CAPITULO I: CONCEPTOS FUNDAMENTALES INTRODUCCIN. APLICACIONES DE LA MECNICA DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES Y LA HIDRULICA. DEFINICIN DE FLUIDO: TIPOS. ESTUDIO DE SU COMPORTAMIENTO. SISTEMAS DE UNIDADES. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS: DENSIDAD, PESO ESPECFICO, DENSIDAD RELATIVA, VISCOSIDAD DINMICA, VISCOSIDAD CINEMTICA, PRESIN DEL VAPOR, TENSIN SUPERFICIAL. PRESIN. PROPIEDADES. UNIDADES: LEY DE LA PROFUNDIDAD Y DEL PESO ESPECFICO. PRESIN ATMOSFRICA: ATMOSFERA FSICA O NORMAL, TCNICA O MTRICA. PRESIN LOCAL O BAROMTRICA. PRESIN ABSOLUTA, RELATIVA, EFECTIVA O MANOMTRICA. VACIO. Introduccin Los conocimientos empleados por el hombre para llevar a cabo el movimiento del agua de un lugar a otro sin emplear recipientes los obtuvo primeramente sin preocuparse de conocer su base terica, sino fundamentndose en observaciones, tanteos y empirismo, con soluciones restringidas a la resolucin de los problemas que sus construcciones le presentaban. A partir del siglo XVIII, con el apoyo de fsicos y matemticos, intenta dar respuestas analticas, lo que logra gracias al empleo de suposiciones simplificadoras. Esto condujo, sin embargo, a que los resultados tuvieran poca aproximacin al fenmeno real. La omisin de algunas propiedades, como la viscosidad, dio lugar a la fluidodinmica, la cual, al ocuparse de fluidos ideales o imaginarios, no puede salvar el vano hasta el fluido real sino mediante la experimentacin. En el siglo XIX el impetuoso desarrollo de la tcnica exige una solucin rpida y concreta de los distintos problemas ingenieriles, lo que da lugar al desarrollo de la ciencia aplicada llamada Hidrulica, que se ocupaba principalmente del agua y en la que se llegaba a conclusiones a partir de esquemas de los diferentes fenmenos y a base de introducir en las ecuaciones tericas coeficientes obtenidos de la propia experiencia. Durante largo tiempo, la Hidrulica emprica y la fluidodinmica terica se desarrollaron aisladamente y se dice con cierta razn que "en el siglo XIX, los dinamicistas de fluidos se dividan en dos: los matemticos que explicaban cosas que no podan observarse y los ingenieros hidrulicos que observaban cosas que no podan explicarse". A principios del siglo pasado se hace sntesis de las investigaciones tericas y experimentales, establecindose una perspectiva globalizante de todos los puntos de vista. El ingeniero civil restringe el nmero de temas de esta ciencia aplicada principalmente al estudio del movimiento de fluidos incompresibles, y se refiere a la Hidrulica como aquella disciplina en la cual la teora y la experimentacin se enriquecen y complementan mutuamente. Distingue en ella una porcin importante dedicada al estudio de las leyes de equilibrio y movimiento del agua as como a los mtodos de utilizacin de las mismas en la solucin de problemas tcnicos concretos, esto es, la reconoce como una herramienta tecnolgica de la Ingeniera Hidrulica. Es conocido de todos que las disciplinas cientficas se subdividen, normalmente, en varias ramas particulares, que se estudian hoy en da de manera muy detallada. Esto es particularmente cierto en la Hidrulica y en la Mecnica de Fluidos incompresibles, que

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Captulo I: Conceptos fundamentales

presentan un campo tan amplio en este sentido que un ingeniero o un investigador puede dedicar toda su vida a una de sus subdivisiones, y conocer muy poco sobre otras ramas. La Hidrulica es, sin duda, anterior a la Mecnica de Fluidos en el contexto general con el que ahora la conocemos. La razn es obvia, ya que el estudio del agua, de sus leyes y de su movimiento est ntimamente ligado a la propia humanidad. El desarrollo de la Hidrulica, llevado a cabo en un principio por experimentalistas, tuvo un despegue vertiginoso a partir de la aceptacin por estos en el siglo pasado de los principios de la Mecnica de Fluidos, una vez dichos principios eran capaces de explicar fenmenos observables. De hecho, se puede decir que la Hidrulica moderna se ha integrado en el cuerpo de doctrina denominado Mecnica de Fluidos. Pero a su vez, las necesidades en el campo de la Hidrulica han motivado en buena medida el desarrollo de la Mecnica de Fluidos incompresibles. En la Universidad Politcnica de Cartagena la Escuela Universitaria de Ingeniera Tcnica Civil incluye Arquitectura Tcnica, Obras Pblicas e Ingeniera Tcnica de Minas. Para situar a la Hidrulica y a la Mecnica de Fluidos incompresibles en el contexto de la Ingeniera Civil, ser necesario precisar que al consistir esta ltima en la aplicacin de los principios de la fsica y los derivados de la economa y las humanidades, a la concepcin, diseo, construccin y mantenimiento de proyectos de infraestructuras de edificacin, vas de comunicacin y servicios hidrulicos, aqu los fenmenos de transporte tienen una importancia capital. Y esto es as, dado que un elevado porcentaje de esas infraestructuras precisan de instalaciones que estn basadas en el flujo de fluidos, o en sistemas capaces de transportarlos para su utilizacin, bien sea con fines sanitarios, energticos, industriales, etc. Es fcil pues entender que las tcnicas que ser necesario aplicar para proyectar, ejecutar y mantener estas instalaciones estarn sustentadas cientficamente por ambos cuerpos de doctrina como ciencias bsicas que estudian los procesos de transporte de materia, de energa y de cantidad de movimiento. Situarnos pues en el contexto de la Ingeniera Civil ser reconocer que a los fenmenos de transporte se les otorgue una importancia capital. Tomando como referencia al agua, aunque las consideraciones que se viertan sern tambin de aplicacin a otros muchos fluidos de importancia industrial, nuestro objetivo es el de presentar desde un punto de vista actual los aspectos ms importantes de ambas disciplinas en cuanto a fluidos newtonianos e incompresibles se refiere, bajo la perspectiva de la mecnica ms simplista y de manera que no tenga en cuenta los cambios de estado fsico, como son la vaporizacin, ni las transformaciones qumicas como la combustin. Si por ltimo se considera la transformacin de la energa hidrulica en energa mecnica o viceversa, llegaremos de forma natural a la parte en la que se tratan las mquinas de fluidos incompresibles o mquinas hidrulicas (bombas centrfugas, turbinas, etc.) Aplicaciones de la Mecnica de Fluidos incompresibles y la Hidrulica En la prctica de la ingeniera se obtienen resultados aceptables en muchos casos admitiendo la incompresibilidad de los lquidos, lo que simplifica mucho los clculos. Bajo ciertas circunstancias, si las variaciones de presin que intervienen son pequeas, los gases se comportan prcticamente como fluidos incompresibles y pueden considerarse

Definicin, tipos y propiedades de los fluidos incompresibles. Presin.

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como tales, sin grave error. As, las ecuaciones de flujo incompresible sern aplicables a algunos casos de gran aplicacin prctica: entre la salida del compresor y los puntos de utilizacin de aire comprimido siempre que las cadas de presin no sean superiores al 3%, pues implica variaciones de densidad de un orden de magnitud similar; o en sistemas de ventilacin, dadas las pequeas variaciones de presin y temperatura que tienen lugar; o en instalaciones de gases combustibles, cuando las presiones son inferiores a 100 mbar (1 m.c.agua); etc. Durante el ltimo siglo la Hidrulica y la Mecnica de Fluidos incompresibles, solas o en combinacin con otras reas del conocimiento cientfico y tcnico, han ampliado su radio de influencia notablemente, as como sus posibilidades de aplicacin. Para apreciar su extenso campo basta slo con considerar aquellos procesos industriales, tratamientos, situaciones o fenmenos en las que interviene cualquier lquido. Sera una labor de titanes realizar una enumeracin detallada de todas ellas. Signifiquemos pues algunas. Empezaremos comentando que los fluidos son parte esencial de la inmensa mayora de los organismos vivos, incluido el ser humano. Por esta razn, es posible encontrar una estrecha relacin con materias como la Medicina o la Biologa. Dentro del mbito puramente ingenieril se destacan: El transporte por conducciones: el abastecimiento de agua para consumo humano e industrial o para riego, captacin mediante pozos, recarga de acuferos, las redes de distribucin, saneamiento y depuracin, el transporte de combustibles, sistemas contra incendios, etc. Las aplicaciones referentes al diseo y utilizacin de toda clase de maquinaria hidrulica como turbinas, bombas, ventiladores, etc. El empleo para la transmisin de potencia (aceite hidrulico) y energa (agua caliente, refrigeracin, etc.). La industria qumica, en particular operaciones de filtrado, sedimentacin, tratamientos de agua y fangos, destilacin, reactores, plantas de proceso, etc. La teora de la lubricacin, que estudia la interaccin entre ejes y cojinetes, estudio de aditivos, comportamiento de neumticos sobre superficies mojadas, etc. Los medios porosos son de gran inters por sus aplicaciones en Hidrologa, Fsica del suelo, Ingeniera Agrcola, Ingeniera Qumica y Sanitaria, etc. La hidrulica de canales, fluvial y martima, con los fenmenos asociados de erosin, sedimentacin y transporte de materiales sueltos.

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La fluidodinmica de la dispersin de contaminantes en cualquier medio. La generacin de energa hidrulica, mareomotriz, etc. La aerodinmica de edificios, obras pblicas e industriales, etc. La Ingeniera Naval, que se interesa por la teora de la capa lmite, la cavitacin y la estabilidad de flotadores. En el campo de la geofsica, el movimiento de grandes masas de fluidos domina los procesos que estudia la Oceanografa y la Meteorologa. En el campo de las explosiones y detonaciones se investiga en problemas sobre ignicin, generacin y propagacin de ondas de presin y explosiones submarinas. Mediante el empleo de modelos a escala reducida de estructuras para el diseo, construccin y mantenimiento de puertos, puentes, defensas contra inundaciones, encauzamiento de ros, drenaje urbano, planificacin, etc. El gran desarrollo de la informtica abre un amplio campo de posibilidades que engloba al conjunto de aproximaciones, tcnicas y herramientas dedicadas a la solucin numrica de flujos, las cuales han adquirido notable importancia en los ltimos aos. As los mtodos de clculo matemtico han pasado a complementar y en ocasiones a sustituir a la experimentacin realizada en laboratorio. Por ejemplo, en la simulacin de flujos de grandes escalas como corrientes ocenicas, en el interior de las mquinas u otro tipo de estructuras, de redes de distribucin y la explotacin e interpretacin de sistemas hidrulicos en general o en el anlisis, prevencin y mitigacin de riesgos provocados por el agua, etc., que unido a los nuevos sistemas de medicin de magnitudes fsicas basadas en la electrnica y tecnologa lser (telemedida, telecontrol y automatizacin) completan, en este sentido, el panorama. Por ltimo es una realidad la necesidad de implantar infraestructuras mnimas en pases subdesarrollados o en vas de desarrollo, y en los desarrollados y en lo que respecta a los sistemas de distribucin de agua y saneamiento, queda mucho por hacer: mejorar la eficacia y la calidad del servicio mediante acciones encaminadas a corregir defectos como las fugas, actuaciones de mantenimiento predictivo o polticas de ahorro, mediante la utilizacin de nuevos materiales (vlvulas automticas, bombas regulables, sistemas de unin y accesorios, etc.), implantacin de Sistemas de Informacin Geogrfica o utilizacin de modelos matemticos para analizar el funcionamiento de las redes y optimizar su funcionamiento. Definicin de fluido: tipos. Estudio de su comportamiento. La Fsica fundamental nos ensea que son dos los estados de la materia: slido y fluido. Un fluido es una sustancia en la que las partculas constituyentes pueden cambiar constantemente de posicin sin que varen sus propiedades. La diferencia entre slido y fluido radica en su respuesta ante un esfuerzo tangencial o cortante, o lo que es igual, una fuerza paralela a la superficie sobre la que acta. Ambos se deforman bajo su accin y

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aunque el primero puede resistirla, el fluido no. Efectivamente, el slido responde con una deformacin que desaparece al hacerlo el esfuerzo, restablecindose el equilibrio1. Entonces la forma ms precisa de referirnos a un fluido ser: aquella sustancia que no resiste esfuerzos tangenciales o cortantes sino que bajo su accin, por pequea que esta sea y mientras dure, se deforma continuamente, esto es, se pone en movimiento. Bsicamente se distinguen dos clases de fluidos, lquidos y gases. La justificacin al diferente comportamiento y propiedades de uno y otro radica principalmente en las diferentes fuerzas cohesivas entre las molculas que los componen. Un lquido exhibe un mayor grado de cohesin o agregacin molecular por lo cual tender a conservar su volumen y formar una superficie libre en el campo gravitatorio si no est limitado por arriba. En cambio un gas con fuerzas cohesivas casi despreciables tender a expandirse hasta que encuentre una superficie limitante, de hecho no tiene superficie libre ni volumen definido2.

Aunque la mayor parte de los problemas ingenieriles de nuestro inters se circunscriben al estudio de los fluidos incompresibles comunes como el agua, aceite, glicerina, alcohol, combustibles, etc., existen algunos casos lmite en los cuales la distincin entre slido y fluido no es del todo clara. As, algunos fluidos no fluyen fcilmente, ciertos slidos empiezan a fluir cuando les es aplicada una fuerza lo suficientemente grande, etc. Efectivamente: + sustancias aparentemente slidas, como la arcilla, el asfalto o el grafito, la manteca, la pasta de dientes, etc., son capaces de resistir esfuerzos cortantes solo durante un intervalo de tiempo pasando a fluir una vez superado este; otras, como ciertos coloides (espumas, emulsiones, gelatinas, geles, etc. ) y mezclas espesas (conservas, zumos, suspensiones, sangre, tinta, etc.), son capaces de resistir estos esfuerzos pero no a partir de1 2

Si el esfuerzo tangencial o cortante sobrepasa el lmite elstico del slido, este se rompe. Cuando las molculas de un gas se mueven independientemente unas de otras, sin atraccin entre ellas, se considera ideal o perfecto. El comportamiento de muchos gases, como el aire o el oxgeno, se aproxima al ideal.

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un cierto nivel de intensidad, superado el cual tambin fluirn. Todos ellos son estudiados en el campo de la Reologa del que no nos ocuparemos.

Petrleo, coloides y mezclas espesas (zumos)

+ Ciertos lquidos y gases pueden coexistir en las denominadas mezclas o flujos bifsicos, como por ejemplo: refrescos, agua con burbujas de aire, aire y vapor de agua, etc. Tampoco nos ocuparemos de ellos.

Fluidos bifsicos

+ Por ltimo comentar que hay ciertas situaciones en las que la distincin entre lquido y gas se difumina. Esto es as a unas temperaturas y presiones por encima del punto crtico de ciertos gases3 en las cuales la sustancia gaseosa se hace tan "espesa" que parece lquido y las aproximaciones termodinmicas como la ley de los gases perfectos no son fiables. Tampoco sern nuestro objetivo. Dentro de la ingeniera civil, la Mecnica de Fluidos en la minera o la Hidrulica en las obras pblicas, estudiarn el comportamiento de los fluidos incompresibles en general y del agua en particular. Tanto en reposo (hidrosttica o fluidoesttica) como en movimiento (fluidodinmica o hidrodinmica), incluyendo los efectos causados sobre los contornos que los puedan rodear, que a su vez podrn ser slidos o fluidos. En este estudio influyen significativamente dos factores: la geometra de los cuerpos y la viscosidad de los fluidos. La geometra de los cuerpos es frecuentemente arbitraria y puede complicar de manera importante el aparato matemtico necesario. De ah la necesidad de estudiar formas geomtricas simples: superficies planas (cuadrado, rectngulo, crculo, etc.), cuerpos cilndricos, esfricos, etc. Incluso as en ocasiones ser preciso llevar a cabo

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Punto crtico de un gas: aqul para el cual a una determinada temperatura y presin, por ms que lo comprimamos no se licua.

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aproximaciones numricas mediante elementos, volmenes y diferencias finitas; resolucin de grandes sistemas de ecuaciones, algoritmos, etc. La viscosidad del fluido va a generar la aparicin de un fenmeno desordenado y aleatorio como es la turbulencia. Esta propiedad desestabilizadora del flujo, que despreciaremos cuando consideremos al fluido ideal, fue estudiada por la teora de la capa lmite (Prandtl, 1875-1953) que descansa principalmente en la experimentacin. As pues, dispondremos de una teora para abordar la asignatura pero en todos los casos deber tener un alto soporte experimental que en ocasiones ser la fuente principal de informacin.

Causas y soluciones a la complejidad del estudio del comportamiento fluido

Sistemas de unidades Utilizaremos fundamentalmente el Sistema Internacional aceptado por la mayora de los pases del mundo y en Espaa desde 19894, si bien cuando sea oportuno haremos las correspondientes referencias a otros por ser algunas de sus unidades todava empleadas en la ingeniera, en la industria y en la vida cotidiana. Los sistemas de unidades ms empleados son:MAGNITUD SISTEMA CEGESIMAL TCNICO LONGITUD centmetro (cm) metro (m) MASA gramo (gr) TIEMPO segundo segundo FUERZA dina* kilopondio (kg-f = kp) newton (N)* Kilopondmetro (Kp.m) Julio (N.m) CV (75 kp.m/s = 735 w) Watio (Julio/s) TRABAJO* POTENCIA*

INTERNACIONAL

metro

kilogramo (kg-m)

segundo

*Magnitud derivada. En negrita magnitud fundamental

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Real Decreto 1317/1989, de 20 octubre 1.989 (B.O.E. de 3-11-1.989, p. 34.496 ss.)

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Los mltiplos (o cantidades de una magnitud mayores que la unidad fundamental) y los submltiplos (menores que la unidad fundamental) se indicarn mediante un prefijo.MLTIPLOS PREFIJO deca hecto kilo mega giga tera peta exa ABREVIATURA D H K M G T P E VALOR 10 102 = 100 103 = 1000 106 109 1012 1015 1018 PREFIJO deci centi mili micro nano pico femto atto SUBMLTIPLOS ABREVIATURA d c m VALOR 10-1 = 0.1 10-2 = 0.01 10-3 = 0.001 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18

n p f a

Es de inters sealar la conveniencia del empleo de la segunda ley de Newton (F = M.a) para definir cualquier magnitud en cualquier sistema. As, El newton es la fuerza que aplicada a un kilogramo de masa le hace alcanzar la aceleracin de 1 m/s2. m s2 Del mismo modo el kilogramo fuerza (llamado kilopondio por los alemanes) es la fuerza necesaria para comunicar a un kilogramo de masa la aceleracin de la gravedad. Por ello, m kg.m 1 kp = 1 kg . 9,81 2 = 9,81 2 = 9,81 N s s Fuerza = masa x aceleracin 1 N = 1 kg . Precisamente porque los fenmenos naturales susceptibles de ser medidos son independientes de los sistemas de unidades, pues estos ltimos son invencin del hombre, toda ecuacin fsica es vlida en cualquier sistema de unidades siempre que sta sea coherente desde el punto de vista unitario, esto es, siempre que no se introduzcan en una misma ecuacin unidades de distintos sistemas.

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Propiedades de los fluidos Son magnitudes fsicas susceptibles de ser medidas que tienen distintos valores para fluidos diferentes, lo que nos permitir distinguirlos y pueden variar en uno concreto cuando lo hagan las otras. En la mayor parte de los clculos de la ingeniera se est interesado en conocer sus valores medios5. 1. Densidad (se lee ro): es la masa (M) de la unidad de volumen (V).=M = ML 3 V

Se le llama tambin masa especfica y se mide con el densmetro. La unidad de medida en el SI es el kg/m3.

agua = 1000

kg m3

La densidad vara con la temperatura, normalmente disminuyendo al aumentar esta ltima (la sustancia se expande). Pese a lo comentado, la consideraremos constante para el agua y resto de fluidos incompresibles.Sustancia Aceite Agua Agua de mar Gasolina Plomo Mercurio Glicerina Aire Butano Densidad,

, kg/m3

800-900 1000 1010-1030 680-720 11300 13600 1260 1.3 2.6

2. Peso especfico (se lee gamma): es el peso (W) de la unidad de volumen (V).=W = FL 3 V

En el Sistema Internacional su unidad es el N/m3.5

A nivel macroscpico se considera la estructura molecular de un fluido como un medio continuo y cada propiedad fsica como uniformemente distribuida.

10= 9810 N m 3 = 1000 kp m 3

Captulo I: Conceptos fundamentales aire = 12,684N m 3 = 1,293 kp m 3

agua

mercurio = 133416

N m 3

= 13600

kp m 3

Aunque vara con la temperatura tambin se considerar constante en fluidos incompresibles6. Si aplicamos la segunda ley de Newton (F = M.a) al peso (W = M.g) y la referimos a la unidad de volumen,W M = g V V

Nos queda que, = g

Expresin que nos relaciona el peso especfico de una sustancia cualquiera con su densidad. 3. Densidad relativa (se lee delta): es la razn adimensional entre la densidad de un cuerpo y la densidad de un volumen igual de agua tomado como referencia, generalmente a 4 oC. Como la densidad y el peso especfico estn relacionados, tambin: = cuerpo agua a 4 o C=

cuerpo9810 N 3 m

=

g. cuerpo g. agua a 4 o C

=

cuerpo1000 kg 3 m

Sustancia Aceite Agua Agua de mar Gasolina Mercurio

Densidad relativa, 0.8-0.9 1.0 1.01-1.03 0.68-0.72 13.6

4. Viscosidad dinmica o absoluta (se lee mu) Ante un esfuerzo tangencial o cortante todas las sustancias se deforman (se ponen en movimiento), pero lo hacen de distinta forma. As en las sustancias elsticas (cinta o cordn de goma) la deformacin desaparece cuando deja de actuar la fuerza. En la deformacin plstica (ceras, betunes, celuloide, etc.) subsiste la deformacin aunque desaparezca la causa. En los lquidos, al contrario, se genera una deformacin continua mientras que dura6

Atencin: el peso especfico del agua en el sistema tcnico (1000 kp/m3) y su densidad en el sistema internacional (1000 kg/m3) vienen expresados por el mismo nmero, lo que puede hacer que las confundamos.

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la fuerza, apareciendo una velocidad de deformacin tanto mayor cuanto mayor sea el esfuerzo cortante. Pues bien, la llamada viscosidad dinmica o absoluta es el factor de proporcionalidad que existe entre el esfuerzo tangencial a que sometemos a un fluido y la velocidad de deformacin del conjunto de partculas que lo constituyen. Dicho de otro modo la viscosidad dinmica va a dar idea de la resistencia que ofrecen los lquidos a ponerse en movimiento, a fluir. Tambin podramos decir que en trminos microscpicos, al ser debida fundamentalmente a la interaccin entre molculas, da una idea del grado de cohesin entre las mismas. Para estudiar este fenmeno vamos a considerar un manto de fluido de espesor yo comprendido entre dos placas planas y paralelas de grandes dimensiones, como aparece en la figura siguiente. Supongamos que la placa superior de rea A se mueve a una velocidad constante vo provocada por la accin de un esfuerzo tangencial de valor F, tambin constante, mientras que la placa inferior se mantiene fija.

Filete de fluido comprendido entre dos placas

La experiencia ensea que, principalmente debido al rozamiento, el primer filete de fluido en contacto con la placa fija permanece en reposo, mientras que el adherido a la placa mvil se mueve con ella a su misma velocidad. Las capas intermedias se desplazan unas respecto a las otras, con velocidad creciente con la distancia a la placa fija (como si fueran las cartas de una baraja), y para que sta permanezca fija, es preciso aplicarle una fuerza, F, igual y de sentido contrario a la que produce el movimiento de la placa mvil. Newton demostr7 que la fuerza F (tangencial o cortante) aplicada sobre el rea A de la superficie mvil, esto es, la razn F/A esfuerzo tangencial o cortante por unidad de rea o unitario, (se lee tau), era proporcional a la velocidad de deformacin representada por el gradiente de velocidad, v/y, que se establece entre las capas de fluido y precisamente, al factor de proporcionalidad entre ambos le llam viscosidad dinmica, .

=7

F v = A y

LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD

Origen de una ley: los fenmenos naturales dan lugar a cantidades fsicas que representamos por smbolos. La relacin de estos smbolos bien mediante deducciones matemticas basadas en otras anteriores o bien postuladas por cualquier razn, dan lugar a leyes fsicas que relacionan esos smbolos. La nueva ley resultante slo habr de satisfacer un requisito bsico: de forma directa o indirecta, ha de estar comprobada experimentalmente.

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Captulo I: Conceptos fundamentales

El significado fsico de esta expresin lo encontramos en que la resistencia ( ) que opone el fluido a su deformacin (a ponerse en movimiento) adems de depender de la viscosidad, lo hace de la velocidad a la que realicemos dicha deformacin y de la mayor o menor proximidad a un objeto slido. A todos los fluidos que siguen la ecuacin anterior, esto es, a aquellos en los que la viscosidad dinmica se mantiene constante, se les llama newtonianos (agua, aceite, glicerina, alcohol, combustibles, aire, etc.). Si el fluido no sigue la ecuacin anterior, se le llama no newtoniano o tixotrpico (leche, tinta, cemento, hormign antes de fraguar, mermeladas, mayonesas, pasta de dientes, ciertas pinturas, etc.). Estos casos se estudian en la Reologa8.

Representacin del esfuerzo cortante frente a la deformacin para distintas sustancias

De la expresin anterior: Si = 0 F/A = 0, el rozamiento es nulo y el fluido ideal, esto es, aquel cuya viscosidad es nula. No opone resistencia alguna al desplazamiento. El concepto de fluido ideal, o el suponer la existencia de lquidos no viscosos, simplifica mucho los clculos matemticos, lo que sin cometer error sensible, ser ocasionalmente de gran utilidad. Si = F/A = , estamos en el caso de un slido rgido ideal, indeformable. El rozamiento es infinito. La ecuacin de dimensiones de la viscosidad dinmica es: = FTL2

Sus unidades, + en el internacional N.s N = 2 . s = Pascal . s = Pa . s 2 m m + en el cegesimal

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Dentro de la Reologa se trata de fluidos con comportamiento pseudo plstico, plstico, tixotrpico, dilatante, etc.

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dina . seg = Poise cm 2 Esta unidad, denominada as en honor a Poiseuille, es demasiado grande por lo que se divide por cien (centipoise, cp) o por mil (milipoise, mp). 1 Pa . s = 1 kg m s =10 poises

agua 20

o

C

0,01 p 1 cp 0,001 Pa.s

5. Viscosidad cinemtica (se lee nu) Cuando trabajamos con fluidos en movimiento, en los que entran en juego fuerzas de inercia que dependen de la densidad del fluido, se suele emplear la viscosidad cinemtica, definida como el cociente entre la dinmica y la densidad.

=

La viscosidad cinemtica tiene como ecuacin de dimensiones L2T 1 y sus unidades son, + en el internacional, + en el cegesimal,m2 s

cm 2 = Stoke (st). Demasiado grande, por lo que se divide s

en cien partes: centistoke, cst.

agua 20

o

C

10

6

m2 s

Existen muchos dispositivos para medir el tiempo que tarda cierto volumen de un lquido en fluir a travs de un orificio normalizado, as como tantas formas de expresar el resultado obtenido: el viscosmetro Engler, el Redwood, el Saybolt, los viscosmetros rotatorios, los de cada de bola, o el grado SAE (Society Automotive Engineers, el grado ISO (International Standards Organization), etc. La viscosidad de un fluido est influida por la temperatura. En los lquidos la viscosidad disminuye conforme aumenta, mientras que en los gases sucede lo contrario. El motivo de este distinto comportamiento se debe a que en los lquidos la viscosidad se ve influenciada principalmente por las fuerzas de cohesin que existen entre sus molculas, que disminuyen con la temperatura. En los gases estas son despreciables, mientras que con el aumento de la temperatura las colisiones intermoleculares son ms frecuentes, dando como resultado mayores fricciones internas, esto es, ms dificultad para moverse. Hemos visto que la viscosidad produce una resistencia al movimiento del fluido que habremos de vencer. Para lograrlo se requerir una cierta cantidad de energa que ser preciso evaluar. Cmo hacerlo se ver ms adelante.

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Captulo I: Conceptos fundamentales

6. Presin del vapor De la superficie libre de los lquidos y a cualquier temperatura, escapan continuamente molculas que van originando sobre ella una porcin de vapor del mismo lquido. A su vez desde esta zona las molculas retornan parcialmente a la fase lquida. Llega un momento en el que, para una temperatura dada, al igualarse las cantidades que emigran en uno y otro sentido, se alcanza el equilibrio entre ambas. La presin a la que para cada temperatura, las fases lquida y vapor de unas sustancia alcanzan el equilibrio, se le denomina presin de vapor.

A la intemperie, es frecuente que las corrientes de aire barran la capa de vapor formada en la superficie del lquido, por lo que entonces se evapora ms a la bsqueda de recuperar un nuevo equilibrio. Esto es lo que da lugar a que cualquier lquido guardado en un recipiente abierto se evapore continuamente sin necesidad de alcanzar su temperatura de ebullicin. Cuanto menor es la temperatura, menor es la presin de vapor en equilibrio con la fase lquida, pero siempre hay alguna, inclusive a temperaturas muy bajas.PRESIN DE VAPOR DEL AGUA T, oC

mm.c. Hg 0 10 20 30 50 100 150 4,6 9,2 17,5 31,8 92,5 760 3570

kPa 0,6 1,2 2,3 4,2 12,3 101,33 474539

m. c. agua 0,06 0,12 0,23 0,42 1,2 10,1 48,5

bar 0,0061 0,0123 0,0234 0,0424 0,123 1 4,8

En el caso del agua a nivel del mar, se alcanza el equilibrio entre fases a 100 oC y presin atmosfrica. Si ascendemos, la presin disminuye y se alcanzar de nuevo el equilibrio ms fcilmente, a menor temperatura. Al contrario, si aumentamos la presin por ejemplo en una olla a vapor el nuevo equilibrio se alcanzar a ms temperatura, por lo que la coccin de los alimentos se har en menos tiempo.

Definicin, tipos y propiedades de los fluidos incompresibles. Presin.

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Si en algn lugar de una conduccin forzada, a una determinada temperatura de trabajo, la presin alcanza o desciende por debajo de la presin de vapor del lquido que por ella circula, ste para alcanzar el equilibrio con su fase vapor, hierve, se evapora, dando lugar a la formacin de burbujas. Cuando posteriormente las burbujas arrastradas por el flujo alcanzan una zona en la que la presin vuelve a aumentar, stas colapsan. La sucesin combinada de estos dos fenmenos genera un fenmeno problemtico, la cavitacin, que retomaremos al final del curso. 7. Tensin superficial Es una dbil fuerza cuya presencia se observa en la superficie libre de los lquidos sobre los cuales forma una capa o pelcula especial. Su origen se encuentra en las fuerzas de cohesin intermolecular, las cuales se comportan de manera diferente dependiendo que nos encontremos en la superficie del lquido o en su interior.

Partcula de lquido en la superficie libre y en el interior

Efectivamente, como puede verse en la figura, una partcula en el seno del lquido y por tanto rodeada de otras iguales es atrada por estas con la misma intensidad en todas direcciones. Las ubicadas en la superficie libre son atradas por las molculas de aire con menor intensidad. La resultante de todas ellas est dirigida hacia el interior del lquido. La tensin superficial se manifiesta en los lquidos en su tendencia a la formacin de gotas, en la deposicin de polvo sobre la superficie tranquila de un charco, en la mayor compacidad de la arena hmeda de la playa, en que ciertos insectos muy ligeros puedan correr sobre la superficie del agua sin hundirse en ella, etc.

Formacin de gotas y meniscos. Insecto Hydrometra Stagnorum.

El conjunto de fenmenos citados se conocen como efectos de superficie. Cuando ocurren en la interfase que separa una pared slida y un lquido intervienen adems de las fuerzas debidas a la cohesin intermolecular, las debidas a la adhesin de las molculas lquidas al slido, dando lugar a los fenmenos de la formacin de meniscos y la capilaridad.

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Captulo I: Conceptos fundamentales

El menisco superficie curvada que forma en un tubo estrecho, en el caso del agua tiene forma ascendente (como una U , moja el tubo) porque las fuerzas de adhesin al slido son mayores que las de cohesin intermolecular, en cambio en el caso del mercurio, ocurre al contrario ( I ) y ste no moja el tubo, su menisco en convexo, con los bordes curvados hacia abajo9. Por la misma causa, fuerzas adhesivas mayores que las intermoleculares, en la capilaridad el lquido asciende por tubos muy estrechos.

Propiedades fsicas del agua a 1 bar

Presin

Genricamente la presin es una fuerza, F, aplicada sobre la unidad de superficie, A: P = F/A. Efectivamente, si suponemos un cuerpo de peso W, apoyado uniformemente sobre una superficie horizontal A, se llama presin del cuerpo sobre la superficie a la relacin W/A. El cuerpo est en equilibrio por la reaccin R igual y de sentido opuesto a W que la superficie ejerce sobre el cuerpo, como puede verse en la figura:

Igualmente, un volumen cualquiera de agua ejerce sobre el fondo de la vasija que lo contiene una presin debida a su peso, W. Si cortamos el lquido por un plano ab horizontal, la porcin que queda por encima ejerce sobre sta una presin debida a su peso, equilibrada, pues el agua est en reposo, por una reaccin R, igual y de sentido contrario a W.

9 La tensin superficial de un lquido como el agua puede ser reducida aadindole pequeas cantidades de sustancias tensoactivas o emulsionantes (como detergentes, lavavajillas y champs). Su molcula posee una parte hidrfoba (huye del agua) que es capaz de unirse tanto a la parte hidrfoba de una molcula de grasa, como al aire para formar espuma. La parte hidrfila del tensoactivo, har que la unin inicialmente descrita sea ms soluble en agua, lo que se traduce en que las grasas se mojarn ms, y sern ms fcilmente arrastradas por el agua con la espuma.

Definicin, tipos y propiedades de los fluidos incompresibles. Presin.

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Propiedades de la presin En un fluido en reposo la fuerza debida a la presin es siempre perpendicular a la superficie sobre la que acta.

La presin ejercida por un fluido es siempre perpendicular a las paredes del recipiente que lo contiene

Efectivamente, si la fuerza F de la presin no fuese normal a la superficie libre del agua dara lugar a dos componentes, una Fy perpendicular a esa superficie libre y otra Fx, tangencial. No resistiendo el agua en reposo, como cualquier otro fluido en el mismo estado, esfuerzos tangenciales o cortantes, sta componente Fx dara lugar a su movimiento en el sentido de la fuerza, lo que es contrario a la hiptesis inicial.En un volumen de agua en reposo la presin en un punto es la misma en cualquier direccin.

Consideremos un punto del interior del volumen con una geometra sencilla: la de un prisma triangular diferencial de altura unitaria (perpendicular al plano del dibujo, en la direccin del eje y en el esquema de abajo) y cuya longitud de sus caras sean dx, dz y ds respectivamente. Es fcil demostrar que este prisma experimentara por parte del agua que le rodea una presin igual en cada una de sus caras, sea cual sea su orientacin, esto es, sea cual sea el ngulo que forme con la horizontal (eje x).

Prisma triangular diferencial de altura unitaria (eje y)

Como el agua est en reposo no existen fuerzas tangenciales sobre el prisma y el resto de las posibles son: + las fuerzas debidas a la presin del agua, perpendiculares a cada una de las caras del prisma, esto es, dFpx = Px . dz. 1 dFpz = Pz . dx . 1 (1) (2) sobre la cara sobre la cara dz . 1 dx . 1

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Captulo I: Conceptos fundamentales

dFps = Ps . ds . 1

(3)

sobre la cara

ds . 1

+ las debidas al peso W del prisma, Peso del prisma (W) = volumen . = A base.1 . =

dx . dz base . altura . = . 2 2

Valor que se puede despreciar por ser el resultado del producto de dos diferenciales. + las fuerzas debidas a la presin del agua exterior sobre ambas bases del prisma, perpendiculares al plano del dibujo y de sentido contrario, que se equilibran entre si anulndose. Slo nos quedan pues las primeras, que al estar el fluido en reposo debern estar en equilibrio. Vemoslo: sen = O lo que es lo mismo: dFpx = dFps . sen (4) Luego de (1) y (3) en (4), Px . dz . 1 = Ps . ds . sen (6) Y de (2) y (3) en (5), Pz . dx . 1 = Ps . ds . 1. cos (7) Pero como adems, como sen = dz ds y cos = dx ds , nos queda: En (6) Y en (7) Px . dz . 1 = Ps . ds. 1. Pz . dx . 1 = Ps . ds .1 .dx , ds dz , dsdFpx dFps

cos =

dFpz dFps

dFpz = dFps . cos (5)

esto es, esto es,

Px = Ps Pz = Ps

Luego Px = Ps = Pz, como queramos demostrar, para cualquier valor de .

Definicin, tipos y propiedades de los fluidos incompresibles. Presin.

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Unidades

La ecuacin de dimensiones de la presin es P = FL-2. As, las unidades ms usadas son: en el sistema internacional el N/m2, o Pascal (Pa), que es muy pequea por lo que es ms frecuente emplear los mltiplos kilo, mega, etc. En el sistema tcnico, el kp/m2, tambin muy pequea, utilizndose el kp/cm2. Es a este ltimo a quin se sigue denominando popularmente como kilo cuando se habla de medidas de presin. Tambin es muy frecuente la medida de presiones en unidades de longitud de columna de lquido. As si consideramos una columna lquida de altura h de uno cuyo peso especfico sea , el peso en ella encerrado ser: Peso = volumen . = Abase . h .

Por lo que la presin o fuerza que esta columna ejercer sobre la superficie de la base, valdr,P= F A base = A base .h . = .h A base

Esto es, P = .h

LEY DE LA PROFUNDIDAD Y EL PESO ESPECFICO

Que dice que la presin es proporcional nicamente a la profundidad y al peso especfico del fluido de que se trate. Al ser esta presin independiente del valor del Abase se suele decir que el fluido que est a la profundidad h, soporta sobre si el peso de la columna que tiene encima. Tambin puede expresarse este significado fsico de la ley diciendo que para conocer la presin que genera una columna de fluido sobre su base no es preciso considerar en ningn momento el volumen que ocupe, sino slo su altura. Otra de sus aplicaciones es el intercambio de unidades de presin desde las expresadas como fuerza por unidad de superficie hasta las que lo hacen en unidades de longitud de columna de lquido o viceversa y tambin, entre unidades de longitud de columna de distintos lquidos. As, si p = a h a es la presin que genera en su base una columna de lquido de altura h a y peso especfico a , se conseguir esa misma presin en la base con otra columna h b de un lquido distinto al anterior ( b ). Por lo que se puede escribir,p= F = a ha = bhb A

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Captulo I: Conceptos fundamentales

Tipos de presiones

Si un lquido se encuentra en un recipiente abierto a la atmsfera sobre l reina la presin atmosfrica, cuyo valor medio a 0oC y a nivel de mar es10, 10332 kp/m2 = 1,033 kp/cm2 = 10,33 m.c.agua = 101325 Pa = 760 mm.c.Hg= 1013 mbar11 A esta forma de referirnos a ella se le conoce como atmsfera normal o fsica. Para hacerla ms manejable se ha redondeado, apareciendo entonces como: 104 kp/m2 1 kp/cm2 105 Pa 1 bar 1000 mbar 1 kp/cm2 1 atm 10 m.c.agua A la que se llama atmsfera tcnica o mtrica.

Distintos tipos de barmetros.

A la presin atmosfrica reinante en un lugar y momento determinados y que va a variar con la altura y la temperatura, se llama presin local o baromtrica. Las variaciones de la presin atmosfrica se pueden medir con distintos tipos de barmetros (de ah su nombre). En cada uno de ellos, la fuerza debida al peso de la columna de aire existente en cada instante acta sobre la superficie elegida, slida o fluida, a la cual va a modificar. Esta modificacin es proporcional a la presin local existente.Presin absoluta, relativa. Vaco.

La diferencia entre uno u otro de los trminos absoluta, relativa y vaco, no afecta al valor de la unidad sino al origen de la medida. As la presin absoluta se mide a partir del vaco absoluto. Por esta definicin, nunca puede ser negativa (no hay nada a partir del 100% de vaco o vaco absoluto). Por ejemplo, la presin local o baromtrica es absoluta. Adems,Pabsoluta = Plocal + Prelativa

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El fsico italiano Evangelista Torricelli (1608-1647) realiz una experiencia para determinar la presin atmosfrica a nivel del mar. Us un tubo de aproximadamente 1 metro de longitud, lleno de mercurio y con una extremidad cerrada. Despus coloc el tubo de pi y con la boca abierta hacia abajo en un recipiente que contena tambin mercurio. Torricelli observ que el nivel de mercurio descenda y se estabilizaba en la posicin correspondiente a 76 cm, quedando el vaco en extremo superior del tubo.

Del sistema cegesimal y de su unidad de presin, la baria, aumentada en su da un milln de veces surgi el bar. En el campo especfico de la meteorologa, se hizo comn el uso de la milsima de bar, el milibar.

11

Definicin, tipos y propiedades de los fluidos incompresibles. Presin.

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La presin relativa (a la que tambin se llama efectiva o manomtrica) se mide a partir de la local o baromtrica. De hecho un vaco es una presin relativa negativa, esto es, medida desde la presin local hacia abajo (si la hacemos absoluta, es positiva e inferior a la local). El siguiente grfico ayuda a aclarar estos conceptos:

UNIDADES DE PRESIN Y EQUIVALENCIAS APROXIMADAS N/m2 = 1 Pa N/m2 = 1 Pa 1 bar 1 kp/cm2 = 1 atm. tc. 1 atm normal 1 m.c.a. 1 mm.c.a = kp/m2 1 105 105 105 104 10 bar 10-5 1 1 1 10-1 10-4 kp/cm2 = atm. tc. 10-5 1 1 1 10-1 10-4 atm normal 10-5 1 1 1 10-1 10-4 m.c.a 10-4 10 10 10 1 10-3 mm.c.a = kp/m2 10-4 104 104 104 103 1

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Captulo I: Conceptos fundamentales

PROBLEMAS

1.1. Si 6 m3 de un lquido pesan 5080 kp cul es su peso especfico, su masa especfica y su densidad relativa en el sistema internacional de unidades? 1 Kp = 9.81 N. Sol: = 8306 N/m3; = 847 kg/m3 y = 0.85 1.2. Cul ser el volumen de un aceite de densidad relativa = 0.75 , si su masa es la equivalente a la de 3 m3 de agua. agua = 1000 Kg/m3. Sol: V = 4 m3. 1.3. Cul ser la densidad relativa de 9955 N de un aceite si su volumen es el equivalente al que ocupara un peso de agua de 13270 N. agua = 9810 N/m3 . Sol: = 0.75 1.4. Una balsa rectangular de 3 x 6 metros se arrastra a una velocidad de 1 m/s en un canal de 10 cm de profundidad medida desde el fondo plano de la balsa. Si el agua est a 20 oC y su viscosidad dinmica vale 0.001 Pa.s, calcular la fuerza necesaria para arrastrarla. Sol: F = 0.18 N. 1.5. Dos superficies planas paralelas de grandes dimensiones estn separadas 25 mm y el espacio entre ellas ocupado por un lquido en reposo de viscosidad 0.981 Pa.s, supuesta constante. Qu fuerza se requiere para arrastrar una placa de espesor despreciable y 40 dm2 de rea, a la velocidad constante de 32 cm/s y distante 8 mm de una de las dos superficies? Sol: F = 23 N. 1.6. Un cilindro de 0.122 m de radio gira concntricamente dentro de otro cilindro fijo de 0.128 m de radio, ambos con 0.30 m de longitud. Determinar la viscosidad del lquido que debe llenar el espacio entre ambos si se necesita un par de 0.9 N.m para mantener una velocidad angular de 60 r.p.m. en el cilindro mvil. Sol: = 0.25 Pa.s 1.7. Un cojinete cilndrico consiste en un eje de 150 mm de dimetro con un buje o casquillo de 150.25 mm de dimetro y 200 mm de longitud, estando el espacio intermedio lleno de aceite con una viscosidad a la temperatura de funcionamiento de 0.09 Pa.s. Calcular la potencia consumida por el rozamiento debido a la viscosidad si el eje gira a 100 r.p.m. Cul es la produccin de calor que habr que disipar? Datos: 1 julio = 0.00024 Kcal. Sol: Pot = 42 vatios. Calor a disipar 36 kcal/h. 1.8. Un tanque abierto contiene 2 m de agua cubierta de 1 m de aceite. Calcular la presin en la interfase agua-aceite y en el fondo del tanque. Sol: Pinterf = 7,85 kPa; Pfondo = 27,5 kPa. 1.9. Convertir una altura de presin de 5 m.c.agua, en altura de aceite. Sol: 6,25 m.c. aceite. 1.10. Un oceangrafo ha de proyectar un laboratorio sumergible prismtico de 5 m de altura que debe soportar inmersiones en agua de mar de hasta 100 m en su superficie. Determinar la presin en la superficie del laboratorio y plantear una expresin de la variacin de la presin a lo largo de sus costados. Sol: Psuperf = 1 MPa; Pcostado = agua mar (100 + x) con 0 < x < 5.

Definicin, tipos y propiedades de los fluidos incompresibles. Presin.

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1.11. Un recipiente cilndrico de 1,8 m de dimetro y 1,2 m de altura est lleno de agua. Sobre la tapa se ha colocado un tubo cilndrico de 15 cm de dimetro y 2 m de longitud tambin lleno de agua. Cul es la fuerza de la presin total sobre el fondo? Sol: 80 kN. 1.12. Determinar las presiones relativa y absoluta en unidades del SI en el fondo de un recipiente abierto a la atmsfera si est lleno de gasolina. La altura del lquido en el recipiente es de 4 m y la presin local es de 750 mm.c.Hg. Sol: 27,5 kPa (rel) y 127,5 kPa (abs). 1.13. Un tanque cerrado contiene 2 metros de aceite de densidad relativa 0,84. El aire existente encima de la superficie libre del aceite est presurizado a 50 kPa. Cul es la presin en el fondo del tanque? Sol: 66,46 kPa. 1.14. Si la presin atmosfrica es de 920 mbar y un manmetro colocado en la pared de un tanque lee 440 mm.c.Hg de vaco cul es la presin absoluta dentro del tanque? Sol: 33,3 kPa 1.15. Un tanque abierto contiene una altura de agua de 1,4 metros ( agua = 1000 kg/m3) cubierta por una capa de aceite de 2 metros de altura ( aceite = 0.855 ). Cul es la presin manomtrica en el fondo del depsito en kPa? Y en altura de agua? Sol: 30,51 kPa y 3,11 m.c.agua. 1.16. Tenemos un vaso en el cual hemos colocado de abajo hacia arriba 0,5 metros de mercurio ( Hg = 13,6 ); 3 metros de un fluido de densidad relativa desconocida; una columna de 2 metros de agua ( agua = 1 ) y otra de 1 metro de aceite ( aceite = 0,89 ). La presin local o baromtrica es de 101,33 kPa y en el fondo del depsito 273 kPa Cul es la densidad relativa del fluido desconocido? Sol: = 2,6. 1.17. Si la presin manomtrica en el tanque de un compresor es 827 kPa y un barmetro seala en el exterior 750 mm.c.Hg. a) Calcular la presin absoluta en el tanque y b) Qu presin indicar el manmetro del tanque para una lectura baromtrica de 775 mm.c.Hg? Sol: a) 927,1 kPa y b) 823,7 kPa. 1.18. La presin local o baromtrica es de 740 mm.c.Hg., expresar en bares absolutos: a) la presin baromtrica, b) 2 kp/cm2 relativos, c) vaco del 85 %, d) presin relativa de 100 mm.c.agua. e) vaco de 700 mm.c.Hg y f) presin absoluta de 600 mm.c.Hg. y g) presin efectiva de 600 mm.c.Hg. Sol: a) 0,987 bar; b) 2,987 bar; c) 0,148 bar; d) 0,997 bar; e) 0,053 bar; f) 0,8 bar y g) 1,79 bar.

AGUA DULCE = 1;

MERCURIO

= 13,6;

AGUA DEL MAR

= 1,02;

GASOLINA

= 0,7;

ACEITE

= 0,8

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Captulo I: Conceptos fundamentales

CUESTIONES

1.1. Dar una definicin precisa de fluido Pueden existir esfuerzos tangenciales en una masa de agua en equilibrio? Justifica la respuesta. 1.2. Distinguir entre densidad relativa y masa especfica o densidad. Unidades de cada una en el SI. 1.3. Expresa con palabras de dos formas distintas y sin referir ninguna expresin matemtica, lo que entiendes por viscosidad de una sustancia. Justifica como vara con la temperatura dependiendo de que el fluido sea lquido o gas. Qu diferencia a un fluido real de uno ideal? 1.4. Qu es la presin de vapor? Justifica la evaporacin del agua en un canal. 1.5. Una de las formas de expresar las unidades de presin es en unidades de longitud de columna de fluido. A partir de la definicin de presin aplicada a esa columna, deducir la ley de la profundidad y el peso especfico. Cul es el significado fsico de esta ley? 1.6. Imagina a un buzo sumergido a 40 metros de profundidad en un pantano de 1200 hm3 de capacidad. Una semana despus alcanza la misma profundidad reparando un depsito de agua de base circular de 40 metros de dimetro que aloja 31 hm3. Qu presin soporta en cada inmersin? Justifica la respuesta. 1.7. Distingue entre presin absoluta y manomtrica. Es posible tener una presin efectiva, relativa o manomtrica negativa? Y una absoluta puede ser inferior a la local o baromtrica? Justifica tus respuestas. 1.8. Un tubo en U abierto por ambos extremos contiene agua de peso especfico : a) a qu altura est el nivel en cada una de las ramas? b) Cul es la presin en la superficie libre de cada una de ellas? c) Cul la presin relativa en el fondo de la U si est a una profundidad h desde la superficie libre del lquido? d) Y la absoluta en ese mismo punto?

Definicin, tipos y propiedades de los fluidos incompresibles. Presin.

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ANEJO I: Las presiones del aire en ventilacin

Una masa de aire en movimiento tiene asociadas tres presiones distintas (Figura AI.1) matemticamente relacionadas.

Figura AI.1: Presin esttica (PE), dinmica (PD) y total (PT) en un punto.

La presin esttica (PE) se define como la presin que tiende a hinchar (+) o a aplastar (-) el conducto, y se expresa en milmetros de columna de agua (mm c agua). Normalmente se mide con un manmetro de columna de agua, de ah las unidades empleadas. Puede ser positiva o negativa con respecto a la presin atmosfrica local y, aunque se manifiesta en todas direcciones, debe medirse perpendicularmente a la direccin del flujo de aire. La presin dinmica (PD) es la debida a la velocidad del aire, siendo proporcional a su energa cintica. La relacin entre ambas, para el aire en condiciones estndar, viene dada porV = 4,043 PD

(AI.1)

o porPD = V2 16,34

(AI.2)

Se ejerce siempre en la direccin del flujo y es siempre positiva. Debe medirse con un tubo de Pitot con la metodologa adecuada. La presin total (PT) se define como la suma algebraica de las presiones esttica y dinmica:

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Captulo I: Conceptos fundamentales

PT = PE + PD

(AI.3)

La presin total puede ser positiva o negativa con respecto a la presin atmosfrica y es una medida del contenido energtico del aire, por lo que va siempre descendiendo a medida que se produce el avance del aire por el interior del conducto. nicamente aumenta al pasar a travs del ventilador, esto es, la suministra el ventilador.

Figura AI.2: Medicin de PE, PD y PT en un conducto presurizado (sin movimiento del aire).

El significado de estas presiones puede explicarse como sigue. Supongamos un tramo de un conducto, sellado por ambos extremos, que es presurizado a una presin esttica de 0.005 atm por encima de la presin atmosfrica, tal como se indica en la Figura AI.2. Si se perfora en la pared del tubo un pequeo orificio (de 1,5 a 3 mm de dimetro, sin rebabas interiores) y se le conecta una de las ramas de un manmetro en U, la lectura ser aproximadamente 50 mm c agua. Obsrvese la diferencia de niveles entre las dos ramas del manmetro. Si el agua de la rama abierta a la atmsfera se encuentra aun nivel superior al de la rama conectada al conducto, la presin es positiva (mayor que la atmosfrica). Puesto que no hay velocidad, la presin dinmica es nula, y segn la ecuacin 2.4, PE = PT. Una sonda cuyo extremo est dirigido en sentido opuesto al del movimiento del aire se denomina tubo de impacto, y medir la presin total. En este ejemplo, si conectamos un manmetro a un tubo de impacto (el situado a la derecha en la Figura 2.2), indicar tambin 50 mm c agua. Finalmente, si uno de los lados del manmetro se conecta al tubo de impacto y el otro a la sonda de presin esttica (el central en el dibujo), el manmetro indicar la diferencia entre ambas presiones. Puesto que PD = PT - PE, un manmetro conectado de esta forma indicar directamente PD. En este ejemplo, puesto que no hay flujo, PD = 0, como nos muestra la igualdad de niveles entre ambas ramas.

Definicin, tipos y propiedades de los fluidos incompresibles. Presin.

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Si se destaparan los extremos del conducto y en su interior se colocara un ventilador, la situacin podra modificarse hasta la indicada en la Figura AI.3.

Figura AI.3: Medicin de PE, PD y PT en distintos puntos de un sistema de ventilacin.

Aguas arriba del ventilador PE y PT son negativas (inferiores a la atmosfrica). Es el llamado lado de aspiracin. Aguas abajo del ventilador PE y PT son ambas positivas. ste es el llamado lado de impulsin. Independientemente del lado del ventilador, PD es siempre positiva. Obsrvese que las diferencias de nivel en cada manmetro indican si los valores respectivos de PE y PT son positivos o negativos con respecto a la presin atmosfrica local.

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Captulo I: Conceptos fundamentales

CAPITULO II: HIDROSTTICA ECUACIN FUNDAMENTAL: CONCEPTOS Y UTILIDADES. ALTURA O NIVEL PIEZOMTRICO. LEY HIDROSTTICA. PLANO DE CARGA HIDROSTTICO: CARGA EN UN PUNTO. SUPERFICIE DE NIVEL O PLANO PIEZOMTRICO. PRINCIPIO DE PASCAL. MANMETROS. CLASIFICACIN. TIPO BOURDON. ECUACIN DEL MANMETRO. SENSIBILIDAD. TRANSDUCTORES.

FUERZA DEBIDA A LA PRESIN SOBRE SUPERFICIES PLANAS SUMERGIDAS: NOMENCLATURA. DETERMINACIN DE LA FUERZA. PUNTO DE APLICACIN: EL CENTRO DE PRESIN. COORDENADA yC. COORDENADA xc. FUERZA DEBIDA A LA PRESIN SOBRE SUPERFICIES CURVAS SUMERGIDAS: COMPONENTE HORIZONTAL FV. COMPONENTE VERTICAL FV. Ecuacin fundamental de la hidrosttica: conceptos y utilidades Consideremos un recipiente que contenga un lquido homogneo ( = cte ) y en reposo, en cuya base estableceremos un plano horizontal de comparacin o referencia (CC) desde el que mediremos las alturas en el eje z. Escojamos como representativo de todo el lquido un prisma diferencial rectangular de peso W, base A y altura z1 z 2 .

Al estar el fluido en reposo las fuerzas que actan sobre el prima en cualquier direccin han de estar en equilibrio. Efectivamente, las fuerzas debidas a la presin sobre la superficie lateral son horizontales y no dan componente vertical por lo que no las consideramos. Sin embargo en la direccin del eje z:p1 A + W = p 2 A

Y como W = vol . = A(z1 z 2 ). , resulta p A + A(z1 z 2 ). = p A 1 2 De donde la ecuacin fundamental de la hidrosttica queda as:p 2 p1 = (z1 z 2 )

Ec.1

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Captulo II: Hidrosttica

La diferencia de presin entre dos puntos cualesquiera de una masa lquida homognea y en reposo es igual al peso de la columna de lquido de base unidad y altura la diferencia de cotas entre los dos puntos. Desde la ecuacin fundamental podemos, reagrupando trminos, escribir:p 2 p1

= z1 z 2 o lo que es lo mismo

p2

p + z 2 = 1 + z1 = cte

En definitiva

p

+ z = cte

Esta es otra forma de escribir la ecuacin fundamental anterior, cuyo significado fsico ahora puede entenderse como que, en una masa lquida homognea y en reposo la suma de la altura representativa de la presin, p , ms la representativa de la cota, z, sobre un mismo plano de comparacin, es constante. A la suma de estas dos alturas se le llama altura o nivel piezomtrico por lo que podemos enunciar de otro modo la misma ley: en una masa lquida homognea y en reposo la altura o nivel piezomtrico, es constante. El trmino de altura o nivel piezomtrico ser de extraordinario inters en el estudio de las redes de distribucin. La siguiente figura ayuda a comprender el significado fsico de la ley hidrosttica que acabamos de enunciar. Consideremos un filete o manto de lquido en reposo en el que cada uno de sus puntos se encuentra a una determinada cota con respecto al plano de comparacin (z1, z2, ). Levantemos ahora sobre ellos, un segmento vertical representativo de la altura de presin que soportan por encontrarse a una determinada profundidad (p1/ ; p2/ ; etc., ) con respecto a la superficie libre del lquido. La ley hidrosttica nos dice que el extremo superior de cada segmento resultante estar contenido en un plano horizontal, al que se le llama plano de carga hidrosttico1.

Se llama carga en un punto x a la altura o distancia vertical existente entre el punto considerado y el plano de carga hidrosttico, de valor px/ + p atm , si es el absoluto o slo px/ si es el relativo. Como frecuentemente consideraremos presiones relativas, no se1

El plano de carga hidrosttico puede ser absoluto, si se tiene en cuenta la presin atmosfrica o relativo, si no se la considera.

Ecuacin fundamental de la Hidrosttica, medida de presiones. Fuerzas debidas a la presin.

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suele incluir el trmino p atm y segn la Ec.1, al hablar de carga nos referimos a la energa que posee el punto de que se trate debida al peso de la columna de fluido de base unidad y determinada altura que tiene encima. Por ejemplo, la turbina de una central hidroelctrica aprovecha la carga debida a la altura del salto, la cresta de un vertedero soporta la carga debida el espesor del manto de agua que lo atraviesa, etc.

La carga h del punto x es la energa que en l existe debida al peso de la columna de fluido de base unidad que soporta

Se llama superficie de nivel o plano piezomtrico al plano horizontal cuyos puntos se encuentran todos a la misma cota con respecto al plano de comparacin. Efectivamente, en la ecuacin fundamental de la hidrosttica si z1 = z2 p1 = p2. Si referenciamos lo dicho anteriormente a la superficie libre de un lquido en reposo, como se encuentra toda a la misma presin, podremos decir que es un plano horizontal.

La superficie libre de un lago, depsito, balsa de riego, etc., es un plano piezomtrico o superficie de nivel

Si aplicamos la ecuacin fundamental de la hidrosttica en su primera forma a dos puntos de una masa lquida homognea y en reposo, con uno de ellos situado en la superficie libre, tendremos: p 2 p1 = (z1 z 2 ) Si ahora hacemos p1 = 0 , por considerar la local como relativa, nos queda que p 2 = h . En definitiva, la ley de la profundidad y el peso especfico que ya dedujimos.

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Captulo II: Hidrosttica

El principio de Pascal ensea que la presin ejercida en un punto cualquiera de una masa lquida homognea y en reposo se transmite a cualquier punto de la misma, con igual intensidad.2 Efectivamente, en la siguiente figura consideremos dos puntos cualesquiera 1 y 2, de una masa lquida homognea y en reposo.

Supongamos que en el punto 1 la presin sufre por cualquier causa un incremento p1 y que, por igual motivo en el punto 2 pero al contrario de lo que enuncia el principio de Pascal, a ste ltimo llega un incremento distinto, al que llamaremos p 2 . Aplicando la ecuacin fundamental de la hidrosttica antes del incremento y despus:p 2 p1 = (z1 z 2 ) p 2 + p 2 ( p1 + p1 ) = (z1 z 2 )

antes despus

Restando miembro a miembro ambas igualdades,p 2 p1 p 2 p 2 + p1 + p1 = 0 p 2 + p1 = 0

p 2 = p1

Como queramos comprobar.

Manmetros: clasificacin Los aparatos para medir presiones se denominan genricamente manmetros y son muy variados pues las presiones a medir tambin lo son. Se pueden clasificar desde dos puntos de vista distintos: 1. Segn la naturaleza de la presin medida: barmetros, que miden la presin local o baromtrica; manmetros, que miden presiones relativas positivas; vacumetros, que miden vacos, depresiones, succiones presiones relativas negativas; los manmetros de presin absoluta, miden presiones a partir del vaco absoluto; los manmetros diferenciales, miden diferencias de presiones entre dos puntos y por ltimo los micromanmetros, que se emplean para la medida de presiones muy pequeas con precisin. 2. Segn el principio bsico de funcionamiento. Este principio, vlido para cualquier manmetro, consiste en equilibrar la presin que se pretende medir. Todos lo hacen, pero dependiendo de cmo lo lleve a cabo cada uno tendremos de un tipo u otro. Vemoslos.2

Y en todas direcciones, como vimos en las propiedades de la presin en el Captulo I

Ecuacin fundamental de la Hidrosttica, medida de presiones. Fuerzas debidas a la presin.

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2.1. De columna de lquido, manmetros que equilibran la presin que se desea medir con el peso de la columna de un lquido. Dentro de los de este tipo estn: 2.1.1. Tubo piezomtrico, el lquido manomtrico y aqul al cual se le quiere medir la presin son uno mismo. Es el manmetro ms sencillo conocido. Est constituido por un tubo transparente de vidrio o de plstico, de cmo mnimo diez milmetros de dimetro para evitar errores por capilaridad, el cual est conectado directamente al punto donde se quiere medir la presin. Da la medida en columna del mismo lquido cuya presin se mide y es el adecuado para presiones relativas pequeas ya sean positivas o negativas, adoptando segn el caso las disposiciones de la siguiente figura.

A

B

Figura: A) Presiones positivas. B) Generalmente presiones negativas

2.1.2. Manmetro de lquido, el lquido manomtrico y aqul al cual se le quiere medir la presin son distintos (e inmiscibles), lo que permite la lectura de presiones mayores a las ledas por los tubos piezomtricos.

2.1.3. Barmetro, mide la presin atmosfrica respecto al vaco absoluto, esto es, mide presin absoluta.

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Captulo II: Hidrosttica

2.1.4. Manmetro y vacumetro de cubeta, cuya ventaja radica en que si la superficie libre de la cubeta es suficientemente grande, en comparacin con la de la otra rama, apenas vara el nivel del lquido en sta, prcticamente permanece fijo, convirtindose en el origen de la medida, esto es, en el cero de la columna de lquido manomtrico, lo que facilita la lectura. Aspectos todos ellos consecuencia de la ecuacin fundamental de la hidrosttica.

2.1.5. Manmetro diferencial, utilizado para medir la diferencia de presiones entre dos puntos.

2.1.6. Micromanmetro de tubo inclinado, mide pequeas diferencias de presin con gran precisin, siendo posible modificar su sensibilidad variando la inclinacin del tubo. En el siguiente esquema es fcil leer L, siendo h el valor buscado.h = Lsen

Ecuacin fundamental de la Hidrosttica, medida de presiones. Fuerzas debidas a la presin.

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2.2. Mecnicos. Para equilibrar presiones mayores que las medibles con los manmetros anteriormente vistos se requeriran tubos manomtricos ms largos y poco prcticos. En los manmetros mecnicos la presin a medir se equilibra mediante la deformacin o desplazamiento de un elemento elstico (mbolo, membrana, etc.), llevndose a cabo la medida directa de la deformacin o desplazamiento. As tenemos: 2.2.1. De membrana, cuya deformacin provocada por la presin se transmite a la aguja.

2.2.2. De tipo Bourdon para presiones absolutas o relativas. Absolutas: en el interior de un tubo elstico se ha hecho el vaco y la presin a medir acta sobre l deformndolo. Esta deformacin es transmitida a la aguja indicadora a travs de los mecanismos oportunos. Para medir presiones relativas el tubo de Bourdon se deforma por la accin de la presin a medir actuando desde el interior de la banda elstica contra la local en el exterior.

A

B

C

Figura: A) Bourdon absolutas. B) Vista interior C) Bourdon relativas

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Captulo II: Hidrosttica

2.2.3. Otros: de fuelle, mbolo y resorte, que se explican por si solos; en caja perfilada o cuadrada para montajes en panel, etc.

2.2.3. Manmetros en bao de aceite o glicerina, para todos aquellos casos en que deba ser protegido de vibraciones, trepidaciones y variaciones bruscas y repetidas de la presin.

2.2.4. Industriales, son instrumentos para la medida de grandes presiones. De utilidad cuando la presin flucta violentamente y hay que sacrificar precisin por robustez.

Ecuacin fundamental de la Hidrosttica, medida de presiones. Fuerzas debidas a la presin.

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2.3. Transductores. En general son dispositivos en los cuales la fuerza debida a la presin acta tambin sobre un elemento deformable el cual, al variar, es capaz de generar una seal elctrica proporcional a la deformacin sufrida. Existen muy distintos tipos de transductores clasificados de acuerdo a cual es el elemento que se modifica bajo la accin de la fuerza de presin. As: de resistencia, en el que la presin altera la resistencia de un conductor o semiconductor; de capacidad, en los que la presin acta sobre una de las placas de un condensador variando su capacidad; potenciomtricos, en stos el giro de un eje acciona un potencimetro. Su aspecto fsico exterior es caracterstico y variado.

Ecuacin del manmetro Cuando el fluido manomtrico y aqul al cual queramos medir la presin sean lquidos inmiscibles, para llevar a cabo correctamente la medida ser necesario aplicar la denominada ecuacin del manmetro. Esta ecuacin se basa en la fundamental de la hidrosttica. Efectivamente, en relacin con la siguiente figura podemos escribir lo siguiente:

p 2 p1 = (z1 z 2 ) = h

De dondep 2 = p1 + h

Lo que nos dice que dentro de un mismo lquido, la presin de un punto ( p 2 ) que est ms bajo que otro ( p1 ), es igual a la presin del ms alto ms el peso de la columna lquida entre ambos.

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Captulo II: Hidrosttica

Y viceversa, esto es: dentro de un mismo lquido, la presin en un punto ( p1 ) que est ms alto que otro ( p 2 ) es igual a la del ms bajo menos la generada por la columna de fluido que los separa.p1 = p 2 h

Tambin sabemos que como consecuencia de la misma ley y en el seno de un mismo lquido, el valor de la presin entre dos puntos situados en el mismo plano horizontal (superficie de nivel o plano piezomtrico) coincide. Basndonos en estas tres cuestiones vamos a deducir la expresin que nos da el valor de la presin absoluta de un manmetro de lquido en U para presiones relativas como el que aparece en la siguiente figura.

Podemos escribir:p A = p1

(plano piezomtrico o superficie de nivel)

p1 = p 2 1h 2 p 2 = p3p 3 = p 4 + 2 h1 p 4 = p local = 0

(plano piezomtrico)

( p local como relativa)

Restando miembro a miembro queda,PA = 2 h1 1h 2

Expresin de la que se deduce que para conocer el valor de la presin en el punto A habr de tenerse en cuenta la presin ejercida por cada una de las columnas de lquido que intervienen, esto es, habr de tener en cuenta tambin el peso de la columna del no manomtrico que llena el tubo ( 1h 2 ). Sin embargo cuando este fluido sea un gas, su peso especfico ser despreciable frente al del lquido manomtrico y entonces, sin error apreciable, despreciaremos el peso de las columnas de gas con que nos encontremos. El entretenido procedimiento anterior se puede obviar considerando que a partir de un determinado punto las columnas descendentes de lquido se sumarn, las ascendentes se

Ecuacin fundamental de la Hidrosttica, medida de presiones. Fuerzas debidas a la presin.

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restarn y las de gas, por ser su peso especfico muy inferior al de cualquier lquido manomtrico, se despreciarn. En nuestro caso:PA + 1h 2 2 h1 = Patm = 0

Esto es, al igual que por el procedimiento anterior, pero ahora directamente,PA = 2 h1 1h 2

Sensibilidad de un manmetro Si estudiamos el caso particular de un manmetro diferencial como el de la siguiente figura, aplicando la ecuacin del manmetro, tendramos:

p1 + (h + a ) m h a = p 2

De donde,p1 p 2 = m h + a (h + a ) = m h + a h a = h ( m )p p2 h= 1 m

Lo que nos permite observar que cuanto menor sea la diferencia entre los pesos especficos del lquido manomtrico, m , y de aqul al cual le queremos medir la presin, , mayor ser para una presin diferencial dada, la altura h de la columna manomtrica. Y viceversa.

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Captulo II: Hidrosttica

Se plantea con frecuencia la necesidad de calcular la fuerza debida a la presin que un fluido ejerce sobre una superficie, plana o curva, sumergida en l as como conocer cual es su punto de aplicacin. Fuerza debida a la presin sobre superficies planas sumergidas: nomenclatura Consideremos en la siguiente figura una masa lquida homognea y en reposo de agua de peso especfico, , y en ella una superficie sumergida plana, A, cuyo plano que la contiene forma un ngulo cualquiera, , con la superficie libre del lquido S-S. Sea 0y la traza sobre el plano del dibujo en la que se encuentra la superficie de estudio. La presin, p, que el fluido ejerce sobre cada uno de los elementos de rea dA, de los infinitos en que podemos dividir la superficie total, dar lugar a un conjunto de fuerzas elementales, dF, paralelas entre si y perpendiculares a la superficie en estudio. La resultante de todas ellas, F, ser tambin una fuerza perpendicular a esa superficie de estudio. A su punto de aplicacin le llamaremos centro de presin, C, que en general, no coincidir con el centro de gravedad, G, de la superficie plana total.Sa

0 gdFA

S

dA F G

y

C

Al abatir el plano 0y sobre el papel para hacer visible la superficie A observamos sobre ella los puntos C (centro de presin), G (centro de gravedad) y el rea elemental dA de dimensiones dx y dy.Sa

0

S

dF

F

y xdx dA dy G C

A

En la siguiente figura designamos con las letras y, a las distancias desde la superficie A a la superficie libre del fluido medidas sobre el eje y (distancia a 0x), esto es, medidas sobre el

Ecuacin fundamental de la Hidrosttica, medida de presiones. Fuerzas debidas a la presin.

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plano que contiene a la superficie de estudio A. Utilizaremos las letras h para designar las alturas de presin o profundidades medidas verticalmente (distancia vertical desde el punto de que se trate a S-S ) desde la superficie A a la superficie libre del fluido.Sa

0

S

h hg

gyC yg y

F

ydx dA dy G C A

x

Determinacin de la fuerza Cada una de las fuerzas elementales dF debidas a la presin p del fluido sobre cada elemento de rea dA vale,dF = p dA = h dA = y sen dA

La que integrada para toda la superficie,F = dF = sen y dA

Donde al trmino respecto al eje x y vale,

y dA

se le conoce como momento esttico, Es, del rea A con

E s = y dA = y g A

Siendo y g la coordenada y del centro de gravedad de la superficie considerada. Entonces,F = sen y g A = h g A = p g A

En definitiva, la fuerza de la presin hidrosttica sobre una superficie plana sumergida es igual al producto del valor del rea por la presin en su centro de gravedad. Punto de aplicacin: el centro de presin Vendr dado por sus coordenadas o distancias a los ejes x e y respectivos.

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Captulo II: Hidrosttica

Coordenada yc La calcularemos mediante el teorema de Varignon3 igualando el momento de la resultante F de todas las fuerzas elementales que actan sobre el rea A con respecto al eje x, con la suma de los momentos de cada componente con respecto al mismo eje.F yc =

y dF

sen y g A y c = y y sen dAy c y g A = y 2 dA

Donde la integral es el momento de inercia o de segundo orden de la superficie A con respecto al eje x del que se encuentra a la distancia perpendicular y. Entonces,

yc

y =

I = x yg A Es

2 dA

Por consiguiente la distancia y c del centro de presin de una superficie plana sumergida a la superficie libre, medida sobre el plano que contiene a la superficie de estudio, es igual al cociente entre el momento de inercia de la superficie con respecto al eje x, que resulta de la interseccin de dicho plano con la superficie libre, dividido por el momento esttico con respecto al mismo eje. Para calcular el momento de inercia o de segundo orden Ix recurriremos al Teorema de Steiner que dice que el momento de inercia de una superficie con respecto a un eje dado es igual al momento de inercia de la misma superficie con respecto a otro eje cualquiera, paralelo al anterior, ms el producto del cuadrado de la distancia perpendicular entre los dos ejes por el valor del rea. Si ese otro eje lo consideramos como aqul que, paralelo al x, pasa por el centro de gravedad de la superficie, tendremos,2 I x = IG + yg A

Que sustituido en y c ,2 IG + yg A I Ix yc = = = yg + G Es yg A yg A

Donde la ventaja de expresarlo as se encuentra en que el momento de inercia del rea con respecto a un eje, el x en este caso, que pase por su centro de gravedad, IG, est ya calculado y viene en los manuales de ingeniera para las formas geomtricas ms usuales.Teorema de Varignon: el momento respecto a un punto o a un eje de la resultante de un sistema de fuerzas es igual a la suma de los momentos producidos por cada fuerza respecto al mismo punto o eje.3

Ecuacin fundamental de la Hidrosttica, medida de presiones. Fuerzas debidas a la presin.

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Momento de inercia de algunas reas ms comunes con respecto a un eje que pase por su centro de gravedad.

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Captulo II: Hidrosttica

Coordenada xc La obtendremos de forma anloga igualando el momento de la resultante F con la suma de los momentos de las fuerzas elementales pero ahora respecto al eje y. As,F xc =

x dF

sen y g A x c = x y sen dAx c y g A = xy dA

xc =

xy dA = I xyyg A Es

Donde Ixy es el denominado producto de inercia de la superficie A con respecto a dos ejes, x e y, perpendiculares entre si. Este producto de inercia es laborioso de calcular an cuando le apliquemos el Teorema de Steiner que nos llevara aI xy = I xy( G ) + x g y g A

ya que la integral representada por Ixy(G) tambin lo es. En la prctica, al trabajar con formas geomtricas sencillas, es muy frecuente que estas sean simtricas y es sabido que el producto de inercia de una superficie simtrica es nulo, por lo que xC = 0 El significado fsico de este valor se concreta en que el centro de presin se encontrar sobre el eje vertical de simetra de la superficie en cuestin a la profundidad que determine yC,

Efectivamente. Si la forma geomtrica tiene un eje de simetra o un dimetro conjugado con un sistema de cuerdas (recordemos que la definicin de dimetro de una circunferencia lo describe como aquella recta que divide a todo un sistema de cuerdas en dos partes iguales, al igual que cada una de las medianas de un tringulo), el centro de presin se encontrar sobre ese eje, dimetro, mediana, etc., a la distancia de la superficie libre que determine y c .

Ecuacin fundamental de la Hidrosttica, medida de presiones. Fuerzas debidas a la presin.

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Si no nos encontramos ante una de estas superficies habr que intentar descomponerlas en otras ms sencillas, procediendo entonces a obtenerse las fuerzas de presin particulares y sus situaciones respectivas, para una vez conocidas, calcular las coordenadas del centro de presin de la figura completa tomando momentos respecto a los ejes x e y. En la figura siguiente puede verse una de estas, que descompondramos en un rectngulo y un tringulo.

(F = F1 + F2 )x c

= F1 x c1 + F2 x c 2

(F = F1 + F2 ) y c

= F1 y c1 + F2 y c 2

De donde despejaramos x c e y c . Un caso particular de los que nos podemos encontrar es el de la actuacin simultnea de lquidos superpuestos, como aparecen en la figura de la pgina siguiente. En ella el lquido superior 2 reposa sobre el inferior 1 el cual est en contacto directo con la superficie, A. Sobre ella queremos calcular la fuerza de presin total provocada por ambos. En este caso tanto la determinacin de la fuerza de presin ejercida por el lquido inferior 1 sobre la superficie A en cuestin, como la situacin de su centro de presin, se lleva a cabo como hemos visto anteriormente, esto es, como si el lquido 1 estuviese slo. Con respecto al lquido superior 2, esto es, aqul que transmite su presin sobre la misma superficie de estudio, A, pero a travs del lquido 1 que tiene debajo, consideraremos que: a) la presin que transmite ser la debida al peso de su propia columna, esto es, h. Por tanto el valor de la fuerza generada sobre la superficie A valdr, F = hA Donde se observa que F no es funcin de la profundidad a la que se encuentre el centro de gravedad de la superficie de estudio, hg, sino de la altura h del lquido superior 2, cuyo peso se transmite a travs de la interfase ente ambos al lquido 1, con igual intensidad por el Principio de Pascal y en todas direcciones (propiedad 2 de la presin). b) Para determinar la coordenada yc del centro de presin de igual modo aplicaremos el teorema de Varignon. Esto es:F yc =

y dF

Observando la siguiente figura

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Captulo II: Hidrosttica

Queda

h A y c = y h dA = h y dAPuesto que h es constante y puede salir de la integral. Adems como

y dA es

el

momento esttico de la superficie, queda

h A yc = h yg ALuego, yc = yg

c) Las consideraciones con respecto a la coordenada xc del centro de presin son idnticas a las anteriormente realizadas y resulta que, xc = xg El significado fsico de esta cuestin es que cuando la presin hidrosttica de un lquido se transmite a travs de otro para actuar sobre una superficie concreta el punto de aplicacin de la misma coincide con el centro de gravedad de la superficie de estudio.Fuerza debida a la presin sobre superficies curvas sumergidas

Al igual que antes, la fuerza de la presin que el fluido ejercer sobre la superficie curva ser la suma de las fuerzas elementales que ejerce sobre cada uno de los elementos de rea en que podemos dividir la superficie dada.

Para su determinacin descomponemos cada fuerza elemental en las tres direcciones de los ejes de coordenadas: dos componentes horizontales dFx y dFy (esta ltima perpendicular al papel) y una vertical dFz. La suma de las componentes elementales sobre cada eje dar lugar a Fx, Fy y Fz, que al componerlas a su vez nos dar la fuerza total de presin F.

Ecuacin fundamental de la Hidrosttica, medida de presiones. Fuerzas debidas a la presin.

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Componente horizontal FH Son dos, Fx y Fy que se calculan de igual modo. Calcularemos la Fx apoyndonos en el siguiente dibujo.

Sea la superficie curva de traza AB. Proyectmosla sobre un plano perpendicular a la lnea de accin de la fuerza Fx y consideremos aislado al volumen de fluido comprendido entre la superficie curva, su proyeccin y las lneas proyectantes. Sea Fx la fuerza debida a la presin hidrosttica del fluido sobre la superficie plana proyectada AB. Puesto que el fluido est en reposo, las fuerzas en cualquier direccin han de estar en equilibrio. Esto quiere decir que en la direccin horizontal,

FH = Fx' = FxY adems han de tener la misma lnea de accin pues si no se generara un par que dara lugar al movimiento del volumen ABAB y por tanto del fluido (estamos en hidrosttica). Las otras fuerzas que intervienen (peso del cuerpo, etc.) no dan componentes en la direccin estudiada o son despreciables, por lo que no las consideramos. Visto lo anterior, la componente horizontal de la fuerza debida a la presin hidrosttica sobre una superficie curva sumergida, es igual y de sentido contrario, a la fuerza de presin que el fluido ejerce sobre la proyeccin de la superficie de estudio sobre un plano perpendicular a la direccin de la fuerza y tiene su punto de aplicacin en el centro de presin, de dicha proyeccin. Esto es, FH = hgA Componente vertical FV Como se ve en la siguiente figura se trata ahora de proyectar a la superficie curva sobre la superficie libre del fluido y considerar aislado el volumen de ste comprendido entre las citadas superficies y las lneas proyectantes. C(xc , yc) con xc sobre el eje y eyc = yg + IG ygA

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Captulo II: Hidrosttica

Como las presiones laterales sobre los planos constituidos por las lneas proyectantes no dan componentes en la direccin vertical, no las consideramos. De nuevo el equilibrio del fluido en reposo exigir que en la direccin vertical las fuerzas actuantes estn equilibradas. Esto es,FV = Fz' = Fz' Siendo Fz el peso del volumen de fluido comprendido entre las dos superficies y las lneas proyectantes. Adems, por idntica razn anteriormente comentada, ambas fuerzas habrn de tener tambin la misma lnea de accin, esto es, pasarn por el centro de gravedad del volumen engendrado.

En definitiva la componente vertical de la fuerza de la presin hidrosttica sobre una superficie curva sumergida es igual y de sentido contrario al peso del volumen de fluido comprendido entre la superficie curva, las lneas proyectantes de sta hasta la superficie libre y sta ltima, teniendo su misma lnea de accin, esto es, la que pasa por el centro de gravedad del volumen de fluido considerado. FV = Fz = W = (volumen de fluido considerado) Su lnea de accin pasa por el centro de gravedad de dicho volumen Debe hacerse notar que la regla se aplica igualmente aunque sobre la superficie dada no exista en realidad fluido alguno. Efectivamente, en la siguiente figura, la fuerza de presin vertical sobre la superficie MO sera igual al peso de un volumen igual a MNOM an cuando el volumen no est ocupado.

La explicacin la encontramos en que realmente el fluido ejerce sobre cada uno de los elementos de rea que forman la superficie curva MO una fuerza elemental, cuya resultante ser la fuerza vertical que el fluido ejercer sobre la superficie en cuestin. Fuerza que se calcula como se ha indicado.

Ecuacin fundamental de la Hidrosttica, medida de presiones. Fuerzas debidas a la presin.

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Depsitos

Balsa

Presa

Acequia o canal

Compuerta

Tuberas

Aplicaciones del estudio de las fuerzas de presin hidrosttica sobre superficies

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Captulo II: Hidrosttica

PROBLEMAS

2.1. En la Figura 1, calcular la presin del agua en la tubera. AGUA = 1; Sol: 88,5 kPa.

MERCURIO

= 13,6.

2.2. En la Figura 2, si la presin en A es de 1,2 bar, calcularla en B. 1 = 1; 2 = 13,6; 3 = 1,2; 4 =1,6; 5 = 0,8 Sol: 0,725 bar 2.3. En la Figura 3, determinar la presin del aire situado encima del aceite. ACEITE = 0,75. Sol: 0,147 bar

Figura 1

Figura 2

Figura 3

2.4. En la Figura 4, el punto A est a 53 cm por debajo de la superficie libre del lquido ( LQUIDO = 1,25). Cul es la presin manomtrica en A si el mercurio asciende 34,3 cm en el tubo? Hg = 13,6. Sol: -0,393 bar. 2.5. En la Figura 5, el cilindro y el tubo contienen agua. Para una lectura manomtrica de 2 bar Cul es el peso del mbolo si el dimetro de su base es de 1 metro? Sol: 156,7 KN 2.6. En la Figura 6, los pistones 1 y 2 miden 5 y 50 cm de dimetro respectivamente. El peso del pistn 2 es de 20 kN. Calcular la fuerza F necesaria, despreciando el peso del pistn 1, para mantener el equilibrio. ACEITE = 0,75. Sol: 156,7 N

Figura 4

Figura 55

Figura 6

2.7. En la figura 7, si la presin en A es de 10 Pa, calcularla en B, C y D. Sol: 94,1 kPa; 106,9 kPa y 126,5 KPa. 2.8. En la Figura 8, calcular la presin en B SI A = 800 kg/m3; B = 1000 kg/m3; m = 13600 kg/m3; PA = 200 kPa (man). Sol: 286,33 KPa. 2.9. El indicador de gasolina de un coche de la Figura 9 marca proporcionalmente a la presin manomtrica del fondo del depsito, como muestra la figura. Si el depsito tiene 30 cm de alto y contiene accidentalmente 2 cm de agua, cuntos cm de aire habr en la parte superior cuando el indicador seale errneamente "lleno"? GASOLINA = 0,68 Sol: 1 cm.

Ecuacin fundamental de la Hidrosttica, medida de presiones. Fuerzas debidas a la presin.

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2.10. En la Figura 10, qu presin manomtrica en A har que la glicerina suba hasta el nivel B? ACEITE = 0,832; GLICERINA = 1,25. Sol: 0,344 bar.

Figura 7

Figura 8

Figura 9

Figura 10

2.11. Para el manmetro de tubo inclinado de la Figura 11 la presin en A es de 1,3 kPa. El fluido en ambos tubos, A y B, es agua y el lquido manomtrico tiene una densidad relativa de 2,6. Cul ser la presin en B? Sol: -100,7 kPa

Figura 11

2.12. Determinar la situacin del centro de presin para un rea plana rectangular de base b y altura a sumergida en un lquido de peso especfico conocido ( ), con su borde superior enrasado con la superficie libre y formando un ngulo cualquiera ( ) con ella. Sol: xC = 0 m e yC = 2a/3 2.13. Calcular y situar la fuerza debida a la presin sobre la pared vertical de la figura 13 de un tanque lleno de aceite ACEITE = 0,9. Sol: F = 65,1 kN; xC = 1,23 m a la derecha de AF; yC = 1,57 m bajo AB. 2.14. Calcular y situar la fuerza sobre la pared ABC de la figura 14 de 1,2 m de fondo. AGUA = 1; ACEITE = 0,8. Sol: F = 112,3 kN; xC = 0,6 m a la derecha de A; yC = 3,234 m bajo A.

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Captulo II: Hidrosttica

Figura 13

Figura 14

2.15. La compuerta AB de la figura 15, articulada en A, tiene 1,2 m de fondo. El aire se encuentra a una presin manomtrica de 0,15 kp/cm2. Qu fuerza horizontal F debe aplicarse en B para que la compuerta se mantenga cerrada? ACEITE = 0,75. Sol: F = 25,4 kN. 2.16. Sabiendo que la pared de una presa de la figura 16 es de gravedad (resiste por su propio peso), tiene una seccin triangular y est construida en hormign ( hormign = 2,5), determinar la anchura mnima de la base por metro de pared para que no vuelque alrededor de C. Se considerar que el efecto de la presin hidrosttica bajo ella acta en el centro de su base. Sol: 14,15 m.

Figura 15

Figura 16

2.17. En la figura 17 el orificio rectangular de dimensiones b = 30 cm (fondo) y h = 40 cm (altura), practicado en la pared vertical de un recipiente, se cierra con una compuerta de iguales dimensiones; dicha compuerta est conectada a una palanca y unida rgidamente por otra a un tambor cilndrico hueco de dimetro D = 39 cm, longitud L = 60 cm; y peso W = 250 N., de tal manera que al subir el nivel de agua en el recipiente se abre la compuerta girando el sistema alrededor de O. Cul debe ser la distancia OO = x de modo que ello ocurra cuando ZG = 25 cm? Despreciar los pesos de las palancas. Sol: 0,88 m.

Figura 17

Figura 18

Ecuacin fundamental de la Hidrosttica, medida de presiones. Fuerzas debidas a la presin.

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2.18. Determinar y situar la fuerza resultante debida a la accin del agua en el recipiente de la figura 18 donde las cotas se dan en metros, sobre las siguientes superficies rectangulares: a) horizontal FE; b) vertical HG y c) inclinada 45, DC. La anchura de todas ellas, perpendicular al dibujo, es de 1 metro. Sol: a) 21,6 T. Situada en el centro de gravedad de la superficie FE; b) 17,6 T. CHG (0,5 m perpendicular al plano del dibujo y 4,7 m bajo la SLL y c) 11,78 T. CCD (0,5 m perpendicular al plano del dibujo y 4,86 m bajo B, medida sobre el plano que contiene a CD).

Figura 19

Figura 21

2.19. La pared de una balsa de agua se ha proyectado de modo que su cara AB, de 18 m de longitud perpendicular al plano del dibujo, tenga una pendiente gradual en el agua, como se muestra en la figura 19. Gracias a este diseo el rozamiento de la base BD aumenta debido a la fuerza de la presin hidrosttica del agua que acta sobre AB. Calcular el valor de esta fuerza de presin por metro de longitud de AB y su situacin. agua = 9810 N/m3. 2.20. Un tanque esfrico de 20 m de dimetro est lleno de petrleo. Calcular y situar a) la fuerza horizontal de la presin hidrosttica sobre el hemisferio derecho y b) la fuerza vertical sobre el hemisferio superior. PETRLEO = 0,92. Sol: a) FH = 28,35 mN; xC en el eje de simetra vertical; yC = 12,5 m bajo la superficie libre del petrleo. b) FV = 9,45 mN, cuya lnea de accin pasa por el centro de gravedad del volumen de fluido considerado. 2.21. Calcular y situar la fuerza resultante debida a la accin del agua sobre la compuerta AC de la figura 21. La lnea de accin de la fuerza vertical pasa a 0,948 metros a la izquierda de OC. Qu fuerza F ser preciso aplicar para elevarla? FR = 0,238 mN. Slo se deber vencer la fuerza debida a su peso y al rozamiento sobre sus guas.IG (RECT) = bh3/12 IG(TRIANG) = bh3/36 CUESTIONES IG (CIRC) = r4/4

2.1. Que se entiende por a) altura o nivel piezomtrico, b) carga en un punto, b) superficie de nivel plano piezomtrico y d) enuncia slo con palabras una cualquiera de las formas de la ecuacin fundamental de la hidrosttica, anotando la expresin matemtica que la refleja. 2.2. Justificar el hecho de que la superficie libre del agua en un embalse sea un plano horizontal. 2.3. Un depsito tiene dos compartimentos, uno mucho ms grande que otro, separados por una pared vertical muy elstica e impermeable. Inicialmente, como aparece en la Figura 3 el agua contenida en el compartimento pequeo tiene un nivel mayor que la retenida en el grande. Justifica si se deforma el tabique y hacia que lado lo hace.

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Captulo II: Hidrosttica

Figura 3

Figura 4

2.4. Un tubo en U contiene agua hasta una altura h como se muestra en la Figura 4. Se aade un aceite de densidad menor que la del agua a la rama de la izquierda. Una vez alcanzado el equilibrio, justifica que el nivel en dicha rama es, respecto al nivel de la otra rama: a) igual, b) mayor, c) menor d) Es necesario conocer la densidad del aceite. 2.5. Deducir mediante el empleo de la ecuacin fundamental