COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 2DO. AÑO
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003
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COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 2DO. AÑO
No sabemos dónde tuvo su origen exactamente el Método de “División Larga”. Pero parece lo más probable que fuera en la India, puesto que allí se utilizaba ya en el Siglo XII como mínimo y de la India parecer ser que se extendió a China y a Arabia. De los árabes pasó a Italia durante los siglos XIV y XV. Los árabes, y a través de ellos más tarde los europeos, adoptaron la mayor parte de sus artificios aritméticos de los hindúes, y por lo tanto es, muy probable que también provenga de la India el método de “división larga” conocido como el “método de la galera”, por su semejanza con un barco con las velas desplegadas. Para ilustrar este método, supongamos la división de 44977 por 382; en la figura aparece hecha esta división por el método moderno, y por el método de la galera. Este segundo se parece mucho al primero excepto en que el dividendo aparece en el medio, ya que las restas se hacen cancelando los dígitos y poniendo las diferencias encima de los
minuendos y no debajo. Así pues, el resto final 283 aparece en la parte superior derecha y no en la parte inferior.
El proceso reproducido en la figura es fácil de seguir si tenemos en cuenta que los dígitos de un substraendo dado, como el 2674, o de una diferencia dada, como la 2957, no figuran todos ellos necesariamente en la misma fila, y que los substraendos aparecen escritos por debajo de la línea central y las diferencias por encima; por otra parte, la posición en una columna es importante, pero no la posición en una fila. El cálculo de raíces de números probablemente siguió un esquema análogo al de la “galera”, ligado en la época posterior al teorema binomial en la forma del “triángulo de Pascal”, pero los matemáticos hindúes no daban nunca explicaciones de sus cálculos ni demostraciones de sus reglas; es posible que las influencias china o babilónica jugaran un papel importante en el proceso de evolución del cálculo de raíces. Se oye decir a veces que “la prueba de los nueves” es un invento hindú, pero parece que los griegos ya conocían esta propiedad mucho antes, aunque no la usaron de una manera general, y que este método se popularizó solamente con los árabes hacia el siglo XI.
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División
44977 382
382
667
382
29572674283
117
2 2 1 11 9 8
1 6 7 5 34 4 9 7 73 8 2 2 4
3 8 72 6 1
382 117
División por el Método de la Galera, del Siglo XVI, procedente de un manuscrito no
publicado de un monje veneciano. El título de la obra es “Opus Aritmética D. Honorati veneti monachj coenobij S. Lauretig”, Biblioteca de
Mr. Plimpton.
DIVISIÓN ALGEBRAICA IDIVISIÓN ALGEBRAICA I
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Es una operación que consiste en hallar una expresión denominada cociente dada otras dos denominadas dividendo y divisor.
En el esquema: Donde:D : Dividendod : Divisorq : Cocienter : Resto o Residuo
Siempre se cumple:
D = dq + r
Llamada identidad fundamental de la división.
Ejemplo:
25 7 Dividendo = 25 59 9 D = 59
21 3 Divisor = 7 54 6 d = 9
4 Cociente = 3 5 q = 6
Resto = 4 r = 5
Según la identidad fundamental de la división: Luego: 59 = 9 . 6 + 5
25 = 7 . 3 + 4
AHORA TU! 17 3 D = 31 5 D =
d = d =
q = q =
r = r =
Luego ¿qué se cumple? Luego:
17 = 31 =
RecordemosLEY DE SIGNOS
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NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 4 SEGUNDO AÑO
D d
r q
Sabías queA la Identidad
Fundamental de la división también se
le conoce como Algoritmo de
Euclides quien fue un matemático griego
Con números¡Es fácil!Pero con
polinomios ¿cómo se opera?
Ten presente:La división de
signos iguales da (+).
La división de signos diferentes da
(–).
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Ejemplos:
AHORA TU!
LEYES DE EXPONENTES
Ejemplos:
AHORA TU!
1. DIVISIÓN ENTRE MONOMIOSPara dividir monomios: la parte constante se divide de acuerdo a la Ley de Signos y la parte
variable según la Ley de Exponentes.
Ejemplos:
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Observa que:
es lo mismo
que escribir es decir
toda fracción
Recuerda siempre que la división entre cero no
esta definida por ejemplo las siguientes
divisiones no se pueden realizar:
Ahora que ya recordamos estudiemos
como se dividen los polinomios.
En la Región de Mesopotamia, lo que actualmente es Irak se han encontrado tablillas para dividir
utilizadas por los Babilonios del 2000
al 600 a.C.
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AHORA TU!
2. DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIOPara este caso debemos utilizar la propiedad distributiva:
Ejemplos:
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Todo número diferente de
cero elevado a la cero es 1.
Ejemplo:5º = 1; 4º = 1; (-
2)º = 1; 0º : indefinido
Sabías que
Según el resto existen 2 clases de división: La
división exacta cuando el resto es idénticamente
nulo y la división inexacta cuando el resto
no es nulo.Ejemplo: 12 3
12 4 0
15 612 2
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AHORA TU!
1. Al dividir: 12x3y entre 4xy
Se obtiene: mxn
Hallar:
a) 2 b) 1 c) 3
d) 4 e) 5
2. Luego de dividir: -36x3y2z4 entre 3x2yz3
Se obtiene: mxnypzq
Calcular:
a) 12 b) -4 c) 3
d) -2 e) 1
3. Si:
Calcular: m + n – p
a) 6 b) 7 c) 9
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EJERCICIOS DE APLICACIÓNEJERCICIOS DE APLICACIÓN
Por inscripciones que datan desde 3000 a.C. sabemos que
los egipcios tenían la costumbre de expresar todas las fracciones con numerador uno, por ejemplo escribieron:
;
Mientras que 2/5 y 5/6 respectivamente como:
DivisiónExacta
Resto
DivisiónInexacta
Resto
Sabías que
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d) 3 e) 1
4. Luego de dividir: 16x3 + 8x2 entre 2x
Calcular la suma de coeficientes del
cociente.
a) 4 b) 8 c) 2
d) 12 e) 24
5. Calcular el cociente en:
Dar por respuesta GR(x) + GR(y) de este
cociente.
a) 12 b) 7 c) 3
d) 14 e) 6
6. Si de: se obtiene un
cociente. Calcular el grado.
a) 7 b) 5 c) 4
d) 3 e) 2
7. Simplificar:
a) x2y b) 3x2y c) -2x2y
d) –x2y e) xy2
8. Reducir:
a) x4y2 b) 0 c) xy2
d) 2x3y2 e) 1
9. Simplificar:
a) 1 b) 3x2y4 c)
3xy2
d) xy2 e) xy
10. Reducir:
a) x2 + y4 b) x2 + x4 c)
x2
d) x4 e) 0
11. Simplificar:
a) x2y + x4y7 b) 0 c) 4x2y
d) x4y7 e) –x2y
12. Reducir:
a) x4 + x6 + x b) 1 c) 3x4
d) 4x4 e) 8x6
13. Reducir:
Si: x3y2 = 3
a) 3 b) 1 c) 27
d) 9 e) 15
14. Hallar el valor de:
Si: x2 + x4 + x3 = 1
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
15. Calcular el valor de:
Si: x2 = 2 y x4 = 4
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a) 50 b) 44 c) 14
d) 64 e) 94
TAREA DOMICILIARIA Nº 4
1. Luego de dividir: 20x5y3 entre 5x2y
Se obtiene: mxnyp
Calcular:
a) 3 b) 1 c) 2
d) 4 e) 6
2. En la división de: 48x7y10z12 entre
12x3y5z8
Se obtiene: axbyczd
Hallar:
a) 5 b) 10 c) 16
d) 4 e) 8
3. Si:
Calcular:
a) 24 b) 72 c) 26
d) 14 e) 28
4. En la división: calcular la
suma de coeficientes del cociente.
a) 6 b) 9 c) 3
d) 15 e) 8
5. En la división:
Luego de obtener el cociente.
Calcular: GR(x) – GR(y)
a) 2 b) -10 c) 10
d) 12 e) 14
6. Al dividir: se
obtiene un polinomio homogéneo.
Calcular el grado de homogeneidad.
a) 5 b) 7 c) 2
d) 8 e) 12
7. Simplificar:
a) 13x3y7 b) 7x3y7 c)
6x3y7
d) 1 e) 0
8. Simplificar:
a) 3x5y3 b) 0 c) -2x5y3
d) 1 e) 2
9. Reducir:
a) 3 b) 1 c) 2
d) 15 e) 5
10. Simplificar:
a) 1 b) 0 c) 2
d) x7 + x3 e) x7 – x3
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11. Reducir:
a) 5x2 – 6y3 b) 2x2 + 2y3 c) -3x2 +
8y3
d) 1 e) 0
12. Reducir:
a) 1 b) 5x3 – 9x6 c) 2
d) x3 e) x6
13. Simplificar:
Si: x7y3z9 = 2
a) 2 b) 4 c) 8
d) 16 e) 1
14. Hallar el valor de:
Si: x17y23z8 = 4
a) 52 b) 4 c) 1
d) 13 e) 2
15. Calcular el valor de:
Si: 7x6 + 8x2 = 6x7
a) x3 b) 2 c) x2
d) 1 e) 0
ALGORTIMO : Regla o proceso para calcular.
IDENTIDAD : Igualdad que se verifica para cualquier valor de la variable.
BABILONIOS : Personas que vivieron entre los ríos Tigres y Eufrates región
conocida como Mesopotamia en el período 2 000 al 600 a.C.
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