IINNSSTTIITTUUTTOO PPOOLLIITTÉÉCCNNIICCOO NNAACCIIOONNAALL
EESSCCUUEELLAA SSUUPPEERRIIOORR DDEE EECCOONNOOMMÍÍAA
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
MÉXICO, D. F. NOVIEMBRE DE 2010
T E S I SQUE PARA OBTENER EL GRADO DE:MAESTRO EN CIENCIAS ECONÓMICAS( E C O N O M Í A F I N A N C I E R A )
P R E S E N T A
A D R I A N A Z A M B R A N O R E Y E S
VALUACIÓN DE BONOS CON VOLATILIDADEN LA TASA DE INTERÉS: UNA APLICACIÓN A L M E R C A D O D E S W A P S
Agradecimientos Elaborar una tesis requiere una gran cantidad de tiempo, energía, ilusión, apoyo y otros elementos, a
menudo inmateriales, que permiten que de una u otra manera el estudiante consiga terminar su trabajo. Cada uno de esos muchos elementos aludidos tiene un protagonista y un momento determinado, a todos ellos quiero dedicar mi agradecimiento:
A mi Director de Tesis, Dr. Francisco Venegas Martínez por su generosidad al brindarme la oportunidad de recurrir a su capacidad y experiencia en un marco de confianza y permanente disposición, fundamentales para concretar este trabajo.
A la Comisión Revisora conformada por: Dr. Francisco Venegas Martínez, Dr. Humberto Ríos Bolivar,
Dr. Juan Carlos Baltazar Hernández, Dr. Salvador Cruz Aké y Dr. Gerardo Ángeles Castro por su colaboración en la revisión del presente trabajo y sus valiosas críticas al discutir los resultados de esta Tesis.
A los profesores de la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la ESE-IPN por brindarme la
oportunidad de superarme académicamente e impulsarme para seguir creciendo intelectualmente. Al Programa Institucional de Becas, por el apoyo económico otorgado durante los últimos tres semestres el
cual facilitó mi estancia en el programa de Maestría. A mis padres, esos dos seres maravillosos que han dado su vida entera para que sus hijos se abran paso en la
vida. Gracias por brindarnos un hogar cálido y lleno de amor, por darnos la oportunidad de estudiar (a base de muchos sacrificios) pero sobre todo por darnos la libertad de que cada uno de nosotros eligiera su futuro que ahora es un presente en donde ustedes son nuestro ejemplo a seguir. Hoy que los años los han alcanzado sólo puedo darle Gracias a Dios por tenerlos a mi lado y pedirle que los llene de salud y de vida por muchos años más.
A mi abuelita, Dona Cuca (†) quien desafortunadamente no podrá leer estas líneas. No hay un día en que no recuerde algún detalle o alguna situación que hicieron únicos esos momentos juntas. Te extraño mucho!!!
A mis hermanos por fastidiarnos tanto, por reírnos tanto, por compartir tanto, por enseñarme tanto.
Leticia y Andrés por todas aquellas experiencias que hemos vivido juntos y por su apoyo en cada momento, además porque me han dado el honor de ser la madrina de sus respectivos hijos: Santiago y Regina. Gracias por confiarme a esos dos angelitos que han venido a iluminar nuestras vidas, espero no fallarles. A mi hermano Armando por su apoyo incondicional desde el inicio de este proyecto hasta el día de hoy, porque nunca falto su asesoría intelectual (claro con su peculiar estilo de explicar las cosas) pero sobre todo por darme el ejemplo de que hay que luchar por lo que uno quiere y por lo que cree justo; además de que compartimos apadrinamientos podríamos escribir un libro con todas las experiencias que hemos pasado juntos.
Mamá, Papá, Hermanos a ustedes va dedicada esta tesis. Gracias por todo. Los quiero mucho!!!
Índice General I
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Índice
ÍNDICE GENERAL ............................................................................................................................ I
ÍNDICE DE CUADROS .................................................................................................................. III
ÍNDICE DE GRÁFICOS ................................................................................................................. IV
ABREVIATURAS ............................................................................................................................ VI
GLOSARIO ................................................................................................................................... VIII
RESUMEN ..................................................................................................................................... XIII
ABSTRACT ................................................................................................................................... XIV
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................... XV
1 EL MERCADO DE SWAPS EN MÉXICO ........................................................................... 1
1.1 SWAPS: DEFINICIÓN Y FUNDAMENTOS ........................................................................................ 1
1.1.1 Breve historia de los Swaps ........................................................................................ 2
1.1.2 Características de los Swaps ...................................................................................... 5
1.1.3 Participantes en el contrato de Swap ......................................................................... 6
1.1.4 Clasificación de los Swaps ......................................................................................... 7
1.1.5 Los Swaps y el principio de ventajas comparativas ................................................... 9
1.2 SWAPS DE TASA DE INTERÉS ...................................................................................................... 12
1.2.1 Elementos de Swaps de tasa de interés .................................................................... 16
1.2.2 Proceso de valuación ................................................................................................ 17
1.2.3 Panorama global de los Swap de tasa de interés ..................................................... 18
1.3 EL MERCADO DE LOS SWAPS DE TIIE-28 DÍAS .......................................................................... 23
1.3.1 Definición de los Swaps de TIIE-28 días .................................................................. 23
1.3.2 Uso e intermediación de los Swaps de TIIE-28 días ................................................ 23
1.3.3 Intercambio de Flujos Variables por Flujos Fijos ................................................... 24
1.3.4 Intercambio de Flujos Fijos por Flujos variables .................................................... 27
1.4 EL MERCADO DE SWAPS EN MÉXICO ......................................................................................... 30
1.5 CONTRATOS DE FUTUROS SOBRE SWAPS DE TIIE ...................................................................... 33
1.5.1 Metodología de cálculo de tasas teóricas de Futuro de Swap ................................. 39
Índice General II
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
1.5.2 Uso del futuro del Swap ............................................................................................ 42
1.5.3 Ventajas de los futuros de Swaps de tasas de interés ............................................... 43
2 MODELO DE TASA CORTA DE BLACK, DERMAN Y TOY ....................................... 44
2.1 TEORÍAS SOBRE LA ESTRUCTURA DE PLAZOS DE LAS TASAS DE INTERÉS ................................... 44
2.1.1 La Teoría de expectativas puras ............................................................................... 45
2.1.2 Supuestos de la Teoría de expectativas puras .......................................................... 46
2.1.3 Implicaciones de la Teoría de expectativas puras .................................................... 46
2.2 MODELOS ESTOCÁSTICOS DE TASA DE INTERÉS CORTA ............................................................. 47
2.2.1 Clasificación de los modelos de tasa corta .............................................................. 51
2.3 ANTECEDENTES DEL MODELO ................................................................................................... 52
2.4 MODELO DE TASA CORTA DE BLACK, DERMAN Y TOY .............................................................. 58
2.4.1 Dinámica de la tasa corta de Black, Derman y Toy ................................................. 60
2.4.2 El algoritmo de BDT para calcular el precio de un bono cupón cero y la tasa corta
mediante árboles binomiales ................................................................................................ 64
3 APLICACIÓN DEL MODELO DE TASA CORTA DE BLACK, DERMAN Y TOY AL
MERCADO DE SWAPS ................................................................................................................. 83
3.1 OBTENCIÓN DEL ALGORITMO BDT ........................................................................................... 83
3.2 APLICACIÓN DEL ALGORITMO BDT AL MERCADO DE SWAPS .................................................... 96
3.2.1 Esquema de un Swap con expectativas a la baja ..................................................... 97
3.2.2 Esquema de un Swap con expectativas al alza ....................................................... 101
CONCLUSIONES .......................................................................................................................... 100
REFERENCIAS ............................................................................................................................. 107
Índice de Cuadros III
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Índice de Cuadros
Tabla 1 Condiciones de Financiamiento .............................................................................................. 9
Tabla 2 Condiciones iniciales y deseadas .......................................................................................... 10
Tabla 3 Mercado mundial OTC, Volumen de negocios ..................................................................... 20
Tabla 4 Posiciones globales en Mercados derivados OTC, por tipo de instrumento ......................... 21
Tabla 5 Modelos de tasas de interés de corto plazo ........................................................................... 51
Tabla 6 Información inicial para la construcción del algoritmo BDT ............................................... 64
Tabla 7 Estructura de plazos iniciales ................................................................................................ 83
Tabla 8 Resultados del algoritmo BDT con tendencia a la baja ........................................................ 97
Tabla 9 Información para el pago fijo del intermediario financiero a la Empresa “A” ..................... 98
Tabla 10 Información para el pago variable de la Empresa “A” al intermediario financiero .......... 100
Tabla 11 Resultados del algoritmo BDT con ramificaciones hacia arriba ....................................... 102
Tabla 12 Información para el pago fijo de la Empresa “B” al intermediario financiero ................. 102
Tabla 13 Información para el pago variabledel intermediario finaciero a la empresa “B” .............. 104
Índice de Gráficos IV
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Índice de Gráficos
Fig. 1-1 Swap IBM (1981) .................................................................................................................. 4
Fig. 1-2 Estrategia de un Swap de tasa de interés ............................................................................ 11
Fig. 1-3 Swap de tasa de interés entre Yamaichi y Renault ............................................................. 13
Fig. 1-4 Volumen de operaciones en mercados de derivados OTC .................................................. 22
Fig. 1-5 Swaps de tasa de interés, ISDA Estudio de mercado, 1987-2008 ....................................... 24
Fig. 1-6 Valor nocional de los swaps de tasa de interés .................................................................... 23
Fig. 1-7 Empresa con un pasivo fijo e ingreso variable, altamente dependientes de la tasa de corto
plazo ................................................................................................................................................... 25
Fig. 1-8 Intercambio de flujos fijos por flujos variables, a través de un Swap de TIIE- 28 días ...... 27
Fig. 1-9 Intercambio de flujos variables por flujos fijos, a través de un Swap de TIIE- 28 días ...... 28
Fig. 1-10 Derivados de tasas en el sector bancario ........................................................................... 32
Fig. 1-11 Promedio diario negociado (TIIE 28 dias) ........................................................................ 35
Fig. 1-12 Promedio diario negociado contratos de futuro Swap de TIIE 10 años ............................ 36
Fig. 1-13 Promedio diario negociado futuro de TIIE + Futuro de Swap de TIIE. ........................... 37
Fig. 1-14 Contratos de futuros sobre TIIE 28 (Promedio diario). ..................................................... 37
Fig. 1-15 Contratos de futuros Swap de TIIE 10 años (Promedio diario) ........................................ 38
Fig. 1-16 Futuros de TIIE + Futuro del Swap ................................................................................... 38
Fig. 1-17 Evolución de Futuro de Swap de TIIE 10 años ................................................................. 39
Fig. 2-1 Árbol binomial inicial .......................................................................................................... 65
Fig. 2-2 Precio de un bono cupón cero que vence en un año ............................................................ 66
Fig. 2-3 Árbol binomial de dos periodos del precio de un bono cupón cero .................................... 66
Fig. 2-4 Árbol binomial de dos periodos para un bono cupón cero .................................................. 67
Fig. 2-5 Árbolbinomial de un período para la tasa corta ................................................................... 68
Fig. 2-6 Árbol binomial de dos periodos del precio de un bono cupón cero .................................... 71
Fig. 2-7 Árbol binomial de dos periodos de la tasa corta .................................................................. 71
Fig. 2-8 Árbol binomial de dos periodos para la tasa corta ............................................................... 71
Fig. 2-9 Árbol binomial de tres periodos .......................................................................................... 72
Fig. 2-10 Árbol binomial de dos periodos de la tasa corta ................................................................ 77
Fig. 2-11 Árbol binomial de tres periodos del precio de un bono cupón cero .................................. 78
Fig. 2-12 Árbol binomial de tres periodos para la tasa corta ............................................................ 78
Índice de Gráficos V
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Fig. 2-13 Árbol binomial de cuatro periodos del precio de un bono cupón cero. ............................. 79
Fig. 2-14 Árbol binomial de tres periodos para la tasa corta. ........................................................... 81
Fig. 2-15 Árbol binomial de cuatro periodos del precio de un bono cupón cero. ............................. 82
Fig. 3-1 Árbol binomial en un periodo .............................................................................................. 84
Fig. 3-2 Precio actual de un bono cupón cero en un periodo. ........................................................... 84
Fig. 3-3 Árbol binomial de dos periodos. .......................................................................................... 85
Fig. 3-4 Árbol binomial de dos periodos. .......................................................................................... 85
Fig. 3-5 Árbol binomial de un periodo para la tasa corta .................................................................. 86
Fig. 3-6 Polinomio en rd. ................................................................................................................... 88
Fig. 3-7 Arbol binomial de dos periodos del precio de un bono cupón cero. ................................... 89
Fig. 3-8 Árbol binomial de dos periodos para la tasa corta. .............................................................. 89
Fig. 3-9 Árbol binomial en dos periodos de la tasa corta. ................................................................. 89
Fig. 3-10 Polinomioen vd .................................................................................................................. 93
Fig. 3-11 Polinomio en rd. ................................................................................................................. 95
Fig. 3-12 Árbol binomial de dos periodos de la tasa corta. ............................................................... 96
Fig. 3-13 Árbol binomial de tres periodos para el precio de un bono cupón cero. ........................... 97
Fig. 3-14 Intercambio de flujos fijos por flujos variables, a través de un Swap de TIIE 28 días ... 101
Fig. 3-15 Intercambio de flujos variables por flujos fijos, a través de un Swap de TIIE 28 días ... 105
Abreviaturas VI
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Abreviaturas
( )tV Sτ
= Valor del swap calculado en el período τ
xtBτ =
Valor presente del flujo total de pagos por recibir expresados en un solo período
(τ)
ytBτ
= Valor presente del flujo total de pagos por entregar expresados en un solo
período (τ)
tτ = Período de análisis del swap (τ = 0,...,T )
T = Tasa Futura del Swap negociada que determina los flujos
m = Número de intercambios (flujos) del Swap.
n = Número de días por vencer del Contrato de Futuro del Swap
FDn+k*28 = Factor de descuento para el flujo k con n+k*28 días por vencer
TIIE n+k*28 = Valor de la curva de cero de TIIE para el día n+k*28
n+k*28 (n) = Son los días por vencer del flujo a descontar que contiene los días por vencer del
Contrato de Futuro, más (k) que es el número de días que le restan por vencer al
flujo del Swap.
*28( 1)*28
n kn kF ++ −
= Tasa forward correspondiente al flujo k, que comienza en n+(k-1)*28 y termina
en n+k*28 días.
tdr = Diferencial o cambio de la tasa corta en un periodo de tiempo dt
( , )tt rμ = Tendencia o “drift” de la tasa corta
( , )tt rσ = Volatilidad del cambio de la tasa corta
tdW = Movimiento geométrico Browniano o de Wiener
dt = Diferencial o cambio del tiempo
r = Tasa corta
t = Tiempo
tF = Toda la información relevante disponible en el tiempo t
b = Cantidad positiva, constante y conocida
λ, θ = Cantidades constantes y conocidas
( , , )v tR t T r = Tasa de interés en el plazo definido entre t y T
R∞ = Tasa de largo plazo
Abreviaturas VII
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
{εt} = Variables aleatorias independientes y normalmente distribuidas con media cero
y varianza σ2
η/(1 –γ2) = Media de rt
σ2/(1 –γ2) = Varianza incondicional de rt
σ2 = Varianza condicional de rt
tμ = Media de la tasa corta al tiempo t
tσ = Volatilidad de la tasa corta al tiempo t
0( )t tW ≥ = Movimiento Browniano estándar definido sobre un espacio fijo de probabilidad
con una filtración, ( )0, , ( ) ,t tF F ≥Ω Ρ
(1)I = Información disponible en =1T
(0,1)R = Tasa del bono que vence dentro de un año (1) (1)
u dB y B = Posibles precios del bono en = =1n T (2) (2) (
0 , ,u dB B y B = Precios del bono para 0n = y 1n =
(2)0B = Precio de un bono cupón cero, hoy, con vencimiento dentro de dos años
n = Número de periodos en el árbol binomial de la tasa corta
T = Fecha de vencimiento del bono
BDT = Modelo de Black, Derman y Toy
BMV = Bolsa Mexicana de Valores
Banxico = Banco de México
ETTI = Estructura temporal de Tasas de Interés
ISDA = International Swaps and Derivatives Association
IRS = Interest Rate Swap
LIBOR = London Interbank Offered Rate
Mexder = Mercado de derivados
OTC = Over the Counter
TIIE = Tasa de interés interbancaria de equilibrio
Glosario VIII
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Glosario
Árbol binomial. Gráfico o red con estructura de árbol o arborescencia que se utiliza como
instrumento formal de análisis en los problemas complejos de decisión económica, y en particular en
los problemas de naturaleza secuencial y adaptativa. A los árboles de decisión también se les
denomina diagramas de flujos, porque por sus ramas fluyen las corrientes de cobros y pagos
asociados a la correspondiente decisión económica. En todo árbol de decisión existen dos clases de
nudos: los nudos deci-sionales y los nudos aleatorios, según que las ramas que parten de los mismos
recojan resultados que son producto de la voluntad del decisor o del azar, respectivamente.
Benchmark. Es una técnica utilizada para medir el rendimiento de un sistema o componente del
mismo, frecuentemente en comparación con el que se refiere específicamente a la acción de ejecutar
un benchmark.
Bootstrapping. Término procedente del inglés que hace referencia a empezar algo sin recursos o
con muy pocos recursos. En el área de los negocios, pues, significa ejercer alguna actividad
emprendedora con poco o nada de capital, es decir, emprender únicamente con los medios que se
tienen al alcance (un garaje, un teléfono antiguo, etc.).
Cobertura. Provisión de fondos para asegurar una operación bursátil. Consiste en reducir el riesgo
que supone mantener una posición en algún tipo de activo. Como la cobertura no puede ser perfecta,
siempre existirá un riesgo de cobertura.
Contrato forward. Acuerdo entre dos partes (reforzado legalmente) que obliga a una de las partes a
comprar y a la otra a vender un activo (financiero) a un precio preestablecido en una fecha futura.
Curva de Rendimientos. Relación existente entre el tiempo hasta la madurez de una serie de
Bonos, y los correspondientes rendimientos de los mismos, es conocida como estructura temporal de
las tasas de interés.
Dealer. Agente autorizado a transar activos por su cuenta y riesgo, cuya ganancia surge del
diferencial de precio entre la compra y la venta
Glosario IX
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Distribución lognormal. Es una distribución asimétrica, que comienza a partir de cero, aumenta
hasta llegar a un máximo y luego va disminuyendo lentamente hacia el infinito. Está relacionada con
la distribución normal: X tiene una distribución lognormal si ln (X) tiene una distribución normal.
Distribución Normal. Una distribución de una variable aleatoria continua.
Engrapado de Divisas. Es una operación que busca replicar la operación que hoy se conoce como
Forward (SWAP) de tipo de cambio
Estructura de plazos de la tasa de interés. Describe la relación que existe entre las tasas de interés
y el vencimiento de los préstamos.
ISDA. (International Swaps and Derivatives Association, "Asociación internacional de Swaps y
derivados") es una organización profesional que agrupa a los mayores actores del mercado de
derivados. El objetivo principal de la organización es establecer un marco de referencia mediante
contratos estándar. La importancia de la organización en la negociación de este tipo de productos
proviene de la bilateralidad de los contratos (OTC - Over The Counter), es decir, que no se negocian
en un mercado organizado con reglas específicas.
Lema de Ito. Famoso resultado matemático derivado por el matemático japonés K. Ito en 1951.
Hablando en términos generales, se puede considerar la regla de cadena del cálculo estocástico. En
finanzas, el lema de Ito se utiliza frecuentemente para derivar el proceso estocástico seguido por el
precio de un título derivado. Por ejemplo, si el activo subyacente sigue la moción geométrica
browniana, entonces el lema de Ito demuestra que un título derivado cuyo precio es una función del
precio del activo subyacente y del tiempo también sigue la moción geométrica browniana. De
hecho, los dos valores presentarán la misma fuente de riesgo, dando así a entender que una
combinación apropiada de los dos valores puede eliminar el riesgo. Este resultado llevó al desarrollo
del modelo Black-Scholes-Merton así como al de muchas teorías y aplicaciones de cobertura
modernas.
LIBOR. (London InterBank Offered Rate) es una tasa de referencia diaria basada en las tasas de
interés bajo la cual los bancos ofrecen fondos no asegurados a otros bancos en el mercado monetario
mayorista (o mercado interbancario). LIBOR será ligeramente superior a la tasa London Interbank
Glosario X
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Bid Rate, la tasa efectiva bajo la cual los bancos están preparados para aceptar depósitos. Es
ligeramente comparable con la tasa Federal funds rate de los Estados Unidos.
Mercados Over The Counter. Un contrato OTC es un contrato bilateral en el cual las dos partes se
ponen de acuerdo sobre las modalidades de liquidación del instrumento. Normalmente es entre un
banco de inversión y el cliente directamente. La mayoría de veces a través del teléfono u ordenador.
Los derivados OTC negociados entre instituciones financieras suelen tomar como marco las
cláusulas del International Swaps and Derivatives Association (ISDA).
MexDer. Sociedad Anónima denominada MexDer, mercado Mexicano de Derivados, S.A. de C.V.,
que tiene por objeto proveer las instalaciones y demás servicios necesarios para la cotización y
negociación los contratos de futuros y contratos de opciones.
Modelo Log- Normal. Es una variable aleatoria donde la función de densidad de probabilidades
viene dada por la Ecuación ( )2121
( ) ( )2
x
fx x e U xμ
σ
σ π
−−=
Monto nocional. Base de los flujos de caja. Dicho monto se cambia de manos solo en Swaps de
divisas
Movimiento Geométrico Browniano. Describe un proceso estocástico en el que el logaritmo
natural de una variable aleatoria sigue un proceso Weiner generalizado.
Nocional. La cantidad de principal sobre la que se calcula el interés sobre un Swap o instrumento
conexo, incluyendo los FRA y las opciones sobre tipos de interés. En el caso de los Swaps de tasas
de interés, los FRA y las opciones sobre tipos de interés, el principal es puramente «nocional»
porque los intercambios de principal nunca tienen lugar.
Oportunidad de arbitraje. Estrategia de inversión que garantiza un resultado positivo con respecto
a cierta contingencia con ninguna posibilidad de obtener un resultado negativo y sin realizar
inversión alguna.
Glosario XI
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Portafolio de inversión. Invertir en dos o más fondos con la finalidad de diversificar tu inversión y
obtener beneficios adicionales: liquidez y mejores rendimientos
Posición corta. Es una posición vendedora, es decir, al vender un activo se esta adoptando esta
posición.
Posición larga. Es una posición compradora, es decir, al comprar un activo se esta adoptando esta
posición.
Reversión a la media. La tendencia de ciertas variables financieras, tales como los tipos de interés,
a retornar a sus valores medios a largo plazo. Cuando una variable se caracteriza por la reversión a
la media, se parte de un paseo aleatorio puro. Es decir, con cada sucesiva desviación de la media a
largo plazo, aumenta la probabilidad de que el siguiente movimiento se aproxime a la media.
Spread. Diferencia entre las tasas de rendimiento de dos instrumentos de deuda
Subyacente. El activo sobre el que se emiten una opción, unos futuros, un Swap u otros derivados.
El subyacente es la fuente de la que se deriva el valor del instrumento derivado.
Swap. Contrato en el que libremente dos contrapartes acuerdan de manera simultánea, comprar o
vender el derecho de intercambiar flujos de efectivo, definidos en términos de algún subyacente,
siempre aprovechando la existencia de ventajas comparativas entre ellas.
Swaption. Tipo de derivado financiero que consiste en una opción cuyo subyacente es un Swap,
normalmente un interest rate Swap (IRS). Es decir, ofrece la posibilidad de entrar en una permuta de
tipo de interés.
Tasa de interés fija. Es aquella que no varia durante la vigencia del crédito.
Tasa de interés variable. Es aquella que se modifica de acuerdo a una base preestablecida, durante
la vigencia del crédito.
Glosario XII
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Teoría de las expectativas. Una teoría de la estructura de plazos de los tipos de interés que implica
que los tipos de interés a largo plazo son sencillamente reflejos insesgados de las expectativas de los
mercados de los tipos de interés con condiciones a corto plazo. La teoría se basa en las condiciones
de los tasas de interés al contado (es decir, de cupón cero) y tipos de interés a futuro corto, pero
pueden ampliarse fácilmente a rendimientos de cupón (es decir, rendimientos sobre bonos con
cupón). La teoría implica que no hay una prima creada sobre tasas de interés a largo plazo para
reflejar un mayor nivel de riesgo de tipo de interés. Por lo tanto, la teoría es una teoría neutral al
riesgo. La típica pendiente ascendente para la curva de rentabilidad no puede, por lo tanto,
explicarse mediante una prima de riesgo y debe explicarse mediante futuras tasas de inflación
previstas, que se reflejan en los tipos de interés a plazo. La teoría también se conoce como la teoría
de las expectativas puras y la teoría de las expectativas insesgadas.
TIIE. Tasa de interés interbancaria de Equilibrio a plazo de 28 días, es la tasa líder o de referencia
que la banca ofrece a sus acreditados, y está conformada por las tasas de interés interbancarias que
se dan a conocer diariamente por el Banco de México en el Diario Oficial de la Federación.
Ventaja absoluta. La capacidad de un país para producir más de un bien dado con sus recursos
propios. En el contexto de los Swaps, la capacidad de una parte para tomar prestado a un tipo de
interés inferior al asequible a la otra parte para una moneda dada. Esto contrasta con la ventaja
comparativa.
Ventaja comparativa. Ventaja que disfruta un país sobre otro en la elaboración de un producto
cuando éste se puede producir a menor costo, en términos de otros bienes y en comparación con su
coste en el otro país. Teoría desarrollada por David Ricardo (a principios del siglo XIX) cuyo
postulado básico es que, aunque un país no tenga ventaja absoluta en la producción de ningún bien,
le convendrá especializarse en aquellas mercancías para las que su ventaja sea comparativamente
mayor o su desventaja comparativamente menor .
Volatilidad. Medida de la frecuencia e intensidad de los cambios del precio de un activo o de un
tipo. Es la desviación estándar del cambio en el valor de un instrumento financiero con un horizonte
temporal específico. Se usa con frecuencia para cuantificar el riesgo del instrumento a lo largo de
dicho período temporal.
Resumen XIII
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Resumen
En la presente investigación se exponen los aspectos teóricos necesarios para comprender el
funcionamiento del mercado de Swaps en México, de manera específica de los Swaps de tasas de
interés. El análisis parte desde los conceptos fundamentales como son aspectos históricos y
metodológicos, hasta brindar un panorama global de la participación que tiene este mercado dentro
de los instrumentos derivados y sus diversas metodologías para el cálculo del valor de este
instrumento financiero.
Siguiendo con un análisis que va de lo general a lo particular, se presentan las diversas
teorías sobre la estructura de plazos de las tasas de interés, llegando a los modelos estocásticos de
tasa de interés corta en donde se exponen aquellos modelos antecesores y que han servido de
referencia al modelo objeto de estudio: Black, Derman y Toy, el cual es producto del artículo
denominado “A One-Factor Model of Interest Rates and ist Application to Treasury Bond Options”,
publicado en 1990. La característica principal de este modelo es la implementación del parámetro de
volatilidad para el cálculo de las tasas cortas mediante árboles binomiales.
Posteriormente, se realiza un ejercicio práctico en donde se determina la dinámica de la tasa
corta y los precios de bonos cupón cero a distintos vencimientos utilizando precisamente el modelo
de tasa corta de Black, Derman y Toy. Una vez obtenidos los resultados emanados de este modelo,
como una innovación, se aplican las tasas cortas resultantes al mercado de Swaps de tasas de interés,
presentando dos paneles diferentes: el primero en donde se realiza un contrato Swap y la tasa
flotante (TIIE) al final del contrato es menor a la tasa fija pactada y el segundo en donde la tasa
flotante resulta mayor a la pactada, haciendo un análisis de quién gana y quién pierde en cada una de
estas operaciones y cómo la estructura de tasas cortas puede ayudar a que un financiero tome la
mejor decisión de inversión.
La aplicación del modelo de tasa corta de Black, Derman y Toy para valuar bonos al
mercado de Swaps de tasas de interés permite realizar un mejor análisis en la curva de rendimientos
y en el comportamiento de este mercado, y al introducir el parámetro de volatilidad, se obtienen
conclusiones más serias que solo satisfacer o no un conjunto de axiomas de coherencia.
Abstract XIV
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Abstract
In the present study the theoretical aspects needed to understand the functioning of the Swaps in
Mexico, specifically the interest rate swaps are presented. The analysis starts from the fundamental
concepts such as the historical and methodological aspects, to provide a global overview of the
participation of this market within the derivative instruments and their different methodologies for
calculating the value of this financial instrument.
Following an analysis that goes from the general to the particular, the various theories about
the term structure of interest rates, reaching to stochastic models of short interest rate where are
exposed those previous models who have served of reference to the model under study: Black,
Derman and Toy, which is a product of the article entitled "A One-Factor Model of Interest Rates
and ist Application to Treasury Bond Options", published in 1990, are presented. The main feature
of this model is the implementation of volatility parameter for the calculation of short rates using
binomial trees.
Subsequently, a practical exercise wherein determining the dynamics of short rate and the
prices of zero coupon bonds at different maturities using just the short rate model of Black, Derman
and Toy, is conducted. After obtaining the results from this model, as an innovation, resulting short
rates are applied to the swaps market of interest rates, showing two different panels: the first one
where a Swap contract is made and the Floating Rate (TIIE) at the end of the contract is less than the
agreed fixed rate and the second one where the floating rate is higher than the agreed fixed rate,
doing an analysis of who wins and who loses in each of these operations and how the structure of
short rates can help a financier to take a better investment decision.
The application of the short-rate model of Black, Derman and Toy for valuing bonds at the
swaps market of interest rates, allow a better analysis on the yield curve and on the behavior of this
market, and introducing the volatility parameter, more serious conclusions than just satisfying or not
a set of axioms of coherence may be obtained.
Introducción XV
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Introducción
A partir de las dos últimas décadas, los mercados financieros de todo el mundo comenzaron a sufrir
un importante proceso de renovación resultado de la era de globalización y desarrollo por la que
atraviesa la economía mundial. En consecuencia de lo anterior, los mercados financieros de una gran
mayoría de países se han visto en la necesidad de desarrollar productos financieros más flexibles,
adecuados a las nuevas condiciones del mercado y, que ofrezcan mejores mecanismos de protección
ante el creciente nivel de riesgo que implica integrarse a un mercado global. Tal es el caso de los
instrumentos derivados.
Todos los países que disponen de mercados financieros desarrollados han creado mercados
de productos derivados donde se negocian contratos de futuros sobre tasas de interés, divisas e
índices bursátiles. Los productos derivados se definen como la familia o conjunto de instrumentos
financieros cuya principal característica es que están vinculados a un valor subyacente o de
referencia. Los principales productos derivados son los futuros, las opciones, los warrants, las
opciones sobre futuros y los Swaps. Por lo anterior se puede definir al mercado de derivados como
las operaciones financieras para las cuales se adquiere el compromiso de comprar o vender en una
fecha futura, o son contratos que permiten a los actores del mercado comprar protección sobre los
cambios en precios de los activos.
La principal aplicación de todos estos instrumentos es la cobertura de los riesgos financieros
y de mercado, a los que se encuentran expuestos los agentes económicos, principalmente el riesgo
originado por los cambios en las tasas de interés, en el tipo de cambio, en el precio de las materias
primas y en los índices bursátiles. Además, ambas partes en un contrato acudirán a los mercados
donde obtengan ventaja y estarán de acuerdo en cambiar los pagos y cobros entre dichas partes, lo
que permitirá obtener un mejor resultado comparado con el caso en que si las dos partes hubiesen
acudido directamente al mercado deseado.
Aunque la aparición de los derivados es relativamente reciente, los volúmenes que se
negocian diariamente son sumamente elevados y han mostrado crecimientos exponenciales a lo
largo de todo el mundo. Cabe aclarar que, además de brindar nuevas alternativas de financiamiento,
ofreciendo esquemas de liquidación más flexibles; los derivados deben gran parte de su éxito a su
Introducción XVI
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
habilidad para proteger a los participantes del mercado de movimientos no anticipados en los
precios, por ejemplo, brindando coberturas al fijar tasas por un determinado lapso de tiempo.
En México, la aparición del mercado de derivados es aún más reciente que en los países
desarrollados. De manera oficial aparecen en diciembre de 1998, bajo la figura del Mercado
Mexicano de Derivados (MEXDER), el primer mercado organizado de derivados.
En nuestro país los dos instrumentos derivados que se introdujeron primero fueron los
futuros y los forwards de divisas, y desde un principio fueron objeto de gran aceptación por su
utilidad para ejercer coberturas. Más adelante, a finales del año 2000, comienza a cobrar importancia
otra variedad de instrumentos derivados, que a pesar de su reciente aparición, pronto logra un
crecimiento notable superando los niveles de negociación del mercado de forwards de tasas de
interés. Estos instrumentos se denominan Swaps y su notable evolución está dando de qué hablar, no
sólo en México, sino en los mercados financieros de todo el mundo.
El tamaño considerable que han alcanzado los mercados de futuros financieros, se debe en
gran medida a la flexibilidad que estos instrumentos proporcionan a sus usuarios para entrar o salir
rápidamente del mercado debido a la liquidez que generan y al apalancamiento que presentan.
Además, dado que las operaciones se llevan a cabo en un mercado altamente organizado en el que se
operan contratos futuros estandarizados, el riesgo contraparte es mínimo, o casi nulo, debido a la
asociación del mercado con una cámara de compensación y liquidación (Asigna), la cual actúa como
contraparte de todas las partes bajo la administración de un esquema de márgenes y fondos propios,
situación que garantiza el cumplimiento de las obligaciones adquiridas por todas las posiciones,
cortas y largas.
El riesgo por fluctuaciones adversas en la tasa de interés se refleja en la posibilidad de que
los flujos que se tienen planeados no se presenten ni en la magnitud ni en los tiempos que se
esperan. Este riesgo puede reducirse, y en ocasiones eliminarse, si se cubre adecuadamente el valor
presente de los flujos esperados tomando posiciones en contratos a futuro sobre bonos cupón cero.
Los contratos a futuro, son herramientas útiles que permiten administrar el riesgo de mercado con
costos bajos de transacción.
Introducción XVII
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Son precisamente los Swaps o permutas, uno de los instrumentos financieros que mayor
importancia han adquirido dentro de los mercados de derivados; razón por la cual resulta útil
explorar nuevas técnicas de medición o valuación que lleven a anticipar resultados más confiables
con los cuales se pueden disminuir la incertidumbre y tomar mejores decisiones. Otra alternativa
muy importante de financiamiento que tienen las empresas son los bonos.
El objetivo de este trabajo es utilizar un modelo de tasa corta, específicamente el modelo de
Black, Derman y Toy, que es propio para valuar bonos y mediante le cual se obtiene a través de
árboles binomiales la estructura de la tasa corta o tasa instantánea. Esta información se puede
utilizar por una parte, para determinar, según las expectativas, el precio de un bono cupón cero y,
por otro lado, las tasas cortas pueden ayudar a prdecir el trayecto que seguirá la tasa de referencia
(en este caso la TIIE) y así conocer si es prudente o no un intercambio Swap de tasas de interés.
Este trabajo se compone de tres capítulos y las conclusiones. El capítulo primero es de
carácter más bien introductorio y descriptivo. En él se explican detalladamente la estructura,
características y usos de los Swaps, así como su importancia y evolución en México.
El capítulo segundo es básicamente teórico. En él se presenta una descripción sobre la
estructura de plazos de las tasas de interés, así como una revisión histórica de los modelos
antecesores al modelo de estudio: Black, Derman y Toy, aquí se describe la dinámica de la tasa corta
y se obtiene el algoritmo de BDT para calcular el precio de un bono cupón cero y la tasa corta
mediante árboles binomiales.
En el tercer y último capítulo se presenta el análisis empírico de esta investigación, en donde
se aplica de manera práctica el Modelo de Black, Derman y Toy y se analiza la dinámica de tasa
corta con un solo factor y el algoritmo BDT para calcular el precio de un bono cupón cero mediante
árboles binomiales y posteriormente aplicar estas tasas cortas al mercado de los Swaps de tasas de
interés.
Finalmente, se presentan las conclusiones en donde se destacan las ventajas y limitaciones de
los modelos aplicados, así como posibles trabajos futuros.
Capítulo 1 1
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
En este capítulo se desarrollan cinco puntos básicos. Primeramente se expone la definición y los
fundamentos de un Swap, así como sus características y participantes. Enseguida se profundiza
sobre los Swaps de tasa de interés analizando sus elementos y proceso de valuación así como un
panorama global de estos instrumentos. Posteriormente se analiza el mercado de Swaps de TIIE-28
días. Como cuarto punto se esboza la situación actual del mercado de Swaps en México. Finalmente
se detallan los contratos de futuros sobre Swaps de TIIE.
1.1 Swaps: Definición y fundamentos La utilización de Swaps data desde la década de los 60's en Gran Bretaña y su objetivo fue
solucionar problemas de política cambiaria. No obstante, es a partir de 1981 que cobra fama cuando
IBM solicitó dólares americanos a cambio de francos suizos y marcos alemanes; el Banco Mundial
realizó una emisión de obligaciones en dólares y las permutó por las monedas europeas solicitadas.
Desde entonces, los Swaps han gozado de aceptación creciente en los mercados financieros
internacionales por considerárseles una de las mejores alternativas a las necesidades de cobertura,
reestructuras de pago o simple especulación presentes en los mercados financieros.
Un Swap (o permuta) es, en términos generales, un contrato en el que libremente dos
contrapartes acuerdan de manera simultánea, comprar o vender el derecho de intercambiar flujos de
efectivo, definidos en términos de algún subyacente, siempre aprovechando la existencia de ventajas
comparativas entre ellas.
En el acuerdo se especifica la fecha de liquidación de los flujos de efectivo y a qué tasa
estarán referenciados. Este tipo de contratos son negociados sobre el mostrador (over the counter)1
1 Un contrato OTC es un contrato bilateral en el cual las dos partes se ponen de acuerdo sobre las modalidades de liquidación del instrumento. Normalmente es entre un banco de inversión y el cliente directamente. Los derivados OTC negociados entre instituciones financieras suelen tomar como marco las cláusulas del International Swaps and Derivatives Association (ISDA).
CAPÍTULO 1
El mercado de Swaps en México
Capítulo 1 2
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
en una institución bancaria la cual actúa como intermediario entre las dos partes y obviamente
obtiene una ganancia por su participación o porcentaje, en otras ocasiones el banco actúa como
contraparte al no existir alguien interesado en el Swap con alguna empresa, pero solo lo hacen en
algunos casos y con clientes especiales.
Un contrato forward puede ser visto como un ejemplo de Swap con la gran diferencia que en
el forward el intercambio de flujo de efectivo toma lugar solamente una vez en el futuro y en el
Swap toma lugar el intercambio de flujos varias veces en el futuro.
Existe una gran variedad de Swaps, la característica común a todos ellos es el intercambio de
un pago periódico. La diferencia entre cada transacción radica en el tipo de pago que va a ser
intercambiado. Según el tipo de subyacente al que estén referenciados los Swaps pueden ser de
varios tipos: Swaps de tasas de interés, de divisas, de acciones, de materias primas (commodities), y
más recientemente, Swaps de crédito (credit default Swaps). Entre todos ellos, los Swaps de tasas de
interés, son los más negociados en el mercado y se clasifican conforme al esquema de pago que las
contrapartes hayan pactado. Por ejemplo, las contrapartes pueden intercambiar flujos de intereses
sólo en tasas fijas, o bien, en tasa fija por tasa flotante, tasa flotante a cambio de flotante (basis
Swaps), según convenga a las necesidades de financiamiento de las contrapartes2.
1.1.1 Breve historia de los Swaps
Según Price y Henderson3 los antecedentes del Swap se encuentran en los pagos que efectuaban los
comerciantes de una localidad, a un comerciante extranjero, a cambio de que este se hiciera cargo de
las deudas que el comerciante local tenía en el país del comerciante extranjero. Así pues, en el siglo
XVI, un banquero genovés pagó a las tropas españolas en oro, a través del mercado de dinero de
Amberes, a cambio de recibir obligaciones nominadas en plata (silver-denominated) del reino de
España.
En 1976, se realiza un Swap entre Bos Kalis Westminster Group NV e ICI Finance Limited,
mediante un intercambio inicial de florines holandeses y libras esterlinas. Actuaban como 2 De la Torre Gallegos, A. (1996), “Qué son y como funcionan los swaps”. Revista Harvard-Deusto Finanzas y Contabilidad, No. 11, Mayo-Junio. 3 Price, J.A.M. y S.K. Henderson. (1988), “Currency and interest rate swaps”, Londres, Butterworths, 2a. edición, pp. 1-4.
Capítulo 1 3
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
intermediarios por parte de Bos Kalis la Continental Illinois Limited y por parte de ICI, Goldman
Sachs. En 1977, se realiza un Swap entre La Continental Illinois Limited y Consolidated Gold
Fields Ltd, en el que se intercambian 25 millones de dólares americanos por libras esterlinas, con un
plazo de 10 años.
Poco después, tiene lugar un Swap entre el gobierno de Venezuela, que tenía dólares como
consecuencia de sus exportaciones petrolíferas, y deseaba francos franceses para poder pagar la
construcción de un ferrocarril contratado con Francia. Venezuela cambió, en este Swap, dólares
USA a plazo por francos franceses. Como intermediarios actuaron Morgan Guaranty y la Banque
Paribas.
En julio de 1981, Bankers Trust sirvió de intermediario, entre Renault y la sociedad japonesa
emisora de títulos Yamaichi, para hacer un contrato Swap en el que se intercambiaron dos divisas
distintas con características de tasas de interés también distintas: dólares a tipo flotante por yens a
tipo fijo.
Inicialmente los Swaps no eran aceptados de buen grado, y empezaron a ser utilizados por
"entidades de prestigio" con el fin de mejorar su posición en el mercado; en este sentido hay que
mencionar que el primer Swap que gozó de gran publicidad y, a partir del cual, éstos se convirtieron
en un instrumento relevante; fue el Swap entre IBM y el Banco Mundial, con la intermediación de
Salomón Brothers y que de forma resumida se comenta a continuación:
La empresa IBM necesitaba tal cantidad de fondos en dólares americanos que no podía ser
atendida en un único mercado y, por tanto, emitió bonos en francos suizos y marcos alemanes
intercambiables por dólares. Coincidiendo con el momento en que IBM emitió bonos en francos
suizos y marcos alemanes, el dólar sufrió una apreciación respecto a estas dos monedas. A IBM se le
presentó la oportunidad de obtener un beneficio si convertía su deuda en francos suizos y marcos
alemanes a una deuda en dólares.
El Banco Mundial quería financiar sus operaciones en divisas mediante un tipo de interés
bajo, pero se enfrentaba al problema de que su demanda de fondos a tasas de interés fijo era superior
a la que le podía ofertar el mercado. Mediante la intermediación de Salomon Brothers, y para
Capítulo 1 4
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
concertar el Swap, el Banco Mundial emitió eurobonos en dólares a tipo fijo con el mismo
vencimiento que la deuda de IBM.
Salomón Brothers, como intermediario, diseña la operación Swap, mediante la cual se
intercambiaron los pagos de las cuotas de interés de sus respectivas deudas y la cuantía a devolver al
final del plazo.
Mediante el Swap, IBM aceptó pagar los intereses (en dólares) de los Eurobonos del Banco
Mundial, así como hacerse cargo de la devolución del principal al vencimiento de los mismos. A
cambio, el Banco Mundial pagó los intereses de la deuda en francos suizos y marcos alemanes de
IBM, así como la devolución del principal. En la figura 1-1 se sintetizan los movimientos de
capitales producidos por el Swap IBM—Banco Mundial.
FIG. 1-1 Swap IBM (1981)
$ A TASA FIJA
IBM BANCO MUNDIAL
MA Y FS AMA Y FS TASA FIJA $
BONOS ENMA Y FS BONOS EN $
Fuente: Elaboración propia
Como resultado, IBM cambió su deuda en francos suizos y en marcos por dólares,
resultándole una deuda a un tipo inferior al que hubiese podido acceder en el caso de ir directamente
al mercado de deuda pública en EEUU. El Banco Mundial por su parte, sufrió un coste muy inferior
al que hubiese soportado si hubiese pagado una emisión en esta moneda.
Como se puede ver, no se produjeron intercambios de principal al inicio de la operación:
IBM ya había recibido los fondos en francos suizos y en marcos alemanes y los había cambiado por
dólares; el Banco Mundial recibió dinero en dólares de los suscriptores y, además, los cambió en el
Capítulo 1 5
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
mercado de divisas al contado por francos suizos y marcos alemanes. Por tanto, se puede afirmar
que IBM obtuvo su ventaja al "jugar" sobre las tasas de interés, consiguió fondos en divisas con
bajas tasas de interés, aunque a cambio soportase un riesgo sobre el tipo de cambio. IBM arriesga
sobre los tipos de cambio, ya que al vencimiento debía pagar en dólares a cambio de los francos
suizos y los marcos alemanes, lo cual le benefició debido a la depreciación del dólar.
A partir de este hecho los Swaps tomaron gran relevancia en los mercados de derivados no
sólo en México sino en los mercados internacionales.
1.1.2 Características de los Swaps
Las operaciones Swap corresponden a un conjunto de transacciones individuales mediante
las cuales se concreta el intercambio de flujos futuros de títulos valores, asociados con dichas
operaciones individuales, siendo posible mediante tal mecanismo, efectuar la reestructuración de
uno de estos títulos colocándolo en condiciones de mercado.
El intercambio de tales flujos futuros, tiene como propósitos disminuir los riesgos de
liquidez, tasa, plazo o emisor, y permite la reestructuración de portafolios, en donde se logra aportar
un valor agregado para el usuario que origina la reestructuración.
Se pueden hacer intercambios de títulos valores de un plazo mayor por varios títulos de corto
plazo; tasas de interés de una tasa variable a una fija; o intercambio de deudas por acciones. Esto se
hace con la finalidad de generar liquidez, incrementar la tasa, disminuir el plazo o reemplazar
emisores del portafolio, dependiendo el riesgo que se pretende disminuir.
La International Swap and Derivates Association, ISDA (Asociación Internacional de Swaps
y Derivados)4 ha establecido las definiciones y términos de la estructura de los Swaps, con el fin de
estandarizar dichos contratos. A continuación se presentan algunas de las características más
representativas de los Swaps:
4 Es una organización profesional que agrupa a los mayores actores del mercado de derivados. El objetivo principal de la organización es establecer un marco de referencia mediante contratos estándar. La importancia de la organización en la negociación de este tipo de productos proviene de la bilateralidad de los contratos (OTC - Over The Counter), es decir, que no se negocian en un mercado organizado con reglas específicas.
Capítulo 1 6
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
• No es forzoso el intercambio de principal
• El riesgo crédito se limita a una fracción del monto nocional o de referencia
• Tiene una estructura flexible de flujos
• Otorga liquidez al mercado secundario
• La documentación es estandarizada
• Tienen un periodo de madurez de 1 a 10 años
• Rápida ejecución
• No existen requerimientos de margen
• Pueden reducir el costo neto de fondeo
• Pueden extender la madurez de los activos o los pasivos, según sea el caso
• Reducen el riesgo de tasa de interés
• Pueden usarse para realizar coberturas anticipadas
• Pueden mejorar la ROI (Return on Investment)
1.1.3 Participantes en el contrato de Swap
En todo Swap deben participar como mínimo tres tipos de agentes5:
Originador: Es quien necesita cubrir un riesgo especifico y utiliza la figura de sustitución de títulos
-Swap-. Deberá tomar una posición de vendedor inicial de un primer título valor originador del
riesgo y de comprador final de un segundo título valor que cumpla con las características para cubrir
el riesgo de portafolio que dió origen a la operación. Estos tramos de las operaciones Swap no se
sujetarán a precios de mercado, sin embargo, es necesario que las sociedades comisionistas de bolsa
obtengan comunicación escrita por parte de este cliente en la que clara y expresamente manifieste
que conoce las condiciones de mercado actuales y está dispuesto a realizar dichas operaciones.
Agente Volteador: Es el encargado de dar vuelta a los títulos valores del originador, actuando como
intermediario. Su posición deberá ser neutral y su utilidad estará dada básicamente por la diferencia
en los precios, y ésta no podrá ser en ningún caso negativa ni podrá subsanarse con utilidades de
otras operaciones independientes al Swap en cuestión. El volteador solo podrá comprar los títulos en
5 De la Torre Gallegos, A. (1996), “Operaciones de permuta financiera (swaps”). Editorial Ariel, Barcelona.
Capítulo 1 7
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
posición definitiva cuando sea previamente autorizado por el originador mediante autorización
escrita.
Tercero: Puede ser uno o varios los terceros que intervengan en esta categoría. Es quien vende el
(los) título (s) que sustituirá el título originador del Swap y quien compra el título que dio origen a la
operación Swap. Cuando se presenten dos terceros independientes, estas operaciones se realizarán
con el agente volteador y se regirán por precios reales del mercado.
1.1.4 Clasificación de los Swaps
La clasificación de los Swaps se puede realizar tomando en cuenta el cálculo de los flujos
intercambiarios. El ISDA esgrime como marco regulador de distintos tipos de Swaps, como son6:
Swaps de divisas: Constituyen un intercambio de principales e intereses de préstamos en distintas
monedas. A su vencimiento se produce el intercambio de los principales al tipo original. De tal
forma, que las corrientes de intereses se calculan con referencia a los tipos fijos, llamándose a esta
operación “plan vanilla currency Swap”.
Swap de acciones: Este tipo de contratos permite a un inversor intercambiar un rendimiento
calculado sobre un tipo de interés flotante, generalmente Libor7, por otro lado, basado en un índice
bursátil más/menos una diferencia, es decir, en tasa fija determinada como el diferencial con
respecto a los valores corrientes del Tesoro de los Estados Unidos de América. El inversor se
convierte en pagador de Libor respectivo a la contraparte del Swap, que le entregará a cambio el
porcentaje de variación de un índice durante el periodo al que extiende el “Libor”. Pueden estar
nominados en una misma moneda o en monedas diferentes ya que, si se toma como referencia el
índice Libor, este puede estar nominado en la moneda del país al que pertenece el índice.
Commodity Swap8: Son acuerdos de permuta referidos a materias primas. Con ellos, el broker
(corredor) o el productor de una materia prima acuerda al usuario el precio de una determinada
6 Calderón Elguera Victoria. (2009), “Los contratos swaps. Análisis del acuerdo de la International Swaps and Derivates Association (ISDA)”. UNAM. Facultad de Contabilidad y Administración. Consultorio Fiscal pp.63-67 7 Es la tasa de interés ofrecida en el mercado intercambiario de Londres, sirve como punto de referencia para las tasas de interés flotantes que refleja la tasa promedio cotizada diariamente por los mayores bancos británicos. 8 También denominado swap sobre materias primas
Capítulo 1 8
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cantidad de la misma, en función de un índice variable del producto. El cálculo del importe a
entregar puede determinarse con referencia al valor del índice en el momento de la liquidación o un
valor promedio del índice durante el periodo acordado. Estos contratos no exigen el intercambio
físico de la mercancía entre las partes, sino que en cada fecha de liquidación se calcularán los
importes a pagar correspondientes a cada una de ellas. La parte a la que corresponda el mayor
importe entregará a la otra la diferencia entre ambos.
Swap de tasas de interés: En este contrato intervienen dos partes y una de ellas es denominada
habitualmente pagador a tasa fija, la cual acuerda con otra (pagador a tasa variable), el intercambio
del pago periódico de los cupones correspondientes a sus deudas, calculado sobre un mismo importe
y sin que haya intercambio de los principales.
Swaps macroeconómicos: Son aquellas formas de permuta financiera que suponen el intercambio
de fijos por variables calculados en función de un índice macroeconómico tomado como referencia,
por ejemplo, el producto nacional bruto o la tasa de inflación. Estas operaciones permiten suavizar el
impacto de las recesiones económicas sobre los resultados de ciertos sectores productivos o de las
administraciones públicas.
Swap sintético: Por medio de la combinación de otros instrumentos, es posible reproducir la
estructura de flujos monetarios que originan un Swap y la figura resultante recibirá el nombre de
Swap sintético. Hay que señalar, sin embargo, que la estructura resultante no reproduce todas las
características de una operación Swap normal ni el riesgo que aporta ha de ser el mismo que el que
proporcionaría una operación Swap.
Hace una década los Swaps de tasas de intereses y los Swaps de divisas eran productos poco
conocidos y que utilizaban en raras ocasiones algunos participantes selectos. Sin embargo, con los
años el mercado ha experimentado un crecimiento fenomenal y actualmente las instituciones
financieras, así como grandes usuarios corporativos finales utilizan estos Swaps en todo el mundo.
Capítulo 1 9
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
1.1.5 Los Swaps y el principio de ventajas comparativas
La capacidad de aprovechar la presencia de ventajas comparativas constituye uno de los aspectos
más importantes a tomar en consideración en el diseño de cualquier Swap. Esto es, dos instituciones
pueden alcanzar beneficios económicos mutuos intercambiando flujos entre ellos a costos
relativamente menores. En los mercados de renta fija es común observar que el spread de crédito
entre las instituciones de mejor y las de menor calidad crediticia es más amplio en sus emisiones de
tasa fija que el spread correspondiente en emisiones de tasas flotantes. Por lo cual, se considera que
los acreditados de menor calidad crediticia generalmente tienen una ventaja relativa o comparativa
frente a los acreditados mejor calificados en el mercado de tasas flotantes.
Para comprender mejor el sentido de este concepto, a continuación se desarrolla un ejemplo
hipotético muy sencillo entre dos bancos con distintas calificaciones crediticias:
Supóngase que dos bancos A y B solicitan un crédito de manera independiente a un tercero.
Las tasas ofrecidas a cada uno fueron definidas de acuerdo con la calidad crediticia de cada banco.
Esto es, si el banco B tiene una calificación “AAA” y el banco A una calificación “B”, el banco B
siempre gozará de mejores condiciones de financiamiento que A. Lo anterior se expresa en la Tabla
1.
TABLA 1. Condiciones de financiamiento
Fuente: Elaboración propia
En virtud de que la construcción de los Swaps se apoya en el principio de ventajas
comparativas esto les otorga cierta facultad de transformar las condiciones iniciales de una deuda en
condiciones beneficiosas para las contrapartes, dependiendo de sus condiciones específicas.
Condiciones crediticias por banco Banco A Banco B Spread
Calificación
Tasa flotante
Tasa fija
“B”
TIIE + 0.50
8.75%
“AAA”
TIIE + 0.25
8.00
25pb
75pb
Capítulo 1 10
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
En la Tabla 2 se indican las condiciones iniciales de cobro en tasas fija y flotante que a cada
banco le corresponden en función de su calificación crediticia, si acudieran a solicitar un préstamo
separadamente. Después, se muestran cuáles serían sus condiciones si hicieran un Swap entre ellos.
Nótese que el banco A preferiría pagar en tasa fija mientras que B preferiría pagar en tasa flotante.
De hacerse el Swap, los dos resultarían beneficiados si aprovecharan sus ventajas relativas.
TABLA 2 Condiciones iniciales y deseadas
Condiciones de cobro de tasas Banco A Banco B
Condiciones iniciales
(deuda original)
Tasa flotante
TIIE + 0.50
Tasa fija
menor a 8.00%
Condiciones deseadas
(con Swap)
Tasa fija
menor a 8.75%
Tasa flotante
Menor a TIIE + 0.25
Fuente: Elaboración propia
Volviendo a la Tabla 1, el banco B cuenta con mejores condiciones de financiamiento, lo
mismo en tasa fija que en tasa flotante, por lo que muestra una ventaja absoluta con respecto al
banco A. Sin embargo, en términos relativos, comparando las condiciones de ambos bancos, se
encontrará que la diferencia entre las tasas flotantes del banco B y el banco A es de sólo 25 puntos
base, mientras que la diferencia de B con respecto a A en las tasas fijas es de 75 puntos base. Por lo
tanto, comparando ambos diferenciales entre las tasas fija y flotante puede concluirse que el banco B
tiene una ventaja relativa sobre el banco A en términos de las tasas fijas, mientras que A tiene una
ventaja relativa sobre B en términos de las tasas flotantes.
Una vez identificada la ventaja relativa entre A y B, en la Figura 1-2 se muestra la estrategia
más recomendable para que ambos bancos, mediante un Swap, puedan aprovechar los beneficios de
las ventajas comparativas entre los diferenciales de tasas, en lugar de acudir a un tercero a solicitar
financiamiento. Esto es, si ambos bancos celebraran un Swap de tasas de interés (IRS) tipo “plain
vanilla” entre ellos, entonces se lograrían beneficios para ambos.
Capítulo 1 11
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Considerando que A y B tienen cada uno por separado una deuda con los prestamistas 1 y 2.
La deuda del banco A con el prestamista 1 se pactó a una tasa flotante de TIIE+0.50%, mientras que
la deuda del banco B se pactó en una tasa fija de 8%. Además, por circunstancias particulares, al
banco A le convendría más efectuar sus pagos en tasa fija, mientras que el banco B preferiría
hacerlos en tasa flotante (ver Tabla 2).
Aprovechando la presencia de las ventajas relativas entre ambos, mediante un Swap,
terminarían pagando al final menores tasas que las que individualmente se les ofrecen en el
mercado.
En la Figura 1-2 se muestra cómo quedarían los bancos empleando un Swap: El banco A
podría pagar periódicamente a B una tasa fija inferior a la que tendría que pagar en el mercado sin la
ayuda del Swap. Esto es, en lugar de pagar 8.75%, podría pagar una tasa fija mucho menor, por
ejemplo, 8.10%. Además, estaría recibiendo a cambio una tasa flotante (TIIE) que le permitiría
cubrir su deuda con el prestamista 1. Su ahorro total sería de 15 puntos base.
FIG. 1-2 Estrategia de un Swap de tasa de interés
Fuente: Elaboración propia
Capítulo 1 12
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Por su parte, el banco B podría cómodamente pagar una tasa flotante (TIIE) a un costo menor
que el de su deuda original, a cambio de recibir del banco A una tasa fija de 8.10%, superior a la de
su deuda original (pactada en 8%) frente al prestamista 2. En todo el proceso terminaría ahorrando
35 puntos base.
Visto de esa manera, se comprende por qué a ambas partes les convendría más pagar flujos
eficientemente transformados mediante el diseño de un Swap de tasas de interés entre ellos, que
contratar un crédito a la manera tradicional a tasas de interés correspondientes a sus niveles de
riesgo crediticio originales.
En resumen, con la celebración de un Swap todos los participantes en principio pueden
resultar beneficiados. Sin importar que alguna contraparte tenga ventajas absolutas sobre la otra, los
Swaps son estructuras tan eficientes en su construcción que son capaces de reflejar en una tasa de
interés las condiciones crediticias representativas de las dos contrapartes involucradas en el contrato.
A esta tasa se le denomina “tasa Swap” y se considera de gran utilidad como indicador del
desempeño del mercado de crédito interbancario.
Gracias al ejemplo anterior, ya puede entenderse por qué uno de los usos más frecuentes de
los IRS es la cobertura. Si el Swap puede ser diseñado de acuerdo a las necesidades específicas de
las contrapartes, cuando los bancos emisores de títulos de renta fija requieran protegerse ante la
volatilidad en las tasas de interés y, al mismo tiempo, asegurarse de que el pago por dicha cobertura
represente una de las opciones más baratas, entonces, una excelente alternativa será que dichas
emisiones se cubran con Swaps. La presencia de ventajas comparativas que es posible aprovechar en
dichos contratos representa de antemano una garantía de que se ha seleccionado una alternativa de
cobertura a las tasas más competitivas posibles.
Este trabajo se centrará únicamente en el estudio de los Swaps de tasa de interés, los cuales
se detallan a detalle en el siguiente apartado.
Capítulo 1 13
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
1.2 Swaps de tasa de interés
En la industria de los mercados de derivados, una de las clases de contratos más negociadas a nivel
mundial son las que están referenciadas a tasas de interés, suceso que ocurre tanto en los Mercados
Organizados como en los OTC.
En 1982, a la vista del Swap entre Yamaichi y Renault se pensó que si era posible
intercambiar dos deudas nominadas en distintas divisas y con estructuras de tasa de interés distinta,
¿por qué no intercambiarlas cuando se tratase de la misma divisa?; de esta forma surgieron los
Swaps de tasa de interés, para intercambiar deudas con estructuras de tasa de interés distintas pero
nominadas en la misma moneda.
El primer intercambio que sirvió de referencia para los Swaps de tasa de interés, y en el que
se intercambiaron deudas en dólares a tasa fija por deudas en dólares a tasa variable, tuvo relación
con una emisión de bonos a tasa fija del Deustsche Bank de Luxemburgo y el Credit Suisse Frist
Boston y actuando como intermediario Merrill LLynch et Credit. El Deutsche Bank de Luxemburgo
emitió 110 millones de dólares a tasa fija y a medio plazo9, para luego y mediante un Swap
convertirla en deuda también en dólares pero a tasa variable; obteniéndose, de esta forma, un
atractivo margen sobre la Libor.
FIG. 1-3 Swap de tasa de interés entre Yamaichi y Renault
$ A TASA FIJAD.B. DE
LUXEMBURGO LESSER CREDIT
$ A TASA VARIABLEInterés en $ a tasa fija Interés en $ a tasa variable
Préstamo a tasa variableEurobonos
Fuente: Elaboración propia
9 Price, J.A.M. y S.K. Henderson. (1988), “Currency and interest rate swaps”, Londres, Butterworths, 2a. Edición, pp.43—44.
Capítulo 1 14
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También, a mediados del 1982 los Swaps de tasas de interés fueron utilizados por los
ayuntamientos de Inglaterra10 para reducir su dependencia del mercado interbancario de libras
esterlinas de Londres. Obtuvieron financiación de organismos para la financiación local a un tipo
inferior al que ofrecían los bancos para el mismo período. Algunos ayuntamientos contrataron
Swaps que les proporcionasen tasas de interés variables inferiores al Libor; en este caso los Swaps
sirvieron para alterar las características de una financiación ya existente.
Un Swap de tasa de interés (IRS)11 representa una transacción en la que dos partes acuerdan
intercambiar periódicamente flujos de intereses calculados con respecto a un nocional, pagaderos a
una moneda única y referenciados a alguna tasa líder de mercado.
En el mercado OTC, las operaciones más comunes son las de Swaps de Tasas de Interés, que
son instrumentos de cobertura utilizados ante la incertidumbre de movimientos en las tasas. En
México, los Swaps de tasas cotizan de manera estándar en el Mercado OTC de acuerdo a la cantidad
de cupones o revisiones de la tasa de cada 28 días con plazos a partir de 3 meses hasta 30 años,
concentrándose la liquidez de este tipo de instrumentos en los 10 primeros años. La nomenclatura
utilizada es el número de cupones antecediendo a un “x1”. De esta manera en el mercado se
encuentran cotizaciones que van desde 3x1, 6x1, 9x1, 13x1, 65x1, 130x1, 195x1, 260x1, hasta
390x1.
En México, las operaciones más comunes de Swaps de tasas consisten en el intercambio del
pago de una tasa a un nivel fijo, por otro que se determina de manera variable de acuerdo a la Tasa
de Interés Interbancaria de Equilibrio de 28 días (TIIE 28), sin embargo también existen
cotizaciones y operaciones sobre tasas y monedas extranjeras.
Existen dos tipos de Operaciones que se pueden llevar a cabo con los Swaps de Tasas de
Interés:
• Venta de tasa de interés fija y compra de tasa de interés variable: Se lleva a cabo cuando
se tiene la expectativa de que las tasas de interés van a subir y por lo tanto la tasa de interés 10 Rodriguez, P. (1987), “Swaps”, Boletín de Estudios Económicos, No. 132. Diciembre, pp. 503-504 11 Esta abreviatura es comúnmente utilizada para denominar a estos contratos, y se forma a partir de las iniciales de sus siglas en inglés: Interest Rate Swap (IRS)
Capítulo 1 15
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variable se ubicará por encima de la tasa de interés fija prevaleciente en ese momento en el
mercado.
• Venta de tasa de interés variable y compra de tasa de interés fija: Se lleva a cabo cuando
la expectativa de tasa de interés es a la baja, por lo tanto la tasa de interés variable se ubicará
en un futuro por debajo de la tasa de interés fija en ese momento en el mercado.
Este trabajo se centrará únicamente en la descripción y análisis de los Swaps tasas de interés
fija por flotante, mejor conocidos como “plain vanilla Swaps 12. Este tipo de Swap es el contrato
más negociado en el mercado de derivados en México; y a su vez, guarda una estrecha relación con
las tasas líderes de mercado (TIIE y CETES).
El intercambio de flujos de operaciones de tasa fija por tasa variable (Swap) está
referenciada a la Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio (en adelante TIIE) a 28 días, calculada
por el Banco de México con base en cotizaciones presentadas por las instituciones de banca múltiple
mediante un mecanismo diseñado para reflejar las condiciones del mercado de dinero en moneda
nacional13.
Todo Swap se compone de dos legs o patas correspondientes a cada contraparte. A su vez,
cada “pata” se integra por una serie de flujos de pago multi-periódicos cuya estructura puede ser la
misma o puede variar según los requerimientos de los contratantes. En México, las estructuras de
pago más comunes son mensuales, aunque también se celebran contratos con otras periodicidades de
pago: trimestral, semestral o anual.
Por convención, en un Swap de tasa fija por flotante a la contraparte que paga la tasa flotante
y recibe la tasa fija se le define como el comprador del Swap o la contraparte “larga”. Por
consiguiente, la contraparte “corta” en un Swap es la contraparte que vende el contrato aceptando
pagar una tasa fija a cambio de recibir tasas flotantes. Con respecto al principal, en contadas
ocasiones éste se intercambia al concluir el contrato, por eso dicho principal se denomina
“nocional”. Esta denominación sirve para denotar la noción o idea de un “intercambio hipotético”.
12 En el argot del medio financiero “plain vanilla” es la forma de denominar a los instrumentos que presentan las estructuras típicas, es decir, las más estándar. En el caso de los swaps de tasas de interés, un “plain vanilla swap” es aquel swap de tasas fija por flotante, sin entrega de nocional 13 El procedimiento de cálculo de la tasa se establece en la Circular 2019/95 emitida por el Banco de México.
Capítulo 1 16
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
En la gran mayoría de las transacciones con IRS las liquidaciones periódicas se hacen “por
diferencias” entre las patas fija y flotante. Este sistema de liquidación se explica brevemente a
continuación:
Los flujos que las contrapartes deberían pagarse entre sí se modifican debido a la presencia
de tasas flotantes. Por eso, es necesario recalcular el flujo neto periódicamente y, dependiendo del
valor resultante, determinar la contraparte que queda con una posición neta deudora y la que termina
con una posición acreedora. Sólo la contraparte deudora será la que tendrá que desembolsar el
monto resultante de dicha diferencia. Dejando de lado las implicaciones que movimientos
inesperados en las tasas de interés podrían generar, cabe mencionar que gracias a la liquidación por
diferencias el monto por entregar se reduce considerablemente, lo que tiene ciertas ventajas sobre las
probabilidades de incumplimiento de pago involucradas en las transacciones con Swaps, en
comparación con otras formas de financiamiento.
1.2.1 Elementos de Swaps de tasa de interés
A continuación se presentan los elementos más importantes en un contrato de Swap de tasa de
interés, así como sus definiciones. (Francis y Wolf, 1994)14.
• Monto nocional o de referencia: Determina el tamaño del Swap. Es usado como base para
calcular los pagos.
• Fecha del Swap: Es la fecha en que la acumulación de las tasas fija y/o flotante comienza.
Esta fecha no necesariamente coincide con la fecha de la transacción.
• Fecha de vencimiento: Es la fecha en la que expira la relación contractual.
• Pagador de la tasa flotante: La contraparte responsable de hacer los pagos basados en la
definición de la tasa de interés flotante.
• Tasa de interés flotante: Es alguna tasa que se toma como comparación (generalmente de
mercado, como TIIE) más algunos puntos base que determinarán la tasa de interés flotante
del contrato.
• Intervalos de pago de tasa flotante: El periodo empleado para calcular los flujos que tendrá
que hacer el pagador de tasa flotante. 14 Francis, Jack y Wolf, Avner. (1994), “The handbook of interest rate risk management”. New York. USA: Irwin
Capítulo 1 17
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• Frecuencia de la tasa flotante: Puede ser semestral, trimestral, mensual, semanal o diaria.
• Pagador de la tasa fija: La contraparte responsable de hacer los pagos basados en la tasa de
interés fija pactada cuando se estableció el contrato.
• Pagos de tasa fija: Se determinan en función de la tasa fija, la cual se establece tomando
como parámetro una tasa de mercado en un punto específico del tiempo, y algunas veces se
le adicionan unos puntos base.
• Periodos de pago de tasa de interés fija: Generalmente son semestrales o anuales. Se basan
en la fecha de vencimiento del contrato.
• Base de liquidación. Neta o bruta: Si se establece la liquidación neta, la contraparte que haya
calculado el pago mayor, pagará la diferencia entre lo que debe pagar y lo que recibirá.
• Documentación: La mayoría de los contratos de Swaps utilizan el formato sugerido por el
ISDA o por la Asociación de Banqueros Británicos (British Bankers Association).
1.2.2 Proceso de valuación
Antes de describir el procedimiento para valuar un Swap cabe aclarar que si se menciona que un
análisis de las tasas Swap permite definir en cierta forma el proceso de financiamiento crediticio
interbancario es simplemente porque los bancos son las instituciones más activas en este mercado, a
lo largo de todo el mundo. De hecho, los IRS generalmente se construyen tomando como referencia
de la tasa flotante, tasas interbancarias. Por ejemplo, en Estados Unidos se utiliza la tasa LIBOR a
seis meses, mientras que México emplea la tasa de interés interbancaria de equilibrio a 28 días (TIIE
28).
El procedimiento de valuación de un Swap se compone de tres etapas15:
1) Se requiere identificar una estructura de pagos equivalente para las contrapartes: Las patas
de un mismo Swap generalmente están referenciadas a tasas de interés fijas y/o flotantes, y
muestran diferentes esquemas de flujos periódicos de pago. Por lo cual, es indispensable
convertirlas primero en estructuras comparables para después poder valuarlas.
15 Martín Marin, J.L y De la Torre Gallegos, A. (1994), “Valoración y precio de un swap”. Actualidad Financiera. Nº 34,
Septiembre. 1994.
Capítulo 1 18
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
2) Se deben expresar todos los pagos periódicos en un pago único equivalente: Esto se hace
estimando los flujos futuros, descontándolos y trayéndolos a valor presente para
transformarlos en un pago único equivalente. Una vez definida la estructura de pagos de cada
pata (etapa 1), se estima el valor presente de todos los flujos futuros (etapa 2). Este es un
proceso que se apoya en el supuesto hipotético de que las “tasas futuras interbancarias”
efectivamente se realizarán16. Por lo cual, al efectuar este proceso se cubre un doble objetivo:
a) Encontrar una tasa fija única comparable a las flotantes para un punto dado en el tiempo y,
b) Captar la componente de expectativas implícita en la estructura de tasas futuras que se
utilizaron como factores de descuento.
3) Se determina el “valor del Swap”: El valor del Swap se expresa como la diferencia entre los
valores presentes de las patas fija y flotante:
( ) x y
t t tV S B Bτ τ τ
= − (1.1) Donde:
( )tV Sτ
Valor del Swap calculado en el período τ
xtBτ Valor presente del flujo total de pagos por recibir expresados en un solo período (τ ). Esta
pata representa la posición activa de la contraparte y
tBτ
Valor presente del flujo total de pagos por entregar expresados en un solo período (τ ). Esta
pata representa la posición pasiva de la contraparte.
tτ Período de análisis del Swap (τ = 0,...,T )
1.2.3 Panorama global de los Swaps de tasa de interés
De acuerdo con J. Bicksler y A.H. Chem17, para que la operación Swap sea provechosa cada entidad
que interviene en la misma debe endeudarse en el mercado en el que tiene ventaja comparativa sobre
la otra entidad que interviene en la operación Swap. Este razonamiento clásico a la hora de explicar 16 Siempre que se valúan instrumentos trayendo a valor presente sus flujos, uno de los supuestos más fuertes en los que se apoya dicho proceso es que las tasas futuras el día de hoy, resultan la mejor aproximación de las tasas de interés que efectivamente ocurrirán en el futuro. Estas tasas se toman directamente de las curvas de tasas forward. 17 Bicksler, J. y A.H. Chem. (1986), “An economic analysis of interest rate swaps”. Journal of Finance, No. 41, Julio, pp.645-655.
Capítulo 1 19
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
el desarrollo del mercado Swap, ha suscitado numerosas críticas y ha provocado la búsqueda de
nuevas explicaciones para la existencia de otras causas en el origen de las operaciones Swaps, así
como, de influencia decisiva en el crecimiento del mercado.
C.W. Smith, C.W. Smithson y L.M. Wakemanho, dan cuatro razones básicas para que el
mercado de los Swaps, haya evolucionado como lo ha hecho18. Estas razones son:
a) Arbitraje financiero.
b) Gestión del riesgo de tasa de interés.
c) Integración financiera.
d) Oportunidades en la obtención de beneficios a partir del arbitraje legal y fiscal.
Los Swaps de Tasas de Interés forman uno de los mercados más grandes y líquidos del
mundo, de hecho, las Curvas de Swaps (Libor, TIIE, etc.) han tomado tal relevancia, que han ido
substituyendo a los Bonos Gubernamentales como principal punto de referencia, debiéndose su
principal causa a la liquidez y a la gran cantidad de productos financieros que toman como
referencia la curva de Swaps para valuación.
Cada tres años, con la colaboración de bancos centrales de 54 países (entre ellos México), el
Banco de pagos Internacionales (BIS) y autoridades monetarias participan en la Encuesta trienal del
Banco Central de Divisas y Derivados de Mercado. El objetivo de la encuesta es proporcionar la
información más completa y coherente a nivel internacional en el tamaño y la estructura de los
mercados de divisas, permitiendo que los políticos y los participantes del mercado controlen de una
manera más óptima patrones de actividad en el sistema financiero mundial. Coordinadas por el BIS,
las instituciones participantes recopilan datos sobre el volumen de negocios en los mercados de
divisas tradicionales (operaciones al contado, forwards y Swaps de divisas) y en el mercado over the
counter (OTC) operaciones de divisas y de derivados de tipos de interés (IRS). La encuesta trienal se
ha llevado a cabo cada tres años desde abril de 1989, y se ha modificado desde abril de 1995 para
incluir los derivados OTC de tasa de interés.
18 Smith, C.W. - C.W. Smithson - L.M. Wakeman. (1986), “The evolving market for swaps”. Midland Corporate Financial Journal, 1986, Invierno, pp. 24-27.
Capítulo 1 20
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Desafortunadamente, para la realización de esta investigación aún no se cuenta con el
informe de la Encuesta Trienal 2010 ya que su presentación se da a principios del año 2011; es por
esta razón que sólo se presenta la información obtenida de la encuesta realizada en 2007 cuyos
resultados más importantes son los siguientes:
La actividad en el mercado de derivados OTC siguió creciendo a un rápido ritmo entre 2004
y 2007. El promedio diario de volumen de negocios en divisas OTC y contratos de tasas de interés
subieron en un 73%, a $ 4.2 billones de dólares en abril de 2007 (Tabla 3). Esto corresponde a una
tasa compuesta anual de crecimiento del 20%, lo que esta por encima del incremento medio del 14%
registrado desde la parte de derivados de la encuesta trienal que se inició en 1995.
TABLA 3 Mercado mundial OTC, volumen de negocios
Promedios diarios en abril, en billones de dólares
Concepto/Año 1998 2001 2004 2007 Volumen de negocios de divisas 959 853 1,303 2,319
Forwards y Swaps de divisas 862 786 1,163 2,076
Swaps de divisas 10 7 21 32
Opciones 87 60 117 212
Otros 0 0 2 0
Volumen de negocios de Tasa de interés 265 489 1,025 1,686
FRAs 74 129 233 258
Swaps 155 331 621 1,210
Opciones 36 29 171 215
Otros 0 0 0 1
Diferencia estimada en la información 39 43 92 193
TOTAL 1,265 1,385 2,420 4,198
Fuente: Elaboración propia en base a los datos obtenidos en la la Encuesta trienal del Banco Central de
Divisas y Derivados de Mercado (ISDA y BIS)
La actividad en derivados de divisas (incluidos los futuros simples y los Swaps de divisas, en
el mercado de divisas tradicionales) aumentaron en un 78%. Un crecimiento más moderado
Capítulo 1 21
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
se registró en el segmento de las tasas de interés, donde el volumen de negocios subió un 64%. La
información de la tabla anterior se puede aprecair mejor en los siguientes gráficos.
FIG. 1-4 Volumen de operaciones en mercados de derivados OTC
Cifras en billones de dólares
Contratos de divisas Contratos de tipo de interés
Fuente: Encuesta trienal del Banco Central de Divisas y Derivados de Mercado (ISDA y BIS)
De 2004 a 2007 los montos nocionales en los contratos de tasa de interés aumentaron en un
119% a $ 389 billones de dólares. Esta información se puede pareciar en la tabla 4.
TABLA 4 Posiciones globales en mercados de derivados OTC, por tipo de instrumento
Saldos en billones de dólares
Concepto/Año Cantidades nocionales
Valores brutos de mercado
Cantidades nocionales
Valores brutos de mercado
2004 2007 Contratos de tipo de
interés 177,458 4,582 388,627 6,724 FRAs 14,399 211 25,607 145 Swaps 137,277 3,978 306,438 5,813 Opciones 25,757 393 56,575 766 Otros 25 0 7 0
Fuente: Elaboración propia en base a los datos obtenidos en la la Encuesta trienal del Banco Central de
Divisas y Derivados de Mercado (ISDA y BIS)
Capítulo 1 22
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
En un reporte especial emitido por el ISDA a finales de junio de 2008, se reporta el
crecimiento que ha tenido el monto nominal en circulación de los Swaps de tasa de interés desde
1987 a 2008. Aquí se puede apreciar que de 2007 a 2008 hay un incremento del 22% en este tipo de
contratos. Esta información se aprecia en la figura 1-5.
FIG. 1-5 Swaps de tasa de interés, ISDA Estudio de Mercado, 1987-2008
Montos nocionales en billones de dólares
Fuente: ISDA Notas de Investigación
Por su parte el BIS emitió en 2006 un reporte preliminar sobre las operaciones en el mercado
Over The Counter , en este informe se aprecia que el importe nocional a Diciembre de 2006 de todas
las categorías de instrumentos cotizados en los Mercados de Derivados OTC a nivel mundial
ascendió a $415 billones de dólares, de los cuales $230 billones fueron de Swaps de Tasas de
Interés, categoría que representa más del 50% de la operación de los Mercados de Derivados OTC a
nivel mundial, cifra que se asemeja a la información emitida por el ISDA. De 1998 al 2006 el
importe nocional se ha sextuplicado. Esta información se puede apreciar en la Figura 1-6.
Capítulo 1 23
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
FIG. 1-6 Valor nocional de los Swaps de Tasa de Interés
Fuente: Banco Internacional de Pagos (BIS)
1.3 El mercado de los Swaps de TIIE-28 días
Los Swaps de TIIE-28 días son instrumentos financieros conocidos como ‘Derivados’ a los que
subyace un contrato a través del cual se intercambia una serie de flujos fijos (determinados por una
tasa fija: la tasa Swap) por aquellos flujos variables resultantes de aplicar la TIIE-28 días en fechas
especificadas. Los Swaps de TIIE-28 días son los derivados más comunes en México y representan
uno de los mercados más profundos de los derivados OTC (Over The Counter) o de mostrador. Su
profundidad es tanta que en la práctica sus cotizaciones se dan en tiempo real, presentándolas las
principales empresas de provisión de información como Reuters y Bloomberg.
1.3.1 Definición de los Swaps de TIIE-28 días
En términos generales, un Swap de TIIE (de 28 días ó 91 días) es un contrato entre dos partes, las
cuales acuerdan intercambiar flujos monetarios en el tiempo. Es un intercambio de pagos de
intereses sobre una tasa de interés fija (la tasa o cotización del Swap) por una de las partes, por
pagos de intereses sobre una tasa variable (la TIIE de 28 publicada por Banco de México.)
proveniente de su contraparte. Ambas tasas son calculadas sobre un mismo monto principal o
nominal (“Monto Nominal de Referencia” del Swap de TIIE), el cual no es intercambiado.
Capítulo 1 24
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
En términos formales, un Swap de TIIE-28 días queda determinado por una serie de
documentos legales debidamente definidos bajo los estándares ISDA19. En su definición formal, el
Swap de TIIE-28 días considera detalles como la posibilidad de prepago, rompimiento del contrato,
el caso de inexistencia del índice de referencia (por ejemplo, que la TIIE-28 días dejara de existir) e
incluso la forma de transferencia de los fondos.
1.3.2 Uso e intermediación de los Swaps de TIIE-28 días
El principal uso de los Swaps de TIIE-28 días es como instrumentos de cobertura; no obstante,
pueden ser usados como instrumentos de especulación. Una empresa puede acceder al mercado de
Swaps de TIIE-28 días a través de un intermediario financiero (por lo general un banco) que esté
autorizado a operar dichos Swaps. La empresa podrá realizar la transacción con el intermediario
financiero sólo si cumple con los estándares definidos en la documentación ISDA respectiva (como
tener patrimonio bien definido y cumplir con obligaciones fiscales).
La utilidad de los Swaps de TIIE-28 díıas para quienes lo contratan es la modificación de la
naturaleza de flujos provenientes de un activo o pasivo esperado como el caso de convertir un
pasivo contraído a una tasa de interés variable en uno fijo (o viceversa). El incentivo para el
intermediario financiero que los ofrece es obtener un diferencial o margen en la cotización de los
Swaps de TIIE-28 días como beneficio a cambio de absorber el riesgo de que la contraparte no
cumpla (riesgo crédito) o de que las tasas de interés (la TIIE de 28 días) se mueva en el futuro de
una manera desfavorable de manera que le provoque pérdidas (riesgo de mercado).
Como el intermediario financiero provee de Swaps de TIIE-28 días a varias contrapartes, se
obtiene por lo general el beneficio de no concentrarse con una sola contraparte (beneficio por
diversificación), además de que puede ofrecer exactamente el perfil de flujos opuestos a alguna
contraparte de aquél que ofrece a otra, cerrando el riesgo de mercado. Esto hace sumamente
atractiva la operación de Swaps de TIIE-28 días.
19 Dicha asociación ha establecido estándares de los contratos marco con efectos legales y claúsulas para la operación de Swaps de cualquier tipo
Capítulo 1 25
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
1.3.3 Intercambio de Flujos Variables por Flujos Fijos
En la Figura 1-7, se considera el caso de una empresa (la Empresa 1) que tiene que hacer frente a
una serie de pagos fijos de monto B cada 4 semanas (28 días) por concepto de nómina de sus
empleados, mientras que sus ingresos tienen que ver con el nivel de la tasa de interés (por ejemplo
una empresa que opera un Fondo de Inversión de corto plazo y que cobra comisiones a sus
ahorradores sobre los intereses generados en el Fondo). Es claro en este caso que el Balance propio
de la empresa tiene un pasivo prácticamente fijo, mientras que su activo principal son las comisiones
cobradas a los ahorradores del Fondo que maneja, lo que provoca que su ingreso futuro dependa en
gran medida del nivel de tasa de interés del mercado.
FIG. 1-7 Empresa con un pasivo fijo e ingresos variables,
altamente dependientes de la tasa de corto plazo
Fuente: Elaboración propia
La empresa sabe que una baja en el nivel de tasas de interés de corto plazo (ya que el fondo
de inversión es de corto plazo), provocará que sus ingresos futuros disminuyan, mientras que el pago
de su nómina no lo hará. Debido a esto, la empresa estará dispuesta a entrar en un contrato de Swap
de TIIE-28 días para la cobertura de sus pasivos, aceptando recibir (de un intermediario financiero)
un monto fijo cada 28 días por cierto periodo de tiempo a cambio de pagar un monto variable
indizado a una tasa de corto plazo como la TIIE de 28 días. Si el monto fijo de la empresa es B, y el
nivel de tasa de interés fija del Swap de TIIE-28 días es BTs (tasa Swap Bid o de compra —de la
TIIE-28 días desde el punto de vista del mercado o intermediario financiero— del Swap de TIIE-28
Capítulo 1 26
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
días), la empresa estará dispuesta a contratar dicho Swap de TIIE-28 días con nominal de referencia
N calculado como sigue:
28
360BT
BNS
= (1.2)
Donde:
N= Monto nominal o de referencia del Swap de TIIE-28 días BTs = Tasa Fija (o tasa Swap de compra) del Swap de TIIE-28 días
B= Pago fijo a realizarse cada 28 días
Nótese que se ha encontrado el valor nominal de referencia N que hace que la Empresa 1
pueda recibir exactamente B. De esta manera:
( ) 28360
BTB N s ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
(1.3)
En el ejemplo presentado, el intermediario financiero paga la tasa fija o tasa Swap a cambio
de recibir la TIIE de 28 días y se dice que su posición en el Swap de TIIE-28 días es “larga” en flujo
(gana más en flujo si las tasas suben) y “corta” en tasa de interés Swap. Por su lado, la Empresa 1
paga la TIIE de 28 días (que podemos denotar como 28TIIEi ) a cambio de recibir la tasa fija o tasa
Swap BTs y se dice que su posición en el Swap de TIIE-28 días es “corta” en flujo o “larga” en tasa
de interés. La operación del Swap de TIIE-28 días se representa en la Figura 1-8.
En la figura 1-8 se puede observar claramente que la Empresa 1 ahora tiene perfectamente
cubierta respecto del pago de su nómina con el flujo que recibe de intercambio financiero, a cambio
del cual tendrá que pagar un flujo variable indizado a la TIIE de 28 días. Por tanto, la Empresa 1 ha
permutado su pasivo fijo por un pasivo variable. Esta es precisamente la idea de los Swap de tasa de
interés como el caso de los Swaps de TIIE-28 días.
Capítulo 1 27
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
FIG. 1-8 Intercambio de flujos fijos por flujos variables, a través de un Swap de TIIE-28 días
Fuente: Elaboración propia
1.3.4 Intercambio de Flujos Fijos por Flujos variables
En la Figura 1-9, ahora se considera el caso de otra Empresa (la Empresa 2), la cual tiene una deuda
con valor nominal N, la cual contrajo para financiar una expansión de actividades que le provoca
que pague intereses a una tasa flotante cada 28 días (por ejemplo TIIE de 28 días + 80 puntos base).
Esta empresa tiene un ingreso estable y está preocupada que una alza en las tasas de interés le
provoquen problemas financieros al aumentar el monto que tendrá que pagar por servicio de su
deuda.
Capítulo 1 28
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
FIG. 1-9 Intercambio de flujos variables por flujos fijos,
a través de un Swap de TIIE-28 días
Fuente: Elaboración propia
Esta empresa estará dispuesta a entrar en un contrato de cobertura de su pasivo (su deuda),
aceptando recibir un monto indizado a la TIIE de 28 días cada 28 días a cambio de pagar un monto
fijo. Considerando que el mismo intermediario financiero que ofreció el Swap de TIIE-28 días a la
Empresa 1 está dispuesto a ofrecerle una posición de Swap de TIIE-28 días a la Empresa 2 con el
perfil opuesto al que ofreció a la empresa 1. En este caso, el intermediario financiero ofrecerá ahora
absorber los flujos variables a cambio de recibir un flujo fijo determinado por una tasa ATs (tasa de
Capítulo 1 29
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
interés Ask o de venta del Swap de TIIE-28 días). En este caso el nivel de la tasa Swap ATs es mayor
que BTs y la diferencia entre ambas ( )A B
T Ts s− representa el “Bid-Ask Spread” o margen de compra-
venta del Swap de TIIE-28 días que el intermediario financiero se queda como ganancia al proveer
el servicio de venta de posiciones cortas y largas de Swaps de TIIE-28 días.
Los intercambios de flujos entre la Empresa 2 y el intermediario financiero se presentan en la
Figura 1-9, donde se puede observar que la Empresa 2 cumple el objetivo de cambiar su deuda
flotante a una deuda completamente fija con pagos determinados por la tasa de interés fija neta
resultante igual a ATs + 0.8%.
El mercado de los Swaps de TIIE-28 días en México es un mercado sumamente líquido,
donde las operaciones se pactan de manera directa entre las partes: una empresa o cliente vs. un
intermediario financiero (autorizado para operar este tipo de Derivados por parte de Banco de
México), o entre dos instituciones financieras (igualmente autorizadas para operar este tipo de
Derivados por parte de Banco de México).
Aunque el mercado de los Swaps de TIIE-28 días es un mercado OTC o de Mostrador, es
decir, no tiene una Cámara de Compensación que elimine el riesgo contraparte y de incumplimiento;
la documentación legal que circunda a sus contratos los hace ser productos financieros altamente
seguros en su operación, pues se tienen los instrumentos legales para el cumplimiento de las partes,
quienes además no desean correr riesgo reputacional que el mercado les imponga al no cumplir con
sus obligaciones contractuales.
Algo importante a destacar de la operación de los Swaps de TIIE-28 días es que si bien
existe la posibilidad de incorporar detalles adicionales en sus contratos como la existencia de
amortizaciones, el mercado de Swaps de TIIE-28 días estándar no considera ninguna variante o
detalle. Este mercado estándar siempre es la base para la determinación de las cotizaciones de
cualquier Swap de TIIE-28.
A continuación se analizará como se comporta el mercado de Swaps en nuestro país.
Capítulo 1 30
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
1.4 El mercado de Swaps en México En nuestro país la introducción de los derivados es bastante reciente, sobre todo en comparación con
los países desarrollados (Estados Unidos, Inglaterra, Canadá o Francia, por mencionar sólo algunos
ejemplos).
En diciembre de 1998, aparece la primer bolsa de derivados de México, bajo la
denominación de “Mercado Mexicano de Derivados” o MexDer. A partir de esa fecha por primera
vez se reconoce formalmente la presencia de un mercado organizado de derivados en nuestro país,
pues previamente las operaciones con derivados sólo eran pactadas a través de mercados no
organizados o de mostrador, mejor conocidos como mercados “over the counter (OTC)”.
Con respecto a los Swaps, éstos son contratos solamente negociados en mercados no
organizados. Generalmente, las contrapartes son bancos y los utilizan para fines de cobertura. A la
fecha existen pocas fuentes formales de información que muestren los volúmenes negociados o el
interés abierto de dichas operaciones. De hecho, entre las pocas fuentes de información disponibles
se encuentran los balances y cuentas de orden de los propios bancos, así como algunas estadísticas
proporcionadas por la International Swaps & Derivatives Association (ISDA).
Al principio, en la bolsa de derivados mexicana (MexDer) se lanzó un producto con la
intención de replicar la estructura de contratos Swap, pero a través de un instrumento que sí pueda
negociarse en el mercado organizado bajo condiciones estandarizadas, éste es el engrapado.
El engrapado representa una mecánica de negociación creada por el MexDer para realizar
operaciones “tipo Swap” construido por cadenas de futuros de TIIE de 28 días que se “engrapan” de
forma continua y cuyos plazos oscilan desde 84 días hasta 7 años (o más).
Durante algunos años, los engrapados fueron considerados el producto “estrella” del
MexDer, por los elevados volúmenes de negociación que alcanzaron. Al principio se tenían listadas
sólo 36 series mensuales que permitían realizar operaciones con futuros de TIIE por plazos hasta de
Capítulo 1 31
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
un año, pero con el incremento en la demanda por estos contratos, se adicionaron 24 vencimientos
mensuales más, haciendo posible fijar niveles de tasas hasta por 5 años20.
Para valorar la magnitud negociada en futuros de TIIE de 28 días a través de “engrapados”,
cabe mencionar que en el 2002 estos productos representaban el 95.63% de la operación global, y el
98.13% del interés abierto del MexDer, seguidos de los futuros del CETE, del dólar, del IPC y por
último, del Bono M3.
Considerando que hace pocos años la situación de los Swaps de tasas en México todavía era
precaria, cabe resaltar que su evolución y desarrollo han sido sorprendentemente rápidos. Tan sólo
en mayo de 1998 la elevada volatilidad en las tasas de interés, la falta de liquidez y la inexistencia
de emisiones gubernamentales de largo plazo que pudieran servir como benchmark dificultaban
construir las secciones de mediano y largo plazo de la curva Swap. Por lo que una gran mayoría de
los contratos sólo se celebraba por plazos inferiores a un año.
A partir del año 2000 se incrementaron significativamente el plazo y la liquidez de los Swaps
de tasas (fija por flotante) debido a los siguientes factores:
1) Aparecieron emisiones de deuda gubernamental de mayores plazos que sirvieron como
nuevos benchmark.
2) Aumentó la demanda de bancos por coberturas de largo plazo (10 años o más); a la vez que
se incrementó el número de contrapartes interbancarias dispuestas a negociar con Swaps de
TIIE.
3) Crece la demanda por inversiones riesgosas, ante la percepción de un ambiente de mayor
estabilidad en la economía mexicana a nivel nacional e internacional.
Aunque en un principio los plazos más demandados en Swaps de TIIE se concentraban en
plazos inferiores al año (84, 168, 252 y 360 días), actualmente se está incrementado la demanda por
plazos superiores al año (3 y 5 años, principalmente). De cualquier manera, todavía existe poca
negociación en los plazos de 7 a 10 años. En términos generales, la actividad superior a 3 años se
20 MexDer, 2002
Capítulo 1 32
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
2004 2005 2006 2007
concentra en bancos que buscan coberturas fijando el costo de sus deudas y reduciendo su
exposición ante la volatilidad de las tasas de interés en el corto plazo.
Otro aspecto de considerable importancia que cabe resaltar es que la presencia de clientes
corporativos es todavía bastante escasa. Por lo que los Swaps de tasas de interés en México se
negocian casi exclusivamente al interior del sector bancario, lo que para los fines de este estudio
representó una gran ventaja, pues facilitó considerablemente una interpretación de los resultados
enfocada a un solo sector, el de la banca comercial.
Una muestra de la aceptación que los Swaps de TIIE han encontrado en el mercado bancario
mexicano puede observarse en la Figura 1-10 donde se comparan las tasas de crecimiento de los
Swaps con respecto a las de otros derivados cuyo subyacente también son tasas de interés, por
ejemplo, futuros y forwards de TIIE.
FIG. 1-10 Derivados de tasas en el sector bancario
Tasa de crecimiento basadas en valores nocionales
Fuente: Mexder
Capítulo 1 33
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Como puede observarse en la Figura 1-10, del 2004 al 2007 los Swaps de tasas de interés son
los contratos que muestran las mayores tasas de crecimiento, seguidas de los futuros de TIIE (entre
los que se encuentran las operaciones de engrapados).
Debido al crecimiento presentado en el mercado de Swaps de tasa de interés, el Mercado de
Derivados (Mexder) decidió introducir al mercado un nuevo instrumento: el futuro de Swap de TIIE,
el cual se analizará en la siguiente sección.
1.5 Contratos de futuros sobre Swaps de TIIE
Los Mercados de Derivados Organizados, así como los OTC a lo largo del tiempo han sido
mercados complementarios entre sí, y una de las tendencias que se está presentando con mayor
frecuencia entre ambos, es la adecuación y listado de productos por parte de los Mercados
Organizados, que antes eran propios del OTC, adicionándolos con las bondades y ventajas que se
presentan en los Mercados Organizados únicamente, como la estandarización, precios públicos y
principalmente, el contar con una Cámara de Compensación que disminuye el riesgo de contraparte.
Ante el desarrollo de los Swaps en el mercado Over the Counter (OTC), MexDer, ha
decidido listar Futuros que tengan como subyacente los Swaps de TIIE, lo que sin duda ayuda a los
participantes en este tipo de contratos a administrar de mejor manera la exposición que tienen ante
fluctuaciones de tasas de interés. Este tipo de contrato también se conoce como “Forward Starting
Swap” (FSS) o “Swap de Inicio Futuro” y consiste en la concertación de un Swap con la
característica de que la determinación de la fecha de inicio del Swap será en una fecha futura, que es
en la fecha de vencimiento de la serie del Futuro que se trate.
El 17 de septiembre de 2007 se llevó a cabo el listado del contrato de futuro de Swap sobre
TIIE de 28 días a un plazo de 10 años. Este contrato pretende sustituir la baja en el volumen en el
contrato de futuro de la TIIE, así como recuperar y dar mayor liquidez a la operación en el largo
plazo (10 años), “empaquetando” estos futuros en un sólo instrumento que facilita su
administración y valuación diaria. Debido a la aceptación que tuvo el Futuro de Swap de TIIE a 10
Capítulo 1 34
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
años (130x1), el año pasado, para ser precisos el 19 de enero de 2009 se llevo a cabo el listado de
futurode Swap de TIIE a 2 (26x1) y 5 (65x1) años21.
De la misma forma que un Swap OTC, en donde la tasa que se negocia es la Tasa Swap
(“Pata Fija”), se sigue la misma mecánica operativa para los contratos de Futuros de Swaps listados
en MexDer, en donde la tasa negociada es la tasa Swap Futura que se tendría en la fecha de
expiración del Contrato de Futuro. Los Futuros de Swaps tienen como Subyacente los Swaps de 2
años (26 x 1), 5 años (65 x 1) y 10 años (130 x 1), que a su vez utilizan la Tasa de Interés
Interbancaria de Equilibrio a 28 días como la tasa de interés variable en un contrato Swap, mientras
que la otra “pata” es una tasa de interés fija. Al momento de la negociación, el Swap tiene en teoría,
valor cero ya que se encuentra “At the money”, es decir, el valor presente de los flujos de tasa
flotante es igual al valor presente de los flujos de la tasa fija. A partir de ese momento la “Tasa
Swap” fluctúa conforme al mercado.
El Swap de TIIE en el mercado OTC es un instrumento con gran liquidez y alto número de
participantes. Con el futuro de Swap de TIIE se buscan los siguientes objetivos:
• Sustituir la modalidad de operación de “engrapados” de largo plazo, por un contrato listado
que facilite la operación, valuación, seguimiento y administración a los participantes.
• Desarrollar gran liquidez en los primeros dos años con futuros individuales de TIIE.
Operaciones a más largo plazo vía futuros de Swap.
• Reincorporar a los clientes que ya no participan en el contrato de futuros de la TIIE de largo
plazo a través de este nuevo instrumento.
Citando algunas cifras de 2007, en el contrato de futuro de la TIIE de 28 días, el volumen
negociado expresado como el número de contratos operados, se ubicó en 220.6 millones de
contratos –equivalentes a 878,916 contratos diarios promedio-, lo cual significa un descenso del
16.82% con respecto al año previo.
21 Informe Anual Grupo BMV 2009
Capítulo 1 35
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
La baja en el volumen operado responde fundamentalmente a la reducción en la operación de
los engrapados en los periodos largos ante las dificultades administrativas (back office) que presenta
esta modalidad operativa, y una menor actividad por parte de inversionistas institucionales en la
parte larga de la curva de rendimientos. Es importante mencionar que como una estrategia que
ayudara a revertir esta tendencia, se decidió listar el contrato de futuro del Swap de TIIE a 28 días.
No obstante lo anterior, el futuro de la TIIE continúa siendo el de mayor liquidez y volumen
intercambiado, así como la principal fuente generadora de ingresos de la Sociedad.
FIG. 1-11 Promedio diario negociado (TIIE 28 días)
Cifras en miles de contratos
Fuente: Mexder
Como puede apreciarse en la Figura 1-11, el incremento observado entre los meses de junio
y octubre está relacionado con el cierre de posiciones de algunos participantes que mantenían
posiciones abiertas importantes. Por su parte, el interés abierto presentó un incremento del 24.7%
respecto al registrado al cierre del ejercicio anterior y observó su máximo histórico el día 19 de
septiembre, al sumar 56’742,449 contratos abiertos. El importe promedio diario negociado en el
2007, expresado en pesos, corresponde a $87 mil millones de pesos.
Es preciso mencionar que, para efectos de comparación de este contrato versus el futuro de
la TIIE, en cuanto a volumen operado, un contrato de futuro del Swap es equivalente a 1,200
contratos de futuros de la TIIE, ya que por un lado este nuevo instrumento ampara un valor nominal
Capítulo 1 36
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
10 veces mayor, y por otro, los 120 vencimientos mensuales que cubren los 10 años en un
engrapado de TIIE.
FIG. 1-12 Promedio Diario Negociado
Contratos de Futuro Swap de TIIE 10 años
Fuente: Mexder
De esta manera, si se considera que el volumen promedio diario en el futuro de TIIE se ubicó
en 878,916 contratos diarios promedio, y que en el periodo septiembre - diciembre se registró un
promedio diario de 300 contratos en el contrato de futuro de Swap de TIIE, que son equivalentes a
360,000 contratos de futuros de TIIE, se tendría un volumen “ajustado” acumulado de 1’238,916
contratos, siendo 17.25% superior el volumen –para efectos de esta comparación- que el observado
en el contrato de futuro de la TIIE a 28 días en el ejercicio del año previo.
Para el ejercicio de 2008, en el contrato de futuro de la Tasa de Interés Interbancaria de
Equilibrio (TIIE) de 28 días, el volumen negociado expresado como el número de contratos
operados, se ubicó en 57.8 millones de contratos, lo cual significa un descenso del 73.76% con
respecto al año previo.
Capítulo 1 37
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
FIG. 1-13 Promedio Diario Negociado
Futuro de TIIE + Futuro de Swap de TIIE
Fuente: Mexder
La baja en el volumen operado de futuro de TIIE responde fundamentalmente a la migración
que se dio de este producto al contrato de futuro del Swap de TIIE a 28 días.
Como se puede observar en las tablas previas, este contrato ya no es la fuente principal de
ingresos de la sociedad, aunque continúa siendo el de mayor volumen intercambiado.
FIG. 1-14 Contratos de Futuro sobre TIIE 28 Promedio Diario
Fuente: Mexder
Capítulo 1 38
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
No obstante lo anterior, el interés abierto ha sufrido una reducción del 15.78% respecto del
cierre del 2007 y en donde es importante destacar que ese nivel no se muestra afectado por la
inclusión del contrato de futuro del Swap de 10 años, la cual ocurrió en septiembre de 2007, de
hecho el 20 de febrero se registró el máximo histórico al sumar 57.07 millones de contratos abiertos.
FIG. 1-15 Contratos de Futuro SWAP de TIIE 10 años Promedio Diario
Fuente: Mexder
En lo que corresponde al contrato de futuro del Swap de TIIE a 28 días, se aprecia un
comportamiento muy errático en el volumen negociado, con una tendencia descendente hacia el
segundo semestre, la cual es acompañada por el mismo comportamiento en el caso del interés
abierto.
FIG. 1-16 Futuros del TIIE + Futuros del SWAP
Fuente: Mexder
Capítulo 1 39
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
En la Figura 1-17 se analiza por separado la evolución del Futuro de Swap de TIIE 10 años,
en donde se puede apreciar que desde su introducción al mercado de derivados ha tenido una buena
aceptación pasando de un volumen de cerca de 4,000 contratos en septiembre de 2007 a 25,000 en
marzo de 2008.
FIG. 1-17 Evolución Futuro de Swap de TIIE 10 Años
Fuente: Mexder
1.5.1 Metodología de cálculo de tasas teóricas de Futuro de Swap
La metodología de cálculo e insumos que se requieren para estimar las Tasas Futuras de los
Swap es la siguiente22:
Paso 1. Niveles de TIIE y “Mid Point” de los Swaps de TIIE OTC. Se toma la curva de
rendimiento construida con base en los niveles de cierre de los Swaps de TIIE que cotizan OTC de 3
meses (3 x 1) hasta 30 años (390 x 1). Dicha curva servirá para estimar el valor de la diferencia entre
la parte Fija y variable del Futuro del Swap.
22 Martín Marín, J.L y De la Torre Gallegos, A. (1994), “Valoración y precio de un swap”. Actualidad Financiera. No. 34, Septiembre. 1994.
Capítulo 1 40
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Una vez recolectada la información de los Swaps de Tasas de Interés, con posturas obtenidas
de las diferentes fuentes de información para compra y venta, se procede a lo siguiente:
a. Se obtiene la mejor postura de compra y la mejor postura de venta.
b. Para determinar los niveles de mercado de las curvas se considera, del inciso “a”, el nivel
medio entre la compra y la venta.
c. Para los días en que los incisos “a” y “b” no cuenten con información se determinará el nivel
medio a través de las posturas de compra y de venta utilizando referencias tomadas
directamente de las mesas de operación de intermediarios financieros con participación en
este segmento del mercado. Al menos se considerarán referencias de cuatro intermediarios
diferentes y se tomará el nivel promedio de éstas.
Paso 2. Construcción de la Curva de “Ceros”. Se construye una curva al plazo que corresponde a
la fecha de vencimiento del Contrato de Futuro más el plazo del subyacente. Esta Curva se infiere a
través de los Nodos y/o niveles de la Tasa de Interés Interbancaria de equilibrio de 28 días (TIIE 28)
y el punto medio de los Swaps de TIIE.
En el mercado mexicano el plazo mayor de los bonos cupón cero es de un año y resulta
necesario extender la estructura temporal de tasas a plazos mayores. En respuesta a ello, el método
más comúnmente utilizado es el “Bootstrapping”, que consiste en estimar de manera recursiva
niveles de tasas cero a partir de la información de las tasas de rendimiento al vencimiento (Yield to
Maturity o Tasas Yield) de las que se tiene información a largo plazo.
Determinación de Nodos y Construcción de la Curva.
Los valores de los dos primeros nodos, para las curvas se determinan de la siguiente manera:
El primer nodo correspondiente a un día (r1) se obtiene al restar a la tasa TIIE a 28 días,
correspondiente al día de valuación, la diferencia en puntos base entre la tasa de fondeo bancario
“AAA” con plazo a un día, contra el fondeo bancario con plazo de 28 días.
Capítulo 1 41
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
El segundo nodo asociado a 28 días (r28), corresponde a la tasa TIIE de dicho plazo,
determinada por Banxico el día de valuación.
Para el tercer y cuarto nodos, de 56 y 84 días respectivamente (r56 y r84), se aplica el método
de Bootstrapping usando tasas en composición continua a partir del nivel obtenido para el contrato
IRS 3x1. Una vez que se conocen los primeros cuatro nodos, se aplica nuevamente el Bootstrapping
tomando el contrato IRS 6x1, para obtener las tasas simples correspondientes a 112, 140 y 168 días.
Con la aplicación sucesiva del Bootstrapping se obtienen los valores correspondientes a cada IRS
hasta llegar al último contrato de 30 años, el IRSx390, por lo que el último nodo de mercado
corresponde a 10,920 días (r10920).
Paso 3. Construcción de la Curva Forward. Una vez que se tiene la curva de “ceros”, se infieren
las Tasas Forwards correspondientes a los Cortes de Cupón o revisiones Futuras. Con estas tasas se
proyectan los flujos de la pata flotante y se traen a Valor Presente con la tasa Cupón Cero
correspondiente a cada período. Los Flujos de la pata fija se proyectan con la Tasa Futura del Swap
y se traen a Valor Presente con la Tasa Cupón Cero que corresponde a cada período.
Paso 4. Cálculo de la Tasa Futura del Swap. Se puede decir que el valor y/o nivel de la Tasa
Futura de un Swap, considerando el período de vencimiento del Subyacente (2 ,5 y 10 años), está
dado por:
28*28360
1( )
m
n kk
Tasa Futura del Swap Pata Fija T FD +=
= ∑ (1.4)
Donde:
T Es la Tasa Futura del Swap negociada que determina los flujos.
m Es el número de intercambios (flujos) del Swap.
n Es el número de días por vencer del Contrato de Futuro del Swap.
FDn+k*28 Es el factor de descuento para el flujo k con n+k*28 días por vencer.
El factor de descuento de n+k*28 días por vencer se obtiene de la siguiente manera:
( )*28*28 *28360
11n kn k TIIE n kFD
++ += + (1.5)
Capítulo 1 42
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Donde:
TIIE n+k*28 Es el valor de la Curva Cero de TIIE para el día n+k*28
n+k*28 (n) Son los días por vencer del flujo a descontar que contiene los días por vencer del
Contrato de Futuro, más (k) que es el número de días que le restan por vencer al flujo del Swap.
La tasa teórica Futura de un Swap que elimina posibilidades de arbitraje (los flujos de la pata
fija traídos a valor presente son iguales a los flujos de la pata flotante), está dada por la tasa fija (T)
que satisface la siguiente expresión:
*28 28( 1)*28 *28 *28360
1 1
28360
m mn k
n k n k n kk k
F FD T FD++ − + +
= =
⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ (1.6)
Donde:
m Es el número de flujos del Swap (26, 65 o 130).
n Es el número de días por vencer del Futuro del Swap n+k*28n+(k-1)*28F Es la tasa forward correspondiente al flujo k, que comienza en n+(k-1)*28 y termina en
n+k*28 días.
FDn+k*28 Es el factor de descuento para el flujo con n+k*28 días por vencer.
T Es la Tasa Swap que determina los flujos de la pata fija.
Con esta tasa teórica se logra que el valor de la pata fija sea igual al de la pata variable y con
ello el valor de la Tasa de un Swap con inicio en una fecha futura sea cero.
1.5.2 Uso del futuro del Swap
El Futuro del Swap es una herramienta fundamental la cual abre una nueva gama de estrategias de
cobertura y arbitraje para Inversionistas Institucionales, Bancos, Casas de Bolsa e Instituciones
Gubernamentales.
El Futuro del Swap listado en MexDer servirá para hacer Arbitrajes y Cobertura, tales como:
• Replicar como ningún otro producto los Swaps de tasas de interés OTC.
Capítulo 1 43
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
• Hacer estrategias de valor relativo con bonos gubernamentales y corporativos.
• Eliminar riesgo de base.
• Simular engrapados de MexDer.
• Replicar sintéticamente portafolios y duraciones.
• Crear estrategias para instituciones financieras que no cuentan con líneas de crédito
para operar en un Swap.
• Arbitrajes entre Spread de crédito.
1.5.3 Ventajas de los futuros de Swaps de tasas de interés
Coberturas más precisas. Actualmente participantes en el mercado cubren Bonos con Swaps y/o
con engrapados de MexDer, lo cual conlleva a riesgos de base, desfases de duraciones en las
coberturas y sensibilidades y convexidades diferentes. Con los Futuros de Swaps se podrá contar
con un mecanismo de cobertura adicional y más precisa.
Facilidad de Administración y Monitoreo. Los participantes que compran o venden engrapados
valúan su posición ante el movimiento de algún Futuro de TIIE individual que compone el
engrapado, ahora los intermediarios que deseen hacer coberturas mediante Futuros de Swaps,
únicamente tendrán que valuar un solo Instrumento. Lo anterior trae mejoras administrativas y
operativas a los participantes que actualmente operan derivados referenciados a la TIIE.
Líneas de Crédito. Resuelve el problema de líneas de crédito para participantes no calificados que
deseen entrar en un Swap.
Capital Regulatorio. El consumo de capital que requiere el Futuro del Swap para instituciones
financieras es significativamente menor que el requerido por un Swap OTC.
Seguridad. Contar con una Cámara de Compensación que elimina el riesgo contraparte.
Transparencia. Precios públicos e igualdad de oportunidades para todos los participantes.
Capítulo 1 44
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Mercado Anónimo. La contraparte de todas las operaciones es Asigna, Compensación y
Liquidación.
Neteo de Posiciones. A diferencia con el Mercado OTC, las posiciones compradoras (largas) y
vendedoras (cortas) se netean y se compensan.
Otra de las principales ventajas de los Swaps de tasas de interés deriva del hecho de que
permiten “diseñar a la medida” esquemas de financiamiento para los contratantes. Transforman los
esquemas originales de pago en otros esquemas similares con distintas características de plazo y/o
tasa. De forma tal que un IRS hace posible que las contrapartes modifiquen los esquemas originales
de pago y diseñen esquemas más adecuados a sus necesidades.
Una vez analizado a profundidad el mercado de los Swaps, en el siguiente capítulo se
analizará el modelo de Black, Derman y Toy, el cual se utilizará para determinar la tasa de interés
corta de los Swaps de tasa de interés.
Capítulo 1 45
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Este capítulo está dedicado al estudio de un modelo de tasa corta, por lo cual es necesario
iniciar con un breve análisis de las teorías sobre la estructura de plazos de las tasas de interés.
Enseguida se presenta la clasificación de los modelos de tasa corta. Posteriormente se expone una
reseña histórica de los modelos que han sido antecedentes al modelo de estudio: Black, Derman y
Toy, para finalmente desarrollarlo y tener las herramientas necesarias para llevarlo a la práctica en
el siguiente capítulo.
2.1 Teorías sobre la estructura de plazos de las tasas de interés
Cualquier incursión en la teoría de modelos de tasas de interés, sin duda debe tener como etapa
inicial una mirada al desarrollo teórico-filosófico que existe sobre la estructura de plazos de las tasas
de interés, donde las ideas base son importantes; pues si esto no es claro, cualquier herramienta
matemática aplicada para modelar las tasas de interés carecerá de sentido.
Por lo tanto, en esta sección se revisarán en su marco general las principales teorías sobre la
estructura de plazos de las tasas de interés (de las que emanan prácticamente todos los modelos
matemáticos aplicados a las tasas de interés).
Las teorías sobre la estructura de plazos de las tasas de interés que se han tomado como
estándares en la Economía Financiera y que han dado lugar a los modelos de las Finanzas
Matemáticas se pueden clasificar como:
• La teoría de expectativas puras,
• La teoría de preferencias de liquidez, y
• La teoría de mercados segmentados y del nicho preferido
CAPÍTULO 2
Modelo de tasa corta de Black, Derman y Toy
Capítulo 2 46
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Estas teorías toman en cuenta: la eficiencia de mercados o qué tan rápido los mercados
reaccionan a la nueva información; los objetivos de los inversionistas y actitudes hacia el riesgo; y
las preferencias de las empresas e inversionistas por los títulos de diferentes vencimientos.
Dado que la teoría de las expectativas puras es considerada como la madre de los modelos de
tasas de interés de corto plazo merece especial atención en el presente estudio.
2.1.1 La Teoría de expectativas puras
La teoría de expectativas puras data de los primeros trabajos de Irving Fisher (1896)23 en su obra
“Apreciation and Interest” y consecuentemente se han desarrollado varios enfoques sobre ella. Esta
teoría plantea que los niveles de tasa de interés del futuro dependen en general de la tasa de interés
de corto plazo. Todas las variantes de la teoría de expectativas puras aseguran que la curva de
rendimientos se deriva directamente de las estimaciones del mercado de tasas de interés de corto
plazo futuras. Es más, la curva de rendimientos está completamente determinada por estas tasas de
interés de corto plazo esperadas.
Una de las implicaciones de amplio uso, bajo esta teoría, es que si las tasas spot de una curva
de rendimientos están dadas, las tasas de interés forward implícitas serán los estimadores insesgados
del mercado de tasas de interés spot futuras. La forma como se calcularían estas tasas spot futuras
que a la vez son iguales a las tasas de interés forward, es la siguiente:
( ) ( )( )
21 2
1
1 ,, , 1
1 ,
efef
ef
L t TF t T T
L t T+
= −+
(2.1)
Donde:
( )1 2, ,efF t T T = Tasa de interés forward efectiva al tiempo 1T t− de plazo 2 1T T−
( )1,efL t T = Tasa de interés spot efectiva de plazo 1T t−
( )2,efL t T = Tasa de interés spot efectiva de plazo 2T t−
23 Fisher, Irving. (1896), “Appreciation and Interest”, Publications of the American Economic Association, XI (August 1896) pp 23-29.
Capítulo 2 47
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
1 2,T t T t− − = Plazos en años
Si ( )( ), 1,...2iL t T i = es la tasa de interés spot anualizada (a un año base de días), entonces:
( ) ( ) ( )11 1, ,ef T t
L t T L t TB−
= (2.2)
La ecuación 2.1 es una ecuación muy conocida en la práctica y es utilizada para obtener las
tasas de interés forward entre dos tasas de interés spot o tipo cupón cero.
2.1.2 Supuestos de la Teoría de expectativas puras
El enfoque de esta teoría es para la curva de tasas de interés libre de riesgo (aunque esto no es
limitante para aplicarla a alguna otra curva de tasas) y tiene las siguientes bases o supuestos:
• Mercados eficientes (información incorporada en el precio de los instrumentos financieros).
• Instrumentos libres de riesgo de incumplimiento (Instrumentos gubernamentales).
• Agentes neutrales al riesgo.
• Se prefieren los títulos con los más altos rendimientos.
• Los agentes no prefieren algún vencimiento sobre otro.
• Mediante el proceso de arbitraje las tasas de interés en los diferentes vencimientos de los
títulos convergen a las expectativas de las tasas de interés de corto plazo futuras.
De acuerdo a lo anteriormente descrito, esta teoría no permite considerar que es importante
diferenciar mercados por plazo. Además, se tiene la suposición de que toda la información
disponible implicada en la valuación de cualquier bono está ya incorporada en su precio con lo cual
no se da pie a considerar que pueda existir una relación de sustitución de preferencias entre
mercados diferenciados por plazo, puesto que no se preferirá alguno en particular al suponerse que
todos tienen incorporadas las mismas expectativas.
Capítulo 2 48
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
2.1.3 Implicaciones de la Teoría de expectativas puras
Esta teoría conlleva a diversas implicaciones; algunas de las más importantes son:
• En el corto plazo, todos los títulos gubernamentales (“libres de riesgo”) producen la misma
tasa esperada de rendimiento sin importar su vencimiento.
• No existe sucesión alguna de inversiones que produzca mayores rendimientos esperados que
otra.
• Las tasas de interés forward implícitas de la estructura de tasas spot o tipo cupón cero de hoy
son las mejores estimaciones insesgadas del mercado de las tasas de interés que son
esperadas en el futuro.
• Las tasas de interés de largo plazo están determinadas por las expectativas de tasas futuras de
corto plazo (tasas forward).
• Las tasas de interés spot para títulos de diferentes vencimientos tienden a moverse juntas.
Al fijarse en la tasa de corto plazo actual y su expectativa futura, como determinante de la
curva completa de tasas de interés, esta teoría es la madre de los modelos de tasas de interés de corto
plazo.
La teoría de expectativas puras se ha hecho famosa debido a la facilidad de interpretar la
forma de la curva de tasa de interés sea está de cotizaciones (YTMs, Tasas Swaps, etc.) o de tasas
tipo cupón cero (con cierta composición).
En general, bajo sus supuestos se puede considerar que los cambios en la forma de la
estructura de plazos reflejan cambios en las expectativas del mercado de las tasas futuras de corto
plazo. Así, si la estructura de plazos tiene pendiente positiva, el mercado espera que las tasas de
corto plazo sean mayores en el futuro de lo que son ahora. Si la estructura de plazos tiene pendiente
negativa, el mercado espera que tasas de interés bajas prevalezcan en el futuro. Si la estructura de
plazos es constante, indica que el mercado espera más o menos lo mismo para el futuro.
No obstante, esta teoría no explicará movimientos en diferentes direcciones en las
cotizaciones o tasas de interés tipo cupón cero, ya que si una tasa de interés para un cierto plazo se
Capítulo 2 49
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espera que suba como resultado de grandes expectativas de inflación o restricciones de dinero para
ese periodo, la teoría asume que tales expectativas permanecerán durante periodos posteriores, por
ende es difícil explicar que tasas de interés a distintos plazos se muevan en diferentes direcciones.
2.2 Modelos estocásticos de tasa de interés corta
Es importante reconocer que el objetivo que persiguen, en general, los modelos de tasas de interés
corta no es elaborar pronósticos precisos de su nivel, sino explicar en términos estadísticos el
comportamiento del mercado. Así pues, estos modelos intentan describir esencialmente propiedades
estadísticas del mercado, por ejemplo, tendencia, reversión, sesgo, curtosis, colas pesadas, intervalos
de confianza, probabilidades de ocurrencia, precios promedio, etcétera. Sin que se demerite el gran
avance teórico y práctico que se ha alcanzado en la disciplina.
Dado que no existe vencimiento instantáneo en el mercado de títulos de deuda, es importante
contar con una definición práctica (operativa) de tasa corta. Se define la tasa corta como la tasa de
interés de plazo más corto disponible en el mercado de bonos cupón cero24. El supuesto de que la
tasa corta se mantiene constante, o bien que su dinámica está determinada por una función conocida
en el tiempo, difícilmente podría ser aceptado en la práctica. En general, se observa que la tasa de
interés corta tiene un comportamiento impredecible. La tasa de interés corta que prevalece hoy en el
mercado no tiene por qué ser la misma de mañana o de la semana entrante, su nivel dependerá de la
oferta y la demanda por títulos de deuda al plazo más corto disponible en el mercado.
En vista de que no es posible predecir el comportamiento de la tasa corta, podría ser
razonable modelarla a través de un proceso estocástico. Al respecto, el movimiento Browniano no
sólo describe las fluctuaciones propias del mercado en muchos casos, sino también proporciona un
conjunto de herramientas de análisis. Existen en la literatura un número importante de modelos de
tasa corta ligados al movimiento Browniano25.
24 Venegas Martínez, Francisco. (2006), Riesgos Financieros y Económicos, Productos Derivados y Decisiones Económicas Bajo Incertidumbre. Ed. Thomson, México. 25 Para un análisis más detallado sobre el movimiento Geométrico Browniano vease Venegas Martínez, Francisco. 2006. Riesgos Financieros y Económicos, Productos Derivados y Decisiones Económicas Bajo Incertidumbre. Ed. Thomson, México.
Capítulo 2 50
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El supuesto de que las tasas de interés se mantienen constantes o bien que su dinámica está
determinada por una función conocida en el tiempo, podría ser razonable para instrumentos de renta
fija de muy corto plazo; días o posiblemente semanas en períodos de estabilidad. Sin embargo, en el
mediano y largo plazo, la tasa de interés presenta un comportamiento aleatorio, en cuyo caso los
procesos de difusión proporcionan una herramienta adecuada de análisis. Más precisamente, se
supone que la tasa de interés instantánea, rt, es guiada por la siguiente ecuación diferencial
estocástica:
( , ) ( , )t t t tdr t r dt t r dWμ σ= + (2.3)
donde ( , ) ( , )t tt r y t rμ σ son funciones conocidas. El proceso estocástico tW es un proceso de
Wiener26 estandarizado, es decir, tW es una variable aleatoria normal con incrementos
independientes en t, que satisface [ ] [ ]0t tE dW y Var dW dt= = . Las funciones ( , ) ( , )t tt r y t rμ σ
determinan la evolución de la tasa spot.
Los elementos ( , )tt rμ y ( , )tt rσ son expresiones generales que en el caso de que tomen cierta
forma funcional (desde una constante hasta una ecuación estocástica independiente) dan origen a los
distintos modelos de tasa corta según lo presentado en la Tabla 5. En dicha tabla, en la columna
“Modelo”, se puede apreciar la forma funcional concreta que se ha asumido para dichos parámetros
según el autor indicado.
Es importante mencionar que los parámetros de los modelos de tasa corta suelen estimarse a
través de diversas técnicas que van desde simples regresiones, mínimos cuadrados o métodos
generalizados de momentos; sin embargo, cualquiera que sea el método, la estimación se realiza
sobre la historia observada de la tasa corta.
26 Albert Einstein propuso un modelo matemático para el movimiento errático de las partículas suspendidas en un ambiente de agitación térmica descubierto por el botánico Robert Brown en 1827. Ese modelo, que después adoptó el nombre de Proceso de Wiener es válido, según lo señaló el propio Einstein, para medios de viscosidad infinita, y ha sido reemplazado por modelos más adecuados, en lo que se refiere a la representación del Movimiento Browniano
Capítulo 2 51
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TABLA 5. Modelos de tasas de interés de corto plazo
AUTORES MODELO PARÁMETROS
Merton (1970) dr dt dzθ σ= + ,θ σ son constantes
Vasicek (1977) ( )dr k r dt dzθ σ= − + , ,k θ σ son constantes
Dothan (1978) dr rdzσ=
σ es constante
Brennan-Schwartz (1979)
1 1 2 2
1 1 2 2
r r z r z
l l z l z
dr dt d ddl dt d d
θ σ σθ σ σ
= + += + +
1 2 1 2, , , , ,r l r r l lθ θ σ σ σ σ son constantes
Constantinides-Ingersoll (1984)
32dr r dzσ=
σ es constante
Schaefer-Schwartz (1984)
( )
( )1
22
ds m s dt dz
dl ls dt ldz
μ η
σ σ
= − +
= − +
, , ,m μ η σ son contantes
CIR (1985) ( )dr k r dt rdzθ σ= − +
, ,k θ σ son constantes
Ho-Lee (1986) ( )dr t dt dzθ σ= +
σ es constante
Black-Derman-Toy (1990)
( )( ) ( )'
ln lnt
d r r dt t dzt
σθ σ
σ⎡ ⎤
= − +⎢ ⎥⎣ ⎦
θ depende del tiempo
Hull-White (1990)
( )dr k r dt rdzθ σ= − + ,θ σ dependen del tiempo
HJM (1992) ( ) ( )df t dt t dzα σ= + f es la tasa forward
Longstaff-Schwartz (1992)
( )( )
1
2
dx x dt xdz
dy vy dt ydz
γ δ
η
= − +
= − + , , , vγ δ η son constantes
Lin Chen (1994)
( )( )( )
1
2
3
dr k r dt rdz
d v dt dz
d dt dz
θ σ
θ θ θ ς θ
σ μ σ σ η σ
= − +
= − +
= − +
, , , , , ,k v θ ς μ σ η son constantes
Fuente: Elaboración propia en base a información en Venegas Martínez, Francisco. 2006. Riesgos
Financieros y Económicos, Productos Derivados y Decisiones Económicas Bajo Incertidumbre. Ed. Thomson, México.
Capítulo 2 52
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2.2.1 Clasificación de los modelos de tasa corta
La forma en que se han clasificado los modelos de tasa corta obedece a si éstos tienen sólo un factor
o variable estocástica (modelos de un factor) o más de un factor o variable estocástica (modelos
multifactoriales), haciéndose además diferenciación de aquellos modelos que utilizan la curva de
tasas de interés de cierto momento para derivar su dinámica (modelos de calibración)27.
En particular, los modelos de tasa corta, según su autor quedan clasificados como sigue:
Modelos de tasa corta de un factor:
• Modelo de Merton (1973).
• Modelo de Vasicek (1977).
• Modelo de Dothan (1978).
• Modelo de Brennan & Schwartz (1979).
• Modelo de CIR (1980).
• Modelo de Courtadon (1982).
• Modelo de Marsh & Rosenfeld (1983).
• Modelo de CIR (1985).
• Modelo de Chen & Scott (1992).
• Modelo de Constantinides (1992).
• Modelo de HJM (1992).
• Modelo de Duffie & Kan (1996).
Modelos de tasa corta multifactoriales:
• Modelo de Richard (1978).
• Modelo de Brennan & Schwartz Multifactorial (1979).
• Modelo de Langetieg (1980).
27 Bravo Pliego, Jesus. (2008), “Modelo deajuste de tasas de interés forwrad instantáneas con tendencia variable y que sigue una relación de sustitución entre mercados adyacentes”. Tesis doctoral, Tecnológico de Monterrey
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• Modelo de Longstaff & Schwartz (1992).
• Modelo de Fong & Vasicek (1992).
• Modelo de Hull & White (1994).
• Modelo de Duffie & Kan Multifactorial (1996).
• Modelo de Chen (1996).
Modelos de tasa corta de calibración:
• Modelo de Ho & Lee (1986).
• Modelo de Hull & White con Calibración (1990).
• Black, Derman & Toy (1990).
• Modelo de Black & Karansinski (1991).
2.3 Antecedentes del modelo
El marco de trabajo en el que se encuadra la presente tesis es la estructura temporal de las tasas de
interés, la cual establece la relación entre las tasas de interés proporcionadas por activos libres de
riesgo y sus diferentes plazos28. La explicación de esta estructura temporal ayuda a establecer la
relación entre la tasa de interés y el plazo, a extraer información sobre la economía y a predecir
cambios en las variables que afectan a la curva de rentabilidades.
Dentro de este marco, se emplean los modelos en tiempo continuo. El principal supuesto
que realizan estos modelos es que las tasas de interés evolucionan de modo continuo a lo largo del
tiempo. Dentro de estos modelos, siguiendo el enfoque de Moraleda (1997)29, podemos distinguir
dos categorías:
Los modelos endógenos realizan una serie de supuestos sobre la economía, sobre las
variables de estado que mueven la estructura temporal de tasas de interés y sobre el proceso
28 El plazo de un instrumento financiero con una fecha de madurez fija se define como el tiempo hasta el día del vencimiento de dicho activo. 29 Moraleda, J.M. (1997), “Avances Recientes en la Valoración de Activos Derivados en Renta Fija”, Mimeo, Erasmus University Rotterdam, TIie Netherlands.
Capítulo 2 54
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estocástico que siguen dichas variables. Según el número de variables de estado que se utiliza, se
puede distinguir entre modelos unifactoriales y modelos multifactoriales. Aunque, estos modelos
suponen que la(s) variable(s) de estado evoluciona(n) de modo continuo a lo largo del tiempo, se
pueden introducir cambios discretos en los tasas de interés mediante la existencia de saltos. A partir
de los supuestos realizados, se intenta explicar la estructura temporal de los tasas de interés y se
procede a la valoración de activos derivados. Las principales desventajas de este tipo de modelos es
que se incluyen parámetros no observables (que, por tanto, deben ser estimados) y que no se logra
un ajuste perfecto a las tasas de interés observadas en cada instante del tiempo. Así, tenemos los
siguientes casos:
Merton (1973) establece un modelo basado en un movimiento browniano aritmético,
suponiendo que la volatilidad condicional de los cambios en las tasas de interés es constante. Dicho
modelo es utilizado para modelar el precio de bonos a descuento. La desventaja de este modelo es
que las tasas de interés no presentan reversión a la media30.
Black and Scholes (1973) es el trabajo pionero en valoración de opciones sobre acciones.
Estos autores modelizan el cambio en la tasa de interés mediante un movimiento geométrico
browniano. Bajo este supuesto, un argumento basado en una cobertura dinámica permite obtener el
precio de una opción europea cuyo activo subyacente es una acción.
Cox (1975) postula un modelo de elasticidad de varianza constante, el cual engloba como
casos particulares a los modelos de Black and Scholes (1973), Dothan (1978) y CIR (1980).
Vasicek (1977) modeliza las tasas de interés según un proceso con reversión a la media. Este
autor demuestra que la ausencia de oportunidades de arbitraje implica que el precio de mercado del
riesgo es independiente del vencimiento del activo a valorar. El modelo propuesto implica una
distribución normal para las tasas de interés que, por tanto, pueden alcanzar valores negativos. Este
hecho podría originar una oportunidad de arbitraje pero la posibilidad de rentabilidad negativa en la
potencial inversión a realizar anula dicha oportunidad. Este modelo es empleado para valorar bonos,
opciones sobre bonos, futuros y opciones sobre futuros y, al igual que Merton (1973), implica 30 Tal como indica Hull (1997), este rasgo de los tipos de interés tiene poderosos argumentos económicos a favor: cuando los tipos de interés son altos, hay menos demanda por parte de los prestatarios lo cual induce un descenso en el valor de dichos tipos de interés ocurriendo el caso contrario cuando los tipos de interés son bajos.
Capítulo 2 55
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volatilidad condicional constante. Las principales ventajas de este modelo son su simplicidad y su
tratabilidad analítica pues permite la obtención de expresiones cerradas para el precio de diversos
activos derivados.
Dothan (1978) presenta un modelo lognormal en el que las tasas de interés no presentan
reversión a la media. Este modelo es utilizado para valorar bonos a descuento.
Brennan and Schwartz (1980) utilizan un modelo que refleja reversión a la media para
valorar bonos convertibles y opciones sobre bonos a descuento. Este modelo, al igual que Black and
Scholes (1973) y Dothan (1978), establece que la desviación típica de los cambios en las tasas de
interés es proporcional al nivel de dichas tasas.
El modelo de CIR (1980) establece una varianza muy sensible al nivel de las tasas de interés
y se aplica al estudio de activos de interés variable. Este modelo también es empleado por
Constantinides and Ingersoll (1984) para valorar bonos en el marco de una economía con impuestos.
CIR (1985a) es el primer modelo de equilibrio general que surge en la literatura. Los
principales factores de este modelo son procesos productivos y las decisiones de inversión y
consumo de los agentes económicos. Trabajando con estos factores, se determinan endógenamente
los precios de los activos y sus propiedades estocsticas. Tras establecer una ecuación diferencial que
deben verificar los precios de los activos en estudio, la solución de dicha ecuación permite obtener
el precio de equilibrio de un determinado activo en función de las variables reales presentes en la
economía.
CIR (1985b) suponen que las preferencias de los inversores son logarítmicas y que la
evolución de las tasas de interés vienen determinadas por un proceso en el que la volatilidad
condicional de los cambios de la tasa de interés es proporcional al nivel de dichas tasas. Se extiende
el modelo a un mundo con inflación en el que el nivel exógeno de precios no tiene, en términos
reales, influencia sobre el equilibrio y, por tanto, se da el supuesto de neutralidad monetaria. Este
modelo es completamente consistente, determina de modo exógeno el precio de mercado del riesgo,
es tratable analíticamente y, al igual que Vasicek (1977) y Brennan and Schwartz (1980), presenta
reversión a la media. La principal desventaja de este modelo se deriva del supuesto de agentes
Capítulo 2 56
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económicos con una función de utilidad logarítmica. Como consecuencia de este supuesto, se
deduce que las decisiones sobre las inversiones futuras son independientes de la riqueza actual de
los agentes. Por tanto, esta miopía en los agentes puede implicar restricciones sobre los movimientos
futuros de las tasas de interés.
Constantinides (1992) establece un proceso para las tasas de interés nominales en el que la
derivada es una función no lineal de la tasa de interés y en el que la volatilidad tiene reversión a la
media. Las ventajas de este modelo son que (1) se permite que el signo de la prima de riesgo varíe
en función de los estados de la naturaleza y/o en función del bono considerado, (2) refleja las
distintas formas que la curva de rentabilidades puede presentar (3) permite obtener de forma cerrada
el precio de bonos a descuento y de opciones europeas sobre bonos y (4) puede estimarse y
contrastarse sin necesidad de hacer supuestos sobre la relación entre las variables reales y el nivel de
precios.
Chen & Scott (1992) trabajan con un proceso cuya derivada es lineal y cuya difusión
depende del nivel de las tasas de interés. Este proceso tiene como casos particulares algunos de los
modelos más utilizados en la literatura (Black and Scholes (1973), Vasicek (1977), Brennan and
Schwartz (1980), CIR (1985a, b)). Los resultados de la estimación realizada por estos autores
sugieren que la volatilidad del proceso es muy sensible al nivel de las tasas de interés.
Duffie and Kan (1996) proponen un modelo multifactorial en el que las rentabilidades
asociadas a unos bonos cupón cero con determinados vencimientos siguen un proceso multivariante
markoviano con volatilidad estocástica. Dicho modelo, conocido como exponencial-afín, establece
que estas rentabilidades son funciones afínes de las variables de estado. La versión unifactorial de
este modelo refleja que las tasas de interés presentan reversión a la media al tiempo que la
volatilidad también tiende, a largo plazo, a un nivel constante.
A su vez, los modelos multifactoriales suponen la existencia de más de una variable de
estado en la estructura temporal de las tasas de interés y surgen con el objetivo de (a) evitar las
características poco realistas relacionadas con los modelos unifactoriales y (b) explicar una mayor
variedad de movimientos en la evolución temporal de las tasas de interés.
Capítulo 2 57
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Así, Richard (1978) y CIR (1985b) emplean la tasa de interés (instantánea) real que se espera
a corto plazo, r, y la tasa de inflación (anticipada) instantánea a corto plazo, π, como factores.
Brennan and Schwartz (1979) utilizan como variables de estado la tasa de interés instantánea y la
tasa de interés a largo plazo. Análogamente, Schaefer and Schwartz (1984) consideran un modelo en
el que las dos variables de estado vienen dadas por la tasa de interés a largo plazo (asociado a un
bono perpetuo) y en el diferencial de tasas de interés (“spread”).
Longstaff and Schwartz (1992) desarrollan un modelo de equilibrio general en el que las dos
variables de estado que se consideran son la tasa de interés a corto plazo y su volatilidad
condicional. Este modelo permite reflejar el nivel y la volatilidad de las tasas de interés observadas.
Análogamente, Chen and Scott (1992) proponen un modelo bifactorial en el que ambos factores
siguen el proceso de CIR (1985b). La suma de estos dos factores determina la tasa de interés
instantánea aunque el primer factor explica la mayor parte de la variación de las tasas de interés a
corto plazo. Por otro lado, el segundo factor se comporta como un paseo aleatorio y se relaciona con
la tasa de interés a largo plazo. En la versión bifactorial de Duffie and Kan (1996), ambos factores
corresponden a las rentabilidades de cualquier pareja de bonos a descuento.
Finalmente, Chen (1996) ha propuesto un modelo con tres factores: (1) la tasa de interés a
corto plazo actual, (2) la media a corto plazo de la anterior variable y (3) la volatilidad actual de la
tasa de interés a corto plazo. Mediante este modelo, es posible explicar los movimientos presentes
en el nivel, pendiente y curvatura de la estructura temporal de las tasas de interés. Las variables de
estado presentadas en este trabajo se modelan como procesos CIR y, bajo este supuesto, se deriva
una fórmula analítica para el precio de diferentes activos derivados.
Por otro lado, los modelos exógenos o de calibración, toman como dada la estructura
temporal observada y, a partir de ella, se derivan los movimientos futuros de las tasas de interés de
modo que no existan oportunidades intertemporales de arbitraje. En estos modelos no es necesario
estimar o realizar supuestos sobre el precio de mercado del riesgo31 asociado a las variables de
estado del modelo. El inconveniente que presentan estos modelos es que, siendo necesaria la
31 El precio de mercado del riesgo indica el incremento en la rentabilidad esperada de un bono por cada unidad adicional de riesgo. En contraste con los modelos exógenos, en los modelos endógenos siempre es necesaria la estimación del precio de mercado del riesgo. Ello es debido a que la alta correlación existente entre los tipos de interés correspondientes a diferentes vencimientos imposibilita la construcción de una cartera de cobertura similar a la presentada en Black and Scholes (1973)
Capítulo 2 58
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
estimación (calibración) diaria de la estructura temporal de las tasas de interés, no está garantizada
la consistencia entre las diferentes estimaciones obtenidas. Algunos ejemplos de estos modelos son:
Ho and Lee (1986) es el primer modelo que toma como dada la estructura temporal de las
tasas de interés. El modelo propuesto se enmarca en una economía en tiempo discreto y tiene las
siguientes características: (1) se formula en base al proceso binomial que siguen los precios de los
bonos cupón-cero, (2) se basa en supuestos estándar de los mercados de capitales perfectos y (3) se
caracteriza por dos parámetros, que indican probabilidad neutral al riesgo y diferencial entre dos
funciones de perturbación (que reflejan la variabilidad de las tasas de interés), respectivamente. Bajo
este modelo, la curva de tasas de interés forward se mueve paralelamente en cada período. Este
modelo puede interpretarse como una extensión del proceso binomial analizado en Cox, Ross and
Rubinstein (1979) y es utilizado para calcular el precio de una clase general de derivados (la cual
incluye futuros sobre tasas de interés y opciones sobre bonos) en un cierto vértice del árbol
binomial. Mediante recursión hacia atrás, se obtiene el precio inicial de estos activos derivados. Las
ventajas de este modelo se derivan de su enfoque práctico pues enfatiza todos los aspectos
relacionados con su implementación computacional. Además, se utiliza toda la información de la
estructura temporal para realizar la valoración de activos derivados. Por otro lado, sus desventajas
son: (1) toda la estructura de volatilidad se modeliza mediante un único parámetro32, (2) no se
incorpora reversión a la media en las tasas de interés y (3) las tasas de interés pueden alcanzar
valores negativos.
Black, Derman, and Toy (1990) desarrollan un modelo que elimina alguno de los
inconvenientes de Ho and Lee (1986). Estos autores proponen un modelo unifactorial (basado en la
tasa de interés a corto plazo) que posibilita, mediante un árbol binomial, el ajuste a las tasas de
interés observados y a las volatilidades observadas de todas las rentabilidades de bonos a descuento.
En este modelo, la tasa de interés a corto plazo sigue una distribución lognormal lo cual implica que
(1) este modelo no acepta tasas de interés negativas y (2) es difícil obtener una solución cerrada.
En la misma línea, Black and Karasinski (1991) también suponen que las tasas de interés a
corto plazo siguen una distribución lognormal con reversión a la media. Este modelo depende de
32 En relación con esta cuestión, estos autores sugieren estimar la estructura temporal de volatilidades mediante las volatilidades implícitas de los precios de derivados como caps y floors.
Capítulo 2 59
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tres “inputs”: la tasa de interés a largo plazo, el parámetro de reversión a la media y la volatilidad de
los cambios locales del logaritmo de las tasas de interés. Mediante estos valores y un árbol
trinomial, se logra el ajuste a la curva de rentabilidades observadas, a la volatilidad de dichas
rentabilidades y a la curva de caps.
Hull-White (1990) combina el enfoque de exogeneidad de la estructura temporal con la
especificación de reversión a la media. Estos autores extienden los modelos de Vasicek (1977) y
CIR (1985) mediante parámetros variables en el tiempo y demuestran que ambas extensiones son
consistentes con las tasas de interés observadas y con las volatilidades en dichas tasas de interés.
Una vez que se ha dado un breve pero acertado resumen de los diferentes modelos que
aluden a la dinámica de la tasa corta, se pasará a desarrollar de forma detallada el modelo principal
de este estudio.
2.4 Modelo de tasa corta de Black, Derman y Toy
En 1990, Fisher Black, Emanuel Derman y William Toy (BDT) publican el artículo “A One-Factor
Model of Interest Rates and its Application to Treasury Bond Options”33 en el “Financial Analysts
Journal”. En la metodología propuesta por BDT, la tasa corta sigue una distribución lognormal y la
valuación de bonos se lleva a cabo mediante el uso de árboles binomiales. La curva de rendimiento
actual se obtiene a partir de una estructura inicial de plazos de la tasa de interés (proveniente del
mercado) y de una estructura estimada de plazos de la volatilidad, lo cual en cierto sentido es
comparable con los modelos de Ho y Lee (1986) y Hull y White (1990) en donde se requiere una
curva inicial de rendimiento y estimar el parámetro de volatilidad.
El modelo BDT parte de tres hipótesis básicas. Primera, la tasa de interés a corto anualizado
es la única variable que determina los precios de todos los activos; los tantos de rendimiento de
todos los bonos están perfectamente correlacionados, dado que se considera que es un único factor
el que determina la dinámica de los mismos; la tasa a corto se distribuye como una lognormal en
33 Black, F., E. Derman, and W. Toy. (1990), “A One-Factor Model of InterestRates and its Application to Treasury Bond Options”, Financial Analysts Journal, Vol. 46, No. 1 pp. 33-39
Capítulo 2 60
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cualquier momento del tiempo. Segunda, se esta en un mundo neutral al riesgo; no existen
impuestos ni costes de transacción en el mercado. Tercera, los inputs del modelo son la curva de
tasas cupón cero o ETTI y la estructura temporal de volatilidades de estos activos cupón cero.
2.4.1 Dinámica de la tasa corta de Black, Derman y Toy
En el modelode BDT la tasa sigue un proceso lognormal, lo que evita que ésta se torne negativa. El
modelo BDT se puede obtener del modelo de Vasicek al sustituir la tasa corta por su logaritmo. Es
también importante destacar que para ciertas especificaciones de la función de la volatilidad, la tasa
instantánea puede no presentar reversión a la media. Asimismo, debido a que la tasa corta sigue un
comportamiento lognormal, no es posible, en general, contar con una solución analítica del precio
del bono para un vencimiento dado. En este sentido, Black, Derman y Toy han propuesto un
algoritmo de valuación de bonos a descuento.
El modelo original de BDT es desarrollado en tiempo discreto. A continuación se presenta
una versión en tiempo continuo. Suponiendo que la dinámica de la tasa corta es guiada por la
siguiente ecuación:
t tWt tr eσμ= (2.4)
donde tμ y tσ son, respectivamente, la media y la volatilidad de la tasa corta al tiempo t y 0( )t tW ≥ es
un movimiento Browniano estándar definido sobre un espacio fijo de probabilidad con una
filtración, ( )0, , ( ) ,t tF F ≥Ω Ρ . La ecuación (2.4) puede reescirbirse como:
ln t t tWtr e μ σ+= (2.5)
Otra forma alternativa de expresar la ecuación anterior esta dada por
ln lnt t t tr Wμ σ= + (2.6)
A partir de lo cual se obtiene que
Capítulo 2 61
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
ln lnt tt
t
rW μσ−
= (2.7)
Es decir, la diferencia logarítmica de rt con su media, por unidad de la volatilidad se
distribuye como una variable aleatoria normal con media cero y varianza t. Una simple aplicación
del lema de Itô al logaritmo de la tasa corta conduce a
2
12 2
ln ln lnln t t tt t
t t
r r rd r dt dWt W W
⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
(2.8)
Observese también que
ln lnt t tt
r Wt t t
μ σ∂ ∂ ∂= +
∂ ∂ ∂ (2.9)
ln tt
t
rW
σ∂=
∂ (2.10)
y
2
2
ln 0t
t
rW
∂=
∂ (2.11)
Si se sustituyen los resultados parciales (2.9), (2.10) y (2.11) en (2.8), se obtiene que
ln ln lnln t t t tt t t
t
rd r dt dWt tμ μ σ σ
σ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ − ∂
= + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦ (2.12)
Por otro lado, es facil verificar que
ln1 t t
t t tσ σ
σ∂ ∂
=∂ ∂
(2.13)
Por lo tanto, después de sustituir la ecuación (2.13) en (2.12) se sigue que
Capítulo 2 62
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( )ln lnln ln lnt tt t t t td r r dt dW
t tμ σ μ σ∂ ∂⎡ ⎤= − − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
(2.14)
En conclusion, la ecuación diferencial estocástica (2.14) representa la dinámica del logaritmo
de la tasa corta en el modelo BDT. En ocasiones es conveniente introducir la siguiente notación:
ln ,
ln
ln
ln
tt
t t
tt
t t
at
b
t
X r
σ
μ
μγ
∂= −
∂
=
∂=
∂
=
(2.15)
Después de sustituir las expresiones anteriores en la ecuación (2.14) se tiene que
[ ]( )t t t t t t tdX a b X dt dWγ σ= + − + (2.16)
Se debe observar en particular, que si tσ y tμ son constantes, entonces 0t ta γ= = . En este
caso, la ecuación (2.16) no presenta reversion a la media y, en este caso, la ecuación (2.14) se
transforma en:
ln t t td r dWσ= (2.17)
lo que conduce a
0 0ln ln ( )
t t
t t t
Wt o
r r W W
r eσ
σ
γ
= + −
= (2.18)
Por otro lado, si se supone que la volatilidad decae a una tasa positiva, entonces se producirá
el efecto de reversion de Xt a bt. Por ejemplo se puede suponer que la volatilidad decae como
0ta
t eσ σ −=
Capítulo 2 63
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
donde a>0. De esta manera,
ln t atσ∂
− =∂
Por lo tanto,
[ ]( )t t t t t tdX a b X dt dWγ σ= + − + (2.19)
Si además se supone que el logaritmo de la media de la tasa corta es constante, es decir
lnt
bμ = , o bien bt eμ = , entonces:
ln 0tt t
μγ ∂= =
∂
Por lo que la ecuación (2.19) se transforma en:
( )t t t tdX a b X dt dWσ= − + (2.20)
Esta ecuación es, claramente, del tipo de Vasicek en la variable Xt. A partir de (2.20) es
posible estimar a través de una regresion lineal simple, los parámetros a y b. Si los estimadores de
estos parámetros se denotan mediante a y b , respectivamente, entonces:
att oeσ σ −=
y
bt eμ =
Por lo tanto,
0b at tE
tr e eσ −= + (2.21)
donde (0,1)E N∼
Capítulo 2 64
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
2.4.2 El algoritmo de BDT para calcular el precio de un bono cupón cero y la tasa
corta mediante árboles binomiales
A continuación se presenta el algoritmo de BDT para calcular el precio de un bono cupón
cero a diferentes plazos y para calcular la tasa corta en distintos precios a través de árboles
binomiales, con base en una estructura inicial de plazos de la tasa de interés y una estructura
estimada de plazos de la volatilidad. Para ello, se supone que la tasa corta sigue una distribución
lognormal, en particular, sigue una ecuación de la forma (2.4). Con el propósito de ilustrar el
funcionamiento del algoritmo, se supone un horizonte de valuación de cuatro años. Para iniciar el
algoritmo se requiere de la información que aparece en la Tabla 6.
TABLA 6. Información inicial para la construcción del algoritmo BDT
ESTRUCTURA DE PLAZOS INICIALES
No. de años para
El vencimiento
Rendimiento
R(0,T)
Volatilidad
σ (0,T)
1
2
3
4
R(0,1)
R(0,2)
R(0,3)
R(0,4)
σ (0,1)
σ (0,2)
σ (0,3)
σ (0,4)
Fuente: Elaboración propia
En el algoritmo de BDT, se supone que al final del último periodo el bono cupón cero
siempre paga una unidad monetaria, independientemente de la trayectoria tomada en el árbol. De
esta manera, el precio del bono se calcula yendo hacia atrás, es decir, se trae a valor presente el valor
esperado del precio del bono con la tasa de interés correspondiente. La tasa corta es anual y ésta se
calcula yendo hacía adelante. A continuación se ilustra este procedimiento en detalle.
Capítulo 2 65
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Paso 1 del algoritmo de BDT
En este primer paso, identificado con el superíndice “(1)”, se determina el precio de un bono
cupón cero hoy, 0n = , y que vence en un año, 1T = . El precio del bono, hoy, es denotado por (1)0B .
Los dos posibles precios del bono en 1n T= = , se denotan mediante ( ) ( )1 1u dB y B . El árbol binomial
inicial se muestra en la Figura 2-1.
FIG. 2-1 Árbol Binomial Inicial
( )10B
( )1uB
( )1dB
p
1 p−p
Si se supone que el bono siempre paga una unidad monetaria en el vencimiento, entonces es
posible calcular ( )10B . En efecto, sean ( )1 1uB = y ( )1 1dB = , con probabilidades de ocurrencia p y
1 p− , respectivamente. De ahora en adelante, todas las literales que tengan una tilde serán
consideradas como cantidades conocidas. Claramente el precio esperado dentro de un año, en 1T = ,
es:
( ) ( ) ( )1 1 1(1)0 (1 ) 1u dE B I pB p B⎡ ⎤ = + − =⎣ ⎦ (2.22)
donde (1)I es la información disponible en 1T = . Este valor esperado traído a valor presente,
proporciona el precio del bono hoy, 0n = , es decir,
(1) (1)0(1)
01
1 (0,1) 1 (0,1)
E B IB
R R
⎡ ⎤⎣ ⎦= =+ +
(2.23)
Capítulo 2 66
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Donde (0,1)R es la tasa del bono que vence dentro de un año. Así (1)0 (0,1)B B= tiene ahora
un valor conocido. El árbol binomial para el pecio de un bono cupón cero que al final del primer
periodo paga una unidad monetaria, se muestra en la Figura 2-2.
FIG. 2-2 Precio de un bono cupón cero que vence en un año
( )10B
( )1 1uB =
( )1 1dB =
p
1 p−
Paso 2 del algoritmo de BDT
A continuación se determina el precio, hoy, de un bono cupón cero que vence dentro de dos
años, (2)02,T B= , a partir de precios futuros. Para relacionar los precios futuros con los precios de
hoy se utiliza un árbol binomial de dos periodos. En la Figura 2-3 se muestra el árbol binomial de
precios de un bono cupón cero. En este caso, hay dos periodos de 0n = a 1n = y de 1n = a 2n = ,
así como una fecha de vencimiento 2T = .
FIG. 2-3 Árbol binomial de dos periodos del precio de un bono cupón cero
p
1 p−
p
1 p−
1 p−
p
( )20B
( )2uB
( )2dB
( )2 1uuB =
( ) ( )2 2 1ud duB B= =
( )2 1ddB =
Se observa que en la Figura 2-3 no se conocen los precios del bono para 0n = y 1n = , es
decir, no se conocen (2) (2) (2)0 , ,u dB B y B , los cuales se tienen que determinar a través del algoritmo.
A partir de la estructura de plazos de la tasa de interés (Tabla 6), se calcula el precio de un bono
Capítulo 2 67
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
cupón cero, hoy, con vencimiento dentro de dos años, (2)0B . De esta manera y, como era de esperarse
se tiene que,
( ) ( ) ( )2 2 2(2) (2) 2 2
0 2 (1 ) (1 ) 1uu ud ddE B I p B p p B p B⎡ ⎤ = + − + − =⎣ ⎦ (2.24)
Así
( )
( )
(2) (2)0(2)
0 2
2
1 (0,2)
11 (0,2)
E B IB
R
R
⎡ ⎤⎣ ⎦=+
=+
(2.25)
por lo que (2)0 (0, 2)B B≡ tiene ahora un valor conocido. A continuación se calcula el precio del bono
dentro de un año cuando éste vence en dos años. Para ello, se necesita determinar la tasa corta
vigente dentro de un año. En la figura 2-4 se muestra el árbol binomial de los precios de un bono
cupón cero que vence en 2T = .
FIG. 2-4 Árbol binomial de dos periodos para un bono cupón cero
p
1 p−
p
1 p−
1 p−
p
( )2uB
( )2dB
( )2 1uuB =
( ) ( )2 2 1ud duB B= =
( )2 1ddB =
( )20B
Aquí, se debe destacar que todos los precios ( ) ( ) ( )2 2 2(2)
0 , ,uu ud ddB B B y B son conocidos. También se
debe observar que para calcular (2) (2)u dB y B se requieren los valores de la tasa corta u dr y r . El
árbol binomial para la tasa corta se presenta en la Figura 2-5.
Capítulo 2 68
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
FIG. 2-5 Árbol binomial de un periodo para la tasa corta
( )0,1Rp
1 p−
ur
dr
A continuación se procede como en la ecuación (2.22) a fin de determinar el precio esperado
del bono en un año, esto es,
(2) (2) (2) (2)0 (1 )u dE B I B p B p⎡ ⎤ = + −⎣ ⎦ (2.26)
El valor presente del valor esperado del precio del bono dentro de un año cuando tiene
vencimiento en dos años satisface
(2) (2)
(2) (1 )1 (0,1)
u du
B p B pBR
+ −=
+ (2.27)
donde (0,1)R es el rendimiento de un bono que vence dentro de un año. El valor (2)0B ya fue
calculado en la ecuación (2.25). Observando que (2) (2)u dB y B son cantidades desconocidas, para
calcularlas se procede de la siguiente manera. En un árbol binomial estándar se tiene que
(0, ) /T T nur eσ= (2.28)
y
(0, ) /T T ndr e σ−= (2.29)
donde n representa el número de periodos en el árbol binomial de la tasa corta y T la fecha de
vencimiento del bono. Después de tomar el cociente entre u dr y r , se tiene que
ln 2 (0, )u
d
r TTr n
σ⎛ ⎞
=⎜ ⎟⎝ ⎠
(2.30)
Capítulo 2 69
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Si se despeja (0, )Tσ de la ecuación anterior, se obtiene
1(0, ) ln2 /
u
d
rTrT n
σ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
(2.31)
asi,
( )( )0, 2 /T T nu dr r eσ= (2.32)
Observese, en particular, que si 2T n= = , se obtiene
( ) 120, 2 ln u
d
rr
σ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
(2.33)
o bien
( )2 0,2u dr r e σ= (2.34)
Por otro lado, se debe observar que el precio de un bono cupón cero ( )2uB dentro de un año
que paga una unidad monetaria dentro de dos años, traído a valor presente a una tasa corta, ur , está
dada por:
( )2 11u
u
Br
=+
(2.35)
Análogamente, para ( )2dB ,
( )2 11d
d
Br
=+
(2.36)
Si se sustituyen (2.35) y (2.36) en la ecuación (2.27), se tiene que
Capítulo 2 70
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( )
2 2(2)0
1 1
(1 )1 0,1
1 1 11 0,1
u d
u d
B p B pBR
r p r pR
− −
+ −=
+
+ + + −=
+
(2.37)
Si ahora se sustituye (2.34) en la ecuación (2.37), se sigue que
( ) ( ) ( )
( )
1 12 (0,2)(2)0
1 1 11 0,1
d dr e p r pB
R
σ − −+ + + −=
+ (2.38)
Hay que recordar que ( ) (2)00,1 , (0, 2)R B y σ son valores conocidos. Por lo que la ecuación
(2.38) se puede reescribir como una ecuación cuadrática homogénea
2 0d dr br c+ + = (2.39)
donde b y c son cantidades conocidas. Esta ecuación, para un valor fijo de p , proporciona, una
solución de dr , denotada por dr . Al sustituir este valor en la ecuación (2.34), se tiene que
2 (0,2)u dr r e σ= (2.40)
es también una cantidad conocida. Con los valores de u dr y r calculados en (2.39) y (2.40),
respectivamente se calculan los precios ( ) ( )2 2u dB y B de (2.35) y (2.36), mediante
(2) (2)1 11 1d u
d u
B y Br r
= =+ +
(2.41)
El árbol binomial de dos periodos de los precios de los bonos cupón cero, completamente
determinados, se muestran en la figura 2-6
Capítulo 2 71
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
FIG. 2-6. Árbol binomial de dos periodos del precio de un bono cupón cero
( )2 1uuB =
( ) ( )2 2 1ud duB B= =
( )2 1ddB =
( )20B
p
p
p1 p−
1 p−
1 p−
( )2uB
( )2dB
Ahora se observa que ya se conocen los precios del bono para 0 1n y n= = con el supuesto de que
en 2T = el bono vence pagando una unidad monetaria. Además, se han calculado los valores de la
tasa corta como se muestra en el árbol binomial de la figura 2-7
FIG. 2-7 Árbol binomial de dos periodos de la tasa corta
( )0,1Rp
1 p−
ur
dr
Paso 3 del algoritmo de BDT
A continuación se construye el árbol binomial para dos periodos de la tasa corta, la cual es la
tasa de interés de plazo a un año. El árbol binomial para dos periodos se presenta en la figura 2-8
FIG. 2-8 Árbol binomial de dos periodos para la tasa corta
( )0,1R
ur
dr
p
p
p1 p−
1 p−
1 p−
uur
ud dur r=
ddr
Capítulo 2 72
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Observese que ahora hay tres tasas cortas desconocidas ,uu ud ddr r y r , y solo se cuenta con
dos fuentes de información: la table 6 y las tasas ,u dr r . Para resolver este problema, se consideran
los supuestos básicos del modelo BDT, en cuyo caso
( )2 22 2
1 10,3 ln ln2 2
uu ud
ud dd
r rr r
σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(2.42)
lo cual implica
ln lnuu ud
ud dd
r rr r
⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.43)
en consecuencia
2
uddd
uu
rrr
= (2.44)
El árbol binomial de tres periodos del precio de un bono cupón cero se muestra en la figura
2-9. Se debe observar que no se conocen los precios de los bonos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 30 , , , , ,u d uu ud ddB B B B B y B
FIG. 2-9 Árbol binomial de tres periodos
( )3 1uuuB =
( )3 1uudB =
( )3 1uddB =
( )3 1dddB =
p
p
p
p
p
p
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
( )30B
( )3uB
( )3dB
( )3uuB
( )3udB
( )3ddB
Al igual que en el caso del árbol binomial de dos periodos, se determina el precio del bono
cupón cero al inicio del árbol binomial. En este caso, el bono paga una unidad monetaria al final del
Capítulo 2 73
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
tercer año. El precio del bono en el presente se calcula trayendo a valor presente dicha unidad
monetaria, esto es,
( )
( )
( )
3 (3)0(3)
0 3
3
1 (0,3)
11 (0,3)
E B IB
R
R
⎡ ⎤⎣ ⎦=+
=+
(2.45)
De esta manera (3)
0B es ahora una cantidad conocida. Por otro lado, observe que los precios
de los bonos cupón cero ( ) ( ) ( )3 3 3, ,uu ud ddB B y B dentro de dos años, 2n = , y que pagan una unidad
monetaria dentro de tres años, 3T = , traídos a valor presente al segundo año, 2n = , a las tasas
,uu ud ddr r y r , respectivamente, están dados por
( ) ( ) ( )3 3 31 1 1,1 1 1uu ud dd
uu ud dd
B B y Br r r
= = =+ + +
(2.46)
Asimismo, el precio del bono en el primer año en terminos del precio del bono del segundo
año y traído a valor presente en el primer año con la tasa corta calculada en el paso 2, es igual a:
( )( ) ( ) ( )3 3
3 11
uu udu
u
pB p BB
r+ −
=+
(2.47)
y
( ) ( ) ( ) ( )3 33 1
1dd ud
dd
p B pBB
r− +
=+
(2.48)
Además, el valor esperado del precio del bono en el primer año, 1n = , traído a valor
presente debe ser igual al precio, hoy, del bono cupón cero, es decir,
( ) ( ) ( )
( )
3 3(3)0
11 0,1
u dpB p BB
R+ −
=+
(2.49)
Capítulo 2 74
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Si al bono le restan dos años para vencer, sus posibles rendimientos, en cada estado de la
naturaleza, u dv y v deben satisfacer las siguientes relaciones:
( )
( )3
21
1u
u
Bv
=+
(2.50)
y
( )
( )3
21
1d
d
Bv
=+
(2.51)
Si se despeja el rendimiento en las ecuaciones (2.40) y (2.41), esto es,
( )3
1 1uu
vB
= − (2.52)
y
( )3
1 1dd
vB
= − (2.53)
entonces al utilizar la ecuación (2.31), se tiene que la aplicación de ( )0,3σ para 3n T= = satisface
( ) 120,3 ln u
d
vv
σ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
(2.54)
Por lo tanto
( )2 0,3u dv v e σ= (2.55)
Si se sustituye la ecuación (2.53) y (2.55), se obtiene
( )( )2 0,3
3
1u
d
v eB
σ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
(2.56)
Ahora es posible expresar ( )3uB en terminos de ( )3
dB al sustituir la ecuación (2.56) en la
ecuación (2.50), es decir,
Capítulo 2 75
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
( )
( )
( )( ) ( )1
2
32
23 2 0,3
11
1
1 1
uu
d
Bv
B e σ−
=+
=⎡ ⎤⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
(2.57)
Por otra parte, si se sustituyen (2.40), (2.61) y (2.55) en la ecuación (2.49), se sigue que
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
3 3(3)0
2 2
2 22 0,3
11 0,1
1 1 11 0,1
1 1 1
1 0,1
u d
u d
d d
pB p BB
R
p v p vR
p v e p v
R
σ
− −
− −
+ −=
+
+ + − +=
+
+ + − +=
+
(2.58)
Se debe observar que si se fija el valor de p en la ecuación anterior todo, en (2.58), es
conocido, excepto dv . La ecuación (2.58) se puede expresar como un polinomio de cuarto grado en
dv igualado a cero, es decir,
4 3 21 1 1 1 0d d d dv a v b v c v d+ + + + = (2.59)
donde 1 1 1 1, ,a b c y d son cantidades conocidas. Al resolver esta ecuación se obtiene un valor dv , el
cual se sustituye en (2.58), obteniendo con esto que
( )2 0,3u dv v e σ= (2.60)
Una vez que se tienen los valores u dv y v , estos se sustituyen en la ecuación (2.50) y (2.51),
respectivamente, de tal manera que:
Capítulo 2 76
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
( )
(3)2
11
uu
Bv
=+
(2.61)
y
( )
(3)2
11
dd
Bv
=+
(2.62)
A continuación se determinan los valores de ,uu ud ddr r y r . Para ello, se utilizan las
ecuaciones (2.47) y (2.48) expresadas como
( ) ( ) ( ) ( )3 3(3)1 1u u uu udr B pB p B+ = + − (2.63)
y
( ) ( ) ( ) ( )3 3(3)1 1d d dd udr B pB p B+ = + − (2.64)
donde (3) (3)u dB y B son valores conocidos. Si se susutituyen las expresiones para ( ) ( ) ( )3 3 3, ,uu ud ddB B y B
que aparecen en la ecuación (2.46), las dos ecuaciones anteriores se pueden reescribir en una sola
ecuación que considera a
( ) ( )2 0,3 2 0,3uu ud dd udr r e y r r eσ σ−= = (2.65)
Además, a partir de (2.56) se tiene que
2uu dd udr r r=
Al resolver la ecuación resultante en udr , después de realizar todas las sustituciones
planteadas, se obtiene un polinomio de segundo grado en udr igualado a cero:
22 2 0ud udr b r c+ + =
donde 2 2b y c son cantidades conocidas. La solución de esta ecuación cuadrática proporciona un
valor udr . Posteriormente, se sustituye este valor de udr en (2.65), de tal manera que
Capítulo 2 77
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
( )2 0,3uu udr r e σ= (2.66)
y
( )2 0,3dd udr r e σ−= (2.67)
Los tres posibles valores que se han obtenido de la tasa corta, ,uu ud ddr r y r , se sustituyen en
las ecuaciones que aparecen en (2.46), esto es,
( )3 1 ,1uu
uu
Br
=+
(2.68)
( )3 11ud
ud
Br
=+
(2.69)
y
( )3 11dd
dd
Br
=+
(2.70)
Por lo tanto, ya se conocen los valores ( ) ( ) ( )3 3 3,uu ud ddB B y B . Los árboles binomiales de la tasa
corta para dos periodos34 y del precio del bono cupón cero para tres periodos se muestran,
respectivamente en las figuras 2-10 y 2-11.
FIG. 2-10 Árbol binomial de dos periodos de la tasa corta
( )0,1R
ur
dr
p
p
p1 p−
1 p−
1 p−
uur
ud dur r=
ddr
34 Por ejemplo, para el periodo dos, hay dos nodos: aumento y reducción de las tasas de interés. Para el periodo tres hay 4 alternativas que se reducen a 3 nodos: 1) una vez que las tasas aumentaron en el periodo 2 vuelvan a aumentar, 2) si disminuyeron vuelvan a disminuir y 3 y 4) una vez que aumentaron (disminuyeron), se reduzcan (aumenten).
Capítulo 2 78
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
FIG. 2-11 Árbol binomial de tres periodos del precio de un bono cupón cero
( )3 1uuuB =
( )3 1uudB =
( )3 1uddB =
( )3 1dddB =
p
p
p
p
p
p
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
( )30B
( )3uB
( )3dB
( )3uuB
( )3udB
( )3ddB
Paso 4 del algoritmo de BDT
A continuación se construyen los árboles binomiales de la tasa corta para tres periodos y del
precio del bono cupón cero para cuatro periodos (Figuras 2-12 y 2-13).
FIG. 2-12 Árbol binomial de tres periodos para la tasa corta
( )0,1R
ur
dr
uur
udr
ddr
uuur
uudr
uddr
dddr
p
p
p
p
p
p
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
Capítulo 2 79
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
FIG. 2.13 Árbol binomial de cuatro periodos del precio de un bono cupón cero
( )40B
( )4uB
( )4dB
( )4uuB
( )4udB
( )4ddB
( )4uuuB
( )4uudB
( )4uddB
( )4dddB
( )4 1uuuuB =
( )4 1uuudB =
( )4 1uuddB =
( )4 1udddB =
( )4 1ddddB =
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
Las ecuaciones que se utilizan para resolver estos árboles binomiales de tasas y precios son:
( ) ( )( )( )( ) ( )( )
4
40 4 4
1 11 0, 4 1 0, 4
p pB
R R
+ −= =
+ + (2.71)
( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 41 1 1 1, ,1 1 1 1uuu uud udd ddd
uuu uud udd ddd
B B B y Br r r r
= = = =+ + + +
(2.72)
Asimismo, el precio del bono en el segundo año en terminos del precio del bono del tercer
año y traído a valor presente en el segundo año con la tasa corta calculada en el paso 3, para cada
estado de la naturaleza es
( )( ) ( ) ( )4 4
4 1,
1uuu uud
uuuu
pB p BB
r+ −
=+
(2.73)
Capítulo 2 80
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
( )( ) ( ) ( )4 4
4 11
uud uddud
ud
pB p BB
r+ −
=+
(2.74)
y
( )( ) ( ) ( )4 4
4 1,
1udd ddd
dddd
pB p BB
r+ −
=+
(2.75)
Posteriormente, el precio del bono en el primer año en términos del precio del bono del
segundo año y traído a valor presente en el primer año con la tasa corta calculada en el paso 2
satisface, en cada estado de la naturaleza,
( )( ) ( ) ( )4 4
4 11
uu udu
u
pB p BB
r+ −
=+
(2.76)
y
( ) ( ) ( ) ( )4 44 1
1dd ud
dd
p B pBB
r− +
=+
(2.77)
Además, el valor esperado del precio del bono en el primer año y traído a valor presente
debe ser igual al precio, hoy, del bono cupón cero, es decir,
( ) ( ) ( )
( )
4 4(4)0
11 0,1
u dpB p BB
R+ −
=+
(2.78)
Si a los bonos les restan dos años para vencer, entonces sus precios en términos de sus
correspondientes rendimientos tienen que satisfacer las siguientes relaciones:
( )
( )4
21
1uu
uu
Bv
=+
(2.79)
( )
( )4
21
1ud
ud
Bv
=+
(2.80)
( )
( )4
21
1dd
dd
Bv
=+
(2.81)
Capítulo 2 81
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
( )
( )4
31
1u
u
By
=+
(2.82)
y
( )
( )4
31
1d
d
By
=+
(2.83)
donde u dy y y son los rendimientos entre el primer y cuarto periodos. Al resolver las ecuaciones
(2.76), (2.77) y (2.78) de manera recursiva se obtienen los valores de la tasa corta para el tercer
periodo y los precios del bono cupón cero para el cuarto periodo. Por lo que se tienen los árboles
binomiales, resueltos completamente, en las figuras 2-14 y 2-15.
FIG. 2-14 Árbol binomial de tres periodos para la tasa corta
( )0,1R
ur
dr
uur
udr
ddr
p
p
p
p
p
p
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
uuur
uudr
uddr
dddr
Capítulo 2 82
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
FIG. 2-15 Árbol binomial de cuatro periodos del precio de un bono cupón cero
( )4 1uuuuB =
( )4 1uuudB =
( )4 1uuddB =
( )4 1udddB =
( )4 1ddddB =
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
1 p−
( )40B
( )4uB
( )4dB
( )4uuB
( )4udB
( )4ddB
( )4uuuB
( )4uudB
( )4uddB
( )4dddB
En el siguiente capítulo se desarrollará el Modelo de Black, Derman y Toy aplicandolo al
Mercado de Swaps de tasa de interés, para analizar la forma de evaluación de la tasa corta, lo cual
es el objeto de esta investigación.
Capítulo 1 83
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
3.1 Obtención del algoritmo BDT
En este capítulo se lleva a cabo una aplicación del algoritmo de Black, Derman y Toy al mercado de
de Swaps.
El objetivo de hacer una relación con un método exclusivo para el cálculo de precios de
bonos es aprovechar la información que arroja este método al conocer las tasas cortas y así poder
utilizarlas para predecir el alza o baja en las tasas de interés y en consecuencia pactar un Swap con
algún banco o intermediario analizando la información disponible.
En la tabla 7 se considera la siguiente información inicial que requiere dicho algoritmo; se
toma como datos dados la tasa de rendimientos (TIIE 28 días) que oscila entre 4 y 5%, así como
valores arbitrarios de la volatilidad35.
TABLA 7. Estructura de plazos iniciales
Periodo de
vencimiento
Rendimiento
R(0,T)
Volatilidad
σ (0,T)
1
2
3
4
0.040
0.045
0.048
0.050
0.24
0.22
0.20
0.19
Fuente: Elaboración propia
El procedimiento se realiza en cuatro pasos: 35 Tal como se aclaró en el capítulo anterior, la introducción del parámetro de volatilidad es lo que hace diferente a este modelo de los demás
CAPÍTULO 3
Aplicación del Modelo de tasa corta de Black, Derman y Toy al mercado de Swaps
Capítulo 3 84
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Paso 1
Supongase que (1) (1)1 1u dB y B= = , y considere el árbol binomial de la figura 3-1
FIG. 3-1 Árbol binomial en un periodo
( )1 1uB =
( )1 1dB =
p
1 p−( )10B
Si ( )0,1 0.040R = , entonces se tiene que
( )(1)0
11 0,1
11 0.040
0.9615
BR
=+
=+
=
(3.1)
El árbol binomial resultante para el precio de un bono cupón cero que al final del periodo
paga una unidad monetaria se muestra en la figura 3-2
FIG. 3-2 Precio actual de un bono cupón cero en un periodo
p
1 p−
( )10 0.9615B =
( )1uB
( )1dB
Paso 2
A continuación se calcula el árbol binomial de dos periodos para el precio de un bono cupón
cero.
Capítulo 3 85
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
FIG. 3-3 Árbol binomial de dos periodos
p
1 p−
p
1 p−
1 p−
p
( )2uB
( )2dB
( )20B
( )2 1uuB =
( ) ( )2 2 1ud duB B= =
( )2 1ddB =
Observe ahora que, en este caso,
( )( )
( )
(2)0 2
2
11 0, 2
11 0.045
0.9157
BR
=+
=+
=
(3.2)
En la figura 3-4 se muestra el árbol binomial de dos periodos del precio de un bono cupón
cero.
FIG. 3-4 Árbol binomial de dos periodos
p
1 p−
p
p
1 p−
1 p−
( ) ( )2 2 1ud duB B= =
( )2 1uuB =
( )2 1ddB =
( 2 )uB
( 2 )dB
( )20 0.9157B =
El árbol binomial que se desea calcular para la tasa corta, con base en los resultados
anteriores, se muestra en la figura 3-5
Capítulo 3 86
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
FIG. 3-5 Árbol binomial de un periodo para la tasa corta
p
1 p−( )0,1 0.04R =
ur
dr
Si ( )0,1 0.04R = y el precio, hoy, del bono es ( )20 0.9157B = , entonces (2.39) implica
( )(2) (2) 10.9157
1 0.04u dB p B p+ −
=+
(3.3)
Asimismo, por (2.45)
( )12 ln 0.22 0, 2u
d
rr
σ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟⎝ ⎠
(3.4)
Si se despeja ur de la ecuación (3.4), se tiene que
( )0.22 0,2u dr r e= (3.5)
Por otro lado,
(2) 11u
u
Br
=+
(3.6)
Análogamente para dB ,
(2) 11d
d
Br
=+
(3.7)
Se considera 12p = por simplicidad, pero podría tomarse cualquier otro valor. Así, la
sustitución de (3.6) y (3.7) en (3.3) conduce a
Capítulo 3 87
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
1 12 2
1 11 1
0.91571 0.04u dr r
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦=
+ (3.8)
Si se incorpora la ecuación (3.5) en (3.8), se obtiene que
( )
1 12 20.22 2
1 111
0.91571 0.04
dd rr e
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟++⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦=
+ (3.9)
Esta ecuación puede reescribirse como:
( ) ( )
( ) ( )
0.22 2 0.22 22 1 1 1
0.22 2 0.22 21 1
1 2 0d de er r
e eγ γ γ
γ γ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − −+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.10)
donde ( )1
1 0.04 0.91571.9047
0.50γ
+= = .
Asi, realizando las operaciones correspondientes se obtiene el siguiente polinomio de
segundo grado, el cual se ilustra en la figura 3-6
2 0.780869307 0.032239421 0d dr r+ − =
La solución positiva de esta ecuación de segundo grado es 0.0393dr = . Si se
sustituye este valor en (3.5), se sigue que
( )
( )
0.22 2
0.22 20.03930.0610
u dr r e
e
=
==
Capítulo 3 88
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
FIG. 3-6 Polinomio en rd
Por último los valores u dr y r se sustituyen en (3.6) y (3.7), respectivamente, de tal manera
que
( )2 11
11 0.0393
0.9622
dd
Br
=+
=+
=
y
( )2 11
11 0.0610
0.9425
uu
Br
=+
=+
=
Los árboles binomiales completamente determinados, para el precio de un bono cupón cero,
con vencimiento en T=2 y la tasa corta se muestran, respectivamente, en las figuras 3-7 y 3-8
rd
Capítulo 3 89
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
FIG. 3-7 Árbol binomial de dos periodos del precio de un bono cupón cero
p
1 p−
p
p
1 p−
1 p−
( ) ( )2 2 1ud duB B= =
( )2 1uuB =
( )2 1ddB =
( )20 0.9157B =
( 2 ) 0.9425uB =
( 2 ) 0.9622dB =
FIG. 3-8 Árbol binomial de dos periodos de la tasa corta
p
1 p−( )0,1 0.04R =
0.0610ur =
0.0393dr =
Paso 3
En la figura 3-9 se muestra el árbol binomial que se desea calcular para las tasas cortas en un
árbol de dos periodos
FIG. 3-9 Árbol binomial en dos periodos de la tasa corta
p
1 p−
p
p
1 p−
1 p−
( )0,1 0.04R =
0.0610ur =
0.0393dr =
uuur
ud dur r=
ddr
En virtud de (2.54), se tiene que
Capítulo 3 90
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
( ) 1 12 20,3 ln lnuu ud
ud dd
r rr r
σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(3.11)
Por lo tanto,
2
uddd
uu
rrr
= (3.12)
Considerando ahora
( )( )
( )
(3)0 3
3
11 0,3
11 0.048
0.8688
BR
=+
=+
=
(3.13)
Observese que
( ) ( ) ( )3 3 31 1 1,1 1 1uu ud dd
uu ud dd
B B y Br r r
= = =+ + +
(3.14)
Asimismo, nótese que
( ) ( )3 31 1
(3) 2 2
1 0.0610uu ud
uB BB +
=+
(3.15)
y
( ) ( )3 31 1
(3) 2 2
1 0.0393dd ud
dB BB +
=+
(3.16)
Además de (3.13) se sigue que
(3) (3)1 1
2 20.86881 0.04u dB B+
=+
(3.17)
donde
( )
(3)2
11
uu
Bv
=+
(3.18)
Capítulo 3 91
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
y
( )
(3)2
11
dd
Bv
=+
(3.19)
Si se despejan u dv y v , se obtiene que
(3)
1 1uu
vB
= − (3.20)
y
(3)
1 1dd
vB
= − (3.21)
Por otro lado,
( ) 120,3 ln 0.20u
d
vv
σ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟⎝ ⎠
(3.22)
lo cual implica
0.40u dv v e= (3.23)
Si se sustituye (3.21) en (3.23), se sigue que
0.40
0.40(3)
1 1
u d
d
v v e
eB
=
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
(3.24)
A continuación se verá que (3)uB se puede expresar en función de (3)
dB . En efecto al sustituir
(3.24) en la ecuación (3.18), se tiene que
Capítulo 3 92
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
( )
( )( )12
(3)2
2(3) 0.40
11
1
1 1
uu
d
Bv
B e−
=+
=⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎣ ⎦
(3.25)
Por otra parte, si se sustituyen (3.18) y (3.19) en la ecuación (3.17), se tiene
( ) ( )
(3) (3)1 12 2
2 21 12 2
0.86881 0.04
1 11 0.04
u d
u d
B B
v v− −
+=
+
+ + +=
+
(3.26)
Esta ecuación se puede expresar como
( )( ) ( )2 2
0.8688 1.04 1 10.50 1 1u dv v
= ++ +
(3.27)
Sea ( )2
0.8688 1.041.8071
0.50γ = = . La sustitución de (3.23), junto con el valor de 2γ , en (3.27)
conduce a
( ) ( )2 20.40
1 11.807111 dd
vv e= +
++ (3.28)
Notese que la ecuación (3.28) se puede expresar como un polinomio de cuarto grado
igualado a cero, es decir,
4 3 23.3407 3.3286 0.0479 0d d d dv v v v+ + + − = (3.29)
La solución positiva es 0.0418dv = . La figura 3.10 muestra el polinomio (3.29) en dv
Capítulo 3 93
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
FIG. 3-10 Polinomio en vd
El valor dv se sustituye ahora en la ecuación (3.23), así
0.40
0.400.04180.0624
u dv v e
e
=
==
(3.30)
Por otro lado los valores u dv y v se sustituyen en (3.18) y (3.19), respectivamente, de tal
forma que
( )
( )
(3)2
2
11
11 0.0624
0.8860
uu
Bv
=+
=+
=
(3.31)
y
( )
( )
(3)2
2
11
11 0.0418
0.9214
dd
Bv
=+
=+
=
(3.32)
vd
Capítulo 3 94
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
A continuación se determinan los valores de ,uu ud ddr r y r . Para ello, se utilizan las ecuaciones
(3.15) y (3.16) expresadas como
( ) ( ) ( )3 33)1 0.0610 0.5 0.5u uu udB B B+ = + (3.33)
y
( ) ( ) ( )3 33)1 0.0393 0.5 0.5d dd udB B B+ = + (3.34)
Al sustituir (3.14) en las ecuaciones anteriores, se tiene
(3) 1 11.0610 0.5 0.51 1u
uu ud
Br r
= ++ +
y
(3) 1 11.0393 0.5 0.51 1d
dd ud
Br r
= ++ +
Equivalentemente,
( )1 1 1.0610 0.88601 1 0.50uu udr r
+ =+ +
y
( )1 1 1.0393 0.92141 1 0.50dd udr r
+ =+ +
(3.35)
Las dos ecuaciones anteriores se pueden reescribir en una sola considerando que 0.40 0.40,uu ud dd udr r e r r e y−= =
2uu dd udr r r= (3.36)
Por lo tanto, realizando las operaciones que conlleva esta relación se obtiene un polinomio
de segundo grado
2 0.9103 0.05 0ud udr r+ − = (3.37)
Capítulo 3 95
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
Al resolver esta ecuación se obtienen dos soluciones 0.9623 0.0520ud udr y r= − = , véase al
respecto la figura 3-11 Se considera sólo la solución positiva, es decir, 0.0520udr = . En
consecuencia,
0.40
0.400.05200.0776
uu udr r e
e
=
==
y
0.40
0.400.05200.0349
dd udr r e
e
−
−
=
==
(3.38)
FIG. 3-11 Polinomio en rud
Por último, los valores obtenidos de la tasa corta, ,uu ud ddr r y r , se sustiuyen en las
ecuaciones que aparecen en (3.14), esto es,
( )3 11
11 0.0776
0.9280
uuuu
Br
=+
=+
=
(3.39)
rud
Capítulo 3 96
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
( )3 11
11 0.0520
0.9506
udud
Br
=+
=+
=
(3.40)
Y
( )3 11
11 0.0349
0.9663
dddd
Br
=+
=+
=
(3.41)
El árbol binomial de dos periodos para la tasa corta y el árbol binomial de tres periodos para
el precio del bono cupón cero que vence en 3T = se muestran respectivamente, en las figuras 3-12 y
3-13
FIG. 3-12 Árbol binomial de dos periodos de la tasa corta
p
1 p−
p
1 p−
1 p−
p( )0,1 4%R =
6.10%ur =
3.93%dr =
7.76%uur =
5.20%ud dur r= =
3.49%ddr =
Capítulo 3 97
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
FIG. 3-13 Árbol binomial de tres periodos para el precio de un bono cupón cero
p
1 p−
p
p
1 p−
1 p−
p
p
p
1 p−
1 p−
1 p−
(3) 1uuuB =
(3) 1uudB =
(3) 1uddB =
(3) 1dddB =
(3)0 0.9157B =
(3) 0.9425uB =
(3) 0.9622dB =
( )3 0.9280uuB =
( )3 0.9506udB =
( )3 0.9663ddB =
3.2 Aplicación del algoritmo BDT al mercado de Swaps
Una vez obtenido el algoritmo BDT, el siguiente paso será tomar las tasas cortas resultantes
en el ejercicio anterior como tasas de referencia para la valuación de un Swap.
3.2.1 Esquema de un swap con expectativas a la baja
Para ilustrar la aplicación al mercado de Swaps se tomará el ejemplo descrito en el capítulo
1. En este caso se supone que la tendencia de las tasas es a la baja, por lo tanto la tasa de interés
variable se ubicará en un futuro por debajo de la tasa de interés fija en ese momento en el mercado.
Por lo tanto se tomarán los valores que están representados en el árbol binomial con ramificaciones
hacia abajo (véase figura 3-12), es decir los valores a considerar serán los siguientes:
TABLA 8. Resultados del algoritmo BDT con tendencia a la baja
PERIODO TASA CORTA PRECIO DEL BONO
1 (0,1) 4%R = ( )30 0.9157B =
2 3.93%ur = ( )2 0.9622uB =
3 3.49%uur = ( )3 0.9663uuB =
Capítulo 3 98
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
También se considera que la empresa “A” tiene que hacer frente a una serie de pagos fijos
por un monto de $5’000,000 cada cuatro semanas (28 días) por concepto de nómina de sus
empleados, mientras que sus ingresos dependen del nivel de la tasa de interés.
La empresa “A” sabe que una baja en el nivel de tasas de interés de corto plazo, provocará
que sus ingresos futuros disminuyan, mientras que el pago de su nómina no lo hará. Debido a esto,
la empresa “A” estará dispuesta a entrar en un contrato de Swap de TIIE-28 días para la cobertura de
sus pasivos, aceptando recibir (de un intermediario financiero) un monto fijo cada 28 días por cierto
periodo de tiempo a cambio de pagar un monto variable indizado a una tasa de corto plazo como la
TIIE de 28 días.
Por lo tanto la empresa “A” pactará con un intermediario financiero un Swap de tasa de
interés, en donde se compromete a pagar un rendimiento de TIIE a 28 días (que supongase al día de
hoy es de 4% anual) sobre $5’000,000. A cambio, recibirá del intermediario financiero una tasa fija
del 4% anual. La empresa “A” estará esperando que las tasas de interés bajen ya que esta
“amarrando” pagar un rendimiento flotante y recibir un rendimiento fijo, mientras que el
intermediario fianciero estará esperando el alza de las tasas de interés, ya que está pactando recibir
una tasa variable y pagar una tasa fija.
Si el monto fijo de la empresa es 5’000,000, y el nivel de tasa de interés fija del swap de
TIIE-28 días es BTs =4% (tasa Swap Bid o de compra del Swap de TIIE 28 días), tal como se
muestra en la tabla 9 la empresa estará dispuesta a contratar dicho Swap de TIIE-28 días con
nominal de referencia N calculado como sigue:
TABLA 9. Información para el pago fijo del intermediario financiero a la Empresa “A”
Monto del flujo de efectivo $5’000,000
TIIE a 28 días 4%
Días del período 28 días
Días del año 360 días
Fuente: Elaboración propia
Capítulo 3 99
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
28
360BT
BNS
= (3.42)
Donde: N= Monto nominal o de referencia del Swap de TIIE-28 días
BTs = Tasa Fija (o tasa Swap de compra) del Swap de TIIE-28 días
B= Pago fijo a realizarse cada 28 días
Por lo tanto
( )28
360
50000000.04
1607142857
N =
=
Nótese que se ha encontrado el valor nominal de referencia N que hace que la empresa “A”
pueda recibir exacatamente B. De esta manera:
( ) 28360
BTB N S ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
(3.43)
Así se tiene que
( ) 281607142857 0.04
3605'000,000
B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
=
Así la empresa “A” está asegurando el pago de su nómina cada 28 días por un monto de
$5’000,000.
Por otro lado el intermediario financiero al tomar la tasa variable y conforme a los montos
calculados en el árbol binomial de tasa corta obtenido por el modelo de Black, Derman y Toy, la
tasa TIIE se calcual en 3.93%. Para el intermediario financiero la información que tiene es la
siguiente
Capítulo 3 100
L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN
TABLA 10. Información para el pago variable de la Empresa “A”al intermediario financiero
Monto del flujo de efectivo $5’000,000
TIIE a 28 días 3.93%
Días del período 28 días
Días del año 360 días
Fuente: Elaboración propia
Para calcular el pago del intermediario financiero a la empresa “A” se tiene la siguiente
fórmula
( )2828
360TIIEX N i ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠ (3.44)
Donde: N= Monto nominal o de referencia del Swap de TIIE-28 días
28TIIEi = Tasa Flotante (TIIE 28 días)
Así se tiene que
281607142857(0.0393)360
4 '912,500
X ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
=
En el ejemplo presentado, el intermediario fianciero paga la tasa fija o tasa Swap a cambio
de recibir la TIIE de 28 días y se dice que su posición en el Swap de TIIE-28 días es “larga” en flujo
(gana más en flujo si las tasas suben) y “corta” en tasa de interés Swap. Por su lado, la Empresa “A”
paga la TIIE de 28 días (que podemos denotar como 28TIIEi ) a cambio de recibir la tasa fija o tasa
Swap BTs y se dice que su posición en el Swap de TIIE-28 días es “corta” en flujo o “larga” en tasa
de interés. La operación del swap de TIIE-28 días se representa en la figura 3-14.
En la figura 3-14 se puede observar claramente que la Empresa “A” está perfectamente
cubierta respecto del pago de su nómina con el flujo que recibe del intermediario financiero, a
cambio del cual tendrá que pagar un flujo variable indizado a la TIIE 28 días. Por tanto, la empresa
Capítulo 3 101
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“A” ha permutado su pasivo fijo por un pasivo variable. Esta es precisamente la idea de los Swaps
de tasa de interés.
FIG. 3-14 Intercambio de flujos fijos por flujos variables,
a través de un Swap de TIIE 28 días
Pago fijo de $5'000,000 Pago variable de$4'912,500
ActivoEmpresa
"A"
IntermediarioFinanciero
Pasivo
Ingreso por concepto decomisiones, altamente dependiente de la tasade interés
Pago de nómina de $5'000,000 cada 28 días
Fuente: Elaboración propia con base a los resultados obtenidos
3.2.2 Esquema de un swap con expectativas al alza
Siguiendo de ejemplo con la Empresa “A”, ahora se supone que la tendencia de las tasas es
al alza, por lo tanto la tasa de interés variable se ubicará en un futuro por encima de la tasa de interés
en ese momento en el mercado. Por lo tanto se tomarán los valores que están representados en el
árbol binomial con ramificaciones hacia arriba (véase figura 3-12), es decir los valores a considerar
serán los siguientes:
Capítulo 3 102
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TABLA 11. Resultados del algoritmo BDT con ramificaciones hacia arriba
PERIODO TASA CORTA PRECIO DEL BONO
1 (0,1) 4%R = ( )30 0.9157B =
2 6.10%ur = ( )2 0.9425uB =
3 7.76%uur = ( )3 0.9280uuB =
Elaboración propia con base a los datos arrojados por los árboles binomiales
Ahora se considera el caso de otra Empresa (la Empresa “B”), la cual tiene una deuda con
valor nominal de $5’000,000, que contrajo para financiar una expansión de actividades que le
provoca que pague intereses a una tasa flotante cada 28 días. Esta empresa tiene un ingreso estable y
está preocupada que un alza en las tasas de interés le provoquen problemas financieros al aumentar
el monto que tendrá que pagar por servicio de su deuda.
Esta empresa estará dispuesta a entrar en un contrato de cobertura de su pasivo (su deuda),
aceptando recibir un monto indizado a la TIIE de 28 días cada 28 días a cambio de pagar un monto
fijo. Considerando que el mismo intermediario financiero que ofreció el Swap de TIIE-28 días a la
Empresa “A” está dispuesto a ofrecerle una posición de Swap de TIIE-28 días a la Empresa “B” con
el perfil opuesto al que ofreció a la empresa “A”. En este caso, el intermediario financiero ofrecerá
ahora absorber los flujos variables a cambio de recibir un flujo fijo determinado por una tasa ATs
(tasa de interés Ask o de venta del Swap de TIIE-28 días). Para realizar el pago se cuenta con la
siguiente información
TABLA 12. Información para el pago fijo de la Empresa “B” al intermediario financiero
Monto del flujo de efectivo $5’000,000
TIIE a 28 días 4.08%
Días del período 28 días
Días del año 360 días
Fuente: Elaboración propia
Capítulo 3 103
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El nominal de referencia N se calcula conforme la siguiente fórmula
28
360AT
BNs
= (3.45)
Donde: N= Monto nominal o de referencia del Swap de TIIE-28 días
BTs = Tasa Fija (o tasa Swap de venta) del Swap de TIIE-28 días
B= Pago fijo a realizarse cada 28 días
Por lo tanto,
( )28360
50000000.048
1339285714
N =
=
Asi mismo, el pago fijo que la empresa “B” rezalizará al intermediario fianciero cada 28
días, está determinado por la siguiente fórmula:
( ) 28360
ATA s ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
(3.46)
De esta manera
281339285714(0.048)360
5'000,000
A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
=
Así la empresa “B” está asegurando el pago de su deuda cada 28 días por un monto de
$5’000,000.
Por otro la empresa “B” espera una tendencia al alza y espera conforme a los montos
calculados en el árbol binomial de tasa corta obtenido por el modelo de Black, Derman y Toy, que la
tasa TIIE se situe en 6.10%, lamentablemente para la empresa “B” esto no es así y la tasa TIIE real
fue de 3.93%. Para el intermediario financiero la información que tiene es la siguiente
Capítulo 3 104
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TABLA 13. Información para el pago varaiable del intermediario financiero a la Empresa “B”
Monto del flujo de efectivo $5’000,000
TIIE a 28 días 3.93%
Días del período 28 días
Días del año 360 días
Fuente: Elaboración propia
Para calcular el pago del intermediario financiero a la empresa “A” se tiene la siguiente
fórmula
( )2828
360TIIEX N i ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠ (3.47)
Donde: N= Monto nominal o de referencia del Swap de TIIE-28 días
28TIIEi = Tasa Flotante (TIIE 28 días)
Así se tiene que
281607142857(0.0393)360
4 '912,500
X ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
=
Los intercambios de flujos entre la Empresa 2 y el intermediario financiero se presentan en la
Figura 3-15, donde se puede observar que la Empresa 2 cumple el objetivo de cambiar su deuda
flotante a una deuda completamente fija con pagos determinados por la tasa de interés fija neta
resultante igual a ATs + 0.8%.
En este caso el nivel de la tasa Swap ATs es mayor que B
Ts y la diferencia entre ambas
( )A BT Ts s− representa el “Bid-Ask Spread” o margen de compra-venta del Swap de TIIE-28 días que
el intermediario financiero se queda como ganancia al proveer el servicio de venta de posiciones
cortas y largas de Swaps de TIIE-28 días.
Capítulo 3 105
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FIG. 3-15 Intercambio de flujos variables por flujos fijos,
a través de un Swap de TIIE 28 días
Pago variable de servicio
indizado a la TIIE
Pago variable X de Pago fijo A de
$5'000,000$4'912,500
Flujos activos propiosde deuda cada 28 días de la empresa
Empresa"B"
IntermediarioFinanciero
Fuente: Elaboración propia con base a los resultados obtenidos
Con este sencillo pero ilustrativo ejemplo se puede demostrar que haciendo un pronóstico
aproximado sobre el comportamiento de la tasa de interés, se podrán tomar mejores decisiones
acerca de adquirir contratos que protejan a un inversionista sobre las fluctuaciones de este indicador
ya que al introducir el parámetro de volatilidad se busca anticipar resultados más confiables que
lleven a la major toma de decisiones.
En suma, con este modelo se conocen el precio de los bonos cupón cero dependiendo de una
expectativa a la baja y otra a la alza; asimismo al obtener las tasas cortas, una empresa puede decidir
de acuerdo al principio de ventajas comparativas la posición (corta o larga) que mejor le convenga
tomar en un contrato Swap.
Conclusiones 106
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Conclusiones
Las tasas swap podrían funcionar como indicadores muy eficaces no sólo de las condiciones
vigentes del mercado, sino también reflejar las expectativas con respecto al futuro movimiento en
las tasas de interés, en especial de las tasas interbancarias.
El hecho de que los swaps de tasas de interés (IRS) sean contratos ampliamente negociados
en varios países, paulatinamente les ha otorgado un lugar preponderante como benchmark en la
valuación de instrumentos de renta fija. Esto es de resaltarse, sobre todo considerando que este lugar
antes exclusivo de las tasas gubernamentales, ahora le está abriendo paso a las tasas swap.
Los swaps de tasas se encuentran entre los contratos más representativos del financiamiento
interbancario, pues son los bancos sus principales contrapartes. Constituyen una forma alternativa de
financiamiento a costos considerablemente menores que aprovecha el beneficio de las ventajas
comparativas en su construcción. Representan además, uno de los mejores mecanismos de
cobertura, particularmente a nivel interbancario. Una muestra papable de la gran aceptación que
están teniendo son los crecimientos exponenciales en sus volúmenes de negociación, en especial en
los últimos dos años. Tan solo en México la tasa de crecimiento promedio anual para 2003 se ubicó
alrededor de un 150%.
En este trabajo, se ha realizado una revisión bibliográfica acerca del mercado de Swaps
pasando desde la historia de estos instrumentos, sus características, participantes y su clasificación
basándose esencialmente en los Swaps de tasas de interés (IRS) detallando su proceso de valuación
y recalcando el principio que les precede: el principio de las ventajas comparativas de David
Ricardo. Posteriormente se dió un panorama global de estos instrumentos negociados en los
mercados OTC en donde se obtuvieron cifras muy interesantes, como por ejemplo que para
Diciembre de 2006, las operaciones realizadas en los mercados OTC a nivel mudial ascendieron a
$415 billones de dólares, de los cuales $230 billones fueron de Swaps de tasas de interés, es decir
más del 50% del total de operaciones. Enfocandose al mercado mexicano, se puede mencionar que a
partir del año 2000 se incrementaron significativamente el plazo y la liquidez de los Swaps de tasas
de interés, entre otras cosas debido a que aparecieron emisiones de deuda gubernamental de mayores
Conclusiones 107
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plazos, aumentó la demanda de los bancos por coberturas de largo plazo (10 años o más) y
finalmente, porque crece la demanda por inversiones riesgosas. Todos estos factores llevaron a que
en septiembre de 2007 se llevara a cabo el listado del contrato de futuro de Swap sobre TIIE de 28
días en el Mexder y se dió un panorama del volumen de negociaciones de este nuevo mercado
teniendo como subyacente un Swap de TIIE.
En el segundo capítulo se definieron las teorías sobre la estructura de plazos de la tasa de
interés, siendo la teoría de las expectativas puras considerada como la madre de los modelos de tasa
de interés de corto plazo; también se destacaron las características de los modelos de tasa corta, así
como su clasificación que principalmente es en tres diferentes tipos: los modelos de un solo factor,
los modelos multifactoriales y los modelos de calibración, siendo esta clasificación en donde se
encuentra el modelo estudiado en este trabajo. Posteriormente se hace una reseña histórica de los
principales modelos antecesores al modelo de estudio que en este caso son: Merton, Vasicek, CIR,
Longstaff, Hull & White, Chen y Ho & Lee se destacaron sus principales características y
limitaciones de cada uno. Finalmente se desarrolla el modelo central de este trabajo: el modelo de
Black, Derman y Toy y se da un minucioso desarrollo de las operaciones a realizar dividiendo el
proceso en cuatro pasos e ilustrando cada comportamiento de la tasa corta a través de árboles
bonomiales. La intención de estos árboles es ilustrar este comportamiento: Por ejemplo, para el
periodo dos, hay dos nodos: aumento y reducción de las tasas de interés. Para el periodo tres hay 4
alternativas que se reducen a 3 nodos: 1) una vez que las tasas aumentaron en el periodo 2 vuelvan a
aumentar, 2) si disminuyeron vuelvan a disminuir, 3) una vez que aumentaron disminuyeron, y 4)
una vez que disminuyeron aumentaron. Recordando que estos resultados son más confiables por
considerar el factor volatilidad.
Finalmente en el tercer capítulo se desarrolló un caso práctico en el que se determinaron el
precio de un bono cupón cero a distintos vencimientos y la dinámica de la tasa corta, siendo estos
últimos datos los que interesaban para el presente estudio. Una vez resuelto el algoritmo BDT se
utilizaron las tasas cortas de interés obtenidas para calcular el comportamiento de un contrato Swap.
En este ejercicio se consideranron dos empresas diferentes y un mismo intermediario financiero para
ambas. La primer empresa tenía expecativas de una tendencia a la baja, es decir que la tasa de
interés variable se ubicaría en un futuro por debajo de la tasa de interés fija en ese momento en el
mercado por lo tanto esta empresa decide realizar un swap vendiendo tasa de interés variable y
Conclusiones 108
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comprando tasa de interés fija. La segunda empresa tenía expectaivas de que las tasas de interés
subirían, es decir, una tendencia al alza y por lo tanto la tasa de interés variable se ubicará en un
futuro por encima de la tasa de interés fija prevaleciente en el mercado, por esta razón la empresa
decide realizar un Swap vendiendo tasa de interés fija y comprando tasa de interés variable. Ambas
empresas acuden con el intermediario financiero quien utiliza la diferencia entre tasas para obtener
una ganancia. De esta forma todos salen ganando con la utlización del Swap.
La aplicación de este modelo al mercado de Swaps de tasa de interés presenta la ventaja de
que permite hacer pronósticos sobre la tasa de interés en varios escenarios (optimistas y pesimistas).
Recalcando una vez más que estos pronósticos serán más confiables puesto que se considera el
factor de volatilidad.
Sin embargo, la aplicación de este modelo tiene la desventaja que al aumentar el número de
periodos a pronosticar se incrementan de manera considerable el número de opercaiones
matemáticas a realizar y todas ellas de forma manual. Por lo cual resulta interesante la propuesta de
implementar un software o modelar un programa o método que agilice el cálculo de las tasas cortas
de interés, esta es la alternativa que se presenta como trabajo futuro a partir de esta investigación.
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