-
SISTEMAS DINÁMICOS
SISTEMAS DINÁMICOS CUADRÁTICOS.
LA FAMILIA LOGÍSTICA
-
S.dinámicos cuadraticos. La familia logística
Vamos a ver cómo varía el comportamiento, según varía c en IR+Para c=0, f0(x)=0, y la órbita de cualquier punto x es O+(x)={x,0,0,0,...}.
La familia logística es la formada por las aplicaciones fc:[0,1] →[0,1] de la forma fc(x)=cx(1-x), con c real.
-
La familia logística (0
-
La familia logística (0
-
La familia logística (0
-
La familia logística (c=1)Existe un único punto fijo, 0,atractivo por la derecha y repulsivo por la izquierdaA(0) = [0,1]
La órbita de los demás puntos diverge a ∞
-
La familia logística (c=1)La iteración de las gráficas es c=1
-
Bifurcación para c=1
c=0.75Al pasar por c=1, el punto fijo atractivo 0 se convierte en repulsivo, mientras que el punto fijo repulsivo que existe para c
-
Bifurcación para c=1
c=1
(bifurcación transcrítica).
Al pasar por c=1, el punto fijo atractivo 0 se convierte en repulsivo, mientras que el punto fijo repulsivo que existe para c
-
Bifurcación para c=1
c=1.25
(bifurcación transcrítica).
Al pasar por c=1, el punto fijo atractivo 0 se convierte en repulsivo, mientras que el punto fijo repulsivo que existe para c
-
La familia logística (11.
Como
Y como
-
La familia logística (1
-
La familia logística (1
-
La familia logística (1
-
La familia logística (1
-
La familia logística (1
-
La familia logística (1
-
La familia logística (c=3)
La órbita de los demás puntos diverge a ∞
El punto fijo atractivo, pc, es indiferente, aunque atractivo, anunciando una bifurcación.
A(pc)=(0,1)fc(1)=0
-
La familia logística (c=3)La iteración de las gráficas es c=3
-
Para c>3 los 2 puntos fijos son repulsivos.Si existen puntos 2-periódicos serán solución de
La familia logística (c>3)
2 ( )cf x x=que tiene por soluciones
2 21 2| ( ) '( ) | | ( ) '( ) | |1 ( 1)( 3) | 1 3 1 6 3.449c cf q f q c c c= = − + − < ⇔ < < +
{q1, q2} será un 2-ciclo atractivo si
1 21 ( 1)( 3) 1 ( 1)( 3)
y 2 2
c c c c c cq q
c c+ − + − + + + −
= − = −
-
La familia logística (3
-
La familia logística (3
-
La familia logística (3
-
La familia logística (3.449
-
La familia logística (3.449
-
La familia logística (3.449
-
La familia logística (3.449
-
La familia logística (3.449
-
La familia logística (3.449
-
existe un 2n-ciclo repulsivo, ∀n∈IN
La órbita de los demás puntos diverge a ∞
Existe un conjunto de Cantor atractivo cuya cuenca de atracción es (0,1)excepto los puntos eventualmente 2n-periódicos
Para c= λ∞≈ 3.570
La familia logística (c=λ∞=3.570)
-
La familia logística (c=λ∞=3.570)
Construcción del conjunto de Cantor:
-
El conjunto de Cantor atractivo se ve en la siguiente figura que representa un estado avanzado de la órbita del punto anterior
La familia logística (c=λ∞=3.570)
-
La iteración de las gráficas es
La familia logística (c=λ∞=3.570)
c=3.57
donde se ve tanto el conjunto de Cantor atractivo como los puntos fijos y 2n-periódicosy eventualmente fijos y eventualmente 2n-periódicos
-
Si representamos en unos ejes los puntos a los que converge la órbita de fcn(1/2), para los diferentes valores de c obtenemos el diagrama de Feigennaum
El diagrama de Feigenbaum
-
El diagrama de FeigenbaumEl utilizar la órbita del punto 1/2 se basa en el siguiente:
-
El diagrama de FeigenbaumTeorema. Si f:IR→IR cumple entonces para todo punto fijo o periódico p se tiene que:
o bien A(p) es un intervalo infinito o bien existe un punto crítico de f en A(p) o bien p es repulsivo.
0)(')(''
23
)(')(''')(
2
≤⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
xfxf
xfxfxSf
-
Un detalledeldiagramadeFeigenbaum
El diagrama de Feigenbaum
-
Un detalledeldiagramadeFeigenbaum
El diagrama de Feigenbaum
-
> feigen:=proc(a,b,m,n,r)> local l,i,s,c,j,k;> l:=[]: > for i from 0 to r do:> s:=1/2; c:=a+(b-a)*i/r: > for j to m do: > s:=evalf(c*s*(1-s)): > od:> for k from 1 to n do: > s:=evalf(c*s*(1-s)); l:=[op(l),[c,s]]; > od; > od; > plots[pointplot](l,style=POINT,symbol=POINT);> end:
El diagrama de Feigenbaum
-
f1
f32
¿Por qué la duplicación del periodo?La gráfica de f32 contiene dos cuasiparábolas equivalentes a la gráfica de f1
-
f1.5
f3.22
¿Por qué la duplicación del periodo?Según aumenta el parámetro, la altura de las cuasiparábolasaumenta
-
f1.5
f3.22
¿Por qué la duplicación del periodo?El comportamiento de fc para c>3 va a ser un reflejo, con alternancia entre esos dos intervalos, del comportamiento para c>1
-
δ es la constante de Feigenbaum o constante del caos.
Entonces si d(k)=m(k+1)-m(k) y D(k)=d(k)/d(k+1),para todo k, se tiene
Sea m(1)=3, m(2) =3.449, m(3), ..., los puntos en que se produce duplicación del periodo.
Duplicación m(k) d(k) D(k)1 a 2 3.0000000 0.4494896 4.7514405282 a 4 3.4494896 0.0946007 4.6562336964 a 8 3.5440903 0.0203170 4.6683210408 a 16 3.5644073 0.0043521 4.66863334016 a 32 3.5687594 0.0009322 4.66800200332 a 64 3.5696916 0.000199764 a 128 3.5696916
La constante de Feigenbaum
↓δ=4.669201609...
-
Aunque λ∞ depende de la familia logística, la constante de Feigenbaum es universal (es la misma para una gran variedad de familias).
Por tantoEntonces d(k) es aproximadamente geométrica de razón δ.
(1)lim ( ) (1) 3.571992211k
dm k m δλδ∞ →∞
= ≈ + =−(2)lim ( ) (2) 3.569873191k
dm k m δλδ∞ →∞
= ≈ + =−(6)lim ( ) (6) 3.5699457261k
dm k m δλδ∞ →∞
= ≈ + =−
Una mejor aproximación sería
O mejor aun
La constante de Feigenbaum
-
Sea m1=3.6785 el punto de unión de las dos ramas.
¿Por qué se divide el diagrama en m1?Vanos a ver lo que ocurre tras el punto de Feigenbaum.
-
fm12
f4
¿Por qué se divide el diagrama en m1?La gráfica de fm12 contiene dos cuasiparábolas cuya imagen rellena el cuadrado correspondiente y que son por tanto equivalentes a la gráfica de f4.
-
fm12
f4
¿Por qué se divide el diagrama en m1?La gráfica de fm12 contiene dos cuasiparábolas cuya imagen rellena el cuadrado correspondiente y que son por tanto equivalentes a la gráfica de f4.Esos cuadrados son invariantes por fm12 y atraen las órbitas situadas fuera.
-
Según disminuye el parámetro, la altura de las cuasiparábolas disminuye y las imágenes de los intervalos ya no son los intervalos completos.
¿Por qué se divide el diagrama en m1?
-
Según disminuye el parámetro, la altura de las cuasiparábolas disminuye y las imágenes de los intervalos ya no son los intervalos completos.
¿Por qué se divide el diagrama en m1?
-
Según disminuye el parámetro, la altura de las cuasiparábolas disminuye y las imágenes de los intervalos ya no son los intervalos completos.
¿Por qué se divide el diagrama en m1?
-
¿Por qué se divide el diagrama en m1?El comportamiento de fc para c menor que m1 va a ser un reflejo, con alternancia entre esos dos intervalos, del comportamiento para c menor que 4.
-
Esto provoca la creación de las dos ramas.Cada una de las ramas es, para valores menores de m1, similar a todo el diagrama para valores menores que 4.
La familia logística (λ∞=3.570
-
La familia logística (λ∞=3.570
-
La familia logística (λ∞=3.570m3>...de puntos en los que se produce división de franjas tales que fc en (mi+1,mi) es, con alternancia entre 2i intervalos, como fc en (m1,4).
-
La familia logística (λ∞=3.570
-
La familia logística (λ∞=3.570
-
La familia logística (λ∞=3.570
-
La familia logística (λ∞=3.570
-
Para c=3.82, f3 tiene la siguiente forma
¿Por qué surge un 3-ciclo en c=3.828?
-
Para c=3.828, f3 tiene la siguiente forma
¿Por qué surge un 3-ciclo en c=3.828?
-
Para c=3839, f3 tiene la siguiente forma
Así, para c=3.828, f3 tiene una bifurcación tangente
¿Por qué surge un 3-ciclo en c=3.828?
-
La proximidad de una bifurcación tangente produce un fenómeno de intermitencia, que se ve si comparamos la órbita de 1/2 para c=3.82 y c=3.828
¿Por qué surge un 3-ciclo en c=3.828?
-
¿Cuantos 3-ciclos aparecen?Para c=1f3 tiene la siguiente forma
-
¿Cuantos 3-ciclos aparecen?Para c=2f3 tiene la siguiente formaCorresponde al punto fijo superatractivo, que también es 4-ciclo
-
¿Cuantos 3-ciclos aparecen?Para c=3f3 tiene la siguiente forma
-
¿Cuantos 3-ciclos aparecen?Para c=3.2f3 tiene la siguiente forma
-
¿Cuantos 3-ciclos aparecen?Para c=3.5 f3 tiene la siguiente forma
-
¿Cuantos 3-ciclos aparecen?Para c=3.6f3 tiene la siguiente forma
-
Para c=3.82f3 tiene la siguiente forma
¿Cuantos 3-ciclos aparecen?
-
Para c=3.828f3 tiene la siguiente forma
¿Cuantos 3-ciclos aparecen?
-
Para c=3839f3 tiene la siguiente formaAsí, para c=3.828, f3 tiene una bifurcación tangente
¿Cuantos 3-ciclos aparecen?
-
¿Cuantos 3-ciclos aparecen?Para c=3.9f3 tiene la siguiente forma
-
¿Cuantos 3-ciclos aparecen?Para c=4f3 tiene la siguiente formaAsí, hay exactamente 1 bifurcación tangente de f3 que dan lugar a la aparición de 4-ciclos atractivos
-
¿Cuantos 4-ciclos aparecen?Para c=1f4 tiene la siguiente forma
-
¿Cuantos 4-ciclos aparecen?Para c=2f4 tiene la siguiente formaCorresponde al punto fijo superatractivo, que también es 4-ciclo
-
¿Cuantos 4-ciclos aparecen?Para c=3f4 tiene la siguiente forma
-
¿Cuantos 4-ciclos aparecen?Para c=3.236067978f4 tiene la siguiente formaCorresponde al 2-ciclo superatractivo, que también es 4-ciclo
-
¿Cuantos 4-ciclos aparecen?Para c=3.498561699, f4 tiene la siguiente formaCorresponde al 4-ciclo superatractivotras la a duplicación del periodo
-
¿Cuantos 4-ciclos aparecen?Para c=3.6f4 tiene la siguiente forma
-
¿Cuantos 4-ciclos aparecen?Para c=m1=3.6785f4 tiene la siguiente forma
-
¿Cuantos 4-ciclos aparecen?Para c=3.8f4 tiene la siguiente forma
-
¿Cuantos 4-ciclos aparecen?Para c=3.9f4 tiene la siguiente forma
-
¿Cuantos 4-ciclos aparecen?Para c=3.95f4 tiene la siguiente forma
-
¿Cuantos 4-ciclos aparecen?Para c=3.96f4 tiene la siguiente forma
-
¿Cuantos 4-ciclos aparecen?Para c=4f4 tiene la siguiente formaAsí, hay exactamente 1 bifurcación tangente de f4 que dan lugar a la aparición de 4-ciclos atractivos
-
¿Cuantos 5-ciclos aparecen?Para c=m1=3.6785f5 tiene la siguiente forma
-
¿Cuantos 5-ciclos aparecen?Para c=3.738, f5 tiene la siguiente formaAsí, para c=3.738, f5 tiene una bifurcación tangente que da lugar a la aparición de un 5-ciclo atractivoPara c
-
¿Cuantos 5-ciclos aparecen?Para c=3.8, f5 tiene la siguiente forma
-
¿Cuantos 5-ciclos aparecen?Para c=3.86, f5 tiene la siguiente forma
-
¿Cuantos 5-ciclos aparecen?Para c=3.9055, f5 tiene la siguiente formaAsí, para c=3.9055, f5 tiene una bifurcación tangente que da lugar a la aparición de un 5-ciclo atractivo
-
¿Cuantos 5-ciclos aparecen?Para c=3.946, f5 tiene la siguiente forma
-
¿Cuantos 5-ciclos aparecen?Para c=3.974, f5 tiene la siguiente forma
-
¿Cuantos 5-ciclos aparecen?Para c=3.99, f5 tiene la siguiente formaAsí, para c=3.9902, f5 tiene una bifurcación tangente que da lugar a la aparición de un 5-ciclo atractivo
-
¿Cuantos 5-ciclos aparecen?Para c=4, f5 tiene la siguiente formaAsí, hay exactamente 3 bifurcaciones tangentes de f5 que dan lugar a la aparición de 5-ciclos atractivos
-
La familia logística (c=4)La órbita de un punto es
La órbita no parece estabilizarse
-
La familia logística (c=4)
Todos son repulsivos
La iteración de las gráficas es
La imagen de cualquier intervalo acaba siendo todo (0,1)
Los puntos periódicos son densos
-
La familia logística (c=4)Para ver que la imagen de cualquier intervalo acaba siendo todo (0,1), calculamos la órbita de un intervalo
-
Si comparamos la serie temporal de 0.7500000000
La familia logística (c=4)
-
y la serie temporal de 0.7500000001
Vemos que hay sensibilidad a las condiciones iniciales, las órbitas de puntos arbitrariamente cercanos se separan
La familia logística (c=4)
-
La órbita dealgunos puntos del intervalo [0,1] sale de [0,1], pasa a ser negativa y se va a ∞
La familia logística (c>4)Por ejemplo, para c=4.1
-
Vamos a ver los puntos cuya órbita no se vaa ∞
La familia logística (c>4)
El conjunto de puntos que sale del intervalo [0,1] en una iteración es un intervalo abierto centrado en 1/2
-
La familia logística (c>4)
El conjunto de puntos que sale del intervalo [0,1] en 2 iteraciones son 2 intervalos abiertos situados a ambos lados del anterior
-
La familia logística (c>4)
El conjunto de puntos que sale del intervalo [0,1] en 3 iteraciones son 4 intervalos abiertos situados a los huecos dejados por los anteriores
-
La familia logística (c>4)
El conjunto de puntos que sale del intervalo [0,1] en 4 iteraciones son 8 intervalos abiertos situados a los huecos dejados por los anteriores
-
La familia logística (c>4)
El conjunto de puntos que sale del intervalo [0,1] en 5 iteraciones son 16 intervalos abiertos situados a los huecos dejados por los anteriores
-
La familia logística (c>4)El conjunto de puntos cuya órbita no se va a ∞ es un Conjunto de Cantor C, que es invariante
-
Existen puntos periódicos de todos los periodosTodos son repulsivos y densos en CPara todo intervalo abierto I, fck(C∩I)→(0,1)
La iteración de las gráficas es
La familia logística (c>4)
SISTEMAS DINÁMICOSS.dinámicos cuadraticos. La familia logísticaLa familia logística (0