INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
Conjunto solución, gráfica y Comprobación.
enrique0975
INECUACIONES LINEALES
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ](- +
Esto quiere decir que son todos los valores incluidos el -2 hacia el infinito negativo
COMPROBACIÓN
- x + 15 3 – 7x - (- 2) + 15 3 – 7(-2) 2 + 15 3 +1417 17
x (- , -2]Conjunto solución
- x + 15 3 – 7x - (- 5) + 15 3 – 7(-5) 5 + 15 3 + 3520 38
- x + 15 3 – 7x - (- 8) + 15 3 – 7(-8) 8 + 15 3 + 5623 59
EJERCICIO 1
INECUACIONES LINEALES
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 [ )- +
Esto quiere decir que son todos los valores incluidos el -8/5 hacia el infinito positivo
COMPROBACIÓN
x [- 8/5, +)Conjunto solución
-8 5 = -1,6Solo se hace la división para saber donde va
representado en la recta
-8/5
x + 11 3 – 4x-1 + 11 3 – 4(-1)10 3 + 510 8
x + 11 3 – 4x2 + 11 3 – 4(2)13 3 – 6 13 - 3
EJERCICIO 2
INECUACIONES LINEALES
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 [ )- +
Esto quiere decir que son todos los valores incluido el 2 hacia el infinito positivo
COMPROBACIÓN
x [- 2, +)Conjunto solución
- x – 13 3 + 7x- x – 7x 3 + 13- 8x 16- 8x (-1) 16(-1)8x -16x -16/8x -2
- x – 13 3 + 7x - (-2) – 13 3 + 7(-2)2 – 13 3 – 14-11 -11
- x – 13 3 + 7x - (-1) – 13 3 + 7(-1)1 – 13 3 – 7 -12 - 4
- x – 13 3 + 7x - (3) – 13 3 + 7(3)-3 – 13 3 + 21-16 24
EJERCICIO 3
INECUACIONES LINEALES
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ](- +
Esto quiere decir que son todos los valores incluido el 5/3 hacia el infinito negativo
COMPROBACIÓN
x (-, 5/3]Conjunto solución
2x + 11 6 + 5x2x – 5x 6 – 11 – 3x – 5 – 3x(-1) – 5(-1) 3x 5x 5/3
5 3 = 1,6666….Solo se hace la división para saber donde va
representado en la recta
5/3
2x + 11 6 + 5x2(1) + 11 6 + 5(1)2 + 11 6 + 513 11
2x + 11 6 + 5x2(-2) + 11 6 + 5(-2)-4 + 11 6 – 10 7 – 4
EJERCICIO 4
INECUACIONES LINEALES
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 [ )- +
Esto quiere decir que son todos los valores incluido el -37/49 hacia el infinito positivo
COMPROBACIÓN
x [-37/49, +)Conjunto solución
-37 49 = - 0.7551Solo se hace la división para saber donde va
representado en la recta
-37/49
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EJERCICIO 5
COMPROBACIÓN ejercicio anterior
INECUACIONES LINEALES
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ](- +
Esto quiere decir que son todos los valores incluido el 63/22 hacia el infinito negativo
COMPROBACIÓN
x (-, 63/22]Conjunto solución
63 22 = 2.8636…..Solo se hace la división para saber donde va
representado en la recta
63/22
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EJERCICIO 6
COMPROBACIÓN ejercicio anterior
INECUACIONES LINEALES
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 )(- +
Esto quiere decir que son todos los valores SIN incluirel 1 hacia el infinito positivo
COMPROBACIÓN
x (1, +)Conjunto solución
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EJERCICIO 7
INECUACIONES CUADRÁTICAS
INECUACIONES CUADRÁTICAS
NOTA: Siempre en esta parte debe existir un x2 para que sea inecuación cuadrática, se lo puede resolver de dos maneras: por factorización (en caso que se pueda factorizar) o con la fórmula cuadrática.
El trinomio 3x2 + 2x + 10 no se puede factorizar como trinomio de la forma ax2+bx+c entonces aplicamos la fórmula cuadrática:
NOTA: NO existe la raíz de un número negativo, este se lo conoce como imaginario. Cuando suceda esto debemos dar un valor cualquiera sea positivo, negativo o cero y reemplazar la “x” por el valor que escojamos en la inecuación 3x2 + 2x + 10 0, vemos que el signo de esta inecuación es mayor que (>) entonces nuestro resultado debe ser positivo.
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a=3b=2c=10
EJERCICIO 8
3x2 + 2x + 10 > 03(2)2 + 2(2) + 10 > 03(4) + 4+ 10 > 012+ 4+ 10 > 026 > 0
Reemplazamos la “x” por un valor cualquiera, para esta demostración vamos a tomar un número positivo, uno negativo y el cero. Para ver que sucede. Pero no es necesario que hagan con tres números, suficiente con un número.
Reemplazando un número positivo
3x2 + 2x + 10 > 03(-3)2 + 2(-3) + 10 > 03(9) – 6 + 10 > 027 – 6 + 10 > 031 > 0
Reemplazando un número negativo
3x2 + 2x + 10 > 03(0)2 + 2(0) + 10 > 00 – 0 + 10 > 0 10 > 0
Reemplazando por el cero (0)
Como vemos en la demostración para los 3 casos satisface la inecuación entonces la respuesta es todos los números reales (R). En caso que la respuesta hubiera sido negativa o contraria al signo > o < (Ejemplo: – 8 > 0 o 5 < 0) el conjunto no tiene solución.
x (R) o (-, +)Conjunto solución
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 )(- +
Esto quiere decir que “x” pertenece al conjunto de los números reales (R)
INECUACIONES CUADRÁTICAS
a=2b=7c=3
NOTA: Como mencione anteriormente se los puede realizar por los 2 métodos, factorizar o fórmula general, todos los ejercicios los vamos a hacer por fórmula general.
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EJERCICIO 9
2x2 + 7x + 3 < 02(-4)2 + 7(-4) + 3 > 02(16) – 28 + 3 > 032 – 28 + 3 > 07 < 0
Ahora colocamos nuestras raíces en la gráfica
Reemplazando un número entre - y -3
Reemplazando un número entre -3 y -
1/2
Reemplazando un número entre -1/2 y+
x (-3, -1/2)Conjunto solución
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5)(- +-1/2
2x2 + 7x + 3 < 02(-2)2 + 7(-2) + 3 > 02(4) – 14 + 3 > 08 – 14 + 3 > 0-3 < 0
2x2 + 7x + 3 < 02(0)2 + 7(0) + 3 > 00 – 0 + 3 > 03 > 0
NO satisface la inecuación
NO satisface la inecuaciónSI satisface la
inecuación
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
- +-1/2( )
Esto quiere decir que “x” pertenece a los números entre -3 y -1/2 SIN incluir al -3 y al -1/2
INECUACIONES CUADRÁTICAS
a= -6b= 9c= -70
-6x2 + 9x – 70 0-6(0)2 + 9(0) – 70 00 + -10 0- 10 0
Reemplazamos en valor de “x” por un número cualquiera
NO satisface la inecuación
x () o NO tiene soluciónConjunto solución
EJERCICIO 10
INECUACIONES CUADRÁTICAS
a= 2b= 26c= 27
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EJERCICIO 11
2x2 + 26x + 27 02(-12)2 + 26(-12) + 27 02(144) – 312 + 27 0288 – 312 + 27 03 0
Ahora colocamos nuestras raíces en la gráfica
Reemplazando un número entre - y -11.8619
Reemplazando un número entre -11.8619 y 1.1381
Reemplazando un número entre 1.1381 y +
x (-, -11.8619] U [1.1381, +)Conjunto solución
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8)(- +1.1381
NO satisface la inecuación
SI satisface la inecuación
-11.8619
2x2 + 26x + 27 02(-2)2 + 26(-2) + 27 02(4) – 52 + 27 08 – 52 + 27 0-17 0
2x2 + 26x + 27 02(2)2 + 26(2) + 27 02(4) + 52 + 27 08 + 52 + 27 087 0
SI satisface la inecuación
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8)(- +1.1381-11.8619
[]
INECUACIONES CUADRÁTICASa= -4, b= -33, c= -7
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EJERCICIO 12
-4x2 – 33x – 7 0-4(-9)2 – 33(-9) – 7 0-4(81)+ 297 – 7 0-324 + 297 – 7 0-34 0
Ahora colocamos nuestras raíces en la gráfica
Reemplazando un número entre - y -0.2821
Reemplazando un número entre -0.2821 y 8.0321
Reemplazando un número entre 8.0321 y +
x [-8.0321, -0.2821]Conjunto solución
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8)(- +-8.0321
NO satisface la inecuación
SI satisface la inecuación
-0.2821
-4x2 – 33x – 7 0-4(-2)2 – 33(-2) – 7 0-4(4) + 66 – 7 0-16 + 66 – 7 043 0
-4x2 – 33x – 7 0-4(2)2 – 33(2) – 7 0-4(4) – 66 – 7 0-16 – 33 – 7 0-56 0
NO satisface la inecuación
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8][- +-8.0321 -0.2821
INECUACIONES CUADRÁTICAS
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EJERCICIO 13
x2 – x – 6 < 0(-3)2 – (-3) – 6 < 09 + 3 – 6 < 012 < 0
Ahora colocamos nuestras raíces en la gráfica
Reemplazando un número entre - y -2
Reemplazando un número entre -2 y 3
Reemplazando un número entre 3 y +
x (-2, 3)Conjunto solución
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7)(- +
NO satisface la inecuación
SI satisface la inecuación
NO satisface la inecuación
x2 – x – 6 < 0(0)2 – (0) – 6 < 00 + 0 – 6 < 0-6 < 0
x2 – x – 6 < 0(4)2 – (4) – 6 < 016 – 4 – 6 < 06 < 0
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7)(- +
INECUACIONES CUADRÁTICAS
SIGUE EN LA SIGUIENTE PAGINA
EJERCICIO 14
-x2 – 2x + 8< 0-(-5)2 – 2(-5) + 8< 0-25 + 10 + 8< 0-7 < 0
Ahora colocamos nuestras raíces en la gráfica
Reemplazando un número entre - y -4
Reemplazando un número entre -4 y 2
Reemplazando un número entre 2 y +
x (-, -4) U (2, +)Conjunto solución
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 )(- +
NO satisface la inecuación
SI satisface la inecuación
-x2 – 2x + 8< 0-(0)2 – 2(0) + 8< 0-0 + 0 + 8< 08 < 0
-x2 – 2x + 8< 0-(3)2 – 2(3) + 8< 0-9 – 6 + 8< 0- 7 < 0
SI satisface la inecuación
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 )(- +) (
INECUACIONES CUADRÁTICASEJERCICIO 15
2x2 + 5x + 6 < 02(0)2 + 5(0) + 6 < 00 + 0 + 6 < 06 < 0
NO satisface la inecuación
x () o NO tiene soluciónConjunto solución
INECUACIONES CUADRÁTICASEJERCICIO 16
-x2 + 3x – 4 < 0-(0)2 + 3(0) – 4 < 0-0 + 0 – 4 < 0– 4 < 0
SI satisface la inecuación
x (R) o (-, +)Conjunto solución
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 )(- +
Esto quiere decir que “x” pertenece al conjunto de los números reales (R)
INECUACIONES CUADRÁTICASEJERCICIO 17
SIGUE EN LA SIGUIENTE PAGINA
2x2 + 5x – 3 < 02(2)2 + 5(2) – 3 < 02(4) + 10 – 3 < 08 + 10 – 3 < 015 < 0
2x2 + 5x – 3 < 02(-4)2 + 5(-4) – 3 < 02(16) – 20 – 3 < 032 – 20 -3 < 09 < 0
Ahora colocamos nuestras raíces en la gráfica
Reemplazando un número entre - y -3
Reemplazando un número entre -3 y 1.5
Reemplazando un número entre 1.5 y +
x (-3, 1/2) U (1.5, +)Conjunto solución
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 )(- +
NO satisface la inecuación
NO satisface la inecuación
SI satisface la inecuación
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 )(- +
2x2 + 5x – 3 < 02(-1)2 + 5(-1) – 3 < 02(1) – 5 – 3 < 02 – 5 – 3 < 0– 6 < 0
1/2
INECUACIONES CUADRÁTICASEJERCICIO 18
SIGUE EN LA SIGUIENTE PAGINA
6x2 + 31x + 18 06(-6)2 + 31(-6) + 18 06(36) – 186 + 18 0216 – 186 + 18 048 0
Ahora colocamos nuestras raíces en la gráfica
Reemplazando un número entre - y -4.5
Reemplazando un número entre -4.5 y -0.6666
Reemplazando un número entre -0.6666 y +
x (-9/2, -2/3)Conjunto solución
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 )(- +
NO satisface la inecuación
NO satisface la inecuación
SI satisface la inecuación
6x2 + 31x + 18 06(-2)2 + 31(-2) + 18 06(4) – 62 + 18 024 – 62 + 18 0– 20 0
6x2 + 31x + 18 06(1)2 + 31(1) + 18 06(1) + 31 + 18 06 + 31 + 18 055 0
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 )(- +[ ]
-4.5 -0.666