Download - Informe de Física I_2
UNIVERSIDAD NACIONAL
MAYOR DE SAN MARCOS
(Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA)
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
E.A.P. INGENIERÍA INDUSTRIAL
Informe de Laboratorio de Física I
Laboratorio Nº 02:
TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES
Profesor: Víctor Quiñones Avendaño
Integrantes:
García Licas, Renzo Peña Paredes, Miluska León Palpa, Handal
Horario: 8:00 –10:00 a.m.
Fecha de Entrega: 12 de setiembre de 2015.
0
TABLA DE CONTENIDO
1. Objetivos………………………………………………………………………… 2
2. Fundamentos Teóricos………………………………………………………. 3
3. Detalles Experimentales……………………………………………………. 8
I. Materiales ..………………………………………........ ………………… 8
II. Procedimiento Experimental…………………………………………….
10
4. Aplicaciones……………………………………………………………..……….
11
5. Conclusiones…………………………………………………………………….
30
6. Bibliografía……………………………………………………………………..
31
1
OBJETIVOS
Obtener gráficas de los datos experimentales en tablas.
Construir ecuaciones experimentales e interpretar su
comportamiento.
Obtener gráficas en papel milimetrado, semilogarítmico y
logarítmico.
Hacer el uso del método de Mínimos cuadrados para una mejor
representación de un conjunto de “N” puntos.
Conocer el método de aproximación de pares y hacer uso del
mismo.
2
FUNDAMENTO TEÓRICO
Una magnitud física es un atributo de un cuerpo, un fenómeno o una
sustancia, que puede determinarse cuantitativamente, es decir, es un
atributo susceptible de ser medido.
Los datos teóricos en un proceso de medición se organizan en tablas.
Las tablas de valores así confeccionadas nos informan acerca de las
relaciones existentes entre una magnitud y otra. Una alternativa para
establecer dichas relaciones es hacer representaciones graficas en un
sistema de ejes coordenados con divisiones milimetradas, logarítmicas o
semilogarítmicas según sea el caso con el fin de encontrar gráficas
lineales (rectas) para facilitar la construcción de las fórmulas
experimentales que representen las leyes que gobiernan el fenómeno.
USO DEL PAPEL MILIMETRADO
Empezaremos graficando los valores de la tabla de datos en el papel
milimetrado:
1. Siempre tenga cuidado de escribir los valores de la variable
independiente en el eje de las abscisas y las variables dependientes
en el eje de las ordenadas
2. La distribución de puntos así obtenida se unen mediante una curva
suave. Usando una regla curva o trazo a mano alzada.
3. Las representaciones gráficas que aparecen con más frecuencia
son:
3
Veamos el primer caso, si la distribución de puntos en el papel
milimetrado es de tendencia lineal, entonces se realiza el ajuste de la
recta mediante el método de regresión lineal por mínimos cuadrados.
Esto significa que la relación que se busca tiene la forma de una recta
cuya ecuación es:
En donde las constantes a determinar son: m, la pendiente de la recta, y
b, la ordenada en el origen (intercepto), siguiendo el procedimiento que
se detalla a continuación.
Primero se construye una tabla de la forma:
Tabla 1
x i y i x i y i x i2
x1 y1 x1 y1 x12
x2 y2 x2 y2 x22
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x p y p x p y p x p2
∑ x i ∑ yi ∑ x i y i ∑ x i2
4
y=mx+b
Luego se calculan la pendiente y el intercepto:
m=( p∑ x i y i−∑ x i∑ y i )
p∑ x i2−(∑ x i )
2 , b=(∑ x i
2∑ y i−∑ x i∑ x i y i)p∑ x i
2−(∑ x i)2
En el segundo caso, cuando la distribución de puntos en el papel
milimetrado no es de tendencia lineal; se pasan los datos de la tabla a
un papel logarítmico o semilogarítmico, en alguno de estos papeles la
distribución de los puntos saldrá una recta.
USO DEL PAPEL LOGARITMICO
Las relaciones de la forma y=k xn; (n≠ 1), son funciones potenciales y sus
gráficos en el papel logarítmico son rectas de pendientes m=n, que
cortan el eje vertical en b=log k. Se recomienda preferentemente usar
papel logarítmico 3x3; en donde cada ciclo está asociado a una potencia
de base 10. El origen de un eje coordenado logarítmico puede empezar
con ...,10−1,100 ,101,102, 103 ,... etc. Al tomar logaritmo decimal a la
ecuación y=k xn ; (n ≠ 1) obtenemos log y=mlog x+logk , que tiene la forma
lineal Y=m X+b, en donde X=log x, Y=log y ∧ b=log k. Concluimos
entonces, que el método de regresión lineal puede ser aplicado a una
distribución potencial de puntos, para ello se toma logaritmo decimal a
cada uno de los datos de la tabla. Construya la siguiente tabla cuidando
de colocar los valores con un mínimo de cuatro decimales de redondeo
en cada columna.
x i y i X i=log x i Y i=log y i X i Y i=log x i log y i X i2=log xi
2
5
x1 y1 log x1 log y1 log x1 log y1 log x12
x2 y2 logx2 logy2 logx2 logy2 log x22
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.x p y p log x p log y p log x p log y p log x p
2
∑ logx i ∑ logy i ∑ logx i logy i ∑ log x p2
Para determinar la ecuación de la recta en el papel logarítmico, se
calculan ahora los valores de:
m=( p∑ log x i log yi−∑ log x i∑ log y i )
p∑ ( log x i)2−(∑ log x i )
2
b=(∑ (log x i)
2∑ log y i−∑ log x i∑ log xi log y i )p∑ (log xi)
2−(∑ logxi )
2
Para encontrar la ecuación de la función potencial y=k xn graficada en el
papel milimetrado debemos determinar los valores de m y k. De párrafo
anterior se tiene que m = n y k =10b.
USO DEL PAPEL SEMILOGARITMICO
Para relaciones exponenciales de la forma y=k 10xn se utiliza papel
semilogarítmico. ¿Por qué? Construya adecuadamente su tabla para
aplicar el método de regresión lineal.
6
EXTENSIÓN DEL MÉTODO DE REGRESIÓN LINEAL
El estudio de este método relativamente sencillo y tiene doble interés:
de un lado este tipo de dependencia es frecuente entre magnitudes
físicas; por otro lado, muchas otras dependencias más complicadas
pueden reducirse a la forma lineal mediante un cambio adecuado de
variables, algunos casos se muestra en la siguiente tabla:
Función inicial Cambio Forma lineal
y=a x2 x2=z y=az
y=a√x √ x=z y=az
y=a exp(nx ) ln ( y )=z ; ln (a )=b z=nx+b
y=a xn ln ( y )=z ; ln (a )=b; ln ( x )=t z=b+nt
USO DE LA CALCULADORA CIENTÍFICA.
Estas calculadoras presentan la función LR del inglés linear regresión lo
cual nos permite obtener en forma directa los valores del intercepto (A)
y la pendiente (B) de la recta y el factor de correlación (r) usando el
método de regresión lineal por mínimos cuadrados.
Existen calculadoras modernas que grafican la tabla de datos y
presentar otros modos de regresión tales como: lineal, logarítmica,
exponencial, potencial, inversa y cuadrática, aquí el concepto del
coeficiente de correlación juega un rol muy importante.
Para hallar la fórmula experimental de la curva obtenida en papel
milimetrado haga uso de la siguiente tabla:
7
Distribución de puntos en Calculadora
Papel Papel Papel TipoFórmulamilimetra
dologarítmico
semilogarítmico
Regresión
Lineal Lineal y=A+Bx
Curva Lineal Potencial y=A x B
Curva Lineal Exponencial y=A exp(Bx)
Curva Lineal Cuadrática y=A+Bx+C x2
USO DEL COMPUTADOR
Se pueden construir programas en C. Fortran. Pascal o Basic para hacer
los ajustes que se requieran. También se puede usar programas como
Gnuplot, Microcal Origin, entre otros. Pero el más accesible es el EXCEL
que nos permite hacer gráficas y presentar las curvas de regresión con
sus respectivas fórmulas de correspondencia y coeficiente de
correlación.
DETALLES EXPERIMENTALES
I. Materiales:
Calculadora científica:
Una calculadora científica es un instrumento que se utiliza para la
obtención del resultado de operaciones aritméticas, algebraicas o
trigonométricas.
8
Con una de exactitud de hasta 9,999999999 × 1099 dependiendo
del modelo, es uno de los instrumentos más utilizado por los
físicos y científicos en general.
(6) Hojas de papel milimetrado:
Es un tipo de papel con una separación mínima de 1 mm entre
sus líneas horizontales y verticales. Se utiliza para graficar
funciones, organizar datos o hacer dibujos con un alto grado de
precisión.
Aún es empleado con frecuencia en matemáticas e ingeniería, a
pesar de que poco a poco está quedando en desuso debido al
empleo de aparatos electrónicos para la representación gráfica
de funciones.
9
(2) Hojas de papel logarítmico:
Parecido al papel milimetrado pero nos permite graficar funciones
de manera sencilla. Es decir, si tenemos una función potencial o
exponencial, la gráfica de dicha función nos saldrá una curva
(complicada de dibujar con exactitud manualmente); por el
contrario, en el papel logarítmico nos saldrá una recta debido a
que:
Si: y=xa(curva)→logy=alogx → Y=aX (recta)
(1) Hoja de papel semilogarítmico:
Mientras que el papel logarítmico es construido a partir de la
superposición de dos escalas logarítmicas mutuamente
ortogonales, el papel semilogarítmico se construye por la
superposición de una escala logarítmica y otra milimetrada.
10
II. Procedimiento Experimental:
Se analizaron tres experimentos: la conducción de corriente
por un hilo conductor de micrón, la evacuación de agua de un
depósito y la actividad radiactiva del radón.
4.1.- En la Tabla 1 se tiene las medidas de intensidad de corriente
eléctrica i conducida por un hilo conductor de micrón y la
diferencia de potencial V aplicada entre sus extremos.
4.2.- La Tabla 2 muestra las medidas del tiempo de vaciado (t) de
un depósito con agua y las medidas de las alturas del nivel de
agua para cuatro llaves de salida de diferentes diámetros (D).
Tabla 2h (cm) 30 20 10 4 1D (cm) Tiempo de vaciado t (s)
1.5 73.0 59.9 43.0 26.7 13.52.0 41.2 33.7 23.7 15.0 7.8
11
Tabla 1
i (A) V (V)
0.5 2.18
1.0 4.36
2.0 8.72
4.0 17.44
3.0 18.4 14.9 10.5 6.8 3.75.0 6.8 5.3 3.9 2.6 1.57.0 3.2 2.7 2.0 1.3 0.8
4.3. La Tabla 3 muestra los porcentajes de las medidas de la
actividad radiactiva del radón. El día cero se detectó una
desintegración de 4.3 x 1018 núcleos.
t (días)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A (%)100
84 70 59 49 41 34 27 24 20 17
APLICACIONES
1. Grafique las siguientes distribuciones:
De la Tabla 1:
a) Grafique en una hoja de papel milimetrado V vs. i.
De la Tabla 2:
b) En una hoja de papel milimetrado grafique t vs. D. para cada una
de las alturas.
c) En una hoja de papel milimetrado grafique t vs. h. para cada
diámetro.
d) En una hoja de papel logarítmico grafique t vs. D. para cada una
de las alturas.
e) En una hoja de papel logarítmico grafique t vs. h. para cada
diámetro.
f) Haga el siguiente cambio de variables z=1/ D2 y grafique t = t (z)
en papel milimetrado.
De la Tabla 3:12
g) En una hoja de papel milimetrado grafique A vs. T.
h) En una hoja de papel semilogarítmico A vs. T.
Solución:
a) V vs i (papel milimetrado):
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.500.002.004.006.008.00
10.0012.0014.0016.0018.0020.00
V vs I
Series2Linear (Series2)
Intensidad de Corriente (A)
Dife
renc
ia d
e Po
tenc
ial (
V)
b) t vs D (papel milimetrado):
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.00.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
80.0
t vs DSerie1Power (Serie1)Serie2Power (Serie2)Power (Serie2)Serie3Power (Serie3)Serie4Power (Serie4)Serie5Power (Serie5)
Diámetro (D)
Tiem
po (t
)
13
c) t vs h (papel milimetrado):
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.00.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
80.0
t vs h
Serie1Power (Serie1)Power (Serie1)Serie2Power (Serie2)Power (Serie2)Power (Serie2)Serie3Power (Serie3)Serie4Power (Serie4)Serie5Power (Serie5)
Altura (h)
Tiem
po (t
)
d) t vs D (papel logarítmico):
14
1.0 10.01.0
10.0
100.0
t vs D
Serie1Power (Serie1)Serie2Power (Serie2)Power (Serie2)Serie3Power (Serie3)Serie4Power (Serie4)Serie5Power (Serie5)
Diámetro (D)
Tiem
po (t
)
e) t vs h (papel logarítmico):
1.0 10.0 100.00.1
1.0
10.0
100.0
t vs h
Serie1Power (Serie1)Serie2Power (Serie2)Serie3Power (Serie3)Serie4Power (Serie4)Serie5Power (Serie5)
Altura (h)
Tiem
po (t
)
f) z = 1/D 2 :
15
0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400 0.450 0.5000.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
80.0
z vs t
Serie1Linear (Serie1)Serie2Linear (Serie2)Serie3Linear (Serie3)Serie4Linear (Serie4)Serie5Linear (Serie5)z
Tiem
po (t
)
g) A vs T (papel milimetrado):
-1 1 3 5 7 9 11 13 150
20
40
60
80
100
120
A vs t
Seri...
Días (t)
Activ
idad
radi
activ
a (A
%)
h) A vs T (papel semilogarítmico):
16
-1 1 3 5 7 9 11 13 151
10
100f(x) = 108.639505678385 x -̂0.707668199422525
A vs t
Series2
Días (t)
Activ
idad
radi
activ
a (A
%)
2. Hallar las fórmulas experimentales:
a) Obtenga las fórmulas experimentales usando el método de
regresión lineal para las gráficas obtenidas en los casos a), d), e) y
f).
V vs i:
Ai V i Ai V i Ai2
0,50 2,18 1,09 0,251,00 4,36 4,36 12,00 8,76 17,52 44,00 17,44 69,76 16
∑ A i=¿7,50∑V i=¿32,74
∑ A iV i = 92,73
∑ A i2=
21,25
m=4∑ A iV i−∑ Ai∑ V i
4∑ A i2−(∑ A i)
2 b=∑ A i2∑V i−∑ A i∑ A i V i
4∑ Ai2−(∑ Ai)
2
m=4,36 b=0,008695652
17
Ecuación:
V=4,36 i+0,0087
t vs D:
h=30 cm:
D t log Di log t i log Di log ti ( log Di )2
1,5 73,00,17609125
9 1,86332286 0,328114868 0,031008132
2,0 41,20,30102999
6 1,614897216 0,486132502 0,090619058
3,0 18,40,47712125
5 1,264817823 0,603471467 0,227644692
5,0 6,80,69897000
4 0,832508913 0,581898758 0,4885590677,0 3,2 0,84509804 0,505149978 0,426901257 0,714190697
∑ log D i=¿2,498
∑ log ti=¿6,08
∑ log D i log t i
=2,426∑ (log Di)
2=¿1,552
m=5∑ log Di log ti−∑ log Di∑ log t i
5∑ ( log D i)2−(∑ log Di )
2 =−2 , 012
b=∑ ( log Di)2∑ log t i−∑ log D i∑ log Di log ti
5∑ (log Di)2−(∑ log Di )
2 =2 , 221
m=n=−2 ,012 k=10b=166 , 34
Ecuación: t=166,34 D−2.012
h=20 cm:
D t log Di log t i log Di log ti ( log Di )2
1,5 59,90,17609125
9 1,777426822 0,312989327 0,031008132
2,0 33,70,30102999
6 1,527629901 0,459862422 0,090619058
3,0 14,90,47712125
5 1,173186268 0,559752104 0,227644692
5,0 5,30,69897000
4 0,72427587 0,506247108 0,4885590677,0 2,7 0,84509804 0,431363764 0,364544672 0,714190697
∑ log D i=¿2,498
∑ log ti=¿5,634
∑ log D i log t i=¿2,203
∑ (log Di)2=¿
1,55218
m=5∑ log Di log ti−∑ log Di∑ log t i
5∑ ( log D i)2−(∑ log Di )
2 =−2.013
b=∑ ( log Di)2∑ log t i−∑ log D i∑ log Di log ti
5∑ (log Di)2−(∑ log Di )
2 =2,132
m=n=−2 ,013 k=10b=135 , 52
Ecuación: t=135,52 D−2.013
h=10 cm:
D t log Di log t i log Di log ti ( log Di )2
1,5 43,00,17609125
9 1,633468456 0,287639517 0,031008132
2,0 23,70,30102999
6 1,374748346 0,413840489 0,090619058
3,0 10,50,47712125
5 1,021189299 0,48723112 0,227644692
5,0 3,90,69897000
4 0,591064607 0,413136431 0,4885590677,0 2,0 0,84509804 0,301029996 0,254399859 0,714190697
∑ log D i=¿2,498
∑ log ti=¿4,9215
∑ log D i log t i=¿1,856
∑ (log Di)2=¿
1,552
m=5∑ log Di log ti−∑ log Di∑ log t i
5∑ ( log D i)2−(∑ log Di )
2 =−1,982
b=∑ (log Di )
2∑ log ti−∑ log Di∑ log D i log t i
5∑ ( log Di )2−(∑ log D i)
2 =1,976
m=n=−1,982 k=10b=94,62
Ecuación: t=94,62 D−1.982
h= 4 cm:
19
D t log Di log t i log Di log ti ( log Di )2
1,5 26,70,17609125
9 1,426511261 0,251196164 0,031008132
2,0 15,00,30102999
6 1,176091259 0,354038747 0,090619058
3,0 6,80,47712125
5 0,832508913 0,397207697 0,227644692
5,0 2,60,69897000
4 0,414973348 0,290053923 0,4885590677,0 1,3 0,84509804 0,113943352 0,096293304 0,714190697
∑ log D i=¿2,498
∑ log ti=¿3,964
∑ log D i log t i=¿1,388
∑ (log Di)2=¿
1,552
m=5∑ log Di log ti−∑ log Di∑ log t i
5∑ ( log D i)2−(∑ log Di )
2 =−1,948
b=∑ (log Di )
2∑ log ti−∑ log Di∑ log D i log t i
5∑ ( log Di )2−(∑ log D i)
2 =1,7 76
m=n=−1,948 k=10b=59,70
Ecuación: t=59,70 D−1.948
h = 1 cm:
D t log Di log t i log Di log ti ( log Di )2
1,5 13,50,1760912
591,1303337
68 0,1990418960,03100813
2
2,0 7,80,3010299
960,8920946
03 0,2685472340,09061905
8
3,0 3,70,4771212
550,5682017
24 0,271101120,22764469
2
5,0 1,50,6989700
040,1760912
59 0,1230825080,48855906
7
7,0 0,80,8450980
4
-0,0969100
13 -0,0818984620,71419069
7
∑ log D i=¿2,498
∑ log ti=¿2,669
∑ log D i log t i=¿0,779
∑ (log Di)2=¿
1,552
20
m=5∑ log Di log ti−∑ log Di∑ log t i
5∑ ( log D i)2−(∑ log Di )
2 =−1,824
b=∑ (log Di )
2∑ log ti−∑ log Di∑ log D i log t i
5∑ ( log Di )2−(∑ log D i)
2 =1,445
m=n=−1,824 k=10b=27,86
Ecuación: t=27,86 D−1.824
t vs h:
D=1,5 cm:
h t log hi log t i log hi log t i ( logh i )2
1,0 13,5 0 1,130333768 0 0
4,0 26,70,60205999
1 1,426511261 0,858845358 0,36247623310,0 43,0 1 1,633468456 1,633468456 1
20,0 59,91,30102999
6 1,777426822 2,312485611 1,69267905
30,0 73,01,47712125
5 1,86332286 2,752353801 2,181887201
∑ log hi=¿4,380
∑ log ti=¿7,831
∑ log hi log t i=¿7,557
∑ (log hi)2=¿
5,237
m=5∑ log Di log ti−∑ log Di∑ log t i
5∑ ( log D i)2−(∑ log Di )
2 =0,497
b=∑ (log Di )
2∑ log ti−∑ log Di∑ log D i log t i
5∑ ( log Di )2−(∑ log D i)
2 =1,130
m=n=0,497 k=10b=13 , 49
Ecuación: t=13 , 49 h0,497
D=2,0 cm:
h t log hi log t i log hi log t i ( logh i )2
1,0 7,8 0 0,8920946 0 0
21
03
4,0 15,00,6020599
911,1760912
59 0,7080774930,36247623
3
10,0 23,7 11,3747483
46 1,374748346 1
20,0 33,71,3010299
961,5276299
01 1,987492323 1,69267905
30,0 41,21,4771212
551,6148972
16 2,3853990022,18188720
1
∑ log hi=¿4,380
∑ log ti=¿6,585
∑ log hi log t i=¿6,455
∑ (log hi)2=¿
5,237
m=5∑ log Di log ti−∑ log Di∑ log t i
5∑ ( log D i)2−(∑ log Di )
2 =0,490
b=∑ (log Di )
2∑ log ti−∑ log Di∑ log D i log t i
5∑ ( log Di )2−(∑ log D i)
2 =0 , 887
m=n=0,490 k=10b=7,72
Ecuación: t=7,72h0,490
D=3,0 cm:
h t log hi log t i log hi log t i ( logh i )2
1,0 3,7 0 0,568201724 0 0
4,0 6,80,60205999
1 0,832508913 0,501220309 0,36247623310,0 10,5 1 1,021189299 1,021189299 1
20,0 14,91,30102999
6 1,173186268 1,526350526 1,69267905
30,0 18,41,47712125
5 1,264817823 1,86828929 2,181887201
∑ log hi=¿4,380
∑ log ti=¿4,860
∑ log hi log t i=¿4,9170
∑ (log hi)2=¿
5,237
m=5∑ log Di log ti−∑ log Di∑ log t i
5∑ ( log D i)2−(∑ log Di )
2 =0,471
22
b=∑ (log Di )
2∑ log ti−∑ log Di∑ log D i log t i
5∑ ( log Di )2−(∑ log D i)
2 =0 ,559
m=n=0,471 k=10b=3,62
Ecuación: t=3,62h0,471
D=5,0 cm:
h t log hi log t i log hi log t i ( logh i )2
1,0 1,5 0 0,176091259 0 0
4,0 2,60,60205999
1 0,414973348 0,24983885 0,36247623310,0 3,9 1 0,591064607 0,591064607 1
20,0 5,31,30102999
6 0,72427587 0,942304631 1,69267905
30,0 6,81,47712125
5 0,832508913 1,22971661 2,181887201
∑ log hi=¿4,380
∑ log ti=¿2,738
∑ log hi log t i=¿3,013
∑ (log hi)2=¿
5,237
m=5∑ log Di log ti−∑ log Di∑ log t i
5∑ ( log D i)2−(∑ log Di )
2 =0,437
b=∑ (log Di )
2∑ log ti−∑ log Di∑ log D i log t i
5∑ ( log Di )2−(∑ log D i)
2 =0 ,164
m=n=0,437 k=10b=1,46
Ecuación: t=1,46h0,437
D=7,0 cm:
h t log hi log t i log hi log t i ( logh i )2
1,0 0,8 0
-0,0969100
13 0 0
4,0 1,30,6020599
910,1139433
52 0,0686007340,36247623
310,0 2,0 1 0,3010299 0,301029996 1
23
96
20,0 2,71,3010299
960,4313637
64 0,561217196 1,69267905
30,0 3,21,4771212
550,5051499
78 0,746167772,18188720
1
∑ log hi=¿4,380
∑ log ti=¿1,254
∑ log hi log t i=¿1,677
∑ (log hi)2=¿
5,237
m=5∑ log Di log ti−∑ log Di∑ log t i
5∑ ( log D i)2−(∑ log Di )
2 =0,412
b=∑ (log Di )
2∑ log ti−∑ log Di∑ log D i log t i
5∑ ( log Di )2−(∑ log D i)
2 =−0 ,110
m=n=0,412 k=10b=0,78
Ecuación: t=0,78h0,412
b) Haciendo uso de la calculadora científica encuentre las fórmulas
experimentales e indique el factor de correlación para todas las
gráficas obtenidas en los casos anteriores.
V vs i:
EcuaciónFactor de
Correlación
V = 4.36i 1
t vs D:
h Ecuación Factor de
Correlación
24
1 cm t=27.900 D−1. 82 4 -0.9999
4 cm t=58 .4211 D−1 .9 49 -0.9999
10 cm t=9 4 . 64 28 D−1 .985 -0.9999
20 cm t=13 5 .8 454 D−2. 0138 -0.9999
30 cm t=166 .9654 D−2 . 0143 -0.9998
t vs h:
D Ecuación Factor de
Correlación
1.5 cm t=13.4934 h0,4978 0.9999
2.0 cm t=7 . 7 163 h0,4905 0.9998
3.0 cm t=3 .62 41 h0 . 4712 0.9994
5.0 cm t=1 . 4582 h0 .4383 0.9982
7.0 cm t=0 . 7748 h0 . 4129 0.9983
t vs z:
h Ecuación Factor de
Correlación
1 cm t=0,2964+29,139 z 0.9998
4 cm t=0 , 1 405+5 9 ,699 z 0.9999
10 cm t=−0 , 094 9+96 ,510 z 0.9999
20 cm t=−0 , 0768+134 ,976 z 0.9999
30 cm t=0 , 08166+164 ,200 z 0.9999
A vs T:
Ecuación Factor de 25
Correlación
A=100,089−0.179 -0.9995
c) Haciendo uso del MS EXCEL grafique y presente fórmulas
experimentales y el factor de correlación para todas los casos.
Papel milimetrado:
V vs i:
EcuaciónFactor de
Correlación
V=4,3607 i+0,0087 1
t vs D:
h Ecuación Factor de
Correlación
1 cm t=27.9 D−1.825 -0.9999
4 cm t=58.421 D−1.949 -0.9998
10 cm t=94.64 3 D−1.985 -0.9999
20 cm t=135.85 D−2.014 -1
30 cm t=166.9 7 D−2.014 -0.9995
t vs h:
D Ecuación Factor de
Correlación
1.5 cm t=13.493 h0,4978 0.9999
2.0 cm t=7.7163 h0,4905 0.9997
3.0 cm t=3.6241 h0.4712 0.9988
5.0 cm t=1.4582 h0.4383 0.9964
7.0 cm t=0.7748 h0.4129 0.9966
26
t vs z:
h Ecuación Factor de
Correlación
1 cm t=0,296 5+29 , 814 z 0.9998
4 cm t=0,1405+59,699 z 1
10 cm t=−0,0949+96,510 z 0.9998
20 cm t=−0,0768+134,9 8 z 1
30 cm t=0,081 7+164,200 z 1
A vs T:
EcuaciónFactor de
Correlación
A=100 , 09−0.179 t -0.999
Papel logarítmico:
t vs D:
h Ecuación Factor de Correlación
1 cm y=1,445−1,824 x -0.9999
4 cm y=1,776−1,948 x -0.9998
10 cm y=1,976−1,982 x -0.9999
20 cm y=2,132−2,013 x -1
30 cm y=2,221−2,012 x -0.9995
t vs h:
D Ecuación Factor de Correlación
1.5 cm y=1,130+0,497 x 0.9999
2.0 cm y=0,887+0,490 x 0.9997
3.0 cm y=0,559+0,471 x 0.9988
5.0 cm y=0,164+0,437 x 0.9964
27
7.0 cm y=−0,110+0,412 x 0.9966
d) Compare sus resultados. ¿Cuál de los métodos de regresión le
parece confiable?
El uso de la calculadora científica genera datos muy exactos, por
lo tanto se puede corroborar fácilmente; también el uso del MS
EXCEL es de mucha ayuda cuando tienes una cantidad
considerable de datos, aunque redondea los valores obtenidos con
los de la calculadora, se puede afirmar que ambas son confiables.
3. Interpolación y extrapolación:
Considerando sus gráficos (en donde ha obtenidos rectas):
a) Calcular el tiempo en que se ha desintegrado el 50% de los
núcleos de radón, según la Tabla 3.
Para calcular lo pedido, procedemos a calcular la ecuación de
desintegración de los núcleos de radón en función del tiempo de
acuerdo a los datos proporcionados por la tabla 3
Tabla 3:
Requerimiento: Una hoja de papel milimetrado y una hoja de papel
semilogarítmico.
t ( dias ) A (% ) t i log Ai t i log A i t i2
0 100 0 2 0 0
28
T (días) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A (%) 100 84 70 59 49 41 34 27 24 20 17
1 84 1 1.9243 1.9243 1
2 70 2 1.8451 3.6902 4
3 59 3 1.7706 5.3126 9
4 49 4 1.6902 6.7608 16
5 41 5 1.6128 8.0632 25
6 34 6 1.5315 9.1889 36
7 27 7 1.4314 10.0195 49
8 24 8 1.3102 11.0417 64
9 20 9 1.3010 11.7093 81
10 17 10 1.2304 12.3045 100
∑ t i=55 ∑ A i=245 ∑ t i=55 ∑ logA i=17 .7175 ∑ t i log Ai=80 .150 ∑ t i2=385
n=11 (80 .015 )−55 (17 .7175 )11 (385 )−(55 )2
=−0 .0779
log k=(385 ) (17 . 7175 )− (55 ) (80 . 0150 )11 (385 )− (55 )2
=2 .0003
A( % )=100 .069∗10−0 . 0779 x
El tiempo de desintegración del 50% de los núcleos de radón es
igual a:
50=100. 069∗10−0 . 0779 x
t=3 . 8681dias
b)Halle los tiempos de vaciado del agua si:
Casos Altura h (cm) Diámetro d (cm) Tiempo t (s)01 20 4.0 8.54 s02 40 1.0 190.94 s
29
03 25 3.5 12.46 s04 49 1.0 211.48 s
* Caso 01: w=√2042 =0.28 y reemplazando en la ecuación:
t=30.2W +0.08=30.2(0.28)+0.08t = 8.54 s
* Caso 02: w=√4012 =6.32y reemplazando en la ecuación:
t=30.2(6.32)+0.08t = 190.94 s
* Caso 03: w=√253.52 =0.41 y reemplazando en la ecuación:
t=30.2(0.41)+0.08t = 12.46 s
* Caso 04: w=√4912 =7y reemplazando en la ecuación:
t=30.2(7)+0.08t = 211.48 s
c) Compare sus resultados obtenidos en la parte a) y b) con los
obtenidos con las fórmulas experimentales.
4. Haga w=√h/d2 para las alturas y diámetros correspondientes y
complete la tabla:
t (s) 73.0 43.0 26.7 15.0 10.5 3.9 1.5w 2.44 1.40 0.89 0.50 0.35 0.13 0.04
d(cm) h(cm) t(s) w=√hd2 t(s)
30
1,5 30 73,0 2,44 73,0
1,5 10 43,0 1,40 43,0
1,5 4 26,7 0,89 26,7
2,0 4 15,0 0,50 15,0
3,0 10 10,5 0,35 10,5
5,0 10 3,9 0,13 3,9
5,0 1 1,5 0,04 1,5
De donde:
∑Xi = 5,75 ∑Yi = 173,6 ∑XiYi = 273,83 ∑Xi2 =
9,09
m = 30,05
b = 0,14 → y=mx+b
t=30,05 w+0,1 4 Pero: w=√hd2
La ecuación experimental será:
t=t ( h ,d ) t=30,05(w=√h /d2)+0,1 4
31
5. Grafique t = t (w) en papel milimetrado. Si la distribución es
lineal haga el ajuste respectivo. Luego encuentre la ecuación
experimental correspondiente: t = t (h. d).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
1020304050607080
T vs W
Serie1Linear (Serie1)
W
T
åXi Yi = 273.61
åXi = 5.7465
åYi = 173.6
åXi2 = 9.0823
m=[ (4 x 273.61 ) – (5.7465 x173.6 ) ]
[ (4 x 9.0823 ) – (9.0823 ) 2 ]=30.0358
b=( (9.0823 x173.6 ) – (5.7465 x 273.61 ) )
(4 x 9.0823 ) – ( 9.0823 )2=0.1427
t (h ,d)=t(w)=30.0358 (w)+0.1427
32
6. Para investigar:
Para obtener la fórmula de una distribución de puntos en donde
solo se relacionan dos variables y = y (x), se utilizó la regresión
simple.
Cuando se tiene tres o más variables, y = y (v, w,…, z) se tendrá
que realizar la regresión múltiple.
a) Encuentre la fórmula t = t (h. d), utilice la Tabla 2.t h d hi t i h2 hi d i d i ti d i
2
73,0
30
1.5
2190 900 45 109.5 2.25
59.9
20
1.5
1198 400 30 89.85 2.25
43.0
10
1.5
430 100 15 64.5 2.25
33.7
20
2.0
674 400 40 67.4 4
23.7
10
2.0
237 100 20 47.4 4
18.4
30
3.0
552 900 90 55.2 9
10.5
10
3.0
105 100 30 31.5 9
6.8 4 5.0
27.2 16 20 34 25
3.2 30
7.0
96 90 210 22.4 49
0.8 1 7.0
0.8 1 7 5.6 49
∑ hi t i=¿5510
∑ h2=¿3817
∑ hi di=¿¿507
∑ d i t i=¿527.35
∑ d i2=¿¿
155.750
b) Hallar t para h = 15cm y D = 6 cm
T=45.65+0.572 h−8.295 d
T=45.65+0.572 (15 )−8.295 (6 )
T=−4.46 s
33
c) Hallar t para h = 40 cm y D = 1 cm
T=45.65+0.572 h−8.295 d
T=45.65+0.572(40)−8.295(1)
T=60.235 s
CONCLUSIONES
Aprendimos a organizar y graficar los datos experimentales haciendo
uso de tablas y papeles gráficos. Esto puede apreciarse en el
desarrollo correcto de las aplicaciones.
Aprendimos técnicas de ajuste de curvas mediante el método de
regresión lineal y el método de mínimos cuadrados. Tal como se
empleó en la resolución de la aplicación N° 5.
Obtuvimos ecuaciones experimentales que describen un fenómeno
físico y las interpretamos. Así como sus gráficas correspondientes.
34
BIBLIOGRAFÍA
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Madrid.
2. Martinez C. 2011. Estadística básica aplicada. Ecoe Ediciones.
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2. McGraw-Hill. México.
4. Meiners, Harry F.; Eppenstein, Walter; Moore, Kenneth H. 1980.
Experimentos de física. Limusa. México D.F.
35