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Facultad de IngenieraIngeniera Civil
NDICE
28 de Junio del 2016Cajamarca - Per
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Clculo III A!licaci"n deFuncione# de $aria# $aria%le#
Introduccin ----------------------------------------------------------- Pg. 21. Objetivos --------------------------------------------------------------- Pg. 32. Marco Terico. -------------------------------------------------------- Pg. 4
2.1.Funciones Agebraicas ----------------------------------------- Pg. 42.2.Funciones !oin"icas ---------------------------------------- Pg. 42.3.Funciones racionaes ------------------------------------------- Pg. #2.4.Funciones radicaes --------------------------------------------- Pg. #2.#.Funciones agebraicas a tro$os ------------------------------ Pg. %2.%.Funciones trascendentaes ----------------------------------- Pg. %2.&.Funciones trigono"'tricas ----------------------------------- Pg. &
3. (jercicios --------------------------------------------------------------- Pg. )4. *oncusiones ---------------------------------------------------------- Pg. 2+#. ,ibiograa ------------------------------------------------------------ Pg. 2/6. Ane0os ------------------------------------------------------------------Pg. 21
ITO**I5
En las Ciencias Experimentales es muy frecuente que tengamos
inters en poder expresar una variable (variable respuesta o variable
dependiente) en funcin de dos o ms variables (variables
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Clculo III A!licaci"n deFuncione# de $aria# $aria%le#
explicativas o variables independientes). Por eemplo! podemos estar
interesados en expresar"
El peso de una persona en funcin de su estatura y del
n#mero medio de calor$as diarias ingeridas. El peso de las aves en funcin de su envergadura y de su
longitud. El nivel medio de contaminacin en una regin en funcin de
las precipitaciones medias anuales y de su $ndice de
industriali%acin. &a presin atmosfrica en un determinado lugar en funcin de
su longitud y de su latitud. El n#mero de presas devoradas por un depredador (en un
tiempo fiado) en funcin de la densidad de presas y del
tiempo necesario para ca%ar cada una de ellas.
El modelo matemtico adecuado para expresar una variable en
funcin de otras variables es la funcin de varias variables. 'gual que
ocurr$a con las funciones de una variable! algunas de las
erramientas asociadas a este modelo nos permiten abordar y
expresar mucos aspectos interesantes de la relacin existente. oscentraremos en las erramientas ms sencillas" curvas de nivel y
derivadas parciales.
1. OBJETIVOS:
Principal"- *er las aplicaciones de diferentes funciones de tres o ms
variables.
+ecundarios"- ,esolver funciones de tres o ms variables.- -btener datos a partir de las funciones de varias variables.- -btener datos reales donde se aplica dico tema estudiado.
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Clculo III A!licaci"n deFuncione# de $aria# $aria%le#
2. MARCO TERICO:
2.1 Funciones agebraicas6
En las funciones algebraicas las operaciones que ay que efectuar
con la variable independiente son" la adicin! sustraccin!
multiplicacin! divisin! potenciacin y radicacin.&as funciones algebraicas pueden ser"
Funciones e0!citas6
+i se pueden obtener las imgenes de x por simple sustitucin.
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Clculo III A!licaci"n deFuncione# de $aria# $aria%le#
f(x )=5x2
Funciones i"!citas6+i no se pueden obtener las imgenes de x por simple sustitucin! sino que
es preciso efectuar operaciones.
5xy2=0
2.2 Funciones !oin"icas6
+on las funciones que vienen definidas por un polinomio.
f(x )=a0+a1x+a2x2
++anxn
+u dominio es ! es decir! cualquier n#mero real tiene imagen.
Funciones constantes6El criterio viene dado por un n#mero real.
f(x )=k
&a grfica es una recta ori%ontal paralela a al ee de abscisas.
Funciones !oin"ica de !ri"er grado6
f(x )=mx+n
+u grfica es una recta oblicua! que queda definida por dos puntos
de la funcin.
+on funciones de este tipo las siguientes"
- uncin af$n.
- uncin lineal.- uncin identidad.
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http://www.vitutor.com/fun/2/c_4.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/2/c_3.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/2/c_3.html#fihttp://www.vitutor.com/fun/2/c_3.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/2/c_3.html#fihttp://www.vitutor.com/fun/2/c_4.html -
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Clculo III A!licaci"n deFuncione# de $aria# $aria%le#
Funciones cuadrticas6
f(x )=ax2+bx+c
+on funciones polinmicas es de segundo grado! siendo su grficauna parbola.
2.3 Funciones racionaes6
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios"
El dominio lo forman todos los n#meros reales excepto los valores de
x que anulan el denominador.
2.4 Funciones radicaes6
- El criterio viene dado por la variable x bao el signo radical.
- El dominio de una funcin irracional de $ndice impar es ,.
- El dominio de una funcin irracional de $ndice par est
formado por todos los valores que acen que el radicando sea
mayor o igual que cero.
- Funciones agebraicas a tro$os6
+on funciones definidas por distintos criterios! seg#n los intervalos
que se consideren.
Funciones en vaor absouto. Funcin !arte entera de 0. Funcin "antisa./ Funcin signo.
2.# Funciones trascendentes6
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http://www.vitutor.com/fun/2/c_5.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/2/c_11.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/2/c_12.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/2/c_11.html#pehttp://www.vitutor.com/fun/2/c_11.html#fmhttp://www.vitutor.com/fun/2/c_11.html#fshttp://www.vitutor.com/fun/2/c_5.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/2/c_11.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/2/c_12.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/2/c_11.html#pehttp://www.vitutor.com/fun/2/c_11.html#fmhttp://www.vitutor.com/fun/2/c_11.html#fs -
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Clculo III A!licaci"n deFuncione# de $aria# $aria%le#
&a variable independiente figura como exponente! o como $ndice de
la ra$%! o se alla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los
signos que emplea la trigonometr$a.
Funcin!" !#$n!nci%&!":
f(x )=ax
+ea a un n#mero real positivo. &a funcin que a cada n#mero real x
le ace corresponder la potencia ax se llama uncin e0!onencia
de base a 7 e0!onente 0.
Funciones ogart"icas6&a funcin logar$tmica en base a es la funcin inversa de laexponencial en base a.
f(x )= logaX
Donde: a>0,a 1
2.% Funciones trigono"'tricas6
Funcin seno6
f(x )=Sen(x)
Funcin coseno6
f(x )=cos(x)
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Clculo III A!licaci"n deFuncione# de $aria# $aria%le#
Funcin tangente6
f(x )=Tg(x )
Funcin cosecante
f(x)=Cosec(x)
Funcin secante
f(x)=Sec(x)
Funcin cotangente
f(x)=Cotg(x)
A!icaciones de Funciones de 8arias 8ariabes6
&as aplicaciones de las funciones se pueden ver en la vida diaria! ya
que estas pueden expresar mucos fenmenos de la vida real. En la
ingenier$a! se pueden ver expresadas en varios tipos de funciones
que determinan varias propiedades utili%adas en la ingenier$a! como
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Clculo III A!licaci"n deFuncione# de $aria# $aria%le#
propiedades de los suelos! propiedades de los fluidos! propiedades
de curvas y metrados! etc.
En este informe! mostraremos dicas frmulas! sustentadas contablas que se incluirn en los anexos.
3 (9(*I*IO:6
;"ero de e7nods6
=Vd
vis
0. Por 1abla (0nexo 2)" 0gua 3 456C! *iscosidad 7 2.558925:/; m 7 5.< m * 7 25 m=s
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Clculo III A!licaci"n deFuncione# de $aria# $aria%le#
=(100,3)/(1.007106)
=2979145.978
&' Por (a%la )Ane*o 1+, Agua .0/C $i#co#idad 0'..610-6m34#
5 0'1.m $ 30 m4#
=(300.15)/(0.556106)
=8093525.18
Movi"iento de Masas nde"
es el peso espec$fico del fluido.
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Clculo III A!licaci"n deFuncione# de $aria# $aria%le#
? es la altura del fluid 0 es la aceleracin del fluido. @ es la gravedad.
a' =9810 ' ( ) 1.*+' %) ,.*+"2
F=98101.5(1+4.59
9.81)
F=21600N
%' =8829,h=3m,a=8/ s2
F=88293(1+ 8
9.81)
F=48087N
/!0 ! &% Cninui%:
Q1=Q2
1V1=2V2
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&os caudales siempre sern iguales! por lo tanto! el producto de lasvelocidades y reas ser igual.
a. >iametro2" 5.5Am *elocidad2" Bm=s>iametro4" 5.25m *elocidad4"
(0.052!)4
8=(0.102!)
4 X
X=2m
s
b. >iametro2" 2pies *elocidad2" 2.;Apies=s>iametro4" 5.4Apies *elocidad4" pies=s
(12!)4 1.65=
0.252!4
X
X=26.4 "iesseg
(cuacin de ,ernoui
#1+v21
2g
+"1
=# 2+v22
2 g
+"2
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a) >etermine las fuer%as en los miembros" C>! C! > y E de la armadurade puente representada en la figura.
? @ A 0B -etermine las fuer%as axiales en los elementos ?! @?! @F y @ de laarmadura mostrada.
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Clculo III A!licaci"n deFuncione# de $aria# $aria%le#
? @ A 0B -6)0'8+-:)1'2+I*)0'6+0
I* :6 G9
D 0.30.4
tang1
+ 36'86
#en D 3
5
co# D 4
5
? @ A 0B -)FH co# D+)0'3+16)0'3+0
FH20 E(
? @ H 0B )I co# D+)0'3+16)0'3+0
I -20 E C
? @ * 0 B 20 co# D -20 co# D H 16 0
H 1'6 E C
? @ 0 B FFH )4
5 - :0
F -8 E C
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Clculo III A!licaci"n deFuncione# de $aria# $aria%le#
C' 5etermine la KuerLa normal interna la KuerLa cortante elmomento Me*ionante en el !unto C de la viga' l !unto 5 e#ta
ju#to a la derecNa de la carga de . Oi!'
1+ 5eterminaci"n de la# reaccione#'
? @0 -A7)2:+ 6)18+ .)6+ 0
A7 .'
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@ 2.'.Gi!'!ieQ
? F -$ .
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Clculo III A!licaci"n deFuncione# de $aria# $aria%le#
5' 5etermine la KuerLa en lo# elemento# &C C5 5J JG de laarmadura NoRe e#ta%leLca #i lo# elemento# e#tn en ten#i"n ocom!ren#i"n'
Se#oluci"n
1+ 5eterminamo# la# reaccione# en A'
? @0 A7)12+ 3)12+ .)10+ .)8+ 6)6+ :):+ :)2+ 0 A7 1..O9Q
? F; A; 0
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2+ Kectuamo# el corte en a-a
? @J C5):+ .)2+ .):+ 3)6+ A7 )6+ 0 C5 112. O9Q
? @C -JG #in T):+ - A7):+ 3):+ .)2+ 0JG -1802
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>etermine la masa y la ubicacin del centro de masa ( xm G ym de la
barra uniforme con forma parablica. &a masa por unidad de longitud de labarra es 4 Hg=m.
=a longitud del elemento diKerencial,
d= d x2+d y2
dx
dy
2
+1dy
d= y
2
2
+1dy 1
2 y2+4dy
=a ma#a de e#te elemento diKerencial,
dm X d= 2)1
2 y2+4dy +
y2+4dy
=a ma#a de la %arra,
m 0
4
y2+4 dy=11.83154286%g
=a# coordenada# del centroide,
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xc=
y
4
0
4
(2)(y2+4dy )
11.83154286
19.40279405
11.83154286=1.639920869 m
yc= 0
4
(y )(y2+4dy )
11.83154286
27.14757303
11.83154286 2'2:.082
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A 0
2
(1
4x
3)dx 1 "ie2
=a# coordenada# del centroide,
xc= 0
2
( 14
x3)dx
1
8/71 1 !ie
yc= 0
2
(1
8x
3)(1
4x
3)dx
1
0
1
1
32x
6
dx 4 /71 0'.
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Clculo III A!licaci"n deFuncione# de $aria# $aria%le#
lemento diKerencial,
dA )100 ; + d
dA 100 y
400
2
d
Zrea ,
A 0
200
100 y
400
2
dy
A 1333'3333 mm2
Centro de inercia ,
'x=0
200
y2(100
y
400
2
)dy
'x=106666666.7 mm4
Sadio de giro ,
%x= 106666666.7
13333.33333
%x=84.44271913 mm
Te"a %6 O!ti"i$acin de unciones
'. +e construye una caa rectangular cerrada con volumen de 2;5cm