformación toma la forma:
La conicidad del rotor principal esta dada por:
∑=
=b
1ii0 b
1 ββ ------------- 4.80
Conicidad para b>2
( )∑=
−=b
1i
iid 1
b
1 ββ ------------- 4.81
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
58
Angulo de aleteo debido a paso cíclico
∑=
=b
1iiijc jcos
b
2 ψββ ------------- 4.82
Para cuatro palas, por ejemplo, la transformación puede ser escrita:
∑=
=b
1iiija jsin
b
2 ψββ ------------- 4.83
~M
~I L ββ β= ------------- 4.84
Donde
[ ] [ ]Ts1c1d0
~M
T4321
~I ,,,y ,,, ββββββββββ == ------------- 4.85
−−−−−
−
=
ψψψψψψ
ψψ
β
cossin11
sincos11
cossin11
sincos11
L
------------- 4.86
Así que,
−−−−
−−=−
ψψψψψψψψβ
cos2sin2cos2sin2
sin2cos2sin2cos2
1111
1111
4
1L 1
------------- 4.87
En la conformación de la matriz Lβ se utiliza la relación ( )( )( ) 21-i-iπψψ = . La ecuación
(4.78) puede ser escrita en una matriz como:
( ) ( ) ( )ψβψβψβ~I
~II
~
'II
~
''I hDC =++ ------------- 4.88
Mediante la transformación dada por (4.84) la ecuación de aleteo puede, por tanto,
escribirse como
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
59
( ) ( ) ( )ψβψβψβ~M
~MM
~
'MM
~
''M hDC =++ ------------- 4.89
[ ][ ]
=
++=
++=
−
−
−
~I
1
~M
I'
I''1
M
I'1
M
hLh
LDLCLLD
LCL2LC
β
ββββ
βββ
------------- 4.90
Las matrices dadas en (4.90) contienen términos periódicos (de bajas armónicas, <2)
pero una aproximación mas común implica despreciar éstos o, más correctamente,
determinar un promedio sobre la frecuencia más baja (2Ω para un rotor de cuatro
palas), que filtra eficazmente estos términos. Así se deja un sistema reducido de la
forma,
( )~
0M~M0M
~
'M0M
~
''M hDC =++ βψββ ------------- 4.91
Donde CMO, DMO y hMO son constantes de las matrices de (4.89). Estos pueden ser
escritos:
−
=
ββ
β
β
ββ
µ
µ
n20n3
42n00
00n0
n3
200n
C 0M
------------- 4.92
−
−−
+−=
12
1nn3
40
21n10n
3
4
000
000
D
22
22
2
2
0M
βββ
βββ
β
β
λµµ
µλµ
λλ
------------- 4.93
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
60
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
−+−+
++++
+−
−+
++
+
−+−++
+++
=
sw1w0z2
sw1tw0w
w
cw1w
2
cw1w
w
sw1w0zsw1
2
tw2
0
~0M
p22
312
3
8n
2
'pq2
q2
1n2
'qp2
o
p3
2
3
4
3
4
65
141n
h
λλµµµθµθµθ
λµθ
λµλµµθµθµθ
β
β
β
------------- 4.94
El sistema de coeficiente descrito en (4.91) será utilizada para la simulación del
helicóptero en tiempo real [4.5]. Otra simplificación que se hace, proviene del hecho
de que se asume que las dinámicas de aleteo de la pala tienen un efecto
insignificante en la estabilidad, el control y en las cualidades de maniobrabilidad y
solamente la forma quasi-estable de (4.91) será utilizado.
El modelo dinámico reducido quasi-estable aún con las simplificaciones hechas
tiene muchas aplicaciones. La simulación del helicóptero en tiempo real se realiza
mediante (4.95), según lo expresado por [4.1]
~0M
10M
~M hD−=β ------------- 4.95
−
−
−
+
−
+
−−=−
β
β
ββ
β
β
ββ
β
ββ
β
β
β
β
β
β
µ
λµ
λ
µ
µ
µ
λ
µ
µλ
µ
λδ
λδ
δ
n
S
n
21
S
3
421
3
4
n
21
n
S21
3
4S
3
4
000
000
1D
2
22
2
2
2
2
2
2
2
10M
------------- 4.96
donde:
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
61
−=
+=
β
ββ
ββ
λ
δ
n
1S
1S2
2
------------- 4.97
El término Sβ representa el número de rigidez. Empleando (4.94) y (4.96), los
coeficientes de aleteo pueden ser escritos en la forma siguiente:
+
−
−+
++=
w
w
w
w
cw1
sw1
0z
cw1
sw1
tw
0
2220
q
p
'q
'p
03
200
0,3
2,
3
40,
3
4,
3
2
5
4,1
µ
θλ
λµµ
θθθθ
µµµλη
ββ
β
------------- 4.98
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
62
( )
( )
q
p
'q
'p
12n
S2
n,
3
4
2
1S1
2n
2
n
21
n
2S
n,
3
4
2
S
n
S2
21
n
,12n
,Sn
-
,Sn
,2
1n
12n
Sn
Sn3
4
2
1
3
4
2
S
21
n
nS2
3
4
n
2S
3
4
n2
31
nS
3
4
21S
nS
3
4
n21
nS
15
82
nS21
3
4
S15
8
n2
n
2S
3
4
S1
n-
w
w
w
w
22222
22222
2222
22222
cw1
sw1
0z
22
2
22
222
22
22
cw1
sw1
tw
0
22
22
22222
22
22
22sw1
cw1
−+
+
−
−
++−
+
−+
−
−
+
+
−
−−+
−
+
+−
−
+
+
−
+−
+−
++
−
−
+
+
+=
µλµµλ
µλµµλ
µλλ
λµλ
λλ
λµ
µλ
λ
λµ
µµλ
λµ
λµ
θθθθ
λµ
λµ
µλµ
λµ
λµ
λµ
λµ
λµ
λββ
β
β
β
ββ
ββ
β
ββ
β
ββ
β
β
β
β
β
ββ
β
β
ββ
β
β
β
β
β
ββ
β
ββ
β
β
β
β
β
ββ
β
ββ
β
β
β
ββ
ββ
ββ
β
β
β
ββ
β
ββ
ββ
β
β
ββ
ββ
β
------------- 4.99
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
63
4.2.4 El rotor equivalente a un sistema de resorte en el centro
En esta sección se presenta el modelado que permite dar soporte a la simplificación
de que el rotor se comporta como una viga empotrada con un resorte de restitución.
De esta manera se analizan rotores rígidos, es decir sin bisagra (hingeless rotors) y
rotores articulados. Con este modelo simplificado, mediante la especificación de la
relación de frecuencia de aleteo y el número de Lock, es suficiente para describir las
características dinámicas del rotor. El método para establecer los valores
equivalentes de estos dos parámetros será descrito en esta sección. Las expresiones
para los momentos generados en el núcleo de rotores sin bisagras son determinados
así como la simplificación a palas rígidas con bisagra de aleteo.
Refiriéndose a la Fig. 4.5 la ecuación de movimiento linealizada de deformación por
flexión w(r, t) de una viga elástica en rotación con carga externa distribuida F(r, t)
puede ser escrita, según [4.6]:
( )t,rFmrdrt
w
t
wmr
t
wm
r
wEI
r
R
r2
2
22
2
22
2
2
2
2
=
−Ω+Ω+
∫δ
δδδ
δδ
δδ
δδ
------------- 4.100
Fig. 4.5. Deformación elástica de una viga rotatoria
F(r,t) r w (r,t)
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
64
EI es el módulo elástico, m la distribución de masa y Ω la velocidad de rotación.
Asumiendo una deformación de la pala de forma desacoplada, tal que:
( ) ( ) ( )∑∞
==
1nnn tPrSt,rw ------------- 4.101
empleando los procedimientos convencionales de separar las componentes de
espacio y componentes de tiempo [4.7] de (4.101) y aplicando el método de Galerkin
a la ecuación de estado-tiempo, la ecuación para coordenadas normales puede
escribirse en la forma:
( ) ( ) ( )∫∫
=Ω+R
r
nR
r
2n
n2n
22
n2
drSt,rF
drmS
1tP
dt
tPd λ ------------- 4.102
Los modos ortogonales in-vacuo, Sn (r), satisface las ecuaciones:
0Smmrdrdt
Sd
dt
dSmr
dr
SdEI
dt
dn
22n
R
r2n
2
2n2
2n
2
2
2
=Ω−
−Ω+
∫ λ ------------- 4.103
Donde
( )∫ ≠=R
r
n2m nm ,0drSrmS ------------- 4.104
El momento de flexión en el núcleo y la fuerza cortante esta dada por las
expresiones
( )( ) ( )∫
Ω+−=
R
0
22
2r rdrw
tw
mt,rFt,0Mδ
δ ------------- 4.105
( ) ( ) ( )∫
−=
R
02
2r dr
t
wmt,rFt,0V
δδ
------------- 4.106
El exponente (r) se utiliza para denotar cantidades en el sistema coordenado en el
que rota.
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
65
Substituyendo para F(r, t), dada en (4.100), dentro (4.105) lleva finalmente a la
expresión:
( ) ( ) ( ) ( )∫∑∞
=−Ω=
R
0
nn1n
2n
2r drmrStP1t,0M λ ------------- 4.107
Considerando únicamente el primer modo de aleteo, (4.107) se reduce a la
expresión:
( )( ) ( ) ( )∫−Ω≅R
0
112n
2r drmrStP1t,0M λ ------------- 4.108
Si la forma del primer modo S1(r) es conocida, entonces (4.108), junto con la
solución para P1(t) de (4.102), es suficiente para determinar la contribución del
primer modo al momento en el núcleo. En muchos casos, sin embargo, el primer
modo no se conoce con exactitud y puede ser deseable conservar las características
dinámicas de la pala como parámetros. La pregunta entonces se presenta referente
la conveniencia de representaciones más simples de S1(r) y a la suficiencia de su uso
para predecir los momentos del núcleo.
En [4.8] Young asume una simplificación mediante una aproximación lineal a lo
largo de la pala S1(r), mostrado en el Fig. 4.6; una aproximación que reemplazó
efectivamente la pala flexible por una pala rígida con una bisagra de aleteo. De tal
forma, aunque no ortogonal a los modos elásticos, satisface (4.103) en un sentido de
la distribución. En la determinación del valor requerido para la bisagra e, Young
introdujo un resorte en la bisagra, siendo su esfuerzo definido por la frecuencia no
rotacional de aleteo natural de la pala. Alternadamente, el valor de la excentricidad
fue elegido de modo que la combinación del resorte y de la excentricidad definiera la
frecuencia natural de rotación del primer modo de aleteo, λ1. El momento del núcleo
de la pala se puede entonces escribir en la forma:
( )( ) ( ) ( )
+−Ω=
β
βββ βλ
I
eRM1t1It,0M 1
22r ------------- 4.109
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
66
( )∫ −=R
eR
2 dreRrmI β ------------- 4.110
( )∫ −=R
eR
dreRrmM β ------------- 4.111
siendo ( ) ( )tPt 111 ≡βλ≡λβ , (Deflexión de la punta de la pala).
En términos del módulo del resorte Kβ y de excentricidad, el rango de frecuencia del
aleteo puede ser escrito de la siguiente forma:
β
β
β
ββλ
I
eRK
I
K1
22 +
Ω=− ------------- 4.112
Aunque este resultado no ha sido completamente justificado ha sido usado desde
entonces para calcular las derivadas de los momentos para rotores sin bisagras. La
implicación del resultado dado por (4.109) es que los momentos del núcleo están en
fase con la deflexión de la pala, un resultado que Bramwell [4.9] observó que no es
exactamente cierto para la pala con bisagra de aleteo. El resultado correcto para los
momentos en el núcleo de tal sistema es fácilmente determinado.
Fig. 4.6. Simplificación de un rotor de pala con bisagra de aleteo fuera del
centro
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
67
Refiriéndose a la Fig. 4.6 el momento puede ser escrito en la forma:
( ) ( ) ( )∫+−=eR
0
zr rdrt,rFeRSKt,0M ββ ------------- 4.113
Donde β es el ángulo de aleteo, ahora relativo a la bisagra y a la fuerza de corte, Sz
está dada por:
( ) ( )[ ]∫ −−−=R
eR
z dreRrmt,rFS β&& ------------- 4.114
Sustituyendo (4.114) en (4.113) y si se asume una primera respuesta armónica en β
de modo que β−=β 2ΩΩΩΩ&& el momento del núcleo se puede escribir como:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫++−Ω=R
eR
eR
0
22r rdrt,rFdrt,rFeRt1It,0M βλββ ------------- 4.115
Donde Iβ y 2βλ están dadas por (4.110) y (4.111)
El resultado dado por (4.115) indica que el momento en el núcleo no estará en fase
con el aleteo en virtud de que la carga aplicada F(r, t), en general, está fuera de fase
con β(t). Claramente el aleteo β(t) y el ángulo de deflexión de la punta están en fase.
Para descubrir la anomalía se hace necesario volver a la expresión del momento en
el núcleo dado por (4.105) y desarrollar cuidadosamente el análisis que conduce a la
aproximación (4.108). Usando (4.101) y (4.102) el momento del núcleo se pueden
escribir como,
( )( ) ( ) ( ) ( ) ∫∑∫∑∫
∫∫
∞
=
∞
=
−Ω+−=R
0
n1n
n2n
2R
0
n1n
R
0
2
R
0
nR
0
r drmrSP1drSt,rF
drmS
drmrS
rdrt,rFt,0M
n
λ
------------- 4.116
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
68
Cuando todos los modos son considerados los primeros dos términos en (4.116) se
cancelan y el término restante, dado por (4.107), es una representación verdadera
del momento en el núcleo. En particular, si solamente se considera el primer modo,
(4.116) tiene que ser escrito como:
( )( ) ( ) ( ) ∫∫∫
∫−Ω+
−=R
0
112n
2R
0
1R
0
2
R
0
1r drmrSP1dr S
drmS
drmrS
rt,rFt,0M
1
λ
------------- 4.117
Cuando la carga externa está en la forma, F(r, t) ∝ mS1 entonces el primer termino
en (4.117) desaparece y la expresión del momento del núcleo dada por (4.108)
permanece. Estas condiciones, sin embargo, no satisfacen la carga aerodinámica
puesto que, aun en vuelo estacionario, hay términos proporcionales a r2 en F(r, t). El
primer término en (4.117) estará fuera de fase con la variación correspondiente de la
punta de la pala y el resultado correcto para el modelo de bisagra excéntrica se
obtiene directamente de (4.117).
Sea
( )( ) ( )
≤≤−
−=
≤≤=
RreR ,e1R
eRrrS
eRr0 ,0rS
1
1
------------- 4.118
De la Fig. 4.6, puede verse que:
( ) ( ) ( )( )e1trrP 11 −≅≡ ββ ------------- 4.119
Substituyendo (4.118) y (4.119) en (4.117), la expresión del momento en el núcleo
entonces se reduce a la forma dada por (4.115).
Existe un número de diversos métodos para establecer un valor apropiado de la
excentricidad, e. En contraste con el método de Young, Bramwell sugiere despreciar
la curvatura de la pala, obteniéndose una expresión para e de la forma:
1
e21
21
λλ −
= ------------- 4.120
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
69
Incorporando las fuerzas inerciales, debido a las rotaciones del fuselaje, en la
función F(r, t) y refiriéndose a la Fig. 4.6, el momento principal y la fuerza de corte
en la bisagra estará dada por:
( ) ( ) ( )3z
r e0eRSKt,0M +−= ββ ------------- 4.121
( ) ( )[ ] B
R
eR
zBBxBz rdmarmat,eRS ∫ +−= λβ ------------- 4.122
Los componentes de la aceleración en cada estación rB, axB y azB puede ser escrito:
2
BxB ra Ω−= ------------- 4.123
( ) ( ) ( )[ ]βψψβ 2BBzB cosp2qsinq2preRra Ω−Ω++Ω−+−−= &&&&
------------- 4.124
Sustituyendo (4.123) y (4.124) en (4.122) y (4.121) conduce al resultado:
( )
( ) ( )
Ω+
+
+−=Ω ∫ B
R
eR
B2x2
2
r
drrI
1
M
eRM1
I
MeR1
I
M 0 λββ
β
β
ββ
β
σβλ ------------- 4.125
Donde:
( ) ( ) ψψσ cosp2'qsinq2'px ++−= ------------- 4.126
∫=R
eR
BrmdM0β ------------- 4.127
y Iβ, Mβ y 2βλ están dados por (4.110), (4.111), y (4.112) respectivamente.
El movimiento de aleteo se puede determinar del equilibrio de los momentos de
aleteo sobre la bisagra. La ecuación toma la forma integral:
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
70
( ) ( )[ ]( ) ββKdreRrrmar IBB
R
eR
BzBB =−+∫ λ ------------- 4.128
Sustituyendo (4.124) en (4.128), la ecuación de aleteo puede ser escrita:
( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] ( )( )∫ −+Ω++Ω−+=
+Ω++ΩR
eR
BBB
22
dreRrrcosp2qsinq2peRMI
eRMIKI
λ&&
&&
ψψ
ββ
ββ
ββββ
------------- 4.129
o bien mediante :
( )( ) BB
1
e
PT2Tx
2 rderUUUn4I
eRM1'' −++
+=+ ∫ θσβλβ β
β
ββ ------------- 4.130
de las ecuaciones (4.33), (4.77) y (4.112)se había definido:
β
β
β
ββ
ββ λρ
ψββ
I
eRM
I
K1 ,
I8
Rcan ,
d
d'
22
40 +
Ω+===
Las componentes normalizadas de velocidad ŪT y ŪP son dadas por las expresiones
(4.29) y (4.28) ya definidas
( ) ψµβ sinw1rU xBT +−=
( ) ( ) ( )[ ]βψψβ 2BBzB cosp2qsinq2preRra Ω−Ω++Ω−+−−= &&&&
Substituyendo (4.132) y (4.133) en (4.130), la ecuación de la dinámica de aleteo
puede ser escrita, para 0(e2) en los coeficientes, como:
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
71
( )
−+−+−
+−+−+
+−+
−+−+
+=
+−+−++
+−++ −+
y0z
2
222
x
22
22
2
e
3
1sin
3
e
4
1
2
ee
2
1sin
2
e
3
1
2
ee
2
1sine
3
2sin
3
e
4
1n4
I
eRM1
cos2
ee
2
1sin4e2
3
4n
'ee3
1sin4e2e
3
81n''
ωψµλµψµ
ψµψµσ
βψµψµλ
βψµβ
ββ
β
ββ
β
------------- 4.131
El ángulo de aleteo β ahora se escribe como la suma de conicidad y las variaciones
cíclicas en la forma:
ψβψβββ sincos s1c10 ++= ------------- 4.132
y
ψθψθθθ sincos s1c10 ++= ------------- 4.133
Sustituyendo en (4.131) y asumiendo un balance armónico, como en el realizado en
la sección 4.3.1 la conicidad y primeras armónicas son retomadas y los coeficientes
de aleteo de la pala quasi-estable se pueden escribir en forma de matriz como:
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
72
[ ]
−
+
−
+−
−+−
+−
−
+
+−+
−
−
+−+
−
−
+−+
−
=
−
+−+
+−−
+−++−
−
−
+
q
q
e3
41
I
eRM1
n
2
2
e
3
12
I
eRM1
n
2
e3
41
0
2
ee
2
14
0
e23
4
2
ee
2
13e
3
410e
3
24
02
ee
2
1e
3
410
e3
220
2
ee
2
12e
3
41
n
1
2
ee
2
1
2
ee
3
810
2
ee
2
1e2e
3
81
n
1
2
e
3
14
0e2
e2
n
0z
2
s1
c1
0
22
22
22
s1
c1
0
222
2
222
2
22
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
µ
λµ
µ
θ
θ
θ
µµ
µ
µµ
β
β
β
λµ
µλ
µ
µλ
------------- 4.134
Se asume que las contribuciones de p′ y q′ son pequeños.
De (4.134) las derivadas de aleteo respecto a las perturbaciones de velocidad y
control son determinadas, aunque estas serán expresiones muy largas. Se
simplifican para vuelo estacionario y se omite la variación de la corriente
descendente adoptando la forma:
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
73
=
p
qs1
c1
ps1
pc1
qs1
qc1
s1
c1
s1
c1
s1
c1
s1
s1
c1
c1θθ
ββ
ββ
ββ
ββ
ββ
θ
θ
θ
θ
------------- 4.135
Las derivadas de aleteo se pueden escribir en la forma:
( )
−−
===∂∂
e3
41n
d
12
s1c1c1
c1
s1c1 ββ
βθθ
λββ
θβ
------------- 4.136
−
−−=−==∂∂
e3
41e
3
81
d
n2
s1c1s1
c1
c1s1β
βθθ ββ
θβ
------------- 4.137
( )
+
−+
−−
===∂
∂
β
β
β
ββ
β
βλβββ
I
eRM1e
3
81
d
n2e
3
41n
d
1
q
2
ps1qc1c1
------------- 4.138
( )
−
−−
+
−=−==
∂∂
e3
41e
3
81
d
n
I
eRM1
d
12
p
22
qs1pc1c1
β
β
β
β
β
βλβββ
------------- 4.139
Donde
( )β
βββββ
λn
1S y e
3
81Snd
2222 −
=
−+= ------------- 4.140
Las derivadas de aleteo pueden ahora ser usadas en la formulación de derivadas de
los momentos del núcleo. Los momentos del núcleo en el eje del árbol del sistema
cuerpo pueden ser escritos en términos de momentos del núcleo en ejes rotatorios,
dados por (4.125), en la forma:
( ) ψsinML rH −= ------------- 4.141
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
74
La ecuación 4.141 representa el momento de alabeo en el sistema núcleo, siendo
positivo a estribor.
( ) ψcosMM rH −= ------------- 4.142
La ecuación 4.142 representa el momento de cabeceo en el sistema árbol, siendo
positivo nariz arriba.
Al expandirse (4.125) conduce a las expresiones:
( ) ( )
( ) ( )
−++−+
++−
−
+−−−=
Ω
0z0c1s1
2s1c1
s12
2H
343
pen4
q2'pM
eRM1
I
eRM1
I
L20
λµθµβθµθβ
βλ
β
β
β
β
ββ
β
------------- 4.143
( ) ( )
( )
−−+
++−
−
+−−−=
Ω
243
qen4
p2'qM
eRM1
I
eRM1
I
M2
0s1c1
2c1s1
c12
2H 0
µββθµθβ
βλ
β
β
β
β
ββ
β
------------- 4.144
Las derivadas de momento en el núcleo expresadas anteriormente pueden escribirse
en términos de las derivadas de aleteo, así:
( )
+
++−−=
Ω 000
0
0s1
2
c12
2 243
1en41
I
M2θθθ
βµβµβλ βββ
θ ------------- 4.145
( ) ( )
+−
++−−=
Ω c1c1c1
c1
0s1
2
c12
2 21
43
1en41
I
M2θθθ
βµβµβλ βββ
θ ------------- 4.146
( )
+
++−−=
Ω s1s1s1
s1
0s1
2
c12
2 243
1en41
I
M2θθθ
βµβµβλ βββ
θ ------------- 4.147
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
75
( )
+
++−−=
Ω zzz
z
0s1
2
c12
2 2431
en41I
M2µµµ
βµβµβλ βββ
µ ------------- 4.148
( )
+
++−+−−=
Ω qqq 0s1
2
c12
2q
2431
31
en41I
M2βµβµβλ ββ
β
------------- 4.149
( )
+
++
+−−−=
Ω pp
0
p 0s1
2
c12
2p
2431
en4M
eRM1
I
eRM21
I
M2βµβµβλ β
β
β
β
ββ
β
------------- 4.150
( )
+
−−−−=
Ωµβµβλ
θθ βββ
θ00
0
c1
2
s12
2 431
en41I
L2
------------- 4.151
( )c1c1
c1
c1
2
s12
2 431
en41I
L2θθ
βµβλ βββ
θ
−−−−=
Ω
------------- 4.152
( )
++
−−−−=
Ω 43
31
431
en41I
L2 2
c1
2
s12
2 s1s1
s1µβµβλ
θθ βββ
θ ------------- 4.153
( )
+
−−−−=
Ωµβµβλ
µµ βββ
µzz
z
c1
2
s12
2 431
en41I
L2
------------- 4.154
( )q
0
q c1
2
s12
2q
431
en4M
eRM1
I
eRM21
I
L2βµβλ β
β
β
β
ββ
β
−−
++−−=
Ω
------------- 4.155
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
76
( )
−+−−−=
Ω pp c1
2
s12
2p
431
31
en41I
L2βµβλ ββ
β
------------- 4.156
Mediante un análisis efectuado por [4.1], se puede decir que la evidencia presentada
en ese estudio, aunque de alguna manera aun superficial, sustenta la adopción de
un modelo mucho más sencillo basado en la aproximación de un resorte central en
lugar de la excentricidad de la bisagra real. Una investigación más a fondo será
garantía para evidenciar y clarificar el alcance de la aproximación, particularmente
en vuelo con maniobras.
En resumen, para un rotor sin bisagras, la resistencia del resorte y el número de
Lock son elegidos para igualar la frecuencia natural del primer modo de aleteo y la
distribución de masa respectivamente. Para rotores articulados la constante del
resorte es determinada nuevamente para obtener la frecuencia natural del primer
modo de aleteo (cuerpo rígido) pero el número de Lock ahora se disminuye con el
incremento del momento de inercia de la pala asociado, ahora referido al centro de
rotación.
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
77
4.3. TRACCIÓN Y POTENCIA DEL ROTOR DE COLA
La tracción que genera el rotor de cola es pequeña en magnitud en relación con
aquella generada por el rotor principal. De este afirmación se desprende la hipótesis
adoptada en el capítulo anterior, que serán despreciada la resistencia al avance, la
fuerza vertical y el momento de cabeceo que este produce.
El empuje del rotor produce una fuerza lateral en el helicóptero que esta dada por:
( ) ( ) TTT0
TY2TT0T
2TTT F
aC
RaRY
Ω=
σπσρ
------------- 4.157
Donde σT es la solidez del rotor de cola y FT representa un factor de bloqueo
generado por el empenaje vertical sobre la estela de flujo del rotor de cola y que
produce cierta ineficiencia en la fuerza que éste genera. Este formula fue
determinada empíricamente y esta dada por:
2T
FNT R
S43
1Fπ
−= ------------- 4.158
Donde SFN representa la superficie del empenaje vertical.
El coeficiente de empuje del rotor de cola puede escribirse como:
( )22
31
3aC2 T0zT2
T
*T0
TT0
TT λµµθσ
−+
+=
------------- 4.159
Donde a0T es la pendiente de la curva de levantamiento de las palas del rotor de
cola; *0Tθ el paso colectivo, y las velocidades normalizadas Tµ y zTµ están dadas por:
( )( )( )TT
21
2CGT0TA
2A
T Rxqkw
Ω++−+= λλµµ λ
------------- 4.160
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
78
( )( )TT
TCGTAzT R
phrxlvΩ
−++−=µ ------------- 4.161
Donde uA, vA, wA son las velocidades aerodinámicas en el centro de gravedad del
helicóptero; p, q y r son las componentes de la velocidad angular del fuselaje; 0λ es
el desplazamiento de aire del rotor principal y lT y hT, la posición del rotor de cola
atrás y encima del punto de referencia del fuselaje, punto directamente debajo del
núcleo del rotor principal sobre la línea de referencia del fuselaje.
El desplazamiento de aire uniforme en (4.159) esta dado por:
( )( ) 21
2T0zT
2T
TTT0
2
C
λµµλ
−+= ------------- 4.162
0λ tiene que ser determinada iterativamente en conjunto con (4.159).
El ángulo 3δ da una disminución al paso colectivo del rotor en la forma [ver
articulación K en 2.6]:
T03T0*T0 k βθθ += ------------- 4.163
Donde 0Tβ es el ángulo de conicidad del rotor de la cola, y k3 es la constante 3δ .
Refiriéndose a (4.98) para la expresión de la conicidad del rotor principal, *0Tθ se
puede escribir como:
( )
( )2T
T
23
T0zT
T
23T0*T0
1n
k1
nk
µλ
λµλθθ
β
β
β
β
+
−
−
+
=
------------- 4.164
En donde se ha asumido que 0ST
=β
El par torsional del rotor de cola puede escribirse como:
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
79
( )
Ω=
TT0
QTTT0
3T
2TTT a
C2aRR
21
Qσ
σπρ ------------- 4.165
El coeficiente de par torsional esta definido por:
( ) ( )2T
T0
T
TT0
TTT0zT
TT0
QT 31a4a
C2a
C2µδ
σλµ
σ++
−=
------------- 4.166
Donde
2TTT2T0T Cδδδ += ------------- 4.167
representan el modelo de tracción simplificado por la teoría del ala elíptica de
Prandlt.
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
80
4.4. FUERZAS Y MOMENTOS AERODINÁMICOS DEL FUSELAJE
Para la determinación de las fuerzas y momentos del fuselaje se asume que las
fuerzas y momentos longitudinales son dependientes del ángulo de ataque mientras
que las fuerzas y momentos laterales dependen del ángulo de derrape. Sin embargo
para la fuerza de arrastre existe una excepción pues esta depende de ambos
ángulos. La representación que a continuación se propone representa una
simplificación de una colección disponible de datos de túnel de viento. Las formas
semiempíricas para estas tres fuerzas y momentos de cabeceo y guiñada fueron
desarrolladas para un rango completo de incidencia del cuerpo. Estas son
detalladas en [Apéndice 5].
Si Fα y Fβ denotan los ángulos de incidencia del fuselaje y el derrape
respectivamente tenemos:
( ) 21
2A
2AF
A
A1F0 wV ,
wtan ,0 µ
µαλ +=
=< −
------------- 4.168
( ) 21
2A
2AF
A
A1F0 wV ,
wtan ,0 µ
µαλ λ
λ +=
=> −
------------- 4.169
Donde
0FAA Rkww λλλ Ω−= ------------- 4.170
λFk es una constante que permite considerar el incremento del valor del
desplazamiento de aire sobre el disco del rotor.
El ángulo de derrape que produce la fuerza lateral y el momento de guiñada esta
dado por:
= −
A
A1F u
vtanβ
------------- 4.171
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
81
Las fuerzas longitudinales y momento de cabeceo están dados por:
( ) ( )FXF2Fp
2F CVSR
21
X αρ Ω= ------------- 4.172
( ) ( )FZF2Fp
2F CVSR
21
Z αρ Ω= ------------- 4.173
( ) ( )FMF2FFp
2F CVSR
21
M αρ λΩ= ------------- 4.174
La fuerza lateral y momento de guiñada están dados por:
( )
Ω=
F
AYFs
2F
2F V
vCSVR
21
Y ρ ------------- 4.175
( ) ( )FNFFs2F
2F CSVR
21
N βρ λΩ= ------------- 4.176
Los términos Sp y Ss son las superficies de vista de planta y vista lateral del fuselaje
respectivamente, lF es la longitud de referencia. Para el momento de guiñada en
(4.176), ocurre un cambio en CNF para vuelo en reversa. Por lo que, si:
( ) ( )FNFAFNFA CC ,0u ββ =< ------------- 4.177
( ) ( )FNFBFNFA CC ,0u ββ => ------------- 4.178
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
82
4.5. FUERZAS NORMALES DEL EMPENAJE HORIZONTAL Y VERTICAL.
Se asume que en el empenaje horizontal y vertical se producen únicamente fuerzas
normales a lo largo de las direcciones de los ejes z e y respectivamente. La fuerza
normal puede escribirse como:
( ) ( )TPZTPTP2
T2
TP CSVR21
Z αρ Ω= ------------- 4.179
En donde STP es el área del empenaje horizontal. El coeficiente de fuerza esta dado
por:
( ) TP0TPZTPZTLZTP sinaC ,CCT
αα −=< ------------- 4.180
( )T
TPZTPTPZTPZTLZTP sin
sinCC ,CC
ααα −=> ------------- 4.181
0Ta representa la pendiente de la curva de levantamiento para un TPα pequeño. El
efecto de la estela del rotor principal golpeando al empenaje horizontal puede
incorporarse a TV y Tα , así:
( )( )
Ω+Ω−= 2
2A
20FA2
TR
uRkwV
λλ ------------- 4.182
( )
++Ω−+=A
CGTP0TPATT u
qxlRkwarctan
λθα λ ------------- 4.183
Donde TPkλ es una constante cuando χ1 < χ < χ2, en donde x es el ángulo de la estela
del rotor principal.
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
83
−=
−−=
hhl
arctany hhRl
arctanTPR
TP2
TPR
TP1 χχ
------------- 4.184
0k TP =λ
De forma similar la fuerza lateral del empenaje vertical puede ser escrito como:
( ) ( )FNYFNFN2FN
2FN CSVR
21
Y βρ Ω= ------------- 4.185
Donde CYFN(βFN) son obtenidos mediante [4.10]:
( )( )2
2A
2A2
FNR
vuV
Ω+= ------------- 4.186
−+−= −
A
FNA1FNFN u
rlvtanθβ
------------- 4.187
θFN es el ángulo de inclinación del empenaje vertical.
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
84
4.6. SISTEMAS DE MANDO DE VUELO Los sistemas de mando de vuelo o sistemas de control de vuelo del helicóptero son
los responsables de modificar toda la dinámica de la aeronave completa. Aparte de
las entradas transitorias debidas a eventos imprevistos tales como ráfagas de viento,
cambios de densidad, etc., las entradas por definición son los mandos de vuelo.
Los mandos de vuelo con los que cuenta la aeronave son un canal de mando
colectivo que permite cambiar el ángulo de paso de las palas del rotor principal y
con ello aumentar o disminuir la fuerza de tracción de éste. Un canal de mando de
paso cíclico longitudinal que provoca un desplazamiento en la aeronave, un canal de
mando de paso cíclico lateral que genera desplazamiento también y finalmente un
cambio de paso de las palas del rotor de cola que permite, a través de un aumento o
disminución de tracción, guiñar la aeronave.
Para comenzar el análisis habrá que decir que las entradas de paso cíclicas pueden
ser mezcladas y puestas en fase antes de ser transmitidas a las palas. Así mismo las
unidades dinámicas de los servos son representados por los primeros retrasos de
orden.
4.6.1. Canales de cabeceo y alabeo
Comenzando en el extremo de los canales de cabeceo y alabeo de la pala el
mezcaldor cíclico (en fase) toma la forma
Fc1*
Fs1*
s1 cincos ψθψθθ += ------------- 4.188
Fc1*
Fc1*
c1 cincos ψθψθθ −= ------------- 4.189
Las señales “aparentes” de las ecuaciones 4.188 y 4.189 son producidas por el servo
actuador comandadas por el piloto y por las señales del autoestabilizador antes de
la posición en fase. Así,
s1 1c
sa1sp1*
s1*
τθθθ
++
= ------------- 4.190
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
85
s1 2c
ca1cp1*
c1*
τθθθ
++
= ------------- 4.191
La barra denota la transformada de Laplace de una cantidad y la s en el
denominador, denota la variable de Laplace. Considerando primeramente las
contribuciones del piloto con el subíndice p, la señal lateral tiene la forma simple
c11c10c1cp1* ngg +=θ ------------- 4.192
donde g1c1 es la reducción debida al bastón.
La entrada longitudinal cíclica del piloto tiene una forma más general. La reducción
del bastón longitudinal es vista como una función de ajuste de la palanca del
colectivo. Una aproximación lineal puede ser asumida para la presente aplicación
tomando la forma:
( ) cs11sc0scs11s10s1sp1* ggngg ηηθ +++= ------------- 4.193
donde 0 < η1s < 1, comprende completamente la carrera del bastón desde atrás
hasta el frente. También 0 < ηc < 1, aunque este rango puede contener paso
colectivo negativo. Los coeficientes en (4.193) se pueden expresar conveniente en
términos de cuatro parámetros.
θ1s0= paso a bastón de mando cíclico y palanca colectiva en cero.
θ1s1= paso a bastón de mando cíclico máximo y cero de la palanca colectiva.
θ1s2= paso a bastón de mando cíclico en cero y palanca colectiva al máximo.
θ1s3= paso a bastón de mando cíclico y palanca colectiva máximos.
Éstos podrían no ser los mejores puntos a considerar en la práctica debido a las no
linealidades adicionales que se generan en los extremos de control.
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
86
( ) ( )
====
0s11s12s13s11sc
0s12s10sc
0s11s11s1
0s10s1
---g
-g
-g
g
θθθθθθθθ
θ
------------- 4.194
Las contribuciones del autoestabilizador a los canales del cabeceo y alabeo, pasando
a través de la serie de actuadores limitados en autoridad, se escriben en forma
proporcional simple
( )0c1c1c1pca1* kpkk ηηφθ φ −++= ------------- 4.195
( )0s1s1s1qsa1* kqkk ηηθθ θ −++= ------------- 4.196
kθ, kφ, kp y kq son las ganancias del lazo de retroalimentación, mientras k1c y k1s son
simplemente ganancias; η1s0 y η1c0 son constantes que son ajustadas por el piloto.
4.6.2. Canal de guiñada
Las contribuciones del piloto y del autoestabilizador enviadas al rotor de cola pasan
a través del servo, dando la relación
s3C
Ta0Tp0TR0 1 τ
θθθ
++
= ------------- 4.197
La contribución del piloto se compone de las señales de ambos pedales y de la
palanca colectiva. La longitud de la varilla (ηct) se relaciona con las posiciones del
mando de guiñada y palanca colectiva. La forma lineal general para estas relaciones
puede ser escrita como
( ) ( ) t0ctp0ctct g211g ηηη −+−= ------------- 4.198
y
ct1t0tTp0 gg ηθ += ------------- 4.199
CAPÍTULO 4 Modelación matemática
87
En cuanto al mezclador cíclico/colectivo longitudinal descrito previamente, los
coeficientes en (4.198) y (4.199) pueden ser establecidos como puntos conocidos en
una curva que defina la cinemática del mecanismo.
La contribución del autoestabilizador al canal de guiñada se puede escribir en la
forma
( ) rkk rHTa0* +−= ψψθ ψ ------------- 4.200
ψH es un ángulo de cabeceo, ajustable por el piloto.
4.6.3. Canal colectivo
El retraso inducido por el servo toma la forma
s1 4c
a0p00 τ
θθθ
++
= ------------- 4.201
El paso colectivo es producido por el movimiento de la palanca colectiva a través de
un engranaje recto, por ejemplo
c1c0cp0 gg ηθ += ------------- 4.202
La contribución del autoestabilizador, pasa a través de otra serie de actuadores de
autoridad limitada. La ley del control toma la forma proporcional de
ηθ ∆kga0 = ------------- 4.203
CAPÍTULO 5 Simulación Numérica del Modelo
89
Capítulo 5 Simulación Numérica del Modelo
En este capítulo se emplearán las ecuaciones del capítulo anterior para realizar un
análisis para vuelo estacionario y de traslación. El vuelo estacionario debe
entenderse como aquel en el cual la aeronave no tiene movimiento relativo respecto
al sistema tierra.
CAPÍTULO 5 Simulación Numérica del Modelo
90
Fig. 5.1. Diagrama de bloques para vuelo estacionario
Elementos que generan Fuerzas Verticales
FVHRCRP Z Z Z Z Z Z ++++=
Ecuación de movimiento trasnacional
( ) φθ coscosgm
Zuqvpw ++−−=&
Fza. empenaje vertical 0 ZV =
Fza. vertical rotor de cola 0 ZRC =
Fuerza Fuselaje
( ) ( )FZF2
Fp2
F CVSR2
1Z αρ Ω=
u
vtan
Rkww
wtan
R/wvuV
A
A1F
0FAA
A
A1F
2A
2A
2AF
=
Ω−=
=
Ω++=
−
−
β
λµ
α
λλ
λ
ZFC Ω
Ω0AAA wvu λ
Fuerza Empenaje Horizontal
( ) ( )
ZTLZHH
HZTLZH
ZTLZHH0ZH
HZH
2HH
2H
CC,sin
sinCC
CC,sinaC
CVSR2
1Z
H
>−=
<−=
Ω=
αα
α
αρ
( )( )
( )
++Ω−+=
Ω+Ω−
=
A
0HAHH
2
2A
20HA2
H
u
qxcgltpRkwarctan
R
uRkwV
λθα
λ
λ
λ
Fuerzas Rotor Principal Sistema cuerpo
=
N
N
N
ss
ss
RC
RC
RP
Z
Y
X
cos0sen
010
sen-0cos
Z
Y
X
γγ
γγ
Fuerzas rotor principal Sistema Núcleo
( )
( )
( )
Ω=
Ω=
Ω=
sa
C2saRR
2
1Z
sa
C2saRR
2
1Y
sa
C2saRR
2
1X
0
Z0
22N
0
Y0
22N
0
X0
22N
ρπ
ρπ
ρπ
Tsa
C2
sa
C2
0
T
0
Z −=
−=
( ) tw20Zw
sw1
2
0 14
1
22
p
223
1T θµλµθµµθ ++
−+
++
+=
( )( )
2,
2cot
2,
2tan
0
arctan
2
C
0cw1
0cw1
sw1
Z0
21
20z
2
T0
πχχλλ
πχχλλ
λµλ
µχ
λµµλ
>=
<=
=
−=
−+=
( )( )
( )( )j0jjj01j0
j0zT0
Tj0j
20z
2
hf
C4
a2
C2h
23
21
λλλ
λµσλ
λµµ
+=
−−Λ
+Λ
Λ−Λ−=
−+=Λ
+
R
w HZ
2Y
2x
Ω=
+=
µ
µµµ
R
vR
u
HY
HX
Ω=
Ω=
µ
µ
oθ
CAPÍTULO 5 Simulación Numérica del Modelo
91
Fig. 5.2. Diagrama de simulación del coeficiente de tracción en Simulink
Antes de presentar los resultados obtenidos mediante Simulink® se realizará una
descripción de las consideraciones asumidas en el modelo matemático:
1. El origen del sistema de ejes de referencia ortogonales sobre el que serán
ensambladas las ecuaciones es el centro de gravedad de la aeronave, el cual
se considerara que es fijo.
2. Se considera que la aeronave se comporta como un cuerpo rígido y que
presenta los seis grados de libertad espaciales. Así mismo, se considerarán
que el rotor principal presenta tres grados de libertad, el ángulo de aleteo
longitudinal, el lateral y la conicidad. Este hecho evidentemente es hipotético,
puesto que al girar los rotores, se produce un cambio en la posición del
centro de gravedad de la aeronave, debido a fenómenos de aleteo y arrastre de
las palas. Sin embargo, al no representar las palas del rotor más del 2% de la
masa total del aparato completo, se asumirá la hipótesis antes planteada.
3. El plano x-z es el plano de simetría de la aeronave
CAPÍTULO 5 Simulación Numérica del Modelo
92
4. Se considera una afluencia de flujo inducido en el rotor principal
uniformemente distribuida.
5. Son ignorados los efectos de compresibilidad de fluido.
6. La curva de levantamiento del perfil tanto del rotor principal como del de cola
se consideran representados por una recta constante.
7. Acoplamientos de la dinámica de aleteo y avance-retroceso de la palas son
despreciados.
8. Se considera un torcimiento lineal tanto en las palas del rotor principal como
del rotor de cola.
9. Se consideran que las palas son construidas con un material isotrópico,
linealmente elástico.
10. Se considera que las palas tiene igual masa, geometría y rigidez.
11. .Se desprecia la dinámica de la planta de potencia.
12. Finalmente se considera que los controles de mando del piloto se encuentran
solidariamente unidos a los mecanismos y comandos de la aeronave.
En las siguientes gráficas se muestra la respuesta de la aeronave a las entradas
comandadas por el piloto mediante los cuatro controles con que cuenta para ello.
Estos cuatro controles de mando son generados remotamente por la emisora de
radio utilizada, la cual genera señales a una frecuencia de 72.590 Mhz, mismas que
son desencriptadas por un receptor a bordo de la aeronave y que los traduce en
pulsos eléctricos que alimentan los servomotores de la aeronave. Como fue
explicado en el capítulo 2, el piloto cuenta con una palanca colectiva (1) que
aumenta o disminuye el paso de las palas y por tanto la tracción del rotor principal,
haciendo subir o bajar la aeronave. Un canal de paso cíclico longitudinal (2), que al
provocar un cambio de incidencia diferente en cada una de las palas provoca así
mismo una variación de sustentación en cada una de ellas y que a su vez engendra
un momento en el núcleo del rotor, lo cual hace que toda la aeronave responda
mediante un momento de cabeceo logrando un desplazamientos longitudinal de
ésta. Un tercer mando, conocido como paso cíclico lateral, tiene el mismo principio
CAPÍTULO 5 Simulación Numérica del Modelo
93
que el de paso longitudinal pero colocado perpendicularmente a éste para lograr
movimiento lateral de la aeronave. El cuarto y último mando es el control de paso
del rotor de cola. El principio es similar al cambio colectivo del rotor principal.
Mediante el cambio de la incidencia de las palas del rotor de cola se logra aumentar
o disminuir la sustentación de las palas y por ende la tracción que éste genera.
Dado que el rotor de cola se encuentra situado a una distancia del centro de
gravedad de la aeronave y que funciona como brazo de palanca, mediante el control
de la fuerza que éste genera se logra inducir un momento, que hace que la aeronave
guiñe hacia su izquierda o derecha.
Fig. 5.3. Emisora de radio control de la aeronave
Palanca de mando colectivo
Palanca de mando cíclica longitudinal Palanca de mando de paso Palanca de mando de palas del rotor de cola cíclica lateral a
CAPÍTULO 5 Simulación Numérica del Modelo
94
Fig. 5.4. Gráfica del comportamiento de cabeceo de la aeronave
Fig. 5.5. Velocidad de la aeronave en función del ángulo de paso del rotor
principal
CAPÍTULO 5 Simulación Numérica del Modelo
95
Fig. 5.6. Posición de la palanca de mando cíclico longitudinal respecto a la velocidad de la aeronave
Las gráficas presentadas corresponden al comportamiento que tendría la aeronave
al manipularse los controles. Estas gráficas son generadas a partir de la
implementación del modelo matemático, quedando pendiente su validación
experimental para los diferentes puntos. Únicamente se pudo comprobar
experimentalmente el punto correspondiente a vuelo estacionario, debido al precario
sistema de identificación que se diseñó.
CONCLUSIONES
97
CONCLUSIONES
Para la validación del modelo matemático tomado como referencia en el presente
trabajo, se hubieron de realizar la obtención de diversos parámetros y
características físicas de la plataforma empleada. Aunque no es el objeto de estudio
del presente trabajo, se diseñaron y construyeron diferentes sensores electrónicos
que permitieran la adquisición de parámetros de la aeronave, así como un sistema
de telemetría que permitiera enviar estos datos a una estación terrena de monitoreo
para la adquisición de datos. El diseño, construcción y descripción de los sensores
fabricados, así como de la estación terrena se detallan en el Apéndice 2 de este
trabajo. De la misma manera, hubo de diseñarse y construirse un cuerpo fuselado
que cubriera la aeronave y determinar sus coeficientes aerodinámicos del mismo
con el propósito de alimentar el modelo matemático en la parte concerniente a
fuselaje. La construcción del fuselaje se detalla en el Apéndice 3. La determinación
de los coeficientes se realizó de manera experimental en un túnel aerodinámico pero
también de manera numérica en un paquete de cómputo de dinámica de fluidos
computacionales, ello se detalla en el Apéndice 4.
Los resultados que se muestran en la gráficas presentadas en el capitulo 5
corresponden al comportamiento dinámico de la aeronave completa pero de manera
numérica, pudiéndose únicamente constatar un solo punto de estas gráficas de
manera experimental, el correspondiente al vuelo estacionario, es decir con
velocidad de desplazamiento igual a cero, siendo satisfactorio el valor para este
punto. Sin embargo, para poder realizar el muestreo de otros puntos diferentes, esto
es a velocidad de traslación y maniobras, se ha concluido que es necesario dotar a
la aeronave de un sistema de identificación mas completo, que permita sensar las
componentes de velocidad aerodinámica en las palas del helicóptero así como sus
deformaciones.
En el presente trabajo, se ha podido comprobar el alto acoplamiento de dinámicas
que existe en el modelo, situación que complica aún más la resolución de las
ecuaciones de movimiento.
CONCLUSIONES
99
Recomendaciones y trabajos a futuro
Con el fin de incrementar más la fidelidad del modelo, se puede mejorar la
simulación de los fenómenos aerodinámicos que genera el rotor principal,
incluyendo los efectos producidos por la turbulencia, la cual afecta la eficiencia de
las superficies de estabilidad y la del rotor de cola. Así como dotar al sistema de
identificación de sensores que permitan leer valores de las componentes de
velocidad aerodinámica en las palas. Se hace indispensable contar con un modelo
matemático que describa la dinámica del motor utilizado, es decir de un motor de
émbolo de combustión interna, el cual permita monitorear físicamente sus
parámetros tales como presión y temperatura en la cámara de combustión,
revoluciones por minuto del cigüeñal, consumo específico de combustible y potencia
al freno.
REFERENCIAS
101
REFERENCIAS AL CAPITULO 1
[1.1] http://www.uavforum.com/vehicles/ Ingreso: 09 de Octubre 2003
[1.2] http://www.eads-nv.com Ingreso: 17 de Noviembre de 2003
[1.3] http://www.schiebel.com Ingreso: 17 de Noviembre de 2003
[1.4] http://www.darpa.mil/ Ingreso: 17 de Noviembre de 2003
[1.5] http://rotomotion.com/index.htm Ingreso: 17 de Noviembre de 2003
[1.6] www.is.northropgrumman.com/products/navy_products/vtuav/vtuav.html Ingreso: 17 de Noviembre de 2003
[1.7] www.globalsecurity.org Ingreso: 17 de Noviembre de 2003
[1.8] http://www.vectorsite.net/twuav9.html Ingreso: 17 de Noviembre de 2003
[1.9] Visión ONERA Junio de 1998 “Gnopterès: de drôle d´engins” p.p. 21
[1.10] www.cert.fr/dcsd/vigilant Ingreso: 18 de Noviembre de 2003
[1.11] http://www.steadicopter.com Ingreso: 18 de Noviembre de 2003
[1.12] http://www.yamaha-motor.co.jp/eng/sky/ Ingreso: 18 de Noviembre de 2003
[1.13] www.fhi.co.jp/english/ Ingreso: 18 de Noviembre de 2003
[1.14] http://www.control-systems.net/colibri/ Ingreso: 1 de Noviembre de 2003
[1.15] Ruiz-Martínez, Hernández-García: Banco de Pruebas Experimental para Caracterización de Rotores de Levantamiento y Hélices. ESIME Zacaténco. México, 2003.
REFERENCIAS
102
[1.16] J. M. Molinar-Monterrubio: Modelado y Control de Velocidad para un Banco de Pruebas de Rotores de Helicópteros. Tesis de Grado CINVESTAV Zacaténco. México, 2005.
[1.17] D. Arellano-Mora, M. Serrano-Blanco: Análisis Aeroelástico de rotores de levantamiento. Tesis de Licenciatura ESIME Ticomán 2005.
[1.18] A. Oropeza-Osornio: Modelo Matemático para el diseño aerodinámico de un rotor de levantamiento de alta eficiencia. Tesis de Grado ESIME Zacaténco. México, 2006.
[1.19] B. Mettler et al. Autonomous UAV Guidance Build Up: Flight Test Demonstration and Evaluation Plan. AIAA USA, 2003.
[1.20] y [2.1]
A. T. Conlisk. Modern Helicopter Aerodynamics. Annual Review of Fluid Mechanics. Vol 29. 1997
[1.21] R.K. Heffley, M.A. Mnich: Minimum-Complexity Helicopter Simulation Math Model, NASA CR 177476, USAAVSCOM TR 87-A-7, CA. 1988
[1.22] C. Munzinger. Development of a Real-Time Flight Simulator for an Experimental Model Helicopter
[1.23] J.J. Howlet. UH-60A Black Hawk Engineering Simulation Program- Volume II – Mathematical Model. NASA CR-166309. 1981
[1.24] M.G. Ballin, M. A. Dalang-Secretan: Validation of the Dynamic Response of a Blade-Element UH-60 Simulation Model in Hovering Flight, Proceedings of the 46th Annual American Helicopter Society Forum, Washington D.C., May 1990.
[1.25] F.D. Kim,.R. Celi, M. B. Tischler: High-Order State Space Simulation Models of Helicopter Flight Mechanics. Journal of the American Helicopter Society, Vol. 38, No. 4, Oct. 1993, pp. 16–27.
[1.26] J. G. Leishman, and K. Q. Nguyen: State Space Representation of Unsteady Airfoil Behavior. AIAA Journal, Vol. 28, No. 5, May 1990, pp. 836–844.
[1.27] M. P. Scully: A Model of Computing Helicopter Vortex Wake Distortion. Massachusetts Institute of Technology, Aeroelastic Research Laboratory, Report ASRL TR-138-1, Cambridge, MA, June 1967.
REFERENCIAS
103
REFERENCIAS AL CAPITULO 2
[2.1]
[1.20]
T. Conlisk. Modern Helicopters Aerodynamics. Anual Rev. Fluid Mechanics. USA, 1997
[2.2] Caradonna FX. , Tung. C. Experimental and Analytical Estudies of a Model Helicopter Rotor in Hover. NASA TM 81232. USA, 1981.
[2.3] Arnaud, Pilles. Performance. Stage de Formation Spécifique Hélicoptère. Eurocopter Francia, 1998.
[2.4] Muzinger, Christian. Development of a Real-Time Flight Simulator for an Experimental Helicopter. Georgia Institue of Technolgy. Atlanta USA, 1998.
[2.5] R. W. Prouty. Helicopter Aerodynamics. Philllips Publishinc Inc. USA, 1985.
[2.6] Hernández G., R. Apuntes de Diseño Aerodinámico II. Edit. Hernández Edit. México, 2004.
REFERENCIAS AL CAPITULO 3
[3.1] Etkin, Bernard. Dynamics of Atmospheric Flight. John Wiley & Sons Publish. USA 1982.
[3.2]
[5.2]
Tewari, Ashish. Atmospheric and Space Flight Dynamics. Modeling and Simulation with MATLAB and Simulink. Birkhâuser Editorial. USA 2007
REFERENCIAS AL CAPITULO 4
[4.1] Patfield, Gareth D. Helicopter Flight Dynamics: The Theory and Application of Flying Qualities and Simulation Modeling. AIAA Pub. USA, 1999.
[4.2] Stengel, Robert F. Flight Dynamics. Princeton Univ. Press. USA, 2002.
[4.3] Zill D. G. Cálculo con Geometría Analítica. Edit. Iberoamericana. México, 1987..
REFERENCIAS
104
[4.4] Hohenemser H., Kurt; Sheng-Kuan, Yin. Some Application of the method of multi-blade coordinates. Journal of the American Helicopter Society, Vol. 17 No. 3.
[4.5] T. N. Chen, Robert; D. Talbot, Peter; An exploratory Investigation of the effects of large variation in rotor system dynamics design parameters on helicopter handling characteristics in nap-of-earth flight. Proceedings of the 33 rd Annual National Forum of the AHS. May 1977.
[4.6] Bisplinghoff, R.L; Ashley H; Fogarty L.E; Aeroelasticity. Addison-Wesley Publishing Corp Inc. USA, 1955.
[4.7] Ogata, Katsuhiko. Sistemas de Control en Tiempo Discreto. Prentice Hall. México, 1997.
[4.8] Young, Maurice I. A Simplified theory of hingeless rotors with application to tandem helicopters. Proceedings of the 18 th Annual National Forum of the AHS, May 1962.
[4.9] Bramwell, A.R.S. Bramwell´s Helicopter Dynamics. Butterworth-Heinemann. 2a ed. Inglaterra, 1976.
[4.10] Prouty, R.W. Helicopter Performance, Stability and Control. PWS Engineering. USA, 1986
REFERENCIAS AL CAPITULO 5
[5.1] Báez López, David. MATLAB con aplicaciones a la ingeniería, Física y Finanzas. Edit Alfaomega. México2006.
[5.2]
[3.2]
Tewari, Ashish. Atmospheric and Space Flight Dynamics. Modeling and Simulation with MATLAB and Simulink. Birkhâuser Editorial. USA, 2007
[5.3] Ogata, Katsuhiko. Problemas de Ingeniería de Control utilizando MATLAB. Edit. Prentice Hall. España, 1999.
APÉNDICE 1
A1 - 1
Apéndice 1 Plataforma experimental voladora
La plataforma tecnológica que se propuso para la validación del modelo matemático
fue la de un helicóptero de los conocidos en el mercado como clase 90, este aparato
cuenta con las siguientes especificaciones:
Características de la plataforma aérea empleada
Peso máximo de despegue con equipo de telemetría = 5.8 Kg.
Planta motriz motor OS MAX 91 SX-H Ring Spec w/pump
Capacidad del tanque de combustible 550 c.c.
Área de resistencia parásita, f 0.003m2
Relación de resistencia vertical, DV/P.M. 0.04
Rotor principal
Radio, R 0.8 m Superficie del disco, A 2.01m2 Velocidad en la punta, ΩR 134 m/s Cuerda, c 0.06 m Número de palas, b 2 Solidez, σ 0.0477 Superficie de las palas, Ab 0.048 m Perfil NACA 0015 Torcimiento, θ1 0º Relación de excentricidad de la bisagra e/R
0.11
Incidencia de la flecha, i 0º Altura por encima del C.G., hM 0.23 m
APÉNDICE 1
A1 - 2
Rotor de cola Radio, RT 0.13 m Superficie del disco, AT 0.053 m2 Velocidad en la punta, ΩRT 39.57 m/s Cuerda, cT 0.0254 m Número de palas, bT 2 Solidez, σT 0.1243 Superficie de las palas, AbT 0.0066 m2 Perfil NACA 0012 Torcimiento, θ1T 0º Brazo de momento del rotor de cola, lT 0.94 m Altura por encima del C.G., hT 0.067 m Área obstruida, SB m2 Ángulo delta-tres, δ3 45 º Estabilizador horizontal Superficie, AH 0.003m2 Envergadura, bH 0.19 Alargamiento, A.R.H Conicidad, cT/cR 2 Flecha de la línea de c/2, Λc/2H 30º Flecha del borde de ataque, ΛL.E.H. 45º Perfil Placa plana Brazo de momento, lH 0.65 m Altura por encima del C.G., hT 0.064 m Estabilizador vertical Área, AV 0.0045m2 Envergadura, bV 0.22m Alargamiento, A.R.H 1.8 Conicidad CT/CR 3 Flecha de la línea de c/2, Λc/2V 20º Deflexión del timón, δr 0 º Brazo de momento, lV 0.89 m Altura por encima del C.G., hV 0.01 m Fuselaje Longitud, LF 1.41 m Ancho, WF 0.2 m Altura, HF 0.37m Área húmeda, SWF 0.47 m2 Volumen, VF 0.021m3 Relación de esbeltez, F.R.F 11 Altura por encima del C.G., hF 0.03m
APÉNDICE 1
A1 - 3
Inercias de la aeronave: Cabeceo Iyy = 15 kg m2 Alabeo Ixx = 2 kg m2 Guiñada Izz = 13.1 kg m2 Otros: Planta motriz: OS MAX 91 SX-H Ring Spec
w/pump RPM del motor 15000 Transmisión nominal del rotor principal
2.4 HP
Transmisión nominal del rotor de cola 0.46 HP El propósito principal de la aeronave antes descrita es la recreación y práctica del
aeromodelismo, pero se presenta como una excelente plataforma tecnológica.
Esta plataforma requiere de adaptaciones que han sido ya realizadas, permitiendo
con ellas, aumentar el techo de operación mediante la utilización de un motor O.S.
Max 91 con bomba de sobrealimentación.
Fig. A1. 1. Helicóptero de radio control convencional Raptor 90®
APÉNDICE 1
A1 - 4
En términos de instrumentación la plataforma cuenta de un Sistema de
Posicionamiento Global (GPS). Cuenta además con telemetría de desarrollo propio,
además esta siendo desarrollado un sistema robótico giroestabilizado asintótico que
permite mantener en la lente de la cámara el blanco objetivo no importando el
movimiento de la aeronave o las vibraciones que sean generadas, ello para una
captación nítida de la imagen.
Así, el vehículo podrá transportar cámaras de video y/o infrarrojo, sistemas de
adquisición de datos y que sea de navegación autónoma.
Los sistemas que le fueron adaptados a la plataforma voladora fueron:
Sistema Inercial de Navegación: Mediante autopiloto infrarrojo de
estabilidad.
Sistema de telemetría consistente de: Anemómetro, medición de
temperatura del motor, medición de
carga de baterías, medición de RPM
del rotor principal y medición de
cantidad de combustible.
Fuselaje Carenado de la estructura del
helicóptero fabricada en materiales
compuestos.
APÉNDICE 1
A1 - 5
Fig. A1. 2. Plataforma final de pruebas con equipo de navegación y sistema de
telemetría
APÉNDICE 2
A2 - 1
Apéndice 2 Sistema de adquisición de datos y
sensores de la aeronave
El sistema de adquisición de datos consiste en un sistema telemétrico que permite
medir cinco parámetros específicos de la aeronave durante el vuelo. Estos
parámetros son:
• Velocidad de desplazamiento
• Temperatura de la cabeza del motor
• Velocidad angular del rotor
• Carga de baterías
• Nivel de combustible
Para la elaboración del sistema de comunicación y sensado hubo que realizar un
trabajo de investigación, mismo que condujo a la realización de una teisis de
titulación profesional efectuada en la Unidad Profesional Interdisciplinaria en
Ingeniería y Tecnologías Avanzadas de este Instituto, con el título: Sistemas de
Control y Operación de un Vehículo Aéreo no Tripulado.
APÉNDICE 2
A2 - 2
Fig. A2. 1. Organización detallada del segmento de vuelo
APÉNDICE 2
A2 - 3
Fig. A2. 2. Organización detallada de la estación terrena
APÉNDICE 2
A2 - 4
Fig. A2. 3. Interfaz grafica de posición de la aeronave, altitud y parámetros de la aeronave.
APÉNDICE 2
A2 - 5
Fig. A2. 4. Conjunto de sensores que realizan la medición y envío de
parámetros a la estación terrena.
Fig. A2. 5. Sistema de posicionamiento global.
APÉNDICE 2
A2 - 6
Fig. A2. 6. Vehículo aéreo equipado con sensores y sistema de
telemetría
APÉNDICE 3
A 3 - 1
Apéndice 3 Fabricación del cuerpo del fuselaje de
la aeronave
En esta sección se presenta la metodología que se siguió para la obtención física del
cuerpo fuselado que cubre la estructura de la aeronave experimental. Este carenado
se hacía necesario, ya que es mas fácil determinar algunos de los parámetros
aerodinámicos indispensables para alimentar al modelo matemático.
A 3. 1. MODELADO GEOMÉTRICO DEL CUERPO DEL FUSELAJE EN NX3®
El modelo de pruebas del fuselaje tiene una longitud de 1.15 m y 0.27 m de altura.
Este fue primeramente modelado geométricamente en el paquete de diseño asistido
por computadora Unigraphics NX3® a través de bosquejos parametrizados que
permitían cambiar a voluntad los valores para tener la forma mas adecuada del
cuerpo.
APÉNDICE 3
A 3 - 2
Fig. A3. 1. Creación de curvas de control parametricas del fuselaje
Una vez elaborados los segmentos del fuselaje se prosigue a unirlos mediante la
función denominada Through curves del paquete, la cual permite formar una sola
entidad uniendo uno a uno los segmentos hechos anteriormente.
Fig. A3. 2. Perfiles de control que permiten la obtención de cuerpo fuselado
Resultando el cuerpo del fuselaje que se aprecia en la figura A IV 3
APÉNDICE 3
A 3 - 3
Fig. A3. 3. Modelo geométrico del fuselaje
Finalmente la parte de la nariz, que es un domo, se elabora mediante la herramienta
Revolve obteniéndose el diseño final.
Fig. A3. 4. Modelo geométrico final del fuselaje realizado en NX3®
APÉNDICE 3
A 3 - 4
Una vez obtenida una forma currentilinea aceptable del cuerpo del fuselaje, se
procedió a generar el código de maquinado. El modelo físico del fuselaje fue
fabricado mediante proceso de control numérico computacional en un centro de
maquinado del tipo Cincinnati 500 Arrow, maquinándose en tres partes.
A 3. 2. GENERACIÓN DE CÓDIGO DE MAQUINADO
Antes de empezar la elaboración del programa de maquinado, se observó que el
diseño cuenta con dimensiones mayores a las permitidas por la maquina de CNC,
por lo que se realizó una división consistente de tres secciones para el maquinado. A
continuación se muestran las secciones y como fueron nombradas:
• Nariz
• Cuerpo
• Botalón
Fig. A3. 5. Generación del código para la nariz
APÉNDICE 3
A 3 - 5
Se comenzó con la parte nombrada Nariz. En ella se establecen los ejes. Se
selecciona la herramienta a utilizar. Se selecciona el material. Se ingresan los
parámetros de corte como velocidades, aproximaciones, entre otras. Una vez
realizada la corrida del maquinado se visualiza el terminado final.
Fig. A3. 6. Simulación de maquinado de la nariz De la misma manera se prosigue a emular el código de maquinado de la parte de
cuerpo.
Fig. A3. 7. Generación del código de la parte llamada Cuerpo
APÉNDICE 3
A 3 - 6
Una vez realizada la corrida del maquinado se visualiza el terminado final
Fig. A3. 8. Simulación de maquinado de la parte Cuerpo Por ultimo, para la parte tres, el botalón, se procede como anteriormente
Fig. A3. 9. Simulación de maquinado de la parte Botalón
APÉNDICE 3
A 3 - 7
A 3. 3. PROCESO DE MAQUINADO EN LA MAQUINA DE CNC CINCINNATI 500
Una vez obtenidos los códigos de maquinado en el mismo paquete de diseño asistido
por computadora Unigraphics NX3®, se procedió a transferir el código de
maquinado, ya que el modelo físico del fuselaje fue fabricado mediante proceso de
control numérico computacional en un centro de maquinado del tipo Cincinnati 500
Arrow.
Fig. A3. 10. Máquina CNC Cincinnati 500 Arrow
APÉNDICE 3
A 3 - 8
Fig. A3. 11. Montaje de herramienta de corte
Fig. A3. 12. Montaje de material a utilizar
APÉNDICE 3
A 3 - 9
Fig. A3. 13. Corte de las diferentes secciones del modelo
Fig. A3. 14. Primera sección del modelo
APÉNDICE 3
A 3 - 10
Este modelo en madera de pino sirvió para elaborar los moldes fabricados en
materiales compuestos para reproducir el modelo para túnel de viento, el cual es
también de material compuesto que se presenta en la figura A4.17.
Fig. A3. 15. Terminación del maquinado de los elementos del fuselaje
Fig. A3. 16. Modelo geométrico final del fuselaje realizado en NX3®
Fig. A3. 17. Modelo físico final del fuselaje Fig. A3. 18.
APÉNDICE 4
A 4 - 1
Apéndice 4 Determinación de los coeficientes
aerodinámicos del fuselaje de la aeronave
En esta sección se presentan los resultados de la determinación de los coeficientes
aerodinámicos de coeficientes de sustentación, resistencia al avance y momento de
cabeceo del fuselaje, determinados mediante simulación numérica en el paquete
Fluent® 6.2 en tres dimensiones únicamente para un ángulo de incidencia de 0°.
Este trabajo se encuentra aún sin concluir ya que se pretende conducir en dos
partes. La primera consistente en la determinación de los coeficientes aerodinámicos
de manera experimental de -20° hasta 20° con el fuselaje real de la aeronave. Los
valores de incidencia representan los límites permisibles por el túnel aerodinámico
de la ESIME Ticomán dado el tamaño de fuselaje y evitar efectos de interferencia de
pared. Los datos serán tomados con variaciones de incidencia cada 2°.
La segunda parte consiste en determinar los coeficientes mediante simulación
numérica en el mismo paquete para los mismos ángulos de incidencia empleados en
el método experimental. El objetivo es corroborar la validez de los datos obtenidos
por el método de simulación numérica y así poder inferir la validez de datos a
menores y mayores ángulos de incidencia del fuselaje tales como -90° a -50° y 50° a
90°. La importancia de estos últimos datos radica en el hecho de poder analizar la
dinámica de la aeronave cuando realiza vuelo en ascenso, descenso así como vuelo
APÉNDICE 4
A 4 - 2
estacionario, pues es en estas situación principalmente que el flujo generado por el
rotor principal baña casi en su totalidad el fuselaje añadiendo una fuerza de no
sustentación que se adiciona al peso conocida como arrastre vertical.
Primeramente, la geometría de la aeronave fue exportada al preprocesador del
programa de ingeniería asistida por computadora HyperMesh® para definir una
malla adecuada para su resolución, teniendo que ser reparada para poder ser
analizada. Una vez reparada la malla y definidos el número de volúmenes finitos así
como zonas de mallado fino, se exportó al preprocesador de Fluent®, Gambit®, para
asignar condiciones de frontera, los cuales fueron tomados del laboratorio de
Aerodinámica de la ESIME Ticomán. Los datos leídos fueron presión, temperatura,
humedad y hora local. Con ellos se calculó la densidad local empleada como
condición en el paquete Gambit®. La malla que se utilizó esta representada en la
fig. A4 1.
Fig. A4.1. Mallado en tres dimensiones proveniente de HyperMesh® y asignación de condiciones de frontera en Gambit®
APÉNDICE 4
A 4 - 3
Finalmente se realizó la resolución de las ecuaciones fundamentales de
conservación de masa, energía y cantidad de movimiento en un dominio concreto
discretizado, es decir en la geometría, convertida en malla de puntos que forman los
volúmenes finitos, mediante el paquete de dinámica de fluidos computacional Fluent
6.2 para conocer la distribución de presión dinámica, presión estática y el perfil de
velocidades. Se determinaron los coeficientes de sustentación, resistencia al avance
así como el de momento de cabeceo del fuselaje. En las figuras A4.2 y A4.3 se
muestra las zonas de presión dinámica así como perfil de velocidades.
Fig. A4.2. Distribución de presión dinámica sobre el contorno del fuselaje
Fig. A4.3. Distribución de vectores de velocidad alrededor del fuselaje
APÉNDICE 4
A 4 - 4
Los valores de los coeficientes de sustentación, resistencia al avance y momento de
cabeceo son indicados mediante las siguientes curvas:
Características de levantamiento del fuselaje
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
Angulo de ataque del fuselaje (grados)
L/q
cm2
Sin empenaje
Características de resistencia al avance del fusela je
y = 0,0204x2 + 0,0055x + 5,7218
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
AOA del fuselaje (grados)
D/q
(cm
2 )
S/ empenaje
Polinómica (S/ empenaje)
APÉNDICE 4
A 4 - 5
Momento del cabeceo del fuselaje
-600
-400
-200
0
200
400
600
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
Angulo de cabeceo del fuselaje (grados)
M/q
(cm
3 )
Sin empenaje