Download - Inecuaciones Polinomicas y Racionales
3/14/2010
INECUACIONES POLINOMICASMg. Luis Carlos Moreno Fuentes
Inecuaciones POLINMICAS Una inecuacin polinmica es la que tras pasar todos los trminos a un solo lado, la expresin resultante es un polinomio. P(x) 0 ; P(x) < 0 ; P(x) 0 ; P(x) > 0 Para resolverlas se hallan las races, tomada la expresin como una ecuacin. Luego se factoriza el polinomio caracterstico: P(x) = (x - x1).( x - x2 ).(x x3). Y por ltimo se halla el signo de cada factor en cada uno de los siguientes intervalos: (-oo, x1), ( x1 , x2 ), ( x2, x3 ), , (xn , +oo) La solucin ser un intervalo abierto o cerrado si las races halladas, x1, , x2 , pertenecen o no a la solucin del sistema.
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Ejemplo_1Resuelve la inecuacin: x3 5x2 - x + 5 < 0 Solucin Se hallan las TRES races por Rufinni: x1 = 1 , x2 = - 1 , x3 = 5 Se factoriza el polinomio: (x + 1 ).( x - 1 ).( x 5) < 0 Se halla el signo de cada factor:- oo ( x +1 ) (x-1) (x5) Productos -1 1 5 +oo
-
+ +
+ + -
+ + + +
Solucin = ( - oo, - 1 ) U ( 1, 5 )
Ejemplo_2Resuelve la inecuacin: x4 5x2 + 4 0 Solucin Se hallan las cuatro races por Rufinni: x1=1 , x2 =-1 , x3 = 2, x4=-2 Se factoriza el polinomio: (x + 1 ).( x - 1 ).( x 2) .( x + 2) 0 Se halla el signo de cada factor: - oo ( x +1 ) (x-1) (x+2) (x2) Productos -2 -1 1 2 +oo
+
+ -
+ + +
+ + + -
+ + + + +
Solucin = ( - oo, - 2 ] U [ -1, 1 ] U [2, +oo)
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Inecuaciones RACIONALES Una inecuacin racional es aquella en la que intervienen fracciones algebraicas. Para resolverlas se opera dejando a un lado la fraccin y al otro lado el cero. Luego se factorizan los polinomios numerador y denominador: (x - x1).( x - x2 ).(x x3). ----------------------------------(x - x4).( x - x5 ). Y por ltimo se halla el signo de cada factor en cada uno de los siguientes intervalos: (-oo, x1), ( x1 , x2 ), ( x2, x3 ), , (xn , +oo) La solucin ser un intervalo abierto o cerrado si las races halladas, x1, , x2 , pertenecen o no a la solucin del sistema. Nunca se incluyen en la solucin las races del denominador.
RESOLUCIN DE INECUACIONES Sea la inecuacin: 2 ------- + 3 4 x+1 SOLUCIONES: 2 + 3(x+1) ----------------- - 4 0 x+1 2 + 3(x+1) 4.(x + 1) ----------------------------- 0 x+1 1x -------- 0 x+1
Las races de numerador y denominador son el 1 y el -1
Se estudia el signo en (-oo, -1), (- 1, 1] y [1, +oo) Solucin = ( - oo, 1 ] { - 1}
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RESOLUCIN DE INECUACIONESSea la inecuacin: x 3 x2 -------- + --------------- 0 x+2 x2 4
SOLUCIN:(x 2)x + 3 x2 ------------------------- 0 x2 4 2.x + 3 ------------- 0 x2 4 2(1,5 x) ----------------------- 0 (x + 2)(x 2)
Como las races son: x = 1, x = 2, x = - 2 Hay que estudiar el signo de numerador y denominador en los intervalos: (-oo, - 2), (- 2, 1,5), (1,5, 2) y (2, +oo)
- oo ( 1,5 - x ) (x+2) (x2) Productos
-2
1,5
2
+oo
+ +
+ + -
+ +
+ + -
Solucin = ( - oo, - 2 ) U [ 1,5, 2 )
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